Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II ( A (Bileşke foksiyou türevi f(, g ( cos ( f g (?, ( g f (? π f (, g(, h (, k( si ( f g h k (?, ( h g ( e? ( B f leri, Aşağıda verile g ciside ifade ediiz f foksiyoları içi (türevleri varlıklarıı varsayımı altıda f ( e g( f ( g( f ( g( g( 4 ( g( f ( g( + e http://odev0mbcom
leri, ( C Aşağıda verile h foksiyoları içi (türevleri varlıklarıı varsayımı altıda h f ve g ciside ifade ediiz h ( f ( g ( f ( g( f ( h ( g ( 4 h ( f g ( h ( f( g(si ( D (Zicir kuralı, Parametreye bağlı foksiyolarda türev y + ( + e + z cos arcsi t dy dy (0?,? d dt, dz d?, d z? d y t t dy? d (III Aşağıdaki foksiyoları türevlerii buluuz ( cos 4 ( (IV ( A Aşağıdaki foksiyoları mertebede türevlerii buluuz 4 e cos 5 k e ( k sabit ( 6 si http://odev0mbcom
( B Leibiz Çarpım Kuralıda yararlaarak h ( e foksiyouu mertebede türevii buluuz (V ( A Aşağıdaki foksiyolara [ 0, ] aralığıda Ortalama Değer Teoremi uygulaabilir mi? iceleyiiz, uygulaabilirse Teoremde sözü geçe sabiti buluuz, f(, >, g (, >, ϕ( (, 4 h ( 5 φ( e 6 γ ( + ( B Aşağıdaki iddiaları doğru olduklarıı gösteriiz (Ortalama Değer Teoremide yararlaarak π 0, içi ta > ab, içi si a si b a b > 0 içi + < + 4 > 0 içi ( + http://odev0mbcom
( C f (0 g(0 ve içi f g ( ( koşullarıı sağlaya türevleebile f ve g foksiyoları verilsi Bu durumda (Geelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremide yararlaarak 0 içi f ( g( olacağıı gösteriiz ( D Aşağıdaki foksiyolara verile aralıklarda Rolle Teoremi uygulaabilir mi? iceleyiiz, uygulaabilirse Teoremde sözü geçe sabiti buluuz +, [, ] f( +, [, 0 ] f(, [, ] f ( siπ ( E 4 6+ 70 deklemii ( 0, aralığıda bir köküü var olduğuu Rolle Teoremide yararlaarak gösteriiz ( F Aşağıdaki foksiyoları türevleride yararlaarak, Arta-Azala oldukları aralıkları belirleyiiz f ( + 4 f( 7+ 0 f ( + 5 f( + + 6 f ( si f( 4 6 0,π de, ( http://odev0mbcom 4
Not: Yaıtlar-Yol göstermeler kotrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs olabilir kedi çözümleriizle mutlaka karşılaştırıız Çalışma Soruları- (so gücelleme : 04040 Yaıtlar - Yol Göstermeler I 4 + + 4 ( ( si ( ( s i ( ( si (cot ( si : A (si ( si si cos A cot si si si ta ta (+ t ( e ( ta e : B a e ta (+ ta ( ta ( B + 4 cot + + cot ( ( + cot : C + ( + 4 ( cot cot cot + + ( + cot (+ cot + cot ( + cot ( + cot 4 ( + cot C + http://odev0mbcom
( t 5 ( si t t ( ( si t t t si( si( ( cos( ( cos si t e + e e + e e e + t e 6 ( cos(ta ( si(ta ( ( si ta (ta ( + ta cos cos si cosπ π π 7 ( ( cos π π( π 8 ( log π ( si ( cos π π π e e ( π e si π si π si log log π cot log 9 ( ( sec cos si cos cos cos 0 ( ( ( sec ta e (arccos e arccos ( e (arccos e (arccos e e : D e ( e ( e e D e e e e ( e Yaıtlar - Yol Göstermeler II f g ( 0 f g( 0 g ( 0 Öbilgi (Bileşke foksiyou türevi ( ( A f(, g ( cos, f g f ( g( 0 g ( ( ( si sec ta cos ( ( dikkat: g ( si, f ( http://odev0mbcom
Dikkat edilirse ( f g( sec dir Dolayısıyla buradaki türev işlemi Soru I-9 daki gibidir π π π g f ( g f ( f ( si ( ( ( π π ( π 4 4 π ( dikkat: f (, g ( si A f (, g(, h (, k( si, ( ( ( ( ( ( k ( ( f g h k f ( g h k g ( h k h ( k ( si ( ( (cos (cot si si si dikkat: k ( cos, h (, g (, f ( ( si Dikkat edilirse ( ( gibidir ( f g dir Dolayısıyla buradaki türev işlemi Soru I- deki ( h g e h ( g e g ( e e e ( ( ( ( dikkat: g (, h ( e B f ( e g( f ( e g( e g ( + eg ( e g( + g ( ( çarpımı türevide B f ( g( g( f ( ( g g ( g ( g( g ( bileşke fok türevide B g f ( ( g ( g ( bileşke fok türevide f ( ( http://odev0mbcom
g B4 ( ( f ( g( e + (( ( ( ( ( g( g( g( f ( g( + e g( + e g( g ( + g ( e g( g ( ( g( + e C h ( f ( g ( f ( g( f( g( h ( f( g( bölümü türevide f( g( ( f ( g ( ( f( g ( ( f( g ( ( f( g ( ( ( f ( g ( + f( g ( ( f( g ( ( f( g ( ( f ( g ( ( f( g( C h ( f( g(si h ( f g(si f g(si g (si ( si ( ( ( bileşke fok türevide cos f g(si g (si ( ( f ( C h ( g ( f( f ( g( f( g ( f( g ( g( g ( f( f( g( g ( ( h f ( g ( f( g ( f( g ( g ( C4 h ( f g ( http://odev0mbcom 4
g ( h ( f f f g ( g ( g ( g ( g ( g ( f g ( g ( g ( f g ( g ( g ( g ( Öbilgi (Zicir kuralı, Parametreye bağlı foksiyolarda türev f ( u y g( u u h( s s j( t dy verilsi? dt dy,? d dy dy du ds dt du ds dt d d d ( g( u ( h( u ( j( t du ds dt dy dy du d du d dy d ( g ( u du du d d ( ( u du du f şeklide buluur y + ( + e + D veriliyor Öbilgi- deki yötemde yararlaacağız z cos arcsi t dy dy d d d + + + ( ( ( e d d d d d http://odev0mbcom 5
+ ( e ( e + ( e + ( e + + + e + idi 0 0 dy ( e + 0( e + (0 0 d ( e + 0 + dy dy d d ( e + ( e + d ( e + + dy dt d d dt dt d ( arcsi t arcsi t arcsi t ( e + ( e + ( e + arcsi t( e + arcsi t ( e + + t arcsi t idi ( e + arcsi t + t dz d (cos dz dz d d d cossi si d d ( e + + e + d d d d d e d si d z d dz d si d e + d d d d e + d d cos + ( e + si ( e + cos + ( e + si e + ( e + D y t t dy d ( t ( t dy dy dt dt dt t t ( d dt d d d t türev işlemi yapılıp düzeleirse t( t dt dt t http://odev0mbcom 6
Yaıtlar - Yol Göstermeler III ( u? Öbilgi u u(, v v( olmak üzere, v v y u diyelim her iki taraf içi alalım v y u v u y ( v u v u+ v( u y şimdi her iki tarafı türevii alalım + y yv u v( u v y u v u v u + ( * Kısaca formülize edersek: v v u u v u ( ( ( ( ( ( ( + ( ( * da + cos ( cos cos ( cos cos si + (* da ( ( + ( ( ( ( ( ( ( * da 4 http://odev0mbcom 7
( ( ( ( ( (( + (* da ( ( ( ( + Yaıtlar - Yol Göstermeler IV ( ( ( + + ( A f (, f (, f ( 5( ( f (, f (,, 5 d A ( cos c d π os + d (! ( ( ( A ( d d A4 ( e e ( d + d k A5 ( e d ( k k e d si A6 ( d π si + Öbilgi 4 Leibiz Çarpım Kuralı: http://odev0mbcom 8
( ( ( fg f g+ f g + ( f g f k g ( k ( k ( + + + k ( k ( k f g k 0 B f( e, g( diyelim h ( f( g ( yai kısaca h f g Şimdi mertebede türevleri belirleyelim: f e, e f e (,, f (, ( g, g, g g 0 Şimd Leibiz Çarpım Kuralıı uygulayalım, burada g i mertebe ve bu mertebede daha büyük mertebeli türevlerii sıfıra eşit olmasıda ötürü toplam formülüde yalızca gg,, g terimlerii kullaıldığı ifadeler ile ilgileecegiz: ( k ( ( ( k ( k h f g f g k 0 ( ( ( f g+ f g f + g + 0 ( ( ( e e ( ( + + e ( e ( ( + ( Yaıtlar - Yol Göstermeler V ] Öbilgi 5 Bir [ ab, aralığıda taımlı gerçel değerli f ve g foksiyoları ve bu foksiyolarla ilgili aşağıdaki koşulları göz öüe alalım: ( -H: f ab, ] ( f -H: f : (, ( -H: f a f : [ kapalı aralığıda SÜREKLİ f ( f( b http://odev0mbcom ab açık aralığıda TÜREVLENEBİLİR 9
Yazımda kolaylık olması açısıda de f yerie g ( g -H ve ( g -H ile: sırasıyla, ( f -H ve ( f -H yazılması ile elde edile koşullar kastediliyor olacak (i (Rolle Toremi ( f -H ( f -H, ve ( f -H koşulları geçerli olsu c ( ab,, f ( c 0 (ii (Ortalama Değer Teoremi- kısaca ODT ( f -H ve ( f -H koşulları geçerli olsu c ( ab,, f ( c f ( b f( a b a (iii (Geelletirilmiş Ortalama Değer Teoremi- kısaca GODT ( f -H, ( f -H, ( g -H, ( g -H koşulları geçerli olsu c ( ab,, f ( c f( b f( a g ( c g( b g( a Not: Teoremde sağdaki rasyoel ifadei paydasıı daima sıfırda farklı kılacak uygu koşulları da Teoremi hipotezlerie ekleildiği düşüülmektedir (iv (Artalık-Azalalık ile ilgili Teoremler (yeter koşullar ( f -H geçerli olsu > f : (, (iv -T ( ab, içi f ( 0 < f : (, (iv -T ( ab, içi f ( 0 ab de (kesi artadır ab de (kesi azaladır A f ( ve g( foksiyolarıı 0 de süreklilik ve türevleebilirlik özelliklerii sağlayıp sağlamadıklarıı Çalışma Sorusu - (V(A da icelemiştik Bu souçlarda 0 http://odev0mbcom
yararlaacağız (Bu soruyu tekrarda iceleyiiz, A f( foksiyou de sürekli değildir olduğu içi de 0 [ 0,], > ODT i hipotezleride ODT uygulaamaz ( f -H koşulu sağlamaz dolayısıyla f foksiyoua [ 0, ] de, A g ( foksiyou de sürekli idi Dolayısıyla foksiyo 0, > 0, de [ ] sürekli olacaktır ve ODT i hipotezleride ( g -H sağlaacaktır Acak foksiyo de türevleemediği ve ( 0, g foksiyoua [ 0, ] de ODT uygulaamaz ( 0 olduğu içi ikici hipotez g -H sağlamaz Dolayısıyla, A ϕ( ( Dikkat edilirse ϕ ( foksiyou de 0, ( haricideki oktalarda türevleebilirdir ODT i hipotezleride ϕ -H yai ϕ : ( 0, açık aralığıda türevleebilir koşulu sağlaır Acak foksiyo de sağda sürekli olmadığı içi (çükü iceleirse ( (, 0 ϕ + ϕ ( ϕ -H yai ϕ : [ 0, ] kapalı aralığıda sürekli koşulu sağlamaz Dolayısıyla ϕ foksiyoua [ 0, ] de ODT uygulaamaz A4 h ( bir poliom olduğuda de sürekli ve türevleebilidir Dolayısıyla ODT i her iki hipotezi de sağlaır Böylece Şimdi Teoremde sözü geçe sabiti bulalım: h foksiyoua [ 0, ] de ODT uygulaabilir http://odev0mbcom
( c 0,, h( h(0 h ( c 0 ( h ( h ( c c h( h(0 ( 0 0 c c ± c ( 0, olacağıda araıla c ( 0, A5 φ( e bir poliom olduğuda de türevleebilirdir ( φ ( e ve dolayısıyla süreklidir O halde ODT i her iki hipotezi de sağlaır Böylece φ foksiyoua [ 0, ] de ODT uygulaabilir Şimdi Teoremde sözü geçe sabiti bulalım φ( φ(0 c ( 0,, φ ( c 0 φ ( e c φ ( c e φ( φ(0 e e 0 c c e e e e e c A6 ( γ foksiyou [ 0, ] de sürekli ve ( + 0, de türevleebilirdir ( γ ( O halde ODT i her iki hipotezi de sağlaır Böylece φ foksiyoua + ( [ 0, ] de ODT uygulaabilir Şimdi Teoremde sözü geçe sabiti bulalım http://odev0mbcom
( c 0,, γ( γ(0 φ ( c 0 γ ( c ( c + ( c + 0 γ( γ(0 0 c ± ( 0, olacağıda a c + ( c raıla 0, π B 0, içi ta > Iyol: f ( : ta foksiyoua foksiyo [ 0, ] de sürekli ve [ 0, ] aralığıda (burada π < ODT uygulayarak: ( + ta türevi ( f türevleebilir olduğuda ODT uygulaabilir cos 0, de mevcut (yai ( c 0,, f ( c f ( f(0 0 π 0 < c < <, ta ta 0 0 cos c ta ta > > ta > çükü daima cos π bu ve 0 < c < özelliğide cos c < π g foksiyou 0, IIyol: ( : ( ta aralığıda arta olduğuu göstererek: g ( ta > 0 π < içi ta 0 ve gerçel bir sayıı karesi daima sıfırda büyük olacağıda Öbilgi 5-(iv -T de isteile elde edilir http://odev0mbcom
B ab, içi si a si b a b Idurum: b> a olsu f ( : si foksiyoua [ ab, ] aralığıda ODT uygulayalım: f foksiyou de türevleebilirdir ( f ( cos dolayısıyla süreklidir (Böylece f i [ ab], de süreklik ve ( ab, de türevleebilirlik özellikleri sağlaır O halde bu foksiyoa [ ab], de ODT uygulaabilir ( ab c,, f ( c f ( b f( a b a f ( c cos, c f( a f( b sib sia b a b a si b si a cos c b a si b s i a ( cos c ( b a b a (daima si b si a b a IIdurum: a> b olsu si a si b a b elde edilir (yukarıdaki souçta a ve b i yeri değiştirilerek işlemler tekrarlaırsa bu soucu elde edileceği açıktır IIdurum: a b olsu si a si b si a si a 0 a b b a B > 0 içi + < + [ 0, ] f ( : + foksiyoua aralığıda ODT uygulayalım: f foksiyou [ 0, ] de sürekli ve ( 0, de türevleebilirdir ( foksiyoa [ 0, ] de ODT uygulaabilir f ( + O halde bu http://odev0mbcom 4
( c 0,, f ( c f ( f(0 0 f ( c, + c ( (0 f f + 0 + + c ( + < + c ( c ( 0, olduguda daima < ( + < + < + B4 > 0 içi ( + [ ] f ( : ( + foksiyoua 0, aralığıda ODT uygulayalım: f foksiyou [ 0, ] de sürekli ve ( 0, de türevleebilirdir ( foksiyoa [ 0, ] de ODT uygulaabilir f ( O halde bu + ( c 0,, f ( c f ( f(0 0 f ( c, + c f ( f(0 ( + ( + 0 ( + + c ( + < + c ( c ( 0, olduguda daim a < ( +, < ( + < http://odev0mbcom 5
C f ve g türevleebilir (i f (0 g(0, (ii, f g ( ( f, g foksiyoua [ 0, ] aralığıda GODT uygulayalım " f, g foksiyoları türevleebilir olduğuda 0, de sürekli ve 0, de türevleebilir olacaktır [ ] ( O halde GODT uygulaabili r " f ( c f( f(0 c ( 0,, g ( c g( g(0 f ( c f( f (0 g ( c g( g(0 (iide f f g g ( (0 ( (0 (i de f g ( ( D + foksiyou [, ] f( aralığıda sürekli; f( f( O halde Öbilgi 5(i de Teoremi iki hipotezi ( ( 0 gözlemide foksiyou f ve ( f -H sağlaır Acak f ( ( -H [ ] 0 0, oktasıda türevii mevcut olmadığı alaşılır Dolayısıyla Teoremi diğer hipotezi (yai ( f -H geçerli olmaz Böylece f foksiyoua [, ] de Rolle Teoremi uygulaamaz + foksiyou [, 0 ] aralığıda sürekli; (, 0 D f( aralığıda + 6 türevleebilir ( f ( + + + + ; f( f(0 0 O halde Öbilgi 5(i de Teoremi hipotezleri sağlaır Böylece f foksiyoua [ 6, 0 ] da Rolle Teoremi uygulaabilir http://odev0mbcom 6
Şimdi Teoremde sözü geçe sabiti bulalım c (, 0, f ( c 0 } c + 6 f ( c 0 c + 6 c D f ( siπ foksiyou [, ] aralığıda süreklidir (buu durumu,( ( si π yazımıda ve sürekli foksiyoları bileşke foksiyou da süreklidir gerçeğide gözlemlemek mümkü; (, aralığıda türevleebilirdir ( f ( πcosπ ; f( f( 0 O halde Öbilgi 5(i de Teoremi hipotezleri sağlaır Böylece f foksiyoua [, ] bulalım de Rolle Teoremi uygulaabilir Şimdi Teoremde sözü geçe sabiti c (,, f ( c 0 } f ( c πcosπc 0 π cos πc 0 c± + π c, olacağıda araıla c ler : ( 0, içi, (, 4 ± c c ± 4 E f ( foksiyouu türevi 4 6+ 7 Bu foksiyo [ ] de süreklidir ve ( olacak şekilde seçelim, 4 f ( : 8 + 7 0, 0, de türevleebilirdir üstelik f(0 f( 0 O halde Öbilgi 5(i de Teoremi hipotezleri sağlaır Böylece f foksiyoua [ 0,] de Rolle ( Teoremi uygulaabilir Teoremde c 0,, f ( c 4c 6c + 7 0 F Öbilgi 5- (iv de yararlaacağız F f ( + f ( > 0 ( iv -Tde f : de artadır F f( + f < ( 0 ( iv -T de f : de azaladır http://odev0mbcom 7
( ( < 0 F f( 4+ 6 f ( f ( 4,, 4 0,, f : ( a (, de azal ;, de artadır F4 f( 7+ 0 f ( 7 ( ( + < < < > f ( i işareti + + f ( arta azala arta F5 ( f + f ( + < < < 0 0< < > + + + + + + + f ( i işareti + + f ( arta azala azala arta F6 f ( si f ( cs o π 5π 7π f ( cos > 0 cos < < < veya < < π π 5π 7π f ( cos < 0 cos > 0 < < veya < < (iv -T ve T de f : π 5π, ve 7 π,π π de arta ; 0, 5π 7π ve, de azaladır http://odev0mbcom 8