ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:-Sayı/No: : 355-366 (9) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE TEK DEĞİŞKENLİ KARARLI DAĞILIMLAR, PARAMETRELEMELERİ VE MENKUL KIYMET FİYATLARI DAVRANIŞI ÜZERİNE BİR UYGULAMA Filiz KARDİYEN ÖZ Ticaret, ekoomi ve davraışsal biyoloi, fizik ve sosyal bilimler gibi birçok uygulama alaıda arta bir ilgiyle kullaılmakta ola dağılımları kararlı ailesi, olasılık dağılımlarıı çarpıklık ve kalı kuyruklara olaak taıya ve birçok cazip matematiksel özelliklere sahip zegi bir sııfıdır. Kararlılık; bağımsız, ayı dağılımlı rasgele değişkeleri toplamları içi limit kuralları verdiğide öemli bir özelliktir. Özellikle, çeşitli marketlerde fiasal varlıklara ait fiyat değişimlerii dağılımıda kalı kuyruk veya basıklık gözlemesi, kararlı dağılımları fias çevreside büyük ilgi görmesie ede olmuştur. Bu çalışmada, tek değişkeli kararlı dağılımlar, taım ve özellikleriyle ayrıtılı bir şekilde taıtılmış ve bu dağılımları literatürde yer ala parametrelemeleri ile bu parametrelemeleri özelikleri verilmiş, McCulloch u Yüzdelik Tekiği ile parametre tahmii taıtılmıştır. Ayrıca, bu tür dağılımlar içi iyi örek oluşturması bakımıda İstabul Mekul Kıymetler Borsasıda işlem göre bir hisse seedii getirilerie ait kararlı dağılım parametre tahmileri ve dağılım foksiyoları icelemiştir. İcelemeler soucuda, deeysel dağılımı, teorik dağılıma oldukça iyi uyum sağladığı gözlemiştir. Aahtar Kelimeler : Kararlılık, Kararlı dağılım, Kararlı parametreleme, Hisse seedi. UNIVARIATE STABLE DISTRIBUTIONS, THEIR PARAMETRIZATIONS AND AN APPLICATION ON THE BEHAVIOUR OF THE STOCK PRICES ABSTRACT Stable distributios, a rich class of probability distributios that allow skewess ad heavy tails ad have may itriguig mathematical properties, have bee extesively used i may applicatio fields like busiess, ecoomics, behavioral biology, physics ad social scieces. Stable laws are a importat feature because they give limitig laws for sums of idepedet, idetically distributed radom variables. Heavy tailed or leptokurtic character of distributio of price chages observed i various markets make stable distribuitos more attractive especially i ecoomics. I this study, uivarite stable distribuitos are itroduced i detailed with their defiitios ad features ad McCulloch s Quatile Techique is also described for parameter estimatio. I additio, parametrizatios of these distributios defied i literature ad characteristics of these parametrizatios are give. Sice it is the best sample for these kid of distributios, stable parameter estimatios ad distributio fuctios of returs of a stock from the İstabul Stock Exchage are examied. Emprical results idicate that empirical distributio gives a very good fit to the theoretical distributio. Keywords: Stability, Stable distributio, Stable parametrizatio, Stock., Gazi Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, İstatistik Bölümü, Tekikokullar- Beşevler ANKARA. Fax:379, e-posta: fyuva@gazi.edu.tr Geliş: 8 Nisa 7; Düzeltme: 9 Temmuz 7; Kabul: Aralık 7

356. GİRİŞ Kararlı dağılımlar, olasılık dağılımlarıı çarpıklık ve kalı kuyruklara olaak taıya ve bir çok cazip matematiksel özelliklere sahip zegi bir sııfıdır. Bu sııfı 9 lerde Paul Levy bağımsız ve ayı dağılımlı terimleri toplamlarıyla çalışmasıda taımlamıştır. Kararlı dağılımlar, özellikle birçok ilgiç iceliği, rasgele değişkeleri toplamı şeklide ifade edildiği ekoomide olmak üzere veri modelleri olarak yaygı olarak kullaılmaktadır. Kararlı dağılımlar, birçok uygulama alaıda ilgi kousu olmuştur. Öreği, Holtsmark, astroomide yerçekimiyle ilgili alaları modellemede kararlı dağılımları uygulamıştır. Ayrıca, ticaret ve ekoomide spekülatif mekul kıymetleri fiyat değişimleriyle ilgili olasılık kuralları içi bir model elde etme sürecide de kararlı dağılımları kullaılmaları öerilmiştir (Press, 97a). Kararlı sııfı birkaç üyesi dışıda, yoğuluk ve dağılım foksiyolarıı kapalı formuu olmayışı deeysel çalışmalarda bir güçlük olarak araştırmacıları karşısıa çıkmaktadır (Fama ve Roll, 97). Acak kararlı dağılımları yoğuluk ve dağılım foksiyolarıı ve yüzdeliklerii hesaplaya güveilir bilgisayar programları mevcuttur ve bu programlarla birçok pratik problem içi kararlı model kullamak mümkü olmaktadır (Nola, 5). Kararlılık kuralları aalitik olması ve bağımsız ve ayı dağılımlı rasgele değişkeleri toplamları içi tek mümkü limit kuralları olması bakımıda büyük öeme sahiptir. Dağılımları kararlı ailesi, ticaret, ekoomi ve davraışsal biyoloi, fizik ve sosyal bilimler uygulamalarıda arta bir ilgiyle kullaılmaktadır. Öceleri, kuyruklara uzak birtakım gözlemleri aykırı değer olarak çıkarılması edeiyle birçok süreci yaklaşık ormal oldukları düşüülürdü. Acak, bütü gözlemler elde tutulduğuda birçok süreçte kuyruklarda ormal dağılımda daha fazla olasılık kümeleir. Bu tür kalı kuyruk davraışı, kararlı ormal olmaya dağılımları ve diğer bazı dağılımları tipik ö- zelliğidir. Süreci davraışıı kararlı dağılım ile açıklamasıı avataı, değişkeleri doğrusal bileşelerii kararlı dağılım varsayımı altıda aaliz edilmesii daha kolay olmasıdır (bu her zama geçerli değildir). Birkaç tae bağımsız kararlı değişke söz kousu olduğuda çok değişkeli kararlı dağılımlar gerekmektedir (Press,97b). Bu çalışmaı amacı, birçok alada cazip özellikleri bakımıda pek çok çalışmaya kou olmuş ve veri modeli olarak sıkça kullaıla Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloi Dergisi, () kararlı dağılımları taıtmak ve gücel verilere uygulaabilirliğii göstermektir. Bu amaçla, tek değişkeli kararlı dağılımlar ayrıtılı bir biçimde özellikleri ile ele alımıştır. Birici Bölümde, kararlılık taımları ve tek değişkeli kararlı dağılımları parametre özelliklerie yer verilmiştir. Kararlı dağılımları taımlamada literatürde çok sayıda parametreleme kullaılması edeiyle bu kouda ciddi bir karmaşa söz kousudur. Bu edele, çalışmaı ikici bölümüde kararlı dağılımları e iyi taımladığı ve kolay yorumlaabildiği düşüüle iki parametreleme ve bu parametrelemeleri kararlı değişkeleri toplamlarıyla ilgili özellikleri verilmiştir. Çalışmaı dördücü bölümüde, kararlı dağılımlar içi geliştirilmiş parametre tahmi yötemleride McCulloch u Yüzdelik Tekiği taıtılmıştır. So bölümde ise, gücel veriler ile bir uygulama çalışması yapılmıştır. İstabul Mekul Kıymetler Borsası da işlem göre bir hisse seedie ait yüz aylık getiri verisi ele alımış ve verii dağılım özellikleri icelemiştir.. TEK DEĞİŞKENLİ KARARLI AİLENİN TANIMLARI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ. Taımlar.. Taım Eğer b >, b > ve c, c gerçek sayıları içi x c x c x c F *F = F () b b b () eşitliğii sağlaya b pozitif sayısı ve bir gerçek sayı c var ise, F( x) dağılım foksiyou kararlıdır deir. Burada * işlemi kovolüsyo işlemidir. Geelde eğer F ve F, f, f yoğuluklu sürekli birikimli dağılım foksiyoları iseler, kovolüsyoları eşitlik () deki gibi ifade edilir ( x) F ( x) *F ( x) F = () ve şöyle taımlaır: ( x) F ( x t) f ( t) dt F = = ( x t) f ( t)dt F Bu taım aşağıdaki taım ile dektir: (3)

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, () 357 F birikimli dağılım foksiyoua sahip X ve Y bağımsız olsular. Her b >, b > çifti içi, Z ( b ) X + b Y + c b 3 te yie ayı F birikimli dağılım foksiyoua sahip olacak şekilde bir b 3 > ve bir c var ise, F kararlıdır. Her iki taıma göre de, bağımsız ve ayı dağılımlı rasgele değişkeleri doğrusal foksiyolarıı toplamı yie ayı dağılım ailesie ait ise, bu aile kararlıdır deir. Öreği, ormal dağılım bu özelliği sağlamaktadır, dolayısıyla kararlı ailei bir üyesidir. (Press, 97b).. Taım Ayı dağılımlı X ve X rasgele değişkelerii dağılımı acak ve acak herhagi pozitif a ve b sabitleri içi d a + X + b X = c X d (4) (4) eşitliğii sağlaya bir pozitif c ve bir d R varsa, kararlı dağılım ailesie aittir deir. ( d = sembolü, dağılımda deklik alamıa gelir yai her iki ifade ayı olasılık kuralıa sahiptir.)..3 Taım Ayı dağılımlı X, X,..., X rasgele değişkelerii dağılımı acak ve acak herhagi içi d... + X = c X d X + + (5) (5) eşitliğii sağlaya bir pozitif c ve bir d R varsa, kararlı dağılım ailesie aittir deir (Zolotarev, V.M. 986). Zolotarev (986) bu taımlamalarıda değişkeleri bağımsızlığı hakkıda bir açıklama yapmamıştır...4 Taım Eğer bağımsız, ayı dağılımlı rasgele değişkeleri toplamı bir limit dağılımıa sahipse, bu limit dağılımı kararlı sııfı bir üyesidir (Fama ve Roll, 968).. Temel Özellikler - kararlı, kararlı Pareto ya da Levy kararlı olarak ta isimledirile kararlı dağılımlar, Levy tarafıda bağımsız rasgele değişkeleri toplamlarıı davraışları hakkıda yaptığı araştırmalar sırasıda taıtılmıştır. - kararlı dağılıma sahip, ideksli iki bağımsız rasgele değişkei toplamı, yie ayı ideksli, - kararlı dağılıma sahiptir. Acak bu değişmezlik özelliği, farklı lar içi sağlamaz. -kararlı dağılımları taımlayabilmek içi dört parametre gereklidir: Bu parametreler: kararlılık ideksi, karakteristik üs veya kuyruk ideksi, (,] çarpıklık parametresi veya ideksi, [,], ölçü parametresi, > koum parametresi δ R dir. σ ve µ sembolleri (bu semboller yalızca stadart sapma ve ortalama içi kullaılacaktır) ile karışmaması bakımıda, ölçü parametresi içi, koum parametresi içi ise δ kullaılmıştır. Karakteristik üs, dağılımı kuyruklarıı icelme oraıı belirler. = olduğuda, dağılım ormal dağılımdır. < ike, varyas sosuzdur. > ike, dağılımı ortalaması mevcuttur ve δ ya eşittir. Çarpıklık parametresi pozitifke dağılım sağa çarpıktır yai sağ kuyruk daha kalıdır. egatif ike ise dağılım sola çarpıktır. = olduğuda dağılım δ etrafıda simetriktir. So iki parametre, ve δ, alışılagelmiş ölçü ve koum parametreleridir ve geişliği belirlerke, δ dağılımı moduu (tepesii) kaymasıı belirler. = ve δ = olduğuda, dağılıma stadart kararlı dağılım deir. Geellikle > olmaktadır. ve, dağılımı formuu belirlediğide, bu parametreler biçim parametreleri olarak düşüülebilir (Rozelle ad Fielitz, 98). Kararlı dağılımlar içi çeşitli parametre tahmi yötemleri öerilmiştir. Kuyruk İdeksi Tahmii Yötemi, Fama-Roll Tahmi Yötemi, E Çok Olabilirlik Yötemi, Yüzdelik Tahmii Yötemleri, Karakteristik Foksiyo Yaklaşımı kullaa yötemler bu yötemlere örek olarak verilebilir..3. Kararlı Dağılımlara Örekler: Normal Dağılım, Cauchy ve Levy Dağılımları Kararlı dağılımları sürekli oldukları ve yoğuluğa sahip oldukları iyi biliir. Acak bu yoğuluklar geellikle yalızca sosuz seriler şeklide ifade edilirler. Yoğulukları kapalı formlarıı bulumaması (Normal, Cauchy ve Levy dağılımları hariç) sebebiyle, kararlı dağılımlar geellikle karakteristik foksiyolar ile ifade edilirler. Yoğuluk foksiyolarıı kapalı formda ifade edilebildiği üç durum iceleecek olursa;

358 Örek. Normal veya Gaussia dağılımları. X ~ N ( µ, σ ) içi yoğuluk foksiyou eşitlik (6) da verilmiştir. ( x µ ) f( x) = exp, < x < (6) πσ σ Örek. Cauchy dağılımı X ~ Cauchy ( içi yoğuluk foksiyou eşitlik (7) de verilmiştir. f ( x) =, < x < (7) π + x ( Örek 3. Levy dağılımı X ~ Levy ( içi yoğuluk foksiyou eşitlik (8) de verilmiştir. ( x) = π f exp, δ < x < 3 ( x ( x (8) Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloi Dergisi, () bölgeside topladığı, yüksek derecede çarpık bir dağılımdır ve Cauchy dağılımıda bile kalı kuyrukludur. Tablo de bu dağılımları kuyruk olasılıkları yer almaktadır. Tablo. Stadart Normal, Cauchy ve Levy dağılımlarıı kuyruk olasılıkları c P(X >c) Normal Cauchy Levy.5.5..587.5.687.8.476.55 3.347.4.4363 4.367.78.389 5.866.687.3453 Şekil. de bu üç yoğuluğa ilişki grafik yer almaktadır.,5,4,3,, Levy Cauchy Normal, -6, -4, -,,, 4, 6, -, Şekil. Stadart Normal N(,), Cauchy (,), Levy (,) yoğuluklarıı grafikleri Normal ve Cauchy dağılımları simetrik ve ça eğrisi şeklidedirler. İki dağılım arasıda temel itel farklılık, Cauchy dağılımıı daha kalı kuyruklu olmasıdır. Özellikle ormal dağılımda 3 te büyük c değerleri içi P(X >c) olasılığı oldukça küçük ike; Cauchy dağılımıda bu olasılık öemli bir değerdir. İki dağılımda çekile öreklerde, Cauchy dağılımıda ormal dağılımda ortalama kez daha fazla 3 ü üzeride değer buluur. Kararlı dağılımları kalı kuyruklu olarak aılması bu edeledir. Normal ve Cauchy dağılımlarıı tersie Levy dağılımı, bütü olasılığı x > Normal dağılım ( =, =, = σ, δ = µ ) ve Levy da- parametreleriyle kararlıdırlar (Nola, 5). Cauchy dağılımı ( =, =, ğılımı ( =, =,

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, () 359 3. PARAMETRELEMELER VE KARARLI RASGELE DEĞİŞKENLERİN TOPLAMLARINA İLİŞKİN ÖZELLİKLERİ Kararlı kuram içi çok sayıda parametreleme mevcuttur ve bu farklı parametrelemeler karışıklığa yol açmaktadır. Parametrelemedeki çeşitlilik, tarihsel gelişimde ve çok sayıda problemi kararlı dağılımları özelleştirilmiş biçimlerii kullaılarak aaliz edilmeside kayaklamaktadır. Farklı durumlarda, farklı parametrelemeleri kullaılmasıı haklı sebepleri vardır. Sayısal çalışma veya veri modellemek içi ayrı, dağılımı basit cebirsel özellikleri gerektiğide ayrı ve kararlı kuramı aalitik özellikleri çalışılmak istediğide ayrı bir parametreleme tercih edilebilir (Nola,998). 3. S (, Parametrelemesi,,, δ parametreli, -kararlı bir rasgele değişke X ~ S (,, i karakteristik foksiyou içi Samoroditsky ve Taqqu (994) ve Wero (4) tarafıda verile e popüler parametreleme eşitlik (9) daki gibidir: π t i ta ( sig(t) ) i t + δ lφ () t = t i ( sig(t) ) + l t + iδt = π (9) Ölçü parametresi = ve koum parametresi δ = olduğuda, dağılım stadardize edilmiş olur ve S (,, ) otasyouu kısaltılmış S sembolü ile ifade edilir. hali ( ) Diğer tarafta, karakteristik foksiyou basit formu ve cazip cebirsel özellikleri ile ilgileildiğide S (,, parametrelemesi tercih edilir. S (, parametrelemesi, bu özellikleri e yaygı kullaıla parametrelemedir ve kararlı dağılımlarla ilgili kaıtlamalarda kullaılmaktadır. S (, parametrelemesii temel dezavataı, = i herhagi bir komşuluğuda modu koumuu sıırsız olmasıdır. Şekil.de - parametrelemeside yoğulukları biçimi görülebilir.,6,5,4,3, alfa=.5 alfa=.75 alfa= alfa=.5 alfa=.5, -8-6 -4-4 6 8 Şekil.. (.5,, ) S parametrelemeside, =.5,.75,,. 5 ve. 5 içi kararlı yoğuluklar 3.. S (,, ) δ Parametrelemesi (, δ ) S M parametrelemesii karakteristik foksiyou, yoğuluk ve dağılım foksiyouu bütü parametrelemesi, Zolotarev i dört parametrede ortak sürekli olduğu değişik bir biçimidir. Sayısal amaçlar içi Nola (997) tarafıda öerilmiştir.

36 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloi Dergisi, () l () t π t + i ta sig (t) t + i δ t ( )( ) φ = t + i ( sig(t) ) log( t ) + iδ t = π Ölçü parametresi = ve koum parametresi δ = olduğuda, dağılım stadardize edilmiş olur ve S (,, ) otasyouu kısaltılmış S sembolü ile ifade edilir. hali ( ) = olduğuda, S (, δ, ) dağılımı, δ ortalamalı ve varyaslı ormal dağılıma sahiptir ( S (,, δ ) = N ( δ, ) ). (, δ ) () parametrelemesi, kararlı dağı- S lımlarla ilgili sayısal çalışmalarda ve istatistiksel çıkarımlarda öerilir. S (, δ ) paramet- relemeside kararlı yoğulukları şekilleri, Şekil 3. de verilmiştir Eğer X ~ S (, ise, o halde ( X ~ S (,, ) dağılır. Bu durum = olduğuda S (, parametrelemesi içi doğru değildir.,6,5,4,3, alfa=.5 alfa=.75 alfa= alfa=.5 alfa=.5, -8-6 -4-4 6 8 Şekil.3. (.5,, ) S parametrelemeside, =.5,.75,,. 5 ve. 5 içi kararlı yoğuluklar İki parametrelemei koum parametreleri arasıda aşağıdaki ilişki vardır: δ = δ δ π ta l π = () = olduğuda, iki parametreleme dektir ve ölçü parametresi kullaıldığıda, S(,,) = S(,,) şeklide gösterilir (Borak vd., 5). 3.3 Parametrelemeleri Kararlı Rasgele Değişkeleri Toplamlarıa İlişki Özellikleri 3.3. S (,, ) δ Parametrelemeside Kararlı Rasgele Değişkeleri Toplamlarıa İlişki Özellikler. Eğer X ~ S (, δ ) b R içi a ve ise herhagi ax + b ~ S ( sig (a), a aδ + b) olur.. Bütü dört parametre,, δ içi, karakteristik foksiyolar, yoğuluk ve dağılım foksiyoları ortak olarak süreklidir. 3. S,, δ ve S bağımsız rasgele değişkeler iseler X ~ ( ) X ~ (,, δ )

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, () 36 X + ~ S (, δ ) X parametreleri: + olur, bu dağılımı + =, = + π δ +δ + ta [ ] δ = δ +δ + [ ] = şeklidedir. π l l l () 4. S,, δ =,,..., kararlı bağımsız tae rasgele değişke ve w,..., w keyfi seçilmiş sayılar içi X ~ ( ) w + + + ~ S (, X w X... w X ( sig w ) w, = = =, = w + =, = + + şeklidedir. δ=δ +δ (4) 4. S,, δ =,,..., kararlı bağımsız tae rasgele değişke ve w,..., w keyfi seçilmiş sayılar içi X ~ ( ) + ~ S (, w + + X w X... w X ( sig w ), w =, = w = = wδ δ= wδ wl w = π (5) δ= π w δ + ta w w δ + l w l w = (3) π 3.3. S (, Parametrelemeside Kararlı Rasgele Değişkeleri Top- lamlarıa İlişki Özellikler. Eğer X ~ (, b R içi, S ise herhagi a ve ( ) S sig (a), a aδ + b ax + b S sig (a), a aδ + b a l a π olur. =. Karakteristik foksiyolar, yoğuluk ve dağılım foksiyoları = ike sürekli acak = i herhagi bir komşuluğuda sürekli değildir. 3. S,, δ ve S bağımsız rasgele değişkeler iseler; X ~ ( ) X + ~ (, X S olur, bu dağılımı parametreleri:, X ~ (, δ ), (Nola, 998).. özellikler icelediğide, S (,, parametrelemeside ve δ stadart ölçü ve koum parametreleri oldukları acak = ike S (, parametrelemeside olmadıkları görülecektir. Tersie. özellikler icelediğide, yalızca S (, parametrelemeside koum parametresi, δ koum parametrelerii toplamı δ + δ olmuştur. Her iki özelliği barıdıra bir parametreleme mevcut değildir. 4. MCCULLOCH UN YÜZDELİK TEKNİĞİ İLE PARAMETRE TAHMİNİ 4. ve Parametrelerii Tahmii Bağımsız ve ayı S(,,) δ kararlı dağılımıda çekilmiş x, x,..., x gözlemleride oluşa örek verilsi. x p p. yığı yüzdeliği ve ˆx p ise örek yüzdeliğii temsil etsi. ˆx p x i tutarlı bir tahmi edicisidir. p McCulloch, ve δ da bağımsız olup, yalızca ve ı foksiyou ola ν ve ν yı eşitlik (6) ve (7) deki gibi taımlar.

36 x ν = x x.95.5 x.75.5 (6) Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloi Dergisi, () xˆ.75.5 = ˆ (3) φ 3 xˆ ( ˆ, ˆ ) x + x x ν = x x.95.5.5.95.5 (7) ν ı ilgili örek değeri ν ˆ ise (8) deki gibidir ve bu istatistik ν ı tutarlı tahmi edicisidir. xˆ ν ˆ = xˆ xˆ xˆ.95.5.75.5 (8) ν ˆ değeri, ν ˆ değerie bezer olarak hesaplaır. ν gibi ν da ve δ da bağımsızdır ve ν ˆ, ν i tutarlı tahmi edicisidir. (, ) (, ) ν =φ ν =φ (9) İlişki, eşitlik () deki gibi tersie çevrilerek, ve parametreleri ν ve ν ı foksiyoları ciside ifade edilebilir. (, ) (, ) =ψ ν ν =ψ ν ν () ν ve ν ı yerlerie, örek değerleri koularak, ve parametrelerii tutarlı tahmi edicileri () deki gibi elde edilir. (, ) (, ) =ψ ˆ νˆ νˆ =ψ ˆ νˆ νˆ () Bu tahmi edicileri değerlerii vere tablolar McCulloch u (986) çalışmasıda yer almaktadır. 4. Ölçü Parametresii Tahmii x ν = ν =φ.75.5 3 x (, ) () () de verile eşitliklerde yararlaarak ölçü parametresi aşağıdaki gibi tahmi edilir: ˆ değerleri, ν ve değerlerie göre, McCulloch u (986) çalışmasıda verile tablolar yardımıyla bulumaktadır. 4.3 Koum Parametresii Tahmii δ x ν δ = ν =φ δ 4.5 (, ) (4) (4) de verile eşitliklerde yararlaarak ölçü parametresi δ aşağıdaki gibi tahmi edilir: ( ˆ) δ=φ ˆ ˆ. ˆ, + xˆ (5) 4.5 ˆδ değerleri, ν δ, ve değerlerie göre, McCulloch u (986) çalışmasıda verile tablolar yardımıyla bulumaktadır(mcculloch, 986). 5. MENKUL KIYMET FİYATLARI DAVRANIŞI UYGULAMASI Madelbrot (963, 967) ve Fama ı (965) temel çalışmaları, fiasal varlıkları deeysel dağılımlarıa ola ilgiyi başlatmıştır.96 lı yılları başıda Madelbrot varlık getirilerii dağılımlarıı modellemede ormal dağılımı yetersizliğie ve getiri dağılımlarıı kalı kuyruk özelliğie işaret etmiştir. Buda sora, fiyat değişimlerii dağılımıı Gaussia olmaya özelliği çeşitli market verileride sık sık gözlemiştir (Cot,). Mekul kıymet fiyat değişimlerii dağılımı, ekoomist ve fias aalistleri içi ilgi kousu olmuş ve bu kouda pek çok çalışma yapılmıştır. Moder fiasta birçok tekik rasgele değişkeleri ormal dağılıma uyduğu varsayımıa dayamaktadır. Kararlı dağılımlar cazip özellikleri edeiyle, ormal dağılıma bir alteratif olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu bölümde İstabul Mekul Kıymetler Borsası da işlem göre Aselsa (ASELS) hisse seedii.998 4.6 döemleri arasıdaki aylık getirilerii (toplam ay) dağılımlarıı yapısı iceleecektir. Aselsa hisse seedi getirilerii sözü edile döemdeki grafiği Şekil 4 te verilmiştir.

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, () 363 getiri (%) 6 4 8 6 4 - -4-6 9 7 5 33 4 49 57 65 73 8 89 97.998-4.6 ASELS Şekil.4. Aselsa hisse seedii.998-4.6 periyodudaki aylık getirilerii zamaa göre grafiği Bu hisse seedii getirilerie ilişki betimsel istatistikler Tablo. de verilmiştir. Tablo. Aselsa Hisse seedii getirilerie ilişki betimsel istatistikler Hisse Ortalama St.Sapma Miimum Maximum Çarpıklık Basıklık Seedi (%) (%) (%) ASELSAN 6.39 5.95-38 4.3 8.6 İlk adımda, hisse seedie ait getirileri dağılımıı ormal dağılıma uyup uymadığı Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testi kullaılarak test edilmiş ve teste ilişki p değeri aşağıdaki.8 bulumuştur. Bu durumda Aselsa hisse seedii getirileri dağılımıı teorik dağılımıı ormal dağılım olduğuu iddia ede yokluk hipotezi.5 alamlılık düzeyide reddedilmiştir. Hisse seedi getirilerii dağılım parametreleri, yüzdelik tahmii yötemleride 4. bölümde alatıla McCulloch u Yüzdelik Tekiği ile sıfır parametrelemesi içi tahmi edilmiş ve Tablo 3 teki souçlar elde edilmiştir. Tablo 3. Hisse seedii getirilerii dağılımıı McCulloch u Yüzdelik Tekiği ile elde edile parametre tahmileri 4 3 HİSSE SENEDİ ASELS S McC. Yüzdelik UyumTekiği ˆ ˆ ˆ δˆ.46.598.9.7 -,38 -,5 -,3,,3,5,38,,3,5,38 Şekil 5. Aselsa Hisse Seedii Getirilerie ait Histogram,5,63,75,88 Aselsa hisse seedii getirileri içi, McCulloch u Yüzdelik Tekiği ile tahmi edile S parametrelerie sahip S.46 (.598,.9,.7 ) dağılımı içi teorik dağılım foksiyou ve deeysel dağılım foksiyou Şekil 6 da görüldüğü gibi olmuştur. (yalız -parametrelemesie ilişki souçlar verilmiştir, -parametrelemesi içi de bezer souçlar elde edilmiştir) Getirileri deeysel dağılımıı, S.46 (.598,.9,.7 ) teorik dağılımıa u- yumuu göstere P-P Plot Şekil 7 deki gibi olur.

364 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloi Dergisi, (),,8 olasılık,6,4 Deeysel dağılım Teorik dağılım, -,5,,5,,5 -, aylık getiri S para- Şekil 6. Aselsa hisse seedi içi deeysel dağılım ve McCulloch u Yüzdelik Tekiği ile metrelemesiyle fit edile teorik dağılım,, teorik dağılım,8,6,4,,,,4,6,8, deeysel dağılım Şekil 7. Aselsa Hisse seedi getirilerie ilişki S ( ).46.598,.9,.7 dağılımı içi P-P Plot Şekil-7 icelediğide, deeysel dağılımı, teorik dağılıma yakı olduğu ve iyi bir uyum gösterdiği görülmektedir. Yapıla Kolmogorov-Smirov testi soucuda deeysel dağılımı, S.46 (.598,.9,.7 ) teorik dağılımıa uyduğu hipotezi.5 alamlılık düzeyide reddedilememiş, test soucu grafiksel teşhis yötem souçlarıı destekler itelikte olmuştur ( hesaplaa test istatistiği değeri : D =.435, kritik değer: Dk =.4 ). Parametre tahmi etme ve teorik dağılıma ilişki veri üretme işlemleri STABLE paket programı kullaılarak yapılmıştır. 6. SONUÇ/TARTIŞMA Kararlı dağılımlar birçok fiziki ve ekoomik sistem türleri içi bir model olarak öerilmişlerdir. Bir sistemi taımlamasıda kararlı dağılımları kullaımıı birtakım edeleri vardır. Birici ede, ormal olmaya kararlı bir model beklemek içi sıkı teorik edeleri olmasıdır. Öreği, döe bir ayaı

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, () 365 yasıması Cauchy dağılımıa, Brow hareketi içi çarpma sayısı Levy dağılımıa, yıldızları yerçekimi ile ilgili alaı Holtsmark dağılımıa uyar. İkici ede, bağımsız ayı dağılımlı terimleri ormalleştirilmiş toplamlarıı tek mümkü limitii kararlı olduğuu belirte geelleştirilmiş merkezi limit teoremidir. Gözlee bazı icelikler birçok küçük terimi toplamıdır (öreği bir mekul kıymeti gülük, haftalık ya da aylık fiyat değişimleri, işlemde işleme değişimleri basit toplamlarıdır ) ve böyle sistemleri taımlamak içi bir kararlı model kullaılmalıdır. Kararlı dağılımlarla modelleme içi üçücü ede ise deeysel: birçok büyük veri setleri kalı kuyruk ve çarpıklık yapısı gösterirler. Bu çalışmada, kalı kuyruklu ve çarpık verileri modellemede öemli yere sahip kararlı dağılımlara ilgi çekmek amaçlamış ve bu dağılımlar ayrıtılı bir biçimde taıtılmıştır. Kararlı dağılımları özellikleri ve bu dağılımlara ilişki parametrelemeler, özellikleriyle beraber verilmiştir. Kararlı dağılımları gücel hayatta rastlaa bir dağılım türü olduğuu örekledirmek içi, İMKB de işlem göre bir hisse seedie ait getiriler ele alıarak, bu getirileri dağılım yapısı ve kararlı dağılıma uyguluğu icelemiştir. Uygulaa grafiksel teşhis yötemleri, getirileri dağılımıı kararlı dağılımlara uygu olduklarıı göstermiş, uyum iyiliği testi de bu yötemleri destekler itelikte souçlamıştır. Verii istatistiksel davraışıı iyi bilidiği bir dağılımda geliyor olması, araştırmacılar içi her zama bir avata olup, veri aalizii her aşamasıda yararlı bir bilgidir. Kararlı dağılımlar, aykırı gözlemler çıkarılmaksızı, veriyi kalı kuyruk özelliğiyle modellemeye imka taır ve değişkeleri doğrusal bileşelerii kararlı dağılım varsayımı altıda aaliz edilmesi daha kolaydır. KAYNAKLAR Borak, S., Wolfgag, H. ve Wero, R. (5). Stable Distributios. SFB 649 Discussio Paper. Cot, R. (). Empirical properties of asset returs: stylized facts ad statistical issues. Quatative Fiace (3-36). Fama, E.F. (965). The behaviour of stock market prices. Joural of Busiess 38 (34-5). Joural of the America Statistical Associatio 66(33-338). Madelbrot, B. (963). The variatio of speculative prices. Joural of Busiess 36(394-49). Madelbrot, B. (967). The variatio of some other speculative prices. Joural of Busiess 4(393-43). McCulloch, J.H. (986). Simple cosistet estimators of stable distributio parameters. Commuicatios i Statistics: Simulatio ad Computatio 5(9-36). Nola, J.P. (5). Stable Distributios: Models for Heavy Tailed Data.http:// academic.america.edu/ ~pola/stable/chap.pdf Nola, J.P. (997). Numerical calculatio of stable desities ad distributio fuctios. Commuicatios i Statistics- Stochastic Models 3(759-774). Nola, J.P. (998). Parametrizatios ad modes of stable distributios. Statistics ad Probability Letters 38(87-95). Press, S.J. (97a). Estimatio i uivarite ad multivariate stable distributio. Joural of the America Statistical Associatio 67(84-846). Press, S.J. (97b). Applied Multivariate Aalysis. Holt, Riehart ad Wisto Ic., New York. Rozelle, J.P. ve Fielitz, B.D. (98). Skewess i commo stock returs. The Fiacial Review 5(-3). Samoroditsky, G. ad Taqqu, M.S. (994). Stable No-Gaussia Radom Processes, Chapma & Hall. Wero, R. (4). Computatioally itesive value at risk calculatios. Hadbook of Computatioal Statistics, Spriger, ss. 9-95, Berli. Zolotarev, V.M. (986). Oe-dimesioal Stable Distributios. America Mathematical Society, USA. Fama, E.F. ve Roll, R. (97). Parameter estimates for symmetric stable distributios.

366 Filiz KARDİYEN, 977 yılıda Akara da doğdu. 998 yılıda Gazi Üiversitesi Fe- İstatistik Bölümüde lisas öğreimii tamamladı. Yüksek lisas derecesii Orta Doğu Tekik Üiversitesi İstatistik Bölümü de yılıda aldı. Doktora çalışmasıı Gazi Üiversitesi İstatistik Bölümü de 8 yılıda tamamladı. Gazi Üiversitesi İstatistik Bölümü de yardımcı doçet kadrosuda görev yapmaktadır. İlgi alaları, çok değişkeli istatistiksel aaliz, portföy aalizi, olasılıktır. Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloi Dergisi, ()