T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI PAINLEVЀ VE SALINIM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU İLE NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Tezi Hazırlayan Musa BAŞBÜK Tez Danışmanı Doç. Dr. Ayekin ERYILMAZ Maemaik Anabilim Dalı Dokora Tezi Haziran 5 NEVŞEHİR

TEŞEKKÜR Dokora öğrenimim ve ez çalışmam süresince üm bilgilerini benimle paylaşmakan kaçınmayan, her ürlü konuda deseğini benden esirgemeyen ve ezimde büyük emeği olan Sayın Hocalarım Doç. Dr. Ayekin ERYILMAZ ve Yrd. Doç. Dr. M. Tarık ATAY a, Maddi ve manevi deseklerini esirgemeyen değerli eşim Emine BAŞBÜK ve çok kıymeli kızlarım Zeynep ve Beül BAŞBÜK e, Deseklerinden dolayı Yrd. Doç. Dr. S. Baal Gazi KARAKOÇ a ve Cahi KÖME ve Sure KÖME ye, Teknik ve idari yardımlarından dolayı Nevşehir Hacı Bekaş Veli Üniversiesi Maemaik Bölümünün değerli hocalarına eşekkür ederim. iii

BAZI PAINLEVЀ VE SALINIM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU İLE NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ (Dokora Tezi) Musa BAŞBÜK NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 5 ÖZET Bu ez çalışmasında öncelikle konunun arihsel gelişimi anlaılmışır. Daha sonra Lie grubu, Lie cebiri ve Magnus seri açılımı ve difereansiyel geomerinin emel anım ve eoremleri haırlaılmış ve maris üsel asvirinin anımı verilerek, lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı yönemi incelenmişir. Lieraürde Magnus seri açılımı yöneminin uygulanmadığı fiziksel uygulamalarda ve mühendislik uygulamalarında karşımıza çıkan lineer ve lineer olmayan salınım adi diferansiyel denklem ve denklem sisemleri ile. ve. Painlevè denklemleri ele alınmış ve bu denklemler Magnus seri açılımı yönemi ile çözülmüşür. Elde edilen çözümler varsa analiik kesin çözümlerle, yoksa Runge Kua yönemi ile elde edilen çözümlerle karşılaşırılmışır. Anahar kelimeler: Lie grubu, Lie ipi denklem, Magnus serisi, Osilasyon, Vibrasyon, Painlevè denklemleri, Van Der Pol denklemleri. Tez Danışmanları: Doç. Dr. Ayekin ERYILMAZ Sayfa sayısı: 6 iv

NUMERICAL SOLUTIONS OF SOME PAINLEVЀ AND OSCILLATORY DIFFERENTIAL EQUATIONS BY MEANS OF MAGNUS SERIES EXPANSION METHOD (PhD Thesis) Musa BAŞBÜK NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES June 5 ABSTRACT In his hesis, firsly he hisorical progress of he subjec is considered. Then some basic definiions and main heorems of Lie group, Lie algebra, Magnus series and differenial geomery are recalled. In addiion essenial definiions and heorems of a marix exponenial mapping are given. The Magnus series expansion mehod for linear and nonlinear ordinary differenial equaions is invesigaed. A he end, firs & second Painlevè equaions and linear & nonlinear oscillaory ODEs ha occur in physical and engineering applicaions, in which Magnus series expansion hasn been applied, are considered and numerical soluions for hese equaions are obained by Magnus series expansion mehod. The resuls are compared wih exac analyical soluions and he soluions obained by Runge Kua mehod. Keywords: Lie group, Lie ype equaion, Magnus series, Oscillaion, Vibraion, Painlevè equaions, Van Der Pol equaions. Thesis Supervisors: Assoc. Prof. Dr. Ayekin ERYILMAZ Pages: 6 v

İÇİNDEKİLER TEZ KABUL ve ONAY SAYFASI... i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR... iii ÖZET... iv ABSTRACT... v İÇİNDEKİLER... vi TABLOLAR LİSTESİ... viii ŞEKİLLER LİSTESİ... xii SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ... xiv. BÖLÜM GİRİŞ.... BÖLÜM ÖN BİLGİLER... 4 3. BÖLÜM MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU... 3.. Giriş... 3.. Magnus Seri Açılımı... 3.3. Picard İerasyonu... 5 3.4. Lineer Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu... 5 3.5. Gauss Tümlevi (Gaussian Quadraure)... 3.5.. Tek inegraller için Gauss ümlevi... 3 3.5.. Kalı inegraller için Gauss ümlevi (Mulivariae Gaussian Quadraure)... 3 3.6. Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu... 3 3.6.. İkinci Merebe Lineer Olmayan Magnus Seri Açılımı Meodu NMG... 3 3.6.. Üçüncü Merebe Lineer Olmayan Magnus Seri Açılımı Meodu NMG3... 3 3.6.3. Dördüncü Merebe Lineer Olmayan Magnus Seri Açılımı Meodu NMG4... 34 3.7. Homojen Olmayan Denklemler... 34 4. BÖLÜM MAGNUS SERİ AÇILIMI METODUNUN UYGULAMALARI... 36 4.. Yay üzerindeki bir cismin ireşimi... 36 4... Yay üzerindeki bir cisme eki eden kuvveler... 36 vi

4... F Yerçekimi Kuvvei... 36 4... F Yayı Geri Geiren Kuvve... 37 4...3. F 3 Sönüm Kuvvei... 37 4...4. F 4 Harici Kuvveler... 37 4... Yay üzerindeki bir cismin harekei... 38 4... Serbes sönümsüz hareke... 38 4... Serbes sönümlü hareke... 39 4...3 Zorlanmış hareke... 4 4.. Van Der Pol Denklemleri... 59 4... DOF Bağlanılı (Coupled) Van Der Pol Denklem Sisemi... 59 4... 3DOF Bağlanılı Van Der Pol Denklem Sisemi... 64 4... 3DOF Bağlanılı Van Der Pol Duffing Denklem Sisemi... 64 4... 3DOF Bağlanılı Van Der Pol Denklem Sisemi... 7 4.3. Zorlanmış (Forced) Van Der Pol Denklemi... 75 4.3. Painlevè Denklemleri... 78 4.3.. P birinci Painlevè denklemi... 78 4.3.. P ikinci Painlevè denklemi... 8 5. BÖLÜM SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 86 5. Sonuçlar... 86 5. Öneriler... 86 KAYNAKLAR... 87 ÖZGEÇMİŞ... 9 vii

TABLOLAR LİSTESİ Tablo 4.. (4.3) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 46 Tablo 4.. (4.3) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması.... 46 Tablo 4.3. (4.3) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 47 Tablo 4.4. (4.3) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması.... 47 Tablo 4.5. (4.3) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 48 Tablo 4.6. (4.3) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 48 Tablo 4.7. (4.3) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 49 Tablo 4.8. (4.3) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 49 Tablo 4.9. (4.3) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümlerinin mulak haaları... 5 Tablo 4.. (4.3) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümlerinin mulak haaları... 5 Tablo 4.. (4.34) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 54 Tablo 4.. (4.34) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 55 Tablo 4.3. (4.34) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 55 Tablo 4.4. (4.34) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 56 viii

Tablo 4.5. (4.34) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 56 Tablo 4.6. (4.34) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 57 Tablo 4.7. (4.34) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 57 Tablo 4.8. (4.34) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması... 58 Tablo 4.9. (4.34) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümlerinin haalarının karşılaşırılması... 58 Tablo 4.. (4.34) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümlerinin haalarının karşılaşırılması... 59 Tablo 4.. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 6 Tablo 4.. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 6 Tablo 4.3. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 63 Tablo 4.4. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 63 Tablo 4.5. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 67 Tablo 4.6. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 67 ix

Tablo 4.7. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 68 Tablo 4.8. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 68 Tablo 4.9. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri... 69 Tablo 4.3. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri... 69 Tablo 4.3. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 7 Tablo 4.3. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 73 Tablo 4.33. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 73 Tablo 4.34. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 74 Tablo 4.35. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri... 74 Tablo 4.36. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri... 75 Tablo 4.37. (4.44) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h, a.98339,.45 ve değerleri ve (,) zaman aralığı için x( ) çözümleri... 77 Tablo 4.38. (4.44) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h, a.98339,.45 ve değerleri ve (,) zaman aralığı için x ( ) çözümleri... 77 Tablo 4.39. (4.53) denkleminin y( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 ve RK4 çözümleri... 79 Tablo 4.4. (4.53) denkleminin y ( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 ve RK4 çözümleri... 8 x

Tablo 4.4. (4.56) denkleminin y( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 çözümü ve mulak haası... 8 Tablo 4.4. (4.56) denkleminin y( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında RK4 çözümü ve mulak haası... 8 Tablo 4.43. (4.56) denkleminin y ( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 çözümü ve mulak haası... 83 Tablo 4.44. (4.56) denkleminin y ( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında RK4 çözümü ve mulak haası... 83 xi

ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil.. manifoldu üzerindeki koordina sisemleri arasındaki bağını... 6 Şekil 4.. Yay üzerindeki cismin harekei... 38 Şekil 4.. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri... 43 Şekil 4.3. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafikleri... 43 Şekil 4.4. (4.3) denkleminde x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri... 44 Şekil 4.5. (4.3) denkleminde x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafikleri... 44 Şekil 4.6. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri... 44 Şekil 4.7. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri... 45 Şekil 4.8. (4.3) denkleminde x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri... 45 Şekil 4.9. (4.3) denkleminin x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri... 45 Şekil 4.. (4.3) denkleminin x( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri... 5 Şekil 4.. (4.3) denkleminin x( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafikleri... 5 Şekil 4.. (4.3) denkleminin x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri... 5 Şekil 4.3. (4.3) denkleminin x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafiği... 5 Şekil 4.4. (4.34) denkleminin x( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri... 53 Şekil 4.5. (4.34) denkleminin x( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri... 53 Şekil 4.6. (4.34) denkleminin x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri... 53 Şekil 4.7. (4.34) denkleminin x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri... 54 Şekil 4.8. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 Şekil 4.9. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 xii

Şekil 4.. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 Şekil 4.. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 Şekil 4.. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri... 65 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 65 Şekil 4.4. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 65 Şekil 4.5. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri... 66 Şekil 4.6. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 66 Şekil 4.7. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 66 Şekil 4.8. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri.. 7 Şekil 4.9. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 7 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 7 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri.. 7 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 7 Şekil 4.33. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 7 Şekil 4.34. (4.44) denkleminin (a) x( ), (b) x ( ) grafikleri... 76 Şekil 4.35. (4.44) denkleminin (a) x( ), (b) x ( ) için NMG4 ve RK4 mulak farkı... 76 xiii

SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ k C : k. merebeden kısmi ürevleri var ve sürekli olan fonksiyonlar kümesi : Doğal sayılar kümesi : Reel sayılar kümesi n E : n-boyulu Öklid uzayı : Manifold : Lie grubu : Lie cebiri Ad : Adjoin göserim ad : Adjoin operaör expm : Üsel asvir dexp : Üsel asvirin diferansiyeli.,. : Lie paranez operaörü B j : Bernoulli sayıları xiv

. BÖLÜM GİRİŞ Mühendisliken fiziğe, isaisiken biyolojiye kadar uygulamalı bilimlerin çoğunda karşılaşılan problemlerde diferansiyel denklemler karşımıza çıkmakadır. Her zaman bu denklemlerin analiik çözümlerini bulmak mümkün olmamakadır. Bunun için birçok yarı analiik ve nümerik yönem ve meolar gelişirilmişir. Bu yönem ve meolar içerisinde nümerik yönem ve meolar diğerlerinden daha iyi sonuçlar verdiğinden daha çok ercih edilmekedir. Analiik kesin çözümlerin bulunmadığı durumlarda nümerik çözümler kesin çözümler gibi kabul edilip diğer yönemlerle elde edilen sonuçlar da nümerik çözümlerle kıyaslanır olmuşur. Diferansiyel denklem ve denklem sisemlerinde elbee en az haayla yaklaşık bir çözüm elde emek önemlidir. Faka sadece yaklaşık çözümün doğruluğu birçok fiziksel uygulamada yeerli olmamakadır. Fiziksel problemlerdeki enerjinin korunumu, momenum, açısal momenum ve simeri gibi geomerik özelliklerin korunumu problemlerin çözümünde ve analizinde önemlidir. Bunun için elde edilen nümerik çözümlerin aynı zamanda geomerik özellikleri başarılı bir şekilde koruması çok önem kazanmakadır. Geomerik inegrasyon, diferansiyel denklemlerin çözümlerinin niel özelliklerini ve geomerik özelliklerini başarılı bir şekilde koruyan nümerik inegrasyon yönemidir. Son zamanlarda sayısal çözüm yanında niel özelliklerin ve geomerik yapının korunmasını sağlayan meolar diğer sandar meolardan daha güvenilir, daha hızlı, daha hassas, daha ucuz olması yönüyle ercih edilir olmuşur. Geomerik inegrasyonda geomerik özellikler nümerik meo içerisinde korunmaka ve bu yüzden bu ür meolar sandar meolara nazaran daha yüksek performans gösermekedir. Bu meolar sıvıların yapısı, biyomoleküller, kuanum mekaniği, nano eknoloji gibi birçok alanda kullanılmakadır. Bu yeni yaklaşımla elde edilen çözüm analiik çözümle aynı geomerik yapıda yer aldığından analiik sonuca daha yakın sonuçlar vermekedir. Adi diferansiyel denklemlerin geomerik inegrasyonunda kullanılan meolardan başlıcaları Spliing, Composiion meoları ve Lie grup

meolarıdır. Başlıca Lie grup meoları Runge-Kua Munhe Kaas meodları (RK-MK), Magnus seri açılımı meodu ve Fer açılımı meodudur []. Lie grup meolarından biri olan Magnus seri açılımı meodu W. Magnus un 954 yılında yapmış olduğu On he exponenial soluion of differenial equaions for a linear operaor isimli çalışmasına dayanmakadır []. Bu çalışmada Magnus, Y A( ) Y birinci merebe lineer homojen diferansiyel denkleminin çözümünü ( ) Y ( ) e Y maris üsel fonksiyonu şeklinde ifade emiş ve ( ) için bir seri açılımı vermişir []. Daha sonra bu açılım Magnus seri açılımı olarak adlandırılmışır. Magnus açılımının ilk fiziksel uygulaması Robinson un çalışmasıdır [3]. Bialynicki-Birula, Mielnik & Plebanski [4], Mielnik & Plebanski [5], Sricharz [6], Klarsfeld & Oeo [7] ve Fomenko & Chakon [8] gibi farklı yazarlar arafından Magnus seri açılımındaki erimleri veren genel formüller sunulmuşur. Faka bunlar çok karmaşık ve yüksek merebelerde kullanımı çok da praik olmayan formüllerdir. 997 yılından iibaren Iserles & Nørse bu alanda çalışmalar yapmaya başlamışır [9]. Magnus seri açılımındaki erimleri veren praik bir algorima 999 yılında Iserles & Nørse arafından verilmişir []. Blanes ve çalışma arkadaşları [], Casas [], Moan & Niesen [3] Magnus serisinin yakınsaklığını incelemişlerdir. 963 yılındaki Robinson un çalışmasından bugüne kadar Magnus seri açılımı meodu birçok alanda başarıyla uygulanmışır [4-9]. Magnus seri açılımı ve uygulamaları hakkında daha fazla bilgi edinmek iseyenler Blanes ve çalışma arkadaşlarının The Magnus expansion and some of is applicaions [3] isimli çalışmalarını inceleyebilir. Klarsfeld & Oeo Magnus operaörün analiik özelliklerini incelemişlerdir [3]. Özellikle Iserles & Nørse in 997 ve 999 yılında yapıkları çalışmalarından [9,] sonra birçok araşırmacı Magnus seri açılımı ile ilgili çalışmalar yapmışlardır [,3-36]. Casas & Iserles 6 yılında lineer olmayan diferansiyel denklemlerde Magnus seri açılımı meodu için bir algorima sunmuşlardır [37]. Blanes & Ponsoda yılında homojen ve homejen olmayan lineer, sınır değer ve başlangıç değer problemleri için Magnus açılımı meodunu sunmuşlardır [38]... Amaç ve Kapsam Bu çalışmanın emel amacı, Lie grup meolarından biri olan Magnus seri açılımı

meodunu inceleyerek lieraürde bu yönemin uygulanmadığı, I. ve II. Painlevè denklemlerine, yay üzerindeki bir cismin harekeinde oraya çıkan lineer homojen ve homojen olmayan adi diferansiyel denklemlere ve lineer olmayan bağlanılı Vander Pol denklem sisemi ile zorlanmış Vander Pol salınım diferansiyel denklemine bu yönemi uygulamakır. Ayrıca elde edilecek sonuçlar, analiik çözümlerle ve Runge Kua meoduyla elde edilecek çözümlerle karşılaşırılacak ve sonuçlar, ablolar ve haa grafikleri ile verilecekir. 3

. BÖLÜM ÖN BİLGİLER Bu bölümde emel anımlar verilecekir. Tanım.. (Topolojik Manifold) bir opolojik uzay olsun. Aşağıdaki şarları sağlayan ye n-boyulu bir opolojik manifold (veya kısaca opolojik n-manifold) denir. i. bir Hausdorff uzayıdır. ii. nin her bir açık al kümesi homeomorfur. n E ye veya iii. sayılabilir çokluka açık kümeler ile örülebilir [39]. n E nin bir açık al kümesine Tanım.. (Diferansiyellenebilirlik) n E, n-boyulu Öklid uzayında U bir açık al küme olsun. : f U n E fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun büün k. merebeden kısmi ürevleri var ve sürekli ise f fonksiyonuna k C sınıfından diferansiyellenebilirdir denir. Diferansiyellenebilirlike anım kümesi açık olmak zorundadır. Özel olarak f sadece sürekli ise denir. U üzerinde anımlı C sınıfından fonksiyona -form adı verilir. C sınıfındandır k, C ( U, ) f f C k ( U, ), k C k ( U, ) f f : U, f C sınıfından dir. Eğer f : n n birebir f ve f sürekli ise f ye homeomorfizm, eğer birebir f ve f diferansiyellenebilir ise f ye diffeomorfizm denir [39]. Tanım.3. (Öklid koordina fonksiyonları) U ve V sırasıyla :U V m E ve x ( x) f ( x), f ( x),, f ( x) n E de birer açık al küme olsunlar. Bir n fonksiyonu için büün fi : U koordina fonksiyonları k C sınıfından iseler k C ( U, V ) dir denir. 4

k C ( U, V ) C ( U, V ), k dir. f i fonksiyonlarına nin Öklid koordina fonksiyonları denir [39]. Tanım.4. (Koordina Komşuluğu= Haria) bir n-boyulu opolojik manifold ve U da de bir açık al kümesi olsun. Eğer U bir homeomorfizmi ile n E nin bir W açık al kümesine eşlenebiliyorsa, yani n : U W E homeomorfizmi varsa ( U, ) ikilisine de bir koordina komşuluğu veya haria denir. u U için ( u) dir ve ( u) x ( u), x ( u),, x ( u), x ( u), i n dir. n Burada xi ( u ) reel sayısına ( u) E nokasının i-yinci koordinaı ve ui : U fonksiyonuna da u nun i-yinci Öklid koordina fonksiyonu denir. [39]. n i Tanım.5. (Koordina Komşuluğu Sisemi = Alas) bir opolojik n-manifold ve nin bir açık örüsü U olsun. U açık kümelerinin indislerinin kümesi A olmak üzere U örüsü için A U yazalım. n homeomorfizm E de U ya homeomorf olan bir açık küme E ve : U E Böylece oraya çıkan (, U ) (koordina komşuluğu sisemi) denir [39]. harialarının (, U ) olsun. A koleksiyonuna bir alas Bir opolojinin n-manifoldu ve bir P nokasının açık komşulukları da W olsun. P nokasının lokal koordinaları, W lar değişikçe değişeceğinden W ların sayısı kadar vardır. Her bir A için (, W ) üzerindeki lokal koordina sisemini ( x, x,, x n ) ile göserelim. P nokasının iki açık komşuluğu W ve W ise W W ise W W nın her bir nokasında ( x, x,, x n ) ve ( x, x,, x n ) gibi iki koordina sisemi anımlıdır. Bu iki koordina sisemi arasındaki bağını Şekil.. de verilmişir. 5

ve W W U E n n W W V E al kümeleri, ikişer açık kümenin birer homeomorfizm alında görünüleri olduklarından açık kümelerdir. Ayrıca : W W W W ve : W W W W fonksiyonları da ikişer homeomorfizmin bileşimi olduklarından birer homeomorfizmdirler. W W W W n E U V n E W W W W Şekil.. manifoldu üzerindeki koordina sisemleri arasındaki bağını [39] Kısaca yukarıdaki fonksiyonu, ve göserimleri kullanılır. nın diferansiyellenebilir olması ( ) i gerekirir. Aynı şey fonksiyonu içinde söylenebilir [39]. bileşenlerinin diferansiyellenebilir olmasını 6

Tanım.6. (Diferansiyellenebilir Yapı), n-boyulu bir opolojik manifold ve nin bir alası S, W olsun. Eğer S A alası için W W olmak üzere, A ya karşılık ve fonksiyonları k C sınıfından diferansiyellenebilir iseler S ye üzerinde k C sınıfındandır denir. S alası k C sınıfından olduğu zaman S ye üzerinde diferansiyellenebilir yapı denir [39]. k C sınıfından Tanım.7. (Diferansiyellenebilir Manifold), n-boyulu bir opolojik manifold olsun. üzerinde k C sınıfından bir diferansiyellenebilir yapı anımlanabilirse ye manifold denir [39]. k C sınıfından diferansiyellenebilir Tanım.8. (Tanjan Vekör, Tanjan Uzay, Tanjan Deme), n-boyulu bir manifold ve ( ) diferansiyellenebilir bir eğri olsun. () p ise p nokasındaki anjan vekörü, d( ) a d dır. p nokasındaki üm anjanların kümesine p nokasındaki anjan uzayı denir ve T ile göserilir. Ve bu anjan uzayı n-boyulu bir lineer uzaydır. Yani, a, bt ise a bt ve herhangi bir reel p p sayısı için a T dır. p nokalarındaki üm anjan uzayların kümesine p anjan demei (angen bundle) denir []. p Tanım.9. (Lie Grubu) Bir cümlesi verilsin. Şaye aşağıdaki şarları sağlıyorsa, bu akirde ye bir Lie grubu denir [4]. ) bir diferansiyellenebilir manifolddur. ) (,.) bir grupur. 3) :, ( a, b) ab ve ı :, ı( a) a diferansiyellenebilir asvirlerdir. 7

Başka bir ifadeyle bir Lie grubu, çarpma :, ( a, b) ab ve ers ı :, ı( a) a asvirleri C olan grup yapısına sahip, diferansiyellenebilir bir manifolddur [4]. Tanım.. (Lie paranez operaörü (komüaör)) Bir maris Lie cebiri de Lie paranez operaörü.,. : u, v uv vu, u, v, (.) şeklinde anımlıdır. u, v, z ve, için Lie paranez operaörü aşağıdaki aksiyomları sağlar [4]. i. [ u v, z] [ u, z] [ v, z], ii. [ u, v] [ v, u], iii. [ u,[ v, z]] [ v,[ z, u]] [ z,[ u, v]]. (Jacobi özdeşliği) Tanım.. (Lie cebiri) Bir Lie grubunun birim elemanı I daki üm anjanlarının lineer uzayına Lie grubunun Lie cebiri denir. Lie cebirinde Lie operaörü (Lie paranez operaörü), x, y s ( s) ( ) ( s) s (.) şeklinde anımlıdır. Burada ( s) ve ( ), () () I ve () x, () y olan Lie grubunda diferansiyellenebilir eğrilerdir []. Bir diğer ifadeyle üzerinde Lie paranez operaörü [.,.]:V V V anımlı V lineer uzayına Lie cebiri denir []. Tanım.. (Reel Maris Lie Grubu) Marislerde çarpma ve ers işlemlerine göre kapalı olan kümesi nn nin diferansiyellenebilir al n n ye reel maris Lie grubu denir. Birim maris I ile göserilir []. Tanım.3. (Maris Lie Cebiri) maris Lie grubunun Lie cebri n n, d( s) A şeklindeki üm n n ds 8 s

marislerden oluşan nn nin lineer al uzayıdır. nn d( s) A : A, (.3) ds s burada ( s), de diferansiyellenebilir bir eğri ve () I dır. uzayı marislerde oplama, skalerle çarpma işlemlerine ve A, B AB BA, maris komüaörüne göre kapalıdır []. (.4) Tanım.4. (Salınım diferansiyel denklem) Bir diferansiyel denklemin aşikar olmayan üm çözümlerinin sonsuz sayıda sıfırı varsa bu çözümlere salınımlı çözüm, bu diferansiyel denkleme de salınım diferansiyel denklem denir [43]. 9

3. BÖLÜM MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU Bu bölümde bir Lie-grup meodu olan Magnus seri açılımı meodu, Lie grup yapısıyla Magnus serisi arasındaki ilişki ile lineer ve lineer olmayan Lie ipi diferansiyel denklemler için Magnus seri yönemi incelenecekir. 3.. Giriş Magnus seri açılımı meodunda amaç, adi diferansiyel denklem veya denklem siemlerini, y ( ) A( ) y( ), (3.) (3.) maris diferansiyel denklemi şekline dönüşürüp daha sonra bu denkleme Magnus serisi ile yaklaşık bir çözüm bulmakır. (3.) denklemi maris diferansiyel denklemi olduğundan daha önce genel Lie grubu için. bölümde verilen anımlar bu defa maris Lie grubu için verilecek ve ardından [,44] e yapılan çalışmalar incelenecekir. Tanım 3.. (Maris Lie grubunda diferansiyel denklem) Bir maris Lie grubu üzerindeki diferansiyel denklem, Y A(, Y) Y,, Y(), (3.) şeklinde anımlanır. Burada A : ve AY maris çarpımı, maris Lie grubu, maris Lie grubuna karşılık gelen Lie cebiri, A ve Y dir []. (3.) denklemine aynı zamanda Lie ipi diferansiyel denklem denir. Tanım 3.. (Üsel asvir (exponenial mapping)) bir maris Lie grubu ve de onun Lie cebiri olsun. Üsel asvir j A expm :, expm A=, (3.3) j j! şeklinde anımlanır. expm( O) I dır. A marisi için, O nin yeeri kadar yakın bir komşuluğunda üsel asvir expm nin, logm : ile verilen diferansiyellenebilir bir ersi vardır [].

Tanım 3.3. (Adjoin göserim) Bir maris Lie grubu de, Ad adjoin göserim ve onun ürevi olan ad operaörü, Ad A PAP ( ), P (3.4) ad ( ),, A B AB BA A B (3.5) şeklinde anımlanır []. Tanım 3.4. (Üsel asvirin ürevi) Üsel asvirin ürevi dexp :, d exp( A( )) dexp A( ) A( ) exp( A( )), (3.6) d şeklinde anımlıdır []. dexp A, ad A nın analiik bir fonksiyonu olduğundan, dexp A expm( ad A) I (3.7) ad A elde edilir. Burada expm( ad A), I ve ad A maris olduğundan ve expm( ad ) A I ad A bölme işlemi marislerde yapılamayacağından, expm( ad A) I ad A kuvve serisine açılacakır. x e x in seri açılımından yaralanarak x e 3 j x x x x olduğundan, x! 3! 4! ( j )! expm( ad AC) I dexp A( C) ad C 3 j C ad AC ad AC ad AC ad AC,! 3! 4! ( j )! C A, C,,,,,,! 3! A A C A A A C 4! j ad AC. ( j )! j A (3.8) dexp A ad A exp( ad ) I A i bulmak için de x x e in seri açılımından yaralanılacakır.

x B 4 j j x x x x x, e 7 j! j burada B j, ilk erimleri B, B B B B ve, 6, 4 3, 6 4 B j, j,,3, olan Bernoulli sayılarıdır [45]. j j dexp A ( C) C A, C A, A, C ad AC, j j! şeklinde elde edilir []. B (3.9) 3.. Magnus Seri Açılımı y a( ) y,, y() y, (3.) (3.) lineer diferansiyel denkleminin çözümü, y( ) exp a( ) d y, (3.) dır. Burada maris diferansiyel denklemi için genelleme yapılarak, Y A( ) Y,, Y () Y, (3.) (3.) lineer maris diferansiyel denkleminin çözümü, Y ( ) expm A( ) d Y, (3.3) dır denilebilir, faka bu doğru değildir [43]. (3.) lineer maris diferansiyel denkleminin bir çözümü (3.3) olsun., kapalı aralığı,,,, ( ) şeklinde iki kapalı aralığın birleşimi olarak yazılırsa, a( ) d a( ) d a( ) d olur. Buradan da exp a( ) d exp a( ) d exp a( ) d exp a( ) d exp a( ) d elde edilir. expm A( ) d B, expm A( ) d C, (3.4)

olmak üzere (3.) lineer maris diferansiyel denkleminin çözümü Y ( ) expm A( ) d Y expm A( ) d expm A( ) d Y BCY expm A( ) d expm A( ) d Y CBY Y ( ) expm A( ) d Y BCY CBY şeklinde elde edilir. Marislerde değişme özelliği olmadığından BC CB dir. Bu durumda (3.) lineer maris diferansiyel denklemi için (3.3) bir çözüm olamaz. (3.) lineer diferansiyel denkleminin çözümü (3.) lineer maris diferansiyel denklemi için genellenemez [43]. Şimdi, Y( ) A( ) Y( ),, Y () Y, (3.5) Lie ipi lineer diferansiyel denklemi incelenecekir. Burada maris Lie grubu, de onun Lie cebiridir. A: çözümünü, ve ( ) A dir. Hausdorff [46], (3.5) denkleminin Y ( ) expm ( ) Y, (3.6) maris üsel fonksiyonu şeklinde bulmuşur. Burada ( ), k ( ) k ad (, ) a,, (), (3.7) ( k )! k kapalı lineer olmayan (3.7) denkleminin çözümüdür ve k ad ( p, q) p, k, (, ),,, k ad p q q k dır [46]. Daha sonra Magnus (3.7) denkleminin, k (3.8) B k k a ad( a, ) ad ( a, ) (3.9) ( k)! şekline dönüşürülebileceğini fark ei []. Burada ( ) yi, B k Bernoulli sayılarıdır. Magnus 3

( ) A( ) d A( ), A( ) d d A( ), A( ), A( ) d d d 4 A( ), A( ) d, A( ) d d (3.) şeklinde elde ei. Burada A( ) olduğundan (3.8) denklemindeki her bir erim ve onların lineer kombinasyonları yine dedir. Dolayısıyla için ( ) dir. Bir başka değişle Magnus seri açılımındaki üm erimler aynı Lie cebirinde yer alır bunun sonucu olarak Magnus seri açılımının herhangi bir eriminden iibaren kesilmesiyle elde edilen kesilmiş Magnus serisi de yine aynı Lie cebirinde yer alır. Dolayısıyla herhangi bir merebeden Magnus seri açılımıyla elde edilen yaklaşık çözümler, analiik çözümün niel özelliklerini korur. Bu Magnus seri açılımı meodunun en önemli avanajlarındandır [47]. Magnus ( ) nin seri açılımı için ne genel bir formül vermiş ne de meodun merebesi ve hangi merebede Magnus seri açılımının hangi erimde kesileceği hakkında bilgi vermişir. Magnus seri açılımı meodunun ana fikri (3.) Magnus serisini uygun bir yerden kesip elde edilen erimleri verimli bir şekilde hesaplamakır. 997 yılında Iserles ve Norse Magnus seri açılımındaki erimleri veren ve böylece onların özyinelemeli (recursive) değerlendirme ve analizine imkan anıyan genel bir yönem bulmuşlar ve Lie ipi lineer diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı meodunu sunmuşlardır [9,]. Magnus serisi açılımı meodunda 3 ayrı haa kaynağı vardır [3]. Bunlar; Sonsuz Magnus serisinin kesilmesi, Çok değişkenli inegrallerin ayrıklaşırılması (discreizaion), Maris üsel fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak bulunmasıdır. Iserles, Marhinsen & Norse ilk iki haa kaynağını incelemişlerdir [3]. Maris üsel fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak hesaplanmasında çok yaygın kullanılan bilgisayar yazılımları bu hesaplamayı yaparken Pade yaklaşık çözüm meodunu kullanmakadır. Bundan dolayı Magnus seri açılımı meoduyla elde edilen yaklaşık çözümlerdeki haanın bir kısmı da kullanılan maemaik yazılımlarından kaynaklanmakadır [47]. 4

3.3. Picard İerasyonu dy f ( x, y), y( x ) Y, dx (3.) Y ( x ), (3.) başlangıç değer probleminin çözümü olsun. (3.) denkleminin her iki arafının inegrali alınırsa x Y ( x) Y f (, Y ( )) d (3.) x eşiliği elde edilir. (3.) denklemi, x Y ( x) Y f (, Y ( )) d, x x b, m,,3, (3.3) m m x (3.3) ierasyonu ile çözülür [43]. (3.3) eşiliğine Picard ierasyonu denir. 3.4. Lineer Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu Bu bölümde Iserles ve çalışma arkadaşlarının [] de sunduğu lineer diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı meodu incelenecekir. Maris Lie grubu de, y ( ) A( ) y( ), y() y. (3.4) şeklinde verilen lineer maris diferansiyel denklemini ele alalım. Burada A: ve A( ) dir. Bu durumda (3.4) denkleminin çözümü Magnus seri açılımı yönemiyle aşağıdaki gibi bulunabilir [,44]. y( ), maris Lie grubu nin bir elemanı ve A( ) marisi bu gruba karşılık gelen Lie cebiri içerisinde yer aldığından (3.4) denklemi bir lineer Lie ipi denklemdir. Burada amaç, (3.4) denkleminin çözümü y( ) exp ( ) y, (3.5) olacak şekilde bir ( ) maris fonksiyonu bulmakır. (3.4) denkleminin çözümü (3.5) ise, ( ) 5

( ) ( ) dexp A( ), (), (3.6) diferansiyel denklemini sağlar [44]. (3.6) denklemi, ( ) A( ) ( ), A( ) ( ), ( ), A( ), (3.7) (3.7) denklemini sonuç verir. Burada noka ye göre ürevi gösermekedir. Bu durumda (3.7) denklemine Picard ierasyonu uygulanarak ( ) maris fonksiyonu için yaklaşık bir çözüm bulunabilir [44]. ( ) çözüm fonksiyonu için başlangıç yaklaşımı olsun. (3.6) denkleminde başlangıç koşulu () olduğundan seçelim. (3.7) denkleminde yerine yazılırsa, ( ) A( ), (), (3.8) elde edilir. (3.8) denkleminin değişkenine göre inegrali alınırsa, ( ) d A( ) d, (3.9) Birinci ierasyon, A( ) d. (3.3) bulunur. (3.3) denklemi (3.7) denkleminde yerine yazılıp inegrali alınınca ikinci ierasyon, ( ) A( ) d ( ), A( ) d ( ), ( ), A( ) d (3.3) elde edilir. Benzer şekilde, üçüncü ierasyon, ( ) A( ) d ( ), A( ) d ( ), ( ), A( ) d (3.3) 3 olur., (3.3) denkleminde yerine yazılırsa, ( ) A( ) d A( ) d, A( ) d A( ) d, A( ) d, A( ) d (3.33) 6

elde edilir. ve (3.3) denkleminde yerine yazılırsa, 3( ) A( ) d A( ) d, A( ) d A( 3) d3, A( ) d, A( ) d 4 A( ) d, A( 3) d3, A( ) d A( ) d, A( 3) d3, A( ) 4 d, A( ) d A( 3) d3, A( 3) d3, A( ) d, A( ) d 4 A( 3) d3, A( ) d, A( ) d, A( ) d 4 8 3 A( 4) d4, A( 3) d3, A( ) d, A( ) d, (3.34) elde edilir. için Picard ierasyonu ile elde eiğimiz,, 3, ierasyonları içerdikleri inegral ve komüaör sayısına göre erimleri yeniden düzenlenip Hi, i,,, şeklinde adlandırılırsa, her biri inegraller ve komüaörler (Lie paranezi) içeren erimlerin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. ( ) Hi i (3.35) burada her bir H i, i ane komüaör ve ( i ) inegral içeren erimlerin lineer kombinasyonundan oluşmakadır []. (3.35) Magnus serisinin ilk erimleri H ( ) A( ) d (3.36) H ( ) [ A ( ) d, A ( )] d (3.37) 7

3 3 3 ( ) ) ) ) H [ A( d,[ A( d, A( ]] d [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d 4 (3.38) 3 3 3 3 4 4 3 H3( ) [ A ( ) d,[ [ A ( ) d, A ( ) ] d, A ( ) ]] d 4 3 3 3 3 4 4 4 3 4 [ [ A ( ) d, A ( ) ] d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d 4 3 3 3 3 4 4 4 3 3 [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d, A ( ) ] d 4 3 3 4 4 4 3 [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d 8 (3.39) 3 3 4 4 H 4( ) [ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( )]]]] d 7 44 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 [ A( ) d,[ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d 3 3 5 5 5 5 3 [ A ( ) d,[ [ [ A ( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )]] d 48 3 3 5 5 [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d 48 44 5 5 5 5 5 3 3 5 [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d 3 3 5 5 5 3 5 [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d,[ A ( ) d, A ( )]] d 48 3 3 5 5 5 4 4 [ [ A ( ) d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d, A ( )] d 48 4 4 5 5 5 4 4 [ [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ A ( ) d, A( )]] d, A( )] d 48 5 4 3 3 4 4 5 5 [ [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( )]] d, A ( )] d, A ( )] d 4 3 3 4 4 5 5 5 4 3 [ [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d 8 (3.4) 3 3 4 4 5 5 8

H5( ) [ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]]]] d 44 44 44 88 88 88 96 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 [ A( ) d,[ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]]]] d 6 6 6 6 6 6 [ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( 6)]]]] d6 6 6 4 4 [ A( ) d,[ [ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d, A( )]] d 4 4 6 6 6 6 [ A( ) d,[ 4 4 [ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d 4 4 6 6 6 6 4 3 3 [ A( ) d,[ [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d, A( )]] d 3 3 4 4 6 6 6 6 4 3 44 88 [ A( ) d,[ [ [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )] d, A( )]] d 3 3 4 4 6 6 6 6 6 6 [ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( )]]]] 6 6 6 3 3 [ [ A( ) d, A( )] d,[ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d 9 3 3 6 6 [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )]] d 96 88 6 6 3 3 3 6 6 6 3 3 6 3 3 6 [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d 96 88 88 88 [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d 6 3 6 3 3 6 6 6 4 4 6 [ [ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d 4 4 6 6 6 4 4 [ [ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d 4 4 6 6 6 4 3 3 6 [ [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d 3 3 4 4 6 6 6 4 3 [ [ [ [ A ( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d 96 44 3 3 4 4 6 6 6 5 5 5 5 [ [ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( )]]]] d, A( )] d 5 5 6 6 6 6 6

88 [ [ A( ) d,[ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d, A( )] d 3 3 5 5 6 6 [ [ A ( ) d,[ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] ] d, A( )] d 96 3 3 5 5 6 6 [ [ [ 96 88 96 6 5 5 3 3 6 5 5 3 6 5 5 5 5 6 6 3 3 5 5 6 6 A( ) d, A( )] d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d, A( )] d 6 5 3 3 5 [ [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d 6 5 3 [ [ [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d 6 5 4 4 5 3 3 5 5 6 6 [ [ [ A ( ) d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d, A ( )] d, A ( )] d 96 4 4 5 5 6 6 6 5 4 4 [ [ [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d, A( )] d 96 6 5 4 3 3 4 4 5 5 6 6 [ [ [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( )]] d, A ( )] d, A ( )] d, A ( ) ] d 96 3 3 4 4 5 5 6 6 6 5 4 3 [ [ [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d, A( ) ] d 3 (3.4) 3 3 4 4 5 5 6 6 dir. Magnus seri açılımındaki erimler Renan Cabrera ve Herschel Rabiz in Uluslarası Maemaika Kullanıcıları Konferansında (Inernaional Mahemaica Users Conference 9) sundukları Symbolic Magnus Expansion wih PrinLieCalc. yazılımıyla hesaplanmışır. (3.35) eşiliği (3.6) denkleminin yaklaşık bir çözümüdür. Faka (3.35) denkleminde i değeri arıkça Magnus seri açılımı daha karmaşık erimlerden oluşmaka ve bu erimlerdeki inegral ve komüaör sayısı arıkça inegrallerin yaklaşık değerlerinin hesaplanması daha zor ve maliyeli olmaka ve daha çok zaman almakadır. Bu yüzden Magnus seri açılımı belirli bir yerden kesilerek yaklaşık çözümler hesaplanır. Iserles ve çalışma arkadaşları Magnus serisinin nasıl kesileceğini Teorem 3.4.. de ifade emişlerdir []. Teorem 3.4.. ( ), nin ek kuvvelerine göre açılabilir ve ( ) ( ) ( q ),. q q

Teorem 3.4.. in sonucu olarak q için (q ) li inegrallerin lineer kombinasyonu q ( ) de yer alır. Örneğin 4. merebe Magnus açılımında (MG4) q 3 olacağından Magnus seri açılımında 3 lü inegraller q olur ve 3 3 [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d ve 3 3 kombinasyonu 3 [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d nin lineer 3 3 3 3 3 [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d 4 3 3 3 3 5 ( ) de olacağından 4. merebe için sadece ilk iki erim yeerlidir. Magnus seri açılımının merebelere göre hangi erimde kesileceği aşağıda verilmişir []. ( ) A( ) d. merebe [ A ( ) d, A ( ) ] d 4. merebe 3 3 [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d 3 3 3 [ [ A ( ) d, A ( ) ] d, A ( ) ] d 4 3 3 4 4 3 [ A ( 3) d3,[ [ A ( ) d, A ( 3 )] d, A( )]] d 4 3 4 4 [ [ A ( ) d, A ( ) ] d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d 4 3 3 3 3 4 4 [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d, A ( ) ] d 4 [ 8 4 3 4 4 3 3 3 3 4 4 4 3 [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )] d 6. merebe 3 3 4 4 3.5. Gauss Tümlevi (Gaussian Quadraure) Bir önceki bölümde elde edilen Magnus seri açılımında oraya çıkan kalı inegralleri hesaplamak için bazı ümlev ekniklerine ihiyaç duyulmakadır. Burada Gauss ümlevi

ve Legendre polinomunun kökleri kullanılacakır. n. dereceden Legendre polinomu P ( ) n x [-,] simerik aralığında anımlıdır. Pn ( x ) polinomu x ile öelenirse [,] aralığında aşağıdaki gibi anımlanan öelenmiş Legendre polinomu elde edilir [48]. P * ( x) P (x ) n n P ( x), * P ( x) x, * P ( x) 6x 6x, * P ( x) x 3x x, * 3 3 Lemma 3.5.. Aşağıdaki özellikleri sağlayan n* ( ) :, polinomları vardır [48]; P x n. dereceden ( n,,3, ) P n* ( x ) * * : m ( ) n ( ),, p P x P x dx m n (3.4) p P n (3.43) * : n (),,,3,, p P x P x n (3.44) * n * 3 : n ( ) ( ) n ( ),,,3,, * 4 : n ( ),,,3,, n p P x dx n (3.45) n * d n 5 : n ( ) ( ),,,3,, p P x x x n n! dx * * * 6 n n n (3.46) p : np ( x) (x )(n ) P ( x) ( n ) P ( x), n,3, 4,, (3.47) P n* ( x) denkleminin (,) aralığında n ane farklı reel kökü vardır. Tümlev formülüyle yapılmak isenen, ek değişkenli bir fonksiyonun inegrali için yaklaşık değer bulmakır. İnegral aralığındaki belirli nokalarda inegrali alınan fonksiyonun ağırlıklı oplamı şeklinde yazılmasıyla yaklaşık değer hesaplanır. Newon- Coes gibi yönemlerde eşi aralıklı nokalar kullanılırken Gauss ümlevinde bu nokalar eşi aralıklı değil en az haayı, opimum doğruluğu verecek şekilde seçilir. Bu nokalara

düğüm (node) denir. Gauss ümlevinde bu düğümler aralığındaki kökleridir [49]. P n* ( x ) Legendre polinomunun [,] 3.5.. Tek inegraller için Gauss ümlevi Tek inegraller için Gauss ümlevi aşağıdaki gibi anımlanır. Tanım 3.5... n. derece Legendre polinomu P n* ( x ) in kökleri x, x, x3,, xn olsun, i,,, n için c i ağırlıkları aşağıdaki gibi anımlanır, c i n x xi x x j i j ji dx. (3.48) Eğer ( x) derecesi n den küçük herhangi bir polinom ise Gauss-Legendre ümlevi ( x) dx ci ( xi ) (3.49) n i şeklinde anımlıdır [49]. 3.5.. Kalı inegraller için Gauss ümlevi (Mulivariae Gaussian Quadraure) Bu bölümde Magnus seri açılımında oraya çıkan kalı inegrallerinin nümerik değerlerini hesaplamak için Gauss ümlevi uygulanacakır. Tek inegrallerde olduğu gibi kalı inegrallerde de Gauss ümlevi çok değişkenli fonksiyonun ağırlıklı oplamı şeklinde yazılmasıyla elde edilir. Burada b i ağırlıkları Lagrange inerpolasyon polinomlarının çarpımının kalı inegralleriyle verilir. Burada Iserles ve çalışma arkadaşlarının [] de sunduğu polioplarla kalı inegral ümlevi incelenecekir. Magnus seri açılımındaki kalı inegraller I ( h) L( A( ), A( ),, A( )) d d, (3.5) S s s şeklinde olsun. Burada L çok değişkenli fonksiyon, s verilen ifadedeki inegral sayısı, h kalı inegralin yaklaşık değerini hesplamada kullanılan adım aralığıdır. S ise 3

S,,, s :, h, k, m k, k,3,, s, (3.5) şeklinde anımlanan özel bir poliopur. Burada m,,, s A( ), A( 3), A( ) d ve inegralleri sırasıyla 3 3 L( F, F, F ) F, F, F, m, m3 ve 3 3 L( F, F, F ) F, F, F, m, m3 k A( 3), A( ), A( ) d dir. Örneğin, şeklinde ifade edilir. Burada her iki inegralde de üçlü inegral bulunduğundan s 3 ür. (3.35) inegralinin yaklaşık değerini hesaplamak için v. derece Legendre polinomu P x in farklı reel kökleri c, c,, c, v* ( ) leri ümlev nokaları olarak seçelim. v Daha sonra A ha( c h), k,,, v ahminlerini hesaplayalım ve Gauss ümlevini k k k k ks k D( h) b L( A, A,, A ) (3.5) v kcs şeklinde oluşuralım. Burada diğerlerinden farklı olan üm sıralı s lilerin kümesidir. S,,, s :,, k, m k, k,3,, s ve j i j ji C,,,,v kümesinden oluşurulan en az bir bileşeni v s n x xi l j ( x), j,,, v, (3.53) x x kardinal Lagrange inerpolasyon polinomu olmak üzere b k ağırlıkları s b l ( ) d, (3.54) k ki i i S i şeklindedir. (3.53) polinomunu ümlev nokalarında yerine koyarak elde edilen v A( ) h lk Ak k h (3.55) (3.55) eşiliğini (3.5) denkleminde A( ) yerine yazarak inegral alınır. Arık (3.5) denklemindeki kalı inegralin yaklaşık değeri (3.5) ümlevi ile hesaplanabilir. Iserles ve çalışma arkadaşları bu meodun merebesini aşağıdaki eoremde vermişir []. 4

Teorem 3.5... v c( ) ( ck ) şeklinde anımlanan c( ) polinomunun aşağıdaki orogonallik k koşulunu sağladığı en büyük i amsayısı m olsun. i c( ) d, i,,, m. Orogonallik koşulu, üm S poliopları ve üm çok değişkenli (mulilinear) L fonksiyonları için (3.5) ümlevinin merebesinin v m olmasını gerekirir. Eğer c, c,, cv v. derece Legendre polinomu P v* ( x ) ın, aralığındaki farklı reel kökleri (Gauss-Legendre nokaları) ise (3.5) ümlevinin merebesi v olur. Şimdi 4. merebeden kesilmiş (runcaed) Magnus seri açılımı için bir algorima oluşuralım. Teorem 3.5... e göre 4. Merebe Magnus seri açılımı meodu için Gauss- Legendre ümlevinde yalnızca. dereceden Legendre polinomu kullanılacakır. Bu durumda v ve merebe p 4 olur. P * ( ) x nin kökleri Önceki bölümde verdiğimiz Magnus seri açılımındaki inegraller Ii( ), i,,3, I ( ) A( ) d I ( ) [ A( ), A( )] d d I ( ) [ A( ),[ A( ), A( )]] d d d 3 3 3 I ( ) [ A( ), A( )], A( )] d d d 4 3 3 şeklinde yeniden adlandırılırsa, ( ) I I I3 I4 (3.56) 4 denklemi elde edilir. (3.56) denklemindeki ilk dör inegrali Gauss (Gauss-Legendre) ümlevi ile hesaplanacakır.. dereceden Legendre polinomu 3 c, c ve v dir. Lagrange inerpolasyon polinomları ise 3 6 6 P * ( ) x nin kökleri 5

l x x c ( ) 3 x ( 3 ), c c x c l x x ( ) 3 ( 3 ), c c dir. Bu durumda A ha h 3 6 ve A ha h 3 6 (3.57) (3.58) (3.59) (3.6) dır. I ( ) inegralinin Gauss ümlevi için L fonksiyonu ve sıralı s lilerin kümesi sırasıyla L( A( )) A( ) v ve (),() (3.54) denkleminden, () () Cs şeklinde anımlanır. Tümlevdeki k b l ( ) d, b l ( ) d, b ağırlıkları ise (3.6) şeklinde elde edilir. I ( ) inegrali için Gauss-Legendre nokalarını kullanarak elde edilen ümlev () () D ( h) b L( A ) b L( A ) A A (3.6) dir. I ( ) inegralinin Gauss ümlevi için L fonksiyonu ve sıralı s lilerin ( s ) kümesi v sırasıyla L( A( ), A( )) A( ), A( ) ve (, ),(,) Dolayısıyla ümlevdeki b k ağırlıkları, C şeklinde anımlanır. s 3 3 b l ( ) l ( ) d d, b l ( ) l ( ) d d, 8 8 (3.63) (,) (,) olur. Buradan I ( ) için Gauss-Legendre ümlevi b(,) b(,) A, A A, A D ( h) b L( A, A ) b L( A, A ) b A, A b A, A (,) (,) (,) (,) şeklinde elde edilir. 3 6 (3.64) Bundan sonraki inegrallerde inegral sayısı s arıkça yapılan işlemler de daha karmaşık bir hal alacakır. Üçüncü inegral için Gauss ümlevindeki L fonksiyonu ve sıralı s lilerin ( s 3) kümesi sırasıyla 6

L( A( ), A( ), A( )) A( ), A( 3), A( ) ve v Cs dir. C 3 (,,),(,,),(,, ),(,,),(,,),(,,) C 3 deki her bir üçlüye karşılık gelen b k ağırlıkları ayrı ayrı bulunmalıdır. Burada (,, ) üçlüsüne ai b (,,) ağırlığını bulmak için (3.54) inegralini hesaplarsak, 3 7 b l ( ) l ( ) l ( ) d d d 48 4 (3.65) (,,) 3 3 olarak bulunur. Aynı şekilde diğer ağırlıklar da (3.54) inegralinin hesaplanmasıyla aşağıdaki gibi b b b 3 7 3 7, b, 48 4 48 4 (,,) (,,) 3 3, b, 4 5 4 5 (,,) (,,) 3 7 3 7, b, 48 4 48 4 (,,) (,,) (3.66) elde edilir. I ( ) 3 için L fonksiyonu iç içe komüaörler içerdiğinden ve komüaörlerin çarpık simeri (skew-symmery) özelliğinden dolayı D ( ) 3 h ümlevinde L fonksiyonunun değerlerinden ikisi olur. L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A. (3.66) ağırlıkları ile (3.67) fonksiyon değerleri D ( h ) ümlevinde 3 D ( h) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) 3 (,,) (,,) (,,) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) (,,) (,,) (,,) (3.67) (3.68) yerine yazılırsa, 7

D3 ( h) b(,,) b(,,) A, A, A b(,,) b(,,) A, A, A 3 3 3 3 6 8 6 8 A, A, A A, A, A (3.69) elde edilir. Benzer şekilde I ( ) inegrali için v 4 C ve L fonksiyonu 3 L( A( ), A( ), A( )) A( ), A( ), A( ) (3.7) v Cs C (3.7) 3 (,,),(,,),(,, ),(,,),(,,),(,,) şeklinde anımlanır. s C 3 deki her bir üçlüye karşılık gelen b k ağırlıkları (3.54) inegrali kullanılarak hesaplanacakır. Burada (,, ) üçlüsüne ai b (,,) ağırlığı, 3 b l ( ) l ( ) l ( ) d d d 48 3 (3.7) (,,) 3 3 olur. (3.54) inegralinin hesaplanmasıyla b k ağırlıkları, b b b 3, b, 48 3 4 (,,) (,,) 3 3, b, 48 3 48 3 (,,) (,,) 3, b, 4 48 3 (,,) (,,) elde edilir. Her bir b k ağırlığına karşılık gelen L fonksiyon değerleri,, A. L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A olur. I ( ) inegrali için oluşurulan D ( h ) ümlevinde 4 4 D ( h) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) 4 (,,) (,,) (,,) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) (,,) (,,) (,,) (3.73) ağırlıkları ile (3.74) fonksiyon değerleri yerine yazılırsa D4 ( h) b(,,) b(,,) A, A, A b(,,) b(,,) A, A, A 3 3 3 3 48 8 A A A 48 8 A A A,,,,. (3.73) (3.74) (3.75) (3.76) 8

elde edilir. D ( h ), D ( h ), D ( h ), 3 D ( ) 4 h ümlevleri (3.55) denkleminde yerine yazılırsa Magnus seri açılımındaki ( ) için bir ahmin elde edilir. ( ) D ( h) D ( h) D3 ( h) D4 ( h) 4 3 ( A A ) A, A A, A, A A, A, A 8 8 Teorem 3.4.. den I ( ) ve I ( ) 3 4 inegralleri 4. merebe Magnus seri açılımındadır faka bu inegrallerin lineer kombinasyonları 4. merebede Magnus meodu MG4 ün sonucunu ekilemez ve 5 ( ) de bulunur. Bunun için son iki erim ihmal edilir ve 4. merebe Magnus seri açılımı 3 5 ( ) ( A A ) A, A ( ) (3.77) şeklinde elde edilir. (3.) denklemini 4. merebe kesilmiş Magnus seri açılımı ile çözmek için Iserles, Marhinsen & Norse aşağıdaki algorimayı oluşurmuşlardır []. Adım aralığı h n n ve y( n) yn olmak üzere 3 n, 6 A ha h (3.78) 3 n, 6 A ha h (3.79) 4 ( A A 3 ) A, A, (3.8) y n exp 4 yn. (3.8) 6. Merebe Magnus seri açılımı için ise v 3 ve c, c, c, (3.8) 5 5 3 ve 5 5 5 l ( x) x x, (3.83) 6 3 3 l( x) x x, (3.84) 3 3 3 5 5 5 l3( x) x x, (3.85) 6 3 3 olur. 9

5 5 n n n A ha h, A ha h, A ha h, (3.86) ve 3 B A, B A A, B A A A, (3.87) 5 3 3 3 3 olmak üzere 4. merebede yapılan hesaplamalara benzer şekilde hesaplanınca 6. merebe Magnus meodu MG6,,,, B B3 B B 4 B B3 36 B B B3 B, B, B B, B, B, B, 4 7 y n exp yn. şeklinde elde edilir []. (3.88) (3.89) 3.6. Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu Bu bölümde (3.) denklemindeki A( ) marisinin yalnızca zamana bağlı olmadığı aynı zamanda y fonksiyonuna da bağlı olduğu durum yani denklemin lineer olmayan diferansiyel denklem olması hali incelenecekir. Burada A A(, y) şeklindedir. Bu durumda kalı inegraller için Gauss ümlevi sadece zaman değişkenine bağlı değil aynı zamanda bilinmeyen y fonksiyonunun ümlev nokalarındaki değerine de bağlıdır. Bu da inegrasyonun her adımında lineer olmayan cebirsel işlemlere ve meodun kapalı olmasına yol açar [33]. Bu bölümde 6 yılında Casas ve Iserles arafından y A(, y) y, y() y G, (3.9) (3.9) denklemi için gelişirilen Magnus seri açılımı meodu incelenecekir [37]. Burada A: G, G maris Lie grubu ve bu gruba karşılık gelen Lie cebirini belirmekedir. Lineer durumdakine benzer şekilde Picard ierasyonuyla her bir ierasyon hesaplanarak elde edilen sonuç bir sonrakinde yerine yazılarak açık bir meo elde edilecekir. Bu şekilde am çözüm için sürekli bir ahmin elde edilecek ve bu ahmin sadece kesikli (discree) zaman adımlarında değil, üm zaman değerlerinde doğru ve geçerli olacakır [33]. 3

(3.9) denkleminin çözümü y e y ( ) ( ), şeklindedir. Buradan ( ) dexp A(, e y), (), (3.9) (3.9) diferensiyel denklemi elde edilir. Burada B ve B n Bernoulli sayılarıdır. n n dexp ( C) adc n n! m m ad A A ad A ad A m, [, ],, n ad ise ile anımlı adjoin operaör ve [ X, Y] XY YX dir. Lineer durumdakine benzer prosedür (3.9) denklemine uygulanırsa [ m] [ m] ( s) ( ) [ m] dexp A( s, e y ( ) ) ds s B [ m] k ad k ( s) [ m] ( s) A s e y k k! ds m (, ),, (3.93) elde edilir. (3.93) açılımında dexp operaörünün uygun biçimde kesilmesiyle Casas ve Iserles aşağıdaki sonuçları elde emişlerdir [37]. [] ( ), olduğundan [] buradan A(, y), (3.94) (3.95) [] ( ) A( s, y) ds ( ( ) elde edilir. [] ( s) ), (3.96) A( s, e y ) A(, y ) ( s), (3.97) olduğundan [] [] ( s) 3 ( s), A( s, e y) ds ( ). (3.98) [3] ( ) hesaplanırken [] ( ) deki ikinci erim (3.98) de dahil edilirse, [3] ( ) [] ( ) yi ( ) ye kadar üreir. Bundan dolayı [] [] ( s) dexp operaörü k da kesilir ve ( ) A( s, e y ) ds (3.99) alınır. Genelleme yapılırsa, 3