EN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 6. KİTAP DİERANSİYEL DENKLEMLER DD
İÇİNDEKİLER. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER. KERNEL SEÇİMİ. METOT V. DURUMU A) B) Örnek DD ) Sabit Katsayılı DD V. DURUMU A) B) Euler DD ) Rdriues rmülü V. İki Özel nksiyn A) B), V. KHGDD V. HGDD EKLER VE NOTLAR
3. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER Diferansiyel denklem çözümlerinin türev ifadelerini yk etmek lduğu ve bunun da interal işlemi ile sağlandığı örülmüştü. Bu interal işlemlerini reel eksende ve bir takım kalıp frmüllerle yapmak yerine, kmpleks düzlemde yl interali mettları kullanıp, tekil nktalardan ve dallanma kesiklerinden yararlanmak, dğal larak daha ilinç snuçlara yl açacaktır. Bu aşamada sadece. mertebe LDD 'lerin interal dönüşüm metdu ile çözümleri incelenecektir. Metdun, detaylar bir yana, temelde ikinci mertebe bir DD 'in birinci mertebeye indirenmesi lduğu örülecektir. En enel. mertebe hmjen LDD L p z p z p z tanımıyla z yazılabilir. z L z ifadesinde z d dz yerine anlaşılacaktır. İlk adım, çözümü bir interal dönüşüm biçiminde, w z d K z v larak yazmak lacaktır. z L larak z wz kullanılmasının erekçesi kısa sürede Burada : kmpleks düzleminde açık veya kapalı bir ylu, Kz, dönüşümün Kernel ini, v ise : interal w z 'nin DD 'in çözümü lmasını sağlayacak bir fnksiynu ifade etmektedir. Bu nktada daha syut düzeyde w K dönüşümünün z ile skalar çarpımının yapıldığı ve K ile v arasına d tamamlık ifadesi yerleştirildiği sezilmektedir. Çözüm wz d K z, v ifadesinde üç tane seçime bağlı esneklik vardır :, Kz, ve v. Öte yandan w z snucunun DD 'i sağlaması, yani L wz lması ereği de bir kısıtlama larak düşünülürse erçekte sadece iki z tane seçime bağlı esneklik lduğu anlaşılır.
4. KERNEL SEÇİMİ Bu seçimlerden ilki Kz, kernel fnksiynunun seçilmesidir; en yayın iki seçim :, exp z ( Laplace ) ve K z, z K z ( Euler ) kernelleridir. Euler kernelinin parametresi kesin larak belirtilene kadar seçim hakkı tamamen kullanılmış sayılmaz. Daha enel lan Euler kernelinden, uyun bir limit işlemi ile Laplace kerneline eçiş yapmak da mümkündür. p z a z b ; p z a z b, p z a z b durumunda Laplace, ;, p z a z a z a p z b z b p z c durumunda ise Euler kernellerinin uyun seçimler lduğu bilinmektedir. Metdun temel dayanak nktası L, M, sağlayan bir K z K z z M diferansiyel peratörü bulmaktır. Bu peratörün L 'den daha basit bir yapıda lup, birinci dereceye indirenebilir lması asıl z amaçtır. Eğer = veya ve bu nktada durup yeni bir kernel denemek erekir. = değilse yanlış kernel seçilmiş demektir. METOT L, M, eşitliği DD e yerleştirilince K z K z z L wz d v K z, z L denklemi z d v M K z, biçimine dönüşecektir. d v K z,
5 Denklemi, parçalı interal mettları ile elde edilen : d v K z, d K z, v d v K z, d K z, v v K z, d v K z, d K z, K z, v K z, d v K z, d özdeşlikleri kullanılarak d K z, M v v K z, d v K z v K z d,, = biçimini alır. Burada yer alan M M peratörünün hermitsel ifadesinin M seçimi eşleniği lduğu hatırlanacaktır. Elde kalan sn esnekliği de v yaparak kullanmak ve böylece v fnksiynunu belirlemek ikinci önemli adım lmaktadır. Bu durumda d K z, M v lacağı için de v K z, d v K z v K z d,, =
6 eşitliği ylunun belirlenmesinde kullanılır. Bu metdun pratik labilmesi için veya = = lması ereği vurulanmıştı. V. A) Genel Şimdi bu iki durum tek tek incelenebilir. = durumunda d v M v v v exp d d lur., exp, Yl şartı için ise v K z d K z elde edilir. En enel örnek larak Laplace dönüşümü ile çözümü ele alınınca ilk adım p z w p z w p z w DD inin p z p z p z z z z z exp exp eşitliğinden p z p z p z z z denklemine erişmektir. İkinci adımda bu eşitlik ve z ye öre ilk iki türevi z 'da değerlendirilerek p p p,, p p p p p p snuçlarına ulaşılır. Bu denklemler = sağlanması için erektiğini östermektedir. p p p
7 B) Özel Bir Örnek Özel bir örnek larak a z b w a z b w a z b w DD 'inin çözümüne eçilebilir. Yukarıda elde edilen frmüllerden yararlanarak,, a a a b b b bulunur. Artık v fnksiynu v b b b exp d a a a exp d, a a a yl şartı ise b b b z exp d e a a a frmülleri ile belirlenip wz d K z, v çözüm ifadesine yerleştirilebilir. Bu yaklaşıma ileride KHGDD çözümü ile tekrar dönülecektir. ) Sabit Katsayılı DD Ancak daha önce, çk basit örünümlü ama kendinden beklenmedik bir zrluk çıkartan, ancak bu enel aşılınca da ene beklenmedik ilinç snuçlar serileyen sabit katsayılı w w w DD i çözülecektir. Bu DD 'in a z b w a z b w a z b w DD 'i ile karşılaştırması a a a ; b, b, b vermektedir. Bu da yanı sıra lması, dlayısıyla v ve yl şartı bulmak için kullanılan denklemlerin eçersiz ve yararsız lması demektir. Ancak aynı DD, 'Tamlık Çarpanı' kavramını andırır bir ylla z ile çarpılıp zw zw zw larak yazılırsa, bu sefer b b b ; a, a, a lur. Bu da v demektir. exp z ve z exp analitik bir fnksiyn lduğu için tüm kapalı yllar yl şartını
8 sağlar. w z exp z d interali için ise kmpleks düzleminde seçilebilecek tpljik açıdan farklı kapalı yllar vardır : ylu wz verir; bu DD i sağlayan, ama dğal larak, çözüm sayılmayan bir snuçtur. exp z w z ylu wz exp z verir. z, eğer ise = çkkatlılık durumunda ise interal ifade exp wz d wz z exp z bulunur. Böylece çkkatlı kök durumunda, eçmişte Abel frmülü kullanılarak bulunan ikinci çözüm, kmpleks düzlemde yl seçimi ile elde edilmektedir. ylu PROBLEMLER P.V. ), 4, 3 w DD ini Laplace dönüşümü ile çözün. Aynı işlemleri bu sefer, 4, 4 w DD ine uyulayın.
P.V. ) z,, w DD ini Laplace dönüşümü ile çözün. Aynı işlemleri bu sefer, z, w DD ine uyulayın. 9 P.V.3 ),, j z, ıncı mertebe Küresel Bessel fnksiynunu önce p z ile çarpın. Laplace kernelinin kullanılabilmesi için p ne lmalıdır? j çözümünü bulun. İkinci çözüm n için Abel frmülünü kullanın. P.V.4 ) Laplace dönüşümlerinde M v M de yanısıra v d exp z sağlayacağı için eçerli bir çözüm verir. Bu ylla z, z, z w Küresel Bessel DD i için sin z v v j snucunu elde edin. Daha snra z cs z v v n çözümüne erişin. z İpucu : j için v, : i den i 'ye iden bir yl. n için v tan, : Kapalı yl V. DURUMU A) Genel M denklemi = durumunda ise v d v d v v exp d d d lur.
K K Yl şartı için ise v exp d ifadesine erişilir. En enel örnek larak DD inin Euler dönüşümü ile çözümü ele alınınca ilk adım p z w p z w p z w p z p z p z z z z z denkleminden p z z p zz p zz veya z z z p z p z z p z z z z eşitliklerini elde etmektir. İkinci adımda bu eşitlik ve z 'ye öre ilk iki türevi z 'da değerlendirilerek p, p p, p p p ara snuçları bulunur. Bu denklemlerden lduğu, ancak akılcı bir seçimiyle = sağlanabileceği örülmektedir. p p p p p p ile verilen bu akılcı tercih snucu p, lmaktadır. p p p p p p p p,
B) Euler DD Özel bir örnek larak a z a z a w b z b w c w DD inin çözümüne eçilebilir. Yukarıda elde edilen frmüllerden yararlanarak b b c a a a, b b c a a b b a a a, a a a bulunur. Artık exp v d ve yl şartı K exp d kullanılarak wz d K z, v bulunabilir. Bu yaklaşıma ileride HGDD çözümü ile dönülecektir. ) Rdriues rmülü Ancak daha önce, bir anlamda HGDD 'in özel hali lan Leendre DD 'ini incelemek öğretici lur. z P zp P ; =,,,... ile verilen bu DD 'in enel Euler DD 'i ile karşılaştırılmasından a, a, a bulunur. Bu da b, ; b c erektirir. Böylece, tercihini lmaktadır. Bunların ilili exp ve frmüllere yerleştirilmesi ise v d
K exp d z P z frmülü kullanılarak, P z P z snuçlarını verir. Bu ara snuç d z larak yazılırsa, kmpleks düzleminde yl interali z içeren herhani bir kapalı yl için i d veya P! d sağlayan bir çözüm için z d z Rdriues frmülüne erişilir. Bu yaklaşım! dz m z, m z, n n m G n Geenbauer DD ine enelleştirilebilir, ancak m Tek Tamsayı 'larda, mesela m hebyshev DD i için, frmül hebyshev plinmları Tn x yerine nlarla ilintili Vn x fnksiynlarını verir. PROBLEMLER P.V. ) z, z, z J, Sıfırıncı mertebe Bessel DD ini Laplace dönüşümü ile çözün. Uyun bir değişken dönüşümü ile J sağlayan çözüm için J z d exp i z cs lduğunu österin. m P.V. ) Euler dönüşümü kullanarak z, m z, n n m G n Geenbauer DD i çözümünün interal ifadesini elde edin. hebyshev DD i Geenbauer DD inin m özel halidir; İnteral ifadenin hebyshev plinmlarını vermediğini österin.
3 V. İKİ ÖZEL ONKSİYON A) Eldeki mettla KHGDD ve HGDD çözümlerine eçmeden önce iki özel fnksiynu yakından tanımak erekecektir. 'den n 'e kadar tamsayıların çarpımı larak tanımlanan n! ifadesini, tüm reel, hatta kmpleks sayılara enelleştirmek amacıyla Gauss tarafından eliştirilen Gamma fnksiynu du u expu larak tanımlanır. ifadesinin Parçalı İnteral metdu ile açılımından bağıntısı, interalin böylece n özel halinden de n! lmaktadır. özdeşliği elde edilir; B), u İki değişkenli Beta fnksiynu ise, du u Bu fnksiynun Gamma fnksiynu ile ilişkisini örebilmek için larak tanımlanır. ds s exp s ve dt t expt s x t y, değişken dönüşümleri yapılarak ifadelerinde 4 dx dy x y exp x y iki katlı interale erişilir. Bu nktada önce plar krdinatlar x r cs, y r sin ; dx dy r dr d yardımıyla 4 d cs sin r dr r exp r ara snucuna ulaşılır, snra da dlayısıyla r ; sin cs d sin cs yerleştirilerek,
d d exp, elde edilir. Böylece, lmaktadır. 4 PROBLEMLER n P.V. ) dx exp x n n lduğunu österin. P.V. ) dx n x n n n lduğunu österin. n P.V.3 ) n d sin lduğunu österin. n P.V.4 ) D-Byutta SO D simetrik hacım elemanı edilebilir A, A, A 4,... 3 D A r dr D. D A larak ifade katsayısını Gamma fnksiynları cinsinden hesaplayın. P.V.5 ) Lim x ax x? Lim ; x x x 5? P.V.6 ) Psi veya Diamma fnksiynu z için z z d n z larak tanımlanır. dz ve temel fnksiynlar içeren bir bağıntı bulun.
5 P.V.7 ) n N için : z n. exp i ile verilen z n etrafında küçük bir dairesel kapalı yl lmak üzere, n n z dz interalini hesaplayın. P.V.8 ),, ifadesini sadeleştirin. P.V.9 ) Binm açılımı katsayısı ifadesinin k k, k k k k k!, k ifadesine eşdeğer lduğunu österin. : Tamsayı P.V. ), fnksiynunun interal ifadesinde uyun bir trinmetrik dönüşüm yaparak lduğunu österin. P.V. ) d 4 sin 8 lduğunu österin. P.V. ) 6 x dx 5 lduğunu österin. x 3
P.V.3 ) d çıkarak d n n n n n n!!! dn n n! dn 6 yaklaşık ifadesinden yla N N! n n d n n dn n n dlayısıyla Stirlin benzeri nn! N nn N 3 n 3 frmülünü elde edin. Gerçek Stirlin : nn! N n N N n P.V.4 ) N lmak üzere N seçmenli bir tplulukta iki alternatife eşit y çıkma ihtimalinin yaklaşık larak N lduğunu österin. İpucu : Stirlin frmülü V. KHGDD durumuna uyun bir örnek zw z w w ile verilen KHGDD 'in Laplace dönüşümü ile çözümüdür. a z b w a z b w a z b w denklemi ile karşılaştırma snucu elde edilen a, b ; a, b ; a, b parametrelerinden bulunur. Artık v fnksiynu,, v exp d exp d
7 yl şartı ise z exp frmülleri ile belirlenebilir. Re Re durumunda, reel eksen üzerinde, aralığının uyun bir yl lduğu örülmektedir. () Böylece çözüm wz A d exp z lmaktadır. w sağlayacak bir çözüm için =, w A d A kullanılarak A elde edilir ve çözüm önce : exp larak yazılır. w z d z Bu nktada z w z k k z exp = açılımı interale yerleştirilerek k! k k d bulunur. k k d interalinin k, larak çözüme yerleştirilmesi ile wz z k z k! k k k k z 3 z z z...!! 3! k k k! KHG Serisine ulaşılır. parametresinin neatif bir tamsayı lması halinde çözümün bir plinm lacağı örülmektedir.
V. HGDD durumuna uyun bir örnek z z w z w w ile verilen HGDD in Euler dönüşümü ile çözümüdür. HGDD in parametrizasynu ilk bakışta tuhaf bulunsa bile, ileride bunun çözüm estetiği uğruna DD estetiğinden fedakarlık edilmesinden kaynaklandığı örülecektir. Ayrıca DD in değişimi altında değişmediği de özlenmektedir. a z a z a w b z b w c w 8 denklemi ile karşılaştırma snucu elde edilen a, a, a ; b, b ; c parametrelerinden ve tarihsel sebeplerle b b c, a a a tercih edilir. Bu tercih snucu,, v lmaktadır. Bu durumda exp d exp yl şartı ise w z bulunur d ; z z ile belirlenir ve d lur. Bu nktada hesap klaylığı açısından du d değişken dönüşümü yapılırsa yl şartı u u u uz u halini alır ve KHGDD ile aynı biçimde Re Re için, reel eksen üzerinde, aralığı uyun lur. () Böylece çözüm w z A du u u u z lmaktadır.
w sağlayacak bir çözüm için w A du u u u z A kullanılarak Bu nktada uz erekir. yazılır. w z du u u u z ifadesinin binm açılımını biraz dlambaçlı bir biçimde yapmak k k n n! x n x x = n k! k! n k k! uz k k k k k k k u z ifadesi k! 9 sin k k sin sin k k k sin kullanılarak uz larak basitleşir. Bu açılım çözüme yerleştirilince k ve k k u z k! k k k k z k k! bulunur. wz du u u k du u u interalinin k, k k larak çözüme yerleştirilmesi ile wz k k k z k k! k 3 z z z...!! 3!
HG Serisine ulaşılır. veya parametrelerinden herhani birinin neatif tamsayı lması halinde çözümün bir plinm lacağı örülmektedir. KHGDD 'in HGDD 'in, KHG serinin de HG serinin özel birer limiti ldukları DD kitapçığında örülmüştü. Benzer bir limit işleminin interal dönüşüm metdunda da eçerli lması dğaldır. s ifadesinde,, ; z du u u uz z değişken dönüşümünün snucu s,, ; u s du u u lur. Lim us u s u s us Lim exp us kullanılarak s, ; s Lim,, ; du u u exp u s du u u e us elde edilir. EKLER VE NOTLAR (,) Re Re lmayan durumlarda, çğu kapalı lmak üzere değişik yllar kullanılır. Bunların en karmaşığı her iki tekil nktanın etrafında iki kere ve ters yönlerde dlanan Pschhammer yludur.