GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z. Söz konusu kübik eleman --z eksenleri erine döndürülmüş - -z eksenlerine paralel alınsadı gerilme bileşenleri; σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z olacaktı. z z Gerilme dönüşüm bağıntıları kullanılarak --z eksen takımındaki 6 gerilme bileşeninin döndürülmüş başka bir eksen takımındaki karşılıkları bulunur. 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-1
Düzlem gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları z z z 0 3 boutlu kübik eleman İnce bir plakada orta düzlemde etkien kuvvetlerden dolaı düzlem gerilme oluşur. Yapısal bir elemanın vea makine parçasının dış/serbest üzeinde düzlem gerilme durumu (üzee ugulanmış dış kuvvet/kuvvetler oksa) ortaa çıkar. İnce cidarlı basınçlı tank ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur. 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-
Düzlem gerilme elemanı σ τ σ τ σ σ θ n n-n hattı bounca bir kesim apılırsa: σ τ θ σ n 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-3
F 0 A A cos cos A cos Asin sin Asin cos sin cos sin sin cos K düzlemi F 0 A A cos sin A cos Asin cos Asin sin cos ( )sin cos (cos sin ) σ bağıntısında θ= θ+90 azılarak: cos( sin( 90 ) sin 90 ) cos sin cos sin cos 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-4
K düzlemi 1 cos cos 1 cos sin cos cos sin sin sin cos Trigonometrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak bu denklemler şu şekilde düzenlenebilir: cos cos sin cos sin sin (1) () (3) 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-5
Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kama Gerilmesi (1)ve (3) nolu denklemler eniden düzenlenip kareleri alınarak taraf tarafa toplanırsa parametrik bir daire denklemi elde edilir Mohr Çemberi cos sin sin cos ort - C R a R ort ort ort ; R 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-6
Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kama Gerilmesi Mohr Çemberi ' ' Mohr Çemberi Çizim Sırası: 1-D1 noktası belirlenir. -D noktası belirlenir. 3- D1-D birleştirilir. 4-C merkezli çember çizilir. ma =R - min ort C D 3 (, ) R D1(, ) ma ma,min tan Önemli noktalar: 1-) Bulunduğumuz nokta D1 dir. -) Kama gerilmesinin önü sağ düzlemde aşağı doğru ise pozitiftir. 3-) Gerçekte normali + ekseni ile açısı apan apan düzlem, Mohr çemberinde D3 noktasına karşılık gelir. D3 e ulaşmak için mohr çemberinde gerçektekile anı önde kadar bulunduğumuz nokta (D1) dan dönülür. D3 ün mohr çemberindeki koordinatları, o düzlemdeki normal gerilmei ( ) ve kama gerilmesi ) ni verir. 4-)+ eksenile p açısı apan düzlemde normal gerilme diğer düzlemlere göre maksimumdur ( ma ) ve bu düzlemde kama gerilmesi sıfırdır. Bu düzleme ulaşmak için bulunduğumuz noktadan (D1den) p kadar dönülür. Gerçekte bü düzleme dik (+90 derece) düzlemde ise normal gerilme minimumdur ( min ). Bu özel gerilmelere asal gerilmeler (principal stress), düzlemlerine asal gerilme düzlemleri denir. 5-) Asal gerilme düzlemlerile gerçekte 45 o, mohr çemberinde 90 o açı apan düzlemde ise kama gerilmelerin maksimum değeri ( ma ) bulunur. Bu düzlemdeki normal gerilme ise ort. R p ort 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-7
Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kama Gerilmesi ma =R Mohr Çemberi min C D 3 (, ) R D1(, ) ma ma,min ma, min tan ort R p - Maksimum kama gerilmeleri ort ma R 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-8
Örnek: ort Yarıçap: Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemberini çizerek (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını/düzlemlerini, (b) maksimum kama gerilmelerini ve düzlemlerini, bulunan düzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz. R CD1 50 10 ma =R 0 MPa 30 40 50MPa D(-10, 40) min ma -10 40 C 50 ma -40 D1(50,40 p 6. 6 Asal gerilmeler ve düzlemleri : ma OA OC CA 0 50 ort ma 70 MPa min OB OC BC 0 50 min 30 MPa tan p 40 30 p 6. 6 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-9
Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için (a) Mohr Çemberini çizerek asal gerilmeleri ve doğrultularını, (b) normail + eksenile 30 açı apan üzedeki gerilmeleri bulunuz. ave R 100 60 0 48 5 MPa 80 MPa XF 48 tan p.4 CF 0 p p 67. 4 33.7 clockwise ma ma OA OC CA 80 5 13MPa min min OA OC BC 80 5 8MPa 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-10
Örnek: θ=30 deki gerilmeler Analitik formüllerden: cos sin 48.4MPa sin cos 41.3MPa Vea Mohr çemberinden geometrik olarak bulunabilir. 180 60 67.4 5.6 OK OC KC 80 5cos5.6 OL OC CL 80 5cos5.6 KX 5sin 5.6 48.4 MPa 111.6 MPa 41.3MPa 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-11
Örnek: c 70 60 MPa 45 MPa 10 MPa Yanda verilen gerilme durumu için; a) Asal gerilmeler ve doğrultularını bularak bir gerilme elemanı üzerinde gösteriniz, b) c düzlemindeki normal ve kama gerilmelerinin değerini hesaplaınız. Burada analitik çözüm verilmiştir (Mohr çemberi ile de çözüm apılabilir). 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-1
Örnek: Eksenel ükleme için Mohr çemberi P, 0 A 45lik doğ. Örnek: Saf burulma (pure torsion) durumu için Mohr çemberi için P A 0 Tc J 45lik doğ. Tc J için 0 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-13
Genel gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları ve Mohr Çemberi z C B A ABC noktalarından geçen ve üze normali N olan (doğrultman kosinüsleri λ, λ, λ z ) bir düzlemde kesim apılırsa: z Statik dengeden F n 0 α, β ve γ üze normalinin (N) sırasıla, ve z eksenlerile aptığı açılar olmak üzere: λ =cos α, λ =cosβ, λ z =cos γ Herhangi bir N doğrultusundaki normal gerilme (not: kama gerilmeleri de benzer şekilde bulunabilir) n zz zz z z 3 boutlu kübik gerilme elemanına etkien kuvvetler sadece normal gerilme/asal gerilme ise (ani kama n a a b b c c gerilmeleri oksa): 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-14
Üç boutlu durum için Mohr Çemberi: σ c σ b σ a Her bir daire/çember; kübik gerilme elemanının asal gerilme eksenleri etrafında döndürülmesile oluşan normal ve kama gerilmelerini göstermektedir. Yani,şekildeki BC çemberi a etrafındaki bir dönmee, AC çemberi b etrafındaki bir dönmee, AB çemberi c etrafındaki bir dönmee karşılık gelmektedir. En büük kama gerilmesi büük çemberin arıçapına karşılık gelmektedir: ma 1 ma min Not: Daha önce düzlem gerilme durumunda asal gerilme hesaplanmıştı. Ancak gerçekte değeri 0 da olsa üçüncü bir asal gerilme de vardır. Mohr çemberleri buna göre oluşturulabilir. Özellikle düzlem durum için bulunan σ ma ve σ min değerlerinin ikisi de pozitif vea ikisi de negatif ise; üçüncü gerilmenin 0 olarak göz önüne alınması son derece önemlidir. Çünkü maksimum kama gerilmesi değeri ve kama düzlemi değişmektedir. τ ma düzlem içi (in-plane) kamaa neden olur. 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-15
İçten basınca maruz ince cidarlı kaplarda gerilmeler (düzlem gerilme) P iç basıncına maruz iki ucu kapalı, ince cidarlı (r>>t) silindirde gerilmeler 1 = teğetsel gerilme, = eksenel gerilme Burada 1 ve anı zamansa asal gerilmeleridir. Çünkü kama gerilmesi ok. Teğetsel Gerilme σ 1 da p da σ 1 da σ da p da F t pr Fz 0 1 1 pr t Eksenel Gerilme rt p r 0 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. pr t 1 ma( in plane) 1 A ve B noktaları sırasıla teğetsel gerilmei ( 1 ) ve eksenel gerilmei ( ) göstermektedir. Maksimum düzlem içi (in-plane) kama gerilmesi: pr 4t Düzlem dışı (out-of-plane) maksimum kama gerilmesi: ma pr t Emniet kontrolünde vea tasarımda göz önüne alınması gereken kama gerilme 7-16
P iç basıncına maruz ince cidarlı (r>>t) küresel kaplarda gerilmeler 1 pr t Burada 1 ve anı zamansa asal gerilmeleridir. Çünkü kama gerilmesi ok. Her ikisi de Mohr çemberinde anı noktaı gösterir. Bu nedenle; ma(in 0 - plane) Üçüncü asal gerilme 0 olduğundan; maksimum kama gerilmesi; ma 1 1 pr 4t 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-17
Düzlem şekil değiştirme ve dönüşüm bağıntıları Düzlem şekil değiştirme durumunda:, z, z z 0 Gerilme dönüşüm bağıntıları ile şekil değiştirme dönüşüm bağıntıları arasında benzeşim vardır.gerilme dönüşüm bağıntılarında σ erine ε ve τ erine γ/ azılarak dönüşüm bağıntıları elde edilebilir. z cos sin cos sin sin cos 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-18
Düzlem şekil değiştirmede Mohr Çemberi Asal gerilme düzlemleri ile asal şekil değiştirme düzlemleri ve doğrultuları anıdır. Çünkü kama gerilmeleri ve dolaısıla kama şekil değiştirmeleri oktur (Hooke bağıntıları). Düzlem şekil değiştirme durumunda asal gerilmelerin üçüncüsü gerilmede olduğu gibi 0 dır. Bu durum göz önüne alınarak Mohr çemberi çizilmeli ve maksimum kama birim şekil değiştirmesi bulunmalıdır. ort ; R Asal birim şekil değiştirmeler ve doğrultuları tan ma Düzlem içi maksimum kama birim şekil değiştirmesi p ave R; R min ave ma R Düzlem gerilme durumu için asal şekil değiştirmeler: σ a ve σ a asal gerilmeler σ c =0 ise de ε c 0; a b a E E a b b E E c a E b 1 a b 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-19
Deformason Rozetleri: Strain-Gages Strain gages birim şekil değiştirme ölçümünde kullanılan dirençlerdir. 45 o lik bir rozet ile ve doğrudan, ise dolalı olarak ölçülmüş olur: OB cos 45 1 OB sin Aralarında herhangi bir açı bulunan rozetler kullanılırsa, - düzlemindeki normal ve kama birim şekil değiştirmeleri 3 bilinmeenli 3 denklem kullanılarak bulunur. Burada ε 1, ε ve ε 3 strain gages lerden denesel olarak elde edilen değerlerdir. sin cos 1 cos 1 sin 1 sin cos 1 1 cos sin sin cos 3 cos 3 sin 3 sin cos 3 3 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-0
Örnek 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-1
Örnek 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-
Örnek 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-3
Örnek: T burulma momentine maruz şekildeki içi dolu mile apıştırılan bir strain gage den ε=+50 μ değeri okunmuştur. G=75 GPa olduğuna göre T nin değerini bulunuz. 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-4
Örnek: Şekildeki ükleme durumu için A noktasından okunan strain gage değerleri ε 1 =-60 μ, ε =+40 μ, ve ε 3 =+00 μ olarak okunmuştur. E=00 GPa, G=79 GPa ve ν=0.3 olduğuna göre, ugulanan P ve Q kuvvetlerini bulunuz. 75 mm 75 mm 009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7-5