İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız. R n, P n (R), M nxn uzaylarında bir vektörün uzunluğu ve iki vektör arasındaki açı kavramlarını öğreneceksiniz. İki vektörün ortogonal olmasını, Bir kümenin ortogonal ve ortonormal olmasını, Sonlu boyutlu bir vektör uzayının Gram-Schmidt yöntemi ile daima bir ortonormal tabanının bulunabileceğini öğreneceksiniz. İçindekiler Giriş 7 Vektörlerin Ortogonalliği, Ortonormal Vektör Kümeleri 7 Değerlendirme Soruları 33
Çalışma Önerileri Vektör uzayları ünitesini yeniden gözden geçiriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 7. Giriş R ve R 3 vektör uzaylarında bir vektörün uzunluğu, iki vektör arasındaki açı kavramlarını ve bu kavramların bu uzaylara kazandırdığı kimi önemli özellikleri Analitik Geometri derslerinden biliyorsunuz. Eğer sadece R ve R 3 uzayındaki vektörleri incelemiş olsaydık orada verilen uzunluk ve açı tanımları yeterli olurdu. Fakat daha önce gördüğümüz P n (R) vektör uzayındaki iki polinom arasındaki açıdan veya M mxn vektör uzayındaki bir matrisin uzunluğundan söz edilebilir mi? Daha genel olarak, herhangi bir vektör uzayına bu kavramlar genelleştirilebilir mi? Bu tür sorulara yanıt verebilmek için bir vektör uzayı içinde iç çarpım kavramını tanımlıyacağız... İç Çarpım Uzayları V bir vektör uzayı olsun. x, y V için < x, y > ile gösterilen ve aşağıdaki koşulları sağlayan <, > : V x V R, (x, y) < x, y > fonksiyonuna V üzerinde bir iç çarpım V ye de iç çarpım uzayı denir. Bu iç çarpım uzayı (V, <, >) ile gösterilir. (i) Her x, y V için < x, y > = < y, x > (ii) Her x, y, z V için < x, y + z> = < x, y > + < x, z > (iii) Her x, y V, c R için < cx, y > = c< x, y > = < x, cy > iv) Her x V için < x, x > ; < x, x > = x =.. Örnek R n de iç çarpım: x, y R için x = (x, x,..., x n ), y = (y, y,..., y n ) olsun. x ve y vektörlerinin iç çarpımı < x, y > = x y + x y +... + x n y n biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpımın tüm koşullarını sağladığı kolayca doğrulanabilir. Aşağıdaki teorem ile n = 3 için kanıt verilmektedir. R n ne bu iç çarpımla öklid uzayı adı verilir..3. Teorem R 3 içindeki x = ( x, x, x 3 ), y = ( y, y, y 3 ) vektörleri için < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 bir iç çarpımdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
8 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI Kanıt < x, y > nin bir iç çarpım olduğunu göstermek için iç çarpım tanımındaki i-iv koşullarının sağlandığını göstermeliyiz. (i) < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 = y x + y x + y 3 x 3 = < y, x > (ii) < x, y + z > = < ( x, x, x 3 ), ( y + z, y + z, y 3 + z 3 ) > = x ( y + z ) + x ( y + z ) + x 3 ( y 3 + z 3 ) = x y + x z + x y + x z + x 3 y 3 + x 3 z 3 = x y + x y + x 3 y 3 + x z + x z + x 3 z 3 = < x, y > + < x, z > iii) < cx, y > = < ( cx, cx, cx 3 ), ( y, y, y 3 ) > = cx y + cx y + cx 3 y 3 = c( x y + x y + x 3 y 3 ) = c < x, y > iv) < x, x > = < ( x, x, x 3 ), ( x, x, x 3 ) > = x + x x 3 Böyle bir toplamın sıfır olması her terimin ayrı ayrı sıfır olmasıyla sağlanacağından x = x = x 3 = dır. < x, x > = x = Böylece R 3 de < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 bir iç çarpım olduğu kanıtlanmış olur..4. Örnek R 3 teki x = (, -3, ), y = (, 5, -6) vektörlerinin iç çarpımını hesaplayınız. Çözüm < x, y > = x y + x y + x 3 y 3 =. + (-3).5 + (.(-6) = - 5-6 = -9 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 9.5. Örnek P n (R) de iç çarpım: P n (R), derecesi n veya n den küçük olan polinomların uzayında iç çarpım; p(x), q(x) P n (R) için < p(x), q(x) > = p(x). q(x) dx biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığını kolayca doğrulayabilirsiniz..6. Örnek P (R) de p(x) = 3x + x + 5, q(x) = x + vektörlerinin iç çarpımlarını hesaplayınız. Çözüm < p(x), q(x) > = < 3x + x + 5, x + > = (3x + x + 5). (x + ) dx = (3x 3 + 5x + 7x + 5) dx = 3 4 x4 + 5 3 x3 + 7 x + 5x.7. Örnek M nxn uzayında iç çarpım: A, B M nxn, A = (a ij ) nxn, B = (b ij ) nxn olmak üzere n < A, B > = i = n j = a ij b ij = 3 4 + 5 3 + 7 + 5 = 3 biçiminde tanımlanır. Bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığının gösterilmesini alıştırma olarak bırakıyoruz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI.8. Örnek M x de A = 3 4, B = -3 vektörlerinin iç çarpımlarını hesaplayınız. < A, B > = i = j = a ij b ij = i = a i b i + a i b i buna göre, =. +. + 3. + 4(-3) = -7 bulunur. = a b + a b + a b + a b.9. Tanım A = (a ij ) nxn matrisi verilsin. a a a n A = a a a n a n a n a nn A matrisinin köşegeni üzerindeki sayıların toplamı olan a + a +... + a nn sayısına A matrisinin izi denir iz (A) = a + a +... + a nn = biçiminde gösterilir. n i = M nxn vektör uzayındaki A, B M nxn için iç çarpım a ii < A, B > = iz ( AB t n ) = i n a ij b ij j dir. Çünkü AB t çarpımında köşegen üzerindeki elemanların toplamı iz (A B t n ) = i dir. Buradan, n j = t a ij b ij ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI iz ( AB t n ) = i n j t a ij b ij n = i n a ij b ij j = < A, B > elde edilir..8 Örnekteki A = hesaplayalım. 3 4, B = -3 matrislerinin iz iç çarpımını < A, B > = iz ( AB t ) AB t = 3 4-3 = -5 6-9 iz ( AB t ) = - 9 = -7 = < A, B > bulunur... Tanım V bir iç çarpım uzayı, x V olsun. x vektörünün uzunluğu x = < x, x > biçiminde tanımlanan bir sayıdır... Örnek R 3 deki x = (, 3, 5) vektörünün uzunluğunu hesaplayınız. x = < (, 3, 5), (, 3, 5) > = + 9 + 5 = 35.. Örnek P (R) deki p(x) = x + vektörünün uzunluğunu hesaplayınız. x = < (x + ), (x + ) > = (x + ) dx = (x 4 + x + ) dx = 5 x5 + 3 x3 + x) = 5 + 3 + = 8 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI.3. Teorem Cauchy - Schwarz Eşitsizliği V bir iç çarpım uzayı, x, y V olsun. dir. < x, y > x y Burada sol taraf bir gerçel sayının salt değerini, sağ taraf ise vektörlerin uzunlukları çarpımını verir. Kanıt x = olması durumunda < x, y > = x y = olduğundan eşitsizlik sağlanır. x olsun. Keyfi bir r R, r için < rx + y, rx + y > değerini alalım. < rx + y, rx + y > = < rx, rx + y > + < y, rx + y > tanımdan = < rx, rx > + < rx, y > + < y, rx > + < y, y > = r < x, x > + r < x, y > + r < x, y > + < y, y > = r < x, x > + r < x, y > + < y, y > olur. Burada a = < x, x >, b = < x, y >, c = < y, y > ile gösterirsek p (r) = ar + br + c r ye göre ikinci dereceden polinom elde edilir. Bu polinomun bir parabol denklemi olduğuna dikkat ediniz. p (r) = ar + br + c polinomunun r nin her değeri için ar + br + c olması için aşağıdaki iki koşuldan birinin sağlanması gerekir. (i) ar + br + c = ın gerçel köklerinin olmaması yani olması, b - 4ac < ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 3 y r (ii) ar + br + c = ın iki katlı gerçel kökünün olmasıdır. y r Uyarı: Eğer ar + br + c = ın r ve r gibi farklı iki kökü olsaydı, a > olduğu için r ve r kökleri arasında p(r) < olurdu. O halde b - 4ac olmalıdır. Buradan b - 4ac 4 < x, y > 4 < x, x > < y, y > < x, y > < x, x > < y, y > ve böylece < x, y > x y eşitsizliği elde edilir..4. Örnek P n (R) de p(x) ve q(x) vektörleri için Cauch-Schwarz eşitsizliği < p(x), q(x) > = p(x), q(x) dx p (x) dx q (x) dx = p(x) q(x) dir. Bu eşitsizliği AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
4 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI p(x) = x + ve q(x) = x - x - vektörleri için doğrulayalım: (x + ) (x - x - ) dx x + dx x - x - dx işlemler yapılırsa, x 6-4x 4 - x 3 + 4x + 4x + dx x x + dx 667 87 9 eşitsizliğin doğruluğu sağlanır. x 4 - x 3 - x + x + dx.5. Teorem Üçgen Eşitsizliği V bir iç çarpım uzayı, x, y V olsun. x + y x + y dir. Kanıt x + y = < x + y, x + y > = < x, x + y > + < y, x + y > = < x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y > = < x, x > + < x, y > + < y, y > x + x y + y = ( x + y ) x + y ( x + y ) olur. Her iki tarafın pozitif karekökü alınırsa x + y x + y bulunur. Bu eşitsizlik adını bir üçgenin bir kenarının uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük oluşundan almaktadır. Çünkü düzlemde kenarları x, y, x + y vektörleri olan bir üçgende x + y nin uzunluğu x ve y nin uzunlukları toplamından küçüktür. x + y y x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 5.6. Tanım V bir iç çarpım uzayı olsun. x, y V, x, y olmak üzere bu iki vektör arasındaki açı cos θ = < x, y > x y eşitliği ile tanımlanır. θ π Cauchy - Schwarz eşitsizliğinden < x, y > x y < x, y > x y buradan böylece - < x, y > x y - cos θ olur. Buna göre herhangi bir çarpım uzayında sıfır olmayan iki vektör arasında yukarıdaki biçimde tanımlanan θ açısı anlamlıdır. () eşitliğinden < x, y > = x y cos θ yazabiliriz. Bu eşitlik R ve R 3 deki x ve y vektörlerinin iç çarpımıdır. Böylece cos θ = < x, y > x y şeklinde ifade ettiğimiz açı kavramını herhangi bir iç çarpım uzayına genişletmiş olduk..7. Örnek R 3 deki x = (,, ), y = (,, ) vektörleri arasındaki açıyı bulunuz. Çözüm cos θ = < (,, ), (,, ) > + +. + + = cos θ = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
6 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI buradan θ = π 4 = 45 bulunur..8. Örnek R (R) deki p(x) = + x, q(x) = x vektörleri arasındaki açıyı bulunuz. Çözüm < p(x), q(x) > cos θ = p(x) q(x) cos θ = < + x, x > < + x, + x > < x, x > cos θ = x + x dx + x dx x dx = 5 6 7 3. 3 = 5 6 7 3 cos θ = 5 7 olur..9. Örnek M x vektör uzayındaki A = arasındaki açıyı bulunuz. -, B = - 3 vektörleri Çözüm AB t = - - 3 = - 8-3 i z AB t = - - 3 = - 4 i z AA t = i z i z BB t = i z olarak bulunur. - - 3 cos θ = -4 6 4 = - - - 3 = 6 = 4 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 7. Vektörlerin Ortogonalliği, Ortonormal Vektör Kümeleri (Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemi).. Tanım V iç çarpım ve x, y V olsun. Eğer < x, y > = ise x ve y ye ortogonal (dik) vektörler denir. İki vektör arasındaki açı, cos θ = < x, y > x y ifadesinde cos θ = ise x, y ortogonal vektörler, cos θ = ± yani < x, y > = ± x y ise x ve y vektörleri paralel vektörlerdir... Örnek R de x = (, 3), y = (- 3, ) vektörleri için < x, y > = < (, 3), (- 3, ) > =. (- 3) + 3. = olduğundan vektörler ortogonaldir..3. Tanım V bir iç çarpım uzayı. E V olsun. E içindeki farklı her vektör çifti ortogonal ise E ye ortogonal vektör kümesi denir. Ayrıca ortogonal E kümesindeki her vektörün uzunluğu ise E ye ortonormal bir küme denir..4. Örnek R 3 teki x = (,, 3), x = (,, ), x 3 = (- 3,, ) vektörlerinin ortogonal olduğunu gösteriniz. Ayrıca ortonormal kümeyi bulunuz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
8 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI Çözüm < x, x > = < (,, 3), (,, ) > = < x, x 3 > = < (,, 3), (- 3,, ) > = < x, x 3 > = < (,, ), (- 3,, ) > = O halde x, x, x 3 vektörleri ortogonal vektörlerdir. { (x = (,, 3), x = (,, ), x 3 = (- 3,, ) } kümesi de ortogonal kümedir. x, x, x 3 vektörlerinin birim vektörlerini bulalım. x = < x, x > = <,, 3,,, 3 > = + + 9 = x =,, 3 =,, 3 x ni birim vektörüdür. Benzer şekilde, x =,, =,,, x 3 ' = - 3,, = - 3,, birim vektörlerdir.,, 3,,,, - 3,, kümesi ortonormal bir kümedir.5. Teorem V n boyutlu iç çarpım uzayı olsun. V de sıfırdan farklı ortogonal vektörlerin E = { x, x,..., x n } kümesi lineer bağımsızdır. Kanıt E = { x, x,..., x n } V içinde ortogonal bir küme olsun. < x i, x j > = i j i, j =,,..., n dır. Şimdi c x + c x +... + c n x n = ise, i n için < x i, > olduğundan ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 9 = < x i, c x + c x +... + c n x n > = c < x i, x > + c < x i, x >... + c i < x i, x i > + c n < x i, x n >, = c. + c. +... + c i < x i, x i > +... + c n. = c i < x i, x i > elde edilir. x i olduğu için c i =, i =,,..., n. Buna göre E kümesi lineer bağımsızdır. Sonuç Sonlu boyutlu V iç çarpım uzayında ortonormal bir küme lineer bağımsızdır..6. Tanım V, n boyutlu bir vektör uzayı olsun. V de sıfırdan farklı x, x,..., x n vektörleri ortogonal ise bu vektörlerin kümesi V için bir ortogonal tabandır. Eğer x, x,..., x n vektörleri ortonormal ise bu vektörlerin kümesi V için bir ortonormal tabandır..7. Örnek E = { (,, 5), (-,, ), (,, ) } vektör kümesi R 3 ün ortogonal bir tabanı mıdır? Çözüm Bir vektör uzayı için ortogonal taban olması demek tabandaki vektörlerin ortogonal olması demektir. E = { (,, 5), (-,, ), (,, ) } kümesi R 3 için bir tabandır (R 3 te lineer bağımsız üç vektör). Bu tabanın ortogonal olup olmadığını araştıralım: < (,, 5), (-,, ) > =. (-) +. + 5. = olduğu için E kümesi R 3 ün bir ortogonal tabanı değildir..8. Örnek E = { x, + x } kümesi P (R) nin ortogonal bir tabanı mıdır? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
3 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI E kümesi P (R) için bir tabandır. Ortogonal taban olması için E nin ortogonal bir küme olması gerekir yani < x, + x > = olmalıdır. < x, + x > = x + x dx = x + x dx = x + 3 x3 = 5 6 olduğundan E kümesi P (R) nin ortogonal bir tabanı değildir..9. Teorem V, n boyutlu bir iç çarpım uzayı olsun. V nin bir E = { x, x,..., x n } tabanı ortonormal bir tabana dönüştürülebilir. Kanıt Teoremin kanıtını vermeyeceğiz. Uygulamasını yapacağız. Sonlu boyutlu V vektör uzayının, herhangi bir tabanından yararlanarak bir ortonormal tabanını bulmak için izlenen yönteme Gram - Schmidt ortonormalleştirme yöntemi denir. E = { x, x,..., x n } kümesi V nin herhangi bir tabanı ise E kümesini, Gram - Schmidt ortonormalleştirme yöntemini kullanarak V için ortonormal bir taban bulalım: E = { x, x,..., x n } V nin bir tabanı olmak üzere i) y = x alalım. ii) y n = x n - < x n, y > < y, y > y - < x n, y > < y, y > y < x -... - n, y n - > < y n -, y n - > y n - formülünden sırasıyla y, y 3,..., y n vektörleri bulunur. { y, y,..., y n } kümesi V nin ortogonal bir tabanıdır. iii) y, y,..., y n vektörlerinin birim vektörleri sırasıyla z, z,..., z n ise S = { z, z,..., z n } kümesi V nin bir ortonormal tabanıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 3.. Örnek Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemiyle R 3 için bir ortonormal taban bulunuz. Çözüm R 3 ün herhangi bir tabanını alalım: E = { (,, ), (,, ), (,, 3) } kümesi R 3 için bir tabandır (Kontrol ediniz). y = x = (,, ) alalım. y = x - < x, y > < y, y > y < (,, ), (,, ) > = (,, ) - < (,, ), (,, ) > (,, ) y = (,, ) - 3 (,, ) = (, -, ) 3 y 3 = x 3 - < x 3, y > < y, y > y - < x 3, y > < y, y > y < (,, 3), (,, ) > = (,, 3) - < (,, ), (,, ) > = (,, 3) - 6 3 (,, ) - (, -, ) (,, ) - < (,, 3), (, -, ) > < (, -, ), (, -, ) > (, -, ) = (,, 3) - (,, ) -, -, = -, - +, 3 - - = -,, Böylece, (,, ), (, -, ), -,, kümesi R 3 için ortogonal bir tabandır. Bu tabanın bir ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur. 3 (,, ), (, -, ), 6 -,, vektörleri sırasıyla (,, ), (, -, ), -,, vektörlerinin birim vektörleridir. Dolayısıyla 3, 3, 3,, -,, - 6, 6, 6 kümesi R 3 için bir ortonormal tabandır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
3 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI Siz de Gram-Schmidt ortonormalleştirme yöntemi ile P (R) için bir ortonormal taban bulunuz... Örnek P (R) nin {, + x} tabanını kullanarak P (R) için bir ortonormal taban bulunuz. Çözüm {, + x} kümesi P (R) nin bir tabanı olduğuna göre y = x = alalım. y = x - < x, y > < y, y > y = + x - < + x, > <, > ( + x) dx = + x - dx = + x - 5 = + x - 5 = - + x, - + x kümesi ortogonal bir tabandır. - + x vektörünün birim vektörünü bulalım. - + x = < - + x, - + x > = - + x dx = = - + x = - 3 + 3x, - 3 + 3x kümesi ortonormal bir tabandır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 33 Değerlendirme Soruları. R 4 deki (, 4, 5, -3) vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A. 7 B. 6 C. 5 D. 7 E.. P (R) de tanımlı iç çarpıma göre p(x) = x + 3x vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A. 47 B. 3 C. D. E. 7 4 47 3. M x de tanımlı iç çarpımına göre vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 A. B. C. 3 D. 4 E. 7 4. R 3 deki (, 3, 5) (-, 4, 7) vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdakilerden hangisidir? A. 4 B. C. 35 66 35 66 D. 46 E. 46 66 35 66 46 35 5. P (R) de tanımlı iç çarpıma göre p(x) =, q(x) = + x vektörleri arasındaki açının kosünüsü aşağıdakilerden hangisidir? A. 5 B. 5 3 7 7 C. D. 5 E. 5 7 3 7 37 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
34 İ Ç-ÇARPIM UZAYLARI 6. Aşağıdaki kümelerden hangisi ortogonaldir? A. { (,, ), (, -, ), (,, -) } B. { (,, ), (3, 4, 5), (,, )} C. { (,, -), (, -, ), (,, ) } D. { (,, 3), (,, 3), (,, )} E. { (,, ), (,,), (,, ) (,, ) } 7. P (R) de aşağıdaki kümelerden hangisi ortogonaldir? A. {, 3, + x + x } B. {, x, x, x + n } C. {, D. - x, 3 - x } {, x -, x - x + 6 E. {, x } 8. R 3 nin V = { (x, y, z) x + y + z =, x, y, z R } alt uzayının ortogonal tabanı aşağıdakilerden hangisidir? A. B. { (,, -), (, -, ) }, -,, -,, C. { (,, ), (,, ) } D. { (,, ), (,, ) } E., 3, 4, (,, ) 9. R için aşağıdakilerden hangisi bir ortonormal tabandır? A. { (, ), (, ) } B. { (, ), (, ) } C. { (, ), (, ) } D. { (, ), (, 3) } E. { (-4, 5), (, ), (-, ) } Değerlendirme Sorularının Yanıtları. C. A 3. C 4. E 5. A 6. A 7. D 8. B 9. B ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ