itüdergisi/d mühedislik Cilt:3, Sayı:-3-4-5, 37-44 Ekim 004 Plakları hesabı içi gerilme seçimli hibrid bir solu elema Kutlu DARILMAZ *, Nahit KUMBASAR İÜ İşaat Fakültesi, İşaat Mühedisliği Bölümü, 34469, Ayazağa, İstabul Özet Gerilme seçimli hibrid solu elema yötemi, elema içide dege deklemlerii sağlaya gerilme alaı seçimi ile elema sıırlarıda uyumlu yer değiştirmeleri seçimi ilkesie dayamaktadır. Çalışmada ice ve orta kalılıkta plakları çözümü içi 8 oktalı, geel biçimli, gerilme seçimli hibrid bir dörtge plak solu elema geliştirilmiştir. Formulasyo Helliger-Reisser ilkesi esas alıarak elde edilmiştir. Elema her düğüm oktasıda üç adet olmak üzere toplam 4 serbestlik derecesi içermektedir. Elemaı geliştirilmeside kalılık doğrultusuda kayma şekil değiştirmelerii etkisii de göz öüe almak içi Reisser-Midli plak teorisi esas alımıştır. Geliştirile elema ile literatürdeki çalışmalarda bulua çeşitli örekler çözülmüş ve uyumlu souçlar elde edilmiştir. Aahtar Kelimeler: Hibrid solu elema yötemi, plak, statik hesap. A assumed stress hybrid elemet for aalysis of plates Abstract Fiite elemet method, models a structure as a assemblage of small elemets. A importat igrediet i a fiite elemet aalysis is the behavior of the idividual elemet. I displacemet based fiite elemet, formulatio of elemet stiffess matrix depeds o iterelemet-compatible displacemet field iterpolatio. Fiite elemet method based o the assumed-stress hybrid method is a way of formulatig a stiffess matrix by use of idepedet assumptios of a equilibrium stress field withi the elemet ad iterelemet compatible displacemet modes o the elemet boudary. Mathematically the method ca be stated as a modified complemetary eergy priciple. I this study a 8-ode quadrilateral assumed-stress hybrid plate elemet is preseted. he Elemet has eight odes ad twety four degrees of freedom. At each ode of the elemet oe displacemet ad two rotatios are take as ukows. he elemet uses the Reisser-Midli plate theory, which takes ito accout the trasverse shear effects. o check the the accuracy of the fiite elemet, various examples are solved umerically ad compared with the other elemet solutios. he results obtaied from umerical examples demostrate that the elemet alleviates the lockig pheomeo ad produces accurate solutios, has desirable covergece which are i a good agreemet with other stateof-the-art elemet solutios. Keywords: Hybrid fiite elemet method, plate, static aalysis. * Yazışmaları yapılacağı yazar: Kutlu DARILMAZ. kdarilmaz@is.itu.edu.tr; el: () 85 65 33. Bu makale, birici yazar tarafıda İÜ İşaat Fakültesi'de tamamlamış ola "Kabuk sistemleri çözümü içi hibrid bir solu elema" adlı doktora tezide hazırlamıştır. Makale meti 08.0.003 tarihide dergiye ulaşmış,..003 tarihide basım kararı alımıştır. Makale ile ilgili tartışmalar 3.03.005 tarihie kadar dergiye göderilmelidir.
K. Darılmaz, N. Kumbasar Giriş Plakları çözümü içi solu elemalar yötemii kullaımı solu elemalar yötemii yaygı olarak kullaılmaya başladığı yıllara kadar gitmektedir ve güümüze kadar bu kouda birçok çalışma bulumaktadır (Bell, 969; Iros, 969). Bu çalışmaları çoğuluğu, şekildeğiştirmede öce orta düzleme dik ola kesitleri şekildeğiştirmede sora da orta düzleme dik kaldıklarıı varsaya ice plak teorisie (Kirchoff plağı) dayamaktadır. Plak kalılığı arttıkça kalılık doğrultusudaki kayma şekil değiştirmelerii, plak şekil değiştirmeleri üzerideki etkisii arttığı bilimektedir. Literatürde bu etkileri gözöüe alıdığı yie birçok çalışma bulumaktadır, (Berga ve Wag, 984; erwood ve Kok, 990). Bu çalışmalarda çoğulukla Reisser/Midli teorisi esas alımıştır. Bu teoriyi kullaarak geliştirile elemalar ile ilgili e büyük problem kalılık/açıklık oraıı çok küçük olması durumuda "kayma kilitlemesii" ortaya çıkması ve gerçekte olduğuda daha rijit davraış göstere, hatalı souçları elde edilmesidir. Bu soruu aşılması içi itegrasyo oktalarıı azaltılması yötemi (Hughes, aylor ve Kaokukulchai, 977; Pugh, Hito ve Ziekiewicz, 978), kısıtlayıcı yötemler (pealty methods) (Ziekiewicz, 979), eerji degelemesi yötemi (Fried, 974) ve karma formulasyolar (Lee ve Pia, 978) gibi çeşitli yötemler kullaılmaktadır. Bu çalışmada ise yukarıda adı geçe yötemlerde karma formulasyolar sııfıa gire gerilme seçimli hibrid elema yötemi kullaılmıştır. Geel bağıtılar Solu elemalar yötemi yüzeysel taşıyıcı sistemleri çözümüde oldukça yaygı olarak kullaıla yaklaşık yötemleri başıda gelmektedir. Bu yötemii gelişmiş bir biçimi ola hibrid solu elema yötemii gerilme seçimli ve yerdeğiştirme seçimli olarak uygulaabildiği çeşitli çalışmalarda gösterilmiştir (Chieslar ve Ghali, 986; Cheug ve Che, 989). Gerilme seçimli hibrid solu elema yötemide elema bağıtılarıı elde etmek içi dege deklemlerii sağlaya iç kuvvet alaı ile geometrik uyguluk koşullarıı sağlaya yerdeğiştirme alaları birlikte kullaılmaktadır. Bu bağıtıları elde edilmeside kullaıla foksiyoellerde ola Reisser-Helliger ilkesi esas alıarak elde edile: Π RH = { σ} [ D]{ u} { σ} [ S]{ σ} d { u} { F} d { q} { R} () foksiyoelii miimum olması gerekmektedir. Foksiyoeli: D u S d { σ} [ ]{ } { σ} [ ]{ σ} bölümü iç kuvvetleri işii, { u} { F} d+ { q} { R} bölümü {R} düğüm oktası bilimeyeleri doğrultusuda etkiye dış yük vektörü olmak üzere dış kuvvetleri işii göstermektedir. [D] diferasiyel işlemci olmak üzere: { } [ D]{ u} ε = () biçimide şekildeğiştirme yerdeğiştirme ilişkisi, [S], elastisite matrisii tersi olmak üzere: { ε } = [ S]{ σ } (3) biçimide şekil değiştirme iç kuvvet ilişkisi bulumaktadır. Elema içide dege deklemlerii sağlayacak biçimde, ala değişkelerie bağlı olarak seçile iç kuvvet matrisi {σ}: {σ}=[p]{β} (4) şeklide yazılabilir. Burada {β} bilimeye parametrelerde oluşa kolo matris, [P] ise
Gerilme seçimli hibrid bir solu elema koordiatlara bağlı elema içide gerilmeleri değişimii göstere bir dikdörtge bir matrisdir. Sıırlar boyuca geometrik uyguluk koşullarıı sağlamak amacıyla düğüm oktalarıda komşu elemalara ilişki uç yerdeğiştirmelerii birbirie eşit olmasıı sağlayacak biçimde seçile yerdeğiştirme foksiyou: {u}=[n]{q} (5) olarak alıabilir. [N] sıırlar boyuca biçim foksiyolarıda oluşa matrisi, {q} düğüm oktalarıdaki yerdeğiştirme bileşeleride oluşa kolo matrisi göstermektedir. Elema içide dege deklemlerii sağlayacak biçimde seçile {σ} iç kuvvetlerii sıırlar üzerideki bileşeleri, [] sıırları doğrultu kosiüsleride oluşa matris olmak üzere: {σ s }= []{σ} (6) şeklide hesaplaabilir. (4) bağıtısı kullaılarak: {σ s }= [][P]{β} (7) elde edilir. Yük terimlerii etkisi daha sora gözöüe alımak üzere, (5) ve (7) bağıtıları kullaılarak Π RH foksiyoeli yeide düzeleirse: Π = β RH {} [ ] [ ] [ ]{ } S P N q ds {} β [ P] [ S][ P]{} β d biçimii alır. [ ] [ ] [ ][ ] (8) H = P S P d (9.a) [ ] [ ] [ ] [ ] G = P N ds (9.b) S olmak üzere; δπ = 0 koşulu sağlaması Π gerektiğide = 0 eşitliği ile: β i [ H][ β ] = [ G]{ q} (0) bağıtısı elde edilir. Bu bağıtıda elde edile [ ] [ H] [ G]{ q} β = () eşitliği kullaılarak foksiyoel düzeleirse: Π RH = { q } [ G ] [ H ] [ G ] { q } () biçimii alır. [K] rijitlik matrisi olmak üzere: [ K] [ G] [ H] [ G] = (3) taımı ile Π RH foksiyoeli: [ q] [ K][ q] Π RH = (4) biçimide elde edilir. Plak solu elema Şekil 'de yerel koordiatları ve sekiz düğüm oktası ile verile bir izoparametrik dörtge solu elema içi kayma şekildeğiştirmelerii de gözöüe alabilmek üzere düğüm oktası yerdeğiştirmeleri; yalızca x ve y koordiatlarıı foksiyou olarak; θ x, θ y dömeleri ile w çökmesi biçimide, bağımsız değişkeler olarak seçilmiştir: [ q] { w(x, y) θ (x, y) θ (x, y) } 3 i = x y (5) 7 η 6 8 Şekil. Plak solu elema Gerilme seçimli hibrid solu elema yötemide iç kuvvet alaı elema yerel koordiatlarıa bağlı olarak seçilmektedir. Bu seçim işlemi 5 4 ξ
K. Darılmaz, N. Kumbasar sırasıda öcelikle iç kuvvetleri değişimlerii taımlaya poliomlar seçilmekte, daha sora dege deklemlerii sağlayack biçimde poliomları katsayılarıı sayısı idirgemektedir. Plak dege deklemlerii sağlayacak biçimde seçile iç kuvvetler (6) bağıtılarıda verilmektedir: Q =β +β +β x β x+β y+ β y x 5 46 7 39 8 48 30 4 3 43 3 + 3β x / β x /+β xy 3β xy+β y Q =β +β +β x+ β x β y y 36 45 38 47 7 39y 4x 3 49x 3 30xy 4xy 3y / 3 43y +β + β + β β +β + β + β x =β 4 +β 5 +β 6 +β 7 +β8 3 3 9y 30x 3x y 3xy 33y M x y x xy +β +β +β +β +β y =β 34 +β 35 +β 36 +β 37 +β38 3 3 39y 40x 4x y 4xy 43y M x y x xy +β +β +β +β +β xy =β 44 +β 45 +β 46 +β47 β7 3 39xy 48y 49x 3 30x y / 3 4x y/ 3xy / 3 43xy / 50y M x y x xy β + β + β β β β β + β (6) Gerilme seçimli hibrid elemalar yötemide {β} katsayılarıı sayısı arttıkça oluşturula elema davraışı rijitleşmekte, kearlarda seçile yerdeğiştirme biçimi karmaşıklaştıkça yumuşamaktadır. Bu edele gerilme seçimli hibrid elema yötemide seçile iç kuvvet alaı ile yerdeğiştirmeleri uyumu elema davraışıı belirlemeside öemli olmaktadır. Şekildeğiştirmeler ile içkuvvetleri ilişkisii göstere [S] matrisi eğilme ve kayma etkilerii yasıta terimlerde oluşmaktadır. Eğilme etkisii göstere şekil değiştirme-gerilme matrisi: ν 0 3 3 Eh Eh Seğilme = ν 0 3 3 Eh Eh 4 0 0 Eh ( +ν) 3 (7) Kayma etkisii göstere şekil değiştirme-iç kuvvet matrisi: ( +ν) 5 6 Eh Skayma = 0 şeklidedir. 0 ( +ν) 5 6 Eh (8) [P] ve [S] matrisleri belirledikte sora [H] matrisi (9) bağıtısı ile elde edilir: [ ] = [ ] [ ][ ] H P S P da = A ji = = i j [ ] [ ][ ] W W P S P J (9) Elema üzeride herhagi bir oktaı buluduğu koordiatlar, ξ, η ile gösterile doğal koordiatlar ciside taımlı biçim foksiyoları ve yerel koordiatlardaki düğüm oktası koordiatlarıa bağlı olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir: i( ) i (0) x = N ξ, η x i= i( ) i (i=,4) y = N ξ, η y i= Elema düzlemideki bir oktaı koordiatlarıı, köşe okta koordiatlarıa bağlı olarak belirlemeside kullaıla biçim foksiyoları () de verilmektedir: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) N = +ξ +η /4 N = ξ +η /4 N = ξ η /4 () 3 N = +ξ η /4 4 Şeçile gerilme alaıı, seçile şekil değiştirmeler üzeride yaptığı işi göstere [G] matrisi, iç kuvvetleri sıırdaki bileşeleri:
Gerilme seçimli hibrid bir solu elema { s} { Qs MN M} { } [ ]{ } [ ][ ]{ } σ = () σ s = σ σ = σ P β (3) ve yerdeğiştirmeleri sıırdaki bileşeleri: { u } [ ]{ u} [ ][ N]{ q} = = (4) s u u olmak üzere, aalitik çözüm souçları ile karşılaştırılarak geliştirile elemaı yaklaşıklık derecesi belirlemeye çalışılmıştır. Örek Bir çok çalışmada çözümü yapıla ve boyutları Şekil de verile eğrisel kosol kiriş boş uca etkiye düzlemie dik doğrultuda birim yükleme altıda çözülmüştür. [ ] = [ ] [ σ ] [ u ][ ] G P N ds = S [ ] [ ][ ] i= P N J W i (5) 4. 4.3 şeklide kearlar üzeride itegral ile elde edilmektedir. Elde edile [H] ve [G] matrisleri yardımıyla (3) bağıtısı kullaılarak elema rijitlik matrisi oluşturulur. [K] elema rijitlik matriside j olu kolo, j olu serbestlik değeri bir, diğer serbestlik değerleri sıfır ike düğüm oktası serbestlikleri doğrultusuda etkiye uç kuvvetleride oluşa vektörü göstermektedir. Serbestlik derecesi kadar deklem buluduğuda dolayı [K] matrisi kare bir matristir. Geliştirile elemada [K] matrisi 4x4 boyutudadır. [K] matrisi elema yerel koordiatlarıda elde edilmiş bir matristir. Geel ekselerdeki elema rijitlik matrisi (6) bağıtısı ile elde edilmektedir. Burada [t] doğrultu kosiüsleride oluşa döüşüm matrisidir. [ K] [ t] [ K][ t] XYZ = (6) Elema yük vektörü { F } e i döüşümü de: p e { F} [ t] { F} XYZ e p = (7) şeklide gerçekleştirilmektedir. Sayısal örekler Bu bölümde, geliştirile solu elema () kullaılarak çeşitli örekler çözülmüştür. Elde edile souçlar çeşitli çalışmaları souçları ve Şekil. Eğrisel kosol kiriş Yükleme doğrultusudaki yerdeğiştirme değeri elde edilmiş, aalitik çözüm ve Amipour (99) deki souçlar ile karşılaştırmalı olarak ablo ve ablo de verilmiştir. Çözümlemede kullaıla sayısal değerler: r iç =4., r dış =4.3, Geişlik (b) =0., E=0 7, ν=0.5 olarak alımıştır. ablo. Elde edile souçları aalitik çözüm ile karşılaştırılması Aalitik Çözüm 0.4963 0.50 ablo. Örek souçlarıı diğer çözümler ile orasal karşılaştırması QUAD4 AQR8 0.95 0.956 0.988 Örek Orta oktasıa tekil yük etkiye basit mesetli kare plak iki farklı h/l oraı ve farklı sayıda solu elema ağı içi çözülmüştür. Simetride yararlaılarak sistemi /4 ü modellemiştir. Şekil 3 de hesap modeli gösterilmektedir. Elde edile souçlar imosheko ve Woiowsky- Krieger (970) de verile aalitik çözüme ora-
K. Darılmaz, N. Kumbasar laarak grafiksel biçimde Şekil 4 de verilmektedir. Ayı grafikte farklı plak h/l oraları içi souçlar bulumaktadır. Görüldüğü üzere h/l i küçük değerleri içi kayma kilitlemesi ortaya çıkmamakta ve ice plak teorisi ile uyumlu souçlar elde edilebilmektedir. L A B L L Şekil 5. Dört kearıda akastre mesetli kare plak w/waalitik.08.06.04.0 L Şekil 3. Basit mesetli kare plak h/l=0.05 h/l=0.005 0 4 6 8 0 4 6 Şekil 4. ekil yük etkisideki basit mesetli kare plakda farklı elema sayıları içi w/w aalitik oraı Örek 3 Düzgü yayılı yük etkisideki dört kearıda akastre mesetli kare plak, farklı sayıda solu elema ağı içi çözülmüştür. Şekil 5 de simetride yararlaılarak /4 ü modellee sistem gösterilmektedir. Şekil 6 ve 7 de orta oktadaki çökme değeri farklı solu elema sayıları içi Ibrahimbegovic (993) de verile elema ile karşılaştırmalı olarak imosheko ve Woiowsky-Krieger (970) de verile aalitik çözüme oralaarak verilmektedir (E=000, h=0., L= 4, ν=0.3). w/waalitik..5..05 0.95 Ref 0.9 0 40 80 0 60 00 40 80 30 Düğüm oktası sayısı Şekil 6. Orta okta w yer değiştirme değerlerii aalitik çözüme oraı M/Maalitik.3.5..5..05 0.95 0.9 0.85 Ref 0 40 80 0 60 00 40 Düğüm Noktası Sayısı Şekil 7. Orta okta M x değerlerii aalitik çözüme oraı A-B doğrusu boyuca 8x8 elema ağı kullaarak elde edile M x mometi değişimi, aalitik çözüm ile karşılaştırmalı olarak Şekil 8 de verilmektedir.
Gerilme seçimli hibrid bir solu elema 5 3-0 0.5.5-3 -5-7 -9 B Aalitik Çözüm Şekil 8. A-B doğrultusuda M x değişimi Karşılaştırmalarda görüldüğü gibi geliştirile elemala elde edile çözümler hem aalitk çözüm hem de karşılaştırmada kullaıla elema çözümleri ile uyumludur. Örek 4 Örek deki sistem farklı sayıda solu elema ağı içi düzgü yayılı yük etkiside çözülmüştür. Orta oktada elde edile e büyük çökme ve momet değerleri, imosheko ve Woiowsky- Krieger (970) de düzgü yayılı yükle yüklü basit mesetli kare plak içi verile değerlere oralaarak Şekil 9 ve Şekil 0 da verilmiştir. Karşılaştırmalarda görüldüğü gibi x elema ağı içi orta okta çökme değerii aalitik çözüme göre bağıl hatası %. dolaylarıda olurke, 8x8 elema ağı içi bu değer % 0. olmaktadır. Bezer karşılaştırma M x momet değerleri içide yapılırsa x elema ile %5.7, 8x8 elema ağı içi %0.3 bağıl hata bulumaktadır. A M/Maalitik.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 M/Maalitik=0.997 0.94 0 4 6 8 0 Elema Sayısı () Şekil 0. Farklı elema sayıları içi M x değerlerii aalitik çözüme oraları Örek 5 Solu elema ağıı düzesiz olmasıı souçlar üzerideki etkisii gözlemleyebilmek içi orta oktasıa tekil yük etkimekte ola, Şekil de gösterile akastre mesetli dairesel plak çözülmüştür. Elde edile souçlar karşılaştırıldığıda, Ibrahimbegovic (993) de verile elema ile uyumlu olduğu ve solu elema ağıı düzesiz olduğu duruma örek olarak çözüle problemde yakısamaı sağlaabildiği gözlemlemiştir (Şekil )..000 0.995 w/waalitik=0.998 w/waalitik 0.990 0.985 0.980 0.975 0 4 6 8 0 Elema Sayısı () Şekil 9. Farklı elema sayıları içi orta okta çökme değerlerii aalitik çözüme oraları a) Elema b) 48 Elema (h=0., E=0.9, ν=0.3, P=40) Şekil. Merkezide tekil yük etkiside akastre mesetli dairesel plak Souçlar Çalışmada ice ve orta kalılıkta plakları çözümü içi 8 oktalı, geel biçimli, gerilme seçimli hibrid bir dörtge plak solu elema
K. Darılmaz, N. Kumbasar geliştirilmiştir. Çözüle öreklerde elde edile souçlar literatürdeki diğer çalışmalar ve aalitik çözümler ile karşılaştırıldığıda mühedislik açısıda yeterli yaklaşıklıkta ve uyumlu souçları elde edildiği görülmektedir. 0500 0400 Ref 0300 000 000 0000 9900 9800 0 50 00 50 00 50 oplam Elema Sayısı Şekil. Dairesel plakta orta okta yer değiştirme değerii elema sayısıa bağlı değişimi Plağı kalılık/açıklık oraıı çok küçük olması durumuda bile souçlar ice plak teorisi ile elde edile souçlara yaklaşabilmekte, kayma kilitlemesii ortaya çıkmadığı bir çözüm elde edilmektedir. Elema rijitlik matrisii elde edilmesi sırasıda, gerilme seçimli hibrid solu elemalar yötemide yerdeğiştirme esaslı solu elemalara göre daha fazla işlem gerekiyorsa da bezer elemaları kullaılması durumuda, elema rijitlik matrisii bir kez elde edilmesi yeterli olacak ve yie bezer elemaları kullaıldığı yerdeğiştirme esaslı solu elemalar ile ayı çözüm süresie ulaşılacaktır. Ayrıca kayma kilitlemesii ortaya çıkmaması ve daha iyi sayısal yaklaşıklığı sağlaması hibrid elemaı bu sakıcasıı karşılar iteliktedir. Sistemi çözümü içi oluşturula solu elema ağıı düzgü olmaması, souçları diğer çalışmalardaki düzeyde etkilemekte ve yeter yaklaşıklıkta souçlara ulaşılabilmektedir. Hibrid Solu Elema Yötemi kullaılarak elde edile elema, bilimeyeler olarak deplasma esaslı olalarla ayı olduğuda bu tür elemalarla beraber kullaılabilmektedir. Kayaklar Amipour, M. A., (99). Assumed-stress hybrid 4- ode shell elemet with drillig degrees of freedom, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, 33, 9-33. Bell, K., (969). A refied triagular plate bedig elemet, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig,, 0-. Berga, P. G., Wag, X., (984). Quadrilateral plate bedig elemets with shear deformatios, Computers ad Structures, 9,-, 5-34. Cheug, Y. K., Che W., (989). Hybrid quadrilateral elemet based o midli/reisser plate theory. Computers ad Structures, 3, 37-339. Chieslar, J. D., Ghali, A., (986). A hybrid strai techique for fiite elemet aalysis of plates ad shells, Computers ad Structures, 4, 749-765. Fried, I., (974). Residual eergy balacig teciquei the geeratio of plate bedig fiite elemets, Computers ad Structures, 4, 77-778. Hughes,. J. R., aylor, R. L., Kaokukulchai, W., (977). A Simple ad efficiet fiite elemet for plate bedig., Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig,, 59-543. Ibrahimbegovic, A., (993). Quadrilateral elemets for aalysis of thick ad thi plates, Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 0, 95-09. Iros, B. M., (969). A coformig quadratic triagular elemet for plate bedig, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig,, 9-46. Lee, S. W., Pia,. H. H., (978). Improvemet of plate ad shell fiite elemets by mixed formulatio. AIAA Joural, 6, 9-34. Pugh, E. D. L., Hito, E., Ziekiewicz, O. C., (978). A study of quadrilateral plate bedig elemets with reduced ıtegratio, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig,, 059-079. imosheko, S., Woiowsky-Krieger, S., (970). heory of plates ad shells, Mc Graw Hill, New York. erwood, M. H., Kok, A. W. M., (990). Shear lockig free six-ode midli plate bedig elemet, Computers ad Structures, 36, 547-555. Ziekiewicz, O. C., (979). he fiite elemet method, Mc-Graw-Hill, New-York.