ECAS00 Uluslararası Yapı ve Deprem Mühendslğ Sempozyumu. 4 Ekm 00. Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye YAPIARIN GEOMETRİK NONİNEER ANAİZİNDE İERİ ÇÖZÜM PROSEDÜRERİ Z. AY Süleyman Demrel Ünverstes,İnşaat Mühendslğ Bölümü, Isparta 360,Türkye G. DURMUŞ Süleyman Demrel Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölümü, Isparta 360, Türkye ÖZET: Yapılarda, stablte bozukluklarına taşıyıcı sstem ve elemanların burkulması, P-δ etkler, düğüm noktalarının hareket ve mesnet çökmeler sebep olmaktadır. Stabltesn kaybeden yapı, daha küçük göçme yükler altında taşıma gücünü kaybederek kısmen ya da tamamen kullanılmaz hale gelmektedr.. Taşıyıcı sstemn veya elemanın lk burkulmasından sonra, yapının hemen göçmeyerek taşıma özellğn devam ettrmes, ler burkulma davranışlarının da ncelenmes büyük önem taşımaktadır. İşte bu noktada, ler burkulma davranışı ncelenrken elde edlen yük deplasman eğrler katlı krtk noktalara sahp olduğu çn bu krtk noktaları aşıp yapının yük- deplasman eğrsnn sonuna kadar elde edlmes gerekmektedr. Özellkle son yıllarda, bu konuda pek çok çalışma yapılmış ve yen yöntemler gelştrlmştr. Bu çalışmada, yapıların geometrk nonlneer analz çn son zamanlarda gelştrlen yöntemlern genel br değerlendrlmes yapılmış ve bu yöntemlerden Arc-ength yöntem üzernde durulmuştur. Anahtar Kelmeler: Geometrk Nonlneer Analz, Stablte, Arc-ength Yöntem ABSTRACT: When a change n the geometry of structures or structural component under compresson wll result n the loss of ts ablty to resst loadng, ths condton s called nstablty. Instablty can lead to suddenly falure of a structure because of system or element loss of load-carryng capacty. Therefore, nstablty effects must be taken nto account when one desgns a structure. In geometrcally non-lnear analyss there are two fundamental dfferent types of nstablty behavor are closely related to the concepts of lmt pont and bfurcaton pont on the load-dsplacement or equlbrum path of structure. In ths study, new soluton procedures for solvng geometrcally nonlnear problems wth multple lmt ponts and snap back ponts n lteratures have been presented.thus, more recently, the developments n geometrcally nonlnear structural analyss are presented. Keywords: Geometrcally Nonlnear Analyss, Stablty, Arc-ength Method 5
Grş Geometrk nonlneerte, eksenel kuvvetten dolayı meydana gelen sehmler, deforme olmuş elemanın geometrsnn değşmn, büyük deplasmanları, elemanlardak lneer elastk şekl değşmeler kapsar.elemanlarda veya sstemde meydana gelen deformasyonlar küçükse, nstablte etkler hmal edlr. Böylece, eksenel kuvvet le brlkte dğer kest tesrlerne maruz elemanlarda, eksenel kuvvet ve kest tesrler arasındak etkleşm hmal edlr.instablte etklernn hmal edldğ durumlarda kuvvetlerle deplasmanlar arasındak lşky fade eden [K] matrs sabt ve lneerdr. Eğer nstablte etkler hmal edlmyorsa, yan, deformasyonlar büyükse [K] nonlneer br matrstr. Nonlneer [K] matrs k matrsten meydana gelr. [K T ]=[K ]+[K G ] () Burada [K ]; lneer elastk rjtlk matrsdr. [K G ] se, geometrk rjtlk matrs olarak adlandırılmaktadır. Çeştl kest zorları ve tpler çn değşk yaklaşımlara dayanarak, düzlem ve uzay çerçeve elemanları çn çıkarılmış ve lteratüre geçmştr.denklem () le verlen [K T ] se tangent rjtlk matrs olarak adlandırılmaktadır. [K T ] matrs, düğüm yüklernn artımsal değerler le düğüm deplasmanlarının artımsal değerler arasındak lşky fade eder. Malzemenn elastk veya nelastk olması durumuna göre, elastk tangent rjtlk matrs veya nelastk tangent rjtlk matrs olarak adlandırılır. Eleman Hareketnn Tanımlanması Çerçeve yapıların geometrkçe nonlneer analznde kullanılan esas denklemlern formülasyonu, ya sonlu eleman yaklaşımına, yada krş-kolon yaklaşımına dayanır. Eleman hareketnn tanımlanmasında se, esas olarak agrangan veya Euler Koordnat sstem kullanılır. Şekl değştrmemş csme bağlı esken takımına agrangan koordnatları, şekl değştrmş eksen takımına se Euler koordnatları denlmektedr.euleran formülasyonu se tam olarak gözden geçrlmş agrangan yaklaşımıdır. Geometrkçe nonlneer analzde kullanılan agrangan tanımları üç tptr. Bunlar, Toplam agrangan tanımı, gözden geçrlmş agrangan tanımı ve kısm gözden geçrlmş agrangan tanımıdır. Yük Deplasman Eğrler Yapı analznde genel olarak dört tp yük-sehm eğrsnden bahsetmek mümkündür. Şekl de çeştl yük sehm eğrler verlmştr. Bu yük sehm eğrlernden a, b ve c de verlenler lmt noktalara sahp eğrlerdr. a da snap-through, b de se snap-back eğrler gösterlmştr. Snap-through dnamk analzde, snap-back se statk analzde karşımıza çıkmaktadır. Burada a ve b atalet ve dnamk etkler kapsamaktadır. Şekl.a da yük kontrolü altında dnamk davranış, C noktası cvarında küçük sönümlü salınımla kesk çzgy takp etmektedr. A dan C ye sürekl çzg se yük kontrolü altında denges unstabl olduğunu gösterrken, deplasman kontrolü altında stabl olduğunu gösterr. Şekl.b de deplasman kontrolü altında, dnamk davranış, statk olan fakat yenden unstabl olan eşdeğer sürekl çzg le A ve C arasında kesk çzgy takp etmekte ya da dnamkte kesk çzgy takp etmektedr. Şekl.c de göçme, şekl.d de se malzeme akmasından dolayı düktl göçme halne at yük-sehm eğrler verlmştr. 5
Şekl 4.. Değşk yük sehm eğrler (a) Snap-Through (b) Snap-Back (c) Brttle Collopse (d) Ductule-Collopse (Crsfeld,99). Düzlem Çerçeve Elemanı İçn Geometrk Rjtlk Matrsnn Çıkartılması Daha önce de değnldğ gb, çerçeve yapıların geometrkçe nonlneer analznde kullanılan esas denklemlern formülasyonu, ya sonlu eleman yaklaşımına, yada krşkolon yaklaşımına dayanır. Krş-kolon yaklaşımında, stablte teorsnden doğrudan faydalanarak elde edlen stablte fonksyonları kullanılır. Sonlu Eleman yaklaşımında se potansyel enerj fonksyonunun mnmzasyonu esastır. Burada, vrtüel deplasman prensbn kullanarak düzlem çerçeve elemanı çn geometrk rjtlk matrsnn çıkartılması açıklanacak, sürekl ortam problemlerne grlmeyecektr. Geometrk Nonlneer Analzde Sonlu Elaman Yaklaşımı Geometrk nonlneer analzde, sonlu elemanlar yaklaşımında, potansyel enerj fonksyonunun mnmzasyonu esastır. Bu noktada, potansyel enerj fonksyonlarının bütün geometrk nonlneerte durumlarını kapsadığını ve artımsal yükler çn deplasmanları mnmum yapacak şeklde mnmze edldğ söyleyeblrz. Dğer taraftan, yne geometrkçe nonlneer problemlerde, sonlu eleman yaklaşımı k kısımdan müteşekkldr. Brncs, elemanlarla lgl sonlu eleman formülasyonu, kncs, yüksehm eğrsnn elde edlmes çn çözüm teknklerdr. Elemanlarla alakalı sonlu eleman formülasyonu, klask matrs deplasman metodu kullanılarak, nstablte etklernn hesaba katılması çn gerekl ve geometrk rjtlk matrs olarak adlandırılan matrsn çıkarılmasıdır. Daha önceden belrtldğ gb geometrk rjtlk matrs, hem bükülmeden dolayı eleman boyundak değşmn, hem de eksenel kuvvet ve momentlern etksnden dolayı eleman esneklk rjtlklerndek değşm hesaba katmaktadır. Potansyel enerjye dayalı sonlu eleman metodunda Kararlı Potansyel Enerj Prensb veya Kararlı Karşıt Potansyel Enerj Prensb olmak üzere k tür yaklaşım söz konusudur. Çubuk sstemler çn Kararlı Potansyel Enerj Prensb n kullanırsak, bu matrs deplasman metoduna karşılık gelr. Eğer Kararlı Karşıt Potansyel Enerj 53
prensbn kullanırsak, bu matrs kuvvet yöntemne karşılık gelr. Dış kuvvetlern etks altında dengede br sstemn Toplam Potansyel Enerjs, ç kuvvetlern şekl değştrme enerjs le sstem şekl değştrmeye zorlayan dış kuvvetlern potansyel enerjsnn toplamına eşttr. Vrtüel Deplasman Prensbn Kullanarak Düzlem Çerçeve Elemanı çn Geometrk Rjtlk Matrsnn Çıkartılması (Mcgure, 000). y ν dν ν +. dx dx ν x + u + dx + x + u du.dx dx a b ν u x a d x b u x y a b θ z θ z Şekl 3. Düzlem Çubuk elemanın sonlu şekl değştrmes (Mcgure, 000). x du d v du dv e fn = y + + () dx dx dx dx dδu d δv du dv δw nt = σ xa.dx + M z.dx + σ x Aδ + δ. dx (3) 0 dx 0 dx 0 dx dx 54
δw nt = 0 du dδu EA.dx + dx dx du + Fx δ 0 dx Denklem (4) de geometrk nonlneerte le lgl vrtüel ş; 0 d v EI dx z d δv.dx dx dv + δ.dx dx (4) du dv δw nt g = Fx δ + δ. dx (5) 0 dx dx Eleman Rjtlk Matrs İçn Vrtüel Deplasman Formülü δ W = δwext δwnt = 0 (6) δ W = nt δ e [ E] { e} d(vol) (7) { e } reel şekl değştrme, { δ e} vrtüel şekl değştrme, [ ] Burada N u ve N v vol n δw = δ. F (8) ext vol = = δe [ E]{} e d(vol) = δa.f = δ {} F n [] k = δe [ E]{} e d(vol) E elastk sabt (0) vol δ k = δ F () [ ]{ } { } [ k ]{ } = { F} (9) () [ ] { } + { g = Fx N u N u N v} N v [ ]. k dx (3) 0 deplasman koordnatlarına karşılık gelen şekl fonksyonları ve N u ve N v şekl fonksyonlarından şekl değştrmeye bağlı olarak elde edlen büyüklüklerdr. Denklem 3 den faydalanarak düzlem çerçeve elemanı çn geometrk rjtlk matrs aşağıdak gb elde edlr. 0 0 0 0 6 6 0 5 0 5 0 0 Fx = 5 0 30 g 0 0 (4) 6 sm. 5 0 5 [ k ] 55
Geometrk Nonlneer Analznde İler Yöntemler Geometr bakımından nonlneer problemler genel olarak büyük sehmler htva ederler. Bu tp problemlerde [K] rjtlk matrs sabt değldr ve deforme olmuş geometr le alakalı olarak elde edlr. Geometrkçe nonlneer problemlerde yük sehm eğrsn bulmak çn üç esas prosedür vardır. Bunlar, lneer artımsal yöntemler, nonlneer artımsal yöntemler ve drekt yöntemlerdr Nonlneer Yük-Sehm Eğrs İçn Çözüm Prosedürler (Al-Rasby, 99) neer artımsal yöntemler Nonlneer yük sehm eğrs lneer prosedür adımlarıyla teşkl edlr. Yük, küçük artımlar olarak uygulanır ve bu artımların her br çn deformasyondak değşmler lneer analz kullanılarak belrlenr. Daha sonra, artımda, her yükün sebep olduğu deplasman değşmler hesaplanır. neer artımsal metot, deplasmanların elde edlmesnde yük adımlarının başlangıcında mevcut deformasyonları ve ç kuvvetlere dayalı Tangent Rjtlk matrsn kullanır. Verlen yük adımlarında, rjtlk matrsnn termler sabt kaldığı çn, bunun br defa hesabı yeterldr. Nonlneer artımsal yöntemler Hem yük adımı boyunca oluşan deplasmanlar ve ç kuvvetlern fonksyonu hem de yük adımları başındak mevcut deplasmanların fonksyonu olan, artımsal rjtlk matrs kullanılır. Her br yük artımı çndek terasyonlar boyunca, rjtlk matrs yenden belrlenr. Bu terasyonlar artımsal yük hmal edlecek düzeye gelnceye kadar devam eder ve sonrak yük artımı çn tekrar başa dönülür. Böylece artımsal deformasyonları en y yaklaşımla hesaplamamız mümkün olmaktadır. Drekt yöntemler Yük sehm eğrs boyunca, herhang br yüke karşı gelen deformasyon, tek adımda tam yük uygulanarak elde edlr. Bu metot toplam yükler ve toplam deformasyonlar esasına dayanırken, artımsal yöntemler, artımsal yükler, artımsal deformasyonlar esasına dayanır. Drekt yöntem, yükün tek değerne karşı gelen deformasyonu bulmak çn uygun br yöntemdr. Kullanılan matrs [K] Sekant Rjtlk matrs olarak anılır. Bu matrs mevcut deformasyonlar ve ç kuvvetlere bağlıdır. Toplam yük etkdğ zaman, hesabın başında bu yükler blnmedğ çn [K] matrsndek termler terasyonla belrlenmektedr. Katlı Krtk Noktalara Sahp Sstemler İçn Nonlneer Analz Yöntemler Yapıların başlangıç ve ler krtk burkulma davranışını ncelemek çn yapının nonlneer yük sehm eğrsnn elde edlmesndek yaklaşımlar önem kazanmaktadır. Klask Newton-Raphson veya düzeltlmş Newton Raphson yöntem nonlneer davranış analznde terasyon stratejs olarak kullanılırken katlı nstablte noktasında yetersz kalır k bu durum k yönden yöntemn dezavantajıdır. Brncs, göçme yükü gerçek yük taşıma kapastesnden küçük belrlenmştr. İkncs se, yapının ler burkulma davranışı tanımlanmamaktadır. İşte bu sorunları ortadan kaldırmak çn son yıllarda gelştrlen bazı yen yöntemler şunlardır. Yük Kontrol Yöntem, Deplasman Kontrol 56
Yöntem, Arc-ength Yöntem, İş Kontrol Yöntem. Burada, yukarıdak yöntemlerden Newton-Raphson kısaca anlatılırken, İş Kontrol ve Arc-ength yöntemler üzernde durulacaktır. Newton-Raphson Yöntemler Yapıların nonlneer çözümünde ardışık yöntem olarak çeştl Newton-Raphson (NR) yöntemlernden, Newton-Raphson, Düzeltlmş Newton-Raphson (MNR), Tam Newton-Raphson (FNR) veya Başlangıç Gerlme Yöntemlernden (ISM) br kullanılmaktadır. Denklem (4) de nonlneer problemlern ardışık formülasyonu verlmştr. Denklem (5) denklem (4) de yerne konulursa denklem (6) elde edlr. [ K T ]{. δd} { P} { F} { R} { P} { F} [ ]{. δd} { R} = (4) = (5) K T = (6) Burada; [K T ]: Tangent rjtlk matrs {R}: Dengelenmemş yük vektörüdür. {δd}: Deplasman vektörü {P}: Dış kuvvet vektörü {F}: Uç kuvvet vektörü Dğer taraftan, ardışık şlem teknğ tek nokta çözümü sağlar. Uygulamada se, yapının yük-deplasman davranışı br bütün zlemek stenr. Bunun çn, artımsal ve ardışık çözüm prosedürlernn br arada kullanılması gerekr. Ardışık/Artımsal çözüm çn denklem (7) de görüldüğü gb {P} dış yük vektörünün orantısal değer uygulanır. Burada; λ: yük parametresdr [ ]*{ δd} λ{ P} { F} K T =. (7) İş Kontrol Yöntem (Chen ve Blandford, 993) İş kontrol yöntem yük deplasman eğrsnn yumuşak snap-back ve snap-through lmt noktalarının tespt çn kullanılır. Bu yöntemn de kendne özgü bazı üstünlükler vardır. k+ k+ + [ K] δ{ q} λ { P} { F} k = (8) [K]: Rjtlk matrs, {q}: Deplasman vektörü, {P}: Yük vektörü, {F}:Dengelenmş kuvvet vektörü, k+: geçerl yük adımı, λ: Yük parametres Denklem (8) un çözümü çn br yük çarpan büyüklüğünün seçmn gerekmektedr. Ardışık veya artımsal değern δλ seçm çn değşk teknkler kullanılablr. Artım değernn sabt olması, br veya daha fazla lmt durumun tespt çn uygun değldr. Ayrıca δλ seçm stratejs nonlneer davranış derecesne dayanmalıdır. Arc ength ve Düzeltlmş Arc ength metotlarında yük ve deplasman artımı arc length (yay uzunluğu) kontrol edlrken değşmektedr. Her k metot da lmt durum problemlern çözeblmektedr. Bununla brlkte arc length ölçümü, yakınsama vermnn düşmesne 57
neden olan tutarsız brmler kullanmaktadır. İş Kontrol Yöntem bu sorunu çözeblmektedr. Arc-ength Yöntem ( Fafard ve Masscotte, 993)( Yang, 994) Gerçekte bütün yapılar lmt nokta ötesnde br davranış serglerler ve bu nedenle bu çalışmalar doğrudan analz ve dzayn prosedürler le lgl çalışmalardır. Newton- Raphson ve Modfed Newton-Raphson yöntemler yapıların nonlneer davranışında burkulma yükünün hesabında oldukça genş br uygulama alanına sahptr. Fakat değşk Newton yaklaşımları tek başlarına, lmt nokta cvarındak noktalarda çözümün sağlanmasında başarısız kalmaktadırlar. Yakın zamanlarda lk önce Rks ve Wepner tarafından önerlen Arc-ength metodu, lmt nokta cvarında, Newton metotlarının tek başlarına kullanıldığı zamank başarısızlığını ortadan kaldırmaktadır. Bu yöntem de, yük parametres de blnmeyen deplasmanlar gb değşken olarak alınmıştır. Sınırlama denklem deplasmanları ve yükler kapsayacak Arc-ength algortmaları mevcuttur. Bu algortmalarda sınırlama denklemnde yük term hmal edlmemekte, deplasmanların ve yüklern farklı büyüklükler olduğu da blnmektedr. Bu Arc-ength algortmaların hepsnde skala parametrelernn otomatk hesabı esastır ve böylece yük artımı çn etkn yaklaşım sağlanmaktadır. Yöntem, M.N.R prosedürü kullanılarak mevcut sonlu eleman standartları çne kolayca uyarlanabldğnden Crsfeld ve Ram tarafından son zamanlarda daha da cazp hale getrlmştr YÜK λp (a, λ P) (a, λ P) (a, λ 3 P) Δλ P Δλ P Δλ3 P dl da 0 da da λ0 P a a 0 Δa Deplasman Δa Δa 3 Şekl 5.6. Arc-ength Yöntem Arc-ength yöntemlerne önem kazandıran husus, yük-deplasman eğrsnde kullanılan sınırlama denklemnn yapısıdır. Pek çok araştırmacı, deplasman ve yüklern farkı büyüklükler olduklarını belrtmşler, fakat, uygulamada, yük term katkısı hmal etmşlerdr. Nonlneer analzde kullanılan artımsal metotlarda, br dğer öneml husus se, yük artım adımlarının seçmnde ortaya çıkmaktadır. Bergan, güncel rjtlk 58
parametres(csp,current Stffness Parameters) önermektedr. Oysa Crsfeld ve Ram, kullanıcı tarafından önceden belrlenmş terasyon sayısı le lgl yük adımında yakınsama çn gerekl terasyon sayısının oranlarına dayalı br yaklaşımı esas almışlardır. Öncek yaklaşım, lmt nokta cvarında oldukça küçük yükleme adımında sonuca gtmektedr. Böylece yapının tam davranışı çn çok sayıda yükleme adımı sayısına htyaç vardır. Sonrak yaklaşım se, br adım çn terasyon sayısı artışını göz önüne alarak daha az yükleme adımı sayısını esas alır. Yan brncsnde, adım mktarı küçük adım sayısı fazla, kncsnde adım mktarı br orana göre bulunur. Fakat her adımda terasyon sayısı fazladır. Genelde nonlneer analzn değer yük-deplasman eğrsnde gerekl yük adımı sayısına bağlı olarak artar. Nonlneer yapı analznn tam anlamıyla hassas olması çn, yük adımının otomatk hesaplanması gerekmektedr. Referanslar. Al-Rasby, Soluton Technques In Nonlnear Structural Analyss, Computers & Structures Vol.40 No 4., 99. Chajes A., Churchıll J.E., Nonlnear Frames Analyss By Fnte Element Methods, Journal Of Structural Engneerng, Vol.:3, No:6, Pp.-35, 987 3. Chen H., Blandford G.E., Work-Increment Control Method for Non-lnear Analyss, Internatonal journal for numercal Methods In Engneerng, Vol.36, 993 4. Cook R.; Malkus D.; Plesha M., Concepts And Applcatons Of Fnte Element Analyss, Thrd Edton. John Wley & Sons, New York, 989. 5. Crsfeld M.A., 99, Non-near Fnte Element Analyss of Solds and Structures, John Wlley & Sons, New York, Volume. 6. Fafard M., Masscotte B., Geometrcal Interpretaton of The Arc-ength Method, Computer & Structures Vol.46, 993 7. Mcgure, W., Gallagher, R., H., Zeman, R., D., 000. Matrx Structural Analyss. 460 S. John Wley&Sons, Inc. USA 8. Pa P.F., Nayfeh A.H., A New Method For The Modelng of Geometrc Nonlneartes n Structures, Computer & Structures Vol. 53, 994 9. Wong M.B., Tn-o F., Geometrcally Non-lnear Analyss Of Elastc Framed Structures, Computers And Structures, Vol.:34, No:4 Pp.633-640, 990 0. Zenkewcz O., Taylor R., 989,The Fnte Element Method, Fourth Edton, Volumes And. Mcgraw-Hll, ondon.. Yang Y.B., Kuo S.R., 994, Nonlneer Framed Structures, Smon &Schuster (Asa) Pte td, Sngapore 59