TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu. U V olmak üzere; ( ) ( ) f : U V B, f a = f a V V şeklide taımlı f foksiyoua f i V üzerie kısıtlaması deir. V

Taım 1.1.. f : A B bir foksiyo olsu. Domf =A ise f foksiyoua A ya göre global foksiyo deir. Taım 1.1.3. f : A B ve g: B üzere; C iki foksiyo olsu. ( Ragef ) Domg olmak ( ο )( ) ( ( )) gο f : A C, g f a = g f a şeklide taımlı foksiyoa g ile f i bileşkesi deir ve gο f, g( f ) şeklide gösterilir. Taım 1.1.4. f : A B bir foksiyo olsu. Ragef = B ise f foksiyoua örte foksiyo deir.

Taım 1.1.5. f : A B bir foksiyo olsu. a1, a A içi f ( a ) = f ( a ) a = a oluyorsa f ye 1-1 foksiyo (ijectio) deir. 1 1 Taım 1.1.6. 1-1 örte foksiyolara bijeksiyo (bijectio) deir. Taım 1.1.7. f : A B 1-1 ve örte foksiyo olsu. f ο g = I f ( A ) ve gof = olacak I f 1 ( B) şekildeki g foksiyoua f i tersi deir ve g = f 1 şeklide gösterilir. Bu taımda da alaşıldığı gibi f 1 of foksiyou yerie özdeşlik döüşümüü bir bileşke işlemide yerie yazarke dikkatli olmalıyız. poh ile pof 1 ofoh foksiyoları ayı foksiyolar değildir. pof 1 ofoh foksiyou poh foksiyouu bir kısıtlamasıdır.

Teorem 1.1.1. f : A B ve g: B A, fog ve gof foksiyoları B ve A üzeride özdeşlik foksiyoları olacak şekilde iki foksiyo ise f, 1-1, örte ve g = f 1 dir. Taım 1.1.8. A 1 ve A iki küme p : A A A, i= 1, i 1 (, ) p a a = a i 1 i i şeklide taımlı foksiyolara izdüşüm foksiyoları deir.

Taım 1.1.8. f : A A1, g: B B1 şeklide verile iki foksiyo içi f g: A B A B 1 1 ( f g)( a, b) = ( f ( a), g( b) ) şeklide taımlı foksiyoa f ile g i kartezye çarpım foksiyou deir. Dom( f g ) = ( Domf ) ( Domg ) Taım 1.1.9. Eğer öceki taımda f : A A1, g: A B1 şeklide özel halii göz öüe alırsak; ( f, g)( a) = ( f ( a), g( a) )

Dom( f, g ) = Domf Domg Bu taımları herhagi solu sayıdaki küme ve foksiyolar üzerie taşıyabiliriz. Taım 1.1.10. :..., (,..., ) p A A A p a a = a i 1 i i 1 i f : A C, i = 1,,..., i i i f f... f : A A... A C C... C 1 1 1 ( f1 f... f)( a1, a,..., a) ( f1( a1 ), f( a ),..., f( a )) (... ) = ( ) ( )... ( ) Dom f f f Domf Domf Domf 1 1 f : A C, i = 1,,..., i i

( f1, f,..., f)( a) ( f1( a ), f( a),..., f( a )) (,,..., ) = ( ) ( )... ( ) Dom f f f Domf Domf Domf 1 1 f: A A1 A... A f i = pof i p i A i olmak üzere i f i 1,,..., = foksiyolarıa f i bileşeleri deir.

Problemler 1.1. :, :, : ve k: B1 B foksiyoları verildiğie göre 1. f A A1 g B B1 h A1 A ( h k ) o( f g ) = ( hof ) ( kog ) olduğuu gösteriiz.. f : A A, g: B B foksiyoları verildiğie göre, :, (, ) üzere po( f g ) = fop olduğuu gösteriiz. p A B A p a b = a olmak 3. f : A B, g: C D 1-1 foksiyolar ise f g i de 1-1 olduğuu ve ( ) 1 1 1 f g f g = olduğuu gösteriiz. f A B g A C h B B k B B ve q: C C1 foksiyoları verildiğie 4. :, :, : 1, : göre

i) ( h, k ) of = ( hof, kof ) ii) ( h q) o( f, g ) = ( hof, qog ) olduğuu gösteriiz..1. FONKSİYONLAR VE SÜREKLİLİK Bu kısımda Öklid Uzayları arasıdaki foksiyoları özelliklerii gözde geçireceğiz. Dom f ( ) R de elemaıa bir tek resmii y f ( x) y m R ye taımlaa : ( ) f Dom f R m foksiyou; x Dom( f ) R m R oktası karşılık getire kural olarak taımlaır. x i f altıdaki m = yazarak belirteceğiz. f : A R de kastımız f foksiyouu taım kümesii A olmasıdır. Yai A daki her x elamaı içi f ( x ) iyi taımlıdır. A ı dışıdaki

elemalar içide f ( x ) iyi taımlı olabilir, A ı f içi maksimal taım küme olmasıda ısrar etmiyoruz. A f m R p of i = f i p R f : A R, 1 i m i, ( ) f x = y şeklide taımlı foksiyolara f i bileşe foksiyoları i ya da kısaca bileşeleri deir. O zama f ( x) ( f1 ( x),..., fm ( x) ) ( ) f = f,..., 1 fm şeklide belirteceğiz. i = veya daha kısaca olarak

Örek: a) f : R R 3, f ( x, y) = ( y, x, x+ y) 3 b) :, (,, ) f R R f x y z = xyz c) f :0, [ ) R ( ) ( ) 3, f x, y, z = x, x, x d) f : R 4 R 4, f ( x, x, x, x ) = ( x + x, x + x, x x, x x ) 1 3 4 1 3 4 1 3 4 (,,, ) = +, (,,, ) f x x x x x x 1 1 3 4 1 f x x x x = x + x, 1 3 4 3 4 (,,, ) =, (,,, ) f x x x x x x 3 1 3 4 1 f x x x x = x x 4 1 3 4 3 4 olur.

Bu öreklerde foksiyolar formül yoluyla taımladı. Buula beraber foksiyoları kısıtlı şekilde taımlayacağıı da belirtelim. Mesela; f :1, [ ) R, kuralı f(x) i ( y + 1) e y = x deklemii çözümü şeklide taımlayabiliriz. ( y ) + 1 e y ; y ye göre arta olduğuda deklem bir tek çözüme sahiptir. Fakat f(x) içi herhagi formül yoktur. Bu bir foksiyoua ters foksiyoua örektir. Bu kou 4. bölümde iceleecektir. O halde yukarıdaki ham foksiyo taımıdaki geçerli kuralı tam olarak oluşturmak içi e yapmalıyız sorusuu sorabiliriz. Bu kesi taım bir foksiyouu grafiğii taımıı verdikte sora verilebilir. m f : A R R bir foksiyo ise G grafiği de R R m m kümesidir. ( x, y) R R içi ( x, y) G x A ve y f ( x) {( ) } i, ( ) = dir. G = x f x x A alt Bir foksiyou grafiği hakkıdaki bilgi f hakkıdaki her şeyi söylediğide f foksiyou G grafiği ile özdeşleir. O halde bir foksiyou kesi olarak taımlamak içi bu foksiyou

grafiğideki sıralı ikili kümesii özelleştirmek gerekir. Hagi sıralı ikilileri kümesi bir foksiyou grafiğidir? H, R m R i herhagi sıralı ikililerii kümesi olsu. H ı e az bir foksiyouu grafiği olması içi gerek ve yeter şart her (, ),(, ) olmasıdır. x y H x z H y = z Taım.. Bir f foksiyou ( x, y) G ve ( x, z) G y = z özelliğideki m G R R sıralı çiftleri kümesidir. Bu durumda f i taım kümesi de { } m ( ) = (, ), şeklide taımlaır ve ( ) (, ) Dom f x R x y G y R şeklide yazılır. Döüşüm(Map) ve foksiyo ayı alamdadır. m m f : A R bir foksiyo ve A 1 A içi f 1 : A 1 R, x A 1 y = f x x y G içi f ( x) f ( x) 1 = şeklide taımlı f foksiyoua f i 1 A 1 e kısıtlaması deir ve f şeklide yazılır. Bezer olarak A 1

m A A, g: A R ve x A tek olmadığı da bir gerçektir. içi g( x) f ( x) = ise f i geişlemesi deir. Böyle g i G { } = {( x, y) } şeklide verile sıralı çiftleri cümlesi içi G = ( y, x) sıralı çiftleri cümlesi de bir foksiyou grafiği olma özelliğii gösterebilir. Buu içi (, ),(, ) yx G yx G x= x olması gerekir. Eğer G bir f foksiyou grafiği ise f i 1-1 1 1 olması x x f ( x ) f ( x ) olması ile taımlaır. f 1-1 ike G da kesi olarak bir 1 1 foksiyou grafiğidir. Bu foksiyoa f i tersi diyerek ( ) ( ) = = dir. 1 x f y y f x 1 f şeklide belirteceğiz. Kısaca

Eğer f : A S içi S f ( A) = oluyorsa f ye örte foksiyo(veya A yı S üzerie döüştüre döüşüm) deir. f : A S 1-1 ve üzerie ise f ye bijectio deir. f bijectio ise f 1 : S A da bijectivedir. Reel değerli foksiyou tersii olmadığıı belirlemek basit bir koudur. Reel değerli taım kümeside arta ve azala foksiyolar bu aralıklarda 1-1 dir. Bu türevi işaretide buluur. 4.Bölümde ivers foksiyou varlığıı göz öüe alarak türevii ivers bulmada kullaılıp kullaılamayacağıı göreceğiz. Şimdi öemli kavram ola sürekliliğe döelim. m Taım.3. f : A R R bir foksiyo olsu. a A olmak üzere; ε > 0 içi x A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı buluabiliyorsa f ye a da süreklidir deir. Yada kısaca ε > 0, δ > 0 vardır. Öyle ki x A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε şeklide gösterilir. Eğer a A içi f sürekli ise f ye A da

süreklidir deir. Bu yöteme ε δ şartı diyeceğiz. δ, ε a bağlı olduğu kadar a oktasıa da bağlı olabilir. Komşuluklara bağlı olarak; a A olmak üzere f ( a ) oktasıı herhagi ε komşuluğua karşılık; f ( A B( a, δ )) B( f ( a), ε ) olacak şekilde a ı bir δ komşuluğu varsa f ye a da süreklidir deir. Bu sezgisel ola x oktaları a ya yaklaşırke f ( x ) oktaları da f ( a ) ya yaklaşır şeklideki taıma kesilik kazadırır. Eğer x i a ya yaklaştığıı gözlemlediğimizde f ( x ) de f ( a ) ya yaklaşmalıdır. Ne şekilde olursa olsu x i a ya yaklaşması esasıda x i A içide kalması çok öemlidir.

Bir a oktasıdaki süreklilik lokal özellik olup, a ı komşuluğuda f i davraışıa bağlıdır. Eğer a, A ı yalız (izole) oktasıysa δ yı öyle küçük seçebiliriz ki x a < δ olacak şekilde x A şeklideki bir tek okta a ı kedisi olur. O zama taım sağlaır ve f foksiyou yalız(izole) oktada otomatikma süreklidir. Buula birlikte yalız oktalardaki sürekliliği öemi azdır.

. a δ ẋ Örek.4. :, ( ) f R R f x = x ile taımlası o zama f, R üzeride süreklidir. Yai orm foksiyou R de süreklidir. Çözüm: f ( x) f ( y) = x y x y eşitsizliğide x y < δ = ε f ( x) f ( y) < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde f her y R de süreklidir.

Örek.5. :, ( ) p R R p x = x i-yici izdüşüm foksiyou süreklidir. i i i Çözüm: ( ) ( ) p x p y = x y x y eşitsizliğide; ε > 0 içi i i i i i ( ) ( ) x y < δ = ε p x p y < ε olduğuda p i foksiyou süreklidir. i m Teorem.6. f : A R R olsu. Aşağıdaki ifadeler dektir. a) f, a A oktasıda süreklidir. b) A daki herhagi ( k ) { } x dizisi içi ( k) ( k) ( ) ( ) x a f x f a olur. İspat: (Fuctios Several Real Variable p.39)

m Teorem.7. :, (,..., ) süreklidir. = ise f, a A da süreklidir Her bir f i a da f A R f f1 f m m Teorem.8. f, g: A R R, a A da sürekli foksiyolar ve α R içi α. f, f + g ve m = 1 halide f. g foksiyoları da a A da süreklidir. İspat: h= α. f olsu. f sürekli olduğuda ε > 0 içi < ( ) ( ) x a δ f x f a < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O zama; ε > 0 içi < h( x) h( a) α f ( x) f ( a) x a δ = < αε

olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde h= α. f foksiyou a A da süreklidir. F = f + g olsu. f, g a A da sürekli olduğuda; ε1 > 0 içi ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde δ1 > 0 sayısı vardır. Bezer şekilde g a A 1 1 da sürekli olduğuda ε 0 > içi x a δ g( x) g( a) sayısı vardır. O zama ε = ε1+ ε > 0 içi < < ε olacak şekilde δ > 0 < mi {, } = ( ) ( ) ( ) ( ) x a δ δ δ 1 ( ) ( ( ) ( )) ( f ( x) f ( a) ) ( g( x) g( a) ) F x F a = f x f a + g x g a + F( x) F( a) < ε1+ ε = ε

olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde F = f + g foksiyou a A da süreklidir. m = 1 halide ( f. g)( x) = f ( x) g( x) olmak üzere; ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = ( f ( x) f ( a) ) g( x) + f ( a) ( g( x) g( a) ) f ( x) f ( a) g( x) + f ( a) g( x) g( a) f x g x f a g a f x g x f a g x f a g x f a g a eşitsizliği vardır. M 1 f ( a) g( a) = + + olsu. f a A da sürekli olduğuda ε > 0 içi ε x a < δ f ( x) f ( a) < M

olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Bezer şekilde ε > 0 içi ( ) ( ) x a < δ g x g a < ε M olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O zama ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) g x g x g a g a g x g a g a ε < + g a < + M ( ) 1 g( a) olduğuda; ε > 0 içi;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a < δ f x g x f a g a f x f a g x + f a g x g a ε f x g x f a g a < g x + f a M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε < + + M ε M ( g( a) 1) f ( a) ( 1+ f ( a) + g( a) ) ε M < ε = ε M olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Örek.9. :, (, ) f R R f x y = xy R üzeride süreklidir.

Çözüm :, (, ), (, ) f p x y = x p x y = y izdüşüm foksiyolarıı çarpımı olduğuda ve 1 izdüşüm foksiyoları da üzeride süreklidir. R üzeride sürekli olduğuda Teorem.8 i so halide f R Foksiyoları birleştirmei başka bir yolu da bileşke almaktır. Buu alamı bir f foksiyouu x oktasıa uygulayarak elde ettiğimiz f ( x ) görütüsüe başka bir g foksiyou uygulayarak g( f ( x )) görütüsüü elde etmektir. Buula birlikte; her f ( x ), g p i taım kümesie ait ise bu bileşke taımlıdır. Bu edele; f : A R R ve p g: B R R m, ( ) f A B bileşke foksiyo taımlaır. ise : m gof A R R, x A, ( gof )( x) g ( f ( x) ) = şeklide

p p Teorem.10. f : A R R, g: B R R m ve ( ) f A B olsu. f i a A da ve g i b= f ( a) B de sürekli olduğuu kabul edelim. O zama gof de a da süreklidir. İspat: g, ( ) ( ) ( ( )) f a da sürekli olduğuda y B ve 0 ε > içi ( ) y f a < ξ olur olmaz g y g f a < ε olacak şekilde ξ > 0 sayısı vardır. f, a da sürekli olduğuda ξ > 0 içi x A ve x a δ halde ε > 0 içi x a δ < olur olmaz ( ) ( ) < olur olmaz ( ) f x f a < ξ olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O ( ) ( ( )) sayısı vardır. O halde gof foksiyou a A da süreklidir. g f x g f a < ε olacak şekilde δ > 0

Souç.11. g: A R R ( 1) m = a A da sürekli ve ( ) 0 g a olduğuu kabul edelim. 1 1 = g g x O zama ( x) ( ) foksiyou da a A da süreklidir. İspat: h: R { 0} R, hu ( ) süreklidir. g de a A da sürekli, ( ) 0 1 = şeklide taımlı foksiyo olsu. h taım kümeside u g a olduğuda B( a, δ ) üzeride ( ) 0 g a özellikli 1 g ( ) B( a, δ ) komşuluğu vardır. O zama x B( a, δ ) içi ( x) = h g( x) foksiyoları bileşkesi olur. O halde g, g( a) 0 ve a A da sürekli ise 1 g sürekli de a da süreklidir. f, g: R R, g( a) 0 özelliğide a da sürekli iki foksiyo ike

f g = 1 f. g foksiyou da Teorem.8 de a da süreklidir. Örek.1. f : R R, ( ) y f x, y = x y, 1 + x foksiyou R üzeride süreklidir. Çözüm: f ( xy) = xykoordiat foksiyolarıı çarpımı olduğuda ve f ( x, y) 1, y = 1 + x 1 de g( x, y) = 1 + x sürekli foksiyou ile y i çarpımıda oluştuğuda süreklidir. O halde Teorem.7. de f R üzeride süreklidir.

Örek.13. araştırıız. f : R R, f ( x, y) xy,, 0,0 = x + y 0,, = 0,0 ( xy) ( ) ( xy) ( ) foksiyouu sürekliliğii Çözüm: ( 0,0 ) oktası hariç diğer bütü oktalarda f i sürekli olduğu yukarıdaki çarpım ve resiprokaller üzerie verile souçlarda görebiliriz. ( 0,0 ) da ( 0,0 ) ı δ komşuluğudaki = xy x + y <ε ( x, y ) ler içi f ( x, y) f ( 0,0) olup olmadığıı araştıracağız. x 0 ve y = 0 içi f ( x,0) = 0 ve bu edele ε δ şartı sağlaır. Bezer şekilde ( ) oktalar içi de sağlaır. x 0, y x içi f ( x, x) f ( 0,0) 1 = olur. O halde = doğrusu boyuca (, ) 0, y, y 0 şeklideki 1 f x x = ve bu edele x 0 1 ε < içi ε δ şartı sağlamaz. Bu edele de f,

( 0,0 ) da sürekli değildir. a ya yaklaşa x oktalarıı göz öüe alarak f ( ) x oktalarıı f ( a ) ya yaklaşıp yaklaşmadığıı düşümek uygu olur. Şimdi bu düşüceyi olgulaştıracağız. = < < cümlesie Taım.14. B ( a, ε ) { x R 0 x a ε} a R i delimiş ε -komşuluğu = delimiş açık yuvardır. deir ve B ( a, ε) B( a, ε) { a} Taım.15. f : A R R m olsu. a, A ı limit oktası ise (yai { } ise) x, a ya giderke f ( x ) i limiti (, δ ) ( ) (, ε ) b ( A a ) B( a, δ ) R ye eşit olması içi gerek yeter şart her 0 x B a A f x B b olacak şekilde δ > 0 sayısıı var olmasıdır. ε > içi

Bu taımda a oktasıı A kümesii bir limit oktası olmasıa ihtiyacımız vardır. Yai (, δ ) B a A, her δ > 0 içi e az bir okta kapsamalıdır. Buula birlikte a oktası A kümesii elemaı olmak zoruda değildir. Bu taıma dek ola ve dizileri kapsaya öerme olarak vereceğimiz bir taım daha vardır. Öerme.16. a, A R i bir limit oktası ve : f A R m bir foksiyo olsu. O zama ( ) ( k) ( k) { } lim f x = b x A, x a, k N x a içi ( k ) x a ike ( k ) ( ) f x b dir.

Tabii ki f, a da bir b limitie sahip olması içi gerek ve yeter şart f i her bir f i bileşeii a daki limitii b i b i bileşeie eşit olmasıdır. Öerme.17. f, g: A R R a) lim ( ) ( ) x a f x g x = b c b) ( )( ) ( ) m ve lim ( ) x a f x b lim α. f x = αlim f x = α. b, α R x a x a c) 1 m = içi ( ) ( ) ( ) ( ) = ve lim ( ) lim f x g x = lim f x lim g x = bc. x a x a x a g x = c olsu. O zama; x a *** A herhagi bir iç oktaya sahip değilke bu yapı bazı yalışlıklara yol açar. Mesela, { [ 0,1] } A = x x rasyoel sayı ve f : A R, f ( ) 1 x = olsu. f i A üzeride sürekli olduğu

kesidir. Buula birlikte f yi g :0,1 [ ] [ 0,1], g( x) 1, = 0, x A x A şeklide taımlı g foksiyouu A üzerie kısıtlamışı olarak göz öüe alabiliriz. g foksiyou [ 0,1 ] i herhagi bir oktasıda sürekli değildir. g kısıtlaması A üzeride sürekli olduğu halde g i A kedisi A ı herhagi bir oktasıda süreksizdir. Bir foksiyo sürekli ise bu foksiyou herhagi kısıtlaması da süreklidir. Yukarıdaki örekte de görüleceği gibi bir foksiyo sürekli ike bu foksiyou geişletilmesi sürekli olmak zoruda değildir. Daha öcede de belirttiğimiz gibi x a ike limite sahip ola f ( x ) içi a ya herhagi tarzda yaklaşılabilir. Özel olarak a ya bütü doğrular boyuca yaklaşmakta ayı cevabı verecektir. R de a da geçe ve doğrultusu u ola doğruu { x a tu t R} olduğuu biliyoruz. u yu doğrultu aldığımızda daima birim alacağız. = + kümesi

Öerme.18. f : A R R 0 ( ), a it ( A) lim f a+ tu = b olmasıı gerektirir. t olsu. lim ( ) f x = b olması her u doğrultusu içi x a İspat: lim ( ) f x = b ise ε 0 x a > içi, δ ( ) x a x a < f x b < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. x a tu B ( a, δ ), 0 t δ f ( x) f ( a tu) B( b, ε) = + < < = + olur. O zama ( ) 0 < t < δ f a+ tu b < ε olacak şekilde 0 δ > sayısı vardır. Yai lim ( ) + = dir. f a tu b t 0 Bu öermei tersi doğru değildir. f doğrular boyuca limite sahip olabilir, fakat f i limite sahip olması gerekmez.

.. Süreklilik ve Kompaktlık Sürekli foksiyoları bir öemli özelliği de kompakt kümeleri kompakt kümelere döüştürmeleridir. R i altkümesii kompaktlığıda bu alt kümei sıırlı olmasıı kastedeceğiz. R de kapalı ve Teorem.19. K, olsu. O zama f ( K ) da R i kompakt bir altkümesi ve : m R i kompakt altkümesidir. f K R m K üzeride sürekli foksiyo İspat: (Fuctios of Several Real Variables p.44) Sürekli foksiyolar altıda e kapalı bir kümei görütüsüü kapalı olması ede sıırlı bir kümei görütüsüü sıırlı olması gerekir.

Örek.0. x 1 x a) f : R R, f ( x) = olsu. ( ) [ 0,1) + f R = olup R de e açık e de kapalıdır. Bu ayrıca açık bir kümei görütüsüü de açık olmak zoruda olmadığıı gösterir bir örektir. 1 x b) f :( 0,1 ) R, f ( x) = olsu. O zama f (( 0,1) ) = ( 1, ) Teorem.19 dakie bezer düşüceleri kullaarak sürekli foksiyoları sürekliliğii kou edie aşağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem.1. K, R i kompakt altkümesi ve : foksiyo olsu. O zama 1 : ( ) f K R f f K K foksiyou süreklidir. m de K üzeride sürekli 1-1

İspat: (Fuctios of Several Real Variables ) Bu teorem K kompakt olmadığı zama doğru olmayabilir. Görütü kümesi R de yattığıda foksiyoları maksimum miimumları tartışılabilir. Taım.. f : A R R foksiyou verilsi. a A olmak üzere x A içi f ( x) f ( a) oluyorsa f, A üzerideki a oktasıda (global) maksimuma sahiptir deir. Bir a A oktasıı (, ) B a δ komşuluğudaki bütü x ler içi f ( x) f ( a) olacak şekilde δ - komşuluğu varsa f foksiyou a oktasıda (lokal) maksimuma sahiptir deir. Eğer bu eşitsizliklerde sadece eşitsizlik var ise tam (strict) global maksimum ve tam lokal maksimum terimleri kullaılır. Bu taımlarda yerie alarak global miimum, lokal miimum

taımları verilebilir. Maksimum ve miimum taımlarıı çalışmak aalizdekie bezer olup aalizdeki tekikleri kullaacağız. Teorem.3. f : K R R dif.bilir, K ve K kompakt olsu. O zama f, K üzeride bir global maksimum bir de global miimuma sahiptir. İspat: ( ) { }, ( ) M = Sup f x x K f K ı üst sıırlarıı e küçüğü olsu. Her boşta farklı reel sayıları sıırlı cümlesi bir supremuma sahip olduğuda M vardır ve soludur. Açık olarak f ( x) M, x K ve M bu özellikteki e küçük sayıdır. M i kompakt f ( K ) kümesie ait olduğuu gösterelim. Eğer M f ( K) ise M f ( K) c ve f ( K ) c olur. O zama M i ( M ε, M + ε ) şeklide bir ε komşuluğu vardır ve bu f ( ) açık K ı

oktalarıı kapsamaz. O halde x K içi ( ) f x M ε olup M ε bir üst sıırdır. Bu m i üst sıırları e küçüğü olması ile çelişir. O halde kabulümüz yalış yai M f ( K) olmak zorudadır. Yai; f ( x) M özellikli x K vardır. Miimum içi de ispat bezer şekilde yapılır. Yukarıdaki teoremde bir kompakt küme üzerideki sürekli foksiyo kedi sıırlarıı oluşturur. Örek.4. R üzerideki her orm Öklidye orma,, + x R αβ R içi α x x β x alamıda dektir. 1 1

Çözüm: { ei i 1,..., } =, R i stadart bazı ve M maks{ ei i 1,..., } = = olsu. x R içi x = xe olup üçge eşitsizliğide; i= 1 i i x x e +... + x e 1 1 1 ( 1... ) M x + + x M x 1 α = alıarak M α x x (1) 1

elde edilir. Ayrıca x, y R içi x y M x y eşitsizliği kullaılarak. 1 1 foksiyouu sürekli olduğu gösterilir. O halde 1. foksiyou S = { x R x = 1 } kompakt kümesi üzeride kedi m e küçük alt sıırıı oluşturur. z 0 olduğuda x x m= z > 0 ile gösterelim. z 0 içi x= x yazabiliriz. x = x m x 1 1 x x 1 olup β = alarak; m 1 x 1 x () m 1 buluur. (1) ve () eşitlikleride

1 1 x x x M m 1 1 eşitsizliği buluur. O halde. ve. bu alamda dektirler. 1 Bir x oktasıı bir A kümesie uzaklığı dist ( x, A) if{ x a a A} = şeklide taımlaır. Geel olarak; ifimumu oluşturacak şekilde a A oktası bulumayabilir. Buula birlikte eğer A kompakt ise ifimumu daima vardır. Bu orm foksiyouu sürekli olmasıı bir soucudur ve Örek.4. edeiyle ormla erede çalışılırsa orada daima sağlaır. x i yakııda a A oktası var olduğuda bu a tek olmak zoruda değildir. Mesela; x = 0

elemaı ve A { a a 1} = = kümesii göz öüe alırsak a tek değildir. A ı şeklii oyuu bir parçası olarak görebiliriz. Bua ait öemli bir düşüce de A ı koveksliğidir. Taım.5. C, R i bir altkümesi, { } x y C içi x i y ye birleştire ( 1 t ) x + ty 0 t 1 doğru parçası daima C de kalıyorsa C ye R i koveks altkümesi deir. *** Bu geometrik yaklaşım C i sıırı C i içide dışa doğru köşelemiş ve kearlar oyulmamıştır. Düz doğru parçalarıı oluşmasıa müsaade edilmiştir. Örek.6. Açık ve kapalı yuvarlar kovekstir. Çözüm: C B( z, r) = ve x, y C olsu. O zama x z < r, y z < r ve üçge eşitsizliğide 0 t 1 içi

( 1 t) x+ ty z = ( 1 t) x ( 1 t) z+ ty tz = ( 1 t)( x z) + t( y z) ( 1 t) ( x z) + t ( y z) ( 1 t) r+ tr = r olur. O halde x, y C ile sıırlı doğru parçası C i içide kalır. Kapalı yuvarlar içide ispat bezer şekilde yapılır. Öerme.7. C, R de kapalı koveks küme olsu. O zama miimum ormlu bir tek c oktası vardır. Yai; 0 a yakı bir tek c C oktası vardır. İspat: d if { y y C} C = olsu. O zama d = 0 ise 0 C ve ispatlaacak bir şey yoktur. O halde 0 C olsu. c = d olacak şekilde tam bir tae c C i var olduğuu göstermek

istiyoruz. Eğer C sıırlı olsaydı böyle c i varlığı garati olacaktı çükü sürekli foksiyou kompakt küme üzeride ifimumua ulaşır. Buula birlikte C burada sıırlı olmak zoruda olmamasıa rağme C C B( 0, d 1) = + i göz öüe alarak bu yapıyı bu hale idirgeyebiliriz. O zama C kompakt ve miimal ormlu c C var ve bu C i miimal ormlu bir oktasıdır. Böylece herhagi orm içi miimum ormlu oktaı varlığı gösterilmiş olur. Teklik sadece C i koveksliğie bağlı değil ayı zamada komşuluklar Öklidye ormu tam kovekslik özelliği dediğimiz aşağıdaki özelliğe sahip olmasıa bağlıdır. Eğer x = y = d ve x y ise x+ y < r oluyorsa tam kovekstir deir. Bu x + y + x y = x + y şeklideki paralel kear kuralıda heme görülür. Şimdi tekliği gösterelim.

x = y = d ve x y olduğuu kabul edelim. O zama ormu tam kovekslik özelliğide x+ y O halde x < d ve C koveks olduğuda = y olmak zorudadır. Bu ise tekliği ispatıdır. x+ y C ve buu ormu d de daha küçük olamaz. Hatırlatma: Öklidye orm kullaıldığıda varlık içi kompaktlık gerekli değildir. a oktasıda ε δ şartı ε 0 > içi x a δ f ( x) f ( a) < < ε olacak şekilde bir δ (a veε a bağlı) sayısıı var olduğuu söyler. Özel bir ε içi ayı δ her a A içi çalışabilir. Bu güçlü özelliğe düzgü süreklilik deir ve bu özellik f i bir global özelliğidir.

m Teorem.8. f : A R R foksiyouu göz öüe alalım. ε > 0 içi x, y A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde sadece ε a bağlı bir δ sayısı varsa f ye A üzeride düzgü süreklidir deir. Yukarıdaki Örek.4. herhagi orm foksiyou düzgü sürekli olduğuu gösterir. Bu bir foksiyou A üzeride düzgü sürekli olması A ı her bir oktasıda sürekli olmasıı gerektirdiğide açıktır. Buu tersi her zama doğru değildir. Bua basit bir örek; 1 f :( 0, ) R, f ( x) = x foksiyoudur. Herhagi 0< δ < 1 özelliğideki δ içi x= δ, y = δ alırsak;

1 1 1 1 f ( x) f ( y) = = > δ δ δ olur. Bu ise f i düzgü süreklilik şartlarıı sağlaması içi mümkü değildir. Bu foksiyo bölüm kuralı gereğice her a > 0 oktasıda süreklidir. Fakat δ, a ya bağlıdır. Buula birlikte f i taım kümesi kompakt olduğuda süreklilik düzgü sürekliliğe dektir. m Teorem.9. f : K R R, kompakt K kümesi üzeride sürekli olsu. O zama f, K üzeride düzgü süreklidir. İspat: (Fuctios of Several Real Variables p.49).6. Topolojik Kavram Olarak Süreklilik

Açık(kapalı) kümeleri sürekli döüşümler altıdaki görütülerii açık(kapalı) olmasıı gerekmediğii görmüştük. Buula beraber ters görütüleri daha iyi olur. m f : A R B R bir foksiyo ve T de B i bir alt kümesi olsu. T i f altıdaki ters 1 görütüsü f ( T ) { } 1 şeklide gösterilir ve ( ) ( ) f T = x A f x T kümesidir. Yai bu, f altıdaki görütüleri T de yata A ı elemalarıı cümlesidir. Eğer f, 1-1 ise ( 1 T, f ( A ) da kapsaır ve f ( T ) de 1 f altıda T i görütüsüyle çakışır. 1 f var) ve m m Lemma.59. f : A R R bir foksiyo ve S A, T R olsu. O zama; ( ) f f T T 1 1 a) S = f ( T) f ( S) T, yai ( ) b) ( ) 1 1 T = f S S f ( T), yai S f ( f ( S) ) İspat:.

( ) 1 1 1 a) x f ( T) içi y = f ( x) olacak şekilde y f f ( T) alalım. f ( T ) bu x A ve f ( x) T dir. Yai y T dir. b) S A olduğuu göz öüe alalım. x S ( ( )) 1 x f f S. ise f ( x) f ( S) i taımıda ve böylece taımda (a) ve (b) de eşitlik, geel alamda sağlamaz. Buu (a) içi görmek istersek; T f ( A) yai f örte olmalıdır. (b) içi f : R R, f ( x) x 1 zama [ 0,1] = T = f ([ 0,1] ) fakat ([ 0,1] ) [ 1,1] 1-1 olmasıyla mümküdür. = foksiyouu göz öüe alalım. O f = olur. (b) de eşitliği sağlaması içi f i Topoloji derside bir küme üzeride sürekliliği taımı geellikle Her açık kümei ters görütüsü de açıktır. Şeklide özetleir. f i taım kümesi üzerideki topoloji R

uzayıda ortaya çıkar. Bu edele A üzerideki rölatif topolojidir. Şimdi bu kavramları açıklayalım.