Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)........................................................... Kartezyen Çarpım Konu Özeti.................................................. 5 Konu estleri ( 6)........................................................... 6 Yazılıya Hazırlık Soruları........................................................ = = ı = E 4 K E M M X x 6 ı = Ø
KONU ÖZEI ÜNİE Matematikte küme denilince herhangi cins ve çeşitten nesnelerin oluşturduğu topluluk anlaşılır. Kü me kav ra mı nın ta nı mı yok tur. n cak kü me de ni lin ce, iyi ta nım lan mış, bir bi rin den fark lı nes ne ler top lu luğu düşünülmelidir. Yani bir nesne verildiğinde bu nesnenin bir kümenin elemanı olup olmadığı sorusuna kesin olarak evet veya hayır denilebilmelidir. Kü me yi oluş tu ran nes ne le re o kü me nin ele ma nı de nir. Kü me de, bir ele man bir kez ya zı lır. Kü me nin ele man la rı nın kü me içe ri sin de yer de ğiş tirme si kü me yi değiştirmez. oş Kü me: Hiç bir ele ma nı ol ma yan kü me ye boş kü me de nir ve { } ve ya Ø şek lin de gös te ri lir. {Ø} gösterimi boş küme değildir. Kü me le rin Gös te ri li şi l. Or tak özel lik yön te mi ll. lll. Lis te yön te mi Venn şe ma sı yön te mi lt Kü me: ve gi bi iki kü me den, kü me si nin her ele ma nı kü me si nin de ele ma nı ise, kü me si kü me si nin alt kü me si dir de nir ve şek lin de gös te ri lir. ir kü me nin ken di sin den fark lı olan her alt kü me si ne o kümenin bir özalt kü me si de nir. ir kü me nin alt kü me le ri nin tümünden oluşan kü me ye o kümenin kuv vet kü me si de nir. kümesinin kuvvet kümesi P() ile gösterilir. s() = n ise s(p()) = n dir. n ele man lı bir kü me nin; lt kü me sa yı sı: n Özalt kü me sa yı sı: n n r ele man lı alt kü me le ri nin sa yı sı = d n, (r n) r 9
ÜNİE Faktöriyel den n ye ka dar olan say ma sa yı la rı nın çar pı mı na n fak tö ri yel de nir ve n! şek lin de gös te ri lir. n! =..... n! = ve! = ola rak ka bul edi lir.! =. =! =.. = 6... n! = (n )!.n n n! = (n )!.(n ).n n dir. n ele man lı bir kü me nin r ele man lı (r n) alt kü me le ri nin sa yı sı n n! f p= dir. r ( n r)!. r! n n f p= f p= n n n n nn ( ) f p= f p= n, f p= n n n f p= f p+ r = p veya r+ p = n dir. r p n n n n f p+ f p+ f p+... + f p= n n Kümelerde İşlemler Ev ren sel Kü me: Üze rin de iş lem ya pı lan tüm kü me le ri kap sa yan kü me ye ev ren sel kü me de nir ve ge nel lik le E ile gös te ri lir. ncak tüm kümeleri kapsayan mutlak bir evrensel küme yoktur. İki Kü menin ir le şi mi = { x : x ve ya x } E
İki Kü menin Ke si şi mi = { x : x ve x } ÜNİE İki Kü menin Far kı E = { x : x ve x } E ir Kü me nin üm le ye ni ı = { x : x E ve x } E De Mor gan Ku ral la rı ( ) ı = ı ı ( ) ı = ı ı Özel lik ler = = (ek kuvvet özelliği) = = (Değişme özelliği) Ø = E = E ı = E E ı = Ø Ø = Ø E = ı = Ø Ø ı = E ( ı ) ı = ı = E ( C) = ( ) C ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) C ( C) = ( ) ( C) İki Kümenin Simetrik Farkı E ve kümelerinin simetrik farkı, \ ve \ kümelerinin birleşimidir ve ile gösterilir. = ( \ ) ( \ )
ÜNİE irleşim Kümesinin Eleman Sayısı s( ) = s() + s() s( ) s( C) = s() + s() + s(c) s( ) s( C) s( C) + s( C) ı ı = ı = = Küme Problemlerinin Çözümünde İzlenecek Şema Yöntemi F x y z S t Sınıf : S Fut bol oy na yan la rın kü me si : F as ket bol oy na yan la rın kü me si: x, y, z, t için de bu lun duk la rı kü me le rin ele man sa yı la rı nı gös ter sin. Fut bol oy na yan la rın sa yı sı = x + y as ket bol oy na yan la rın sa yı sı = y + z Sa de ce fut bol oy na yan la rın sa yı sı = x Sa de ce bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = z Fut bol ve bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = y Fut bol ve ya bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = x + y + z Hiç bir oyun oy na ma yan la rın sa yı sı = t En az bir oyun oy na yan la rın sa yı sı = x + y + z En çok bir oyun oy na yan la rın sa yı sı = x + z + t n elemanlı bir kümesinin tüm alt kümelerindeki elemanların toplamı n.( kümesinin elemanları toplamı) dır.
Kavram ve Örnekler Konu ES Kümeler ÜNİE = = Ø. = {,,, 4, 5}, = {,, 4} kü me le ri ve ri li yor. şa ğı da ki ler den han gi si yan lış tır? ) = ) = Ø 5. X = {,,, 4, 5, 6, 7} kü me si nin ele man lı alt kü me sa yı sı kaç tır? ) 8 ) 6 C) 4 D) 5 E) 4 C) = D) = {, 5} n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı n E) = {,, 4} r elemanlı alt kümelerin sayısı n n! f p= ( n r)!. r! r n n n n f p + f p+ f p+... + f p= n n. X E ve Y E ol mak üze re, (X Y) Y ifa de si aşa ğı da ki ler den han gisi ne eşit tir? 6. = {x, y, z, t,,, } kü me si nin alt kü me le - ri nin kaç ta ne sin de t ele man ola rak bu lunmaz? ) 8 ) 6 C) D) 64 E) 8 \ = Ø ) X Y ) X Y C) X D) Y E) X Y = {,,, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur, bulunmaz? kümesinden ü atalım. = {,, 4, 5, 6} 4 eleman {,....}. = {x Z x < 4} = {x N (x )(x + )(x ) = } kü me si nin ele man sa yı sı kaç tır? ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. = {,,, 4, 5} kü me si nin alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de bu lu nur, 4 bu lun maz? ) ) 4 C) 8 D) 6 E) nın bulunup bulunmayan alt küme sayısı 4 = 6 dır. 8. X E ve Y E ol mak üze re, 4. lt kü me sa yı sı olan bir kü me nin en çok ele man lı alt kü me sa yı sı kaç tır? ) 4 ) 8 C) 6 D) E) 6 (X Y) X aşa ğı da ki ler den han gi si dir? ) Ø ) X C) Y D) X Y E) X Y ) E ) ) D 4) C 5) D 6) D 7) C 8)
ÜNİE ES Kavram ve Örnekler 9. C = {a, b, c, d, e} kü me si nin alt kü me le ri - nin kaç ta ne sin de c veya e bu lun maz? n elemanlı bir kümenin ) 4 ) 8 C) 6 D) 4 E) r elemanlı alt küme sayısı n n! f p= dir. r ( n r)!. r!. 4 ele man lı bir kü me ile 7 ele man lı bir küme nin bir le şi mi en çok kaç ele man lı olur? ) 4 ) 6 C) 8 D) E) Öz alt küme sayısı : n n n f p = f p r = m V n = m+r r m Özalt kümelerinin sayılarının toplamı 86 olan iki kümenin. X = {a a < 4, a N} kü me si nin eleman lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de ve ele man ola rak bu lu nur? ) ) C) 4 D) 5 E) 6 4. ve s() = 6, s() = ol du ğu na gö re, iki kü me nin ke si şi mi en faz la kaç ele manlı dır? ) ) C) D) 5 E) 6 eleman sayılarının toplamını bulalım. s() = m, s() = n olsun. ( m ) + ( n ) = 86 ise m + n = 88 56 = 8 olduğundan 88 56 = ve = 5 olup s() = 8 ise s() = 5 tir. m + n = 8 + 5 = bulunur.. ele man lı alt kü me sa yı sı ile 6 ele man lı alt kü me sa yı sı bir bi ri ne eşit olan bir küme nin 4 ele man lı alt kü me sa yı sı kaç tır? ) ) C) 64 D) 68 E) 6 5. Özalt kü me sa yı la rı top la mı 58 olan iki kü me nin ele man sa yı la rı top la mı kaç tır? ) 6 ) 8 C) D) E) 4 {,, } K {,,, 4, 5} olacak şekilde kaç K kümesi vardır? Farklı elemanların kümesi {4, 5} ve s({4, 5}) = olup K kümelerinin sayısı = 4 tür.. {a, b, c} M {a, b, c, d, e, f, g} ko şu lu nu sağ la yan kaç farklı M kü me si var dır? ) ) 4 C) 8 D) 6 E) 6. şa ğı da ki ler den han gi si dai ma doğ ru - dur? ) X Ø = X ) Y X = X Y C) X X = Ø D) Ø E = E E) X E = X 4 9) ) ) E ) D ) E 4) D 5) D 6) C
Kavram ve Örnekler Konu ES Kümeler ÜNİE n elemanlı bir kümenin n tane alt kümesi, n tane öz alt kümesi. lt kü me sa yı sı ile özalt kü me sa yı sı çar pı - mı 99 olan bir kü me nin ele man lı alt kü - me le ri nin sa yı sı kaç tır? 5. s() = 4 tür. kü me si nin 5 ele man lı 8 alt kü me si kü me si ni kap sa dı ğı na gö re kü - me si kaç ele man lı dır? bulunur. r elemanlı alt küme sayısı n n! f p= dir. r ( n r)!. r! ) ) 9 C) 8 D) 7 E) 6 ) ) C) 9 D) 8 E) 7 = {a, b, c, d, e, f, k, i} kümesinin kaç alt kümesinde en az bir sesli harf bulunur?. = {,,, 4, 5} kü me si nin alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de en az bir çift sa yı bu lu nur? ) ) 8 C) 4 D) E) 6 6. = {,,, 4, 5, 6, 7} kü me si nin ele man lı kaç alt kü me sin de 4 ve 5 bu lu nur, 7 bu lunmaz? ) ) C) D) 4 E) 5 kümesindeki sessiz harflerin kümesi {b, c, d, f, k} olup 5 elemanlıdır. s() = 8 olup 8 5 = 56 = 4 tane alt kümede en az bir sesli harf bulunur.. = {,,, 4, 5, 6} kü me si nin kaç alt kü - me sin de ve ya 6 dan en az bi ri bu lu nur? ) ) 4 C) D) 6 E) 48 7. = {,,, 4, 5, 6} kü me si nin ele man lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de 6 bu lu nur, bu lun maz? ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 lt küme sayısı ile özalt küme sayısı çarpımı 4 olan küme kaç elemanlıdır? s() = m ise m ( m ) = 4 tır. 4 = 6.5 olduğundan 4. = {,, } ve = {,,, 4, 5, 6, 7} ise M ola cak şe kil de ve kü me - le rin den fark lı kaç M kü me si yazılabilir? ) ) C) D) E) 4 8. s( \ ) = 4s( \ ), s( ) = ve s( ) Ø ise en az kaç ele man lı dır? m = 6 = 4 ise m = 4 bulunur. ) ) C) D) 4 E) 5 ) ) C ) E 4) E 5) 6) D 7) 8) 5
ÜNİE ES Kavram ve Örnekler 9. = {x : x < 4, x N} kü me si nin kaç ele - ma nı 5 ve ya 6 ile bö lü ne bi lir? n elemanlı bir kümenin r elemanlı ) 75 ) 8 C) 85 D) E) alt küme sayısı n n! f p= r ( n r)!. r! dir.. \ = {a, b, c}, = {e, f} ve \ = {d} ise nin ele man lı alt kü me le ri nin sa yı - sı kaç tır? ) 5 ) C) 5 D) E) 5 n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı n dir.. ve kü me le ri nin alt kü me sa yı la rı nın çar pı mı 5, nin özalt kü me sa yı sı, \ nın en çok iki ele man lı alt kü me sa - yı sı 7 ise kaç ele man lı dır? ) ) C) D) 4 E) 5 4. = {a, b, c, d, e, f} kü me si nin ele man lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de a ol du ğu hal de f yok tur? ) ) 4 C) 6 D) 8 E) = {x : x 5, x N + } kümesinin veya 4 ile bölünebilen kaç elemanı vardır? 5 66 5 4 5 OKEK (, 4) = 5 4 s( 4) = s() + s(4) s( 4) = 66 + 5 4 = 5 dir.. kü me si nin ele man sa yı sı art tı rıl dı ğın da alt kü me sa yı sı 96 ar tı yor. kü me si nin alt kü me sa yı sı kaç tır? ) 4 ) 8 C) 6 D) E) 64 5. = {,,, 4, 5, 6, 7} kü me si nin ele man - lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de, 4, 5 bulun maz? ) ) C) D) 4 E) 5 5 elemanlı bir kümenin ten çok elemanlı alt küme sayısı 5 5 f p + f p = 5+ = 6 dır. 4 5. 6 ele man lı bir kü me nin 4 ten az ele man lı alt kü me le ri nin sa yı sı aşa ğı da ki ler den han gi si dir? ) 7 ) 4 C) D) 4 E) 45 6. 7 ele man lı bir kü me nin n ele man lı alt kü me le ri nin sa yı sı ise n ele man lı alt kü me sa yı sı han gi si ola bi lir? ) ) 7 C) 4 D) E) 5 6 9) E ) ) D ) D ) D 4) C 5) D 6) D
Kavram ve Örnekler Konu ES Kümeler ÜNİE n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı n dir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı n n! f p= dir. r ( n r)!. r!. s( ) =, s( \ ) = s( \ ) +, s( ) = 6s( \ ) + ise s() kaç tır? ) 6 ) C) 8 D) 4 E) 5. Ø dir. Özalt kü me sa yı sı n olan bir kü - me si nin ele man sa yı sı ka tı na çı ka rı lır sa özalt kü me le ri nin sa yı sı kaç ka tı na çı kar? ) n ) n + n C) (n + ) D) n + n E) n + n +. X ve Y, E ev ren sel kü me si nin iki alt kü me si ve s(x) + s(y) = 4, X Ø olmak üzere, 6. E C s(y \ X) en çok kaç ola bi lir? ) 4 ) C) D) E) a ra lı böl ge aşa ğı da ki ler den han gi si ile ifa - de edi le bi lir? s( \ ) = s( \ ) = 5 Ø olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı en az kaçtır? ) ( ) \ C ) ( ) \ C C) ( ) C D) ( \ ) C E) (C ) Ø ise nin alt küme sayısının en az olması için s( ) = alınır.. s( ) = 5, s() = 9 ol du ğu na gö re, kü me si nin ele man sa yı sı en az kaç - tır? ) 9 ) 8 C) 7 D) 6 E) 5 7. kü me ler ke li me si nin harf le ri kul la nı la rak oluş tu ru lan bir kü me nin ele man lı alt kü - me le ri nin kaç ta ne sin de m bu lu nur, e bulun maz? ) ) C) D) 4 E) 5 5 s( ) = 9 alt küme sayısı 9 = 5 dir. 4. s( ) = 5, s() = s() ve s( ) = ise s() + s() toplamı kaçtır? ) 6 ) 4 C) D) E) 8 8. ile kü me le ri için kü me si nin özalt kü - me sa yı sı 7, kü me si nin özalt kü me sa yı sı 7 dir. kü me si nin 64 alt kü me si ol du ğu na gö re, \ kaç ele man lı dır? ) ) C) D) 4 E) 5 ) C ) ) 4) 5) E 6) 7) D 8) 7
ÜNİE ES Kavram ve Örnekler 9. n ele man lı bir kü me nin ele man lı alt kü - me le rin den olu şan kü me nin ele man lı alt n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı, ) 7 ) 6 C) 5 D) 4 E) kü me le ri sa yı sı 9 ise n ne dir? n n! f p= dir. r ( n r)!. r!. s( \ ) = 6 x, s( \ ) = 4x + 4 s( \ ) = 8 x ise s( ) ne dir? ) 6 ) C) 5 D) 8 E) nin eleman sayısı yorumlanırken s( ) nin maksimum olması için, s( ) = s()+s() s( ) minimum alınır. s( ) nin minimum olması için, s( ) = s()+s() s( ) maksimum alınır.. ir kü me nin 4 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı, ele man lı alt kü me le ri sa yı sı na eşit tir. u kü me nin en az 4 ele man lı kaç alt kü - me si var dır? ) 8 ) 9 C) D) E) 4. s( \ ) = 4 ve s( ) = dir. s() < s() ol du ğu na gö re, s( ) en çok kaç tır? ) ) C) 4 D) 5 E) 6 a b c a, b, c bulundukları bölgenin eleman sayısı olmak üzere, s() = a + b s() = b + c s( ) = a s( ) = c s( ) = b s( ) = a + b + c dir.. ir kü me nin ele man lı alt kü me le ri sa yı sı, 5 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı na eşit tir. u kü me nin en çok ele man lı alt kü me sa yı sı ne dir? ) 9 ) 9 C) 9 D) 9 E) 94 5. ve kü me le ri için s() = 6 ve s() = ise kü me si nin ele man sa yı sı en çok x, en az y ise x + y toplamı kaç tır? ) 6 ) 5 C) 4 D) E) = {x: 5x > 4, x Z} olup nın tümleyeninin eleman sayısı kaçtır? = {x: 5x 4, x Z} 5x 4 4 5x 4 5x 5 5 x x Z x {,,,,, } olup s( ) = 6 dır.. = {x : < x <, x = n, n Z} = {x : < x < 4, x = 5m, m Z} ise s( ) kaç tır? ) ) C) D) 4 E) 5 6. = {x Z : x > 8} ve kü me si nin tüm le ye ni olmak üzere, kü me si nin ele man sa yı sı kaç tır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 8 9) ) E ) D ) ) D 4) 5) 6)
Kavram ve Örnekler Konu ES Kümeler 4 ÜNİE a b c d E ve aktivitesini yapanların ve yapamayanların sayıları. 6 ki şi lik bir kız öğ ren ci gru bun da ba zı la rı es - mer, ba zı la rı sa rı şın, ba zı la rı ye şil göz lü, ba - zı la rı ma vi göz lü dür. öğ ren ci ma vi göz lü sa rı şın, 44 öğ ren ci es mer ve 4 öğ ren ci ye şil göz lü ol du ğu na gö re ma vi göz lü es mer kaç kız öğ ren ci var dır? 5. ir sı nıf ta ki öğ ren ci le rin % 5 si ürk çe den, % 6 ı kim ya dan ba şa rı lı dır. Her iki ders ten de ba şa rı lı olan öğ ren ci ol du ğu na gö re bu sı nı fın mev cu du kaç tır? ) 5 ) 5 C) 6 D) 75 E) a, b, c, d dir. ) 8 ) C) D) 4 E) 6 yı yapan a + b yi yapan b + c Sadece yı yapan a Sadece yi yapan c ve yi yapan b ve yi yapmayan d veya yi yapan a + b + c En az birini yapan a + b + c. ir sı nıf ta ki öğ ren ci den ta ne si hent bol, 9 ta ne si bas ket bol oy na ma yı bi li yor. Sı nıf ta hem hent bol hem de bas ket bol oyna ma yı bil me yen ki şi ol du ğu na gö re, her iki oyu nu da oy na ma yı bi len kaç öğ - ren ci var dır? 6. ir sı nıf ta bi yo lo ji den ka lan lar, ma te ma tikten ka lan lar ki şi dir. En çok bir ders ten ge çen le rin sa yı sı 6 ise iki ders ten de ka lan la rın sa yı sı kaç tır? ) ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 En çok birini yapan a + c + d Yalnız birini yapan a + c 4 kişilik bir sınıfta 6 kişi matematik dersinden 8 kişi fizik dersinden başarılıdır. 6 kişi de her iki dersten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan kaç kişi vardır? ) 5 ) 4 C) D) E). ki şi lik bir sı nıf ta ki şi bas ket bol, 8 ki şi futbol, 4 ki şi de hem bas ket bol hem de fut bol oy - nu yor. Her iki si ni de oy na mayan kaç ki şi var dır? ) ) C) D) E) 4 7. 45 ki şi lik bir sı nıf ta sat ranç bi len ve bil me yen kız la rın sa yı sı eşit tir. Sat ranç bi len kız la rın sa - yı sı, sat ranç bil me yen er kek le rin sa yı sı nın 4 ka tı dır. Er kek le rin sa yı sı kız la rın sa yı sın dan 9 ek - sik ol du ğu na gö re, bu sı nıf ta sat ranç bi len er kek öğ ren ci sa yı sı kaç tır? ) 9 ) C) D) 5 E) 6 M F 6 Yukarıdaki kümeyi inceleyiniz. Her iki dersten başarısız olan öğrenci vardır. 4. Her ke sin en az bir dil bil di ği bir sı nıf ta İn gi liz - ce bi len le rin sa yı sı, l man ca bi len le rin sa yı - sı nın ka tı dır. Her iki di li bi len ki şi var dır. u sı nıf ta 48 öğ ren ci ol du ğu na gö re, sa de - ce İn gi liz ce bi len kaç ki şi var dır? ) ) C) D) 4 E) 5 8. İn gi liz ce ve kim ya ders le ri nin en az bi rin den ba şa rı lı olan öğ ren ci le rin bu lun du ğu bir sı nıf - ta öğ ren ci le rin % u in gi liz ce, % 9 ı da kim - ya ders le rin den ba şa rı lı ol muş tur. 5 öğ ren ci yal nız İn gi liz ce der sin den ba şa - rı lı ise, sı nıf ta ki öğ ren ci sa yı sı kaç tır? ) ) 5 C) D) 4 E) 5 ) ) E ) E 4) C 5) E 6) 7) 8) E 9
ÜNİE ES Kavram ve Örnekler 9. ir sı nıf ta fi zik ten ge çen le rin sa yı sı 4, ürk - çe den ge çen le rin sa yı sı 8, hem fi zik hem. soruya yol gösterme Kız : K, Erkek : E Matematikten başarılı : M ürk çe den ge çen le rin sa yı sı 6 ol du ğu na gö - re, bu sı nıf ta ürk çe ve ya fi zik ten kaç öğ - ren ci geç miş tir? Matematikten başarısız : M ) 8 ) 4 C) D) 6 E) 4 olmak üzere aşağıdaki tablo kolaylık sağlar. 4. 6 kiş lik bir sı nıf ta ma te ma tik der sin den kız öğ ren ci le rin si ba şa rı lı, er kek öğ ren ci le rin 6 sı ba şa rı sız ol muş tur. a şa rı lı er kek öğ renci le rin sa yı sı, ba şa rı sız kız öğ ren ci le rin sa yı - sı nın ka tı dır. u sı nıf ta ki er kek öğ ren ci sa yı sı kaç tır? ) 6 ) 8 C) D) E) 4 M M K X E x 6 Eğer bir grupta iki şeyi yapanların % oranları veriliyorsa, örneğin. soru için Venn şemasına şöyle bir yerleştirme yapılır.. l man ca ve Fran sız ca dil le rin den en az bi ri - nin zo run lu okun du ğu bir sı nıf ta 6 öğ ren ci var dır. l man ca oku yan lar Fran sız ca oku - yan la rın ka tı dır. Her iki di li de oku yan lar 6 ki şi ise yal nız Fran sız ca oku yan kaç ki şi var dır? ) 6 ) 8 C) D) E) 4 4. İtal yan ca ve in gi liz ce dil le rin den en az bi ri ni bi len le rin oluş tur du ğu ki şi lik bir sı nıf ta, İtal yan ca bi len le rin sa yı sı, yal nız ca İn gi liz ce bi len le rin sa yı sı nın ka tın dan faz la dır. u sı nıf ta yal nız İn gi liz ce bi len kaç ki şi var dır? X Y x x 4x ) 7 ) 8 C) 9 D) E) %6 ve %7 ten 6 + 7 = toplamından çıkarılarak bulunur. İngilizce ve lmanca dillerinden en çok birini bilen kişilik bir sınıfta, İngilizce bilmeyen, lmanca bilmeyen, yalnız bir dil bilenler 8 kişi ise. as ket bol ve ya vo ley bol oy na yan lar dan olu - şan bir grup ta, bas ket bol oy na yan la rın sa yı - sı, vo ley bol oy na yan la rın sa yı sı nın ka tı dır. Yal nız bas ket bol ile yal nız vo ley bol oy na yanla rın sa yı la rı nın top la mı, her iki si ni de oy na - yan la rın sa yı sı nın 4 ka tı dır. u grup ta en az kaç ki şi var dır? 5. ir sı nıf ta fi zik ve ya kim ya der sin den bü tünle me ye ka lan lar, fi zik ten ka lan lar kim ya - dan ka lan la rın üç ka tı ve her iki sin den ka lan lar ki şi ol du ğu na gö re, yal nız kim ya - dan ka lan kaç ki şi dir? ) ) C) 4 D) 5 E) 6 her iki dili de bilen kaç kişi vardır? ) ) 4 C) 5 D) 6 E) 8 x y z z + t = x + t = + x + z = 8 (x + z + t) = x + z + t = 5, x + y + z + t = t. ir sı nı fın % 6 ı X der sin den, % 7 i Y dersin den bü tün le me ye kal mış tır. X ve Y der sinden bü tün le me ye ka lan ki şi var dır. X ve Y den ge çen ol ma dı ğı na gö re, yal nız X ten bü tün le me ye ka lan kaç ki şi var dır? 6. 6 ki şi nin ya ban cı dil bil me di ği bir sı nıf ta di - ğer öğ ren ci ler İn gi liz ce, İtal yan ca dil le rin den en az bi ri ni bil mek te dir. İn gi liz ce bil me yen le rin sa yı sı ile İtal yan - ca bil me yen le rin sa yı sı nın top la mı 8 ise bu sı nıf ta yal nız bir dil ko nu şa bi len le rin sa yı sı ne dir? ise y = 5 bulunur. ) ) C) D) E) ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9) D ) ) C ) ) 4) 5) 6) C
Kavram ve Örnekler Konu ES Kümeler 5 ÜNİE a b c d E ve aktivitesini yapanların. ir sı nıf ta ki öğ ren ci ler en az bir di li bil mek tedir. u sı nıf ta ki öğ ren ci le rin ü Fran sız ca, si in gi liz ce bil mek te dir. Her iki di li de bi len 6 öğ ren ci ol du ğu na gö - re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir? 5. 84 ki şi lik bir grup ta er kek sa yı sı, ka dın sa yı - sın dan faz la dır. Grup ta 6 göz lük süz er kek ol du ğu na gö re, kaç göz lük lü er kek var dır? ) ) 5 C) D) 6 E) 4 ve yapamayanların sayıları a, b, c, d dir. ) ) 8 C) 4 D) E) 6 yı yapan a + b yi yapan b + c Sadece yı yapan a Sadece yi yapan c ve yi yapan b ve yi yapmayan d veya yi yapan a + b + c En az birini yapan a + b + c En çok birini yapan a + c + d Yalnız birini yapan a + c. ki şi lik bir sı nıf ital yan ca ve is pan yol ca dille rin den en az bi ri ni ko nu şan öğ ren ci ler den olu şu yor. Yal nız bir dil ko nu şan la rın sa yı sı, iki dil ko - nu şan la rın sa yı sı na eşit se her iki di li de ko nu şan kaç öğ ren ci var dır? ) ) 5 C) 8 D) E) 4 6. En az bir ya ban cı dil bi len le rin bu lun du ğu bir grup ta Fran sız ca bi len le rin hep si İtal yan ca, İtal yan ca bi len le rin hep si İn gi liz ce bil mek te dir. Fran sız ca bil me yen ler, İtal yan ca bil me yenle rin 4 ka tı ise sa de ce iki ya ban cı dil bi lenler sa de ce bir ya ban cı dil bi len le rin kaç ka tı dır? ) ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ir topluluktaki kişiler Fransızca, İngilizce, lmanca dillerinden en az birini bilmekte ve İngilizce bilenler lmanca bilmemektedir. u toplulukta Fransızca bilmeyen, İngilizce bilmeyen, lmanca bilmeyen 8, yalnız iki dil bilen 6 kişi olduğuna göre bu toplulukta sadece bir dil bilen kaç kişi vardır? F x a y b x + z = a+b = 6 y + b + z = + x + a + y = 8 (x + y + z) + a + b = 6 x + y + z = bulunur. z. ir grup ta Fran sız ca bi len ler gru bun % 6 ı, l man ca bi len ler gru bun % 8 i ve yal nız lman ca bi len 4 ki şi var dır. u grup ta yal nız Fran sız ca ko nu şan kaç ki şi var dır? ) ) 5 C) D) 5 E) 4. 6 ki şi lik bir top lu luk ta ma te ma tik bi len ler M, in gi liz ce bi len ler İ kü me si dir. s(m İ) = 4 ise s((m İ) ) kaç tır? ) 8 ) C) D) E) 7. ir grup ta İn gi liz ce ve l man ca bi len ler le hiç - bi ri ni bil me yen ler bu lun mak ta dır. En çok bir dil bi len ler, en az bir dil bi len le rin üç ka tı, hiç dil bil me yen ler, her iki di li bi len le rin 4 ka tı ve bir dil bi len ler 6 ki şi ise bu grup kaç ki şi dir? ) ) 44 C) 5 D) 6 E) 66 8. ir spor cu gru bun da hent bol ve vo ley bol oyna yan lar ve oy na ma yan lar var dır. Hent bol oyna yan la rın hep si vo ley bol oy na ya bil mek te dir. Hent bol oy na yan la rın sa yı sı vo ley bol oy na - yan la rın sa yı sı nın si dir. s(h V ) = ve s(v ) = s(h) ise grup ta kaç ki şi var dır? ) ) 5 C) D) E) 4 ) E ) ) C 4) D 5) E 6) 7) E 8) E
ÜNİE ES Kavram ve Örnekler 9. 6 ki şi lik bir sı nıf ta 5 ki şi İn gi liz ce, ki şi ir sınıftaki öğrencilerin % 6 ı Matematik, % 7 i Fizik, % 4 ı Fran sız ca, 6 ki şi de her iki di li bil mek te dir. u sı nıf ta bu dil le rin hiç bi ri ni bil me yen kaç ki şi var dır? her iki dersten başarılıdır. ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 u sınıftaki öğrencilerin tanesi her iki dersten de başarısız olduğuna göre, sınıfta kaç öğrenci vardır? 5. 4 ki şi lik bir grup ta l man ca bi len le rin sa yı - sı, İn gi liz ce bil me yen le rin sa yı sı, en çok bir dil bi len le rin sa yı sı 4 ol du ğu na gö re, her iki di li de bil me yen le rin sa yı sı ne dir? ) 5 ) 6 C) 8 D) E) M F x 4x x x x Sınıf : x olsun. s(m F) = 4x s(m) = 6x s(f) = 7x. 5 ki şi lik bir sı nıf ta in gi liz ce bi len le rin sa yı sı l man ca bi len le rin sa yı sı nın ka tı dır. u sı - nıf ta 5 ki şi bu dil le rin iki si ni de bil memek tedir. İki dil bi len ki şi ol du ğu na gö re, yal nız - ca İn gi liz ce bi len kaç ki şi var dır? ) ) C) 5 D) E) 5 4. ir spor cu gru bun da bas ket bol oy na ma yanlar, hent bol oy na ma yan lar ki şi dir. u spor lar dan hiç bi ri ni yap ma yan lar 6, her iki spo ru da ya pan lar 8 ki şi ol du ğu na gö re, bu grup ta hent bol ve ya bas ket bol oy na yan kaç ki şi var dır? ) ) 8 C) D) 4 E) 6 olup her iki dersten başarısız x kişi x = x = ve sınıf =. = kişi vardır. İngilizce, Fransızca ve lmanca dillerinden en az birinin konuşulduğu 4 kişilik bir toplulukta her üç dili konuşan, yalnız iki dil konuşan kişi ol-. ir sı nıf ta fut bol ve ya te nis oyun la rın dan en az bi ri ni oy na yan 4, yal nız bi ri ni oy na yan 8, en çok bi ri ni oy na yan öğ ren ci var dır. u na gö re bu sı nıf ta kaç ki şi var dır? ) 6 ) C) 6 D) E) 8 5. ir sı nıf ta ki öğ ren ci le rin % 75 i ma te ma tikten, % 5 si fi zik ten ba şa rı sız olup her iki ders ten ba şa rı lı öğ ren ci yok tur. u sı nıf ta öğ ren ci her iki ders ten de ba şa rı sız ise sı nıf mev cu du kaç ki şi dir? ) 4 ) C) 6 D) 4 E) 48 duğuna göre, yalnız bir dili konuşan kaç kişi vardır? F c y b x z a a + b + c + x y z + = 4 \ a + b + c = dir.. ir sı nıf ta ki 4 kız öğ ren ci den 6 sı ba şa rı lı - dır. Er kek le rin % 4 ı ve sı nı fın % 8 i ba şa - rı lı ise bu sı nıf ta kaç er kek öğ ren ci var dır? ) ) C) D) 4 E) 5 6. İn gi liz ce ve l man ca dil le ri nin ko nu şul du ğu bir sı nıf ta kız ve 5 er kek var dır. Sı nıf ta kız ve 8 er kek İn gi liz ce, 6 kız ve 8 er kek l man ca ko nuş mak ta dır. u sı nıf ta kaç öğ ren ci sa de ce l man ca ko nuş mak ta dır? ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9) C ) ) C ) ) C 4) 5) E 6) E
Kavram ve Örnekler Konu ES Kümeler 6 ÜNİE a b c d E ve aktivitesini yapanların ve yapamayanların sayıları. ir sı nıf ta ede bi yat ve ta rih ders le rin den yalnız bi rin den ge çen ler 5, en az bi rin den ge - çen ler, en çok bi rin den ge çen ler 5 ki şi ol du ğu na gö re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir? ) 5 ) C) 5 D) 4 E) 45 5. 5 ki şi lik bir sı nıf ta yal nız Fran sız ca ve yal nız İtal yan ca ko nu şan la rın top la mı her iki di li de ko nu şan la rın 4 ka tı dır. 5 ki şi her iki di li de ko nu şa ma dı ğı na gö re yal nız bir di li ko nu şan kaç ki şi dir? ) ) 6 C) D) 4 E) 8 a, b, c, d dir. yı yapan a + b yi yapan b + c Sadece yı yapan a Sadece yi yapan c ve yi yapan b ve yi yapmayan d veya yi yapan a + b + c En az birini yapan a + b + c En çok birini yapan a + c + d. 4 ki şi lik bir top lu luk İtal yan ca ve ya İn gi liz ce dil le rin den en az bi ri ni bi len ler den oluş mak ta - dır. u top lu luk ta İtal yan ca bi len ler, İn gi liz ce bi len le rin ka tı ol du ğu na gö re, sa de ce İn gi - liz ce bi len kaç ki şi var dır? ) ) C) D) 4 E) 5 6. 6 ki şi lik bir sı nıf ta sa de ce kim ya dan ka lan la - rın sa yı sı, sa de ce bi yo lo ji den ka lan la rın sa yı - sı ve bu iki ders ten de ge çen le rin sa yı sı eşit tir. u sı nıf ta hem kim ya dan hem de bi yo lo jiden ka lan la rın sa yı sı aşa ğı da ki ler den han - gi si ol amaz? Yalnız birini yapan a + c ) 9 ) C) 8 D) E) 4 Matematik, Fizik ve Kimya derslerinden bütünlemeye kalanlarla doğrudan geçenlerin oluşturduğu bir öğrenci grubunda en az iki dersten bütünlemeye kalan 9, en çok bir dersten bütünlemeye kalan kişi, en çok iki dersten bütünlemeye kalan 45 kişi vardır. una göre, üç dersten de bütünlemeye kalan kaç öğrenci vardır?. P ve ga ze te le rin den en az bi ri ni ta kip edenler den olu şan bir sı nı fın % 4 ı P ga ze te si ni, % 8 i ga ze te si ni alı yor. İki ga ze te yi de ta kip eden ki şi ol du ğu na gö re, sı nı fın mev cu - du kaç ki şi dir? ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. ir sı nıf ta hem fut bol hem vo ley bol oy na yanla rın sa yı sı 5, fut bol ve ya vo ley bol dan en az bi ri ni oy na yan la rın sa yı sı 5 tir. Fut bol oy na - yan la rın sa yı sı, vo ley bol oy na yan lar dan 4 faz - la ol du ğu na gö re, bu sı nıf ta fut bol oy na yan kaç ki şi var dır? ) ) C) D) E) 4 M F a y b E t x d c z x + y + z + d = 9 + a + b + c + t = s(e) = 49 x + y + z + a + b + c + t = 45 d = s(e) 45 d = 49 45 = 4 tür. K 4. X ve Y ro man la rın dan en az bi ri ni oku yan ki - şi ler den % 5 si X ro ma nı nı, % 6 ı Y ro ma - nı nı oku muş tur. İki ro ma nı da oku yan la rın sa yı sı 5 ol du ğu - na gö re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir? ) 5 ) 5 C) 4 D) 45 E) 5 8. 5 ki şi nin ya ban cı dil bil me di ği bir sı nıf ta di ğer öğ ren ci ler, l man ca, İn gi liz ce dil le rin den en az bi ri ni bil mek te dir. l man ca bil me yen le rin sa yı sı ile İn gi liz ce bil me yen le rin sa yı sı nın top - la mı dir. u sı nıf ta tek bir dil ko nu şa bi len le rin sa yı - sı ne dir? ) 5 ) C) 5 D) E) 5 ) ) C ) 4) E 5) D 6) D 7) C 8)
ÜNİE ES Kavram ve Örnekler 9. ir sı nıf ta ki öğ ren ci ler en az bir di li bil mek te- 69 kişilik bir sınıfta 7 kişi matematikten, kişi fizikten, dir. u sı nıf ta ki öğ ren ci le rin ü İn gi liz ce, i 5 Fran sız ca bil mek te dir. kişi de kimyadan geçmiştir. unlardan 6 sı yalnız matematikten, Her iki di li de bi len 8 öğ ren ci ol du ğu na gö re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir? 5 i yalnız fizikten, 8 i yal- nız kimyadan ve 4 kişi de her ) ) 5 C) 9 D) 8 E) 75 üç dersten de geçmiştir. Yalnız matematik ve fizikten geçen kaç kişi vardır? 6. En az bir ya ban cı dil bi len le rin bu lun du ğu bir grup ta İn gi liz ce bi len le rin hep si Fran sız ca, Fran sız ca bi len le rin hep si l man ca bil mekte dir. İn gi liz ce bil me yen ler, Fran sız ca bil me - yen le rin 6 ka tı ise sa de ce iki ya ban cı dil bi len ler sa de ce bir ya ban cı dil bi len le rin kaç ka tıdır? ) ) C) D) 4 E) 5 M F 6 y 5 x 4 8 z + x + y = 7 9 + y + z = + + z + x = + (x + y + z) = 69 x + y + z = 9 x + z = = 8 olduğundan y = 9 8 = K. 48 ki şi lik bir sı nıf Fran sız ca ve İtal yan ca dille rin den en az bi ri ni ko nu şan öğ ren ci ler den olu şu yor. Yal nız bir dil ko nu şan la rın sa yı sı, iki dil ko nu şan la rın sa yı sı nın üç ka tı dır. Her iki di li de ko nu şan kaç öğ ren ci var - dır? ) ) 8 C) 4 D) E) 6 4. ir spor cu gru bun da vo ley bol ve hent bol oyna yan lar ve oy namayan lar var dır. Vo ley bol oy na yan la rın hep si hent bol oy na ya bil mek te - dir. Vo ley bol oy na yan la rın sa yı sı hent bol oyna yan la rın sa yı sı nın si dir. s(v H ) = ve s(h ) = s(v) ise grup ta kaç ki şi var dır? ) ) 5 C) D) 5 E) 4 bulunur. kişilik bir grubunda herkes futbol, voleybol ve su topu sporlarından en az birini yapmaktadır. Yalnız birini yapan sporcu sayısı 6 ve yalnız ikisini yapan sporcu sayısı 8 olduğuna göre, her üç sporu yapan kişi sayısı kaçtır? F a y b V. ir grup ta l man ca bi len ler gru bun % 6 ı, Fran sız ca bi len ler gru bun % 7 i ve yal nız Fran sız ca bi len 6 ki şi var dır. u grup ta yal nız l man ca bi len kaç ki şi var dır? ) 45 ) 65 C) 7 D) 75 E) 8 5. ir grup ta l man ca ve Fran sız ca bi len ler le hiç bi ri ni bil me yen ler bu lun mak ta dır. En çok bir dil bi len ler, en az bir dil bi len le rin üç ka tı, hiç dil bil me yen ler her iki di li de bi len le rin dört ka tı ve bir dil bi len ler 8 ki şi ise bu grup kaç ki şi dir? ) 75 ) 8 C) 8 D) 88 E) 9 x d c a + b + c = 6 x + y + z = 8 ve tüm sporcuların sayısı z a+ b+ c+ x+ y+ z+ d = \ \ 6 8 6 + 8 + d = ise d = 6 dır. S. 75 ki şi lik bir grup ta sa rı şın ka dın la rın sa yı sı, es mer ka dın la rın sa yı sı nın üdür. Grup ta - 4 ki er kek sa yı sı, ka dın sa yı sın dan 5 faz la dır. Grup ta 5 sa rı şın er kek ol du ğu na gö re kaç es mer er kek var dır? ) ) C) 4 D) 6 E) 4 6. 45 ki şi lik bir sı nıf ta ki şi Fran sız ca, 5 ki şi İn gi liz ce, 6 ki şi de her iki di li bil mek te dir. u sı nıf ta bu dil le rin hiç bi ri ni bil me yen kaç ki şi var dır? ) ) 4 C) D) E) 6 4 9) ) ) ) E ) E 4) E 5) D 6) E
KREZYEN ÇRPIM KONU ÖZEI ÜNİE Sıralı İkili Sıralı n-li Matematikte bazı durumlarda yazılış sırası önemlidir. Herhangi iki a, b elemanının yazılış sırası önemli olmak üzere, a ve b eleman la rı nın (a, b) bi çi min de ya zıl masıy la el de edi len ele ma na sı ra lı iki li ve ya kı sa ca iki li de nir. (a, b) sı ra lı iki li sin de a ya bi rin ci bi le şen, b ye ikin ci bi le şen de nir. (a, b) (b, a) dır. (a, b) sı ra lı iki li (a, b, c) sı ra lı üç lü...... (a, a,..., a n ) sı ra lı n li dir. (a, b) = (c, d) + a = c ve b = d (a, b, c) = (x, y, z) + a = x, b = y, c = z Kartezyen Çarpım ve boş ol ma yan her han gi iki kü me ol mak üze re, x = {(x, y) : x ve y } kü me si ne ile nin kar tez yen çar pımı de nir. x =, x x =,... x x ( x ) x C = x ( x C) x ( C) = ( x ) ( x C) x ( C) = ( x ) ( x C) s( x ) = s().s() s( x x C) = s().s().s(c)... 5
ÜNİE Kavram ve Örnekler Konu ES Kartezyen Çarpım (x, y, z) = (a, b, c) ise x = a, y = b, z = c dir.. (x, 8 x+ ) = (y, 5) olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? ) ) C) D) 4 E) 5 5. Y Yandaki grafikte X x Y kümesi verilmiştir. X una göre X Y kümesi nedir? x = {(x, y) : x ve y } ) (, ) ) [, ] C) [, ) D) (, ) E) (, ) ( x+, y, 5 z ) = (8, 9, 5). c,, a ( 64, y, x y) 8x m= + eşitliğinde x, y, z sayılarını bulalım. Sıralı üçlülerin eşitliğinden x+ = 8 = olduğuna göre, a kaçtır? ) ) C) D) E) 6. = {, }, = {x, y} ve C = {y, z} ise ( x ) ( x C) aşa ğı da ki ler den han gi si - dir? x + = x = ) {(, y)} ) ({, y}, {, y}) y = 9 = y = y = 5 z = 5 = 5 z = bulunur. ( x ) ( x C) = x ( C). x = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {, } ) {} C) {, } D) {, } E) {} C) ({, y}, {y, }) D) ({, y}) E) ({y, }, {y, }) 7. x={(a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, )} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {, } ) {a, } C) {a, } D) {,, a} E) {, a, b} s( x ) = s( x ) = s(). s() = {x : x 5, x N} ise = {,,,, 4, 5} 4. Yandaki grafikte x kümesi verilmiştir. 4 una göre kümesi nedir? ) (, ] ) (, ] C) (, ) D) (, ] E) (, ) 8. = {x x 4, x N} = {,, } olduğuna göre, x kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 ) C) 5 D) E) 5 6 ) D ) ) 4) 5) 6) 7) 8) C
ES Kavram ve Örnekler 9. = {,, }, = {, } olduğuna göre, x nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si - = [, ] dir? = [4, 9] ) ) olsun. x nin grafiği çizildiğinde oluşan kapalı bölgenin alanını bulalım.. = [4, 8] ve = [, 6] kümeleri veriliyor. x nin gra fi ği çi zil di ğin de olu şan bölge nin alanı kaç birimkaredir? ) 5 ) C) 5 D) E) 5 ÜNİE = [, ] kapalı aralık, nın uzunluğu ( ) = 4 birim, kapalı aralık, nin uzunluğu 9 4 = 5 birim olup oluşan ka- C) D). = [, 4] ve = [, ] kümeleri veriliyor. x nin gra fi ği çi zil di ğin de olu şan bölge nin alanı kaç birimkaredir? ) ) 4 C) 6 D) 8 E) palı bölgenin alanı, 4.5 = birimkaredir. E). = {,}, x = {, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, c)} s() = n ise s( x ) = s(). s() = n.n olduğuna göre, kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) ) C) D) 4 E) 5 = n. = [, ) ve = {,, } kümeleri veriliyor. x nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si - dir? s() ve s() birer doğal sayıdır. ) ) 4. s( x ) = 5 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) ) C) 4 D) 5 E) 5 C) D) s() = n ise nın m elemanlı alt kümelerinin sayısı n n! f p = m ^n mh!. m! olur. E) 5. = {,, } olduğuna göre, x kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) 9 ) 6 C) 8 D) 9 E) 6 9) ) ) D ) ) C 4) C 5) E 7
ÜNİE Kavram ve Örnekler Konu ES Kartezyen Çarpım (x, y, z) = (a, b, c) ise x = a, y = b, z = c. (a + 6, b ) = (, 4) ise a + b toplamı kaçtır? ) ) C) 4 D) 5 E) 6 5.,, C kümeleri için = {b, } C = {,,, 4} olduğuna göre x ( C) kü me si nin ele man sa yı sı en az kaç tır? ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 s( x ) = s().s(). ^ a +, b, c+ h = (,, b + c) ise a.b.c çarpımı kaçtır? 6. = {, }, = [, 4] iken x nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? x ( C) = ( x ) ( x C) x ( C) = ( x ) ( x C) ) 8 ) 6 C) D) 6 E) 8 ) ) 4 C) D) 4 s() = n, s() = m s(c) = P vedildiğinde ( x ) ( x C) kümesinin y. b 8, l x = (, ) ise x.y çarpımı kaçtır? ) 4 ) C) 4 D) E) 4 E) 4 4 eleman sayısının en az olması için x ( C) ifadesinde s( C) = alınır. Yani C = Ø olmalıdır. 4. s() = 5, s() = 6, s(c) = 8 olduğuna göre, ( x ) ( x C) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? ) 7 ) 5 C) 4 D) 7 E) 84 7. s() =, s() = 5, s(c) = 6 olduğuna göre, ( x ) ( x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir? ) ) C) D) E) 4 8 ) ) C ) C 4) D 5) E 6) 7)
Kavram ve Örnekler 8. = [, ] ve = (, ) ise = {x : x < 9, x R} olsun. < x < = (, ) olur. s[ x ( C)] = s(). s( C) dir. x < 9 & x < 9 x nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si - dir? ) ) C) D) E) ES. = {x : x, x R} = {x : x < 4, X R} kümeleri veriliyor. x kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) y y y C) y D) y y y E) y ÜNİE = [, ] ise x x y = [, ) = [, ) ise x nin grafiği 9. X = {a, b, c, d}, Y = {,, 4}, Z = {5, d} ise Y x (X Z) nin eşi ti aşa ğı da ki ler den han - gi sidir? ) {(, d), (d, )} ) {(, d), (, d), (4, d)} C) {(, d), (4, d), (5, d)} D) {(, d), (d, 5)} E) {(d, 4), (d, )}. x = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} C x D = {(, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 8)} ise s( C) kaçtır? ) ) C) D) 4 E) 5.,, C kümeleri için = {a, } C = {a, b, c} ve olduğuna göre, x ( C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) ) C) 4 D) 5 E) 6. s( ) = 4 s[( ) x ] = s[ x ( )] olduğuna göre, s( ) aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) 8 ) 9 C) D) E) 4 8) C 9) ) E ) E ) ) 9
ÜNİE YZILIY HZIRLIK SORULRI. \ C = {a, b, c, d} ve \ C = {a, b, } olduğuna göre, ( ) \ C kümesini bulunuz. 6. \ = {a, b, c, d} = {e, f} \ = {g, h} ise nin elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? {a.b}. s( ) = 4, s( \ ) = s( \ ) + 4 ( 56 ) s( ) =.s( \ ) ise s() kaçtır? 7. ve, E evrensel kümesinin birer alt kümesidir., s() = 5, s( ) =, s( ) = ise nin eleman sayısı en az kaç olabilir? ( ). s( ) =.s( ), s( ) = 48 ve s( ) Ø ise kümesi en az kaç elemanlıdır? 8. s( \ ) = 6 ve s( ) = 6 dır. s() < s() olduğuna göre, s( ) en çok kaç olur? ( 6 ) ( 4 ) 4. = {,, } ve = {,,, 4, 5, 6, 7} ise P olacak şekilde ve kümelerinden farklı kaç P kümesi yazılabilir? ( ) 9. = {x : < x <, x = n, n Z} = {x : < x < 4, x = m, m Z} ise s( ) kaçtır? ( 4 ) 5. = {,,, 4, 5, 6, 7} kümesinin 4 elemanlı kaç alt kümesinde ve bulunur, 7 bulunmaz? ( 6 ). ir sınıfta futbol veya voleybol oyunlarından en az birini oynayan, yalnız birini oynayan 6, en çok birini oynayan 8 kişi vardır. una göre, sınıf mevcudu kaçtır? ( 6 ) ( )
DERS NOLRI ÜNİE