ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Fige GÜLTÜRK İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 008

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez././. Trihide Aşğıdi Jüri Üyeleri Trfıd Oybirliği İle Kbul Edilmiştir. İmz:.. İmz:.. İmz:.. Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ Prof.Dr.Doğ DÖNMEZ Yrd.Doç.Dr.Mehmet AÇIKGÖZ DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Estitümüz Mtemti Abilim Dlıd Hzırlmıştır. Kod No: Prof.Dr. Aziz ERTUNÇ Estitü Müdürü İmz ve Mühür Not: Bu tezde ullıl özgü ve bş yt ypıl bildirişleri ve şeilleri y gösterilmede ullımı, 5846 syılı Fiir ve St Eserleri Kuudi hüümlere tbidir.

ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Dışm : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ Yıl : 008, Syf: 68 Jüri : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ Prof.Dr.Doğ DÖNMEZ Yrd.Doç.Dr.Mehmet AÇIKGÖZ Bu çlışmd Lgrge İterpolsyo Poliomlrı ve Newto İterpolsyo Poliomlrı icelemiştir. Ayrıc Kl Teoriside bzı souçlr elde edilmiştir. Ahtr Kelimeler: İterpolsyo, Kl Teorisi, Chebyshev Poliomlrı, Lieer Fosiyoeller. I

ABSTRACT MSc THESIS INTERPOLATION d REMAINDER THEORY Fige GÜLTÜRK DEPARTMENT of MATHEMATICS INSTITUTE of NATURAL d APPLIED SCIENCES UNIVERSITY of ÇUKUROVA Supervisor : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ Yer : 008, Syf: 68 Jury : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ Assoc.Prof.Dr.Doğ DÖNMEZ Yrd.Doç.Dr.Mehmet AÇIKGÖZ I this thesis, Lgrge Iterpoltio Polyomils d Newto Iterpoltio Polyomils were studied. Additioly, some results were obtied i the Remider Theory. Key Words: Iterpoltio, Remider Theory, Chebyshev Polyomils, Lier Fuctiols. II

TEŞEKKÜR Yüse Liss çlışmmd hiçbir özveride çımd ydıltıcı fiirleri ile bu eseri meyd getirilmesii sğly sygıdeğer hocm, Syı Yrd.Doç.Dr. Yusuf KARAKUŞ ve ders şmsıd yzım şmsı dr geçe sürede her türlü mevi desteleride dolyı sevgili eşim Şeref GÜLTÜRK e ve eme sosuz teşeürlerimi surım. III

İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ......I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV. GİRİŞ.... TEMEL TANIM VE TEOREMLER..... Lieer Delem Sistemlerii Çözümleri..... Türevleebilir (Difersiyelleebilir Fosiyolr... 4.3. Poliomlr... 6.4. Lieer Fosiyoeller ve Cebirsel Dul (Eşlei Uzylr... 7 3. İNTERPOLASYON... 0 3.. Poliomlrl İterpolsyo... 0 3.. Solu İterpolsyou Geel Problemi... 3.3. İterpolsyo Özelliğie Ship Ol Sistemler... 4 3.4. Çözümü Teliği... 8 3.5. Lgrge İterpolsyo Formülü... 0 3.6. Newto Formülü... 5 3.7. Ardışı Frlr... 35 4. KALAN TEORİSİ... 40 4.. Poliomlrl İterpolsyo İçi Cuchy Klı... 40 4.. Koves Fosiyolr... 45 4.3. E İyi Ht Thmileri; Chebyshev Poliomlrı... 47 4.4. Kesirli Frlr ve Ortlm Değer... 54 4.5. Peo Teoremi ve Souçlrı... 59 KAYNAKLAR... 67 ÖZGEÇMİŞ... 68 IV

.GİRİŞ Fige GÜLTÜRK.GİRİŞ Bu tezde İterpolsyo Kvrmı ve Kl Teorisi icelemiştir. İterpolsyo geel olr şğıdi gibi tımlır. I rlığıd tımlı ve süreli bir f ( x fosiyou verilsi. I ı + te frlı otsı x0, x, x,..., x olsu. P, -ici derecede poliomlr ümesii göstersi. ( ( p x f x, x I i 0,,..., olc şeilde bir p P poliomu d i i i i poliomu bulm işlemie iterpolsyo ve p ( x x otlrıd f ( x içi iterpolsyo poliomu deir. x i, i 0,,..., otlrı ise, iterpolsyo düğümleri dı verilir. Bu çlışmd İterpolsyol ilgili teoremler, souçlr ve ilgili öreler verildite sor l teorisi ele lımıştır. Poliomlrl İterpolsyo İçi Cuchy Klı, Lieer İterpolsyo İçi Ht ve E İyi Ht Thmileri ile Chebyshev Poliomlrı oulrı icelemiş ve öreler suulmuştur.

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK. TEMEL TANIM VE TEOREMLER. Lieer Delem Sistemlerii Çözümleri x 0, x,...,x te bilimeye olm üzere, j x b ij j i i,,, (.. olc şeilde te lieer delemde oluş lieer delem sistemii gözöüe llım. Teorem.. (Crmer Kurlı : Eğer A ij 0 ise (.. sistemi x r i A ir * b i A r,,..., (.. ile verile te bir çözüme shiptir. Teorem.. (Altertif Teorem : Eğer Teorem (.. de b i 0 (i,,, ise elde edile ij x j 0 j i,,, (..3 sistemie homoje delem sistemi deir. Bu sistemi trivil olmy bir çözüme ship olmsı içi ( x x... x 0 d bş bir çözüme ship olmsı içi A 0 olmsıdır. Eğer belirli bir A ( ij mtrisi ve b i leri her seçimi içi homoje olmy (.. sistemii çözümleri vrs o zm A 0 ve homoje delem sistemi trivil çözüme shiptir. toplmı Tım.. : X bir F cismi üzerie bir vetör uzyı olsu. α x + α x + + α x ; α i F,... x i X x i leri bir lieer ombisyou olr dldırılır. Tım.. : x, x,..., x X vetörleri verilsi. Eğer αx+ αx +... + αx0 (*

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK olc biçimde hepsi birde sıfır olmy α, α,..., α sbitleri bulubilirse o zm x, x,..., x vetörlerii solu ümesi lieer bğımlıdır deir. Bu rşılı (* eşitliği c ve c α α... α 0 içi sğlıyors o zm x, x,..., x vetörleri lieer bğımsızdır deir. Tım..3 : 0 ve X bir vetör uzyı olsu. X dei her + vetör lieer bğımlı ve X de lieer bğımsız te vetör bulubiliyors X e boyutlu vetör uzyı deir. Eğer böyle bir solu syısı bulumıyors X e sosuz boyutlu deir. Tım..4 : Her x X vetörü olr yzılbiliyors x i leri te türlü lieer ombisyou x, x,... elemlrıı ümesi X i bir bzıdır deir. Teorem..3 : X vetör uzyıı solu boyutlu olmsı içi bir 0 içi elemlı bir bz ship olmsıdır. Öre.. ( R Uzyı : X( x, x,..., x gerçel syı -lilerii oluşturduğu boyutlu vetör uzyı gerçel -boyutlu rtezye uzy deir ve R ile gösterilir. Bu uzyd x ( x, x,..., x, y ( y, y,..., y -lisii göz öüe llım. Vetör toplmı ve slerle çrpm, şelidedir. x + y ( x + y,..., x + y x x x α ( α,..., α Bu uzyd e (,0,...,0, e (0,,...,0,, e (0,0,..., vetörleri birim vetörlerdir ve lieer bğımsızdır. Bu vetörleri oluşturduğu bz stdrt bz deir. Öre.. ( C Uzyı : ( z, z,..., z omples syı -lilerii oluşturduğu boyutlu vetör uzyı omples -boyutlu rtezye uzy deir ve C gibidir. ile gösterilir. Vetör toplmı, slerle çrpm ve birim vetör Öre.. dei 3

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK Öre..3 (T Fosiyolr Uzyı : S R olm üzere tım ümeleri bu S ümesi ol bütü gerçel değerli fosiyolrı oluşturduğu uzy T ile gösterilir. tımlır. Bu uzyd f,g T içi toplm ve slerle çrpm şğıd olduğu gibi ( f + g(x f (x + g(x, x S (..4 ( α f ( x α f( x, x S (..5 Bu uzyd 0 vetörü 0(x 0 ol sıfır sbit fosiyoudur. Ayrıc f fosiyou, ( f (x f (x, x S (..6 şelide tıml fosiyou gösterir. Bu tımlrl T bir lieer vetör uzyıdır. Eğer S solu syıd otd dh çoğuu içeriyors T sosuz boyutludur.. Türevleebilir (Difersiyelleebilir Fosiyolr Tım.. : lim x x 0 f x f (x, I rlığıd tımlı bir fosiyo olsu. Eğer ( f( x 0 x x 0 f ' x 0 ( (.. limiti mevcuts f (x e bir x0 I otsıd türevleebilir (difersiyelleebilir deir. Eğer x 0, I ı uç otsıys o zm (.. dei limit uygu ol te ylı limitle ifde edilir. lim x x 0 + ( f( x 0 f x x x 0 f ' x 0 + (, lim x x 0 f( x f( x 0 f ' x x x 0 0 ( Eğer f (x, I ı her otsıd türevleebilirse o zm f (x türevleebilirdir. Öre.. : Ax ( x x x ( ( + + x 0 x 0 x 0 x < 0 verilsi. A x A 0 x 0 lim lim lim x 0 x 0, + x 0 4

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK ( ( A x A 0 x 0 lim lim lim ( x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 dir. olduğud Ax ( fosiyou x 0 d türeve ship değildir. Diğer her otd türevlidir. Eğer f, I ı her otsıd türevleebiliyors f '( x türevi çeşitli özellilere shiptir. Öreği olmsı öemli bir özellitir.,b üzeride f ' x ( türevii I üzeride süreli,b üzeride süreli fosiyolrı ümesi C,b ile gösterilir.bu rşılı,b üzeride süreli türevlere ship fosiyolrı ümesi ise C,b ile gösterilir. Bir f fosiyou verildiğide eğer dir. Bş bir ifde ile ; f( x C,b f ' x f '( x türevi süreli ise (,b rlığıd sürelidir. Tım..:Eğer f( x,,b üzeride def türevleebilirse ve,b üzeride süreli ise f ( x C, b dir.yi ; f( C x f( C x,b ( f ( x (,b f ( x sürelidir. Tım..3: Eğer f( x C,b, 0,,,... Yi solu değilse o zm f,[, ] 0 ( [, ] [, ] C b C b dir. b üzeride sosuz türevleebilir deir. Bu uzy C,b ile gösterilir. f( C x,b f, sosuz türevleebilir. Öreği fosiyou sosuz türevleebilir.gerçete ; dır. f ( (x f ' ( x x, f '' x (, f ''' x ıv v ( 0, ( ( f( x x, < x < ( ( f x f x... f x... 0 Teorem..(Geelleştirilmiş Rolle Teoremi: olsu. fosiyolrı (,b i her otsıd vr olsu. f C[,b] ve 5

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK f ( x <... < x b ( ξ 0 olc şeilde içi f(x f(x... f(x 0 olsu. O zm x < ξ < x oşulu uygu bir ξ otsı vrdır. Teorem.. : f (x C + [,b] ve x 0 [,b] olsu. O zm her x b içi f ( x f x f x f x x x x x! ıı ( ( ı 0 0 + ( 0( 0 + ( 0 +... f ( x x x f t x t dt ( x 0 ( +... + ( 0 + ( (!! x0 dir..3 Poliomlr p z 0z + z +... + 0 0 0 (.3. Tım.3. : ( ifdesi -ici derecede bir poliom belirtir. Derecesi ol poliomlr ile gösterilir. Poliomlrı tsyılrıı gerçel y d omples olmsı göre yırt edilir. bir lieer uzydır. Teorem.3. (Cebiri Temel Teoremi:Derecesi ol -ici derecede bir poliom bir omples öe shiptir. Teorem.3. (Çrplr Ayırm Teoremi:Eğer p ( z -ici derecede bir polioms ( + + + ( z z ( z z ( z z p z 0z z... 0... ( 0 0 olc şeilde te z, z,..., z omples syısı bulubilir. z i değerleri frlı olmybilir. Eğer omples syıd r tesi (r z, z,..., zr frlı ise α+ α +... + αr şrtıı sğly α, α,..., α r pozitif tmsyılrıı ullr α p ( z ( α ( αr 0 z z z z...( z z r (.3. yzılbilir. α i te olr belirleir ve bu α i ler z i leri ç tlı olduğuu gösterir. 6

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK ( α p z p z... p z 0 p i 0 (.3.3 ' ( ( ( αi ( i i i dır. Krşıt olr bu türev oşulu (.3. yi gereli ılr. Teorem.3.3(Teli : Eğer f( z ve f poliomu frlı otd dh ço otd sıfır oluyors bu poliom özdeş olr sıfırdır. İspt: f f z i derecesi ( ( z 0 z... ( z z ve olsu. Teorem.3. de ( 0 dır. Hipotezde f z olc şeilde z z, z,..., z bulubilir. O zm 0 ( (... 0 z z z z öyle i 0 0 dır. Böylece f( z 0 dır..4 Lieer Fosiyoeller ve Cebirsel Dul (Eşlei Uzylr Tım.4. : X bir lieer vetör uzyı olsu. Bu uzyd omples y d gerçel syılrl tımlı bir fosiyo L olsu. Her x X içi Lx belirlidir. Eğer her x, y X ve her gerçel (vey omples α,β içi ise o zm L( αx + β y α L( x+ βl( y L ye X üzeride bir lieer fosiyoel deir. Öre.4. : X C,b olsu. X i elemlrı f x ( f x L f b (dx birer lieer fosiyoeldir. olsulr. vey ( x f x L f b (dx ( te olr ( fosiyolrıdır. Öre.4. : X R olsu. x ( x, x,..., x ve,..., sbit syılr Lx ( bir lieer fosiyoeldir. i f( x i i Tım.4. : X bir lieer uzy ve L ve L, X üzeride tımlı ii lieer fosiyoel olsu. L ve L i toplmı ve α ile i sler çrpımı, L 7

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK (L ( + L ( x L ( x+ L ( x, x X (α b ( L ( x α L ( x (.4. şelide gösterilir. ve özellileriyle tüm lieer fosiyoelleri uzyı d bir lieer uzydır. ( ( b Tım.4.3 : X bir lieer uzy olsu. X üzeride ( ve ( b urllrıı tımlı olduğu lieer fosiyoelleri ümesi bir lieer uzy oluşturur ve bu uzy X ile gösterilir. X X i cebirsel dul (eşleiği uzyı deir. Öre.4.3: X C,b, x, x,..., x,b rlığıdi frlı ot ve f X içi L f ( f( x olsu. O zm X d bğımsızdır. Asi tdirde hepsi birde sıfır olmy L, L,..., L,..., ler lieer sbitleri içi L + L +... + L 0 dır. Böylece her f C,b ( ( ( L + L +... + L f 0 f ( ( ( f x + f x +... + f x 0 içi dır. Bu imsızdır. Eğer 0 ise f ( x, f ( xi 0, i Burd 0 çelişisie vrılır. Teorem.4. : Eğer X boyutlu ise X d boyutludur. İspt: x, x,..., x X içi bir bz olsu. O zm herhgi x X içi x x + x +... + x te türlü yzılır. Bu yüzde ( ( + + ( L x L x L x... dir. Herhgi x X ümesi içi ( ( L x L x ( L x (.4.3 8

.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Fige GÜLTÜRK olr tımlylım. L i ler X üzeride tımlı lieer fosiyoellerdir ve lieer bğımsızdırlr. βl+ βl +... + βl 0 olsu. O zm dır. Ft ( ( j ( j j j( j ( j ( j βl x + βl x +... + β L x +... + β L x 0 x 0 i j Li xj δij 0 i j dir. Çüü L j ( x j olur ve ( x 0 + 0 +... + + 0 +... + 0 0 0 β L β β β β j j j j j j j dır. Böylece L, L,..., L ler lieer bğımsızdırlr. Böylece X boyutlu olduğuu gösterelim. uzyı e zıd boyutludur deir. Şimdi biz buu e ço + fosiyoel düşüelim. Bulr L, L,..., L + olsu. (, (,..., ( L x L x L x i i i,,..., + biçimidei + te -lileri göz öüe llım. Böylece R (vey C i boyutlu olduğud bu -liler lieer bğımsız olmz. ( ( + ( ( + + ( ( α L x,..., L x α L x,..., L x... α + L + x,..., L + x 0 olc şeilde hepsi birde sıfır olmy α, α,..., α + syılrı bulubilir. Bud dolyı ( L L ( x α +... + α + + i 0 i,,..., içi bu lieer ombisyolr yrı yrı x, x,..., x içi yzılır ve lt lt toplırs ve lieerli özelliği de ullılr düzeleme soucu x α x + + α x... olduğud ( L L ( x α +... + α + + 0 x X dir. Bu yüzde L,..., L + lieer bğımlı olur ve X ı boyutu e fzl olur. Böylece X boyutlu bir uzydır. 9

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK 3. İNTERPOLASYON 3.. Poliomlrl İterpolsyo Teorem 3..: + te z o,z,...,z (gerçel vey omples frlı otlrı ve + te w 0,w,...,w (gerçel vey omples değerleri verilsi. - ici derecede poliomlr ümesii göstersi. p ( z w i 0,,,..., i i (3.. olc şeilde bir te p ( z poliomu vrdır. İspt : + te tsyılı 0,,..., p ( z + z +... + z 0 poliomuu göz öüe llım. (3.. i oşullrıı sğly + te bilimeyelerii içere ve + te lieer delemde oluş ve ısc i 0 + z +... + z w i 0,,..., i i i şelide gösterile lieer delem sistemi verilsi. Bu sistemi çı şeli; + z +... + z w 0 0 0 0 (3.. dir. + z +... + z w 0 0 + z +... + z w Bu sistemi tsyılr determitı z o,z,...,z de oluş ve V(z o, z,...,z şelide gösterile Vdermode determitıdır. O hlde V( zo, z,..., z z z z 0 0 0 z z z z z z (3..3 dir. V i değerii bulm içi şğıdi fosiyou göz öüe llım. 0

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK V( z V( z, z,..., z, z 0 0 o z z z z z z (3..4 V(z dir. Çüü (3..4 determitıı so stır göre çrs: z0 z0 z0 z0 z0 z 0 + + 3 + V( z (.. + (. z. +... + (. z. z z z z z z olduğud determitlr bir syı olctır ve sğ trf z ye göre -ici derecede 0 + z +...+ z şelide bir poliom olur. Öte yd z o,z,...,z syılrı içi bu fosiyo sıfır olur. Yi bu syılr V(z i öleridir. Gerçete (3..4 determitıı ii stırı yı olduğud determitı değeri 0 olur. Böylece V( z, z,..., z, z A( z z ( z z...( z z (3..5 o 0 yzılır ve burd A ylızc z o, z,...,z syılrı bğlıdır. A ı değerii belirleme içi (3..4 tei determitı so stırı miörüe göre çrs tsyısıı V (z o,z,...,z olduğuu görürüz. z i V( z, z,..., z, z V( z, z,..., z ( z z ( z z...( z z o o 0 dir. z yerie z lırs: o o 0 (3..6 V( z, z,..., z, z V( z, z,..., z ( z z ( z z...( z z (3..7 dir. içi i 0, V(z o, z z 0 z z z 0 dır. içi i 0,, (3..7 de 0 0 0 0 z z V( z, z, z V( z, z ( z z ( z z z z o (z z 0 (z z 0 (z z z z

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK (z i z j i> j i, j 0, dir. dir. içi (3..7 de i,..., V (z 0,...,z, z (z i z j (3..8 j 0,..., i> j içi şğıdii doğru bul edelim. V (z 0,...,z,z (z i z j i> j + içi doğru olduğuu gösterelim. V( z,..., z, z V( z,..., z, z ( z z...( z z 0 + 0 + 0 + (z i z j (z + z 0...(z + z i> j + (z i z j i> j buluur. Hipotezde z 0, z,...,z + te frlı ot oldulrıd V 0 dır. (Determitı bütü stırlrı birbiride frlı oldulrıd V 0 dır. Böylece tsyılr determitı 0 d frlı ol (3.. sistemi te çözüme shiptir. 3.. Solu İterpolsyou Geel Problemi Teorem 3.. de + değeri ess lr i elemı ol bir poliomu yeide urdu. + değerle lieerliği sıl bğdştırbiliriz. Buu poliomlr dışıd fosiyolr içi de ypbilir miyiz? Bu sorulr bizi şğıdi geel probleme götürür. X, boyutlu bir vetör uzy ve L, L,...,L X üzeride tımlı te lieer fosiyoel olsu. w,w,...,w değerler ümesi içi,

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK L i (x w i i,,..., (3.. olc şeilde bir x X bulbilir miyiz?, X* d lieer bğımsızs cevp evettir. L i Yrdımcı Teoremi 3..: X boyutlu bir vetör uzy olsu. Eğer x, x,...,x ler X de lieer bğımsızs ve bğımsızs o zm L, L,...,L ler X* d lieer L i (x j 0 (3.. dır. Krşıt olr eğer x, x,...,x vey L, L,...,L gruplrıd biri lieer bğımsız ve (3.. sğlıyors diğer grup d lieer bğımsızdır. Teorem 3.. : X boyutlu bir vetör uzyı olsu ve L, L,...,L X* ı te elemı olsu. (3.. iterpolsyo poliomuu eyfi w,w,...,w değerlerie rşılı bir çözüme ship olmsı içi gere ve yeter şrt L i, i,,..., fosiyoellerii X* içide lieer bğımsız olmsıdır. Çözüm tetir. İspt ( : Eğer L, L,...,L ler X* d lieer bğımsızs ve x, x,...,x ler X de lieer bğımsızs o zm Yrdımcı Teorem 3.. de Li(x j 0 dır. Böylece L i ( x + x +...+ x w i i,,..., vey L i (x + L i (x +...+ L i (x w i (3..3 sistemi,..., çözümüe shiptir. Ve i x i elemı iterpolsyo problemii i çözümüdür. ( : Eğer (3.. problemi eyfi w i ler içi bir çözüme shipse, o zm (3..3 sistemi eyfi w i ler içi bir çözüme shiptir. Teorem.. L i (x j 0 olduğuu gösterir ve Yrdımcı Teorem 3.. de L i ler lieer bğımsızdır. L i (x j determitı geelleştirilmiş Grm determitıdır. Buu sıfır olmyışı ile iterpolsyo problemii çözümüü olmsı eşdeğerdir. Fosiyoelleri lieer bğımsızlı özelliğii iterpolsyo özelliği olr 3

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK söyleyebiliriz. Öre 3..: X, [,] rlığıd tımlı 0 + x formudi fosiyolrı ümesii göstersi. X i boyutu dir. Çüü bu uzy ve fosiyolrıı lieer ombisyolrıı ümesidir. Eğer x, x içi L ( f f (x ve L ( f f (x ise lieer bğımsız ve x elemlrı içi geelleştirilmiş grm determitı x x (x x (x + x x dir. 3.3. İterpolsyo Özelliğie Ship Ol Sistemler Öre 3.3. (Frlı Notlrd İterpolsyo : X, L 0 ( f f (z 0, L ( f f (z,..., L ( f f (z Burd z z, ( i j içi dir. E olr; i j Tylor iterpolsyou: X, L 0 ( f f (z 0, ( ı L (, f f z 0..., L ( f f ( (z 0 şelide tımlır. Bu öre Teorem 3.. ile yıdır. Çüü Teorem 3.. z 0,z,...,z gibi + te frlı ot ve w,w,...,w 0 değerleri içi p (z i w i i 0,,,..., (3.. olc şeilde bir te p ( z poliomu vrdır ifdesie shiptir. Öte yd X boyutlu bir vetör uzyı ve L, L,...,L X üzeride te lieer fosiyoel ve w,w,...,w değerleri olm üzere eğer L i ler lieer bğımsız ise (3.. L i (x w i i,,..., olc şeilde bir x X vrdır. Öce x ile f yıdır. Öte yd Öre (3.3. de fosiyoeller L 0, L,...,L olm üzere + tedir. X uzyıı ldığımızd il ltımd 4

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK x ve f, X i elemıı ifde ederler. Böylece f ( z p (z 0 + z + z +...+ z f z p z + z + z + + z w i ( i ( i 0 i i... i i 0,,,..., (3.. L f f z p z + z + z + + z w i( ( i ( i 0 i i... i i L 0 ( f f (z 0 p (z 0 w 0 L ( f f (z p (z w L( f f( z p( z w dir. Öre 3.3. ( Hermite İterpolsyou : X N, ideslemedei zorlulrı öleme içi, fosiyoel iformsyou L sembolüü ullmd listeledi. Eğer p N ise, ve ı p(z 0 0, p ( z 0 0,..., p m 0 (z 0 0 ı p(z 0, p ( z 0,..., p m (z 0 (3.3. ı p(z 0, p ( z 0,..., p m ( z 0 şrtlrı sğlırs ve N m0 + m +... + m + olm üzere p 0 olduğuu göstereceğiz. Çrplr yırm teoremide p, (3.3. i soucusu dışıd yi p m ( z 0 dışıd diğerlerii sğlrs dir. p( z A( z( z z ( z z...( z z ( z z m0+ m + m + m 0 (* di p(z i derecesii icelerse; der[ p(z ] m 0 + + m + +...+ m + + m m0 + m +... + m + N (* dir. O hlde A A(z sbittir. p(z poliomu içi m -ici mertebede türev lıdığıd ve bu türevde z yerie z oulduğud (3.3. i so oşulud dolyı souçt 5

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK p ( z A( m!( z z...( z z 0 ( m m 0 + m + 0 olur ve yrıc z i z j olduğud burd A 0 buluur. Dolyısıyl p 0 buluur. Homoje iterpolsyo problemi yi p( z 0 i 0,,..., ylızc 0 çözümüe shiptir. Yi tsyılr determitı 0 d frlıdır. Teorem (3.. dei gibi homoje olmy delemi de te çözümü vrdır. Öre 3.3.3 (Trigoometri İterpolsyo :,cos x,...,cos x,si x,si x,...,six i lieer ombisyou derecesi de üçü ol trigoometri poliom olr biliir. Krşılı gele lieer uzy τ ile gösterilir. Boyutu + dir. Bu ombisyo τ (x ile gösterilirse, τ ( x A + Acosx+ B si x+... + A cosx+ B six 0 ile yzılır. T τ dir. X τ L 0 ( f f (x 0, L ( f f (x,...,l ( f f (x i dir. π x0 x... x < < < < π f 0 (x, f (x cos x, f (x si x,..., f (x cosx, f (x si x Sistemi determitı: G L ( f L ( f L ( f 0 0 0 0 L ( f L ( f L ( f 0 L ( f L ( f L ( f 0 dir. L 0 ( f 0 L ( f f ( x 0 0 L ( f f ( x 0 0 6

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK L ( f f ( x cosx 0 0 0 L ( f f ( x cosx L( f f( x cosx dir. Bu şeilde diğer sütulr buluur. cos x si x cos x si x cos x si x 0 0 0 0 0 cos x si x cos x si x cos x si x G cos x si x cos x si x cos x si x 0 (3.3. G yi hesplm içi elemlrı omples form döüştürelim. 3. ve 5.... (te sütulrı i ile çrpıp sırsıyl. ve 4.... (çift sütulr sütulr eleyelim. Bu durumd ix j ix j ix j j j j G e si x e si x... e si x j 0,,,..., elde edilir. 3. ve 5. sütulrı i ile çrpıp olr. ve 4.... sütulr eleirse, ix j ix j ix j ix j ix j ix j ( i. G e e e e... e e j 0,,,..., elde edilir. Böylece llr edi rsıd yer değiştirirse; ( + ix j ( ix j ( ix j ix j (.( i. G e e e e olur. Şimdi j. stırı e ix j ile çrprs j 0,,..., i( x 0+ x+... + x ( + ix j ix j ix e.(.( i. G e e e j olur. So determit Vdermode determitıdır. (3..8 de i( x0+ x+... + x ( + ix j ix e.(.( i. G ( e e j> buluur. x j üzeridei oşullrd dolyı e ix j e ix ve o hlde G 0 dır. 7

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK Trigoometri İterpolsyou Özel Hli : π X τ, L ( f f( xcos xdx, 0,,..., π π L ( f f( xsi xdx,,..., π dir. 3.4. Çözümü Teliği f ( x, f ( x,, f ( x fosiyolrı bir I rlığıd tımlı olsu. x,..., x I ve w,w...,w frlı değer olsu. i i f i (x j w j j,,..., (3.4. iterpolsyo problemii te çözüme ship olmsı içi gere ve yeter oşul f i (x j 0 (3.4. olmsıdır. Tım 3.4. : Bir S ümesi üzeride tımlı te fosiyod oluş f, f,..., f sistemi verilsi. Eğer (3.4., S de seçile her frlı ot içi sğlırs, o zm bu fosiyo sistemie S üzeride te çözüm deir. Notsl iterpolsyod çözümü teliği te çözüm sistemiyle orty oulbilir. f, f,..., f sistemii S üzeride te çözüm olmsı içi gere ve yeter f i oşul, i,,..., leri lieer ombisyouu S i frlı otsı içi özdeş olr sıfır olmsıdır. Öre 3.4. :, x sistemi [0,] üzeride te çözümdür. Ft [-,] üzeride te çözüm değildir. Çözüm : f (x, f (x x verilsi. x, x [0,] I ve frlı ii ot yi x x içi (3.4. ifdesi 8

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK i f( x w i i j j şelide olur. Buu çı yzlım. j, f (x + f (x w f (x + f (x w (* (* sistemii te çözüme ship olmsı içi tsyılr determitıı sıfırd frlı olmsı gereir. Yi f i (x j f (x f (x f (x f (x 0 olmsıdır. x x ve x, x [0,] içi x Δ fi( xj x x ( x x( x + x 0 x dır. Böylece [0,] rlığı içi x x ie Δ 0 dır. Ft eğer I [,] lıırs bu mümü olmz çüü, x ve x x llım. x x dir. Ft x x dir. O hlde Δ 0 olur. Böylece [,] rlığıd bu fosiyo sistemi te çözüm olmz. Öre 3.4.:, x, x,..., x sistemi herhgi bir [,b] plı rlığı üzeride te çözümdür. Çözüm : f ( x, f ( x x, f ( x x,..., f ( x x verilsi. 3 + Frlı x, x,...,x, x + otlrı Teorem (3.. de Δ x x x i j + f ( x V( x, x,..., x 0 x x x x x x + + + olup,, x, x,..., x sistemi te çözümdür. 9

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK 3.5. Lgrge İterpolsyo Formülü l (z z 0, z,..., z frlı otlr olsu ve. derecede (z z 0(z z...(z z (z z +...(z z (z z 0 (z z...(z z (z z +...(z z 0,,..., (3.5. poliomlrıı göz öüe llım ve burd 0 eğer j ise l( zj δj eğer j ise dir. w 0,w,...,w değerleri içi (3.5. p( z w l ( z (3.5.3 0 poliomu dedir. p (z i çı şeli: olduğud p ( z w l ( z + wl ( z +... + w l ( z +... + w l ( z 0 0 p ( z w 0,,..., (3.5.4 dir. (3.5.3 formülü Lgrge İterpolsyo Formülü olr dldırılır. (3.5.4 iterpolsyo problemi te bir çözüme shiptir. Bir ltere form yrrlı olctır. O zm w( z ( z z ( z z...( z z ( z z ( z z...( z z 0 + ı w ( z ( z z ( z z...( z z ( z z...( z z 0 + (3.5.5 (3.5.6 dır. Böylece (3.5. formülü : wz ( l ( z (3.5.7 ı ( z z w ( z ı 0 olur. (3.5.3 formülü : wz ( p ( z w (3.5.8 ( z z w ( z olur. 0

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK l (z poliomlrı otsl iterpolsyo içi temel poliom olr dldırılır. w i syılrı, z i otlrıd f(z fosiyouu ldığı değerlerdir, yi w i f(z i. dir. (3.5.8 ile verile p (z poliomu z 0,z,...,z otlrıd f(z fosiyouu ldığı w değerleride oluşur. Eğer, wz ( p ( z f( z l ( z f( z ( ( (3.5.9 ı 0 0 z z w z ise p (z f (z 0,,..., (3.5.0 dir. Burd (3.5.9 iterpolsyo problemii ldığı yei şeil ve (3.5.0 d ou çözümüdür. Tım 3.5. : z 0,z,...,z otlrıd f fosiyou ile çış yi (3.5.0 u sğly sııfıı bir te poliomuu p ( f ; z ile göstereceğiz. Vrsylım i q(z olsu. O zm q + te değeriyle te olr belirleir. Böylece qz ( i 0,,..., p ( ; ( qz qz (3.5. i özdeşliğie ship oluruz. Şimdi q(z (z u j llım. j 0,,..., ve u bğımsız bir değişe olsu. (3.5.9 ve (3.5. de j j ( z u ( z u l ( z 0 özdeşliğii elde ederiz. (3.5. de j 0 içi ve j,..., içi u z seçilirse, 0 0 l ( z j 0 j ( z z l( z 0 j,,..., j 0,,..., (3.5. (3.5.3 elde ederiz. (3.5.3 dei + te özdeşli l (z temel poliomlrı içi Cuchy bğıtılrı olr dldırılır.

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK Temel poliomlrı öemi (3.5. özdeşliğide ytr ve iterpolsyo problemii (3.5.9 di çı şeliye souçlır. Gerçete; p ( z f( z l ( z (* j j 0 f ( z l ( z + f( z l ( z +... + f( z l ( z 0 0 j j dir. j0 içi; p (z 0 f (z 0 + 0 + 0 +...+ 0 j içi; p (z 0 + f (z + 0 + 0 +...+ 0 j dır. L 0 ( f f (z 0, L ( f f (z,..., L ( f f (z L i (l j δ ij (3.5.4 olr yzılbilir. Bu durumd l i (z poliomlrı ve L fosiyoellerie biortoorml deir. Verile lieer bğımsız fosiyoeller ümesi içi poliomlrı biortoorml ümesii dim bulbiliriz. Gerçete şğıdi teoremde Lgrge formülüü geelleştirilmişie ship oluruz. Teorem 3.5.: X, boyutlu bir vetör uzyı olsu. L, L,...,L X* d te lieer bğımsız fosiyoel olsu. O zm X i te lieer bğımsız i x *, x *,...,x * elemlrı L i (x j * δ ij (3.5.5 olc şeilde te olr belirleir. Herhgi bir x X içi, dır. i( * (3.5.6 i x L x x i w,w,...,w leri her seçimi içi,

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK elemı x wx (3.5.7 i * i i L i (x w i i,,..., (3.5.8 iterpolsyo problemii te çözümüdür. İspt : x, x,...,x X i bzı olsulr. Yrdımcı Teorem 3.. de L( x 0 dır. Eğer x * x +...+ j x j,,..., ise determit oşulu i j j j (3.5.5 sistemide ji j,,..., tsyılrıı çözümüü olr belirleece şeilde grti eder. Gerçete, x j * (3.5.5 de yerie yzılırs; x *, x *,...,x * te L i ( j x +...+ j x δ ij vey j L i (x +...+ j L i (x δ ij i,,..., i içi jl( x + jl( x +... + jl( x δj i içi jl( x + jl( x +... + jl( x δ j i içi L ( x L ( x... L ( x δ j + j + + j j (* dir. j içi x * x +...+ x ombisyoudi,..., tsyılrı (* sistemide j lır oluşturul sistemi çözümü olr belirleir. Çüü, L( x i j L ( x L ( x L ( x L( x L( x L( x L ( x L ( x L ( x d ir. (* de L ( x + L ( x +... + L ( x δ dır. L ( x + L ( x +... + L ( x δ 0 L ( x + L ( x +... + L ( x δ 0 3

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK Bu sistemi bilimeyeleri,..., olup tsyılr determitı L i (x j 0 dır ve çözüm te olup x i * ı tsyılrıdır ve x * i te olr belirleir. * * * Bezer şeilde yi (3.5.5 sğlc şeilde x, x,..., x sistemi te olr belirleir. Teorem 3.. de dolyı iterpolsyo problemii her j içi çözümü tetir * ve Yrdımcı Teorem (3.. de dolyı x i ler lieer bğımsızdır. (3.5.6 ı teliği: olsu. O zm y Li( x x i * i L ( y L( x L ( x (* j i i j * i olur. Böylece (3.5.5 te L j (y L j (x j,,..., buluur. Çüü L i (x j * δ ij olup i ve j yer değiştirirse, olur. (* d L x δ L ( y L( x δ * j( i ji j i ji i L ( x δ + L ( x δ +... + L ( x δ + L ( x δ +... + L ( x δ j j j jj j+ j( j+ L ( x j,,..., j buluur. Terr oşullu iterpolsyod dolyı L i tetir, y x tir ve bu d (3.5.6 ı te olr urulbileceğii söyler. (3.5.8 bezer olr urulur. (Bu teoremde ve tezi l ısmıd yıldız işreti (* biortoorml vey ortoorml ümeleri elemı sembol olr uygulır. Bir uzy sembolü üzeridei yıldız işreti cojugte (eşlei uzylrı gösterir. (3.5.8 iterpolsyo problemii çözümü determit formud verilir. Teore m 3.5. : Teorem 3.5. sğlsı ve x,...,x X i bzı olsulr. j Eğer w,...,w eyfi syılrs, 4

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK x G 0 x x x w L ( x L ( x L ( x w L ( x L ( x L ( x (3.5.9 elemı L i (x w i i,,..., iterpolsyo problemii sğlr. Öre 3.5. (Tylor İterpolsyou : X L 0 ( f f (z 0, ı L( f f ( z0,..., L f f z z 0 0 lırs, ( ( ( 0 X L 0 ( f f (0, L ( f f ı (0,..., L ( f f ( (0 olur. l (z z! 0,,... olsu. O zm dir. l 0 (z z0 0!, l (z z, l (z z!, l 3(z z3 3!,..., (3.5.4 bğltısı göre, ( L( l δ i j ij j ( i j i (...( ( ( ( i z j j j i z (0 0, i j i( j lj (0 δij L l j! j! (0, i j buluur. 3.6. Newto Formülü (3.5.3 ve (3.5.7 Lgrge İterpolsyo formülleri bzı egeller içermetedirler. Eğer boyutlu uzyd, bir boyut yüse ol uzy geçme isterse x *, x * *,...,x esi ümesiyle ilgili olmy y *, y * *,...,y + elemlrıı tmme yei bir ümesii belirlemeliyiz. Newto gösterimiyle hem x, x,... bz elemlrıı hem de L, L,... belirlemiş fosiyoellerii lieer ombisyouu lr bu egeller ortd ldırılmy çlışılır. z 0,z,...,z + frlı ot olsu. + te bğımsız Newto poliomu 5

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK,(,( (,...,( (...( z z0 z z0 z z z z0 z z z z şelidedir. Verile w,w,...,w 0 değerleri içi, p(z i w i i 0,,..., olc şeilde de bir te p poliomu vrdır. Eğer bu elem p(z 0 + (z z 0 + (z z 0 (z z +...+ (z z 0 (z z...(z z (3.6. formud temsil edilebilirse söz ousu poliom görülmüş olur. i sbitlerii bulm içi rdışı olr z z 0, z z,... oyulur ve elde edile lieer delemler çözülür. [(3.6. de ve p(z i w i i 0,,..., bulüde:] w 0 0 w z w z 0 0 w w0 w w 0 (3.6. z z z z0 z z0 buluur. Not edelim i z 0,...,z otlrıı belirli ümesi içi her i, w i leri bir lieer ombisyoudur. Ve üsteli 0 ylız w bğlıdır. w0, w, z, z 0 0 e bğlıdır ve ise w 0, w, w, z 0, z, z ye bğlıdır. Tım 3.6. : (3.6. ile ifde edile j sbitlerie z, z,..., zj ye göre 0 w 0, w,...,w j değerlerii j-ici esirli frı deir ve j w0, w,..., wj (3.6.3 şelide gösterilir. Bud dolyı (3.6. de z i tsyısı, (3.5.8 de z i tsyısı w ı 0 w ( z dır. 6

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK buluur. Burd dir. (3.6.4 te w [ w, w,..., w ] (3.6.4 w ( z 0 ı 0 w( z w ( z ( z z ( z z...( z z w 0 0 w0 w + z z z z 0 0 0 w 0 (z 0 z (z 0 z + w (z z 0 (z z + w (z z 0 (z z (3.6.5 dir. Eğer w i ler f fosiyouu z i dei f (z i w i değerleri olr lıırs, (3.6. ve (3.6.3 ü birleştirere; p( f; z [ f( z, f( z,..., f( z ]( z z ( z z...( z z (3.6.6 0 0 0 w (z elde edilir.. Gerçete ; (3.6.3 te dolyı [,,, ] [ (, (,..., ( ] 0 0 w w w f z f z f z dır. w(z w (z (z z 0 (z z...(z z olup, w (z z z olm üzere, w ( z ( z z ( z z ( z z ( z z...( z z i 0 i 0 olur. Böylece (3.6. de p( z ( z z w ( z i 0 i 0 0 yzılır. Böylece (3.6.6 bulumuş olur. Tım 3.6. : İterpolsyo poliomuu (3.6.6 formu bir f(z fosiyou içi solu Newto serisi deir. z 0,z,...,z sbitleri içi L 0, L,...,L lieer fosiyoellerii (3.6.5 7

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK şemsı uygu olr şğıd olduğu gibi tımlylım. L 0 ( f f (z 0 f( z0 f ( z L ( f + z z z z 0 0 (3.6.7 olur. Burd L ( f, f (z i w i i 0,,,... dir. Bu durumd (3.6.6 formülü: p ( f; z L ( f w ( z (3.6.8 0 şelii lır. Eğer 0 j ise, w j (z olduğud olur ve böylece elde edilir. w ( z p ( w ( z; z p ( w ( z; z w ( z 0 (* j j j j w ( z L ( w ( z w ( z j j 0 (3.6.9 Gerçete, (3.6.6 d, f (z w j (z olm üzere p ( w ( z; z ve w j (z içi j z z 0, z,...,z otlrıdi değerlerie blım. Öce (3.6.6 d f (z w j (z llım ve buu çı yzlım. p ( w ( z; z w ( z, w ( z,..., w ( z ( z z ( z z...( z z j j 0 j j 0 0 (** wj( z0 ( z z + wj( z0, wj( z ( z z0 + wj( z0, wj( z, wj( z ( z z0( z z +... + wj( z0, wj( z,..., wj( z ( z z0( z z...( z z olur. Şimdi (* ı gösterelim. (** d: z z0 içi p( wj( z0; z0 wj( z0.+ 0 +... + 0 wj( z0 z z içi p( wj( z; z wj( z0. + wj( z0, wj( z ( z z0 + 0 + 0 +... + 0 8

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK w j (z 0 + w j(z w j (z 0 z z 0 (z z 0 w j(z dir. Diğerleri de yı şeilde gösterilir. Bu şeilde (* di eşitliler z z 0, z,...,z değerleri içi + frlı otd sğlır. Bu. derecede bir poliomu + def 0 olduğuu gösterir. O hlde bu poliom 0 özdeştir. Bud dolyı (* ı. eşitliğii ve (3.6.8 i ullr d (3.6.9 u elde ederiz. (3.6.9 d rdışı olr j 0,,,... lıırs olur. dizisi L (w j (z δ j (3.6.0 Teorem 3.6.: X sosuz boyutlu bir vetör uzy ve X i elemlrıı bir x, x,... olsu. Her içi x,..., x ler lieer bğımsız ve X* di lieer fosiyoelleri bir dizisi bul edelim. i, j L, L,... olsu. Her içi x determitı ol Li( xj 0 (3.6. O zm ii 0 olm üzere ij ve b ij sbitlerii te olr belirlediği L * L x * x L * L + L x * b x + x (3.6. L * 3 3 L + 3 L + 33 L 3 x * 3 b 3 x + b 3 x + x 3 şelide ii üçgesel bölge vrs L * i (x * j δ ij, i,j,,... (3.6.3 dir. İspt : L * (x * olduğuu gösterme istiyoruz. (3.6. i. stırıd x * x olduğud L * (x * L * (x L (x olmlıdır. Burd L (x 0 olur. Yi (3.6. de dolyı pyd sıfır olmz. İsptı tümevrıml ypcğız. i,j,,..., içi (3.6.3 ü sğldığıı 9

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK bul edelim. b... b b... b, ii 0... 0 ve böylece L i * (x j * δ ij i,j,,..., (3.6.4 sğldığ ıı bul ediyoruz İl öce b +,,b +,,...,b +,, ve bu değerler bilgisiyle sor +,, +,,..., +,+ değerlerii +,+ 0 olm oşuluyl bulbileceğimizi göstereceğiz ve souçt L ( x, i,j,,..., + (3.6.5 * * i j δ ij eşitliği sğlsı. Böylece tümevrıml istee souc ulşmış oluruz. (3.6.5 te yer l ft (3.6.4 te yer lmy oşullr: L * * i (x + 0 i,,..., * L + (x * i 0 i,,..., (3.6.6 dir. L * + * (x + (3.6.6 ı il eşitliğii orty oyduğu delem şğıdi sistemi verir: Buu çı şeli: olur. Burd L x L * * L ( + 0 x * * ( + 0 * * ( x+ 0 * * (3.6. tblolrıd sğdi x + L i, i,,..., uygulırs, L * * i (x + L * i (b +, x + b +, x +...+ b +, x + x + 0 30

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK * * * * b, (, (..., ( ( + L x + b+ L x + + b+ L x L x+ * * * * b+,l ( x + b+,l ( x +... + b+, L ( x L ( x+ * * * * b +, ( + +, ( +... + +, ( ( + L x b L x b L x L x (* buluur. Bu sistemi tsyılr determitı sıfırd frlı ise yi L ( x 0 * i j i, j ise, sistem te çözüme shiptir. L ( x L ( x L ( x * * * * * * * i( j L x L ( x L ( x L ( x L ( x L ( x L ( x * * * L ( x L ( x L ( x L ( x + L ( x L ( x + L ( x L ( x + L ( x L ( x + L ( x +... + L ( x L( x + L ( x +... + L ( x dir. Bu so determitı çrplr yırr yzrs, 0 0 0 L ( x L ( x L ( x 0 0 L * ( x L ( x L ( x Li( xj. L ( x L ( x L ( x 3.... L( x 0 i j i, j dır. Çüü hipotezde ii 0 i,,..., ve (3.6. de L i (x j i, j 0 dır. Böylece (3.6.6 ı il eşitliğii olmsı içi geree ve yeterli ol oşul sğlmış olur. Böylece (* sistemide b tsyılrı te olr +,,b +,,...,b +, buluur. (3.6.6 ı iici grubu ve so delem dite lır * L+ döüşümü x * i,,..., + uygulırs, 3

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK * L + (x * i 0 i,,..., + de (3.6. ullılırs, * L + (x * i +, L (x * i + +, L (x * i +...+ +,+ L + (x * i 0 dır.burd şğıdi sistem elde edilir. * * * +,L ( x + +,L ( x +... + +, + L+ ( x 0 * * * +,L ( x + +,L ( x +... + +, + L+ ( x 0 * * * +,L ( x + +,L ( x +... + +, + L+ ( x 0 * * * +,L ( x+ + +,L ( x+ +... + +, + L+ ( x + (* olmlıdır. Bu sistemi te çözüme ship olmsı içi + L i (x j i, j 0 L x * i( j L ( x L ( x L ( x * * * + * * * + L ( x L ( x L ( x L ( x L ( x L ( x * * * + * * * + + + + L ( x L ( x L ( x L( x L ( x L ( x + b L ( x + L( x b L ( x + L ( x b L ( x + L ( x + + +, + +, + + +, + + +, + + + + + b L ( x b L( x... b L ( x L( x b L ( x... L ( x dir. Bu determit çrplr yrılırs; 0 0 L ( x L ( x L ( x + b 0 L ( x L ( x L ( x * + + i( j. i, j L x... b b L ( x L ( x L ( x+ +, +, + + + L ( x L ( x L ( x + L ( x L ( x L ( x + + + + + L ( x L ( x L ( x 3

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK dır. + +. L i (x j L i, j i (x j 0 i, j Böylece (* ve (* sistemleri te çözüme shiptir. Geriye +,+ 0 (* 3 olduğuu gösterme lıyor. (* sistemide i bilimeye olr çözelim. +,+ +,+ A + A dır. Crmer Sistemi de çözüm buluur. A + L ( x L ( x 0 * * * * L ( x L ( x 0 L ( x L ( x 0 * * * * + + L ( x L ( x determitıı so sütu göre çrs; A +.( L ( x L ( x L ( x * * * * * * ( + + ( + L x L x L x ( ( ( * L ( x L ( x L ( x * * dır. Şimdi bu determitı yurıd (+x(+ boyutlu determit içi ye uygulrs; A dır.böylece + 0 0 L ( x L ( x L ( x b 0 L( x L( x L ( x.. b b L ( x L ( x L ( x,, T i j Li xj i, j. L ( x ( 0 i, j 33

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK +,+ L i (x j i, j 0 + L i (x j i, j buluur ve ispt tmmlır. Souç 3.6. : X, x i x,, x trfıd gerilmiş bir lt uzyı olsu (yi X, x + + x lieer ombisyouu ümesi olsu. Eğer x X ise o zm dır. x L * (xx * İspt : Eğer y L * (xx * ve y X derse o zm (3.6.3 de L * j (y L * (xl * j (x L * j (x buluur. x,..., x ler lieer bğımsız oldulrıd (3.6. de dolyı * * x,..., x elemlrı d lieer bğımsız olurlr. Böylece (3.6.3 ve Yrdımcı Teorem (3.. i soucu olr,..., * L L ve böylece L,..., L * leri lieer bğımsız oldulrı görülür. (3.6. de bu durumd L * j (y x 0, j,,..., olmsı y x 0 olmsıı ve böylece y x olmsıı geretirir. İspt biter. Bir x X elmı içi * L( x x serisie biortogol çılım deir. x L ( x x (3.6.7 * yzılır. 34

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK 3.7. Ardışı Frlr frı Tım 3.7.: y o, y,... değerlerii bir dizisi verilsi. Ardışı değerleri şelide gösterilir. Δy y + y 0,,... (3.7. Bezer olr dh yüse frlr Δ y ( y ( y+ y ( y+ y+ ( y+ y şelide tımlır. Geel olr (3.7. + y ( y y+ y (3.7.3 Δ yzılır. Burd Δ dır. 0 y y Teorem 3.7. : Δ 0 y y Δ y y + y Δ y y + y + + y Geel olr ; Δ 3 y y +3 3y + +3y + y dir. r! Δ y ( y+ r, (3.7.4 r0 r r r!( r!. Souç 3.7. : 0 içi (3.7.4 de Δ y 0 ( r (3.7.5 r y r r0 elde edilir. z 0, z,... otlrı şğıdi formd verilsi: z 0, z + h, z + h,..., z + h (3.7.6 Bu otlrd iterpolsyo hlide esirli frlr rdışı frlr bğlı olr verilebilir. 35

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK Eğer w (z (z z 0 (z z...(z z ise, olur. ı w ( z ( z z ( z z...( z z ( z z...( z z 0 + z i z j (i jh olduğud ı w ( z ( h.( h...( h( h( h...( ( h h!(!( elde edilir. İterpolsyo poliomu: dir. wz ( p( z w (.5.8 ı ( z z w ( z 0 Burd z i tsyısı w ı w ( z dır. Bu yüzde 0 w [ w0, w,... w] dir. Bud dolyı (3.6.4 te ı w ( z 0 [ 0,,..., ] y y y ı 0 y w ( z 0 ( y h!(! (!h y 0 Δ y h! elde edilir. O hlde şğıdi teoremi ifde edebiliriz. 0 (3.7.8 Teorem 3.7.3:p(z, + syıd, + h,..., + h otlrıd y 0, y,...,y değerlerii l de bir poliom olsu. O zm 36

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK dır. dır. Burd, Δy0 Δ y0 p ( z y0 + ( z + ( z ( z h +... h! h... + Δ y ( z ( z h... ( z ( h 0 h! (3.7.9 Eğer p ( f ;z, + h,..., + h otlrıd f ye iterpole edilirse, Δf( p ( f; z f( + ( z + Δ f( ( z ( z h +... h! h... + Δ f( ( z ( z h... ( z ( h h! Δ f ( f ( + h f ( (3.7.0 Δ f ( f ( +h f ( + h + f ( (3.7. 3 Δ f ( f( +3h 3 f( + h +3 f( + h f( yzbiliriz. (3.7.9 ve (3.7.0 formüllerie Newto Fr Formülleri deir. Eğer f(x fosiyou, + h, + h,..., otlrıd tımlı ise, f (x Δ f ( (z (z h...(z ( h (3.7.!h 0 serisie f içi Newto Serisi deir. Öre 3.7. : f (x x, o zm Δ f (x hx +... Bud dolyı il fr dereceli poliomdur. Bezer şeilde Δ x!h Çözüm: Δf (x f (x + h f (x ( x + h x ve p > içi Δ p x 0 dır. ( ( ( + + + +... 3! 3 3 x x h x h x h x hx + ( h x +... 37

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK Δ f (x Δ(Δf (x Δhx +Δ ( h x +... h (x + h hx +... h x + ( x h +... hx +... ( h x +... dir. Buu geelleştirelim. Δ f (x!h x!h buluur. p> içi, Δ p x Δ(Δ p x dir. p> olduğud, p > O zm p lıbilir. Δ p p x Δ( Δ x Δ( Δ x Δ( h! 0 dır. x h x Öre 3.7. : Eğer f(x e ise Δf (x (e e dir. İtersyol Δ f (x (e h e x dir. Öre 3.7.3 : Eğer f (x ise, (.7. serisi f(x e yısr. Öre 3.7. de dolyı seri + terimli bir toplm idirgeir ve Teorem 3.7.3 de dolyı, + h,..., + h otlrıd f ye iter pole ol i üyesidir. Telite dolyı. derecede poliom f ile çışır. Çözüm : (3.7. serisi çı yzılırs; 0 Δ f( ( z ( z h...( z ( h h! Δf ( Δ f ( Δ f ( f ( + ( z + ( z ( z h +... + ( z ( z h...( z ( h h! h! h 38

3.İNTERPOLASYON Fige GÜLTÜRK f(x p (x olsu. Özel lr f(x x o olsu. Δ 0 f (x f (x x Δ 0 f ( f ( Δf (x f (x + h f (x (x + h x (3.7. de, 0 hx + h Δf ( h + h Δ f (x Δ x!h Δ f (!h..h Δ 3 f (x Δ 3 f ( Δ 3 x 0 Δ 3 f ( 0 (p3> Δ f ( (z (z h...(z ( h!h h + h.. h + ( z + ( z ( z h +0+0+... h! h + ( + h(z + (z (z h + (z (z + z soucuu buluruz. Yi serii toplmı z x içi f(x x fosiyou olur. Kısc (3.7. serisii ısmi toplmı (3.7.0 poliomudur. 39

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK 4. KALAN TEORİSİ Öcei bölümlerde souçlr cebirsel işlemler olr değerledirildi ve iterpolsyo problemii orty omsı ile sıı sııy bğımlıydılr. Ft bu metod ylşım teorisi souçlrı dh iyi sıl tşıbilir? Bu soruu cevbıı l teorisi içide rycğız. 4.. Poliomlrl İterpolsyo İçi Cuchy Klı Teorem 4..: f (x C [,b] olsu ve,b vr olduğuu bul edelim. Eğer, x 0 < x <...< x b ise, ( i her otsıd f (+ (x i ( x x ( x x...( x x f x p f x f ( +! 0 ( + ( ( ; ( ξ (4.. dır. Burd mi(x, x 0, x,..., x < ξ < mx(x, x 0, x,..., x dir.ξ otsı x, x 0, x,..., x ve f ye bğımlıdır. İspt : p ( f ; x f (x olduğud f ( x p ( f ; x fosiyou x x 0, x x,..., x x otlrıd sıfırlır. x sbit olsu ve x, x 0, x,..., x de frlı olsu. K(x f (x p ( f ; x (x x 0 (x x...(x x olsu. t i şğıdi fosiyouu göz öüe llım. (4..3 wt ( f( t p( f; t ( t x( t x... ( t x K( x w(t fo siyou t x 0, t x,...,t x 0 de görülür i w( t fosiyou t x otsıd d sıfır olur. f( x p ( f; x K( x( x x ( x x... ( x x 0 0 (4.. otlrıd sıfır olur. E olr (4.. olup sol trf w(x e eşittir. Geelleştirilmiş Rolle Teorem i (.. de türevi mi(x, x 0, x,..., x < ξ < mx(x, x 0, x,..., x oşulu uygu bir ξ w ( + ( t 40

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK otsıd sıfır olur. Çüü w(t fosiyou x, x0, x,..., x gibi + otd sıfır olduğud Geelleştirilmiş Rolle Teoremie göre w (+ (t fosiyou ξ de sıfır olur. (4..3 te w (+ (t f (+ (t 0 ( +!K(x dir. t ξ içi 0 ( + ( + w ( ξ f ( ξ ( +! K( x (4..4 dir. Burd ( + K(x f ( ξ ( +! (4..5 d ir. Buu (4.. de yerie oyrs (4.. i elde ederiz. Eğer xx ise, (4.. i herhgi ξ içi sğldığı çıtır. ıı f x C b ve f ( x, Souç 4.. (Lieer İterp olsyo İçi Ht : ( ı [, ] (,b i her otsıd vr olsu. O zm x b içi dir. b x x ( x ( x b ıı f( x f( + f( b f ( ξ, < ξ < b b b İspt : dir. + dir. [ ] (4..6 ı f ( x C, b fosiyouu lieer iterpolsyouu (poliomuu L( f ; x ile gösterirse; (4.. de ( x ( x b ıı f( x L( f; x f ( ξ y zılır. y L ( f; x diyelim. (, f( ve (, b f( b otlrıd geçe doğru delemi: y f( x f ( b f( b 4

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK dir. y L( f ; x f ( + b x x f ( + f( b b b Böylece so eşitlite ( f (b f ((x b L( f; x değeri yzılırs (4..6 elde edilir. öemli olur. Bir ço örete ξ i değeri tm olr bilimez ve şğıdi thmi Souç 4..3 : R ( f ; x f ( x p ( f ; x (4..7 olsu. Burd R ( f ; x Cuchy lıdır. Eğer f (x C + [,b] ise, dır. + { } ( x x0 x x... x x R ( f; x mx f ( t t b ( +! (4..8 İspt : Burd ξ i yeri tm olr belli değildir. Bu durumd Teorem 4.. e uygu ξ içi ( ( ( f + ( ξ mx f + t yzbiliriz. (4.., (4..7 ve (* ullılr, R ( f ; x f (x p ( f ; x ( * ( x x0( x x...( x x. ( + f ( ( +! ξ x x x x... x x ( +! 0 ( +. f ( + { mx f ( t } ξ ( x x0 x x... x x (! t b + elde edilir. Öre 4..: f(x rcsix fosiyouu göz öüe llım. f (0,5335 i 4

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK değerii elde etme içi x 0 0,5330 ve x 0,5340 değerleri rsıd lieer iterpolsyou ulllım ve htyı thmi edelim. x 0,5335 dir. ı ı / f ( x (rcsi x ( x x ı ( ( ıı f ( x ( x x.( x / 3 / 3 / ı 5 / ııı f ( x x( x ( +x ( x ııı ıı f türevi 0,533 x 0.534 rlığıd pozitif olduğud f ( x türev fosiyou rt bir fosiyo olup msimum değerii x 0,534 syısıd lır. içi (4..8 formülü ullılırs; ıı x x0 x x R f( x p( x f( x L( x f ( 0. 534. de 0,534 0.5335 0.5330 0.5335 0.5340 R. ( (0,534 3/ 0,534 ( (0,534.(0.0005,.0 7 3/ buluur. Doğrud hesplm doğru htı,0.0 7 olduğuu gösterir. Bu öre şğıdi gerçeleri orty oyr. Prti işlemlerde (4..8 dei thmii ullm içi iterpole edile fosiyou yüse mertebede türevie ve belli bir rlıt bu türevi değeri içi bir üst sıır ship olm gereir. Bu elemeter fosiyolr içi bile olduç zordur. Bu zorluğu üsteside gelmei çeşitli yollrı vrdır. Bu yollr ylızc iterpolsyo içi ht thmiie değil, yı zmd dh yüse mertebede türevler geretire ortlm değer ht thmilerie de uygulır. İici olr eğer liti fosiyolrl çlışıyors ve omples düzlemde fosiyou değeri içi dh yüse sıır elde edebiliyors türevi thmi etme içi şğıdi souç öemli olur. Souç 4..4 : A( R liti fosiyolr ümesi olm üzere, f (x A(R 43

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK olsu. Burd R, [ b, ] yi psy bir bölgedir. C, [,b] yi içide buludur plı bir eğri olsu ve L(C C i uzuluğu, M mx f( z, δc ' de [,b] O zm ye ol e ıs uzlı olsu. C z C R (f;x f(x p (f;x L(CM C πδ + x x 0 x x... x x (4..9 Öre 4.. : f (x e x 4 /3 olsu. x, x 0, x 3, x 4 olsu. x 4 iterpolsyol thmi ediiz. Çözüm : f (z, z < de lititir. f (z e z 4 /3 / 3 / 3 z 4 x + xyi+ ( iy ( e ( e 4 + + 3 ( x y 4 e. e i xy + / [,b] [, ], 4, x 0, de ypıl htyı bu otlrd dir. ( e Re(z 4 + /3 e x y ( 4 + /3 C z p, < p<, ( z p x + iy p x + y p x + y p M C mx z C f (z mx z C ( e p 4.+ /3 e z 4 /3 e x y ( 4 + /3 /3 dir. δ p ve p ε yzrız. L(CM C πδ + ( π ( ε./3 π( ε 6 44

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK (4..9 eşitsizliği 0<ε < içi sğlcğıd ε 0 limit lıırs, R 4 f ; 4 4/3 4 (. 4 ( 4 0 4 4 5 4/3 4. 3 4. 4. 4. 3 4 0. olur. 4.. Koves Fosiyolr Tım 4.. : f (x, [,b] rlığıd tımlı olsu. Eğrii ii otsıı birleştire herhgi bir iriş eğer eğrii ltıd değilse f bu rlıt ovestir. 0. x < x olsu. OC OA + A C x OC x + λ A B (0 λ 0. x < x olsu. OC x + λ( x x λx + ( λx x + λ(x x AB irişii delemi: x x x x λx + ( λx y f (x f (x f (x 45

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK y f (x f (x x x.(x x + f (x dir. x λx + ( λx ile bu delem esiştirilirse, f( x f( x CQ y. [ λx + ( λ x x] + f ( x x x C P C Q (* [ f (x f (x ]λ + f (x λ f (x + ( λ f (x CP f( x f x + ( x ( λ λ y f(x ovestir ( f λx + ( λ x λf( x + ( λ f( x Teorem 4... : f ıı, (,b de vr olsu. O zm f(x i her plı lt rlıt oves olmsı içi gere ve yeter oşul (,b üzeride Teorem 4.. : f(x [,b] de oves olsu. Eğer x 0 < x 0 + h < x 0 + h b ise Δ f (x 0 f (x 0 +h f (x 0 + h + f (x 0 0 f ıı ( x 0 olmsıdır. (4.. dır. İspt : Bu eşitsizli herhgi bir irişi ort otsıı eğrii üzeride vey yurısıd olduğuu söyler. Gerçete; (4.. de f (x 0 + h f (x 0 + f (x 0 + h ( Hlbui (* ovesli ifdeside x x + h, x x λ lıırs f 0 0 (x 0 +h + x 0 f (x 0 +h + f (x 0 46

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK f ( x0 + h + f( x0 f( x0 + h ( buluur. ( ve ( yıdır. 4.3. E İyi Ht Thmileri, Chebyshev Poliomlrı Birici ısım (4..8 dei poliomlrl iterpolsyo içi ht thmii ii ısm yrılır. mx x b f (+ (x, iterpole edile fosiyo bğlıdır. Ft iterpolsyou ypılış trzıd bğımsızdır.iici ısım ise ( +! x x 0 x x... x x fosiyod bğımsız, ft otlr bğımlıdır. (4..8 thmii ( + f ( ξ yerie mx f (+ (x lır elde edilmiştir. Çoğu zm (4..8 ile öcede thmi edile htd büyü olctır. Ft ouşulduğu üzere birici ısım otrolümüz dışıd olduğu içi iici ısm blım. İici ısımd dh üçü bir ht thmii ypılbilecetir. mx ( x x ( x x...( x x ifdesii düşüelim. Bu x 0, x,...,x otlrı x b 0 bğlıdır ve bizi şğıdi öemli ve ilgiç soruy götürür. [,b] rlığıd x 0, x,...,x otlrıı msimumu mümü olbildiğice üçü olc şeilde sıl seçeriz? Bu problemi cevbı Chebyshev Poliomlrıı sıfırlrı ile verilir. De Moivre Formülü: (cosθ+isiθ cosθ+isi θ şelidedir. cos θx olsu. Eğer 0 θ π ise siθ x 0 dır. O zm ( cosθ+isi θ x + i x dir. Sğ trf Biom Açılımı uygulırs, ( ( ( θ+ i θ x + x i x + x i x + + i x cos si... 47

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK olur. Bu delemde gerçel ısımlr eşitleere, cos (rccos x cos θ x + x ( x +... (0,, (4.3. buluur. Burd x cos θ olduğu düşüülürse cosθ, cosθ ı. derecede bir poliomudur. Tım 4.3.. :. derecede Chebyshev poliomu T (x cos(rccos x x + x (x +... ( 0,,... (4.3. ile tımlır. Şimdi bir ç Chebyshev poliomuu yzlım. T 0 (x T (x x T (x x T 3 (x 4x 3 3x T 4 (x 8x 4 8x + T 5 (x 6x 5 0x 3 +5x T 6 (x 3x 6 48x 4 +8x Teorem 4.3. : T + (x xt (x T (x,,... (4.3.4 dir. İspt : İsptı ypm içi cos( + θ cosθ cos θ si θ si θ cos( θ cos θcosθ+ si θsi θ yzlım.bu ii eşitli trf trf toplır ve düzeleirse, cos( + θ cosθ cos θ cos( θ elde edilir. cosθ x, cosθ T (x olduğud T + (x xt (x T (x,,... elde edilir. 48

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK Souç 4.3. : T (x x + derecesi dh üçü terimler (4.3.5 İspt : Derecesi dh üçü terimler ifdesii ısltr d.d..t. olr yzcğız. İsptı tümevrıml yplım. içi T ( x x x, dır. içi T ( x x + d. d. t.. ve içi doğru bul edelim. T (x 3 x + d.d..t, T (x x + d.d..t dır. Şimdi (4.3.4 formülüde yerie lıırs, T (x xt (x T (x olur. Burd T (x x( x + d. d..t 3 x + d.d..t x + d.d..t elde edilir. T eorem 4.3.3 : T (x poliomuu öleri ( dir. T (x, x cos π,,..., (4.3.6 x plı rlığıd bulu + syıd ı ı x π cos 0,,,..., (4.3.7 x otlrıd estremum değerler lır. B u değerler ltertif olr ( dır. İspt : T( x cos rccos(cos π cos cos ( π π 0 dir. Öte yd,,,..., 49

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK ve ı T ( x ( si( rccos x x si( rccos x (4.3.8 x ı T( x si rccosx cos π x π si( 0 x ı dır. Bu yüzde x lr ylızc T (x i sıfır ypıp, T ( x i sıfır ypmdığıd bsit ölerdir. Yi tlı değildir. Üsteli / ı ı cos π T( x siπ0,, 3,...,- 0, dir. Çüü tımsızdır. cos π / cos π ı π T ( x cos rccos(cos ı π T ( x cos T cos π ( ı 0 ( x0 ( ifdesi 0 ve içi ı, T ( x (, çift te ı ı Böylece 0 içi T ( x 0 ve içi T ( x cos π değerleri de birer estremum değer olduğud böylece (4.3.7 sğlmış olur. Ft x içi T (x cos(rccos x olduğud T ( x dir. Bu gösterir i x ı lr ylızc x rlığıd estremum otlrdır. Çüü türev 50

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK. derecededir ve öü olur. İi te de uç değerler esremum olduğud fosiyou esremum değerlerii ldığı ot syısı + dir. Tım 4.3.: T ( x poliomuu eşitliği ile tımlylım. T (x T (x Not edelim i (4.3.5 de T (x x + d.d..t olr elde edildiğide bu ifde yurıdi eşitlite yerie yzılırs T (x x + d.d..t elde edilir. Teorem 4.3.4 (Chebyshev :, bş tsyısı ol bütü. derecede poliomlrı ümesii göstersi. Her p içi dir. mx T ( x mx p( x (* x x İspt : x üzeride tım (4.3. de T T yzılır. Böylece T olduğud T, x rlığı üzeride otlrıd msimum değeri ol x ı π cos 0,,,..., i + def bul eder. (* ifdesii sie olr; mx px ( x olc şeilde bir p poliomuu vr olduğuu bul edelim. Q(x T (x p(x eşitliği ile Q(x poliomuu tımlylım. Qx ( dir. ı ı ı ( Qx ( T ı ( x px ( px ( 0,,,..., 5

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK olur. Öte yd px ( ı < olduğud Qx ( ı değeri sıryl + ve işretlerii lır. Bu yüzde Q(x i frlı işretli değerler ldığı ı ı ı ı ( x, x, x,..., x 0 gibi + ot vrdır. Böylece Q(x poliomu (bir esi syıd te sıfır ship olur. Oys Q(x idi. O hlde Q(x i özdeş olr sıfır olmsı gereir. Yi Q(x 0 olmlıdır. Böylece p(x T (x buluur. Bu ise, mx T ( x mx p( x < x x dir. Bu bir çelişidir. O hlde (* doğrudur. Souç 4.3.5 : x + x + mx... x dir. İspt : Dh öce gördü i, p(x x + x +... + olr lıbilir. x + x + p x T x mx... mx ( mx ( x x x Souç 4.3.6 : ( b mx x x 0 + +... + 0 x b 5

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK İspt: Doğru delemi: y y y y x x x x t ( ( x b x dir. (b t + b + ( b b+ mx x + x +... + mx 0 t+ +... + x b t 0 ( b mx t + d. d. t. t 0 (b. 0 (b elde edilir. T + (x i sıfırlrı ol x o, x, x,...,x otlrıı iterpolsyo otlrı olr lırs, T + (x (x x 0... (x x olur. Çüü tım (4.3. de T x T x x x x x x x ( ( ( (... ( 0 (x x 0 (x x... (x x dir. (4.. formülüde T +( x ( + R ( f; x. f ( ξ ( +!, <ξ< (4.3.9 ve (4..8 de T ( x R f x f ( +! + ( + ( ; ( ξ 53

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK T x f ( +! ( + +( ( ξ elde edilir. ( mx T + +( x mx f ( x ( +! x x ( +..mx f ( x ( +! x - x (4.3.0 4.4. Kesirli Frlr ve Ortlm Değer Teorem 4.4. : R ( f ;z f (z p ( f ;z dir. İspt : Burd [ ] f ( z, f( z0,..., f( z ( z z0( z z...( z z (4.4. [ (, (,..., ( ] f z f z0 f z esirli frı...... z z... z z... z 0 z 0 z z... z z z z 0 0 [ f( z, f( z0,..., f( z ] :.... z z.. z.. z 0 z z 0 + + f( z f( z.. f( z z z.. z + 0 0 (4.4. dir. (DAVİS, P. J., Iterpoltio d Approximtio, Dover Publictio, Ic., New Yor(975 (.6.3 te Burd pyd D ile gösterilirse; (. sütud dolyı D, P + i elemıdır Sod öcei stırd bşlyr her stır z ile çrpılır ve ltıdi stırd çırılırs; 54

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK... z z... z 0... z z z z... z z D z z. z z0 z0. z... z z. z..... z z0.. z + + + z z. z z z. z... z z. + + + 0 0 z z z.. z 0 0... 0 z 0 z z z... z z 0 z 0 (z 0 z z (z z... z (z z 0 z 0 (z 0 z z (z z... z (z z (z 0 z(z z(z z...(z z ( + (z z 0 (z z...(z z... z 0 z... z z 0 z... z... z 0 z... z z 0 z... z elde edilir. (4.4. i pyıı. sütu göre çılmsıd, Φ(z [ f (z, f (z 0,..., f (z ](z z 0 (z z...(z z (* buluur. Gerçete; Qz (... z z0... z z z0... z f ( z f( z0... f( z D 55

4.KALAN TEORİSİ Fige GÜLTÜRK... z...... ( 0 z z. (. (. 0 z ++ f z + ++ z +... z0... z f( z0 f( z... z... z + 0 ( ( z z0( z z...( z z z... z Böylece (4.4. de Q(z [ f (z, f (z 0,..., f (z ] olduğud [ f (z, f (z 0,..., f (z ](z z 0 (z z...(z z 0...... ++ (. f( z. ++ + ( z. z0... z f( z0... f( z... + (. z 0... z ( f ( z + q( z f( z + q( z (* olur. (Burd dir. Böylece q(z φ(z f (z + q(z (* 3 olur. (* de φ (z i 0 i 0,,..., olur. (* de 0 f (z i + q(z i i 0,,..., 3 buluur. Burd f (z i q(z i olur. İterpolsyo poliomuu teliğide qz ( p( f; z yzılır. Souç olr φ(z f (z p ( f ;z olur ve böylece (4.4. elde edilir. Souç 4.4. : f (x C,b [ ] olsu ve vrsylım i f (+ (x (,b i her otsıd vr olsu. Eğer x 0 <x <... <x b ve x [,b] ise, 56