MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri
KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A., 1998; Soyut Matematik, Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Yayınları 2. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A., 1998; Çözümlü Soyut Matematik Problemleri 3. Çelik, B.,B. 2010 ; Soyut Matematik I, Dora Yayınevi, Bursa 4. Özer, O.,Çoker, D.,Taş, K., 1996; Soyut Matematik, İzgi Yayınevi. 5. Fraleigh, J.B., 1982; First Course in Abstract Algebra, Addison-vesley 6. Karaçay, K., 2009; Soyut Matematiğe Giriş, ttm Yayınları, Ankara.
1. Giriş 2. Önerme ve doğruluk değeri 3. Denk önermeler 4. Bir önermenin olumsuzu 5. Bileşik önermeler 6. Önerme Formülü 7. Uyuşma ve Çelişme 8. Mantıksal Denklik 9. Temel özelikler 10. Teoremler için İspat yöntemleri 11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek 12. Mantıksal gerektirme 13. Açık önerme 14. Evrensel niceleyici 15. Varlıksal niceleyici 16. Nıceleycıler ve bağlaçlar 17. Niceleyicilerle olumsuzlama 18.Niceleyicilerin dağıtıcılığı
1. Giriş MANTIK «Gerçeği ararken yapılan zihin işlemlerınden hangilerinin doğru ve hangilerinin yanlış yola çıktığını gösteren bilim» Mantık, doğru düşünme kuralları bilgisidir. Sembolik mantık. Bu dil yardımıyla karışık kavramları öğrenmek ve matematik konularını daha kesin bir anlatımla vermek kolaylaşacaktır.
2. Önerme ve doğruluk değeri 1. Tanım: Doğru ile yanlıştan biri ve yalnız biri ile nitelenebilen bir bildiri cümlesine önerme denir. Emir, soru ve ünlem cümleleri önerme değildir. 1. Örnek: her biri önermedir a) 2+3=9 b) Asal ve çift olan bir tam sayı vardır c) π sayısı 22/7 sayısına eşitdir 2.Örnek: hiç biri önerme değildir a) Dersden sonra şehri gezelim. b) Kaç yaşındasınız? c) x + 3 = 7
2. Önerme ve doğruluk değeri 2.Tanım: Bir önerme doğru ise bu önermeye 1 sayısı (veya D harfi), yanlış ise 0 sayısı (veya Y harfi) karşılık getirilir. Bu sayıya, önermenin doğruluk değeri denir. 3. Örnek: 1. π =3,1416 (doğruluk değeri 0) 2. 2+2=4 (doğruluk değeri 1)
2. Önerme ve doğruluk değeri Önermeler p,q,r,... gibi küçük harflerle gösterilir. Doğruluk değeri bakımından bir önerme için iki durum, iki önerme için dört durum vardır. Birbirınden farklı n tane önerme verildiğinde, doğruluk değerleri bakımından bunlar arasında birebirine göre 2 n farklı durum vardır. P 0 1 p q 1 1 1 0 0 1 0 0
3. Denk önermeler 1. Tanım: Doğruluk değerleri eşit olan iki önermeye mantıkça denk veya kısaca denk (eşdeğerli) önermeler denir. p ve q önermelerinin denkliği p q biçiminde gösterilir. 1. Örnek: p: 1+1=2 q: Ankara Türkiyenin başkentidir. Bu önermelerin her ikisinin doğruluk değeri 1 olduğundan bu önermeler mantıkça denk iki önermedir. p q
4. Bir önermenin olumsuzu. 1. Tanım: Bir p cümlesine önermesi verilmiş olsun. p önermesi doğru ise bundan bir yanlış bir önerme, yanlış ise doğru bir önerme elde etmeye önermeyi olumsuzlama veya önermeyi değilleme denir. p önermesinden olumsuzlama ile elde edilen önermeye p önermesinin olumsuzu veya değili denir. p önermenin olumsuzu p, p, ~p veya p simgelerinden biri ıle gösterilir. 1. Örnek: p: 2<3 p : 2 3 q: Ben ögrenciyim q : Ben ögenci değilim
5. Bileşik önermeler İki ya da daha çok önerme «ve», «veya», «ise» ve «ise ve yalnız böyle ise» bağlaçlarından en az biri ile birbirine bağlanarak yeni önermeler tanımlanabilir. Bu önermelere bileşik önermeler denir. 1. Tanım: «p ve q» ifadesi p ve q önermelerinden her ikisi doğru olduğu zaman doğru öteki durumlarda yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir. p q 1.Örnek: 2+3 = 5 1+2=4 Doğruluk değerı 0 p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
5. Bileşik önermeler 2.Tanım: «p veya q» ifadesi p ve q önermelerinden her ikisi yanlış olduğu zaman yanlış, öteki durumlarda doğru olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin birleşimi denir. p q 2.Örnek: Ankara Türkiyededir 1+2=4 Doğruluk değerı 1 p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
5. Bileşik önermeler 3.Tanım: «p ise q» ifadesi p doğru, q yanlış oldugu zaman yanlış, öteki durumlarda doğru olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye koşullu (şartlı) önerme denir. p önermesine koşullu önermenin hipotezi (varsayımı), q önermesıne de hükmü (yargısı) denir. p q 2.Örnek: Bursa Türkiyede ise 1+1=3 dür. Doğruluk değeri 0 p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
5. Bileşik önermeler 4.Tanım: p q bir koşullu önerme olsun, p önermesıne q için yeter koşul, q önermesine p için gerek koşul denir. a) p ise q dur b) p, q yu gerektirir c) p, q için yeter koşuldur d) q, p için gerek koşuldur 5.Tanım: p q bir koşullu önerme olsun, p q, q p ve q p, önermelerine sıra ile, p q önermesin tersi, karşıtı, karşıt tersi denir. 6.Tanım: Doğru oldukları önceden ispatlanmış olan önermelere teorem denir. 7.Tanım: p ve q herhangi iki önerme olduğuna göre, (p q ) q p bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir. p q
5. Bileşik önermeler p q p q q p (p q ) q p p q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4.Örnek: «Bursa Türkiyede ise ve yalnız böyle ise, 2+2=6 dır.» önermesinin doğruluk değeri nedır? p q a) p ise q dur ve q ise p dir. b) p, q yu gerektirir ve q, p yi gerektirir c) p için gerek ve yeter koşul q dur d) p için q olması gerek ve yeterdir
6. Önerme Formülü 1.Tanim: p,q,r,... Harflerden her biri degişken önermeleri göstermek üzere, bunlar yerine degişmez önermenler konduğunda önermeye dönüşen ifadelere önerme formülü denir. 1.Örnek: p,q değişken önerme göstermek üzere p, p q, p q, ve (p q ) q ifadelerinden her biri önerme formülüdür.
6. Önerme Formülü 2.Örnek: (p q ) önerme formülünün doğruluk çizelgesini düzenleyiniz. p q q p q (p q ) 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1
7. Uyuşma ve Çelişme 1.Tanım: Değişkenleri yerıne yazılacak her bir önerme için doğru bir önerme veren önerme formülüne uyuşma (topoloji), yanlış bir önerme veren önerme formülüne çelişme denir. Uyuşmaya bazan çelişmez de denir. 1. Örnek: p p önerme formülünün uyuşma, p p önerme formülünün çelişme olduğunu gösteriniz. p p p p p p p p 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1.Teorem: Uyuşmanın olumsuzlugu çelişme, çelişmenin olumsuzu uyuşmadır.
8. Mantıksal Denklik 1.Tanım: Değişkenleri yerine yazılacak her önerme için aynı doğruluk değerinde önermeler veren iki önerme formülüne birbirine mantıkça denk veya kısaca denk önerme formülleri denir. işareti: 1.Örnek: (p q) p p q olduğunu gösteriniz. p q p q p (p q) p 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 p q p p q 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0
9. Temel özelikler 1.Teorem: p,q ve r değişken önermeleri, f degişken doğru önermeleri, t de değişken yanlış önermeleri gösterdiğine göre, aşağıdaki özelikler vardır. 1) Tek kuvvet özelikleri: p p p p p p 2) Değişme özelikleri: p q q p p q q p 3) Birleşme özelikleri: p q r p q r p q r p q r 4) Dağılma özelikleri: p q r p q (p r) p q r p q (p r) p q r p r q r p q r p r q r
9. Temel özelikler 5) Özdeşlik özelikleri: p t p ve p f f p t t ve p f p 6) Tamlama özelikleri: p p f p p t 7) İnvolusyon (çifte degilleme) özelliği: p p 8) De Morgan özelikleri: p q p q (p q) p q 2.Teorem: p ve q değişken önermeler olduğuna göre, p q p q dır. İspat: p q p q p p q 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
9. Temel özelikler 3.Teorem: p ve q değişken önermeler olduğuna göre, p q q p dür. İspat: p q p q q p (q ) p q p 4.Teorem (Tümdengelim ilkesi): p,q ve r herhangi üç önerme olduğuna göre, (p r) (r q) bileşik önermesinin doğru olduğu durumlarda p q bileşik önermesi de doğrudur. İspat: p q r p q p r r q (p r) (r q) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
10. Teoremler için İspat yollary Teoremlerin p q biçiminde olduğunu ifade etmek mümkindir. Teoremi ispat edebilmek için bilmemiz gereken iki şey vardır: 1) Bir önermenin doğru olduğunun nasıl ğösterileceği, 2) Bir önermenin yanlış olduğunun nasıl ğösterileceği. Doğrudan ispat p q nun doğru olduğunu göstermek için p r 1 (r 1 q) nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. r 1 q nun doğru olduğunu göstermek için r 1 r 2 (r 2 q) nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Benzer şey r 2 q için tekrarlanarak bu işleme n gezek adım devam edildiği düşünülürse, sonunda p q nun doğru olduğunu göstermek için p r 1 (r 1 r 2 ) r 2 r 3 r n q nun doğru olduğunu göstermenin yeterli olacağı anlaşılır. 1.Örnek: n doğal sayısı tek ise n 2 nin tek olduğunu gösteriniz. Çözüm: n tek n=2k+1 (tek sayı tanımı) n=2k+1 n 2 = 4k 2 +4k+1 (çarpma kuralları) n 2 = 4k 2 +4k+1 n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 (toplama) n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 n 2 = 2k +1 (2k 2 +2k yerine k yazılacak) n 2 = 2k +1 n 2 tek sayı
10. Teoremler için İspat yollary Dolaylı ispat p q q p p q nun doğru olduğunu göstermek için q p nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Olmayana ergi yöntemiyle ispat 2.Örnek: 3x + 2 5ise 2x + 3 5 olduğunu gösteriniz. Çözüm: (3x + 2 5 2x + 3 5) (2x + 3 = 5 3x + 2 = 5) 2x + 3 = 5 2x + 3 = 2 + 3 (toplama tanımı) 2x + 3 = 2 + 3 2x = 2 (sadeleşdirme özeliği) 2x = 2 x = 1 (sadeleşdirme özeliği)) x = 1 3x = 3 (iki yana 3 ile çarpmak) 3x = 3 3x + 2 = 3+2 (iki yana 2 ekleyerek) 3x + 2 = 3+2 3x + 2 = 5 (toplama tanımı)
10. Teoremler için İspat yollary p q (p q) (p q ) Çelişki bulma yöntemi 3.Örnek: 2x + 3 = 5 ise 3x + 2 = 5 olduğunu gösteriniz. Çözüm: (2x + 3 = 5 3x + 2 = 5) (2x + 3 = 5 3x + 2 5) (2x + 3 = 5 3x + 2 5) (2x + 3 = 2 + 3 3x + 2 3 + 2) (2x = 2 3x 3) (x = 1 x 1) olduğundan, 2x + 3 = 5 3x + 2 5 ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla 2x + 3 = 5 3x + 2 = 5 ifadesi doğrudur.
11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek Akşine örnek bulma p q ifadesi verilmiş olsun. p q = p q p q nun doğru olduğunu gösteren bir tek örnek bulunursa p q nun yalnış ifade olduğu gösterilmiş olur. 1.Örnek: Bir doğal sayı 6 ve 4 sayılarına ayrı ayrı bölünürse bu doğal sayı 24 ile bölünür. Çözüm: n 6 n 4 n 24 p: n 6 n 4 q: n 24 n=60 için q önermesi yanlıştır, p q önermesi doğrudur. Buna göre, p q yanlış olur.
11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek Çelişme bulma p q ifadesi verilmiş olsun. Onun doğru mu yoksa yanlış mı olduğu bilinmiyorsa, bu önermey doğru varsayılarak önermeden bazı sonuçla elde edilir. Elde edilen sonuçlar bilinerle ya da birbiri ile çelişilse, p q biçiminde ifade edilen önermenin yanlış olduğu sonuçuna varılır. 2.Örnek: «Bir doğal sayı tek ise bu doğal sayın karesi çift sayıdır.» önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Çözüm: «n tek sayı» «n 2 çift sayı» ( I. sonuç) Öte yandan n tek sayı n=2k+1 n=2k+1 n 2 = 4k 2 +4k+1 n 2 = 4k 2 +4k+1 n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 n 2 tek sayıdır. Yani, «n tek sayı» «n 2 teksayı» ( II. sonuç) önermesi doğrudur. Birinci ve ikinci sonuçlarda elde edilenler birbiriyle çeliştiğinden verilen önerme yanlıştır.
12. Mantıksal gerektirme 1.Tanım: A ve B ile gösterilen iki önerme kalıbı için, A B önerme kalıbı geçerli bir önerme kalıbı (totoloji) ise, A önerme kalibi, B önerme kalıbını mantıksal olarak gerektirir, denir. işareti:a B 1. Örnek: p ve q basit önerme kalıpları olmak üzere, (p q) önerme kalıbı q önerme kalıbını gerektirir. (p q) q 2. Örnek: (p q) önerme kalıbı (p q) önerme kalıbını gerektirir, diyemeyiz. 3.Örnek: p p q önerme kalıbı, q önerme kalıbını mantıksal gerektirir. [p p q ] q p q p q (p q) q p q p q (p q) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
12. Mantıksal gerektirme [p p q ] q p p q q p önermesi ve p q önermesi doğru ise bunların doğruluğundan zorunla olarak, q nün doğruluğu çıkar. 4. Örnek: p q q r p r çıkarımı geçerli bir çıkarım mıdır?
13. Açık önerme 1.Tanım: İçinde değişken (ya da değişkenler) bulunduran ve değişkenin (ya da değişkenlerin) aldığı her bir değer için bir önerme olan ifadelere açık önerme denir. 1.Örnek: Aşağıdakilerden yer biri açık önermedir. a) x tam sayısı sıfırdan büyüktür. b) x=3 ve y=3 dir. c) x 2 +y 2 = 1 dir. 2.Örnek: x herhangi bir doğal sayı olmak üzere x+2>7 ifadesi doğal sayılar cümlesi üzerinde tanımlanan açık bir önermedir. Bu önermeni p(x) ile gösterelim. 2. Tanım: Bir A cümlesi üzerinde tanımlanan p(x) açık önermesininden x yerine yazıldığında doğru önermeler veren elemanların cümlesine p(x) açık önermesinin doğruluk cümlesi denir. 3.Örnek: x+3>11açık bir önermenin doğruluk cümlesini D ile gösterelim. D={9,10,11,.} dir.
13. Açık önerme 3.Tanım: A cümlesinde tanımlanan iki açık önerme p(x) ve q(x) ollsun. A nın her bir n elemani için bu açık önermelerden elde edilen p(n) ve q(n) önermeleri birbirine denk ise, p(x) ve q(x) açık önermelerine birbirine denk açık önermeler denir. 4.Örnek: Doğal sayılar cümlesinde tanımlanan x+2>7 açık önermesi ile x>5 açık önermesi birbirine denktir.
14. Evrensel niceleyici p(x), A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme olsun. «Her x A için p(x) dir» ifadesi bir önermedir. Bu önerme, A nın her x elemanı için p(x) den elde edilen önermelerın her biri doğru ise doğrudur, aksi halde yanlıştır. «Her x A için p(x) dir» ifadesi kısaca, «x A, p(x)» biçiminde gösterilir. simgesine evrensel niceleyici denir ve «her» diye okunur. 1.Örnek: «Her insan yüz yaşında değildir» önermesinın doğruluk değeri nedir? 0 2.Örnek: «x N için x+4>3» önermesinın doğruluk değeri nedir? 1 3.Örnek: «x N için x+2>8» önermesinın doğruluk değeri nedir? 0
15. Varlıksal niceleyici p(x), A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme olsun. «En az bir x A için p(x) dir» ifadesi bir önermedir. Bu önerme, A nın en az bir x elemanı için p(x) den elde edilen önerme doğru ise doğrudur, aksi halde yanlıştır. «En az bir x A için p(x) dir» ifadesi kısaca, «x A, p(x)» biçiminde gösterilir. simgesine varlıksal niceleyici denir ve «en az bir» veya «bazı» diye okunur. 1.Örnek: «Bazı insanlar yüz yaşındadır» önermesinın doğruluk değeri nedir? 1 2.Örnek: «x(x N ve (x-1)(x+2)» önermesinın doğruluk değeri nedir? 1
16. Niceleyiciler ve bağlaçlar A ={a 1, a 2, a 3,..., a n } olmak üzere, A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme p(x) olsun. «x A, p(x)» önermesinin doğruluk değeri ıle, p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 )... p(a n ) önermesinin doğruluk değeri eşittir. Bu nedenle, [ x A, p(x)] [p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 )... p(a n )] yazılabilir. Benzer biçimde [ x A, p(x)] [p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 )... p(a n )]
17. Niceleyicilerle olumsuzlama 1.Teorem (De Morgan): A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme p(x) olduğun göre, a) [ x A, p(x)] [ x A, p x ] b) [ x A, p(x)] [ x A, p x ] İspat: a) [ x A, p(x)] önermesi doğru ise, p(x) açık önermesinin doğruluk cümlesi A cümlesine eşittir. Bu durumda p x açık önermesının doğruluk cümlesi ø dir. Yani, [ x A, p(x)] önermesi doğru ise, [ x A, p x ] önermesi yanlıştır. Benzer bicimde, [ x A, p(x)] önermesi yanlış ise, [ x A, p x ] önermesi doğrudur. Buradan, [ x A, p(x)] [ x A, p x ] elde edilir.
18. Niceleyicilerin dağıtıcılığı 1.Teorem : A cümlesinde tanımlanan iki açık önerme p(x) ve q(x) olsun. a) x A, (p x q x ) [( x A, p x ) ( x A, q x )] b) x A, (p x q x ) [( x A, p x ) ( x A, q x )]