ISL223 İSTATİSTİK I DERS NOTLARI

T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI ISL3 İSTATİSTİK I DERS NOTLARI HAZIRLAYAN PROF. DR. ALİ SAİT ALBAYRAK RİZE 015 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 GENEL BİLGİ Dersn Kodu ve Adı ISL3 İstatst I Dönem ve Kreds Güz (3+0+3) Dersn Amacı İstatstğe grş ntelğ taşıyan derste, temel statst ölçüler (tanımsal statst) ve çeştl statst tenlern temeln oluşturan olasılı ve olasılıdağılımları uygulamalı br yalaşımla tanıtılması amaçlanmatadır. Dersn Kapsamı Temel avramlar, tanımsal statst ölçüler (ortalamalar, değşenl, eğl ve basılı ölçüler), olasılığın temel avramları ve olasılıuralları, esl ve sürel olasılıdağılımları. Kayna Ktap Yama, Rahm ve Mustafa Köseoğlu (006); Uygulamalı İstatst ve Eonometr, Çelepler Matbaacılı, Trabzon. Yardımcı Ktaplar Orhunblge, Neyran (000). Tanımsal İstatst Olasılı ve Olasılı Dağılımları,Avcıol Basım Yayın, İstanbul. Yüzer, Al Fuat, Enbya Ağaoğlu, Hüseyn Tatlıdl, Ahmet Özmen, Emel Şılar (006). İstatst, (Edtör: Al Fuat Yüzer), Anadolu Ünverstes Yayınları,Esşehr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

HAFTALIK DERS PLANI Dersn Kodu ve Kreds (T+U+K) Dersn Adı Ders Sorumlusu ISL3 (3+0+3) İstatst I Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK Hafta İşlenece Konular 1 İstatstğeGrş: İstatstğn Tanımı Önem ve Amacı, Temel İstatst Kavramlar ve Tanımlar, İstatst ve Blgsayar, Ölçe Türler, Blmsel Araştırmanın Aşamaları, Verlern Toplanması ve Düzenlenmes (İstatst Serler, Tablolar ve Grafler). 3 7 Tanımsal İstatst: Merez Eğlm Ölçüler/Ortalamalar; Sernn Tüm Brm Değerlerne Dayanan/Duyarlı Ortalamalar (Artmet Ortalama, Tartılı/Ağırlılı Artmet Ortalama, Geometr Ortalama, Harmon Ortalama, Karel Ortalama); Sernn Tüm Brm Değerlerne Dayanmayan/Duyarsız Ortalamalar (Tepe Değer/Mod, Ortanca/Medyan, Bölenler: Kartller, Desller, Persantller); Uygun Ortalama Tpnn Seçm; Değşenl/Dağılma Ölçüler (Değşm Aralığı/Range, Kartllerarası Değşm Aralıları, Ortalama Mutla Sapma, Robust Ortalama Mutla Sapma, Varyans ve Standart Sapma, Değşm Katsayısı, Bölenlerarası Değşm Katsayıları); Eğl Ölçüler (Ortalamaya Dayanan Pearson Eğl Ölçüler, Kartllere Dayanan Bowley Eğl Ölçüler; Momentlere Dayanan Eğl Ölçüler); Basılı Kurtoss Ölçüler. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 Hafta İşlenece Konular 8 11 Olasılığın Temel Kavramları ve Olasılı Kuralları: Olasılığın Tanımı, Özelller ve İstatstte Yer; Bazı Temel Kavramlar ve Tanımlar; Olasılığın Temel Özelller; Olasılı Kuralları (Toplama Kuralı ve Ayrı Brbrn Engelleyen Olaylar le Toplama Kuralı ve Br Arada Meydana Geleblen Kesşen Olaylar); BağımsızOlaylarveÇarpımKuralı le Bağımlı Olaylar ve Çarpım Kuralı); Koşullu Olasılı; Orta ve Marjnal Olasılılar; Bayes Teorem; Permütasyon ve Kombnasyon; Rassal Değşen Kavramı; Olasılı Fonsyonu; Olasılı Yoğunlu Fonsyonu; Rassal DeğşennBelenenDeğer ve Varyansı; Standart Rassal Değşen 1 14 Olasılı Dağılımları: Kesl Süresz Olasılı Dağılımlar (Bnom Dağılımı, Hpergeometr Dağılım, Posson Dağılımı, Kesl Ünform Dağılımı, Mültnomal Dağılım); Kessz Sürel Olasılı Dağılımları (Normal Dağılım, t dağılımı, ÜstelDağılım, Sürel Ünform Dağılımı). E Posta : alsat.albayra@erdogan.edu.tr Ağ Adres : http://asalbayra.wordpress.com/ Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz.

1. HAFTA İstatstğn Tanımı, Önem ve Amacı Temel İstatst Kavramlar ve Tanımlar İstatst ve Blgsayar Ölçe Türler İstatst Araştırma Sürecnn Aşamaları Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 İstatstğn Tanımı,Amacı, Önem ve Temel Kavramlar 1. Günlü Dlde: Belrl br rtere göre toplanmış sayılar topluluğudur (ver anlamında).. Metodoloj Açıdan: Belrl amaçlar çn ver toplama, toplanan verler düzenleme, çözümleme ve yorumlama amacıyla gelştrlen ten ve yöntemler blmdr. Kısaca statst, verlerden blg üretme yolu olara da tanımlanablr. 3. Term Olara: Üçüncü olara statst, örnelem brm değerlernden hesaplanan sayısal değerler anlamında ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 3

İstatstğn Amacı Tanımsal Amacı: İlgl değşen baımından br olaya lşn verler toplama, toplanan verler düzenleme, çözümleme, serler, tablolar ve grafler yardımıyla sunmatır. Analt Amacı: Olasılı uramına dayanan yöntemlerle, anaütleden çelen örneten elde edlen blgler ullanara anaütle parametrelern tahmn etme veya anaütle parametreler le lgl ddaların doğru olup olmadılarını araştırmatır. Dğer br anlatımla, gözlenmş durumlardan gözlenmemş durumlar haında blg üretmetr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 Temel İstatst Tanımlar ve Kavramlar Ölçme:Sayıları elde etme sürecne ölçme adı verlr. Ver: Gözlem sonucunda elde edlen sayılardır. Ham Ver: Herhang br şlem görmemş verye ham ver adı verlmetedr. Brm:Anaütleyoluşturan ve sayısal olara nceleneblen varlılara brm adı verlr. Değşen, Ntel ve Ncel Değşenler. Ntel ve ncel değşenlern özelller. Ölçülemeyen ve sayılamayan ntel değşenlern sınıfları tamdır (geçşl değldr), bu değşenler genellle bnom, Hpergeometr, Posson veya Mültnomal gb esl olasılıdağılımlarından brsne uyarlar. Kesl (süresz) ve essz (sürel) değşenler. Ölçüleblen ve sayılablen ncel değşenler de sınıflar süreldr (geçşldr) ve bu değşenler genellle normal dağılımgbsürelolasılı dağılımlarından brsne uyarlar. Anaütle: Belrl br tanıma uyan ve haında blglern üretleceğ, çıarsamaların yapılacağı aynı cns brmlerden, dğer br anlatımla nesnelerden, olaylardan, urumlardan ve breylerden oluşan toplulutur. Dğer br anlatımla yığın olay ntelğnde aynı cns brmlern oluşturduğu topluluğaanaütleadıverlmetedr. Örnelem ve Kısm Sayım Örneleme: Uygun olan örneleme yöntemleryle anaütleden belrl sayıda brmn seçlmes sürec olara tanımlanmatadır. Parametre ve İstatst: Anaütlenn özelllern belrleyen sayısal araterstlere parametre, örneğn özelllern belrleyen sayısal araterstlere se statst adı verlmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 4

Ölçe Türlerne Göre Değşenler Metr Ölçel Olmayan Değşenler Nomnal (Sınıflayıcı) ölçel değşen Ordnal (Sıralayıcı) ölçel değşen Metr Ölçel Değşenler Aralı (Interval) ölçel değşen Oran (Rato) ölçe değşen Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 İstatst Araştırma Sürecnn Aşamaları (1) Araştırma problemnn tanımlanması: Braraştırma problem apsamında yer alan brmlern oluşturduğu toplulu olan anaütley şu ölçütlere göre tanımlama/sınırlandırma mümündür. (1) zaman ve meana, () örneleme brm ve/veya gözlem brm, (3) örneğe grece brm sayısı (örnelem hacm), (4) özell/değşen sayısı. () Verlern Toplanması: Ver toplama yöntemler (tamsayım ve örneleme); ver toplama araçları (gözlem, deney ve anet). (3) Verlern Düzenlenmes: Serler, grafler ve tablolar. (4) Verlere Uygun İstatst Tenlern Uygulanması (5) SonuçlarınYorumuveKararınAlınması Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 10 yayınlanamaz ve depolanamaz. 5

. HAFTA Verlern Düzenlenmes İstatst Serler Tablolar Grafler İstatstte Hata Kavramı. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 11 Verlern Düzenlenmes Brmlern sayım, ölçüm, sıralama ve sınıflamayla saptanan ntel ve ncel özelller ve bu özelllern şılarına göre dağılımını gösterme amacıyla yapılan düzenlemelere statstte serler adı verlmetedr. İstatst serlern bu özelllern türlerne göre üç grup altında toplama mümündür: (1) Zaman Serler () Kest (Mean, Konum) Serler (3) Dağılma Serler a) Ntel Serler b) Ncel Serler: Bast, Freans ve Sınıflandırılmış. c) Bleş Serler: Bast, Freans ve Sınıflandırılmış. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 yayınlanamaz ve depolanamaz. 6

Zaman Serler Değşenlern brmlernn daa, saat, gün, hafta, ay, mevsm ve yıl gbeşt zaman aralığına göre dağılımını gösteren serlerdr. Eonomde MG, hracat, thalat, toptan ve peraende fyatlarında değşmelerne at blgler öncelle zaman serler şelnde düzenlenr. Bunun neden bu blglern zaman bağılı olmaları ve zaman brm belrtlmedçe br anlam taşımamalarıdır. Örneğn Türye nn nüfusu 56.473.035 denldğnde yıl belrtlmemmşse bu raam br anlam taşımazen 1990 yılı Türye nüfusudenldğnde anlam azanmatadır. İ sütundan oluşan zaman serlernde l sütun zaman brm, nc sütun da değşene at değer göstermetedr. Örne: SayımYıllarına Göre Türye Nüfusu Sayım Yılları 1970 1975 1980 1985 1990 1995 000 Nüfus 35 605 176 40 347 719 44 736 957 50 664 458 56 473 035 61 879 670 67 803 97 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 13 Mean ( Kest, Konum) Serler Brmlern veya özelllernn ıta, üle, bölge, l, lçe, öy ve mahalle gb yerleşm brmlerne göre dağılımını gösteren serlere est veya mean serler adı verlmetedr. Örne: 1990 Yılı Türye Nüfusunun Coğraf Bölgelere Göre Dağılımı Coğraf Bölge Nüfus Marmara 13.95.609 Ege 7.595.1 İç Anadolu 9.94.794 Adenz 7.06.489 Karadenz 8.107.53 Doğu Anadolu 5.853.100 Güneydoğu Anadolu 4.65.569 Toplam 56.473.035 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 14 yayınlanamaz ve depolanamaz. 7

Ntel Serler Sayılarla fade edlemeyen (sözel) özelllern gösterldğ serlerdr. Bu serler de sütundan oluşmatadır. İl sütun lgl ntel özellğn şılarını, nc sütun se bu şılara at brmlern sayısını göstermetedr. Örne: Türye nüfusunun cnsyet, meden durum, ouryazarlı durumu, dn, coğraf bölge vs. göre dağılımları. Örne: 1990 Yılında Türye Nüfusunun Cnsyete Göre Dağılımı Cnsyet Nüfus Ere Kadın 8 607 047 7 865 958 Toplam 56 473 035 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 15 Ncel Serler Sayım ve ölçümler sonucunda elde edlen adet, uzunlu, alan, hacm, ağırlı, para brm, sıcalı gb çeştl ölçü brmleryle (adet, cm, cm,dm 3,g,TL,c 0 ) fade edleblen özelller çn ncel serler düzenlenmetedr. Ncel serler üç farlı şelde düzenlenmetedr. Bast Serler Freans Serler Sınıflandırılmış Serler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 16 yayınlanamaz ve depolanamaz. 8

Bast Serler Sernn brm değerlernn büyülü sırasına göre (üçüten büyüğe veya büyüten üçüğe) sıralanmasıyla elde edlen ve değşenn dağılımını gösteren serlerdr. Örne: Aşağıda br sınıfta 0 öğrencnn statst dersnden aldıları notları bast ser olara düzenleynz. (5, 30, 65, 3, 30, 45, 60, 65, 30, 45, 60, 3, 80, 80, 45, 50, 55, 50, 55, 5). Çözüm: X =(5, 5, 30, 30, 30, 3, 3, 45, 45, 45, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 65, 65, 80, 80). Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 17 Freans Serler Genellle esl ve şı sayısı fazla olmayan değşenlern düzenlenmesnde ullanılan ser tpdr. Bu serler sütundan oluşmatadır. Brnc sütun fazla olmayan şısayısını, nc sütun se şıların freanslarını göstermetedr. Örne: Br önce örnete verlen bast sery freans sers olara düzenleynz: Not Freans (f ) 5 30 3 45 50 55 60 65 80 3 3 Toplam 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 18 yayınlanamaz ve depolanamaz. 9

Sınıflandırılmış Serler Değşenlern gözlenen brmler sınıflandırılara elde edlen serlere sınıflandırılmış serler adı verlmetedr. Sürel ve ço şılı esl değşenlern dağılımını göstereblen bu serler de sütundan oluşmatadır: Sınıflar ve freanslar. Örne: 0 Öğrencnn Not Gruplarına Göre Dağılımı Not Sınıfı Öğrenc Sayısı (f ) 00 5 5 50 50 75 75 100 0 10 8 Toplam 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 19 Sınıflandırılmış Freans Serleryle İlgl Üzernde Durulması Gereen Hususlar: Sınıflandırılmış serlerde sınıf aralılarının eşt olmasına genellle özen gösterlmetedr. Faat bazı durumlarda eşt olamayan sınıf aralıları da oluşturma gereeblr. Örneğn not dağılımı sers, onar veya yrmşer not aralılı sınıflarla düzenlenebleceğ gb, geçmez, orta, y ve pey alan öğrencler gösterece şelde de düzenleneblr. Sınıfsayısının 15 den fazla olmamasına özen gösterlr. Sernn en büyü değernden en üçü değer çıartılara (R=X enb X mn ) elde edlen değer (değşm aralığı) stenen sınıf sayısına () bölünere sınıfaralığı (c) belrlenr. Sturges Kuralı: =1+3,3 LG10(n). Örne: n=100 se; Sturges uralına göre sınıf sayısı ()=1+3,3*=7,6 = 8 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 0 yayınlanamaz ve depolanamaz. 10

Örne: Br şletmede çalışanların yaşları aşağıda bast br ser şelnde verlmetedr. Sınıf sayısı beş olaca şelde sınıflandırılmış freans sersn oluşturunuz. Yaş={16 19 3 4 6 9 31 3 3 33 34 35 36 37 37 39 39 40 4 44 44 47 50 55}. Çözüm: R=X enb X en =55 16=39 c=r/=39/5=8 Sınıflar 16 3 4 31 3 39 40 47 48 55 f 3 4 10 5 Toplam 4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 Sınıflandırılmış Freans Serleryle İlgl Üzernde Durulması Gereen Hususlar: Sınıflar esnlle brbrnden ayrılması geremetedr. Brmlern hang sınıfta yer alacağı olayca görüleblmeldr. Dğer br anlatımla br sınıfın, sınıf üstdeğer br sonra sınıfınsınıfaltsınıf değeryle aynı olmamalıdır. Sürel değşenler blndğ gb esrl ve tamsayı her türlü değer alablmetedr. Bu nedenle aşağıda sınıflandırılmış serde sınıf sınırlarını belrleme zor olablr. Sınıflar 10 19 0 9 30 39 40 49 f 3 5 4 Toplam 14 19,5=!..? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları yayınlanamaz ve depolanamaz. 11

Bu nedenle sürel değşenlern sınıf aralıları aşağıda gb belrlenmes geremetedr. Sınıflandırılmış br serde br sınıfın sınıf üstdeğer br sonra sınıfın sınıf alt değer se, o değşen sürel br değşen olara yorumlanır. Sınıflar f Sınıflar f 10 0 den az 3 10 0 3 0 30 den az 5 0 30 5 30 40 den az 30 40 Toplam 10 Toplam 10 Kesl değşenlerde se sürel değşenlerde yaşanan zorlularla arşılaşılmaz. Sınıflar 10 0 f 3 1 30 5 31 40 Toplam 10 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 Sürel (essz) ve esl (süresz) değşenlern sınıf aralıları aşağıda gb hesaplanablr: Sürel Değşenler Kesl Değşenler Sınıflar Sınıf Aralığı Sınıflar Sınıf Aralığı 30 40 den az 40 30=10 3 5 6 3=3 40 50 den az 50 40=10 6 8 9 6=3 50 60 den az 60 50=10 9 11 1 9=3 60 70 den az 70 60=10 1 14 15 1=3 Toplam... Toplam... Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

Sınıflandırılmış Serlerde SınıfOrtaDeğernn Hesaplanması Sürel Değşenler Kesl Değşenler Sınıflar SOD Sınıflar SOD 30 40 (40+30)/=35 3 5 (3+5)/=4 40 50 (50+40)/=45 6 8 (6+8)/=7 50 60 (60+50)/=55 9 11 (9+11)/=10 60 70 (70+60)/=65 1 14 (1+14)/=13 Toplam... Toplam... Sürel değşenlern SOD, br sınıfınaltsınıfdeğerle br sonra sınıfınaltsınıfdeğer toplamınınyarısına eşttr. Süresz değşenlern SOD, br sınıfın altsınıf değer le o sınıfın üstsınıf değer toplamınınyarısına eşttr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 Sınıflandırılmış freans serler brml ve oransal (nsp, görecel ) freans serler olma üzere farlı şelde düzenleneblr. Sınıflar f Oransal f Azalan Brml Oransal Freanslar 0 4 4 8 8 1 1 16 16 0 Sınıflar f den ço (SAD) den az (SÜD) 0 4 4 8 8 1 1 16 16 0 3 4 7 4 3 4 7 4 Toplam 0 0,15 0,0 0,35 0,0 0,10 1,00 (0/0) 0,85 (17/0) 0,65 (13/0) 0,30 (6/0) 0,10 (/0) Artan Brml Oransal Freanslar 0,15 (3/0) 0,35 (7/0) 0,70 (14/0) 0,90 (18/0) 1,00 (0/0) Toplam 0 1,00 0 17 13 6 3 7 14 18 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 13

Bleş Serler Tanım: Brmlern veya daha ço sayıda değşene göre dağılımını gösteren serlere bleş sers adı verlmetedr. Bleş serlere öğrenclern boy uzunluğu leağırlılarına göre dağılımını veya matemat, statst ve muhasebe derslernden almış olduları notlara göre dağılımını gösteren serler örne olara verleblr. Bleş serler bast, freans ve bleş ser olma üzere üç farlı şelnde düzenleneblr. Bast bleş sers düzenlenren l sernn bast ser şelnde düzenlenmesne dat edlr. Aşağıda sınıflandırılmış brbleş sers örneğ yer almatadır. Matemat İstatst Notu Notu 00 0 0 40 40 60 60 80 80 100 Toplam 00 0 3 10 4 1 38 0 40 5 6 3 14 40 60 4 7 6 37 60 80 30 5 4 41 80 100 5 8 7 0 Toplam 8 69 0 11 150 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 Tablolar Brmlern brden fazla ntel ve ncel özelllernn şılarına göre dağılımını gösteren satırve sütunlardan oluşan düzenlemelere statstte tablo adı verlmetedr. Tablolar br anlamda genşletlmş serlerdr. Tablolar aşağıda özelller taşıması geremetedr. Tablonun üstünde genel br başlıolmalıdır. Satır ve sütun başlıları olmalıdır. Ölçü brm ve yapılan ısaltmalar tablo altında belrtlmeldr. A4 ağıdı dey olara yönlendrlmşse, şı sayısı az olan özell sütunlarda ço olan se satırlarda gösterlmeldr. Özelllern şıları ntel değşenlerde mantı, ncel değşenlerde üçüten büyüğe doğru sıralama yoluyla verlmeldr. Satır ve sütun genel toplamlarının gösterlmes zorunludur. Geretğnde ara toplamlara da yer verlr. Tablo değerler belrl br yayından alınmışsa tablonun sonunda Kayna: bares yazılara urum adı,yayın adı,yayın yer, tarh ve sayfa numarası belrtlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 14

Tablo 1: 1990 Yılında Türye de Ouryazarlı ve Oul Btrme Durumunun Cnsyete Göre Dağılımı Cnsyet Ouryazarlı Ouryazar olmayan Ouryazar olan Oul btren Oul btrmeyen Blnmeyen Blnmeyen Ere 779 17 066 860 18 009 467 4 047 076 10 317 10 496 Kadın 6 808 809 17 488 63 13 710 848 3 770 460 7 315 9 150 Toplam 9 587 981 39 555 483 31 70 315 7 817 536 17 63 19 646 Toplam 4 856 58 4 306 58 49 163 110 Kayna: TÜİK, 1990 Türye Genel Nüfus Sayımı Sonuçları, TÜİK, Anara, s. 67. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 Verlern Graflerle Gösterlmes Ham verler brmlern özelllerne uygun serler ve tablolarla düzenlendten sonra verlern şellerle gösterlmes aşaması olan graflern çzm aşamasına gelnmetedr. Toplanan verlern geometr şellerle göstermne graf adı verlmetedr. Grafler tablolardan daha fazla blg vermezler faat göze htap ettler çn anlaşılmaları daha olaydır. Ayrıca brden ço olayın arşılaştırılması ve aralarında lşlern gösterlmesnde yardımcı olurlar. Br grafte sadel ve verlern özelllernn yansıtılması esastır. Bunun çn verlern yapısına uygun br graf türünün seçm önem taşımatadır. Graf çzmnden amaç brmlern lgl özelllern şılara göre dağılımı gösteren serlerde açı olara görülmeyen ayrıntıların belrgnleştrlmesdr. Örneğn br zaman sers, değşenn yıllara göre artış eğlmnde olduğunu gösterr anca graf çzldğnde hem bu eğlm hem de bu eğlm artış hızı daha açıça görüleblmetedr. Ser tpne göre grafler beş grup altında toplanablr: Zaman, mean, ntel, ncel le bleş serlern graflerdr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 30 yayınlanamaz ve depolanamaz. 15

Zaman Serlernn Grafler Zaman serlernn gösterlmesnde sılıla ullanılan graf Artmet veya Logartm Kartezyen Grafler dr. X esennde zaman fatörü, Y esennde se brmlern çeştl özelller yan değşenler yer almatadır. En büyü değerle en üçü değer arasında far aynı esen üzernde gösterlemedğnde Y esen üzernde değşenn değerler logartm olara fade edlr. Zaman brmn gösteren esen artmet alacağı çn çzlece graf yarı logartm olur. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 31 Graf 1: Sayım Yıllarına Göre Türye Nüfusu Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 yayınlanamaz ve depolanamaz. 16

Yıllar 1990 1991 199 1993 1994 1995 1996 1997 1998 GSMH (Mlyon TL) LG10 (GSMH) Örneğn car fyatlarla GSMH artmet 397 178 634 393 1 103 605 1 997 33 3 887 903 7 854 887 14 978 067 9 393 6 53 01 781 5,5788 5,804 6,048 6,3004 6,5897 6,8951 7,1755 7,468 7,744 ölçel grafle gösterlmes mümün değldr. 1990 98 değerler arasında büyü farlılı Y esennde ölçeğn logartm olmasını geretrmetedr. 8 LOG(GSMH) 7 6 5 1990 1991 199 1993 1994 1995 1996 1997 1998 YIL Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 33 Ntel ve Mean (Kest) Serlern Grafler Ntel serlern grafler bölünmüş dare, bölünmüş dareler veya sütun grafler le gösterlr. Bu graflerde dare veya sütunların alanı toplama; büyülüler le orantılı olara belrlenen dare ve sütun bölümler se, ntel özellğ şılarına ayırmatadır. Grafğ çzlmes gereen te ser varsa bölünmüş dare, ser sayısı az se (en fazla 3) bölünmüş dareler, daha fazla se bölünmüş sütunlar ullanılmatadır. Bunun neden ço sayıda darenn br araya getrlmesnn sütunların getrlmesnden daha zor olmasıdır. Bölünmüş dare graflernde brm veya değer toplamını gösteren darenn alanını çzeblme çn gerel olan yarıçap(r),alan(s)formülüs= r den hareetle r=(s/ ) 1/ hesaplanır. Dare çzldten sonra 360 0 her ısma, toplam çnde freans ağırlılarıyla orantılı olara dağıtılmatadır. Son olara farlı taramalarla lgl şılar belrgnleştrlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 34 yayınlanamaz ve depolanamaz. 17

Brden fazla dare çzlmes geretğnde, toplamlar arasında büyülü farlarının darelern alanlarına yansıtılmasına özen gösterlr. Bölge Nüfus Bölgesel Açı Marmara İç Anadolu Karadenz Ege Adenz D.Anadolu GD.Anadolu 13 95 609 9 94 794 8 107 53 7 595 1 7 06 489 5 853 100 4 65 569 360 0 (0,354)=84,76 0 360 0 (0,1761)=63,38 0 360 0 (0,1436)=51,68 0 360 0 (0,1345)=48,4 0 360 0 (0,144)=44,79 0 360 0 (0,1036)=37,31 0 360 0 (0,084)=9,66 0 Toplam 56 473 035 360 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 35 Graf 1: 1990 Türye Nüfusunun Coğraf Bölgelere Göre Dağılımı Nüfus Ege 14% Karadenz 14% Adenz 1% İç Anadolu 18% D. Anadolu 10% GD. Anadolu 8% Marmara 4% Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 36 yayınlanamaz ve depolanamaz. 18

Graf : Sayım Yıllarına ve Meden Duruma Göre Türye Nüfusu Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 37 Ncel Serlern Grafler Bast Serler: Bu serler çn özel gelştrlmş graf türü yo. Freans Serler: Kartezyen graflerle gösterlr. Yatay esende ncel özelllern şılarına, dey esende se bu brmlern sayısını gösteren freanslara yer verlmetedr. Sınıflandırılmış Serler: Bu serlern grafler anca artezyen graflerle anca sütunlar ullanılara gösterleblr. Hstogram adı verlen bu graflerde sütunların alanı (yüselğ değl) freansları göstermetedr. Sınıf aralıları eşt olan sınıflandırılmış serlerde sütun alanı le yüselğ (freansı) aynı anlamı taşımatadır. Sınıf aralıları eşt olamayan sınıflandırılmış serlern hstogramı çzlren normal freanslar yerne düzeltlmş freanslar ullanılır. Düzeltlmş freanslar (f ), normal sınıf freansları (f) lgl sınıf aralığına (c) bölünere hesaplanır. Freans polgonu ve freans eğrs. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 38 yayınlanamaz ve depolanamaz. 19

Graf 3: Türye de Çocu Sayısına Göre Kadın Nüfus Dağılımı Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 39 Örne: Aşağıda Verlen Sınıflandırılmış Freans Sersnn Hstogramını Çznz. Sınıflar f X =SOD 0 4 4 8 8 1 1 16 16 0 3 4 7 4 6 10 14 18 Toplam 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 40 yayınlanamaz ve depolanamaz. 0

Hstogram ve Freans Polgonu Örneğ (Gerçe Freanslar) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 41 Bast Br Bleş Sernn Grafğ: Serplme Dyagramı Öğrenc Notlar Devam (%) A B C D E F G H J K 15 18 7 34 4 48 56 65 7 83 30 35 40 50 55 60 70 80 85 90 İstatst N otu 80 70 60 50 40 30 0 10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 Devam Oranı R-Square = 0.99 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

Serlern Eğllerne Göre Graflerde Şeller f Sağa Eğ Smetr Sola Eğ 0 x Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 43 Serlern Yüsellerne Göre Graflerde Şeller f Svr Normal Bası 0 X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 44 yayınlanamaz ve depolanamaz.

Dğer Bazı Freans Eğrler f U Eğrs J Eğrs Ters J Eğrs 0 x Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 45 İstatst Tenlern Uygulanması Uygun statst tenğn seçm Verlern türler (ntel, ncel) ve ölçeler (nomnal, ordnal, aralı ve oran)date alınara en uygun statst ten seçlr. Parametr ve parametr olmayan statst yöntem ve tenler. Örne veya anaütlenn tanımlanması:tanımsal statst. Örne verlernden hareetle anaütle parametreler haında ddalarınsınanması: Hpotez testler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 46 yayınlanamaz ve depolanamaz. 3

Değşenler arası lş yapısının ncelenmes: Regresyon ve orelasyon analz. Tahmn ve öngörü: Zaman serler analz ve tahmn tenler. Olasılı teorsne dayanan arar verme tenler Sınıflandırma ve ümeleme: Regresyon, dsrmnant, ümeleme, lojst regresyon ve ço boyutlu ölçeleme tenler. Değşenler arasında ç lşlern ncelenmes, sınanması ve boyut ndrgeme: Açılayıcı fatör analz ve anıtlayıcı fatör analz ve ço boyutlu ölçeleme analz. Üretm süreçlernn denetlenmes: İstatst proses ontrol tenler gb ço genş br yelpazeden uygun olan br yöntem veya ten seçlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 47 SonuçlarınYorumuveProblemeİlşn KararınAlınması Elde edlen bulgular değerlendrlere araların alınması, planlamanın yapılması veya poltaların belrlenmes. Sonuçlar ya blmsel br maale olara veya arar verme düzeynde olan yönetclere rapor edlr. Maale veya raporlarda: (1) Mevcut durum tanımsal statst ölçülerle tanımlanır. () Değşme oranları belrlenr. (3) Geleceğe yönel öngörü yapılablr. (4) Polta gelştrmede öneml olan değşenler saptanır. (5) Böylece blmsel araştırmalarla her alanda gelşmeler sağlanmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 48 yayınlanamaz ve depolanamaz. 4

İstatstte Hata Kavramı Uygun statst tenlern ullanılmaması, ölçüm araçlarının bozuluğu, nsanların yorgunlu, datszl ve çeştl nedenlerle yanlı davranması sonucu çeştl hatalar ortaya çımatadır (Orhunblge, 000). Bu hatalar şunlardır: Bast hatalar (brbrnn etsn ortadan aldıran hatalar); sstemat hatalar (brbrnn etsn ortadan aldırmayan hatalar); rassal hatalar (örneleme yöntemyle yapılan araştırmalarda arşılaşılır); tahmn hataları (fl değer tahmn değer= enüçü olmalıdır). Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 49 Bast Hatalar: cnsyetn ve bazı raamların (73yern 37 gb) yanlış odlanması. Rassal Hatalar: Üç brmden oluşan br anaütley ele alalım: 10, 0 ve 30. Anaütle ortalamasını tahmn etme çn anaütleden brmden oluşan br örnelemn çeldğn düşünelm. Bu durumda olası çem ve tahmnler aşağıda gb olur. 1. Örne: (10+0)/ =15 Hata=15 0= 5. Örne: (10+30)/ =0 Hata=0 0=0 3. Örne: (0+30)/ =5 Hata=5 0=+5 Rassal (örneleme) hatalarının belenen değer her zaman sıfırdır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 50 yayınlanamaz ve depolanamaz. 5

Sstemat Hatalar: Kıdem, eğtm düzey, yaş ve ücret utanma nedenyle olduğundan yüse veya düşü bldrlmes. Soruların açı olmaması. Bu hatalar hep poztf veya negatf yönde etl olurlar. Sstemat hatalar çeren tahmnlere statstte yanlı tahmnler adı verlmetedr. Sstemat hatalar; (1) brmlern belrlenmes aşamasında (blere veya blmeyere anaütlede bazı brmlern apsam dışında tutulması); () soruların düzenlenmes aşamasında; (3) değerlern saptanması ve hesaplanması aşamasında (ölçümde ullanılan araçların bozuolması vs.) ve (4) statst tenlern ullanılması aşamasında ortaya çımatadırlar. Tahmn hataları statst yöntem ve tenlerle elde edlen değerlerle fl değerler arasında farlardır. En uygun ten seçlere bu hatalar en aza ndrgenr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 51 3. HAFTA Tanımsal İstatst Ölçüler Merez Eğlm Ölçüler: Duyarlı (Parametr) Ortalamalar Artmet Ortalama Artmet Ortalama ve Özelller Tartılı (Ağırlılı) Artmet Ortalama Tartılı Artmet Ortalamanın Kullanıldığı Durumlar Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 yayınlanamaz ve depolanamaz. 6

TANIMSAL İSTATİSTİK ÖLÇÜLERİ (1) Merez Eğlm Ölçüler (Ortalamalar) () Değşenl (Dağılma) Ölçüler (3) Eğl ve Basılı Ölçüler (4) Oranlar Bu bölümde ayrıntılı olara ele alınaca olan bu ölçüler sayesnde, serler, tp br değerle (ortalama) tanımlandığı gb serde brmlern dğer brmlerden ne adar farlı olduğu (değşenl), brmlern hang değerlerde toplandığı (eğl) ve toplanmanınyoğunluğu (basılı) saptanablmetedr. Elde edlen bu dört ölçü ve oranlarla brmlern çeştl özelllerne at ço sayıda ver özetlenebldğ gb serler arşılaştırılablmete ve ler statst tenlern uygulanması çn ön hazırlıyapılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 53 Merez Eğlm Ölçüler (Ortalamalar) 1. Duyarlı (Serde Tüm Brmlern Değerlerne Dayanan) Ortalamalar. Artmet ortalama Tartılı Artmet Ortalama Geometr Ortalama Harmon Ortalama Karel Ortalama. Duyarlı Olmayan (Serde Tüm Brmlern Değerlerne Dayanmayan) Ortalamalar. Mod (Tepe Değer) Medyan (Ortanca) Bölenler (Medyan, Kartller, Desller ve Persantller) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 54 yayınlanamaz ve depolanamaz. 7

Artmet Ortalama ve Özelller X n 1 n 1 1 X n 1) ( X X) 0 1 n ) ( X X) mnmum 1 3)Sapan brmlern ets: Özellle te yönlü sapan brmlerden olumsuz br şelde etlenr. 4) nx X n 1 X f X f Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 55 Artmet Ortalamanın Özelller (Devam) 5) Artmet ortalama dağılımı normal olan değşenler çn uygun br merez eğlm ölçüsüdür. 6) Serde tüm brmlern değerlerne dayanara hesaplanmatadır. Bu nedenle duyarlı br ortalamadır. 7) Br X sersnn tüm brmlerne a gb sabt br sayı elenere veya çıartılara elde edlen yen Y sersnn artmet ortalaması, l sernn artmet ortalamasına aynı sayınınelenmesveyaçıartılmasıyla elde edlr. Y X a Y X a veya Y X a Y X a Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 56 yayınlanamaz ve depolanamaz. 8

Artmet Ortalamanın Özelller (Devam) 8) Br X sersnn tüm brmlerne a gb sabt br sayı le çarpılması veya bölünmes sonucu elde edlen yen Y sersnn artmet ortalaması, l sernn artmet ortalamasınınaynı sayı le çarpımına veya bölümüne eşttr. Y X. a Y X. a veya Y X a Y X a 8) Artmet ortalamada sernn tüm brm değerlerne eşt ağırlılar verlmetedr. 9) Duyarlı br ortalama olduğundan açı sınıflı serlerde uygulanamaz. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 57 Örne 1: {,, 4, 4, 4, 5, 5, 6} brmlernden oluşan br anaütlenn ortalamasını hesaplayınız (Bast artmet ortalama). Daha sonra bu anaütleden çelen üç brml {4, 5, 6} br örneğn ortalamasını hesaplayınız. Çözüm: X N 444556 3 8 8 1 n N X X 456 3 1 n 5 4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 58 yayınlanamaz ve depolanamaz. 9

Örne : Aşağıda verlen sernn artmet ortalamasını hesaplayınız. X f f X 3 4 5 3 1 4 9 8 5 Toplam 8 6 X fx 1 6 3, 5 8 f 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 59 Örne 3: Aşağıda Sınıflandırılmış Sernn Artmet Ortalamasını Hesaplayınız? Sınıflar f X f X 0 40 40 60 60 80 80 100 100 10 5 15 0 1 8 30 50 70 90 110 150 750 1400 1080 880 Toplam 60 460 X f X / f 460 / 60 71 1 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 60 yayınlanamaz ve depolanamaz. 30

Tartılı (Ağırlılı) Artmet Ortalama ve Kullanıldığı Durumlar Oranların veya ortalamaların ortalamasının hesaplanmasında tartılı artmet ortalama ullanılır. Bu durumda ağırlılar belldr. Her ortalama ve oranın paydasında brm sayısı lgl ağırlılar olara ullanılmatadır. Brm değerler arasında önem farı söz onusu olduğunda bu farı yansıtaca br ağırlı seçlere tartılı artmet ortalama hesaplanır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 61 Bast, Freans ve Sınıflandırılmış Serlerde Kullanılan Formüller X t n tx 1 1 X n t t 1 1 f tx f t Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 31

Örne 1: Br faültenn dört şubeden oluşan sınıfında matemat ders not ortalaması ve başarı oranı saptanacatır. Sınava gren öğrenc sayıları, şubelern not ortalamaları ve başarı oranları aşağıda gösterlmetedr (Orhunblge, 000:80 81). Şube Öğrenc Sayısı Matemat Not Ortalaması Matemat Başarı Oranı I II III IV 40 50 30 80 60 46 54 46 0,8 0,4 0,74 0,50 Toplam 00 06,48 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 63 Çözüm: Dört şubeden oluşan sınıfın matemat ders not ortalaması ve başarı oranı aşağıda hesaplanmatadır (OrtalamalarınveOranların Ortalaması). X t tx 1 (4060) (5046) (3054) (8046) 10000 50 00 00 t 1 X t (400,8) (500,4) (300,74) (800,50) 0,58 00 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 64 yayınlanamaz ve depolanamaz. 3

Örne: Br öğrencnn. sınıfta 7 dersten aldığı notlar ve ders saatler aşağıda verlmetedr. Öğrencnn. sınıf not ortalamasını hesaplayınız (Orhunblge, 000:81)? Dersler Notlar (X ) Ders Saat (t ) t X İstatst Matemat İtsat İşletme Huu Blg şlem Fnans 50 76 80 90 94 6 55 4 3 3 100 304 160 70 8 14 110 Toplam 507 18 1350 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 65 Çözüm: Öğrencnn. sınıf Tartılı Artmet Not Ortalaması aşağıda hesaplanmatadır. X t tx 1 1350 18 t 1 75 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 66 yayınlanamaz ve depolanamaz. 33

Örne 1: Aşağıda verlen bast sernn ağırlılı ve ağırlısız artmet ortalamasını hesaplayınız (Yama vd., 006:6). X t X t 4 6 8 3 4 1 6 8 4 8 0 10 46 X 0 / 4 5 X t 46 / 10 4,6 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 67 Örne : Br malın ortalama satış fyatını belrleme çn 15 satış notasından alınan satış fyatları ve günlü satış mtarları aşağıda gbdr. Satış mtarlarını tartı alara, malın ağırlılı ortalama satış fyatını hesaplayınız (Yama vd., 006:7)? Fyatlar Satış Notası Sayısı Satış Mtarları 500 550 600 650 3 6 4 75 6 15 80 10300 15 733 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 68 yayınlanamaz ve depolanamaz. 34

Çözüm: X f t f t X f t 500 550 600 650 3 6 4 75 6 15 80 85 1356 608 160.06.500 3.457.800 1.580.800 44.000 Toplam 15.949 7.55.100 X t ftx 1 7.55.100 551,74 n.949 ft 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 69 Örne 3: Br endüstr dalında faalyet gösteren 5 şletmenn apasteler le ortalama brm malyetler aşağıda verlmştr. Bu endüstr dalında ortalama brm malyet hesaplayınız (Yama vd., 006:8)? Kapaste İşletme Sayısı Ortalama Brm Malyet 3 5 5 7 7 9 9 11 7 6 4 8 300 75 50 5 Toplam 5 1050 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 70 yayınlanamaz ve depolanamaz. 35

Çözüm: Not: Ortalama malyet stendğnden bast artmet ortalamadan yararlanma doğru olmaz. Çünü, şletmelern apasteler brbrnden farlı olduğugb apaste le ortalama brm malyet arasında ters yönlü br lş olduğu açıça gözlenmetedr. Bu durumda apaste tartı olara alınmalıdır. Buna göre, apasteler sınıflandırılmış br ser şelnde olduğundan sınıf orta değern tartı olara aldığımızda, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 71 Kapaste (t ) İşletme Sayısı (f ) OBM (X ) f t f t X 4 6 8 10 7 6 4 8 300 75 50 5 8 36 3 80 8.400 9.900 8.000 18.000 Toplam 5 1050 176 44.300 X t ftx 1 44300 51, 71 176 ft 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 yayınlanamaz ve depolanamaz. 36

4. HAFTA Duyarlı Merez Eğlm Ölçüler/Duyarlı Ortalamalar Geometr Ortalama Geometr Ortalamanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Harmon Ortalama Harmon Ortalamanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Karel Ortalama Karel Ortalamanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 73 Geometr Ortalama (G) Geometr dz özellğ taşıyan serlere uygun olan geometr ortalama, sabt oranlarda değşm gösteren, bleş faze göre faze yatırılmış para, bu eğlme uyan nüfus ve mll gelr gb değşenlern ortalaması ve değşm oranları ortalaması hesaplanıren ullanılmatadır. Br serde brm değerler arasında mutla olara büyü farlar bulunması durumunda geometr ortalama uygun olan merez eğlm ölçüsüdür. Dğer br anlatımla eğ (çarpı) serler çn geometr ortalama en uygun olan duyarlı (parametr) ortalamadır. Örne: Br şletmenn A malında satış artışı yüzdes brnc yılda %110 ve nc yılda %150 olsun. Bu sernn bastartmetortalaması %130, geometr ortalaması se %18,5 dr. n f n 1 1 1.... n f f f G X X Xn X G X1. X... X 1 n 1 1 LG10( G) LG10 X LG10( G) f LG10( X ) n 1 1 f 1 n LG10( Pt n) LG10( Pt) Pt n Pt(1 r) LG10(1 r) n Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 74 yayınlanamaz ve depolanamaz. 37

Örne:, 4, 8, 16, 3 sersnn geometr ortalamasını hesaplayınız. n 1 5 5 G n X.4.8.16.3 3768 8 veya 1 LG10( G) ( Log L og 4 L og 8 L og16 L og 3) 0,903 5 0,903 G AntLog(0,903) 10 7,999 8. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 75 Örne: Aşağıda freans sersnn geometr ortalamasını hesaplayınız. X f LG10X f LG10X 3 4 5 6 3 7 3 5 0,301 0,477 0,60 0,699 0,778 0,903 3,340 1,806 3,495 1,556 Toplam 0 11,100 11,100 LG10G flg10 X / f 0,555 1 1 0 0,555 G AntLog(0,555) 10 3,6 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 76 yayınlanamaz ve depolanamaz. 38

Örne: Aşağıda ser çn geometr ortalamayı hesaplayınız. Sınıflar f X LG10X f LG10X 0 4 4 6 6 8 8 10 10 15 1 8 5 1 3 5 7 9 0 0,477 0,699 0,845 0,954 0 7,157 8,388 6,761 4,771 Toplam 50 7,076 7, 076 LG10( G) 0,54 50 0,54 G AntLog(0,54) 10 3,5 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 77 Örne: Ortalama nüfus artış oranı %,5 olan 10.000 nüfuslu br lçede gelece üç yıl çn nüfusu hesaplayınız. 1 0 0 3 0 1 1 P P (1 r) 10.000(1 0, 05) 1050 P P (1 r) 10.000(1 0, 05) 10506 3 3 P P (1 r) 10.000(1 0, 05) 10769 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 78 yayınlanamaz ve depolanamaz. 39

Örne: Br lçenn nüfusu 10.769 dur. İlçenn ortalama nüfus artış oranı %,5 olduğuna göre 3 yıl önce nüfusunu hesaplayınız? 10769 P(1 0, 05) P 10.000 3 0 0 Örne: Br lçenn nüfusu 10.000 dr. Üç yıl sonra nüfusu se 10.769 olduğuna göre ortalamanüfus artış oranı açtır? 10769 10000(1 r) 3 (1 r) 10769 /10000 1, 0769 3 1r 1, 0769 1, 05 r %,5 dr. 3 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 79 Örne: Br lçenn 000 yılı nüfusu 10.50 ve 005 yılı nüfusu 11.314 olduğuna göre 00 yılı nüfusu ne adardır? P 10.50 P 11.314 n5 ve P? 000 005 00 P P (1 r) 11.314 10.50(1 r) 0005 000 5 (1 ) 11.314 /10.50 1,104 5 (1 ) 1,104 1,0199 % r 0,0199 P 00 r r 5 5 10.50(1 0,0199) 10.66. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 80 yayınlanamaz ve depolanamaz. 40

Örne: 50 maddenn 004 yılına göre 008 yılında fyat değşmeler aşağıda yüzde olara verlmetedr. Bu maddelern 004 e oranla 008 de fyatlarında ortalama artışı hesaplayınız (Orhunblge, 000)? Fyat Değşmeler (X ) Maddeler (f ) LG10X f LG10X 100 10 140 160 180 0 1 8 6 4,000,079,146,04,55 40,000 4,950 17,169 13,5 9,01 50 104,365 1 104,365,087 LG10( G) 10,087 (,087) 10 1,3 f LG X G AntLog 50 f 1 004 yılına oranla 008 yılında bu maddelern fyatlarında ortalama %,3 lü br artış olmuştur. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 81 Örne: Br setörde 80 şletmenn 01 yılında büyüme hızlarına (yıllı ortalama atma değer değşmelerne) göre verlen dağılımlarından yararlanara setörde ortalama büyüme hızını belrleynz? Büyüme Hızı (X ) İşletme Sayısı (f ) X LG10X f LG10X 90 96 96 10 10 108 108 114 114 10 10 16 0 10 8 13 7 93 99 105 111 117 13 1,9685 1,9956,01,0453,068,0899 39,3696 19,9564 16,1695 6,589 14,4773 45,9779 Toplam 80 16,5399 16,5399,0317 LG( G) f LG10 X / f,0317 G AntLog,031710 107,58 80 1 Setörde 80 şletmenn 01 yılı ortalama büyüme hızı %7,58 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 41

Geometr Ortalamanın(G) Özelller Serde tüm değerlerden etlenr. Bu nedenle duyarlı br ortalamadır. Sıfırveyanegatfdeğerlern bulunduğu serlere uygulanamaz. Serde görecel farların mutla farlardan öneml olması durumunda ullanılır. Özellle fyat, nüfus ve MG değşmlerne at oranların ortalamasında yaygın olara ullanılır. İşletme, eonom ve byoloj uygulamalarında yaygın olara ullanılmatadır. n 1 n n 1/ n LG10( X)/ n LN ( X)/ n 1 1 n G n X X G 10 G e 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 83 Harmon Ortalama (H) Tanım: Harmon ortalama; brm değerlernn tersler ortalamasının ters olara tanımlanmatadır. Harmon ortalama sabt ve değşen olan unsurların yer değştrmes sabt olanın değşen, değşen olanın sabt olması durumunda ullanılmatadır. Örneğn, belrl br mesafey (yol sabt) farlı hızlarda (h 1, h, h 3 gb; hız değşen) her gün gden üç ulaşım aracının ortalama hızı harmon ortalamayla hesaplanır. Ortalama hız, toplam yolu toplam zamana bölere bulunur. Harmon ortalama farlı brmler (deneyler) çn yol sabt ve hız değşen olduğunda uygun olmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 84 yayınlanamaz ve depolanamaz. 4

Harmon Ortalama (H) Formüller ve Özelller f f n 1 1 H H H n 1 f f X X X 1 1 1 Serde tüm brm değerlernden etlenr. Bu yüzden duyarlı br ortalamadır. Sadece poztf değerl brmler çn uygulanablr. Cebrsel şlemlere elverşldr. Genellle vermll, hız, fyat şelnde ortaya çıan ve sabt/değşen olan unsurların yerdeğştrmes sabt olanın değşen, değşen olanın sabt olması gereyorsa H ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 85 Örne: Dört alenn TL cnsnden ödedler aylı ralarını gösteren aşağıda bast sernn harmon ortalamasını hesaplayınız. Kra={400, 450, 500, 600}. 4 H 476,8 TL/ Ay 1 1 1 1 400 450 500 600 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 86 yayınlanamaz ve depolanamaz. 43

Örne: Aşağıda verlen freans sersnn harmon ortalamasını hesaplayınız? X f f /X 1 3 4 5 5 6 5,5 0,5 1 Toplam 0 8 Çözüm: H=0/8=,5. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 87 Örne: 30 alenn aylı telefon harcamalarını gösteren aşağıda sınıflandırılmış sernn harmon ortalamasını (H)hesaplayınız? Sınıflar f X f /X 40 60 60 80 80 100 100 10 10 140 8 3 5 6 8 50 70 90 110 130 0,160 0,043 0,055 0,055 0,061 Toplam 30 0,374 30 H 0,374 80,1 TL/Ay Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 88 yayınlanamaz ve depolanamaz. 44

Örne: Br fabrada üretm dört maneyle yapılmatadır. Bu manelern br mamul çn harcadıları sürelerden yararlanara br mamulün bu fabrada ortalama aç daada üretldğn hesaplayınız (Orhunblge, 000:88 89). Maneler Üretm Süres (d/parça) (X ) 1/X Saatte Üretlen Parça (t ) t X I II III IV,5,0 1,6 4,0 0,400 0,500 0,65 0,50 60/,5=4,0 60/,0=30,0 60/1,6=37,5 60/4,0=15,0 60 60 60 60 Toplam 10,1 1,775 106,5 40 n tx 4 40,5 1,6 4 H d p X d p d p 1,775 106,5 4 1, 54 / t, 54 / X,55 / n t 1 Dört manede br saatte 4+30+37,5+15=106,5 parça üretlmetedr. Artmet ortalama ullanıldığında se (60*4)/,55=95 parça üretldğ görülmetedr. Bu se yanlış br sonuçtur. Çünü 60*4=40 d harmon ortalamayla bulunan süreye bölündüğünde (60*4)/,54=106,5 parça olan doğru sonuca ulaşılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 89 Örne: Br otobüs frması şehr arasında (600 m) 37 otobüsle seferler düzenlemetedr. Bu otobüslern hızlarına göre dağılımı aşağıda gösterlmetedr. Frma otobüslernn şehr arasında ortalama hızı açtır? Hız (m/h) X Otobüs Sayısı (f ) f /X İ İl Arası Süre (t ) t f t f X 60 75 80 90 3 6 10 18 3/60=0,050 6/75=0,080 10/80=0,15 18/90=0,00 600/60=10 600/75=8,0 600/80=7,5 600/90=6,7 30 48 75 10 1.800 3.600 6.000 10.800 Toplam 37 0,455 73.00 37.00 H 81,3 m/ h. X t 81,3 m/ h 0, 455 73 Otobüslern şehr arasında ortalama hızları 81,3 m/h dr. Ağırlı olara,farlı hızları olan otobüslern şehr arasında 600 m l mesafey aldıları süre ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 90 yayınlanamaz ve depolanamaz. 45

Örne: Br büroda 10 seretern br sayfayı yazdıları süreye göre dağılımları aşağıda gbdr. Bu büroda br saatte ortalama aç sayfa yazılmatadır? Süre (d/sayfa)x 4 6 6 8 8 1 1 16 Sereter Sayısı (f ) X f /X t t f f t X 4 3 1 5 7 10 14 0,8000 0,857 0,3000 0,0714 60/5=1,00 60/7=8,57 60/10=6,00 60/14=4,9 48,00 17,14 18,00 4,9 40,00 119,98 180,00 60,06 Toplam 10 1,4571 87,43 600,04 10 600,04 H 6,86 d / Sayfa. Xt 6,86 d / Sayfa. 1,457 87,43 Büroda br saatte br sayfa ortalama 6,86 daada yazılmatadır. Deme br saatte ortalama: (60*10)/6,86=87,4 sayfa yazılablmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 91 Karel Ortalama (K) Negatf değerler çeren ve özellle bu nedenle toplamı sıfır olduğu çn dğer ortalamalar ullanılamadığında bu tür serler çn arel ortalama hesaplanmatadır. Brm değerlernn arelernn artmet ortalamasının areöüalınara hesaplanan bu ortalama artmet ortalamadan farların ortalaması olan ve brço statst tenğne temel oluşturan standart sapmanın hesaplanmasında ullanılmatadır. Serde en az br negatf brm bulunması durumunda geometr ve harmon ortalamanın hesaplanması mümün olmadığından arel ortalamanın hesaplanması geremetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 yayınlanamaz ve depolanamaz. 46

Karel Ortalama (Devam) n X fx fx 1 1 1 K K K n f 1 1 f Karel ortalama, en yaygın olara artmet ortalamadan farların ortalamasının saptanmasında ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 93 Örne: Br şletmenn beş fabrasında üretm değerler aşağıda verlmetedr. Bu şletmenn fabralarında ortalama üretm hesapladıtan sonra her fabranın üretmnn artmet ortalamasından ortalama olara ne adar farlı olduğunu hesaplayınız. Fabralar Üretm (Bn Ton) X X X 1 3 4 5 3 4 5 6 4= 3 4= 1 4 4= 0 5 4= 1 6 4= 4 1 0 1 4 Toplam 0 0 10 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 94 yayınlanamaz ve depolanamaz. 47

Çözüm: X X 0 X 10 4 K 1,414 n 5 n 5 Her fabranın üretm, fabraların ortalama üretm olan 4000 tondan, ortalama olara 1414 ton (1,414 bn ton) farlılı göstermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 95 Örne: Aşağıda sernn arel ortalamasını hesaplayınız. Sınıflar f X X f X 0 4 4 8 8 1 1 16 16 0 3 1 5 10 8 6 10 14 18 4 36 100 196 34 1 43 500 1960 59 Toplam 38 5496 K fx 1 5496 1,03 38 f 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 96 yayınlanamaz ve depolanamaz. 48

5. HAFTA Duyarlı Olmayan Merez Eğlm Ölçüler Ortalamalar Tepe Değer (Mod) Tepe Değernn Özelller ve Kullanıldığı Yerler Ortanca/Medyan Ortancanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Bölenler: Kartller, Desller ve Persantller Uygun Ortalama Tpnn Seçm Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 97 Mod (Tepe Değer) Tanım: Herhang br serde freansı en büyü olan, dğer br anlatımla en ço terarlanan (gözlenen) brm olara tanımlanmatadır. Dğer br anlatımla masmum freanstan yararlanara hesaplanan ortalamaya tepe değer adı verlmetedr. Örne: Altı öğrencnn boylarından oluşan sernn tepe değern hesaplayınız: Boy={135, 150, 150, 150, 169, 171}. Çözüm: Mod = 150 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 98 yayınlanamaz ve depolanamaz. 49

Örne: 30 şnn çalıştığı br şyernde şçlern çalıştığı sürelere göre dağılımını gösteren aşağıda sernn modunu hesaplayınız? Çalışma Süres (Yıl) İşç Sayısı (f ) 4 5 10 15 0 Çözüm: Serde en ço terarlanan brm 10 olduğundan, Mod = 10 yıldır. 4 3 15 4 Toplam 30 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 99 Sınıflandırılmış Serlerde Tepe Değernn Hesaplanması Ser sınıflandırılmış se, masmum freans br brme değl, br sınıfa arşılı gelecetr. Bu sınıfa mod sınıfı adı verlmetedr. Mod sınıfı belrlendten sonra, modun yalaşıolara hesaplanmasında ullanılaca formül aşağıda verlmetedr. d 1 Mod L c d1 d L: Mod sınıfınınsınıfaltdeğern, d 1 :Modsınıfınınfreansı le br önce sınıfınfreansı arasında farı, d :Modsınıfınınfreansı le br sonra sınıfınfreansı arasında farı, c: Mod sınıfınınaralığını göstermetedr. Modun Özelller: (1) Hesaplanması olaydır, () sapan brmlerden etlenmez, (3) özellle masmum freansın toplam freans çnde oranı yüse olan serlerde temsl gücü yüsetr, (4) sernn tüm brmlerne dayanmadığından cebrsel şlemlere elverşl değldr ve bu nedenle de duyarlı olmayan br ortalamadır, (5) açı uçlu serlerde sadece mod veya medyan hesaplanablmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 100 yayınlanamaz ve depolanamaz. 50