1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege, Russel ve diğerleri tarafından başlamıştır ve matematiğin yalnız başına kümeler teorisi üzerine kurulabileceği ortaya çıkmıştır. Aslında çoğu matematik bilgilerini ve teorisini kümeler teorisi üzerine kurmak kolaydır, fakat maalesef kümeler teorisi Frege ve Russel in varsaydığı gibi o kadar da kolay değildir. Çünkü çok geçmeden kümeler teorisinin kritik yapılmadan özgürce kullanılmasının çelişkilere neden olacağı ortaya çıkmıştır ve kabaca söyleyecek olursak, kümeden bahsederken kümeyle her şeyi kasdetmeye çalışırsak yani çok geniş bir şekilde kümeleri tanımlarsak çelişki ortaya çıkar. Bu kitapta çelişkileri önlemek için incelemelerimizde verilen belli bir X uzayı ya da kümesini ya da bir X kümesinin elemanları olan kümeleri ya da elemanları X in alt kümeleri olan kümeler sınıfını ya da elemanları X in alt kümelerinin aileleri olan ve benzer şekilde olan kümeleri gözönüne alacağız. İlk bir kaç bölümde de çoğu zaman X reel sayılar kümesini gösterecektir. Bu bölümde kümeler ile ilgili daha sonra kullanılacak kavramları açıklayacağız. Kümeler teorisi ile ilgili zorlayıcı ispatlardan ziyade doğrudan makul daha anlaşılır incelemeyi açıklayıcı olarak vermek amacımız olacaktır. Doğal sayılar (pozitif tamsayılar) bu kitapta önemli rol oynayacaktır. IN ile doğal sayılar kümesini göstereceğiz. Tümevarım prensibinin ve iyi sıralanma prensibininin de sağlandığını bileceğiz. Şimdi bir çoğu daha önceden bildiğiniz, incelememiz için gerekli olan kümeler teorisi ile ilgili bilgileri vereceğiz. Küme (veya cümle) deyince belli özelliğe sahip nesnelerin iyi tanımlı bir topluluğunu kastedeceğiz ve kümeyi meydana getiren nesnelere de kümenin elemanlari diyeceğiz. Kümeleri A, B, C,..., X, V, W, Y, Z gibi büyük harflerle ve elemanları da a, b, c,..., x, v, w, y, z gibi kücük harflerle göstereceğiz. a bir A kümesinin elemanı ise a A ile gosterecek, bir b elemanının bir A kümesine ait olmamasını ise b A şeklinde yazacağız. Kümeler ya elemanlarını kıvrımlı parantez içine yazmak suretiyle, örneğin a, b, c gibi üç elemandan ibaret olan bir kümeyi { a, b, c } şeklinde göstereceğiz. { a, b } ifadesinde sıralama önemli değildir, yani { a, b } ={ b, a } dır. Bu sebepten { a, b } gösterimine sırasız ikili ( sırasız çift) denir. 1

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve veya { } şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin her elemanı bir diğer B kümesinin elemanı oluyorsa A ya B nin bir alt kümesi ( A ya B tarafından kapsanır veya B, A yi kapsar ya da B, A nin üst kümesidir) denir ve bu A B şeklinde gösterilir. Bunu biz x A ise x B dir şeklinde de ifade edebiliriz. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Eğer A B ve B A oluyorsa A ile B kümelerine esittir denir ve bu A=B yazılarak gösterilir. Bir A kümesi diğer bir B kümesinin alt kümesi değilse, A B ifadesinde alt küme isaretinin üzerine bir eğik çizgi çizilerek gösterilir. Eğer A B ve B C ise A C olduğu (p q ve q r) ise p r olduğu gerçeğinden görülmektedir. Sıralı çift ya da sıralı ikili de ise elemanların sırası önemlidir, Sıralı çiftleri (a,b) şeklinde göstereceğiz. (a,b)=(c,d) olması için gerek ve yeter koşul a=c ve b=d olmasıdır. Sıralı ikililerde elemanların sırası değişirse sıralı değişir, yani (a,b) (b,a) dır. Benzer şekilde sıralı üçlüleri gözönüne alabiliriz. (a,b,c) sıralı üçlüsünde a, b ve c nin sırası önemlidir. (a,b,c)=(x,y,z) olması için gerek ve yeter koşul a=x, b=y ve c=z olmasıdır. X ile Y iki küme ise X ile Y nin kartezyen çarpımı birinci elemanları X kümesine ait olan ve ikinci elemanları Y kümesine ait olan bütün sıralı ikililerin kümesidir ve XxY ile gösterilir. Benzer şekilde X, Y ve Z kümeler ise bu üç kümenin XxYxZ kartezyen çarpım kümesi de birinci elemanları X kümesine, ikinci elemanları Y kümesine ve üçüncü elemanları da Z kümesine ait olan bütün sıralı üçlülerin kümesi olacaktır. XxX yerine X 2 gösterimi ve XxXxX yerine X 3 gösterimi kullanılacaktır. Alıştırmalar 1) {x : x x}= φ olduğunu gösteriniz. 2) x φ ise x in yeşil gözlü bir aslan olduğunu gösteriniz. 3) Genel olarak Xx(YxZ) kümesi ile (XxY)xZ kümesinin farklı olduğunu ancak bu kümelerin her birisi ile XxYxZ kümesi arasında doğal bir eşlemenin var olduğunu gösteriniz. 4) İyi sıralama prensibinin tümevarım prensibini gerektirdiğini {n IN: P(n) yanlış} kümesini göz önüne alarak ispat ediniz. 5) İyi sıralama prensibini elde etmek için matematiksel tümevarım prensibini kullanınız. [ Elemanları pozitif tamsayı olan IN in bir alt kümesi için n S olduğunda S en küçük elemana sahip olsun önermesine P(n) diyelim]. 2

2. Fonksiyonlar Fonksiyon kavramını vermeden önce kartezyen çarpım ve bağıntı tanımlarını ifade edelim: A ve B iki küme olsun. a A, b B olmak üzere bütün (a,b) sıralı ikililerinin kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve AxB ile gösterilir. Buna göre, AxB = { (a,b) : a A ve b B } dir. AxB nin BxA ya eşit olması ancak A=B özel durumunda karşımıza çıkar. Ayrıca Ax = xa= dir. AxB nin her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir. Eğer β bir bağıntı ve (a,b) β ise aβb yazarak gösterilir. Eger X den Y ye bir f bağıntısı için her x X için (x,y) f olacak sekilde bir y Y varsa ve (x,y) f ve (x,z) f olması y=z olmasını gerektiriyorsa f ye X den Y ye bir fonksiyon denir ve (x,y) f yerine f(x)=y yazılır ve f : X Y gösterimi kullanılır. X kümesine f nin tanım kümesi ve {y Y : en az bir x X için y=f(x) } kümesine f nin görüntü kümesi denir ve f(x) ile gösterilir. Her x 1, x 2 X için f(x 1)=f(x 2) olması x 1=x 2 olmasını gerektiriyorsa f fonksiyonuna birebirdir denir eğer f(x)=y oluyorsa X den Y ye f fonksiyonuna örtendir denir. Buna göre X den Y ye bir f fonksiyonunun birebir olması için gerek ve yeter kosul x 1#x 2 özelliğini saglayan her x 1, x 2 X için f(x 1)#f(x 2) olmasıdır ve örten olması için gerek ve yeter koşul her y Y için f(x)=y olacak sekilde en az bir x X elemanının var olmasıdır. f, X den Y ye bir fonksiyon ise A X için f(a)={ y : y Y ve y=f(x) olacak sekilde en az bir x A vardır } dir ve f(a) ya A nin f altında görüntüsü denir ve B Y olmak üzere { x : f(x) B } kümesine B kümesinin ters görüntüsü denir ve f -1 (B) ile gösterilir. Buna göre f -1 (B) = { x : f(x) B } dir. { (x,f(x)) : x X } kümesine f fonksiyonunun grafiği denir ve G f ile gösterilir. Buna gore G f = { (x,f(x)) : x X } dir. f ve g tanım kümeleri sırasıyla X ve Z olan fonksiyonlar olsun. Eğer X=Z ve her x X için f(x)=g(x) oluyorsa f ile g fonksiyonları eşittir denir ve bu f=g yazılarak gösterilir. 3

f ve g tanım kümeleri sırasıyla X ve Z olsun. Eğer Z X ve her x Z için g(x)=f(x) oluyorsa g ye f in Z ye kısıtlaması denir ve f /Z ile gösterilir. I : X X fonksiyonu her x X için I(x)=x özelliğini sağlıyorsa I fonksiyonuna özdeşlik fonksiyonu denir ve alışıldığı üzere I ile gösterilir. g : X X ve Z X olmak üzere her x Z için g(x)=x oluyorsa g ye özdeşleyen fonksiyon denir. Z ye f : X Y ve g : Y Z ise f ile g nin gof seklinde gösterilen bileşke fonksiyonu X den gof = {(x,z) : x X ve y Y için (x,y) f ve (y,z) g } biciminde tanımlanan fonksiyondur. gof ile fog nin farklı olduğunu eşitliğin ancak çok özel durumlarda söz konusu olduğunu görüyoruz. Fonksiyonları sıralı ikililer olarak tanımlayabiliyoruz. Sıralı ikilileri de fonksiyon yardımıyla tanımlıyabiliyoruz. Bir sıralı ikili tanım kümesi {1,2} kümesi olan bir fonksiyondur. Benzer şekilde n terimli sonlu bir dizi tanım kümesi {i IN: i n} kümesi olan bir fonksiyondur. Benzer şekilde sonsuz bir dizi tanım kümesi doğal sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Bir dizinin değer kümesi bir X kümesinde ise X de bir dizi ya da X in elemanlarının bir dizisi diyeceğiz. Dizilerle uğraşırken alışılmış fonksiyon notasyonundan farklı olarak fonksiyonun I deki değerini x i olarak göstereceğiz ve bu değere dizinin i-inci elemanı diyeceğiz. Sıralı n-liyi n ( x i ) i= 1 ile ve sonsuz dizileri ( x i ) i =1 ile göstereceğiz. Bir (x i ) dizisinin değer kümesini { x i} i =1 ile göstereceğiz. Böylece sıralı n-li olacaktır. n ( x i ) i= 1 nin değer kümesi n { xi} i = 1 sırasız n-li Bir A kümesi sonlu bir dizinin değer kümesi ise A kümesine sonlu küme denir, eğer bir dizinin değer kümesi ise A kümesine sayılabilir küme denir.( Çoğu yazar sayılabilir kümesinin kullanılışını sonsuz ve sayılabilir kümelere kısıtlarlar ancak bizim tanımımız sonlu kümeleri de sayılabilir kümeler olarak almaktadır. Bir dizi tanımlamanın en yararlı yollarından biri aşağıdaki prensip ile verilmektedir: Ardışık tanımlama prensibi: Bir X kümesinden kendisine bir fonksiyon f olsun ve a da X in bir elemanı olsun. Bu takdirde x 1 =a ve her bir i için x i+1 =f(x i ) olacak şekilde bir tek (x i ) sonsuz dizisi vardır. Böyle bir dizinin varlığı sezgisel olarak açıktır: x 1 =a, x 2 =f(a), x 3 =f(f(a)) ve böyle devam ederek tanımlayalım. Daha formal bir ispat aşağıdaki gibi verilebilir: Önce her bir n doğal sayısı için ( n) n x 1 = a ve 1 i <n için x i+1 = f(x n i ) 4

olacak şekilde n x 1, n x 2,, n x n biçiminde bir tek sonlu dizinin var olduğunu n e göre tümevarımla ispat edelim. Teklikten dolayı, 1 n m için ( n) ( m) x i = x i elde edilir. Böylece eğer x n = (n) ( n) x n olarak tanımlarsak, x i = xi gereklerini sağladığını görürüz. elde ederiz ve x i dizisinin prensibimizin Bu prensibin biraz daha geneli aşağıdadır: Her bir n doğal sayısı için f n fonksiyonu X n den X e olsun ve a X olsun. Bu takdirde x 1 =a ve x i+1 =f i (x 1, x 2,,x i ) olacak şekilde X den alınan bir tek (x i ) dizisi vardır. Dizi kavramı ile ilgili önemli bir tanım da alt dizi kavramıdır. IN den IN e bir g fonksiyonu eğer (i>j) (g(i)>g(j) ) oluyorsa monotondur denir. f sonsuz bir dizi olduğunda ( yani, tanım kümesi IN olan bir fonksiyon ise ) eğer h=fog olacak şekilde IN den IN e monoton bir g fonksiyonu varsa h ya f sonsuz bir alt dizisi denir. Eğer f yi (f i ) olarak ve ve g yi (g i ) olarak yazarsak, fog yi de ( f g i ) olarak yazarız. Problemler 6. Boş olmayan bir X uzayından Y içine bir dönüşüm f : X Y olsun. f fonksiyonunun birebir olması için gerek ve yeter koşul gof in X üzerinde özdeşlik dönüşümü olacağı şekilde, yani her x X için g(f(x))=x olacak şekilde bir g : Y X dönüşümünün var olmasıdır. 7. X den Y ye bir dönüşüm f : X Y olsun. Eğer fog fonksiyonu Y üzerinde özdeşlik dönüşümü olacak şekilde yani her y Y için f(g(y))=y olacak şekilde bir g: Y X dönüşümü varsa f in örten olduğunu ispat ediniz( Karşıtı için problem 20 ye bakınız.). 8. Yukarıda konu içinde ifade edilen genelleştirilmiş ardışık tanım prensibini matematiksel tümevarımı kullanarak ispat ediniz. 3. Birleşim, Arakesit ve Tümleyen A nın elemanı olup da B nin elemanı olmayan elemanların kümesine B nin A ya göre tümleyeni denir ve A\B ile gösterilir. Bazen A\B ye A dan B nin farki kümesi de denir. A nin evrensel küme dedigimiz, ilgilendigimiz bütün kümeleri kapsayan en buyuk kümeye göre tümleyeni \A veya A t ile ya da X evrensel küme olmak üzere X\A ile gösterilir. 5

Hem A da hem de B de bulunan elemanların kümesine A ile B nin kesişim (veya arakesit) kümesi denir ve A B ile gösterilir. Buna göre, A B = { x : x A ve x B } dir. A da veya B de ( burada veya kelimesi ile hem A da hem B de olan elemanlar ile A da ya da B de bulunan elemanlar kastediliyor) bulunan elemanların kümesine A ile B nin birleşim kümesi denir ve A B ile gösterilir. Bunu A B = { x : x A veya x B } ile gösteririz. Kesişimin birleşim üzerine ve birleşimin kesişim üzerine dağılma özellikleri vardır, yani A (B C) = (A B) (A C) ve A (B C) = (A B) (A C) dir. İki kümenin kesişim ve birleşiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kuralları X\(A B) =(X\A) (X\B) ve X\(A B) = (X\A) (X\B) dir. Kümelerin çok sayıda elemandan oluşması halinde indisler kullanarak { x i : i I } şeklinde ya da kümenin elemanlarının sahip olduğu özelliği belirleyen kuralı yazmak suretiyle gösterilir. Mesela rasyonel sayılar kümesi Q={p/q :p Z ve q N } şeklinde gösterilir. I, herhangi bir küme olmak üzere, { x i : i I } kümesine indislendirilmis küme denir. Örneğin, { 1, 3, 5 } kümesi I={ 1, 2, 3 } olmak üzere x i =2i-1 yazarsak { x i : i I } şeklinde gösterilebilecektir.başka iki örnek olarak, tüm tek doğal sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Herhangi bir I indis kümesi tarafından {G i : i I } ise bu ailenin elemanlarınin birleşimi olan küme { x : en az bir i I için x G i } olup, i I Gi Ayni ailenin kesişimi de { x : her i I için x G i } veya { G i : i I } ya da Gi I olup, i I G i veya {G i : i I } ya da Gi I üzerinden kesişim ve birleşim için aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz. indislendirilmis kümelerin herhangi bir ailesi şeklinde yazılarak gösterilir. şeklinde gösterilir. Boş sınıf 6

{ G i : i } = ve { G i : i } = X. Bir X kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye X in kuvvet kümesi denir ve P(X) ( veya 2 X ) ile gösterilir. Bir kümeler ailesinin birleşim ve kesişiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kurallarını aşağıda veriyoruz: { G i : i I } P(X) olduğuna göre aşağıdakiler sağlanır: (i) X\( { G i : i I }) = { X\G i : i I } (ii) X\( {G i : i I }) = { X\G i : i I } İspat. (i) Eşitliğin doğru olduğunu ispatlamak için eşitliğin iki yanındaki her bir kümenin biribirinin altkümesi olduğunu göstereceğiz. Yani X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } ve { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğunu ispatlayacağız. Önce X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } olduğunu gosterelim. Bunun için herhangi bir x X\( { G i : i I }) alalım. Bu takdirde, x X ve x ( { G i : i I }) dir. Buradan x X ve en az bir i I için x G i dir. Dolayısıyla en az bir i I için x X\G i dir. Boylece x { X\G i : i I } olur. Buradan X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } elde edilmis olur. Simdi de { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) 7

olduğunu ispat edelim. Bunun için herhangi bir x { X\G i : i I } alalım. Bu durumda en az bir i I için x X\G i olur. Buradan x X ve en az bir i I için x G i elde edilir. Dolayısıyla x X ve x { G i : i I } ve dolayısıyla x X\( { G i : i I }) elde edilir. Böylece { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğu gösterilmis olur. (i) in sagındaki eşitliğin her iki yani biribirinin alt kümesi olduğundan (i) deki eşitliğin doğru olduğu gosterilmis oldu. Simdi de (ii) nin ispatını verelim. (i) deki eşitligi kullanarak bunu kısaca ispat edebiliriz. (i) deki eşitlikte G i ler yerine X\G i kümelerini alır ve X\(X\A)=A olduğunu kullanırsak, X\( { X\G i : i I }) = { X\(X\G i ) : i I } = { G i : i I }) elde ederiz. Yani { G i : i I }) = X\( { X\G i : i I }) olur. Bu eşitliğin her iki yanının X e göre tümleyeni alınırsa, X\( { G i : i I }) =X\(X\( { X\G i : i I })) = { X\G i : i I } bulunur. Bu da ispatı tamamlar. A\B kümesi ile B\A kümesinin birleşimi kümesine A A B ile gösterilir. Buna göre A B = (A\B) (B\A) ile B nin simetrik farki denir ve dir. Buna göre A B=B A olduğunu görüyoruz. Ayrıca A B nin (A B)\(A B) kümesine esit olduğu kolayca görülür. Yani A B=(A B)\(A B) dir. İki kümenin simetrik farkının tümleyeni ise birinin tümleyeni ile diğerinin simetrik farkına eşittir. Yani (A B) t =A t B=A B t dir. Bu eşitlikten faydalanarak iki kümenin simetrik farkının o kümelerin tümleyenlerinin simetrik farkına eşit olduğu gösterilebilir. İki kümenin simetrik farkının boş olması için gerek ve yeter koşul birbirlerine esit olmasıdır. Simetrik farkın kümelerden birine eşit olması için gerek ve yeter koşul diğerinin boş olmasıdır. Kesişimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği vardır, ancak birleşimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği yoktur. 8

1.1. ALISTIRMALAR ( BİRLEŞİM, ARAKESİT, TÜMLEYEN ) (9) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız. (a) t =X (b) X t = (c) A A = A (d) A A = A (e) A =A (f) A = (g) A X=X (h) A X = A (i) A\B=A B t (i) A (B C)=(A B) C (j) A (B C)=(A B) C (k) A (B C) = (A B) (A C) (l) A (B C) = (A B) (A C) (m) (A B)\C = (A\C) (B\C) (n) (A B)\C = (A\C) (B\C) (o) A t \B t =B\A (o) (A\B)\C=A\(B C) (p) A (B\C)=(A B)\(A C) (r) A\(B C)=(A\B) (A\C) (s) P(A B)=P(A) P(B) (10) A ve B herhangi iki küme olsun. Aşağıdakileri ispatlayınız. (a) A B A (b) A B B (c) A A B (d) B A B (e) P(A) P(B) P(A B) (11) A ve B iki küme olsun. A B olmasının aşağıdaki koşullardan herbirine denk olduğunu ispatlayınız. (a) B t A t (b) A B t = (c) A B=A (d) A B=B (e) A (B\A)=B (f) B\(B\A)=A (g) her bir C kümesi için A (B C)=B (C A) dir. (h) en az bir D kümesi için A (B D)=B (D A) dir. (i) P(A) P(B) (12) A B C ise B\A C\A ve C\(B\A)=A (C\B) dir. Ispat ediniz. (13) A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki denklikleri ispatlayınız: (a) A B C olması için gerek ve yeter koşul A\B C olmasıdır. (b) A B C olması için gerek ve yeter koşul A\C B olmasıdır. (14) A ve B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki esitliklerin sağlandığını gösteriniz: (a) A (B\A) = A B (b) B (A\B) = A B (c) A\(A\B) = = A B 15) A, B ve C herhangi kümeler olduğuna gore aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz: a) A B = B A ve A (B C)=(A B) (A C) dir. b) A B= olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır. c) A B=X A=B t 9

d) A φ=a ve A X=A t e) A B=A olmasi icin gerek ve yeter koşul B= olmasıdır. f) A B=B olmasi icin gerek ve yeter kosul A= olmasıdır. g) B\(A B) = A B (h) (c) A B =(A B)\(A B) (ı) A B = A t B t (i) (A B) t = A t B (j) B (B A) = A B (k) A (A B) = A B (Yol Gösterme: A B=(A B)\(A B) olduğunu kullanınız.). (l) A (A\B)=A B (m) B (B\A)=A B (n) A\(A B)= A B (o) A (B A t ) = (A B) t (k) B (A B t ) = (A B) t (ö) A B = [A (A B)] [A (A B)] (p) A B = [B (A B)] [B (A B)] (16) f, X den Y ye bir fonksiyon A X ve C Y olsun. Bu takdirde aşağıdakilerin sağlandığını ispat ediniz: (a) A B ise f(a) f(b) dir; (b) C D ise f -1 (C) f -1 (D) dir; (c) A f -1 (f(a)) (d) f(f -1 (C)) C (e) f birebirse f -1 (f(a)) A dir; (f) f örtense C f(f -1 (C)) dir. (17) Bir X kümesinden bir Y kümesine bir f fonksiyonunun birebir olmasi icin gerek ve yeter kosul X in her A alt kümesi icin A=f -1 (f(a)) olmasıdır. İspat ediniz. (18) Aşağıdakileri ispat ediniz. a) f nin birebir olması icin gerek ve yeter koşul X in her A alt kümesi için f(a) f(a t )= olmasıdır. b) f nin örten olmasi icin gerek ve yeter koşul Y nin her B alt kümesi icin f(f -1 (B))=B olmasıdır. c) f nin örten olması için gerek ve yeter koşul X in her A alt kümesi icin Y\f(A) f(x\a) olmasıdır. 4. Küme Cebiri ( Boole Cebiri) Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfı α olsun. Eğer aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa α ya bir küme cebiri (ya da Boole cebiri) denir. (i) A,B α ise A B α dir, 10

(ii) A α ise A t α dir. De Morgan kurallarından aşağıdaki özellik elde edilir. (iii) A,B α ise A B α dir, gerçekten; A B=(A t B t ) t olduğu gerçeği göz önünde bulundurulduğunda, küme cebiri özellikleri kullanılarak, elde edilir. Eğer X in alt kümelerinin bir α sınıfı (ii) ve (iii) özelliklerini sağlıyorsa bu takdirde De Morgan kurallarından (i) özelliğini sağlar dolayısıyla küme cebiri ( Boole cebiri) olur. Sonlu defa birleşim alarak, A 1, A 2,...,A n kümeleri α sınıfının elemanları iseler, A 1 A 2... A n birleşim kümesi de α sınıfının elemanıdır. Benzer şekilde, A 1, A 2,...,A n kümeleri α sınıfının elemanları iseler, A 1 A 2... A n arakesit kümesinin de α sınıfının elemanı olduğu, sonlu defa arakesit alarak, görülür. Örnek 1. Boş olmayan her X kümesi için 2 X bir küme cebiridir. Çünkü; (i) A 2 X ve B 2 X ise A B 2 X ve (ii) A 2 X ise A t 2 X dir. Örnek 2. Boş olmayan her X kümesi için α={φ,x} sınıfı bir küme cebiridir. Çünkü; (i) φ,x α ise φ X α dir ve (ii) φ t =X α ve X t =φ dir. Örnek 3. X=IN aldığımızda, α={φ,in, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} sınıfının IN üzerinde bir küme cebiri olduğunu görüyoruz. Küme cebiri ile ilgili birkaç önerme vereceğiz. Bunlardan ilkini aşağıda veriyoruz: 1. Önerme. X in alt kümelerinin herhangi bir sınıfı κ olsun. Bu takdirde κ yı kapsayan en küçük bir α küme cebiri vardır, yani β sınıfı κ yi kapsayan bir küme cebiri olduğunda β sınıfı α sınıfını kapsayacak şekilde κ sınıfını kapsayan bir α küme cebiri vardır. İspat. X in alt kümelerinin κ yi kapsayan bütün küme cebirlerinin ailesi γ olsun. α= {β: β γ} yazalım. Bu takdirde α sınıfı κ nın bir alt sınıfıdır, çünkü, γ deki her β sınıfı α yi kapsar, Hatta α bir küme cebiridir. Çünkü; A ve B kümeleri α nın elemanı ise bu takdirde her bir β γ için A β ve A β dır. β bir küme cebiri olduğundan dolayı A B β dır. Bu her bir β γ için sağlandığından dolayı A B α dır. Benzer şekilde A α ise A t α olduğunu gösterebiliriz. Gerçekten A α ise her bir β γ için A β dır. β küme cebiri olduğundan dolayı A t β dır. Bunu her β γ için yapabildiğimizden A t α dır. α nın tanımından κ yı kapsayan herhangi bir β küme cebiri için β α olur. Bu da ispatı tamamlar. 11

2. Önerme. α bir küme cebiri ve (A i ) de α nın elemanlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde n m için B n B m =φ ve U B i = U i= 1 i= 1 olacak şekilde α nın elemanlarının bir (B i ) dizisi vardır. İspat. (A i ) sonlu olduğu zaman önerme aşikar olduğundan (A i ) yi sonsuz bir dizi olarak kabul edebiliriz. B 1 =A 1 yazalım ve her n>1 doğal sayısı için B n =A n [A 1 A 2... A n-1 ]=A n [ A 1 ] [ A 2 ]... [ A n-1 ] yazalım. α nın elemanlarının arakesitleri ve tümleyenleri yine α da olduğundan her bir n doğal sayısı için B n α dır. Aynı zamanda her n doğal sayısı için B n A n dir. m<n olmak üzere B m ile B n i göz önüne alalım. Bu takdirde B m A m dir ve B m B n A m B n =A m A n... [ A m ]... =(A m [ A m ])... =φ... =φ A i olur. B i A i olduğundan U B i U i= 1 i= 1 A i dir. Herhangi bir U A i i= 1 x alalım. X elemanı A i lerden en az birine ait olmalıdır. x A i olan i değerlerinin en küçüğü n olsun. Bu takdirde x B n dir ve dolayısıyla Buradan U B i U i= 1 i= 1 A i U B n n= 1 x dir. bulunur ki böylece U i = U i= 1 i= 1 B A elde ederiz. i Eğer bir α küme cebirinin elemanlarının her sayılabilir sınıfının birleşimi yine α da bulunuyorsa α ya bir σ-cebiri ya da Borel cismi denir. Yani (A i ) dizisi α nın elemanlarının 12

bir dizisi ise U i=1 A birleşimi de α da olmalıdır. σ-cebiri tanımını küme cebiri tanımdan i ayrı olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz. Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfı α olsun. Eğer aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa α ya σ-cebiri denir. (σ i) Her n IN için A n A ise U A α dir, (σ ii) A α ise A t α dir. n= 1 n De Morgan kurallarından α nın elemanlarının sayılabilir bir sınıfının arakesiti de yine α dadır: (σ iii) Her n IN için A n A ise I A α dir. Gerçekten; n= 1 n I n= 1 n U n= 1 t n A = ( A ) A,B α olduğu gerçeği göz önünde bulundurulduğunda, σ-cebiri özellikleri kullanılarak, elde edilir. Eğer X in alt kümelerinin bir α sınıfı (σii) ve (σiii) özelliklerini sağlıyorsa bu takdirde De Morgan kurallarından (σi) özelliğini sağlar dolayısıyla σ-cebiri olur. Örnek 1. Boş olmayan her X kümesi için 2 X (i) Her n IN için A n 2 X ise A n 2 X (ii) A 2 X ise A t 2 X dir. bir σ-cebiridir. Çünkü; Örnek 2. Boş olmayan her X kümesi için α={φ,x} sınıfı bir σ-cebiridir. Çünkü; (i) φ,x α ise φ X α dir ve (ii) φ t =X α ve X t =φ dir. ve Örnek 3. X=IN aldığımızda, α={φ,in, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} sınıfının IN üzerinde bir σ-cebiri olduğunu görüyoruz. Örnek 4. α={φ,in, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} yazalım. α sınıfının IN üzerinde bir σ- cebiri olduğunu görüyoruz. Önerme 1 in ispatının biraz değişik şekilde düzenlenmesi bize aşağıdaki önermeyi verir. t 3.Önerme X in alt kümelerinin herhangi bir sınıfı γ olsun. Bu takdirde γ yı kapsayan en küçük bir σ-cebiri vardır. Yani γ yı kapsayan herhangi bir σ-cebiri β ise α β olacak şekilde γ yı kapsayan bir α σ-cebiri vardır. Problem. 13

19. Önerme 3 ü ispatlayınız. İspat. X in alt kümelerinin κ yi kapsayan bütün σ-cebirlerinin ailesi γ olsun. α= {β: β γ} yazalım. Bu takdirde α sınıfı κ nın bir alt sınıfıdır, çünkü, γ deki her β sınıfı α yi kapsar, Hatta α bir σ-cebiridir. Çünkü; Her n IN için A n kümeleri α nın elemanı ise bu takdirde her bir β δ için A n β dır. β bir σ-cebiri olduğundan dolayı n A n β dır. Bu her bir β γ için sağlandığından dolayı n A n α dır. Benzer şekilde A α ise A t α olduğunu gösterebiliriz. Gerçekten A α ise her bir β γ için A β dır. β sınıfı σ-cebiri olduğundan dolayı A t β dır. Bunu her β γ için yapabildiğimizden A t α dır. α nın tanımından κ yı kapsayan herhangi bir β σ-cebiri için β α olur. Bu da ispatı tamamlar. 5. Seçme Aksiyomu ve Sonsuz Direkt (Kartezyen) Çarpımlar Kümeler teorisinde önemli bir aksiyom seçme aksiyomu adıyla bilinen aksiyomdur. Bu aksiyom diğer aksiyomlardan bir dereceye kadar daha elementerdir ve diğerlerinden bağımsız olarak bilinir. Çoğu matematikçi seçme aksiyomu ve sonuçlarını kullanma konusunda çok açık olmayı sever, ancak biz bu aksiyomu kullanma konusunda oldukça rahat davranacağız. Aksiyomu aşağıda veriyoruz: Seçme Aksiyomu. Boş olmayan kümelerin herhangi bir sınıfı α olsun. Bu takdirde her bir A α kümesine karşılık A da bir F(A) elemanı karşılık gelecek şekilde α üzerinde tanımlı bir F fonksiyonu vardır. Buradaki F fonksiyonu seçme aksiyomu adını alır ve varlığı α daki A kümelerinin herbiri için A da bir eleman seçmenin sonucu olarak düşünülebilir. α daki kümelerin sayısı sonlu ise bunu yapmada hiçbir zorluk yoktur, fakat α nın sonsuz olması durumunda seçme aksiyomuna ihtiyacımız vardır. Eğer α daki kümeler ayrıksa, seçme aksiyomunu, α daki kümelerin her birinden bir üye alınarak oluşturulan bir temsilci seçmenin olasılığını iddia etmek olarak düşünebiliriz. Bir I indis kümesi ile indislendirilmiş kümelerin bir sınıfı α={x i } olsun. i X i direkt çarpımını, I ile indislendirilmiş bütün {x i } kümelerinin x i X i özelliğine sahip sınıfı olarak tanımlıyoruz. Eğer I={1,2} ise X 1 ve X 2 kümelerinin daha önce verdiğimiz X 1 xx 2 kartezyen çarpımı tanımı karşımıza çıkar. Eğer z={x i } elemanı i X i nin bir elemanı ise x i ye z nin i inci koordinatı denir ve z={x i } yerine z=(x i ) yazılır. 14

Eğer X i lerin bir tanesi boş kümeyse i X i kartezyen çarpım kümesi de boştur. Seçme aksiyomu aşağıdaki karşıt ifadeye eşdeğerdir: Eğer X i lerin hiç biri boş değilse, bu takdirde i X i kartezyen çarpım kümesi de boş değildir. Bu sebepten dolayı Bertrand Russell seçme aksiyomu yerine çarpımsal aksiyom demeyi tercih etmiştir. Problem 20. f : X Y dönüşümü Y üzerine olsun. Bu takdirde fog bileşkesi Y üzerinde özdeşlik fonksiyonu olacak şekilde bir g:y X dönüşümü vardır. [{ A : A=f -1 [{y}] olacak şekilde en az bir y Y vardır.} sınıfına seçme aksiyomunu uygulayınız. ]. 6 Sayılabilir Kümeler Daha önce bir kümenin bir dizinin değerler kümesi olduğunda sayılabilir küme olduğunu belirtmiştik. Sonlu bir dizinin değer kümesi oluyorsa sonlu küme deriz, ancak sonsuz bir dizinin değer kümesi de sonlu olabilir. Aslında boş olmayan her sonlu küme sonsuz bir dizinin değer kümesidir. Örneğin; {x 1, x 2,..., x n } kümesi 1 i n için x i =x i ve i>n için x i =x n olarak tanımlanan (x i ) dizisinin değer kümesidir. Eğer sonlu terimi biribirinden farklı dizinin değil de sonsuz terimi biribirinden farklı bir dizinin değer kümesi oluyorsa kümeye sayılabilir sonsuz küme denir. Doğal sayılar kümesi IN sayılabilir sonsuz kümeye bir örnektir. Konumuzda daha fazla ilerlemeden boş küme ile ilgili düşünelim. Boş küme hiçbir dizinin değer kümesi değildir. Bununla beraber, boş kümeyi sonlu ve dolayısıyla sayılabilir olacak şekilde sonlu ve sayılabilir kümeleri tanımlamak uygun olacaktır. Tanım Boş küme ya da sonlu bir dizinin değer kümesi olan kümeye sonlu küme denir. Boş küme ya da bir dizinin değer kümesi olan kümeye sayılabilir (numaralanabilir) küme denir. Hemen görülebileceği gibi sayılabilir bir kümenin görüntüsü de sayılabilirdir, yani sayılabilir tanım kümesine sahip her fonksiyonun değer kümesi sayılabilirdir ve benzer bir durum sonlu kümeler için de vardır. Biraz farklı fakat denk bir tanım olan birebir eşleme kavramına dayalı tanımı vermek matematikte yaygın olarak yapılır. Önce sonlu bir küme ile birebir eşleme yapılabilen her kümenin sonlu olması gerektiğine ve sayılabilir bir küme ile birebir eşleme yapılabilen her kümenin 15

sayılabilir olması gerektiğine dikkat ediyoruz. Doğal sayılar kümesi IN sayılabilir fakat sonlu olmadığından doğal sayılar kümesi IN ile birebir eşleme yapılabilen her küme sayılabilir sonsuzdur. Bizim burada verdiğimiz tanımın alışılmış geleneksel kullanımına denk olduğunu göstermek için eğer bir sonsuz E kümesi bir (x n ) dizisinin değer kümesi ise bu takdirde E nin doğal sayılar kümesi IN ile birebir eşleme yapılabildiğini göstememiz gerekir.. Bunu yapmak için IN den IN e aşağıdaki şekilde ardışık olarak bir ϕ fonksiyonu tanımlayalım: ϕ(1)=1 olsun ve ϕ(n+1) değerini i ϕ(n) özelliğini sağlayan bütün i ler için x m x i olacak şekildeki en küçük m değeri olarak tanımlayalım. E sonsuz olduğundan böyle bir m sayısı daima mevcuttur ve IN için iyi sıralama prensibinden dolayı daima böyle bir en küçük m vardır. n x ϕ(n) eşlemesi IN ile E arasında birebir bir eşlemedir. Böylece bir kümenin sayılabilir sonsuz olması için gerek ve yeter koşulun IN ile birebir eşlenebilmesi olduğunu göstermiş olduk. Şimdi sayılabilir kümeler ile ilgili bazı basit önermeler verecek duruma geldik: 4. Önerme Sayılabilir bir kümenin her alt kümesi de sayılabilirdir. İspat. E={x n } kümesi sayılabilir herhangi bir küme olsun ve A da E nin herhangi bir alt kümesi olsun. A boş ise tanımdan sayılabilirdir. Eğer A boş değilse A dan bir x seçelim. x n A ise y n =x n ve x n A ise y n =x yazarak yeni bir (y n ) dizisi tanımlayalım. Bu takdirde A kümesi (y n ) dizisinin değer kümesidir dolayısıyla sayılabilirdir. 5. Önerme A sayılabilir bir küme olsun. Bu takdirde terimleri A dan alınan bütün sonlu dizilerin kümesi de sayılabilirdir. İspat. A kümesi sayılabilir olduğundan dolayı doğal sayılar kümesi IN in bir alt kümesi ile birebir eşleme yapılabilir. Dolayısıyla, bütün doğal sayı dizilerinin S kümesinin sayılabilir olduğunu ispatlamak yeterlidir. (2,3,5,7,11,,p k,,) dizisi asal sayılar dizisi olsun. Bu takdirde x1 x1 x k IN nin her bir n elemanı x i IN o =IN {0} ve x k >0 olmak üzere n = 2.3...p k şeklinde bir tek çarpım olarak yazılabilir. IN üzerinde tanımlı f fonksiyonu n doğal sayısını terimleri N o dan alınan (x 1,x 2,,x k ) sonlu dizisine karşılık getiren fonksiyon olsun. Bu takdirde S kümesi f fonksiyonunun değer kümesinin bir alt kümesidir. Bu takdirde S kümesi Önerme 4 den dolayı sayılabilirdir. 6.Önerme Rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. 7.Önerme Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimi sayılabilirdir. İspat. Sayılabilir kümelerin sayılabilir bir sınıfı α olsun. Eğer α daki kümelerin hepsi boş küme ise birleşimi boş olacak ve dolayısıyla sayılabilir olacaktır. Böylece α nın boş olmayan 16

kümeler içerdiğini ve boş kümenin α nın birleşimine hiç bir şey katmayacağından α daki kümelerin boş olmayan kümeler olduğunu kabul edebiliriz. Böylece her bir A n kümesi ( x nm ) m =1 sonsuz dizisinin değer kümesi olmak üzere α sınıfı sonsuz bir ( A n ) n =1 dizisinin değer kümesidir. (n,m) den x nm e tanımlanan dönüşüm doğal sayıların sıralı çiftlerinin kümesinden α nın elemanlarının birleşimi üzerine bir fonksiyondur. Doğal sayıların sıralı ikililerinin kümesi sayılabilir olduğundan, α sınıfının birleşimi de sayılabilir olmalıdır. Problemler 21. Sonlu bir kümenin her alt kümesi de sonludur. 22. Önerme 4 ve 5 i kullanarak Önerme 6 yı ispat ediniz.[yol Gösterme: (p,q,1) p/q (p,q,2) -p/q (1,1,3) 0 şeklinde tanımlanan fonksiyon tanım kümesi IN in elemanlarının sonlu dizilerinin kümesinin bir alt kümesi ve değer kümesi rasyonel sayılar kümesi olan bir fonksiyondur.]. 23. Terimleri {0,1} kümesinden alınan sonsuz dizilerin E kümesinin sayılamaz olduğunu ispat ediniz. [ Yol Gösterme: IN den E ye bir fonksiyon E olsun. Bu takdirde f(v) bir ( a vn ) n =1 dizisidir. b v =1-a vv yazalım. Bu takdirde (b v ) dizisi de terimleri {0,1} in elemanlarından oluşan bir dizidir ve her bir v IN için (b n ) (a vn ) dir. Bu ispat yöntemi Cantor diagonal işlemi olarak bilinir.]. 24. Bir X kümesinden X in bütün alt kümelerinin p(x) sınıfına bir fonksiyon f olsun. Bu takdirde f in değer kümesinde olmayan bir E X kümesi vardır. (E={x: x f(x) } alınız.). 25. Seçme aksiyomunu ve genelleştirilmiş ardışık tanımını her sonsuz X kümesininn sayılabilir sonsuz bir alt küme kapsadığını göstermek için kullanınız. 7. Bağıntılar ve Denklikler Verilen x ve y biribirine x=y, x y, x y ifadelerinde olduğu gibi ya da sayılar için x<y ifadesinde olduğu gibi çok şekillerde bağlı, bağıntılı olabilir. Genel olarak, eğer x ve y verilmişse x R bağıntısına göre y ye bağlı olur ( xry yazılır) ya da x R bağıntısına göre y ye bağlı olmaz. Eğer xry olması x X ve y X olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X üzerinde bir bağıntıdır denir. Eğer X kümesi üzerinde bir bağıntı R ise R nin grafiğini {(x,y): xry } olarak tanımlarız. Eğer (xry) (xsy) oluyorsa R ve S bağıntılarını aynı olarak 17

gözönüne aldığımızdan, X üzerindeki her bağıntı grafiği tarafından bir tek olarak tespit edilebilir ve karşıt olarak, XxX in her bir alt kümesi X üzerindeki bir bağıntının grafiğidir. Böylece istersek, X üzerindeki bir bağıntıyı onun grafiği ile aynı alabiliriz ve bağıntı tanımını XxX in bir alt kümesi olarak verebiliriz. Kümeler teorisi ile ilgili çoğu çalışmada bağıntı genel olarak basitçe sıralı ikililerin bir kümesi olarak verilir. Eğer X deki her x,y,z için xry ve yrz olması xrz olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X kümesi üzerinde geçişmelidir denir. Buna göre = ve < ler reel sayılar kümesi üzerinde geçişmeli bağıntılardır. Eğer X deki her x ve y için xry olması yrx olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X üzerinde simetriktir denir. Eğer her x X için xrx oluyorsa R ye X üzerinde yansımalıdır denir. X üzerinde geçişmeli, yansımalı ve simetrik olan bir bağıntıya X üzerinde bir denklik bağıntısıdır denir ya da basitçe X üzerinde bir denkliktir denir. nın bir X kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu kabul edelim. Verilen bir x X için E x kümesi x e denk olan elemanların kümesi olsun, yani E x ={y: y x } olsun. Eğer y ve z nin her ikisi de E x de ise bu takdirde y x ve z x dir ve simetri ile geçişme özelliklerinden z y elde ederiz. O halde E x in herhangi iki elemanı denktir. Eğer y E x ve z y ise bu takdirde z y ve y x dir ki buradan z x ve böylece z E x olur. Böylece E x in bir elemanına denk olan X in her elemanı E x in bir elemanıdır.sonuç olarak, X in herhangi x ve y elemanları için E x ve E y kümeleri ya eşittir (x y ise) ya da ayrıktır (eğer x y ise). {E x : x X} sınıfındaki kümeler altında X in denklik kümeleri ya da X in denklik sınıfları adını alır. O halde X kümesi altındaki denklik sınıflarının ayrık bir birleşimidir. x E x ve hiç bir denklik sınıfının boş olmadığına dikkat ediniz. Bir denklik sınıfına göre denklik sınıflarının topluluğu X in bağıntısına göre bölümü adını alır ve bazen X / ile gösterilir. x E x dönüşümüne X den X / üzerine doğal dönüşüm adı verilir. XxX den X e bir dönüşüme X kümesi üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer x x ve y y olması x+y x +y olmasını gerektiriyorsa, denklik bağıntısına + ikili işlemi ile uyumludur denir. Bu durumda + işlemi q=x / bölümü üzerinde aşağıdaki şekilde bir işlem tanımlar: Eğer E ve F nin ikisi de q ya aitse x E, y F seçelim ve E+F yi E x+y olarak tanımlayalım. bir denklik bağıntısı olduğundan E+F nin x ile y nin seçimine bağlı değil yalnız E ve F ye bağlı olduğu görülmektedir. Daha çok ayrıntı için okuyucu Birkoff ve Maclane [2] de sayfa 145 e bakabilir. Problemler 26 Yukarıda tanımlanan F+G nin yalnız F ve G ye bağlı olduğunu ispatlayınız. 18

27 + işlemine göre bir abelian grup X olsun. Bu takdirde işleminin + ile uyumlu olması için gerek ve yeter koşul x x olmasının x+y=x +y olmasını gerektirmesidir. Elde edilen işlem bölüm uzayını grup yapar. 8. Kısmi Sıralamalar ve Maksimal Prensibi X deki her x, y için xry ve yrx olması x=y olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X kümesi üzerinde antisimetriktir denir. Eğer bir < bağıntısı X üzerinde geçişmeli ve antisimetrik ise kısmi sıralama denir. Buna göre bağıntısı reel sayılar kümesi üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır ve de p(x) üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Eğer X in x ve y elemanları için ya x<y ya da y<x oluyorsa X üzerindeki < kısmi sıralama bağıntısına bir lineer sıralama ( ya da sadece sıralama) denir. Buna gore bağıntısı IR reel sayılar kümesi üzerinde bir lineer sıralamadır ancak bağıntısı p(x)=2 X üzerinde bir lineer sıralama değildir. Eğer X üzerinde bir kısmi sıralama < ise ve a<b ise çoğu zaman a b den önce gelir ya da b, a yı takip eder (izler) deriz. Bazen a, b den küçüktür, ya da b, a dan büyüktür deriz. Eğer E X ise ve eğer x E ve x a olduğunda a<x oluyorsa bir a E elemanı E de ilk elemandır ya da E de en küçük elemandır deriz. Benzer şekilde son ( ya da en büyük) elemanlar için tanım verilebilir. Eğer x a ve x<a olacak şekilde hiç bir x E yoksa a E elemanına E nin bir minimal elemanıdır denir, ve benzer şekilde maksimal elemanlar için tanım verilebilir. Eğer bir küme en küçük elemana sahipse bu takdirde a elemanı minimal eleman olduğuna dikkat edilmelidir. Eğer < bir lineer sıralama ise, bir minimal eleman bir en küçük elemandır, fakat genel olarak en küçük eleman olmayan minimal elemanları bulmak da mümkündür. Bizim kısmi sıralama tanımımız x<x olmasının gerekliliği ya da olasılığı hakkında hiç bir kabul içermez. Eğer bütün x ler için x<x oluyorsa < ya yansımalı bir kısmi sıralama denir. Eğer hiç bir zaman x<x olmuyorsa < ya kesin kısmi sıralama denir. Böylece < reel sayılar için bir kesin kısmi sıralamadır ve de yansımalı bir kısmi sıralamadır. Her (x,y) için < ile uyumlu olan bir tek yansımalı kısmi sıralam ve bir tek kesin kısmi sıralama karşılık gelir. Eğer < herhangi bir kısmi sıralama ise karşılık gelen yansımalı kısmi sıralama için yı kullanırız. Aşağıdaki prensip seçme aksiyomuna eşdeğerdir ve çoğu zaman uygulama için daha uygundur. Bu denkliğin ispatı için ve ilgili prensiplerin bir incelemesi için Suppes [23], Bölüm 8, ya da Kelley [14] de sf. 31-36 ya bakınız. Hausdorff Maksimal Prensibi. Bir X kümesi üzerinde bir kısmi sıralama < olsun. Bu takdirde 19

X in bir maksimal lineer sıralı S alt kümesi vardır; yani < tarafından lineer sıralı ve S T X ve T sıralaması < tarafından lineer sıralı olduğunda S=T olması özelliğini sağlayan X in bir S alt kümesi vardır. Problemler 28. X üzerinde bir kısmi sıralama < olsun. Bu takdirde x y için x<y x<y x y olacak şekilde bir tek yansımalı kısmi sıralaması vardır. Ve bir tek kesin kısmi < sıralaması vardır. 29. Bir tek minimal elemanı olan fakat en küçük elemanı olmayan bir kısmi sıralama örneği veriniz. 9. İyi Sıralama ve Sayılabilir Ordinaller Eğer X in boş olmayan her alt kümesi bir ilk elemana sahipse, X üzerindeki bir < kesin lineer sıralamasına X iyi sıralar denir ya da X için bir iyi sıralamadır denir. Böylece eğer X=IN alırsak ve < ile den küçük olmasını kastedersek bu takdirde IN kümesi < ile iyi sıralı olur. Diğer taraftan, bütün reel sayılar kümesi IR de küçük bağıntısı ile iyi sıralı değildir. Aşağıdaki prensibin seçme aksiyomunu gerektirdiği açıktır ve ona eşdeğer olduğu gösterilebilir. ( Suppes [23], Bölüm 8, ya da Kelley [14], sf. 31-36. İyi Sıralama Prensibi: Her X kümesi iyi sıralanabilir, yani X i iyi sıralayan bir < bağıntısı vardır. 8. Önerme: Aşağıdaki şekilde bir < bağıntısı tarafından iyi sıralanmış sayılamayan bir X kümesi vardır: i. X de bir Ω en son elemanı vardır., ii. Eğer x X ve x Ω ise bu takdirde { y X: y<x } kümesi sayılabilirdir. İspat. Sayılamayan herhangi bir küme Y olsun. Diyelim ki Problem 23 de verilen gibi bir sayılamayan bir küme verilsin. İyi sıralama prensibinden, y için bir < iyi sıralaması vardır. Eğer Y bir en son elemana sahip değilse bir α Y elemanı alalım. Y nın yerine Y {α} kümesini alalım, ve < sıralamasını her y Y için y<α ile tanımlayarak < sıralamasını genişletelim. Bu yeni Y kümesi en küçük elemana sahiptir ve < ile iyi sıralıdır. Y deki {x Y: x<y} kümesi sayılamaz olacak biçimdeki y lerin kümesi boş olmayan bir kümedir, çünkü Y nin en son elemanını içerir. Ω elemanı bu kümedeki en küçük eleman olsun ve X={x Y: x<ω ya da x=ω} olsun. Bu takdirde X aranan kümedir. 20

Yukarıdaki önermede verilen iyi sıralanmış X kümesi örnekler oluşturmak için çok faydalıdır. Eğer Y aynı özelliklere sahip diğer bir iyi sıralı küme ise bu takdirde X ile Y arasında sıralamayı koruyan birebir bir eşleme olması anlamında önermedeki X kümesi bir tektir. X deki en son elemana ilk sayılamaz ordinal ve X e ilk sayılamayan ordinale eşit ya da küçük ordinallerin kümesi denir. X<Ω elemanlarına sayılabilir ordinaller denir. Eğer {y: y<x } sonlu ise x e sonlu ordinal deriz. Eğer w sonlu olmayan ilk ordinalse bu takdirde {x: x<w} kümesi sonlu ordinaller kümesidir ve sıralı küme olarak pozitif tamsayılar kümesi IN e eşdeğerdir. Problemler 30. a) İyi sıralı bir kümenin her alt kümesi de iyi sıralıdır. b) X in boş olmayan her alt kümesi en küçük elemana sahip olması özelliğine sahip bir X kümesi üzerinde bir kısmi sıralama < ise bu takdirde < bir lineer sıralamadır ve sonuç olarak bir iyi sıralamadır. 31. İlk sayılamayan ordinalden küçük olan ordinallerin kümesi Y olsun, yani Y={x X : x<ω} olsun. Y nin her sayılabilir alt kümesinin Y de bir üst sınıra sahip olduğunu ve dolayısıyla en küçük üst sınıra sahip olduğunu gösteriniz. ( her bir x E için x b ise b elemanı E için bir üst sınırdır. Eğer her b* üst sınırı için b b* oluyorsa en küçük üst sınırdır.). 32. Bir y X için S={x X : x<y } ise ya da S=X ise iyi sıralı X kümesinin S alt kümesine doğru parçası (segment) denir. Segmentlerin birleşiminin de segment olduğunu gösteriniz. 33. X ile Y iyi sıralı iki küme olsun. Eğer her bir x X için f(x) elemanı ilk eleman oluyorsa fakat f[z:z<x] kümesinde bulunmuyorsa, X den Y ye olan f fonksiyonuna ardışıklığı koruyan denir. (a) X den Y en fazla bir tane ardışıklığı koruyan dönüşüm vardır. (b) Ardışıklığı koruyan bir dönüşümün değer kümesi bir segmenttir. (c) Eğer f fonksiyonu ardışıklığı koruyorsa bu takdirde f fonksiyonu sıralamayı koruyan birebir bir dönüşümdür ve aynı zamanda f -1 fonksiyonu da sıramayı koruyan bir dönüşümdür. (d) Eğer f fonksiyonu X den Y içine ardışıklığı koruyan bir dönüşümse bu takdirde f in bir segmente kısıtlaması da ardışıklığı korur. (e) Eğer X ile Y iyi sıralı kümelerse bu takdirde bunların birinden diğerinin bir segmentine ardışıklığı koruyan bir dönüşüm vardır; yani ya X den Y nin bir segmentine ardışıklığı koruyan bir dönüşüm ya da Y den X in bir segmentine ardışıklığı koruyan bir segment vardır. [ Yol Gösterme: Üzerinde Y ye ardışıklığı koruyan dönüşüm var olan bütün 21

segmentlerin sınıfını gözönüne alınız. Bu sınıfın S birleşiminden Y içine olan ve S=X ya da f[s]=y olan bir ardışıklığı koruyan f dönüşümünün var olduğunu ispat ediniz.] (f) Önerme 8 deki iyi sıralı X kümesinin izomorfizm açısından bir tek olduğunu gösteriniz. 22