- TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken limiti varsa buna in türevi denir ve d d,, ile gösterilir. lim alınırsa lim iadesine türevin genel tanımı denir. BÖLÜM
Çözüm lim lim lim lim lim? Çözüm lim lim lim lim lim? Çözüm lim lim lim MATEMATİK-II Abdullaeva, Çetin, Taşkın
Abdullaeva, Çetin, Taşkın Kural n n R n n dır. ler.. 7 7 6.? 6 6 6 6 6 7 6 7.. 6. 7. 8. 9
Abdullaeva, Çetin, Taşkın - Türev İle İlgili Teoremler Teorem- Sabit bir onksionun türevi sıırdır. c ler. 8. Teorem- Sabitle çarpılmış bir onksionun türevi, türevi ile sabitin çarpımına eşittir. k k. ler. '..... 6.. Teorem- Sonlu saıda onksionun toplamının türevi, türevleri toplamına eşittir. µ g µ µ Κ µ r µ g µ µ Κ µ r dır.
Abdullaeva, Çetin, Taşkın Teorem- İki onksionun çarpımının türevi, birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birincie eşittir.. g. g g. buna göre; u. v u v v u. g.. g. g.... g sin u v sin u. v u v v u den.sin cos. sin cos Teorem- İki onksionun bölümünün türevi, paın türevi çarpı pada eksi padanın türevi çarpı pa bölü padanın karesidir. u u v v u v v. g g. g g
Abdullaeva, Çetin, Taşkın ler..... sin cos..sin. cos sin. ln cos. sin dır. - TÜREV ALMA KURALLARI -- Bileşke Fonksionun Türevi og g u g u olmak üzere d d du. u. u d du d iadesine zincir kuralı denir. u n u n u.. u n 6 u 6 u u' 6u. u 6.. 6
Abdullaeva, Çetin, Taşkın? u u u u. u u -- Trigonometrik Fonksionların Türevi. sin cos idi, u g sin u cos u. u sin cos u u sin cos sin a a cos a u a u a sin sin u u sin 7
Abdullaeva, Çetin, Taşkın u cos u. u sin.cos sin sin u u u sin u cos sin. cos sin idi, u g cosu u sin u dır. cos u u sin cos sin u u sin 8
Abdullaeva, Çetin, Taşkın. sin tan bölümün türevinden cos tan sec cos u g tan u u tan u. u sec u. u cos tan u u cos tan..sec. cos cot sin u cot. u cos ec sin u u g cot u u cot u. u cos ec u. u sin u. sec cos.cos sin. cos sin cos sec. tan cos. sin cos u g secu sec u.tan u. u 9
Abdullaeva, Çetin, Taşkın sec u u sec.tan. 6. cosec sin cos ec. cot cos sin u g cos ecu cos ecu.cot u. u -- Kapalı Fonksionlar ve Türevi, şeklindeki bir onksion i in bir kapalı onksionu olarak tanımlar. Böle onksionları değişkenlerden birine göre çözerek Ör: bazen açık onksion aline getirmek mümkündür. Bazı allerde bu mümkün olmaabilir. Örneğin; r denklemi r, r onksionlarını kapalı olarak tanımlar. sin, sin onksionları açık onksion aline getirilemezler. Kapalı onksionlar açık onksion aline getirilmeden de türevleri esaplanabilir. Bu türev iki olla apılır..,,. Kapalı onksionda er iki taraın türevi alınıp ni çekeriz.
r?.yol: 'dır. r,.yol: r d d 6 6 d d 6 6. 6 sin d d. cos. denkleminden çözümlenir. MATEMATİK-II Abdullaeva, Çetin, Taşkın
Abdullaeva, Çetin, Taşkın -- Yüksek Mertebeden Türevler onksionu [ a, b] kapalı aralığında türevlenebilen bir onksion olsun. türev onksionu ine e göre türevi alındığında in ikinci mertebeden türevi d elde edilir ve,, ile gösterilir. d d d İkinci mertebeden türevin, e göre türevi alındığında in. mertebeden türevi bulunur. d d d d ile gösterilir. Bu şekilde devam ile inn- inci mertebeden türevinin, e göre türevi Alındığında in n inci mertebeden türevi bulunur ve d d n n n n d n d ile gösterilir. n n 6 n? 6 6...6 6... 6... 6 n 6... 6! n > 6 Genel olarak n n n!
Abdullaeva, Çetin, Taşkın n? 6 6 6 7 7 Μ Μ n n.n! n sin n? cos sin cos sin 8 k sin Μ sin n n r i bulmak için n, e bölünür ve kalana göre; r olmalıdır. r n sin r n cos r n sin
Abdullaeva, Çetin, Taşkın r n cos genel olarak n sin n π dır. Not: Eğer sin a olsadı ukarıdaki eşitliklerin önüne n a gelecekti. -- Kapalı Fonksionlarda Yüksek Mertebeden Türevler, kapalı onksionundan ü elde etmiştik. İkinci ve daa üksek mertebeden türevleri esaplanabilir ancak karşılaşılan erine ilk başta bulunan değeri azılmalıdır.? d d... 6 6 6 6 sin? d sin d cos. cos cos
Abdullaeva, Çetin, Taşkın [ sin ] sin [ cos ] cos cos sin cos b a a b? b a b a a b a b a - Türevin Geometrik Tanımı eğrisinin erangi bir p, noktasındaki teğeti; m genel doğru denkleminden kolaca bulunabilir. Teğetin eğimi; m olup teğetin denklemi; dır. Normal doğrusu teğete dik olduğundan; m. m T N olup normal doğrunun eğimi; m N
Abdullaeva, Çetin, Taşkın dolaısıla normal doğrunun denklemi; onksionun graiğine -,9 noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulunuz. m 9 m 9 m m T teğet denklemi; - Ters Trigonometrik Fonksionlar ve Türevleri. arcsin onksionu π π sin onksionu [, ] aralığında sürekli ve artan bir onksion olup için tanımlı; arcsin ile gösterilen bir ters onksiona saiptir. π π arcsin sin, arcsin π π,arcsin,arcsin 6 dır. Türevi: arcsin sin 6
Abdullaeva, Çetin, Taşkın d sin d cos. cos sin u g arcsinu u u bulunur. arccos onksionu cos onksionu,π aralığında sürekli ve azalan bir onksion olup. için tanımlı arccos ile gösterilen bir ters onksiona saiptir. arccos cos π dir. arccos π cos ar, arccos π arccos? cos cos α α arccos olsun cos α cos türevi arccos cos dir.. u arccosu u u dir. 7
Abdullaeva, Çetin, Taşkın arccos? u u u 6 9 arcsin arccos toplamını bulunuz. arcsin arccos dersek, saiptir. olduğunda sabittir. O alde ne olursa olsun ep anı sabittir. π π arcsin arccos π π π arcsin arccos 6 o alde π arcsin arccos dir. arctan onksionu için tanımlıdır ve -, aralığında türeve π π, açık aralığında sürekli bir onksion olan tan onksionu R için tanımlı arctan ile gösterilen bir ters onksiona saiptir. arctan tan π < π < π π arctan arctan dür. 8
Abdullaeva, Çetin, Taşkın sin arctan? α arctan sin arctan sin α tanα türevi sinα cos arctan tan d tan d tan Ι tan u arctanu sinα cosα α u u. arctan arctan cos cos arctan arctan onksion için süreklidir. arctan olduğunda sabittir. π π π arctan 9
Abdullaeva, Çetin, Taşkın arctan arctan o alde > için < için π π π π arctan arctan π arctan arctan dir. - Üstel ve Logaritmik Fonksionların Türevi log log e a log e ln, ln u u g dir. u u a ln ln a cos lnsin cot sin sin lncos tan cos ln ln ln 6 ln ln 7 8 cos ln cos ln sin
Abdullaeva, Çetin, Taşkın -6 a Üstel onksionunun türevi a >, a a a ln a u u g a a ln a u u? u ln u ln u -7 e onksionunun türevi e e u g u u e e u e e sin sin e e cos e e e e ı u,u e n e a 6 e n n a a e ae a a e a
Abdullaeva, Çetin, Taşkın -8 TÜREVİN UYGULAMALARI -8- Artan ve Azalan Fonksionlar Değişken ile anı önde değişen onksionlara artan onksion, ters önde değişen onksionlara azalan onksion denir. Teorem onksionu [ a, b] aralığında artan bir onksion bu aralıkta >,azalan bir onksion bu aralıkta < dır. Bunun tersine olarak onksionu ; türevin poziti olduğu aralıkta artan, negati olduğu aralıkta azalan dır. > artan < azalan onksionunun artan ve azalan aralığını bulunuz. > için > artan, < için < azalan, sin onksionu artan ve azalan olduğu aralığı bulun. cos sin cos olduğundan er erde poziti ve dolaısıla er erde artandır.
Abdullaeva, Çetin, Taşkın -8- Maksimum ve Minimum Değerler a m b a n b Y onksionunu göz önüne alalım. Eğer m değeri, a,baralığındaki tüm değerlerinden büük ani m >,m değerine maimum değer, m, m noktasında da maimum nokta denir. Eğer n değeri bu aralıktaki tüm değerlerinden küçük n < n değerine minimum değer, n, n noktasına minimum nokta denir. Bir onksionunun graiğinde m m, noktası maimum nokta bu noktada onksion artma alinden azalma aline geçecektir ki bu noktada türev değerlerden - değerlere geçecektir. Dolaısıla bu noktada türev sıırdır. Benzer olarak n m n, noktası minimum nokta n olacaktır. Bir onksionun maimum, minimum noktalarına Etramum noktaları denir. Bir onksionun ma-min noktalarını bulmak için türevi alınır. apan k değerleri bulunarak alınır ve kritik noktalara bakılır., kritik noktalar bulunur. k k k ma eğğer ne ma ne min eğğer min eğğer ıı < k > k k
Abdullaeva, Çetin, Taşkın > onksionlarının ma,min noktalarını bulun.,, noktasında minimum kritik nokta a b c a a,b,c katsaıları ne olmalı. parabolünün ma,min noktaa saip olması için a b a b b b t olsun a a b, t kritik nokta a a < a a > maksimum minimum onksionunun etramum noktalarını bulunuz. 6, 6 > min, kritik, 6 < ma µ, noktalar
cos sin onksionunun ma, min noktalarını bulunuz. π π π π k k cos sin sin cos sin cos π π Kritik Noktalar,, π π min, ma, cos sin > < π π π π Öle iki saı bulunki toplamları çarpımları maksimum olsun. Çözüm. saı olsun. saı - olur ma. < o alde saılar, dir. MATEMATİK-II Abdullaeva, Çetin, Taşkın
Abdullaeva, Çetin, Taşkın -9 GRAFİK ÇİZİMİ denklemi ile verilmiş bir eğrii çizmek için önce onksionun değişimini incelemek gerekir. Bu da genel olarak onksionun artan ve azalan olduğu aralıkları belirlemek demektir. Bunlara göre onksionunun graiğini çizmek için aşağıdaki adımlar ugulanır. in tanım aralığı belirtilir. Maksimum minimum noktalarına bakılır. OX ve OY eksenlerini kestiği noktalar belirlenir., i içeren değişim tablosu çizilir. Gerekirse birkaç kei nokta bulunur. 6 Graik çizilir. Not P Eğer şeklinde bir rasonel onksion ukarıdaki adımlardan önce Q asimptotlarına bakılır. Asimptotlar arılır. Yata asimptot Düşe asimptot Eğik asimptot Yata Asimptot: P lim c Q c doğrusu ata asimptottur. Düşe Asimptot: Padaı sıır apan değerleridir. Not Q değerleri onksionun graiği düşe asimptotu kesemez. Eğik Asimptot: Eğer paın derecesi, padanın derecesinden azla ; eğik asimptota bakılır. Eğik asimptot m n doğrudur. m lim P Q, n lim [ m] 6
Abdullaeva, Çetin, Taşkın onksionunun asimptotlarını bulunuz. - Yata Asimptot lim - Düşe Asimptot µ - Eğik asimptot ok. parabolünü çizin. onksionu er erde tanımlıdır. 9, 9 Kritik nokta < maimum için, de OY eksenini keser. için -,,, OX eksenini keser. - 9/ - 9 9, 7
Abdullaeva, Çetin, Taşkın eğrisini çizin. er erde tanımlıdır. O alde ekstremum noktaları: 6 >, minimum, 7 6 < 8 9 7 7,, kritik noktalar. 7 maksimum için için,,,,, 7 /7-8
Abdullaeva, Çetin, Taşkın eğrisini çizin. Yata asimptot lim Düşe asimptot den ok,kritik nokta ok,ma, min ok. için, da OY eksenini keser için,, da OX eksenini keser için, için,,, 9
Abdullaeva, Çetin, Taşkın eğrisini çizin. - Yata asimptot lim OX ekseni - Düşe asimptot µ Ma. Min,, < için, ma kritik nokta için ok OX eksenini kesmez için için,
Abdullaeva, Çetin, Taşkın ALIŞTIRMALAR eğrisinin angi noktasındaki teğeti doğrusuna paraleldir? 7 eğrisinin, noktasındaki teğetinin eğimini bulun. onksionunun artan ve azalan olduğu aralık nedir? 6 8 onksionunun ma, min noktalarını bulunuz. eğrisini çiziniz. eğrisini çiziniz. sin 7? 8? 9?? ln n? arctan? 7 e?
Abdullaeva, Çetin, Taşkın TEST TÜREV sin π '? 6 A B C D E Cevap A. cos sin π '? A B C- D E- Cevap B. cos cos ' π? A B C D E- Cevap C. sin cos ' π? A B C D E Cevap D. tan sin 8cos cotan ' π? A8 B C D E Cevap E.
Abdullaeva, Çetin, Taşkın 6 tan lncos ' π? A B C D E Cevap A. 7 arctan '? A B C D E Cevap B. 8 lnsin ' π? 6 A B C D E Cevap C. 9 sin ' π? 8 A B C D E 9 6 Cevap D. sin ' π? 6 A B C 6 D E 6 Cevap E.
Abdullaeva, Çetin, Taşkın sin cos ' π? A- B- C- D E Cevap A. cos ' π? 8 A B- C- D- E Cevap B. cos e ' π? B e A- C- e D e E e Cevap C. lnsin A- B C π ' π? D E π Cevap D. cos sin π? 6 ' ln A B ln C ln D E Cevap A.
Abdullaeva, Çetin, Taşkın 6 tan '? A tan B tan C tan Dcot E 7 sin cos ' π? Cevap B. A B C D- E- Cevap C. 8 sin cos '? Asin Bcos Ccos Dcos Esin Cevap D. 9 cos sin ' π? 6 A B C D E Cevap A. cos ' π? A B C D E Cevap C. e eğrisinin, noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden angisidir? A B C - D E CEVAP : A
Abdullaeva, Çetin, Taşkın ln onksionunun gösterdiği eğrinin apsisli noktasındaki teğetinin denklemi nedir? A B C D - E onksionunun minimum noktasının apsisi nedir? A B C D E CEVAP : C CEVAP : E. onksionunun türevi aşağıdakilerden angisidir? A B D E C CEVAP : A. e onksionunun türevi, aşağıdakilerden angisidir? A e C e E e B e D e CEVAP : C 6. e onksionunun türevi aşağıdakilerden angisidir? A C E e e e - - B - D e - e - CEVAP : B 7. onksionunun türevi aşağıdakilerden angisidir? A D ln B E ln ln C CEVAP : B 6
Abdullaeva, Çetin, Taşkın 8. onksionunun türevi aşağıdakilerden angisidir? A B C ln D ln E ln CEVAP : D 9.,? A D - - - - B E C CEVAP : A. e, değeri kaçtır? A B C e D e E e CEVAP : C. ln onksionunun noktasındaki türev değeri nedir? A B C D ln E ln. onksionunun noktasındaki Türevi nedir? A B C D E CEVAP : A CEVAP : E. e olduğuna göre, bu onksionun ikinci türevi aşağıdakilerden angisidir? A B e C e D e E e CEVAP : E 7
Abdullaeva, Çetin, Taşkın. ln onksionunun ikinci türevi aşağıdakilerden angisidir? A B C D E ln CEVAP : D. onksionunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden angisidir? A D, B, C,, E, CEVAP : A 6. 7 onksionunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden angisidir? A, B, C,, E, D CEVAP : A 7 7. onksionunun düşe asimptotu aşağıdakilerden angisidir? A D 8. A D B E 7 E C CEVAP : A onksionunun ata asimptotu aşağıdakilerden angisidir? B C CEVAP : D 8
Abdullaeva, Çetin, Taşkın 9. onksionunun graiği aşağıdakilerden angisine benzer A B - - - - C D - - - E -. onksionunun graiği aşağıdakilerden angisi olabilir? CEVAP : A A B - - C D - E CEVAP : B 9
Abdullaeva, Çetin, Taşkın. Yukarıdaki graiğe göre aşağıdakilerden angisi anlıştır? A, maksimum noktasidir. B bir duse asimptottur. C bir duse asimptottur. D bir duse asimptottur. E bir ata asimptottur. CEVAP : D. - Yukarıdaki Şekle göre aşağıdakilerden angisi anlıştır? A, erelminimum noktadir. B duse asimptottur. C bir ata asimptottur. D Fonksion noktasında tanımlı degildir. E Egri daima azalandir. CEVAP : E