--ÖZET Yüksek Lisas Tezi AKTÜERYAL RİSK ANALİZİNDE EŞLENİKLERİN KLLANIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Esra AYDIN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstati

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ AKTÜERYAL RİSK ANALİZİNDE EŞLENİKLERİN KLLANIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Esra AYDIN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

2 --ÖZET Yüksek Lisas Tezi AKTÜERYAL RİSK ANALİZİNDE EŞLENİKLERİN KLLANIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Esra AYDIN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dalı Daışma: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞL Bu çalışmada sıra istatistikleri ve eşleikleri, kopulalar, iki değişkeli olasılık itegral döüşümü, Riske Maruz Değer (Value-at-Risk) ve buu Sarmaov Dağılımlar ailesie uygulaması üzeride durulmuştur. Sıra istatistikleri, iki boyutlu dağılım foksiyoları, kopulalar ve sıra istatistiklerii eşleikleri hakkıda temel kavram ve teoremler verildikte sora çalışmaı amacıı oluştura iki değişkeli olasılık itegral döüşümleri gösterilmiştir. Çok kullaıla risk ölçüm değerleride biri ola Riske Maruz Değer (Value-at-Risk) de kouyla ilgili olarak kısaca bahsedilmiştir. Tüm bu kavram ve teoremler kullaılarak Sarmaov dağılımlar ailesi içi gerekli uygulamalar yapılmıştır. Bu kapsamda bağımlılık yapıları da ele alımış ve aalitik souçlar suulmuştur. Bu uygulamalar soucuda toleras aralıklarıı belirlemesie ve Riske Maruz Değer ile ilişkiledirilmesie yer verilmiştir. Ocak, 54 sayfa Aahtar Kelimeler: İki Değişkeli Olasılık İtegral Döüşümü, Kopula, Kuatiller, Riske Maruz Değer (Value-at-Risk), Sarmaov Dağılım Ailesi, Sıra İstatistikleri ve Eşleikleri, Stokastik Sıralama, Toleras Aralığı i

3 ABSTRAT Master Thesis A STDY ON THE SE OF ONOMITANTS IN AKTARIAL RİSK ANALYSIS Esra AYDIN Akara iversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Statitistics Supervisor: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞL I this study; order statistics ad their cocomitats, copulas, bivariate probability itegral trasform, Value-at-Risk (VaR) ad Sarmaov Distributio Family are cosidered. Basic cocepts of order statistics ad their cocomitats, two dimesioal distributio fuctios, copulas ad the related theorems are give. Bivariate probability itegral trasforms, which sets the basis of the study, are show. Value-at-Risk (VaR), as a risk measure, ad quatiles of distributios are preseted i cojuctio with each other. All the basic cocepts ad teorems about the Sarmaov distributios, that are utilized i the thesis, are preseted. I this regard; quatiles, VaR ad toleras itervals are ivestigated ad some aalytical results are preseted. Jauary, 54 pages Key Words: Bivariate Probability Itegral Trasform, opulas, Order Statistics ad Their ocomitats, Quatiles, Sarmaov Distributio, Stochastic Orderig, Tolerace Itervals, Value-at-Risk (VaR) ii

4 TEŞEKKÜR Yüksek lisas öğreimim boyuca baa bilimsel araştırma iteliği kazadıra, bei tez koumu yer aldığı alada bilgi ve öerileriyle çalışmaya yöledire sevgili daışma hocam Sayı Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞL (Akara Üiversitesi İstatistik Aabilim Dalı) a mietlerimi suarım. Tezimi souçlamasıda yardımlarıı esirgemeye değerli hocam Sayı Doç. Dr. Fatih TANK(Akara Üiversitesi İstatistik Aabilim Dalı) a teşekkür ederim. Tez çalışmam süresice her zama yaımda ola, tez alaımdaki bilgi ve deeyimlerii beimle paylaşa, desteğii esirgemeye sevgili Dr. Bau ALTINSOY a içte teşekkürlerimi suarım. Bu süreçte maevi destekleriyle bei yalız bırakmaya ve büyük sabır göstere sevgili işalım Yeer ÜNAL a ve destek ve fedakarlıkları içi değerli aileme sosuz sevgilerimi suarım. iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRAT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... vii ÇİZELGELER DİZİNİ... viii. GİRİŞ VE ÖNEKİ ÇALIŞMALAR.... SIRA İSTATİSTİKLERİ VE DAĞILIMLARI İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİ İki Boyutlu Dağılımlar ve Kopulalar Dağılım Foksiyolarıı Kopulaları Kopulaları Kümesi Üzeride Sıralama Birlikteliği Ölçüleri SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ SIRA İSTATİSTİKLERİ VE EŞLENİKLERİNİN ORTAK DAĞILIMLARINA İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN YGLANMASI İki Değişkeli Olasılık İtegral Döüşümleri içi Örekler Yei Geelleştirilmiş Sarmaov Dağılımlar Ailesi içi Örekler İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMÜ KLLANARAK DAĞILIMDAN BAĞIMSIZ KİTLE KANTİLLERİ İÇİN GÜVEN ARALIKLARININ İFADE EDİLİŞİ Toleras Limitleri ve Aralıkları Kuatiller ve Güve Aralıkları iv

6 6.3 Yei Geelleştirilmiş Sarmaov Dağılımlar Ailesi İçi Örekler BAĞIMLI RİSKLER İÇİN RİSKE MARZ DEĞER (VaR) İki Değişkeli Kuatiller, Kopulalar ve İki Bağımlı Risk içi VaR Değerledirmesi TARTIŞMA VE SONÇ KAYNAKLAR... 5 ÖZGEÇMİŞ v

7 SİMGELER DİZİNİ R R R I I W M Π Reel sayılar Geişletilmiş reel sayılar Geişletilmiş reel düzlem Birim aralık Birim kare Kopula foksiyouu göstergesi Frechet-Hoeffdig alt sıır kopulası Frechet-Hoeffdig üst sıır kopulası Çarpım kopulası µ kopulasıı I üzerideki ölçüsü δ kopulasıı diagoal (köşege) kısmı X r: r -ici sıra istatistiği Y [ r: ] r -ici sıra istatistiğii eşleiği p i ( t ) Sıralama bağıtısı i-ici sıra istatistiğii dağılım foksiyou r: iform dağılımlı rasgele değişkelerii r -ici sıra istatistiği V r -ici sıra istatistiğii eşleiği [ r: ] FGM VaR Farlie-Gumbel-Morgester dağılımlar ailesi Riske Maruz Değer (Value-at-Risk) vi

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3. Çeşitli bağımlılık sıralamaları arasıdaki gerektirmeler... 8 vii

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3. { M,, W}, Π içi i dağılım foksiyoları... viii

10 . GİRİŞ VE ÖNEKİ ÇALIŞMALAR Sıra istatistikleri istatistik teorisii öemli kavramlarıda biri olup, temel istatistik yötemleride ve istatistiksel souç çıkarımıda kullaılmaktadır. Sıra istatistiklerii kullaım alalarıda biri de eşleiklerdir. Sıra istatistikleride elde edile eşleikler özellikle risk gruplaması, sıralama ve tahmi problemleri olmak üzere birçok uygulama alaıda kullaılmaktadır. Gerçek yaşamda yer ala etkeler ve değişkeler doğal yapıları gereği birbiride bağımsız değillerdir. Bu bağımlılıkta dolayı olasılık dağılımlarıı modellemek içi çok değişkeli dağılımları kullaılması oldukça uygudur. Bu sahada ele alıa çok değişkeli dağılım modelleride birisi ola Sarmaov dağılımlar ailesi literatürde ilk kez Sarmaov (966) tarafıda icelemiştir (Yağcı ). Bu çalışmaları yarattığı zemi üzerie işa edilmiş diğer çok değerli çalışmalar mevcuttur. Ayrıca, çok değişkeli dağılımlarda sıra istatistikleri ve eşleiklerii ortak dağılımlarıı karakterize etme problemi istatistik bilimi açısıda hem kuram hem de uygulama yöleriyle bir değer taşımakta olup risk, aktüerya, fias, tıp, biyoloji, jeoloji, hidroloji, ekoomi, ziraat gibi pek çok uygulama alaıda çözümleyici ve souç çıkarıcı yaklaşımlara dayaak oluşturmaktadır. Çok değişkeli dağılımlarda dağılıma kou ola değişkeler arasıdaki bağımlılık yapısıı ortaya koulmasıda kopula kavramı so yıllarda istatistik literatürüde sıkça kullaılmaktadır. Rastgele değişkeler arasıdaki bağımlılık yapısıı ortaya koya kopulalar, tek değişkeli marjialleri [;] aralığı üzeride düzgü dağılıma bağlarke, çok değişkeli dağılımları kedi tek değişkeli marjiallerie bağlaya foksiyolardır. İki değişkeli olasılık itegral döüşümleri yapılırke, bu döüşümü kopula ile ifade etmek işlemleri daha da kolaylaştırmaktadır. İki değişkeli olasılık itegral döüşümleri ve dağılım foksiyolarıı kopulaları ile ilgili literatürde yer ala öemli çalışmalar; Nelse vd. (), Bairamov ve Kotz (), Rodriguez-Lallea, Jose A. ve beda-flores M. (3) i çalışmalardır.

11 Aktuerya bilimide, risk yöetimide bağımlılığı modelleme kousu doğal risk icelikleride dolayı so yıllarda arta bir öem kazamıştır. Kayıp miktarları gibi birçok sigorta portföyüü içide ya da arasıda bağımlılık söz kousudur. Bu tip bağımlı riskleri modelleme çalışmalarıda; yükümlülük ve uygu fiyatlama (prim hesapları) meseleleri içi bir sigorta risk yöetimi plalaması alamlı risk ölçümlerii kullaılmasıı gerektirmektedir. Bağımlı riskleri dağılımlarıı kuatilleri, birçok risk ölçüsü içi bağımlı riskleri modellemek amacıyla kullaılarak dağılımlar temelide esas değerleri oluşturur. Kopulalar, bağımlılığı modellemeside, risk iceliklerii ortak dağılımlarıı bağımlılık yapısı ve marjial davraışı olarak ifade etme özelliğie sahip olduğuda kullaılışlı bir matematiksel araçtır. Deuit vd. (5) tarafıda yapıla bir çalışmada, yei ve kotrol edilebilir sigorta alaı teorisideki risk ölçümleri ve kopulalar açısıda bağımlı aktüeryal risk modelleri ile uygulamalar suulmuştur. Ayrıca Joe (997) ve Mari ve Kotz () u çalışmalarıda; bağımlılık, korelasyo ve çok değişkeli modelleme hakkıda açık ve oldukça geiş bir istatistiksel bakış açısı suulmaktadır. Geel terimlerle, bazı risk ölçümleri, kuatiller, olasılık itegral döüşümleri ve kopulalar arasıda kavramsal ve aalitik bir ilişki mevcuttur. Kuatiller; olasılık dağılımlarıı geelleştirilmiş tersi olarak taımlaır ve risk yöetimi pratiğide Riske Maruz Değer (VaR) risk ölçüsü bakımıda esası oluşturur. he ve Welsh (), tek değişkeli kuatiller, iki değişkeli kuatiller ve çok değişkeli kuatilleri geelleştirilmeleri taımlamak içi iki değişkeli dağılım foksiyolarıı kullamışlardır. Bağımlı riskleri bazı foksiyolarıı alarak; bazı risk yöetimi problemleri bakımıda tekik estrümalar olarak kopulaları kullaımı ile bir p- kuatil risk ölçüsü ola VaR risk ölçümü içi sıırlar ortaya koulabilmektedir (Embrechts vd. (3)). Rüschedorf (5) tarafıda yapıla çalışma bazı risk foksiyoellerii üzeride bağımlılığı etkisii sıırladırılması hakkıda ayrıtı geişlemelerii öermektedir. Embrechts vd. (5) u yapmış oldukları çalışmada; kopula teorisi kullaılarak VaR a dayadırıla risk yöetimi içi mümkü e kötü searyolar ve ko-mootoluğu destekleye alteratif bir yaklaşım üzeride durulmuştur.

12 Bedford (6) tarafıda yapıla çalışmada risk problemlerii hesaplamada kullaıla kuatil testleride bahsetmiş ve kopulaları kullaarak egelleyici ödeme yükümlülüğüü etkililiğii alamada ek bir araç öererek, güveilirlik alaı içide risk hesaplamaı öemli bir öreğii vermiştir. Gebizlioğlu ve Kızılok (7) bir portföydeki mevcut riskleri açıklamak içi iki adımlı yaklaşımı ile iki değişkeli bir model öermişlerdir. İlk adımı risk faktörlerii marjial dağılımlarıı belirlemesi, ikici adımı ise bir kopula foksiyou aracılığı ile riskleri ortak dağılımlarıı belirlemesi işlemleri oluşturmaktadır. Ayrıca kopula foksiyouda, Koşullu Riske Maruz Değer (VaR, oditioal Value-at-Risk) ölçüsü çıkarılmış ve bu temel üzeride, e uygu portföyü seçimi problemi içi bir uygu optimizasyo yötemi öerilmiştir. Feradez (8) sigortacılıkta bilaço gelirleride bağımlılık yapısıı ölçülerii kopula teorisi temellide irdelemiş ve bu bakışla kuyruk bağımlılığı, VaR ve beklee bakiye hesapları ortaya koymuştur. Deeberg ve Leufer (8) stokastik değişimlilik (volatility) ve bağımlılık parametreleri üzerie yaptıkları çalışmada ikili değişimlilik ve bağımlılık parametresi ile ilgilemişler ve yapıla diğer çalışmalarda olduğu gibi kopula foksiyoları kullamışlardır. Gebizlioglu ve Yagcı (8) iki değişkeli riskler ve risk ölçümlerii kuatilleri içi kopula foksiyoları yardımıyla güve aralıkları oluşturmuşlardır. Ayrıca aktueryal risk yöetimii öemli ölçüm araçlarıda VaR ı ele alarak toleras aralıkları kousuda özgü ve öemli kuramsal bulgular ortaya koymuşlardır. Tezi bölümleri şöyle oluşturulmuştur: İkici Bölümde sıra istatistikleri ve dağılımları hakkıda temel kavram ve teoremler verilmiştir. Üçücü Bölümde Nelse vd. () u çalışmalarıa bağlı kalıarak, kopula kavramı hakkıda geel bilgiler verilmiş ve iki değişkeli olasılık itegral döüşümleri ile ilgili 3

13 teoremler ve souçlarıda bahsedilmiştir. Bu bölümde ayrıca birlikteliği ölçüleri kousu da ele alımıştır. Dördücü Bölümde, sıra istatistiklerii eşleiklerii dağılımları teorisi ele alımıştır. Sıra istatistiklerii eşleiklerii dağılımları ve ortak dağılımlarıı elde edilmeside kullaıla temel teoremler verilmiştir. Çalışmaı temel amacıı oluştura Beşici Bölümde, sıra istatistikleri ve eşleiklerie iki değişkeli olasılık itegral döüşümlerii uygulaması gösterilmiş, miimum, maksimum ve çarpım kopulaları kullaılarak Sarmaov dağılımlar ailesi üzerie aalitik yapılar oluşturulmuştur. Altıcı Bölüm; çalışmaı diğer özgü souçlarıı oluşturmaktadır: Bu bölümde, iki değişkeli olasılık itegral döüşümleri kullaılarak kuatiller içi toleras aralıklarıı kurulumu gerçekleştirilmiş ve Sarmaov dağılımlar ailesi içi toleras aralıkları üzerie özgü örekler verilmiştir. Yedici Bölümde, Gebizlioğlu ve Yağcı (8) tarafıda FGM içi yapıla çalışmada yola çıkarak Sarmaov dağılım ailesi içi VaR (Riske Maruz Değer) ı ifade edilmesi ve ileride yapılabilecek çalışmalar kousuda öerilerde buluulmaktadır.. 4

14 . SIRA İSTATİSTİKLERİ VE DAĞILIMLARI X, X,..., X, birbiride bağımsız ve ayı F( x ) dağılım foksiyoua sahip birimlik bir öreklem olmak üzere X r: ( r ) ile bu öreklemi r-ici e küçük değeri gösterilsi. Bu durumda, bu öreklemi sıra istatistikleri X: X :... X : şeklide ifade edilir ve X r: ye r-ici sıra istatistiği deir. r-ici sıra istatistiği ola X r: i dağılım foksiyou, i (.) i i F r( x ) = P{ X r: x } = [ F( x )] [ F( x )], r i= r biçimide verilmektedir. r< s içi r-ici ve s-ici sıra istatistiklerii ortak dağılım foksiyou ; F ( x,y) = P{ X x,x x} r,s r: s:! = i= r j= max(,s i ) i! j!( i j )! i j i j F( x) ( F( y) F( x)) (-F(y)) x<y, r<s (.) F( x) dağılım foksiyou mutlak sürekli olup f(x) gibi bir olasılık yoğuluk foksiyoua sahip olması durumuda r-ici sıra istatistiğii olasılık yoğuluk foksiyou! r r fr ( x) = F ( x) F ( x) f ( x ) - <x<, r r! r! ( ) ( ) r<s içi r-ici ve s-ici sıra istatistiklerii ortak olasılık yoğuluk foksiyou ( ) ( ) ( ) (.3)! fr,s ( x, y) = F x F y F x F y f x f y r! s r! s! r s r s - <x<y<, r < s (.4) 5

15 dir. r < r <... < r ( k ) içi, foksiyou k X r :, X r :,..., X r k : i ortak olasılık yoğuluk f ( x,x,...,x ) r,r,...,rk k =! r! r r!... r! ( ) ( ) ( ) k r r r F x F x F x... F xk f x f x... f xk - <x <x <...<x k < (.5) olarak elde edilir. Burada x =, x k+ = +, r = ve rk+ = + olarak alıması durumuda ( i+ ) F ( xi ) ( ) ri + ri k F x k fr,r,...,r x k,x,...,xk =! f x i i= ri + ri! i= (.6) olmaktadır. Ayrıca X :, X :,...,X : rasgele değişkelerii ( tae sıra istatistiğii) ortak olasılık yoğuluk foksiyou f x,x,...,x =! f x f x...f x - <x <x <...<x <,,..., k (.7) olarak verilir (David ve Nagaraja 3). Teorem.. X rasgele değişkei içi, F ( x ) mutlak sürekli keyfi bir dağılım foksiyou ve olasılık yoğuluk foksiyou ise f ( x) olsu. S (, ) kümesi olmak üzere r leri solu α f ( x ) =, x R S r, r: (.8) lieer ilişkisi vardır. (Balasubramaia ve Beg 997). Teorem.. X, X,..., X, birbiride bağımsız ve ayı F ( x ) dağılım foksiyoua sahip birimlik bir öreklem olsu. Sırasıyla F r: x ile r-ici sıra istatistiğii dağılım 6

16 foksiyou, M r: k f r:( x ) ile olasılık yoğuluk foksiyou, µ r: ile k-ıcı mometi ve t ile momet çıkara foksiyou gösterilsi. O zama, i Fr: x = - F:i x i=-r+ r i i-+r- (.9) i fr: x = - f:i x i=-r+ r i i-+r- (.) k i + r i k µ r: = (-) µ :i i=-r+ r i (.) ve i-+r- i M r: ( t) = (-) M :i ( t) i=-r+ r i (.) dir (David ve Nagaraja 3). 7

17 3. İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİ 3. İki Boyutlu Dağılımlar ve Kopulalar R ile ( + ), aralığıdaki gerçel sayılar kümesi, R ile ise bu aralıktaki geişletilmiş gerçel sayılar kümesi gösterilsi. Bu durumda, R = R R geişletilmiş gerçel düzlemdir. R deki bir dikdörtge; iki kapalı aralığı kartezye çarpımı B ile gösterilirse, bu durumda B [ x, x ] [ y y ] = dir. Burada, ( x, y),( x, y),( x, y),( x, y ) oktaları köşege oktalardır. Birim kare I, I = [,] i kartezye çarpımı ola I I dır. Bir -boyutlu gerçel foksiyo H, taım kümesi R i bir altkümesi ola DomH ve değer kümesi R i bir alt kümesi ola RaH şeklide taımlaa bir foksiyodur. Taım 3. S ve S R i boş olmaya altkümeleri ve H ise taım kümesi DomH S S = ola bir foksiyo olsu. B [ x, x ] [ y y ] = tüm köşege oktaları, DomH de ola bir dikdörtge olsu. Bu durumda B i H -hacmi V B = H x y - H x y - H x y + H x y (3.) (, ) (, ) (, ) (, ) H biçimide verilebilir (Nelse, 999) Ayı zamada, B dikdörtgei üzerideki H i birici derecede farkları aşağıdaki gibi verilirse V ( B ) ye, B dikdörtgei H -hacmi deir: H x D H ( x, y ) = H x ( x, y ) - H ( x, y ) y H x y H x y y H x y D (, ) = (, ) - (, ). O halde; B dikdörtgei H -hacmi, H i B üzerideki ikici derecede farkı olacaktır: 8

18 x y x y V (, ) H B = D D H x y Taım 3. Eğer köşege oktaları DomH de ola tüm B dikdörtgeleri içi V H ( B) ise, H -boyutlu gerçel foksiyoua -artadır deir (Nelse 999). X, F dağılım foksiyolu sürekli bir rasgele değişke olduğuda = F(X ) rasgele değişkei ( X i olasılık itegral döüşümü) I = [,] aralığıda düzgü dağılıma sahip olup ya da P ( F( X ) t) = t, t [,] biçimide yazılır. İki boyut içi ayı durum göz öüe alıdığıda; X ve Y, sırasıyla F ve G dağılım foksiyolu rasgele değişkeler olmak üzere H ve H, tek değişkeli marjialleri F ve G ola iki değişkeli dağılım foksiyoları olsu. H ve H içi ortak marjiallere kısıtlama yapmak, X ve Y i tek değişkeli olasılık itegral döüşümüe bağlı olmasıı garatileyecektir. Bu durumda H ( X, ) tek boyutlu bir rasgele değişke olacaktır. Eğer X ve Y i ortak Y dağılım foksiyou H ise H ( X, Y) i dağılım foksiyou hakkıda e söyleebileceği sorusuu cevaplamak içi ilk olarak sürekli iki değişkeli dağılım foksiyolarıı kümesi üzeride sıralamaya gitmek ve ikici olarak rak korelasyo katsayıları (Spearma rho su, Kedall tau su, Gii katsayısı ve Spearma footrulekuralı) dağılım foksiyoları bakımıda özlü olarak ifade edilmelidir (Nelse vd. ). Taım 3.3 Kopula, aşağıdaki özelliklere sahip (i) I daki her u ve v içi, I de I ya bir foksiyoudur: ( u,) = = (, v) (3.) ve ( u,) = u ve (, v) = v ; (3.3) (ii) u u ve v v olmak üzere I daki her u, u, v, v içi, u, v ) ( u, v ) ( u, v ) + ( u, v ) (3.4) ( şeklide olmalıdır (Nelse 999). 9

19 Kopulaları, bileşik ve marjial dağılımları ilişkiledire özelliği aşağıdaki teoremle belirtilmiştir: Teorem 3. (Sklar ı Teoremi) H foksiyou F ve G marjial dağılımlı bir ortak dağılım foksiyou olsu. O zama öyle bir kopulası mevcuttur ki R = [, + ] daki bütü x ve y ler içi, H ( x, y) = ( F( x), G( y)) (3.5) dır (Sklar 959). Eğer F ve G sürekli ise, tektir; diğer durumda RaF RaG üzeride tek olarak belirleir. Burada RaF ve RaG, R i altkümeleri ola değer kümeleridir. Diğer tarafta, eğer bir kopula ve F ve G dağılım foksiyoları ise (3.5) ile verile ve G marjial dağılımlı bir ortak dağılım foksiyoudur (Nelse 999). H, F 3. Dağılım Foksiyolarıı Kopulaları M ve W, sırasıyla Frechet-Hoeffdig üst ve alt sıır kopulaları olmak üzere, herhagi bir kopulası W ( u, v) = max( u + v,) ( u, v) mi( u, v) = M ( u, v) (3.6) eşitsizliği sağlamaktadır. Sürekli X ve Y rasgele değişkeleri içi, acak ve acak kopulaları M (W ) ise X ve Y i her biri diğerii heme heme her yerde arta (azala) bir foksiyoudur. Bağımsız sürekli rasgele değişkeleri kopulası Π ( u, v) = uv dir. X rasgele değişkeii dağılım foksiyou df (X ) yada F harfiyle ifade edilecektir. X st Y df ( X ) df ( Y ) dir. Burada st stokastik eşitsizliği göstermektedir. µ iki değişkeli dağılım foksiyou H i H R üzerideki ölçüsüü, bezer biçimde

20 µ de kopulasıı I üzerideki ölçüsüü gösterecektir. So olarak, δ ( t) = ( t, t) olarak verile i diagoal (köşege) kısmıdır. δ, Taım 3.4 H ve H, ortak F ve G sürekli marjial dağılım foksiyolu iki değişkeli dağılım foksiyoları olsu. X ve Y i ortak dağılım foksiyoları H olmak üzere, H H ( X, Y ) H ( X, Y) rasgele değişkeii göstersi. H i dağılım foksiyou gibi ifade edilir: df ( H H X, Y ) (kısaca ( H ) H, yai ( H ) t) Pr H H ( X, Y ) H ile gösterilsi) aşağıdaki [ t] = ({( x, y) R H ( X, Y ) t} ) t I H = µ H, (3.7) ( Kopulalar, Düzgü [,] dağılımıa sahip marjial dağılımları ola iki değişkeli dağılım foksiyou olduğuda ayı taım kopulalar içi yazılabilir. Bu durumda, eğer ve herhagi iki kopula ve, V ortak dağılım foksiyoları ola düzgü [,] rasgele değişkeler ise o zama (, ) (, ) rasgele değişkeii gösterir ve i dağılım foksiyou ( ) t) Pr (, V ) V V [ t] = ({( u, v) I (, V ) t} ) t I = µ, (3.8) ( biçimide verilir (Nelse et. al. ). Teorem 3. (Nelse vd.. ) H, H, F, G, X ve Y Taım 3.4 deki gibi olsu, ve H ve H ye karşılık gele kopulalar olmak üzere; ( H H ) = ( ) (3.9) dır. içi dağılım foksiyou aşağıdaki çizelge 3. de gösterilmiştir.

21 Çizelge 3. { M,, W} ), Π içi i dağılım foksiyoları (Nelse vd. M Π W M t t t mi( t,) Π t t t l t max(, 4t) W ( + t) ( t) İspat. t I içi, ( H H )( t) = µ H ({( x, y) R H( X, Y ) t} ) = µ ({(, ) (, ) }), H x y R F x G y t = µ ({( u, v) I (, V ) t} ) = ( )( t), u = F( x), v = G( y) döüşümü yoluyla elde edilir. Buu alamı, X ve Y i kesi sürekli döüşümleri altıda değişmezliği sağlamasıyla H i dağılım foksiyou H, i dağılım foksiyou ye bezerdir. Örek 3. M, Π ve W u dağılım foksiyou M, Π ve W (3.8) de hesaplaıp Çizelge 3. de gösterilmektedir ( t I içi).

22 Bu durumda öreği, M M I da düzgü dağılıma M Π α =, β = parametreli beta dağılımıa, M W [,/] de düzgü dağılıma, Π M α = /, β = parametreli beta dağılımıa sahiptirler. Örek 3. ve V ortak dağılım foksiyoları ola düzgü [,] dağılıma sahip rasgele değişkeler olsu. δ ( t ) = ( t,t ) köşege kopula olmak üzere kolaylıkla t I içi M ( t ) = t δ ( t ) olduğu gösterilebilir ve bu edele ve V i sıra istatistiklerii dağılım foksiyoları M i dağılımıa göre ifade edilebilir: df (mi(,v ))( t ) = t δ ( t ) = ( M )( t ), df (max(,v ))( t ) = δ ( t ) = t ( M )( t ) biçimide ifade edilebilir. M ( t ) = δ ( t ) dir; burada ( ) Ayrıca yai ( ) t I içi δ ( t ) = sup{ u δ( u ) t} dir. ( ) δ, δ i sağda sürekli yarı-tersi dir, 3.3 Kopulaları Kümesi Üzeride Sıralama Kopulaları kümesi üzeride sıralama bağıtısı kurmak içi kopulaları dağılım foksiyou kullaılacaktır. Bu işlem, Sklar ı teoremi yardımıyla sürekli rasgele değişkeleri iki değişkeli dağılım foksiyolarıı kümesi üzeride yapılacaktır. Taım 3.5, ve kopula olsu. Bu durumda,. Eğer st ise de df-larger dır. 3

23 . Eğer st ise de -larger dır. Burada df-larger dağılımda daha geiş, -larger kopulasıa göre daha geiş alamıda kullaılmıştır. df-larger aperaa et al tarafıda 997 de öerilmiştir. Kopulalar içi iyi bilie sıralama kokordat (cocordace) sıralamadır: Eğer daha kokordattır deir ve f şeklide gösterilir. ise I de de Teorem 3.3 (Nelse vd. ) ve kopula olsu. Bu durumda f dir acak ve acak de her kopulası içi -larger ise. İspat. Öcelikle olduğu varsayılsı. I daki tüm t ler içi: { u, v) I ( u, v) t} {( u, v) I ( u, v) t} ( ve burada ({( u,v ) I ( u,v ) t }) {( u,v ) I ( u,v ) t} µ µ (her kopulası içi). Bu edele ( ) ( ) dir, yai st dir. t = ( a b a b = t ve I de, ) < (, ) varsayılsı. ( ) ( ) t + t t = olacak şekilde bir ( a, b) oktası olduğu ( t ) > ( t ) özelliğie sahip bir kopulası ele alısı; öyle ki de -larger olmaz. Varsayalımki a b dir ( a b durumu bezerdir). I de 3 çizgi segmetleri (parçaları) üzeride olasılık yoğuluğu ormal dağılımlı ola bir 4

24 kopulası göz öüe alısı, (( t + a),( t a + b) ) de ( b +, ) (,( a) ) t + ye olsu. (, b) L ve S = { u, v) I ( u, v) t} ( L (,) da (( t a),( t + a) ) a e ve 3 + ye, L L ( a b +,( t a + b) ) de a olduğua dikkat edilirse, S = { u, v) I ( u, v) t} olsu. O zama ( c a, b ) it( S ) S < µ ([, a] [, b] ) = a dir, öyle ki ( ) t) ( ) µ ( S ) < µ S souç ile ispat tamamlamaktadır. ( ve > demektir. Bu ( t Teorem 3.3 ü bir soucu olarak, tüm ler içi, i de -larger olarak ve sıralaması çok güçlü bir gerekli koşuldur ve kokordat sıralamaya dektir. Örek 3.3 M -larger sıralama. i =, içi i ve V i sahip rasgele değişkeler olsular. Bu durumda i kopulalı (,) dağılımıa de M -larger dır M st M ( ) ( ) ( M ) ( M ) δ δ δ δ (, V )) df ( max(, )) df max( V ve df (, V )) df ( mi(, )) mi mi( V (, V ) mi(, V ) max(, V ) max( V ) st st st, Buu alamı; acak ve acak ve V i sıra istatistikleri, ve V i sıra istatistikleri tarafıda belirlee aralığı içide yer alıyorsa de M -larger dır. 5

25 3.4 Birlikteliği Ölçüleri Birlikteliği bazı ölçüleri kokordat ve diskokordat ifadelerie bağlıdır. Eğer ( > x x )( y y ) ise, reel sayıları x, ) ve x, ) sıralı iki çifti kokordat ( y ( y ve eğer x x )( y y ) ise diskokordat olarak adladırılır. Bu bölümdeki ( < kokordat ve diskokordatı olasılıkları üzerie bağlı ola birliktelik ölçüleri ve kopulaları dağılım foksiyoları arasıdaki temel ilişki açıklamaları Nelse et. al. () u çalışmalarıda yararlaılarak suulmuş olup, ilgili kuramsal temel aşağıdaki teoremde belirtilmektedir. Teorem 3.4 (Nelse vd. ) ( X,Y ) ve X,Y sırasıyla H ve H ortak dağılım foksiyolu, ortak F marjial dağılım foksiyolu ( X ve X i) ve ortak G marjial dağılım foksiyolu ( Y ve Y i) sürekli rasgele değişkeleri rasgele vektörleri olsular. ve Q ( X,Y ) ve ( X,Y ) farkı göstersi, yai: sırasıyla ( X ) ve ( X ),Y,Y i kopulalarıı göstersi. i kokordat ve diskokordatlarıı olasılıkları arasıdaki Q = P X X Y Y > P X X Y Y <. (3.) O zama Q ve i bir foksiyoudur ve Q = Q(, ) = 3 4 ( t )dt = 3 4 ( t )dt (3.) şeklide verilir. İspat. Nelse (999) i suduğu ve yayıda ifade edile Teorem 5.. de Q = Q, = 4 ( u,v )d ( u,v ) = 4 ( u,v )d ( u,v ) ifadesi, dek bir ifade olarak, (3.) 6

26 (( )( )) ( )( ) Q = 4E,V = 4E,V (3.3) şeklide yazılabilir. Burada i = F( X i ) ve Vi = G(Y i ) i =, bir rasgele değişke ve dağılım foksiyou (t) K ise, o zama dir. Fakat, eğer T I da E T = K( t )dt dir. Souç olarak şu söyleebilir ki; X ve Y kopulalı sürekli rasgele değişke olsu ve τ ρ, γ, ve ϕ sırasıyla Kedall ı τ suu, Spearma ı ρ suu, Gii i γ sıı ve Spearma ı footrule ϕ sii kitle versiyou olsu; bu takdirde. τ = = Q(, ) 3 4 ( t )dt. ρ = Π = ( Π ) 3Q(, ) 9 ( t )dt 3. γ = = Q(,A ) 6 8 A ( t )dt 4. ϕ = = 3 Q(,M ) 4 6 M ( t )dt saptamaları yapılır. Burada A ( M + W ) = dir. Kedall ı τ su ve ( ) i arasıdaki ilişki aperaa vd. (997) tarafıda verilmiştir. Burada ( ) Kedall ı τ suu bir aalizi olarak öerilmiştir (Geest ve Rivest 993). Spearma ı ρ su ve ( Π ) arasıdaki bezer ilişki Garralda Guillem (997) tarafıda verilmiştir. Diğer birliktelik ölçüleri, kopulaları diğer dağılım foksiyolarıda kolayca oluşturulabilir., kopula ve τ, τ, ρ, ρ, γ, γ, ϕ, ϕ sırası ile Kedall ı τ su, Spearma ı ρ su, Gii i γ sı ve Spearma ı footrule ϕ sie uygu değerler olsu. O zama, aşağıda Şekil 3. de gösterile gerektirmeler dağılım foksiyolarıı kopulaları ve birliktelik ölçüsüe bağlı sıralamalardır ve bular Taım 3.5 ve yukarıdaki souç -4 te elde edilir: 7

27 τ τ st Π Π ρ ρ st p, A A γ γ M M ϕ ϕ st st st Şekil 3. Çeşitli bağımlılık sıralamaları arasıdaki gerektirmeler ve i kokordat sıralaması( p ) arasıdaki gerektirmeleri dört birliktelik ölçüsüe uygu sıralamayı gerektirdiği iyi bilimektedir; bu demektir ki τ τ, ρ ρ, γ γ, ϕ ϕ. Üç -larger sıralamada ( = Π, A ve M içi ) ara durumlar bulumaktadır; gerektirmede, kokordat sıralama karşılaştırılabilir değilke, df-larger sıralama var ike Kedall ı τ suu değerleri üzeride sıralama gerekmektedir (Nelse vd.. ). 8

28 4. SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ Taım 4.. ( X,Y ),( X,Y ),...,( X,Y ) rasgele vektörü bağımsız ve ayı X X... X öreklemi F x, y dağılımıa sahip birimlik öreklem olsu. : : : ilk koordiatı ola X i sıra istatistikleri olmak üzere r içi X r: ile r -ici sıra istatistiği gösterilsi. Eğer Y = Y X = X, j=,,..., (4.) [ r:] j j r: ise Y [ r:] ye r-ici istatistiğii eşleiği deir (Nagaraja ve David 994, David ve Nagaraja 998). Teorem 4.. ( X,Y ),( X,Y ),...,( X,Y ) rasgele vektörü bağımsız ve ayı F ( x, y) sürekli dağılımıa sahip birimlik bir öreklem olmak üzere r -ici sıra istatistiğii eşleiği ola Y [ r:] i dağılım foksiyou + G y F y x f x dx [ ] = r: r: (4.) ve olasılık yoğuluk foksiyou + g y f y x f x dx [ ] = r: r: (4.3) dir (Bhattacharya 984, Balasubramaia ve Beg 998). İspat. r-ici sıra istatistiğii eşleiği ola Y [ r:] i dağılımı, { } { [ ] } = r: { k k = r:} P Y y P Y y,x X k = (4.4) olsu ve (4.4) eşitliğideki olaylar ayrık olaylar olduğuda, { [ ] } = { = } + r: { = } r: r: P Y y P Y y,x X P Y y, X X biçimide yazılabilir. { } +...+P Y y, X = X r: (4.5) 9

29 { [ ] y r: } P Y { 3 r r+ } P{ Y y, X X, X X,...,X X,X X,...,X X } = P Y y, X X, X X,...,X X, X X,...,X X + 3 r r { } +P Y y,x X,X X,...,X X r,x X r,..., X X (4.6) (4.6) eşitliğide olduğuda ( r ) r! = r r ( r )!( r )!! { [ r:] y} = ( ) ( ) P Y r! r! tae ayı olasılık { } P Y y,x X,X X,..., X X, X X,..., X X 3 r r+ (4.7) (4.7) eşitliği yazılabilir ve + P( A ) = P ( A X = x) df( x ) (4.8) Toplam Olasılık teoremie dayalı olarak;! + { [ r:] } { ( r )!( r )! P Y y = P Y y, X X,X X,...,X X,X X,...,X X X = x df( x ) 3 r r+ } (4.9) olur. (4.9) eşitliğide P( A B) P( A B) = Koşullu Olasılık Formülü kullaılırsa, P( B) P { Y y} [ r: ]! = ( r )!( r)! + { = } P Y y,x x, X 3 x,..., X r x, X r+ x,..., X x, X x df( x ) P( X = x ) (4.) olur. (4.) eşitliğide P ( A B) = P( A B) P( B) eşitliği kullaılırsa

30 + P { Y y} [ r: ]! = ( r )!( r)! { r r+ } P Y y,x x,x3 x,...,x x,x x,...,x x X = x P( X = x ) df( x ) P( X = x ) (4.) yazılır. X, X,..., X rasgele değişkeleri bağımsız olduğuda P { Y y} [ r: ]! = ( r )!( r)! { = } ( ) ( )... ( r ) ( )... ( ) + P Y y X x P X x P X 3 x P X x P X r+ x P X x df x (4.) ve (4.) eşitliğide olduğuda X, X,..., X rasgele değişkeleri ayı F x dağılımıa sahip P { Y y} [ r: ]! = ( r )!( r)! r r + P{ Y y X = x}[ F( x )] [ F( x )] df( x ) (4.3)! { [ r:] y} = ( ) ( ) P Y r! r! r r + P{ Y y X = x}[ F( x )] [ F( x )] df( x ) (4.4) r -ici sıra istatistiğii dağılım foksiyou F r (x) ve olasılık yoğuluk foksiyou f r (x) olmak üzere + G[ r : ] ( y) = F( y x) fr: ( x) dx ve

31 + g[ r : ] ( y) = f ( y x) fr: ( x) dx olarak buluur. Teorem 4.. ( X,Y ),( X,Y ),...,( X,Y ) bağımsız ve ayı F ( x, y) sürekli dağılım foksiyoua sahip birimlik bir öreklem olmak üzere, r < s içi r -ici ve s -ici sıra istatistiklerii eşleikleri ola Y [ r : ] ve Y [ s : ] i ortak dağılım foksiyou x G r,s: ( y, y ) + = F( y x )F( y x ) f r,s: ( x,x )dx dx (4.5) ve olasılık yoğuluk foksiyou x g r,s: ( y, y ) + = f ( y x ) f ( y x ) f r,s: ( x,x )dx dx (4.6) dir. Bezer şekilde, r < r <... < rk, ( k ) içi k tae sıra istatistiğii eşleiğii ortak dağılımı ve ortak olasılık yoğuluk foksiyou G ( y, y,..., y ) r,r,...,r k : k + x k x =... F ( y x F y x F y x ) ( )... ( k k ) f r k,r,...,r ( x,x,...,x )dx dx...dx k k (4.7) g [ r, r,..., r : ] ( y, y,..., y k ) k + x k x =... f ( y x f y x f y x ) ( )... ( k k ) f ( x,x,...,x )dx dx...dx r,r,...,r k k k (4.8) ve tae eşleiği ortak dağılımı ve ortak olasılık yoğuluk foksiyou ise:

32 G,,...,: ( y, y,..., y ) + x x =... F ( y x F y x F y x ) ( )... ( ) f ( x,x,...,x )dx dx...dx,,..., (4.9) g [,,..., : ] ( y, y,..., y ) + x x =... f ( y x f y x f y x ) ( )... ( ) f ( x,x,...,x )dx dx...dx,,..., (4.) olarak elde edilir (Bekçi 3). 3

33 5. SIRA İSTATİSTİKLERİ VE EŞLENİKLERİNİN ORTAK DAĞILIMLARINA İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN YGLANMASI ( X,Y ),( X,Y ),...,( X,Y ) rasgele vektörü bağımsız ve ayı dağılımıa sahip birimlik bir öreklem olsu. H ( x, y ) = ( F X ( x ),F Y ( y )) ise ayı marjiallere sahip başka bir dağılım foksiyou olsu. X : X :... X : X i sıra istatistikleri olmak üzere, r içi X r : ile r -ici sıra istatistiği gösterilsi. Y[ r: ] = Y j X j = X r:, j =,,..., olmak üzere Y [ r : ] r -ici sıra istatistiğii eşleiği olsu. Bölüm boyuca Gebizlioğlu ve Yağcı (8) ve Altısoy (9) u çalışmalarıda yararlaılmıştır. Bua göre; H ve e ait rasgele olayları olasılıklarıı (olasılık dağılımı) eşitliği aşağıdaki teorem ile gösterilir: Teorem 5. (,V ),(,V ),...,(,V ) rasgele vektörü bağımsız ve ayı ( u,v ) kopulasıa sahip rasgele değişkeler olmak üzere: { ( r:, [ r: ] ) } ( r:, [ r: ] ) { } P H X Y t = P V t (5.) dir. Burada r içi r:, düzgü (,) dağılımlı,,..., rasgele değişkelerii r -ici sıra istatistiğii, V r: = V = j j r:, j =,,..., olmak üzere V r: r -ici sıra istatistiğii eşleiğii göstermektedir. İspat. 3. bölümde alatıldığı gibi, X r: ve Y [ r: ] i ortak dağılım foksiyoları H olmak üzere, H H ( X r:,y[ r: ] ) H ( X r:,y[ r: ] ) rasgele değişkeii göstersi. H i dağılım foksiyou gösterilsi) H, yai ( ) df H H X,Y (kısaca ( ) H H ile µ ({ }) H H ( t ) = Pr H H X r:,y [ r: ] t = H x, y R H ( X r:,y [ r: ] ) t, t I. (5.) biçimide ifade edilir. 4

34 t I içi, { } ( r: [ r: ] ) ( ) ( r: [ r:] ) = df X,Y ( x, y ) {( x,y ): H ( x,y ) t} r: [ r: ] { } H H ( t ) = P H H X,Y t = P H X,Y t = f ( y x ) f {( x,y ):H ( x,y ) t} r: f ( x, y ) r r = ( F X ( x )) ( F X ( x )) f ( x )dxdy {( x,y ):H ( x,y ) t} f ( x ) B( r, r + ) r r = ( F X ( x )) ( F X ( x )) f ( x, y )dxdy B( r, r + ) {( x,y ):H ( x,y ) t} r r = ( F X ( x )) ( F X ( x )) dh ( x, y ) B( r, r ) ( x,y ):H ( x,y ) t + { } ( x )dxdy = r r ( F X ( x )) ( F X ( x )) d ( F X ( x ),F Y ( y )) B( r, r + ) {( x,y ): ( F X ( x ),F Y ( y )) t} { F ( x ) u, F ( y ) v} = = = X Y = u u d u,v. B( r, r + ) r r {( x,y ): ( u,v ) t} O zama, ( H H ) ( ) Burada FX ( x ) X i, i = olur. =,,..., rasgele değişkelerii dağılım foksiyouu, F ( y ) Y, i =,,..., rasgele değişkelerii dağılım foksiyouu göstermektedir (Altısoy i 9). Y 5. İki Değişkeli Olasılık İtegral Döüşümleri içi Örekler Bu bölümde yazımda kolaylığı sağlaması içi; r: yerie, V [ r: ] yerie V t r r kullaılmıştır. r ( t ) ile r( t ) = u ( u ) du B( r, r + ) gösterilecektir. Örek 5. = M ( u v), Π ( u,v), = ve t I hesaplamaları: t içi ( ) 5

35 ( )( t ) = µ {( u,v) I } (,V ) t = µ {( u,v) I mi(,v ) t} (Altısoy 9) { } { } { } = P mi(,v ) t = P mi(,v ) > t = P > t,v > t r r = u ( u ) dudv t t B( r, r + ) = ( t ) ( t ) = t + ( t ) ( t ). Örek 5. Π ( u,v) r r = ve Π ( u,v ) t = içi ( ) ({( u,v) I V t} ) ( )( t ) = µ {( u,v) I (,V ) t} = µ değerlerii hesaplaması: = P { V t} = u r ( u ) r dudv B( r, r + ) {( u,v ) I uv t } olacaktır. V = X deilerek aşağıdaki iki değişkeli döüşüm yapılır: V = X = Y det J = =. = Y V = X Y y x y y Yei rasgele değişkeler X ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyoları: B( r, r + ) r r f X,Y ( x, y ) = y ( y ), < x < y < olacaktır. X i marjial olasılık yoğuluk foksiyou (V = X i dağılımı araştırıldığı içi) f X ( x ) = r ( x ) r [ ] 6

36 olarak buluur. Bu durumda problem ( ) t P{ X t} = olasılığıı hesaplamaya döüşecektir. Olasılık, gerekli itegral hesaplamaları yapıldığıda (Altısoy 9) ( t ) f ( x )dx ( x ) dx r r = t r ( t ) + r( t ) r t t ( ) = X = [ r ] Burada: B( r, r + ) t r r r ( t ) = u ( u ) du ve B( r, r + ) t r r r( t ) = u ( u ) du dır. Örek 5.3 = W ( u,v) ve Π ( u,v) = içi ( )( ) ( ) { } değerleri hesaplamaları: t ({ }) ( t ) = µ u,v I (,V ) t = µ u,v I max( + V, ) t dır. { } = P + V t + + V + V olacağıda + V = Y = Y deilerek iki değişkeli döüşüm yapılır: + V = Y = Y det J = =. = Y V = Y Y Burada Y ve Y rasgele değişkelerii değer aldığı küme aşağıdaki gibidir: ( Y ),Y { } { } D = ( y, y ) : y <, < y < y ( y, y ) : < y, y < y <. 7

37 Y ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyoları aşağıdaki gibidir: r f ( y, y ) = y ( y ) B( r, r + ) r. Y i olasılık yoğuluk foksiyou: ( t ) = P(Y t + ) olasılığı çözümlediğide dağılım foksiyou aşağıdaki dir. gibi elde edilir: Burada: r ( t ) t ( t ) ( t ). + ( ) = + [ r ] [ r+ ] t r r t r r r( t ) = u ( u ) du, r+ ( t) = u ( u) du B( r, r + ) B( r +, r + ) dır (Altısoy 9). ( y ), y < f ( y ) = r( y ), y< Y r, d.y. 5. Yei Geelleştirilmiş Sarmaov Dağılımlar Ailesi içi Örekler Bağımlı rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı modellemeside kullaıla çok değişkeli dağışımlarda birisi ola Sarmaov dağılımlar ailesi literatürde ilk kez Sarmaov (966) tarafıda icelemiştir. Sarmaov dağılımlar ailesii geelleştirilmeside ortaya çıka dağılım foksiyolarıı basit bir yapıya sahip olması, bu dağılımları bağımlılık yapılarıı saptamakta ve korelasyo katsayısıı hesaplamakta kolaylık sağlamaktadır. Geçmiş yıllara bakıldığıda Altısoy (9) tarafıda Farlie Gumbel Morgester (FGM) kopulaları içi yapıla örekler bu bölümde yei geelleştirilmiş Sarmaov dağılımlar ailesi içi uygulaacaktır. Tezi özgü kısmı yei geelleştirilmiş Sarmaov dağılımlar ailesi içi uygulaacak öreklerde oluşacaktır. 8

38 Bu bölümde, Sarmaov kopulası olarak alıacaktır. Bu durumda kopulası ve d ( u, v ) q q q q ( u, v) = u + v ( q + ) u v u, v ; q > q + q q q q d( u, v) = + α u + v ( q + ) u v q + dir. Burada, α Sarmaov dağılımıda yer ala bağımlılık parametresidir. α değeri arttıkça bağımlı iki değişke içi bağımlılık derecesi artmaktadır. Örek 5.4 ( u, v) = M ( u, v) = mi( u, v) olduğuda: ( )( t) = P{ mi(, V ) t} = P{ mi(, V ) t } { } = P > t,v > t r r q q q q = u ( u ) + α u + v ( q + ) u v dudv B( r, r + ) t t q + r r u ( u ) dudv + t t = B( r, r + ) r r q q q q + α u ( u ) u + v ( q + ) u v dudv t t q + ve gerekli itegral işlemleri yapıldığıda ( )( t ), t I içi aşağıdaki gibi elde edilir: α q! ( r q )! + q ( t ) = t t t α t t ( t ) q r r! q! r + q + + Burada 9

39 t r r r( t ) = u ( u ) du B( r, r + ) t r+ q r r+ q( t ) = u ( u ) du B( r + q, r + ) dır. Örek 5.5 ( u, v ) = W ( u, v ) = max( u + v,) olduğuda: ( ) ( t) = P{ max( + V, ) t} { } { α q+ } r r = q q q q u u + u + v q+ u v (, ) (, ):max(,) dudv B r r + u v u+ v t = P( + V t + ) dir. + V + V olacağıda + V = Y = Y deilerek iki değişkeli döüşüm yapılır: + V = Y = Y det J = =. = Y V = Y Y Burada Y ve Y rasgele değişkelerii değer aldığı küme aşağıdaki gibidir: ( Y, ) Y {(, ) :, } {(, ) :, } D = y y y < < y < y y y < y y < y <. Y ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyoları aşağıdaki gibidir: r r q q q q f ( y, y ) y ( y ) y ( y y ) ( q ) y ( y y ) α = B( r, r ) q+ +. Y i olasılık yoğuluk foksiyou: 3

40 ! ( r q )! α + r ( y ) r q ( y ) q + α + + r! + q! q q k q k! ( r + q k )! + α y ( ) r+ q k ( y ) k= k ( r )!( + q k )! q q k q k! ( r + q k )! α ( q + ) y r+ q k ( y ) y k= k < ( r )!( + q k )! α! ( r + q )! fy ( y ) = r y q + + α r q ( y ) ( r )!( q )! + + q q k q k! ( r + q k )! + α y ( ) r+ q k ( y ) y < k= k ( r )!( + q k )! ( t ) = P(Y t + ) olasılığı çözümlediğide dağılım foksiyou şu şekilde dir. elde edilir: d.y. 3

41 α α α r q q q ( )( t) = t + tr ( t) + + r+ ( t) Burada! ( r + q )! ( r ) ( + q)! r + q!! r + q! + α t α tr+ q t r! + q! r! + q! α + α α q k= q k= t!! r+ q+ ( t) q k q k!( + )! ( + ) ( ) ( + ) + k+! r + q k! t + r! + q k! k + q q k r q k t ( ) k r! q k! k k+ r+ q k ( t) ( z k )! q q k+ q k! k + r + q + z k! + α ( ) k= k ( r )! k + z= z + q + q k+ q q k! r + q k! t + α ( q + ) ( ) k= k r! + q k! k +!( + )! ( + ) ( ) ( + ) + k+ r+ q+ z k q q q k r q k t + α ( q + ) ( ) r+ q k t k= k r! q k! k q q k+ q k! k + r + q + z k! + α ( q + ) ( ) r+ q+ z k t k= k ( r )! k + z= z + q + z k! ( t) t r t r r r ( t ) = u ( u ) du B( r, r + ) t r+ q r r+ ( t ) = u ( u ) du B( r +, r + ) r r+ q( t ) = u ( u ) du B( r + q, r + ) t r+ q+ r r+ q+ ( t ) = u ( u ) du B( r + q +, r + ) 3

42 t r+ q k r r+ q k ( t) = u ( u) du B( r + q k, r + ) t r+ q+ z k r r+ q+ z k ( t) = u ( u) du B ( r + q + z k, r + ) t r+ q k r r+ q k ( t) = u ( u) du B ( r + q k, r + ) t r+ q+ z k r r+ q+ z k ( t) = u ( u) du B ( r + q + z k, r + ) dır. Örek 5.6 ( u,v ) = Π ( u,v ) = uv olduğuda: ( )( t ) = P{ V t} olacaktır. V r r q q q q = u ( u ) { + α[u + v ( q + )u v ]} dudv B( r, r + ) {( u,v ):uv t} q + = X deilerek aşağıdaki iki değişkeli döüşüm yapılır: V = X = X Y y x y det J = =. V = Y V = Y y Yei rasgele değişkeler X ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyou: x x x = B( r, r + ) y y y q + y r r q q q f X,Y ( x, y ) α y ( q ) x x x = + α + + B( r, r + ) y y q + r q r r q q x y [ y ( q )x ], < x < y < 33

43 olacaktır. X i marjial olasılık yoğuluk foksiyou (V = X i dağılımı araştırıldığı içi) t (t ) = P X t = f ( x )dx { } X t (r )! (+ j r )! ( r + q )! = ( x ) x + α ( x ) B( r, r + ) ( )! j= j! ( + q )! r r+ j r+ (+ j r )! ( r + q )! ( + j r )! x + α ( x ) x j! ( + q )! j! r+ q r+ q j r+ q+ j j= j= ( r )! ( + j r )! ( q + ) α ( x ) x ( )! j! r r+ q+ j j= α ( r )! ( + j r )! q + ( )! j! r r+ j ( x ) x }dx j= souç olarak r r! α (t ) = ( r )! j t B( r, r )! q j= ( + j r + )( + j r + ) r+ q ( r + q )! + α ( r + )! j t ( + q )! ( + j r + )( + j r + ) j= r q ( r q )! ( + j r )!( j + q )! + α ( r + )! j+ q t ( q )! j!( + j + q r + )! j= r ( r )! ( + j r )!( j + q )! ( q + ) α ( r + )! j+ q t ( )! j!( + j + q r + )! j= elde edilir. Burada 34

44 ( + j r + ) j! ( r + )!! t j r+ ( t) = u ( u) du j ( ) ( + ) ( + ) j q r! j+ q r+ j+ q( t ) = u ( u ) du j q! r! t dır. Burada gösterile örekler, bir bağımlılık parametresi taşıya Sarmaov kopulası içi ile t miumum-maksimum, maksimum (+,) ve çarpım durumlarıda ( ) hesaplaa olasılık değerlerii vermektedir. İleriki çalışmalarda geliştirilecek ola programlar yardımıyla çeşitli (,r,q,a ) değerleri içi yei geelleştirilmiş Sarmaov kopulalarıı (dağılımlarıı) davraışları, bağımlılık yapılarıı değerledirilmesi bakımıda özgü ve öemli bir souç oluşturacaktır. 35

45 6. İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMÜ KLLANARAK DAĞILIMDAN BAĞIMSIZ KİTLE KANTİLLERİ İÇİN GÜVEN ARALIKLARININ İFADE EDİLİŞİ Bu bölümde Gebizlioğlu ve Yağcı (8) tarafıda ortaya koula souçlarda yararlaılarak ve tıpkı alıtılarda buluarak tez kouma ilişki açıklamalar yapılmıştır. 6. Toleras Limitleri ve Aralıkları Toleras katsayısı γ ile bir sürekli dağılım içi toleras aralığı rasgele bir aralıktır ve olasılık aralık limitleri arasıda bir bölgedir (Gibbos 97 ve Zacks 97). Bir toleras aralığı; X, F ( x ) dağılım foksiyolu sürekli bir rasgele değişke ise X olasılık itegral döüşümü ile, s: = FX ( X s: ) ve r: = FX ( X r: ) olmak üzere P [( ) ~ p] = γ s: r: şeklide ifade edilebilir. Bir başka deyişle; γ olasılık düzeyide ve toleras sıırları L ve L içi ~ p atamış değer bağlamıda toleras aralıkları L P f ( x) dx ~ p = γ (6.) L biçimide ifade edilir. Bu aralık dağılımda bağımsızdır. Burada L = l( X, X,..., X ) < L = l( X, X,..., X ) F (.) dağılımıa sahip X, X,..., X rasgele öreklemide elde edile iki istatistik olup, F( L ) F( L ) i dağılımı F (.) da bağımsızdır. F( L ) F( L ) rasgele değeri, L ve L arasıda f (.) i altıda hale alaı temsil etmektedir. Öcelikle tek değişkeli bir durum ele alısı: X, X,..., X F( x ) dağılımıda alımış rasgele bir öreklem ve,,..., ise (,) aralığıdaki Düzgü dağılımda alımış rasgele bir öreklem olsu. X : X:... X :: ve : :... :: sırasıyla X, X,..., X ile,,..., rasgele değişkelerii sıra istatistiklerii göstersi. 36

46 F( X ) = ( F( x ) sürekli bir rasgele değişkei dağılım foksiyou) olasılık-itegral döüşümü biçimide olacaktır. F( X ) D i: = i:, ı =,,..., Yukarıdaki bilgiler ışığıda L ve L i sıra istatistikleri seçilmesiyle, geel alamda toleras aralığı aşağıdaki gibi yazılabilir: ( F L ) F( L ) p) = γ P ~ (. 6. Kuatiller ve Güve Aralıkları F sürekli bir rasgele değişkei dağılım foksiyou ve F( x ) = p, x = F ( p), F( F ( p)) = p olmak üzere, p p dır. ( i: p ) = ( i: ) P X x P X F p = P( F( X ) p) i: i: = P( p) Bu durumda kitle kuatilleri içi güve aralığı aşağıdaki gibi ifade edilir: P( X x X ) = P( X F ( p) X ) r: p s: r: s: = P( X F ( p)) P( X F ( p)) r: s: = P( p) P( p) r: s: İki değişkeli olasılık itegral döüşümüü kullaarak kitle kuatilleri içi güve aralığı ifade etmek mümküdür: X, Y ),( X, Y ),...,( X, Y ) H( x, y) = ( F( x), G( y) ) ortak dağılım ( foksiyouda alımış iki değişkeli risk rasgele değişkelerii rasgele bir öreklemi olsu. H ( x, y ), sırasıyla X ve Y içi F ( x ) ve G ( y ) ayı marjial dağılımlı başka bir 37

47 dağılım foksiyou olsu. X : X:... X ::, X içi sıra istatistikleri ve Y[ r: ] = Y j X j = X r:, j =,,..., olmak üzere, Y [ r: ] X r:, r sıra istatistiğii eşleiği olsu. Ayrıca; F( xp) = p ve G( y ) p = p olmak üzere, x p ve ile sırasıyla F( x ) ve G( y ) i p -ici sıra kuatillerii göstersi. H X r, Y ) ve ( : [ r: ] H X s, Y ) iceliklerii H X r, Y ) < H X s, Y ) olduğu durumlar göz ( : [ s: ] öüe alısı. ( : [ r: ] ( : [ s: ] y p Bu durumda, iki değişkeli itegral döüşümü yardımıyla, { ( r: ) }, [ : ] < p, p < s:, [ : ] P H H X Y H x y H X Y r s r r = u, B ( r, r + ) ( u, v ) I ( u, v) δ ( p) ( u) d ( u v) s s u u d u, v B ( s, s + ) ( u, v ) I ( u, v) δ ( p) ( ) = Λ ( r, r ) Λ ( s, s ) p = π ( r, s,, p ) p (6.) ifadesi elde edilebilir. Burada δ ( p ), i köşegeidir; yai δ (, ) p = p p dir. (6.) eşitliği ile verile π ( r, s,, p) kitle kuatili içi güve aralığı olarak ifade edilebilir. Gerçekte de, (6.) eşitliği ayrıtılı olarak iceleirse, { ( r:, [ r: ] ) < ( p, p ) < ( s:, [ s: ] )} P H H X Y H x y H X Y { ( p, p ) ( ( s), [ s] )} H { ( p, p ) ( ( r), [ r] )} H { (, [ ]) (, )} { (, [ ]) (, )} s s p p H r r p p { ( ( r), [ r] ) ( p, p )} H { ( ( s), [ s] ) ( p, p )} = P H H x y < H X Y P H x y < H X Y = P H X Y H x y P H X Y H x y = P H H X Y H x y P H X Y H x y 38

48 r = F( x) F( x) dh ( x, y) B( r, r + ) x, y : H ( x, y) H x, y r { ( p p )} s F( x) F( x) dh ( x, y) B( s, s + ) x, y : H ( x, y) H x, y s ( ) { ( p p )} (6.3) H ( x, y) = ( F( x), G( y)) H ( x, y) = F( x), G( y) H ( x, y ) = ( F( x ), G( y )) = ( p, p) = d ( p) p p p p F( X ) = ve G( Y ) = V olmak üzere { ( r: ) }, [ : ] < p, p < s:, [ : ] P H H X Y r H x y H X Y s r = u B( r, r + ) u, v I u, v δ ( p) B( s, s + ) s r ( u) d ( u, v) s ( ) (, ) u u d u v u, v I u, v δ ( p) = Λ ( r, r) Λ ( s, s) p = π ( r, s,, p). p (6.4) eşitliğie ulaşılır ki, burada π ( r, s,, p) iceliğii H, H, F ve G de bağımsız olduğu görülmektedir. Burada bulua π ( r, s,, p) icelik ifadesi, γ olasılık düzeyide toleras aralığı içi esas ola ifadedir ve çeşitli p ~ değerleri içi ilgili dağılımlarda bağımsız olarak elde edilebilir (Gebizlioglu ve Yagci 8). 39

49 6.3 Yei Geelleştirilmiş Sarmaov Dağılımlar Ailesi İçi Örekler Bağımlı riskleri dağılımları, a bağımlılık parametreleri içerdiğide dolayı bağımlılığı değerledirilmesi içi hem teorik hem de uygulama kolaylığı öemie sahiptir. FGM dağılımları içi bağımlılık özellikleri, değişkeler arası ilişkii bir ölçüsü olarak korelasyo katsayısı ile yakıda ilgilidir (Deuit et. al. 999, Bairamov ve Kotz, Bairamov, Kotz ve Bekci, Bairamov, Kotz ve Gebizlioglu, Tak ve Gebizlioglu 4 ve Tak et. al. 6). Yei geelleştilmiş bazı sarmaov dağılımlar aileleri de ayı klasik FGM dağılımlarıda olduğu gibi basit bir aalitik yapıya sahiptir. Bağımlılık yapıları kolayca iceleebilmekte ve FGM dağılımlar aileside olduğu gibi değişkeler arası ölçüsü korelasyo katsayısı ile yakıda ilgilidir (Yağcı ). Buda dolayı, örekler yei geelleştirilmiş sarmaov dağılımlar ailesi durumu içi gösterilecektir. kopulası Sarmaov kopulası olarak aşağıdaki gibi alıacaktır: q q q q ( u, v) = u + v ( q + ) u v (6.5) q + ve d ( u, v ) ifadesi de şudur: q q q q d( u, v) = + α{ u + v ( q + ) u v } dudv. (6.6) q + Örek 6. ( u, v) = M ( u, v) = mi( u, v) olsu. içi (6.5) te ifade edile olasılık aşağıdaki gibi elde edilir: q!! ( s+ q ) ( + )! ( ) q+ ( p ) mi s+ q! r + q! π ( r, s,, q, p) = α p p + q! ( s )! r! + ( p) α s ( p) r ( p) q+ q+ + αp q ( r + q ) ( )!! s+ q ( p) r+ q ( p) s! r! 4

50 Burada, j = r, s içi p j j j ( p) = u ( u) du B( j, j + ) ve p j+ q j j+ q ( p) = u ( u) du B( j + q, j + ) dır. Örek 6. Eğer ( u, v) = W ( u, v) = max( u + v, ) alıırsa, p < içi: π max ( r, s,, q, p) = α q k = q q k! s + q k! r + q k! ( ) k ( k + )( + q k )! s! r! q q q k! s + q k! r + q k! α ( q + ) k k = ( k + )( + q k )! s! r! ve p içi: 4

51 π max ( r, s,, q, p) = α q k =! [ ] p q q k! s + q k! r + q k! ( ) k ( k + )( + q k )! s! r! q q q k! s + q k! r + q k! α ( q + ) k k = ( k + )( + q k )! s! r! s + q! r + q! α + q! s! r! q q q k! s + q k! r + q k! p + α ( ) k k= ( + q k )! ( s )! ( r )! k +! [ ] ( s ) p + q! ( ) q q q k! s + q k! r + q k! p + α ( q + ) k= k ( + q k )! s! r! k + α + + [ p ] s ( p ) r ( p ) q + α s s p r r p + q α ( ) k+ k+ + q! r + q! s+ q ( p ) r+ q ( p ) s! r!! s + q! r + q! + α s+ q+ ( p ) r+ q+ ( p ) ( + q)! s! r! k+ q q q k! p s + q k! r + q k! + α s q k ( p ) r q k ( p ) k k + + = ( + q k )! k + s! r! q q k+ q k k +! s + q + z k! r + q + z k! α ( ) s+ q+ z k ( p ) r+ q+ z k ( p ) k= k z= z ( k + )( + q + z k )! ( s )! ( r )! α ( q ) k+ q q q k! p s + q k! r + q k! α ( q + ) s q k ( p ) r q k ( p ) k k + + = ( + q k )! k + s! r! + q + q k k +! s + q + z k! r + q + z k! ( ) s+ q+ z k ( p ) r+ q+ z k ( p ) k z ( k + )( + q + z k )! ( s )! ( r )! q k k= z= dır. Burada, j = r, s içi p j j j ( p ) = u ( u) du, B( j, j + ) p j+ q j j+ q ( p ) = u ( u) du, B( j + q, j + ) 4

52 p j+ q j j+ q+ ( p ) = u ( u) du, B( j + q +, j + ) p j+ q k j j+ q k ( p ) = u ( u) du B( j + q k, j + ) p j+ q k j j+ q k ( p ) = u ( u) du B( j + q k, j + ) p j+ q+ z k j j+ q+ z k ( p ) = u ( u) du B( j + q + z k, j + ) p j+ q+ z k j j+ q+ z k ( p ) = u ( u) du B( j + q + z k, j + ) dır. Örek 6.3 ( u, v) = Π ( u, v) = uv olduğuda, araa olasılık aşağıdaki gibi elde edilir: π Π ( r, s,, q, p) = 43

53 ( r ) α r + j=! [ ]! ( r j p ) B( r, r + )! q + + j r + + j r + ( r + q )! r+ q! ( r ) j p + q! j= ( + j r + )( + j r + ) ( r + q )! r q ( + j r)!( q + j)! ( r )! j q ( p ) ( q ) + +! j= j! ( + q + j r + )! ( r )! r ( + j r)!( q + j)! α ( r + )! ( ) j+ q p! j= ( + q + j r + )! ( s ) α s (, ) +! + j= ( + + )( + + ) + α + + α + ( q + )! [ ]! ( s + j p ) B s s q j s j s ( s + q s+ q ) + q! j= ( + j s + )( + j s + ) ( s q )! s q ( + j s)!( q + j)! ( s )! ( q ) j+ q p! j= j! ( + q + j s + )!! ( + α s + p ) + α + s ( s )! ( + j s)!( q + j)! ( q + ) α ( s + )! j+ q ( p )} ( )! j!( + q + j s + )! Burada k = r, s içi j= j j! ( k + )! + j k +! j j, k ( p ) = u ( u) k+ du ve p ( j + q) ( k + ) + q + j k +! p j+ q j q, k ( p ) u ( u) k + = + du!! dır. 44

54 7. BAĞIMLI RİSKLER İÇİN RİSKE MARZ DEĞER (VaR) Risk, aktif veya pasif itelikteki varlıkları değerleride meydaa gelebilecek olumsuz değişimleri ortaya çıkma olasılığıdır. Aktueryal risk yöetimi; sigortacılık uygulamalarıda olası hasar/zarar durumuu değerledirilmesi ve ilgili optimal aktüeryal kararları alımasıyla alakalı koularla ilgileir, ayrıca sigortalaa ve sigortalaya arasıda ortak bir kou ola hasar miktarlarıa karşı optimal prim ve rezerv hesaplarıı yapılmasıa ilişki kuram ve yötemleri sumaktır. Güçlü risk yöetimi ola kuruluşlar (bakalar, sigorta şirketleri, vb.); aldıkları piyasa, kredi ve operasyoel riskleri ayrıtıları ile iceler, olası krizlere ilişki kayıplarıı daha öcede belirler, bu kayıpları miimize etmek içi öcede ölemler alır, aldıkları risk ile kazaçları karşılaştırır ve riski almaya değip değmeyeceğii öcede değerledirirler. Aktueryal riski ölçmek içi Aktueryal risk yöetimide, hasar veya zarar icelikleri rasgele değerler olup sigortacılık gerçekliğie uygu olasılık dağılım modelleri ile ifade edilir (Kaas vd.. 8, Deuit vd. 5). Riski ifade edilmesi içi Riske Maruz Değer (VaR, Value-at-Risk) Beklee/Beklemeye Kayıp Yeterli Ekoomik Sermaye Yükümlülük Karşılama Yeteeği (Solvecy) gibi çeşitli ölçütler kullaılmaktadır. Bularda VaR, dağılımları kuatilleri ile yakıda ilitili bir ölçüttür. X risk rasgele değişkei, F, X ' i dağılım foksiyou, p (,) bir olasılık düzeyi olmak üzere; p düzeyide VaR şu şekilde taımlaır: [ ] = VaRp X FX p 45

55 Embrechts et. al. (3) i yapmış olduğu çalışmada, global pozisyo olarak adladırıla foksiyo aşağıdaki gibi taımlamıştır: Ψ : R R Bu foksiyo X, X,..., X risklerii marjial kar-zarar dağılımları bilidiğide, ( X X X ) Ψ,,..., global pozisyouu VaR ı alıarak, bir (üst) sıır yazmakta kullaılmaktadır. Özel halde, Embrechts et. al. (3) i çalışmasıda = içi Ψ ( x, x ) = x + x alıarak VaR Ψ ( X, X ) p içi bir üst sıır yazılmıştır. Üst sıır yazma amaçları ise, bu bağımlı riskleri ortak dağılımlarıı bilimemesi durumuda kayaklamaktadır. Ortak dağılımlarıı bilidiğide hareketle yola çıkılarak Ψ i bir dağılım foksiyou olduğu düşüülecek olursa, (.) ciside ulaşılabilir: VaR ifadesie kopulalar X, Y ),( X, Y ),...,( X, Y ) H ( x, y) = ( F( x), G( y) ) ortak dağılım ( foksiyouda alımış iki değişkeli risk rasgele değişkelerii rasgele bir öreklemi olsu. ( X, Y ) Ψ, sırasıyla X ve Y içi F( x ) ve G( y ) ayı marjial dağılımlı başka bir dağılım foksiyou olsu ve Ψ ( x, y) = ( F( x), G( y)) olsu. X X... X, X içi sıra istatistikleri ve Y[ ] Y X X j : : : p r: = j = r:, = j,,..., olmak üzere, Y [ r: ] X r:, r sıra istatistiğii eşleiği olsu. Ayrıca; F( xp) = p ve G( yp) = p olmak üzere, x p ve y p ile sırasıyla F( x ) ve G( y ) i p -ici sıra kuatillerii gösterilsi. Marjial VaR ları sırasıyla VaR [ X ] F ( p) p [ ] = ile gösterilsi. Bu durumda VaRp Ψ ( X, Y ) VaR Y G p edilebilir: r r VaRp Ψ X Y = u u d u v ( u, v ) I ( u, v ) p gerçekte de görülebileceği gibi (, ) κ ( ) (, ) p = ve aşağıdaki gibi ifade, 46