C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 PROJELERDE -DAĞILIMININ ÜÇ DURUMUNA GÖRE PROJE TAMAMLANMA ZAMANININ BULUNMASINDA İSTATİSTİKSEL BİR ANALİZ Cevrye GENCER Orhan TÜRKBEY Gaz Ünverstes, Mühendslk Mmarlık Fak., Endüstr Müh. Böl., Maltepe, Ankara, Türkye. ÖZET Br projenn gerçekleşmes çn sıralanan faalyetlern lerye dönük başlama ve btş le lgl blglern belrlenmesnde kullanılan planlama ve kontrol teknklernden br Klask Pert (KPert) teknğdr. Blndğ gb, KPert metodunda faalyetler çn belrlenen sürelern -dağılımından geldğ varsayılmaktadır. -dağılımında; smetrk, sağa ve sola çarpık olmak üzere üç durum vardır. Lteratürde KPert teknğne alternatf olarak Fuzzy- Pert (FPert) ve Gerçek Dağılım (GDag) teknkler bulunmaktadır. Her üç teknk le br projenn; başlama ve btş le lgl blgler hesaplanablr. Bu çalışmada, stenen amacı sağlayablmek çn aynı proje örnekler üzernde -dağılımının üç durumuna göre belrtlen metotlar statstkî anlamlılık yönünden karşılaştırılarak br analz ve değerlendrme çalışması yapılmıştır. Analz sonucunda da, seçm kullanıcıya bırakılmakla brlkte; Kpert metodu önerlmektedr. Anahtar kelmeler: Proje değerlendrme, Şebeke optmzasyonu, Bulanık kümeler, İstatstksel analz, Gerçek dağılım. A STATISTICAL ANALYSIS IN FINDING THE COMPLETING TIME OF THE PROJECT ACCORDING TO THREE STATES OF THE -DISTRIBUTION IN PROJECTS In the lterature, Classcal-PERT (CPert), Fuzzy-PERT (FPert) and Real-PERT (RPert) technques take place n the probablstc determnaton of startng and fnshng tmes, whch are towards to the future of operatonal actvtes that are found n a project plannng and control technque. But n each of these three technques a statstcal analyss s not done n terms of operaton number, operaton confuson, soluton tme and qualty. In ths study, by constructng a network, a comparable statstcal analyss s made accordng to the mentoned performance crtera of each of the three technques. Between the mentoned technques, the pared-t test s appled n order to nvestgate whether there s a statstcally sgnfcant dfference or not. It s seen that CPert technque s more domnant when the results are consdered n terms of soluton dffcultes and qualty, operaton confuson. Key words: Project Evaluaton, Network Optmzaton, Fuzzy Sets, Statstcal Analyss, Real Dstrbuton.
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90. GİRİŞ PERT (Program Evaluaton and Revew Technque) şebeke analznde kullanılan br Planlama ve Kontrol teknğdr. Bu teknk br projenn gerçekleşmes yönünde yapılan faalyetlern, ne zaman başlayacağını, bteceğn ve ne gb faalyetlern ne zaman ve hang sıra le yapılacağını şebeke şeklnde yönetcye görsel blgler sunar. Projenn planlamasında faalyetler çn öngörülen süreler; uygulamaya geçldğnde klm koşulları, makne bozulmaları, malzeme temnnde k aksamalar, şç sorunları v.b. çeştl nedenlerden kaynaklanan değşklkler göstereblr. Pert teknğnde, projenn belrszlk ortamında yürütüldüğü ve şansa bağlı olarak çeştl nedenlerden kaynaklanan değşklklerden etklenlebleceğ dkkate alınmaktadır. Böylece faalyet sürelernn - dağılımından geldğ kabul edlerek, projenn toplam süresyle lgl olasılıklar hesaplanablmektedr. -dağılımında üç durum vardır. Bu durumlar Şekl 'de görülmektedr. a m b (a) a m b (b) a m b (c) Şekl. - dağılımının üç durumu (smetrk (a), sağa dönük (b) ve sola dönük (c)). Pert hesaplamalarında, faalyet sürelernn -dağılımına uyduğu varsayıldığı çn beklenen değer ( t ) ve standart sapma (σ) hesaplanablr. Gerekl formüller aşağıdadır. t ( a m b) 6 ve ( b a) 6 () Burada; a = ymser tahmn, b = kötümser tahmn, c = en olası tahmndr. Yne a m b olmalıdır. Çalışmada, krtk yol üzerndek faalyetler belrlenrken, faalyetlern ortalama sürelernden yararlanmıştır. Şebeke üzerndek krtk faalyetlern sürelernn brbrnden bağımsız ve -dağılımına uygun olduğu varsayıldığından, bu sürelern toplamı, merkez lmt teorem' ne göre normal dağılımlı br rassal değşken olmaktadır. Böylece toplam rassal değşken değer (T) aşağıdak gb hesaplanablr: T n x (n = brbrnden bağımsız rassal değşken) () 78
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 Krtk yolun beklenen değer (µ T ) ve varyansı (Г T ), her br değşkenn beklenen değer (µ ) ve varyansı (Г ) toplanarak bulunur. Yan n n T ve T () Ancak, burada bulunan "toplam proje süres" (µ T ) ymser br tahmndr. Gerçekte beklenen değer daha yüksektr. Yne, Pert yöntemyle bulunan varyans değer gerçek varyans değernden daha büyüktür. Ayrıca Pert yöntemyle bulunan krtk yol' un gerçek krtk yol olduğunu söylemek her zaman mümkün değldr. Bu çalışmada, Pert teknğ le Klask Pert teknğ (KPert) kastedlmektedr. Projenn gerçek tamamlanma zamanını bulablmek çn, her br faalyet çn verlen a, m ve b değerlernn ayrı ayrı hesaplanması gerekr. Böyle br durumda proje gerçekleştğnde; a, m, b = ve yol (faalyet) sayısı = n alınırsa, k = n adet olası durumun olduğu görülecektr. Oluşan her br olası durum çn krtk yol ve süreler hesaplanablr. Böylece, projenn olası tamamlanma süreler, bu sürelern tekrarlı sıklık değerler bulunablr ve o zaman projenn gerçek tamamlanma zamanının beklenen değer hesaplanablr. Bu yönteme Gerçek Dağılım metodu (GDag) denr. Projenn tamamlanma zamanını bulmanın br başka yöntem de Fuzzy (bulanık) Pert (FPert) metodudur. Şebeke analznde Bulanık Küme Teors (Fuzzy Set Theory) kullanılarak, proje tamamlanma zamanını bulmak yen br fkr değldr. Dubos ve Prade (), Prade (), Chanas ve Kamburowsk () ve Lee ve L () proje yönetm problemlerne Bulanık Küme Teors n uygulamışlardır. Dubos ve Prade () ve Prade () bulanık faalyet zamanlarını hesaplarken Ford un algortmasında k prenspler kullanmışlar ve projelernde her br faalyet çn erken başlama ve geç btş zamanlarını hesaplamışlardır. Chanas ve Kamburowsk (), Dubos ve Prade () nn metoduna benzer FPert dye anılan br metodu gelştrmşlerdr. Esas olarak FPert metodunda da Ford algortması kullanılmaktadır. McChahon ve Lee () se, bulanık faalyet zamanları bell olan br projenn tamamlanma zamanını bulmak çn k metodu karşılaştırmışlardır. Lootsma (6) se, br projenn faalyet zamanları uzman kşler tarafından tahmn edldğnde, proje planlamasındak belrszlkler üzerne çalışmış ve nümerk örnek üzernde, proje tamamlanma zamanı açısından KPert, FPert ve smulasyon metotlarının karşılaştırmasını yapmıştır. Shpley ve dğ. (7), -dağılımı yerne bulanık olasılıklı BIFPET metodunu önermşlerdr. Mon ve dğ. (8), proje yönetmnde bulanık dağılımlı malyet analz üzernde çalışmışlardır. Bu çalışmada se, proje tamamlanma zamanının bulunmasında KPert, FPert ve GDag metotları karşılaştırılmaya çalışılmıştır. Lteratürde FPert metodunun farklı çözüm algortmaları bulunmaktadır. Bu nedenle br karışıklığa meydan vermemek çn çalışmada kullanılan FPert metodunun aşamaları detaylı olarak dkkate alınmıştır.. FPERT METODU McCahon ve Lee () çalışmalarında, proje tamamlanma zamanının bulunmasında Lee ve L () nn kıyaslama (comparson) metodu le bleşk (composte) metodunu çözüm açısından karşılaştırmışlar ve bu metotlardan kıyaslama metodunun daha kısa ve anlaşılablr olduğunu belrtmşlerdr. Bu çalışmada, FPert metodu olarak blnen kıyaslama metodu kullanılmıştır. 79
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 Örnek projede her faalyetn bulanık zamanlarının blndğ varsayılmaktadır. Projenn tamamlanma zamanını bulmak çn kıyaslama metodunda, lerye doğru geçşte bulanık en erken başlama-btş ( ES - E F ) ve gerye doğru geçşte bulanık en geç başlama-btş zamanları ( LS - L F ) aşağıdak şeklde hesaplanmaktadır. ES max ES j A v P j ES A mn LF j v j S LF A EF LF A LS j j A j j faalyetnn bulanık faalyet süres, (+) bulanık toplama, (-) bulanık çıkarma, v j j. faalyet, P j faalyetnn öncül faalyetler set, S j faalyetnn ardıl faalyetler setdr. Üç köşel (üç elemanlı) bulanık sayılar (tranglar fuzzy numbers) kullanıldığında, br faalyetn başlayablmes çn brden fazla faalyetn btmes gerektğ durumlar da, yen başlayacak br faalyetn en erken başlama zamanının bulunmasında kullanılan bulanık öncüllük faktörler ( S(A ), m(a )) ve, m A m veya A m A j A s () m A j () s A j (6) koşulları sağlandığında A A olduğu kabul edlmekte ve j başlama zamanları olarak dkkate alınmaktadır. Burada, m(a ) A nn değerler en erken / (a b c) ve A s /8 a b c ab ac bc (7) Algortmanın daha y anlaşılablmes çn aşağıda çözümlü br örnek verlmştr.. ÖRNEK Şekl de örnek şebeke, Tablo de de örnek şebekenn bulanık faalyet zamanları verlmektedr. Tablo. Örnek problemn bulanık faalyet zamanları. E A C Faalyetler Bulanık Zamanlar F A (6,9,) B (,,6) D C (,,) B G D (6,0,) E (0,,0) Şekl. Örnek projenn öncelk dyagramı. F (,,7) G (,,) 80
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 Tablo de projenn bulanık faalyet zamanları verlmştr. Faalyet zamanları, (a,b,c) formunda üç köşel bulanık sayılar olarak kabul edlmştr. Burada, a br setn en küçük, b br setn orta, c br setn en büyük değer olarak tanımlanmaktadır. Örnek problemn, E S (erken başlama) ve E F (erken btme) değerler Tablo de, L S (son başlama) ve L F (son btme) değerler Tablo de verlmştr. Tablo. A-G faalyetler çn bulanık S E ve F E zamanları. Faalyet E S E F A 0 (6,9,) B 0 (,,6) C (6,9,) (7,,) D (,,6) (8,,0) E (6,9,) (6,,) F max[ EFC, EFD ] = E F D = (8,,0) (,9,7) G (,,6) (,7,0) Tablo. A-G faalyetler çn bulanık S L ve F L zamanları. Faalyet L S L F A (0,0,0) mn [ LSC, LSE ] = L S E = (6,9,) B (,,) mn [ D, G ] = D = (7,9,) C (,7,) (,9,) D (7,9,) (,9,) E (6,9,) (6,,) F (,9, (6,,) G (,,8) (6,,) Bu durumda, bulanık proje tamamlanma zamanı T, G faalyetnn aşağıdak gb fade edleblr: E F zamanıdır ve (x 6) /8, 6 x (x) ( x) /8, x T (8) 0, d.d Faalyet zamanları bulanık ken krtk yolu belrlemek zordur. Bu nedenle şebeke üzernde yer alan her br yolun krtklk dereces hesaplanmalı ve buna göre karar verlmeldr. Br yolunun krtklk dereces Cp şu şeklde hesaplanablr: Cp sup Tp T (9) x 8
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 Burada T p,. yolun bulanık yol uzunluğu, k kümenn kesşm, sup se br kümenn en büyük değerdr ve T p ( ) A j şeklnde hesaplanablr. jp Örnek şebekede başlangıç ve btş arasında dört alternatf yol vardır. Bunlar; (A-E), (A- C-F), (B-D-F) ve (B-G) dr. Tüm faalyetler üç köşel bulanık sayılarla temsl edldğnden, bulanık yol uzunlukları aşağıdak gb kolayca hesaplanablr.. (6,9,) (+) (0,,0) = (6,,). (6,9,) (+) (,,) (+) (,,7) = (0,6,). (,,6) (+) (6,0,) (+) (,,7) = (,9,7). (,,6) (+) (,,) = (,7,0) Bundan sonra her br yolun krtklk dereceler hesaplanablr. Tablo de krtklk dereceler, Şekl de se bunların hesapları görülmektedr. Projenn bulanık krtk yolu (A-E) dr. μ (x) 0,8 0,6 0, ( ) (x) p ( ) (x) p (...) (x) p ( ) (x) p 0, 0 Zaman 0 0 0 0 0 Şekl. Yolların krtklk derecelernn hesabı. Tablo. Yolların krtklk dereceler. Yol Cp.00 0. 0.69 0.00 8
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90. ÖRNEK PROBLEMİN KPERT METOTUYLA ÇÖZÜMÜ KPert metoduna göre her faalyetn ortalama zamanı ve varyansı Tablo de verlmektedr. Tablo. KPert metoduna göre ortalama faalyet zamanları. Faalyetler Zamanlar Varyanslar A 9.000 B 0. C 0. D 0.777 E.777 F 0. G 0. KPert metoduna göre projenn; beklenen değer (projenn tamamlanma zamanı) T =.7 standart sapması T =.96 ve krtk yolu (A-E) dr.. ÖRNEK PROBLEMİN GDAG METOTUYLA ÇÖZÜMÜ Örnek problemde 7 yol (faalyet) vardır. Bu durumda k = 7 = 87 olası durum söz konusudur. 87 durumda yer alan krtk sürelern ve bunların sıklıklarının belrlenmes gerekr. Burada sıklık anlamı; örneğn Tablo 6 da verlen 6 krtk sürenn, 87 olası durum çnde 6 defa bulunduğunu fade etmektedr. Bu nedenle Borland Pascal dlnde kodlanan program kullanılarak, krtk süreler ve sıklıklar bulunmuştur. Tablo 6 da problem çn krtk süreler, sıklıklar ve sıklıkların ortaya çıkma olasılıkları (P(x )) le brkml olasılıklar ( P T x ) verlmektedr. Yne, P(x ) sıklıkların ortaya çıkma olasılıkları, sıklık/olası durum sayısı na oranlanarak bulunmaktadır (Örneğn, Tablo 6 da 6/87 = 0,089). P(T x ) brkml olasılıklar se, kümülatf değerler fade etmektedr. Tablo 6. GDag metoduna göre sonuçlar. Krtk Süreler Sıklık P(x ) P T x 6 6 0.089 0.089 7 6 0.06 0.0 9 89 0.086 0.7 0. 0.69 80 0.08 0.9 0.068 0.90 6 0.0988 0.98 90 0.0 0.0 6 0.067 0.67 7 97 0.8 0.777 9 0. 0.8886 0..0000 8
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 Beklenen Değer (projenn tamamlanma zamanı) = / 87 =.7 dür. Projenn olası bütün değerler ncelendğnde (87 durum), bütün olası durumlar krtk yol olableceğnden, tek br krtk yolun belrlenmes bu metot çn mümkün değldr. 6. METOTLARIN KARŞILAŞTIRILMASI Aynı örnek problem üç metot le çözülmüştür. Sonuçlara bakıldığında, özellkle FPert ve GDag metotlarında nceleme aralıklarının aynı olduğu görülmektedr. Bu nceleme aralığı 6 x şeklndedr. Üç metodun karşılaştırılmasında tamamlanma zamanı olasılıkları dkkate alınmıştır. Çünkü, KPert metodu sonucu bulunan proje tamamlanma zamanı (beklenen değer) % 0 olasılıkla tamamlanma zamanıdır. Bu nedenle, olasılıklı br durum olduğundan, dğer metotların sonucunun da olasılıklı fade edlmes gerekr. GDag ve KPert metotlarında tamamlanma zamanı olasılıklarını hesaplamak kolaydır. Bu olasılıkların FPert metodunda da hesaplanablmes çn bulanık ntegralden (Poss (T x)) yararlanılmıştır (). FPert metodunda bulunan süreler olasılıklı değldr. Ancak, dğer metotlarla aynı bazda mukayese yapablmek çn bu süreler olasılıklı hale getrmede bulanık ntegral metodu kullanılmıştır. Örneğn, x = 7 çn 6 7 7 dx 6 8 6 6 8 dx x ve x = 6 çn + dx x dx dr. Burada x = 6 çn değer, 6 x aralığında tanımlanan üçgen 8 6 8 alanıdır. Örnek problemn her üç metot çn bazı tamamlanma zamanlarının P(T x) değerler Tablo 7 de verlmektedr. Tablo 7. Örnek problem çn bazı proje tamamlanma zamanlarının olasılıkları. FPert KPert GDağ X P(T x) P(T x) P(T x) 6 0.00 0.00 0.00 7 0.00 0.00 0.0 9 0.07 0.00 0. 0.9 0.06 0. 0.8 0. 0. 0.8 0.0 0.9 0.0 0.0 0.9.7 0.9 0.6 0. 0.6 0.69 0. 6 0.7 0.8 0.6 7 0.80 0.9 0.77 9 0.9 0.99 0.88.00.00.00 Karşılaştırılan üç metodun aynı bazda karşılaştırılmasının yapılablmes çn örnek problemn dışında ayrıca; smetrk, sağa ve sola çarpık olmak üzere 9 farklı şebeke seçlmştr. Bu şebekeler Şekl de verlmektedr. 8
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 (,,) (,,) (,7,9) (7,8,9) (6,9,) (,7,8) (6,7,9) (,,) (,,) (7,8,0) (9,,) (,,6) 6 (a) (b) (6,7,8) (6,8,0) (8,8,) (,,6) (6,7,) (0,,) 6 6 (,,7) (,7,9) (8,0,) (,6,) (c) (d) (,9,0) (,8,9) (,,8) (,,) (,6,7) (,,7) (,,) (,,6) 6 (,,) (,,) (0,,) (e) (f) (,6,8) (6,9,) (,6,0) (,,6) (,0,) (,8,) (9,,) (,7,) (6,9,) 6 (6,9,) (,,) (,,6) (6,,8) (g) (h) (,,6) (,6,0) (,9,6) (,6,0) (,,) (,,) (7,8,) (6,9,),,6) (7,8,) (,,) 6 (,,) (9,,7) (,,0) () (j) 8
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 (,,8) (6,7,) (,7,0) (7,9,) (,6,0) (,,) (,,9) (,,9) (k) (6,7,) 6 (,7,) (8,0,6) (l),6,) (6,9,8) (0,,8) (6,9,8) (,,6) (,,9) (,9,8) (,,9) (,,8) (6,0,9) (6,9,7) (6,0,9) (,,9) (,,7) (m) (n) (,,6) (7,,) (,6,8) (,8,0) (,8,0) (7,,) (7,,) (6,,) (,,) (,7,9) 6 (9,,7) (,6,9) (o) (p) (6,0,) (,0,) (6,,8) (6,,) (,8,0) (,7,9) (,,8) 6 (,7,9) (8,,6),6,8) (,,) (6,,7) (,,9) (r) (s) (6,,8) (,,6) (,7,9) (6,,9) (t) (0,6,8) (,7,9) (,6,7) Şekl. Örnek şebekeler. 86
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 Analzde objektf değerlemey sağlamak amacıyla; Şekl de verlen lk beş şebeke karışık (faalyet zamanları smetrk-sağa-sola çarpık özellkl), knc, üçüncü ve dördüncü beşerl şebekeler sırasıyla smetrk, sola ve sağa çarpık özellkldr. Her br şebeke çn KPert, FPert ve GDag metotları ayrı ayrı uygulanmış ve bütün x değerler çn P(T x) değerler bulunmuştur. Bütün x değerlernn kullanılmasının neden, projenn tamamlanma süres aralığı olan 6 x değerler arasında gerçekleşecek olan tamamlanma zamanı olasılıklarının bütünsel olarak çözüm uzayında fade edleblmesn sağlamaktır. Bu metotlar arasında statstksel anlamlı br farklılığın bulunup bulunmadığını araştırmak amacıyla kl-t (pared-t) test kullanılmış ve hata payı 0.0 olarak alınmıştır. Yan hata payının 0.0'den küçük olması demek, statstksel anlamlı br farklılık var anlamındadır. Analz sonuçları Tablo 8 de görülmektedr. Burada kl-t test; söz konusu metotları kl karşılaştırarak, aralarında statstk anlamlı farklılık olup olmadığını bulmak amacıyla kullanılmaktadır. Tablo 8. FPert, KPert ve GDag metotlarına göre örnek problemlern kl-t test sonuçları. Örnekler FPert-KPert FPert-GDag KPert-GDag Örnek a 0.69 0.96 0.798 Örnek b 0.99 0.999 0.068 Örnek c.0000 0.06 0.78 Örnek d 0.9 0.007* 0. Örnek e 0. 0.990 0.0996 Örnek f 0.08 0.0000* 0.0008* Örnek g 0.9780 0.007* 0.7 Örnek h 0.9 0.0000* 0.9 Örnek 0.97 0.8 0.6 Örnek j 0.6766 0.690 0.68 Örnek k 0.6 0. 0.00* Örnek l 0.9 0.00* 0.0 Örnek m 0. 0.8 0.000* Örnek n 0.008 0.0000* 0.0000* Örnek o 0. 0. 0.0000* Örnek ö 0.7 0. 0.0608 Örnek p 0.09 0.0000* 0.00* Örnek r 0.00* 0.0000* 0.987 Örnek s 0.79 0.6 0.6 Örnek ş 0.8 0. 0.97 * İstatstksel anlamlı farklılık vardır. Tablo 8 dek örneklerden lk beş örnek karışık (mxed), knc beş örnek smetrk (symmetrc), üçüncü beş örnek sola çarpık (skewed to left) ve son beş örnek se sağa çarpık (skewed to rght)'tır. Analz sonuçlarını gösteren Tablo 8 ncelendğnde: a. 0.0 hata payına göre; karışık zamanlı şebekelerde FPert-KPert ve KPert-GDag arasında statstksel anlamlı br farklılık yoktur. FPert-GDag arasında se sadece br örnekte farklılık vardır. Smetrk zamanlı şebekelerde FPert-KPert arasında statstksel anlamlı br farklılık yoktur. KPert-GDag arasında se br örnekte, FPert-GDag da se üç 87
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 örnekte statstksel anlamlı br farklılık vardır. Sola çarpık zamanlı şebekelerde, FPert- KPert arasında yne br farklılık yoktur, fakat FPert-GDag arasında k örnekte ve KPert- GDag arasında dört örnekte farklılık vardır. Sağa çarpık şebekelerde se FPert-KPert arasında br örnekte, FPert-GDag arasında k örnekte ve KPert-GDag arasında br örnekte farklılık vardır. İstatstksel anlamlı br farklılığın olmaması demek her k metod le bulunan krtk yolun ve tamamlanma zamanlarının aynı olduğu anlamındadır. b. Şebekenn sola çarpık durumda, projenn en erken tamamlanma zamanının daha belrl olduğu, sağa çarpık durumun da se projenn en erken tamamlanma zamanının daha belrsz olduğu blnmektedr. Analz sonucunda se, sola çarpık durumda FPert-KPert karşılaştırmasında br sorun olmadığı, FPert-GDag karşılaştırmasında projenn %0 (/), KPert-GDag karşılaştırmasında se %80 (/) krtk yolun ve proje tamamlanma zamanının belrsz olduğu ortaya çıkmaktadır. Sağa çarpık durumda se; FPert-KPert karşılaştırması bu belrszlğ %0 (/), FPert-GDag'da %0 (/) ve KPert-GDag'da se %0 (/) olduğu görülmektedr. c. Bütün denemelerde, FPert-KPert arasında %9 ( - (/0)), FPert-GDag arasında %60 ( - (8/0)), KPert-GDag arasında %0 ( - (6/0)) statstksel anlamlı farklılık yoktur. Bunun anlamı; hem FPert- hemde KPert metotlarının gerek krtk yolun gerekse proje tamamlanma zamanının hesaplanmasında daha başarılı olduğudur. Seçm proje uzmanının terch olacaktır. Ancak, FPert metodunun hesaplanmasındak şlem kargaşası nedenyle KPert metodunun şlem ve zleneblrlğnn daha kolay olduğu düşüncesndeyz. 7. SONUÇ VE DEĞERLENDİRME Çalışmada, lteratürde proje tamamlanma zamanının bulunmasında kullanılan üç metot karşılaştırılmıştır. Metotların aynı bazda nceleneblmes çn her metoda lşkn projenn olası bütün tamamlanma zamanları ve bunların olasılıkları hesaplanmıştır. Analz sonuçları Tablo 8 de verlmştr. Anılan tablo yukarıda üç şeklde yorumlanmıştır. Bu yorumların lknde üç farklı metodun karışık zamanlı, smetrk, sağa ve sola çarpıklık durumlarına göre statstksel anlamlı farklılıkları değerlendrlmştr. İknc yorumda, projenn en erken tamamlanma zamanının yüzdelerne göre belrllk (sola çarpık) ve belrszlk (sağa çarpık) durumları ncelenmştr. Üçüncü yorumda, yapılan bütün denemelerde projenn tamamlanma zamanının ve krtk yolun bulunmasında başarı performansları analz edlmştr. İkl karşılaştırmaların başarı performanslarına göre, FPert-KPert arasında %9, FPert- GDag arasında %60, KPert-GDag arasında se %0 statstksel anlamlı farklılık yoktur. Bu sonuçlara göre, FPert veya KPert metotlarıyla bulunan krtk yol ve proje tamamlanma zamanının daha doğru olduğu söyleneblr. Ancak her metot bazında krtk yol ve proje tamamlanma zamanının genel olarak çok büyük farklılıklar bulunmamaktadır. Bu durumda metotların şlem zorlukları göz önünde bulundurulablr. Özellkle GDag metodunda, büyük şebekelerde faalyet sayısı artıkça olası durumların blgsayar ortamında ble teker teker değerlendrlmes hafızada yer problem yaratmaktadır. Örneğn, 7 faalyetl br şebekede 87 olası durum var ken faalyet sayısı arttığında (n = 8) 66 olası durum, arttığında (n = 9) 968 olası durum, arttığında (n = 0) 909 olası durum ortaya çıkmaktadır. Artış üssel olduğu çn çözümü zorlaştırmaktadır. Bu nedenle GDag metodu terch edlmeyeblr. FPert metodunda se, her faalyet üç köşel bulanık sayılarla fade edldğnden, örnek problemdek çözümden de görüldüğü gb şlem kargaşası yaratmaktadır. Özellkle faalyetler çn bulanık öncüllük faktörlernn kullanılması gerektğ durumlarda, her zaman bu faktörler geçerl olamamakta ve bu durum projenn tamamlanma zamanının tanımlanmasında güçlük çıkarmaktadır. Bu faktörlern geçerl 88
C.Gencer ve O.Türkbey, Gaz Ünverstes. Fen Blmler Dergs, (00), 77-90 olduğu durumlarda se, özellkle büyük boyutlu ve fazla öncül faalyetl şebekelerde şlem fazlasına ve kargaşasına sebep olmaktadır. Buna göre bu metotla da yne faalyet sayısı artığında şlem kargaşası artacaktır. KPert metodunda se, faalyetlern zamanlarının ortalama zamanları bulunup tek değere ndrgendğnden şlemler akıcı ve basttr. Ancak, yapılan statstksel analz sonucu FPert ve KPert arasında statstksel anlamlı farklılık olmadığından, seçm kullanıcıya bırakılablr. KAYNAKLAR. Dubos, D. and Prade, H., Decson-makng under fuzzness, In Advances n Fuzzy Set and Applcatons, North-Holland, Amsterdam, (979).. Prade, H, Operatons research wth fuzzy data, In Fuzzy Sets-Theory and Applcatons to Polcy Analyss and Informaton Systems, Plenum Press, New york, (98).. Chanas, S. and Kamburowsk, J., "The use of fuzzy varables n PERT, Fuzzy Sets Systems",, -9 (98).. L, R.J. and Lee, E.S., Rankng fuzzy numbers-a comparson, Proceedngs of NAFIPS, May. -7, 987, West Lafayette, Indana.. McCahon, C.S. and Lee, E.S., "Project network analyss wth fuzzy actvty tmes", Computers and Mathematcs Applcatons, (0) 89-88 (988). 6. Lootsma, F.A., "Stochastc and fuzzy Pert", European Journal of Operatons Research,, 7-8 (989). 7. Shpley, M.F., Korvn, A. and Ömer, K., "BIFPET methodology versus PERT n project management: fuzzy probablty nstead of the beta dstrbuton", J. of Engneerng and Technology Management,, 9-6 (997). 8. Mon, D.L., Cheng, C.H. and Lu, H.C., Aplcaton of fuzzy dstrbutons on project management, Fuzzy Stes and Systems, 7, 7- (99). 9. Gencer, C. and Türkbey, O. The statstcal analyss n fndng the completng tme of project, The I. Conf. On Computers and Industral Eng. (8 th ICC & IE), (March-00), Cocoa Beach, Florda. 89