Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak bulunuz ve şekil üzerinde gösteriniz. b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini Mohr çemberini kullanarak bulunuz ve şekil üzerinde gösteriniz. c) asal düzlemleri ve asal gerilmeleri denklemler ile bulunuz ve şekil üzerinde gösteriniz d) asal düzlemleri ve asal gerilmeleri Mohr çemberini kullanarak bulunuz ve şekil üzerinde gösteriniz. (Not: Bu soru hazırlanırken R.C. Hibbeler in Mechanics of Materials kitabından faydalanılmıştır.) Şekil-1 Çözüm 1: Eleman üzerindeki mevcut gerilmeler işaretleri ile birlikte aşağıdaki gibidir: = 80 MPa, = 50 MPa, = 5 MPa y x Şekil- 1
a) Elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni konum Şekil-3 deki gibidir. Şekil-3 Yeni yüzeylerde gerilmeleri veren denklemleri hatırlayacak olursak; (1) () (3) Eleman saat yönünde 30 0 döndürüldüğü için θ= -30 0 olur. (Not: θ açısının işaretine dikkat ediniz. Eleman saat yönünde döndürüldüğü için negatif alınır ve 1, ve 3 numaralı denklemlere negatif olarak konulur. Saattin tersi yönünde döndürülseydi pozitif değer alınırdı ve 1, ve 3 numaralı denklemlere pozitif işaretli olarak konulurdu.) Denklem-1, denklem- ve denklem-3 kullanılarak elemanın yüzlerindeki gerilmeler aşağıdaki gibi bulunur: = = 5,8 MPa + cos(. ( 30 )) + ( 5) sin(. ( 30 )) = = 68,8 MPa sin(. ( 30 )) + ( 5)cos(( 30 ))
= = 4,15 MPa cos. ( 30 ) ( 5) sin(. ( 30 )) Hesaplarda ve normal gerilmelerinin negatif çıkmaları, bu gerilmelerin eleman yüzlerine Şekil-3 de görüldüğü gibi basınç olarak etki ettiklerini göstermektedir. Ayrıca kayma gerilmesinin de negatif çıkması x ekseninin normal olduğu yüzeyde gerilmesinin yönünün, elemanı saat yönünde çevirecek şekilde olduğunu gösterir ( diğer yüzlerde de denge gereği tamamlayıcı şekilde kayma gerilmelerinin yönleri Şekil-4 deki görüldüğü gibi olur). y Şekil-4 Saat yönünde 30 0 döndürülmüş eleman üzerindeki gerilme durumu. x b) Mohr çemberi ile çözüm: = + = = 15 Mohr çemberinin merkezinin koordinatı: M(, 0) = M (-15,0) dır. Çember üzerinde mevcut (ilk) konumdaki elemanın x ekseninin normal olduğu yüzeyindeki normal ve kayma gerilmeleri ile ilişkili olan X noktasının koordinatı: X(, - ) = X(-80, -(-5)) = X(-80, +5) dir. 3
Çember üzerinde mevcut (ilk) konumdaki elemanın y ekseninin normal olduğu yüzeyindeki normal ve kayma gerilmeleri ile ilişkili olan Y noktasının koordinatı: Y(, ) = Y(50, -5) dir. Eleman saat yönünde θ = 30 0 döndürüldüğünde Mohr çemberi üzerinde saat yönünde θ=60 0 açısı kadar hareket edilmesi gerekir (Şekil-5). Buna göre döndürülmüş elemanın yüzlerindeki gerilme durumunu gösteren D ve E noktaları Şekilde-5 deki Mohr çemberinde görüldüğü gibi olur. Çemberde, çemberin çapı olan ve bir ucu X noktasında diğer ucu Y noktasında olan doğru parçasının X noktasındaki ucunu X noktasına taşıyacak şekilde dönderdiğimiz için X noktasının koordinatları döndürülmüş elemanda x ekseninin normali olduğu yüzdeki gerilmeler ile ilişkilidir. Benzer şekilde Y noktasının koordinatları, döndürülmüş elemanda y ekseninin normali olduğu yüzdeki gerilmelerle ilişkilidir. Mohr çemberinin yarıçapına R denildiğinde, R değeri Şekil-5 de görülen MFX üçgeninde Pisagor teoremi ile aşağıdaki gibi bulunur: = 5 + 65 = 69,6 Mohr çemberinde XY doğrusunun yatay eksenle (absisle) yaptığı açıya β denilirse, β açısı MFX üçgenine bakılarak aşağıdaki gibi bulunur: = tan = 1 X (, - ) X(-80, 5) R 5 θ= 60 0 β 15, F M(-15, 0) β 65 Y(50, -5) Y (, ) Şekil-5 Mohr Çemberi 4
X noktasının koordinatı X (, - ) dür. Buna göre Mohr çemberinde X noktasının koordinatları ile ve - değerleri aşağıdaki gibi bulunur. = ( 15) + ( Rcos(1 + 60)) = ( 15) + ( 69,6. cos(81 )) = 5,8 MPa - = (1 + 60) = 69,6. sin(81 ) = 68,7 bulunur. - = 68,7 MPa olduğuna göre = 68,7 dır. Döndürülmüş elemanda, y ekseninin normali olduğu yüzeydeki gerilmeler ile ilişkili olan Y (, ) noktasının absisi yani değeri Mohr çemberine bakılarak aşağıdaki gibi bulunur: = ( 15) + (Rcos(1 + 60)) = ( 15) + 69,6. cos(81 ) = 4,1, değerini yukarıda bulduğumuz için burada tekrar bulmaya çalışmayacağız. Mohr çemberi ile bulunan saat yönünde 30 0 döndürülmüş eleman yüzlerindeki gerilmeleri aşağıda tekrar yazarsak: = 5,8 MPa, = 4,1, = 68,7 Buna göre elde edilen değerleri Şekil-6 gösterilen döndürülmüş eleman üzerinde gösterirsek sorunun a şıkkında denklemlerle elde edilen aynı sonucu bulmuş oluruz. y y 4,1 MPa 68,7 MPa θ= 30 0 5,8 MPa x x Şekil-6 5
c) Asal düzlemlerin ve asal gerilmelerin denklemler ile bulunması: Asal düzlemler için elemanın kaç derece döndürülmesi gerektiği aşağıdaki denklem ile hesaplanır, tan = tan = = tan (0,385) ( 5) = 0,385 = 1,1 ve 180+1,1= 01,1 0 = 10,5 ve 01,1/ = 100,5 0 sonuçları bulunur. Bu sonuçlara göre elemanı saatin tersi yönünde (sonuçlar pozitif çıktığı için) 10,5 0 veya 100,5 0 döndürdüğümüzde asal düzlemleri elde etmiş oluruz. Asal gerilmeleri aşağıdaki denklem ile hesaplarız:, = + +, = + ( 5) = 54,6 ve = 84,6 olarak asal gerilme değerleri bulunur. Döndürülmüş elemanın x ekseninin normal olduğu yüzüne etki eden asal gerilmenin hangisi olduğunu (54,6 MPa mı yoksa -84,6 MPa mı) aşağıdaki denklemi kullanarak bulabiliriz: = Mevcut elemanı saatin tersi yönünde 10,5 0 döndürürsek θ=10,5 0 olur. + cos(. (10,5 )) + ( 5) sin(. (10,5 )) = 84,6 MPa 6
sonucunu bulduk. Demek ki x ekseninin normal olduğu yüze = 84,6 asal gerilmesi etki ediyormuş. O zaman y ekseninin normal olduğu yüze de = 54,6 asal gerilmesi etki ediyor sonucuna varırız. Bu değer de aşağıdaki denklem kullanılarak kontrol edilebilir: = cos(. (10,5 )) + ( 5) sin(. (10,5 )) = 54,6 MPa sonucu ile hesabımızın doğru olduğu görülmektedir. Asal düzlem ve asal gerilmeler Şekil-7 de gösterilmiştir. Asal gerilme halinde hatırlanacağı üzere kayma gerilmeleri sıfır olur. y y 54,6 MPa 84,6 MPa θ= 10,5 0 x x Şekil-7 d) asal düzlemleri ve asal gerilmeleri Mohr çemberi kullanarak bulunması: Mohr çemberi Şekil-5 tekine benzer şekilde Şekil-8 de yeniden çizilmiştir. Daha önce çemberin yarıçapı R, MFX üçgeninde Pisagor teoremi uygulanarak R = 69,6 olarak bulunmuştu. Mevcut (ilk) gerilme hali ile çizilen ve aynı zamanda Mohr çemberinin de çapı olan doğru parçasının bir ucu X noktasında diğer ucu Y noktasındadır. Doğru parçasını asal gerilmeleri bulabilmek için Şekil-8 e bakıldığında saatin tersi yönünde θp açısı kadar döndürürüz. Bu döndürme ile doğru parçasının X noktasındaki ucu X noktasına Y noktasındaki ucu da Y noktasına gelir. Buna göre (bu soruda) x ekseninin normal olduğu yüzde min, y ekseninin normal olduğu yüzde ise maks değeri oluşur. 7
X(-80, 5) R 5 X min F 15 θ p M(-15, 0) Y maks, 65 Y(50, -5) Şekil-8 Mohr Çemberi Yine MFX üçgeninden trigonometri ile θp açısı aşağıdaki gibi hesaplanır: tan = 5 65 = tan 5 65 = 1,1 ve = 10,5 olarak bulunur. Asal gerilmeler ise Mohr çemberine bakılarak aşağıdaki gibi bulunur; = 15 R = 15 69,6 = 84,6 MPa = 15 + R = 15 + 69,6 = 54,6 MPa Burada da Mohr çemberini kullanarak sorunun c şıkkındaki ile aynı sonuçları elde etmiş olduk. Asal gerilme halindeki elemanımızı aşağıda Şekil-9 da çizersek Şekil-7 deki ile aynı çizimi elde etmiş oluruz. 8
54,6 MPa 84,6 MPa θ= 10,5 0 x x Şekil-9 9