ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez / /0 tarihide aşağıdaki jüri üyeleri tarafıda oybirliği/oyçokluğu ile kabul edilmiştir.... Doç. Dr. Goca AYIK Prof. Dr. Hayrullah AYIK Doç. Dr. Periha Diç ARTUT DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Estitümüz Matematik Aabilim Dalıda hazırlamıştır. Kod No: Prof. Dr. Mehmet Rifat ULUSOY Estitü Müdürü Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bildirişleri, çizelge ve fotoğrafları kayak gösterilmede kullaımı, 5846 sayılı Fikir ve Saat Eserleri Kauudaki hükümlere tabidir.
ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR Solu bir X {,,, } ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Daışma : Doç. Dr. Goca AYIK Yıl:0, Sayfa: 87 Jüri : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Doç.Dr. Periha Diç ARTUT = K kümesi üzeride taımlaa tüm kısmi döüşümler yarıgrubu, tüm döüşümler yarıgrubu ve permütasyo grubuu sırasıyla P, T ve S ile gösterelim. Öcelikle bazı özel elemalar, doğuray kümesi, Gree deklik bağıtıları, P, T, S i özellikleri ve bu yarıgrupları bazı özel alt yarıgrupları gibi yarıgrup teorideki gerekli kavramları verdik. ST = T S olsu. Bu tezde P, T ve ST i bazı özellikleri, özellikle idempotet elemalar, bu yarıgrupları rak özellikleri ve bu yarıgrupları bazı alt kümeleri ve alt yarıgrupları ile ilgili literatürde ola bilgiler derlemiştir. Aahtar Kelimeler: Sigüler döüşümler yarıgrubu, idempotet elema,idempotet rak I
ABSTRACT MS THESIS IDEMPOTENT TRANSFORMATION AND SEMIGROUPS GENERATED BY IDEMPOTENT TRANSFORMATION ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİCS Supervisor Jury : Assoc. Prof. Dr. Goca AYIK Year:0, Pages: 87 : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Assoc. Prof. Dr. Periha Diç ARTUT Let P, T ad S respectively deote the partial trasformatio semigroup, full trasformatio semigroup ad permutatio semigroup defied o a fiite set X =,, K,.We first give some ecessary cotets of semigroup theory such as { } special elemets, geeratig set, Gree equivalece relatios, properties of P, T, S ad some special subsemigroup of these semigroups. Let ST = T S. I this thesis, we make a survey of some properties of P, T ad ST, especially idempotet elemets, rak properties of these semigroups ad some special subsets ad subsemigroups of these semigroups. Keywords: Sigular trasformatio semigroup, idempotet elemet, idempotet rak II
TEŞEKKÜR Yüksek lisas eğitimim süresice desteğii ve alayışıı eksik etmeye değerli daışmaım Doç. Dr. Goca Ayık a teşekkür ederim. Ayrıca, Çukurova Üiversitesi Matematik Bölümü öğretim üyeleride Prof. Dr. Hayrullah Ayık a çalışmalarıma ola katkısıda dolayı teşekkürlerimi suarım. Eğitimim süresice bei her zama destekleye aeme, babama ve kardeşlerime teşekkür ederim. III
İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV ÇİZELGELER DİZİNİ... VI ŞEKİLLER DİZİNİ... VIII. GİRİŞ.... TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 5.. Yarıgruplar... 5.. Doğuray Kümeleri... 4.3. Döüşüm Yarıgrupları... 8.4. Gree Deklik Bağıtıları....5. Döüşümleri Orbitleri... 6 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI... 9 3.. T ve P Yarıgruplarıı Doğuray Kümeleri... 9 3.. T ve P Yarıgruplarıı Altyarıgrupları... 4 3.3. Stirlig Sayıları... 48 3.4. Catala Sayıları... 54 3.5. Altyarıgrupları Rak Özellikleri... 6 4. İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI... 63 4.. ST Yarıgrubuda İdempotetleri İdirgeemez Çarpımı... 63 4.. ST Yarıgrubuu Rak Özellikleri... 73 KAYNAKLAR... 85 ÖZGEÇMİŞ... 87 IV
V
ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge.. İzomorfik Olmaya Grup ve Yarıgrup Sayıları... Çizelge.. D-sııfıı yumurta kutusu... 4 Çizelge 3.. Sm (, ) Stirlig Sayıları... 50 Çizelge 3.. C Catala Sayıları... 56 VI
VII
ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil.. α döüşümüi orbit grafiği... 7 Şekil 3.. Altıgei 4 farklı şekilde üçgelere ayrılışı... 55 Şekil 4.. Bir I T4 Şekil 4.. Bir I T5, alt kümesii ( I ), alt kümesii ( I ) Γ grafiği... 78 Γ grafiği... 79 VIII
IX
. GİRİŞ. GİRİŞ Yarıgrup, sadece birleşme özelliğii sağlaya bir ikili işlem taımlamış boşta farklı kümelerdir. Yarıgruplar, grup yapısıda daha az koşulu sağladığıda dolayı ayı elema sayısıa sahip birbirie izomorfik olmaya yarıgrupları sayısıı gruplara orala çok fazla olduğu, yarıgrup yapısıı ilk dikkat çeke özelliğidir. Aşağıdaki tabloda derecesi e fazla 8 ola izomorfik olmaya grup ve yarıgrup sayılarıı görmekteyiz. Çizelge.. İzomorfik Olmaya Grup ve Yarıgrup Sayıları Derece Grupları Sayısı Yarıgrupları Sayısı 4 3 8 4 6 5.60 6 5.973 7 5.973 8 5.843.0.8 Öreği yukarıdaki çizelgedeki derecesi 8 ola yarıgruplar hakkıdaki bilgiler Satoh, S., Yama, K. ve Tokizawa, M., tarafıda 994 yılıda yapıla çalışmada bulua bilgilerde alımıştır. Bu çalışmada,843,0,8 adet birbirie izomorfik olmaya derecesi 8 ola yarıgrubu mevcut olduğu bu yarıgrupları da,805 taesii değişmeli yarıgrup olduğu bulumuştur. X boşta farklı herhagi bir küme olmak üzere X kümesie taımlı tüm döüşümleri kümesii TX ile gösterelim. X kümeside T X kümesi bileşke işlemi ile bir yarıgrup olup bu yarıgruba tüm döüşümler yarıgrubu deir. T X yarıgrubuu bir alt yarıgrubua döüşüm yarıgrubu diyeceğiz.
. GİRİŞ Yarıgruplarda da grup teorideki Cayley teoremii bezer ifadesi vardır. Her solu yarıgrup solu bir döüşüm yarıgrubua gömülebileceğide döüşüm yarıgrupları yarıgrup teoriside öemli bir yere sahiptir. Bu sebeple T X i yapısıı ve elamalarıı özelliklerii bulmak ve T X i doğuray kümesii bulmak kousuda uzu zamadır çalışılmaktadır. Bu çalışmalara örek olarak Araujo, Braco, Ferades, Gomes, Ruskuc (00), Ayık, Ayık, Howie (005), Ayık, Ayık, Howie, Ülü (005), Ayık, Ruskuc (999), Feraedes (00), Gayushki, Mazorchuk (008), Gomes, Howie, (987), Gomes, Howie (99), Higgis, Howie, Ruskuc (998), Howie (966),Howie (995), Howie, McFadde (990), Howie (97), Howie (978), Howie, Ruskuc (994),Keares, Szedrei, Wood (00), Lipscomb, (996), Ruskuc (998) makalelerii verebiliriz. X boşta farklı herhagi bir küme olsu. Eğer x domα içi x α = oluyorsa α ya X üzeride bir kısmi döüşüm (foksiyo) deir. X üzerideki tüm kısmi döüşümleri kümesi P ile gösterilir. X kümesi solu X = {,, K, } x kümesi olarak alıırsa taımlaa tüm döüşümler ile tüm kısmi döüşümleri yarıgrupları sırasıyla T ve P ile gösterilsi. Klasik solu döüşümler yarıgrubu hakkıdaki termiolojiyi bir arada bulacağımız kayaklara örek olarak Gayushki, Mazorchuk (008), Howie (966), Howie (995), Higgis (99) kayak ve çalışmalarıı verebiliriz. T ve P yarıgruplarıı ve buları bazı alt yarıgruplarıı doğuray kümeleri ve rak özellikleri so yıllarda ağırlıklı olarak çalışıla koular arasıdadır. yarıgrupları sırasıyla T i altyarıgrupları ola sıra koruya ve sıra azalta döüşüm O ve D ile gösterilsi. Bu tezde bu yarıgrupları idempotet elemalarıı Gree deklik bağıtıları ve orbitleri icelemiştir. Ayrıca, tüm döüşümler yarıgrubuu idempotet elemaları tarafıda doğurula altyarıgruplar ile idempotet raklar hakkıdaki çalışmalar derlemiştir. T S kümesii elemaları sigüler döüşüm olarak adladırılıp tüm sigüler döüşümleri kümesii ST ile gösterelim. Döüşüm yarıgruplarıı doğurayları ile ilgili ilk çalışmalarda biri, yarıgrup teorisie yö verelerde biri
. GİRİŞ ola J.M. Howie i, sigüler döüşümler yarıgrubuu idempotetler tarafıda doğurulduğuu göstere 966 yılıda yayımlaa çalışması olmuştur. Stirlig ve Catala sayıları T ve P i bazı alt yarıgruplarıı elema sayıları ve bazı alt yarıgrupları belli tipteki elemaları sayıları belirlediği çalışmalarda karşımıza çıkmaktadır. Bu sebeple Stirlig ve Catala sayıları taımlamıştır. Stirlig ve Catala sayılarıa rak hesaplamalarıda karşılaşılmakta olup ilgili çalışmalar ve souçlar üçücü bölümde derlemiştir. Öcelikle E( ST ) ile sigüler döüşümler kümesideki tüm idempotetleri kümesii gösterelim. Sigüler döüşümler kümesideki tüm idempotetleri sayısı ( ) E ST = r r = r r dir. S i birim döüşümü idempotet olup bu sayılalara ekleerek, T deki tüm idempotetleri sayısı buluur. Bu sayı aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. r E( T ) = r r r= r + = r= r r dir. Bu tezde sigüler döüşümler yarıgrubu ST = T S içi doğuray kümesi oluştura çalışmalar araştırılıp derlemiştir. Hatırlaacak olursa α ST ise imα dir. K kümesii * r, { α α } K = T im = r * r, : olarak taımlayalım. Bu durumda dikkat edilecek olursa 3
. GİRİŞ K *, = S ve U r = K * r, = ST dir. J.M. Howie i (966) daki çalışmasıda, eğer bir X ST içi K X ise *, ST = X olduğu gösterilmiştir. Yie ayrıca J.M. Howie i 966 daki çalışmasıda olmak üzere her α D elemaı defecti ola idempotetleri çarpımı olarak yazılabileceği gösterilmiştir. I defecti ola idempotetlerde oluşa bir küme olsu. Köşe kümesi ola ve kear (ok) listesi gösterelim. I kümesii, i I j içi ( ji, ) oklarıda oluşa grafiği ( I ) X Γ ile ST i bir doğuray kümesi olması içi gerek ve yeter koşulu Γ ( I ) ı tam ve sıkı bağlatılı olması gerektiği J. M. Howie tarafıda 978 de yapıla çalışmada gösterilmiştir. S bir yarıgrup olsu. Bu yarıgrubu idempotet rakı { } ( ) mi : ( ) idrak S = A A E S ve A = S olarak taımlaır. J.M. Howie, (978) deki çalışmasıda sigüler döüşümler yarıgrubuu idempotet rakıı ( ) ve (987) de de Gomes ile birlikte yaptığı çalışmada sigüler döüşümler yarıgrubuu rakıı idempotet rakıa eşit olduğuu göstermiştir. 4
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Bu bölümde, yarıgrup teoriside yer ala ileride kullaacağımız bazı temel taım ve teoremleri vereceğiz. Yarıgruplar hakkıdaki geel termioloji içi Howie (995), klasik solu döüşümler yarıgrubu hakkıdaki termioloji içi Gayushki, Mazorchuk (008), Higgis (99) kayakları kullaılmıştır... Yarıgruplar Taım..: S boş olmaya bir küme olsu. µ : S S S taımlı foksiyoua S üzeride bir ikili işlem ve ( S, µ ) ikilisie bir grupoid deir. Her s, t S içi ( s, t) µ yerie s t veya st ve ( S, µ ) yerie ( S,.) yazılır. Taım..: ( S,.) bir grupoid olsu. Eğer, her s, t, u S içi ( s t) u = s ( t u). işlemi birleşmeli ise ( S, µ ) ikilisie bir yarıgrup deir. Eğer bir tek yarıgrupta bahsediliyorsa veya S üzeride ikili işlem belli ise ( S,.) yerie kısaca S olarak alıır. yarıgruptur. NZQRC,,,, ve Z sayı kümeleri hem toplama hem çarpma ile birer Taım..3: S bir yarıgrup olsu. i. Her s, t S içi st = ts oluyorsa S yarıgrubua bir değişmeli yarıgrup, ii. Her a, s, t S içi as = at ike s = t oluyorsa S ye sol sadeleşmeli yarıgrup 5
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER iii. iv. Her elemaı idempotet ola bir yarıgruba bad Değişmeli batlara yarılatis deir. Taım..4: S bir yarıgrup olsu. Eğer elemaı varsa elemaı varsa s S içi z s = s olacak şekildeki z S z S elemaıa bir sol sıfır elema, s z = z olacak şekildeki z S z S elemaıa bir sağ sıfır elema deir. z S elemaı hem sağ sıfır elema hem de sol sıfır elema ise z ye sıfır elema deir. Öerme..5: Bir S yarıgrubuu sıfır elemaı varsa tektir. İspat: 0 ve ' 0, bir S yarıgrubuu iki sıfır elemaı olsu. olur. = ( ıı ğ ) ' 0 00, 0, sfr elema oldu uda = ' ( ıı ğ ) ' 0,0, sfr elema oldu uda Taım..6: S bir yarıgrup olsu. Her bir sol birim elemaı, s S içi es = s oluyorsa e S ye S i se = s oluyorsa e S ye S i bir sağ birim elemaı deir. Hem sol hem de sağ birim ola elemaa birim elema deir. Öerme..7: Bir S yarıgrubuu birim elemaı mevcut ise tektir. İspat: e, f S, S yarıgrubuu iki birim elemaı olsu. e birim elema olduğuda e f = f ve f birim elema olduğuda f e = e olup f = ef = fe = e olacağıda e = f yai birim elema tektir. 6
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..8: S bir yarıgrup olsu. Eğer S bir birim elemaa sahip ise S ye bir mooid deir. S bir yarıgrup olsu. Eğer S de birim elema mevcut ise birim elema ile sıfır elema mevcut ise 0 ile gösterilir. Eğer S S, = S, S S olarak taımlaa S üzeride ikili işlem s, t S içi st, t, st = s,, s, t s = t = s = t = şeklide taımlaır ise S bir mooid olup bua gerekli ise S ye birim elema ekleerek elde edile mooid deir. sıfır elema ekleerek elde edile yarıgrup deir. 0 S bezer şekilde taımlaır ve gerekli ise S ye Taım..9: S bir yarıgrup ve a S olsu. Eğer, a = a ise a elemaıa S i bir idempotet elemaı deir. Eğer S sıfırlı bir yarıgrup ve tamsayısı varsa a elemaıa S i bir ilpotet elemaı deir. k a S içi a = 0 pozitif k Bir S yarıgrubuu tüm idempotet elemalarıı kümesii E( S) ile ve bir sıfırlı S yarıgrubuu tüm ilpotet elemalarıı kümesii N( S ) ile gösterelim. deir. e = e olmak üzere tek elemalı S = { e} yarıgrubua trivial (aşikar) yarıgrup 7
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..0: S bir yarıgrup olsu. Eğer a S içi as=s ve Sa=S oluyor ise S ye bir grup deir. Diğer bir deyişle, S bir yarıgrup ve e S ike a S içi ea=a=ae ve ba=e=ab olacak şekilde bir b Svar ise S ye bir grup deir. Taım..: S bir yarıgrup ve φ T S olsu. i. T T ise T ye S i bir alt yarıgrubu, ii. ST T iii. ise T ye S i bir sol ideali, TS T ise T ye S i bir sağ ideali, iv. ST T ve TS T ise T ye S i bir ideali deir. S bir yarıgrup ve φ T S, T de S i alt yarıgrubu ise T S ile T de S i ideali ise T < S ile gösterilir. Taım..: ST, iki yarıgrup ve herhagi bir f : S T döüşümü her xy, S içi f ( xy) = f ( x) f ( y) oluyorsa f döüşümüe (yarıgrup) homomorfizm deir. Taım..3: ST, iki yarıgrup ve herhagi bir f : S T döüşüm olsu. i. f örte bir homomorfizm ise f ye epimorfizm, ii. iii. f birebir bir homomorfizm ise f ye moomorfizm, f birebir ve örte bir homomorfizm ise f ye izomorfizm, deir. S ve T yarıgrupları arasıda bir izomorfizm var ise S ile T ye izomorfik yarıgruplar deir ve S T ile gösterilir. Ayrıca f : S S döüşümü bir homomorfizm ise f ye edomorfizm, f izomorfizm ise f ye otomorfizm deir. 8
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..4: X φ bir küme olsu. X X kartezye çarpımıı her alt kümesie bir bağıtı deir. Eğer α, X üzeride bir bağıtı ise α {( xy, ) X X :( yx, ) α} = bağıtısıa α i ters bağıtısı deir. X üzerideki tüm bağıtıları kümesi gösterilir. B x ile Taım..5: α, X üzeride bir bağıtı olsu. i. Her x X içi ( xx, ) α ise α ya yasımalı, ii. Her xy, X içi ( xy, ) α ( yx, ) α ise α ya simetrik, iii. Her xy, X içi ( xy, ),( yx, ) α x= y ise α ya ati simetrik, iv. Her xyz,, X içi ( xy, ),( yz, ) α ( xz, ) α ise α ya geçişmeli bağıtı deir. Eğer α bağıtısı yasıya, simetrik ve geçişmeli bir bağıtı ise α ya deklik bağıtısı, eğer α bağıtısı yasıya, ati simetrik ve geçişmeli bir bağıtı ise α ya (kısmi) sıralama bağıtısı deir. B x üzeride bir o ikili işlemi her, Bx αβ içi α o β {( x, y) : z X içi ( x, z) α ve ( z, y β} = ) şeklide taımlası. Taımlaa bu ikili işlem ile (,o) üzeride tüm bağıtılar yarıgrubu deir. B bir yarıgrup olup bua X x Taım..6: α Bx alalım. { x X : y X içi( x, y } dom α = ) α { x X : y X içi( y, x } im α = ) α 9
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER şeklide taımlaa X kümesii altkümelerie sırasıyla α ı taım kümesi ve görütü (imaj)kümesi deir. Ayrıca, x X ve φ Y X içi { y X : ( x, y } x α = ) α ve y = U x Y xα olarak taımlaır. Souç olarak x domα olması içi gerek ve yeter şart x α φ olmasıdır. Eğer α bir deklik bağıtısı ise X kümesii ayrık alt kümelere parçalaması e öemli özellikleride biridir. Bu durumda x X içi α = { y X :( xy, ) α} x kümesie x i deklik sııfı deir. Dikkat edilecek olursa α x ve xα ayı kümelerdir. Baze bu kümeler x α olarak da gösterilir. Tüm deklik sııflarıı kümesi X α ile gösterilip X α { α : x X} = olarak taımlaır. α ters bağıtısı ve {(, ): } bağıtısıdır. Ayrıca { : } i I i x x = xx x X kümesi X üzeride birer deklik αi i I, X üzerideki deklik bağıtılarıı bir kümesi ise I α kümesi de X üzeride bir deklik bağıtısıdır. Taım..7: S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir bağıtı olsu. i. Eğer a S ve (,) st R içi ( as, at) R ise R ye sol uyumlu, ii. Eğer a S ve (,) st R içi (sa,ta) R ise R ye sağ uyumlu 0
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER deir. Ayrıca, her ( uv, ),(,) st R içi ( us, vt) R oluyor ise R ye uyumlu bağıtı deir. Taım..8: S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir deklik bağıtısı olsu. Eğer R sol uyumlu ise R ye sol kogrüas, R sağ uyumlu ise R sağ kogrüas deir. Ayrıca, R uyumlu ise R ye kogrüas deir. Öerme..9: S bir yarıgrup ve ρ, S üzeride bir bağıtı olsu. ρ i bir kogrüas olması içi gerek ve yeter koşul ρ i hem sol hem de sağ kogrüas olmasıdır. İspat: : ρ bir kogrüas olsu. Eğer (,) st ρ ve a S ise yasımalılıkta ( aa, ) ρ ve uyumlulukta ( as, at) ρ ve ( sa, ta) ρ olur. Böylece ρ hem sol hem de sağ uyumlu olur. : ρ hem sol hem de sağ kogrüas olsu. (,),( st s, t ) ρ alalım. O zama sağ uyumlulukta ( ss, ts ) ρ ve sol uyumlulukta ( ts, tt ) ρ olur. Böylece geçişmelilikte ( ss, tt ) ρ dır. Yai ρ bir kogrüastır. Taım..0: S bir yarıgrup ve R, S üzeride herhagi bir bağıtı olsu. O halde R S S olup S üzeride R yi içere e az bir kogrüas vardır. S üzeride R yi içere tüm kogrüasları arakesiti de R yi içere bir kogrüas olup bu kogrüasa R tarafıda doğurula kogrüas deir ve # R ile gösterilir. { ρ: ρ ve ρ, üzeride bir kogrüas } # R = I R S taımda kolayca görülüyor ki # R, R yi içere e küçük kogrüastır. Öerme..: S bir yarıgrup ve R, S üzeride herhagi bir bağıtı olmak üzere
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER {(, ):,,(, ) } c R = xay xby xy S ab R şeklide taımlaa c R kümesi, R yi içere e küçük sol ve sağ uyumlu bağıtıdır. İspat: uv, c R i, R yi içerdiği açıktır. c R ve w S alalım. O zama bazı v xby olur. Böylece wu wx ay wu, wv gösterilir. Şimdi c R elde edilir. Yai c R i sol uyumlu olduğuu göstermek içi xy, S ve ab, ve wv R içi u xay ve wx by dir ve dolayısıyla c R sol uyumludur. Sağ uyumluluk da bezer şekilde c R i e küçük olduğuu gösterelim. S, R yi içere sol ve sağ uyumlu bir başka bağıtı olsu. O zama tüm xay, xby S olur. Dolayısıyla c R xy, S ve tüm ab, R içi S dir. # c Öerme.. S yarıgrubu üzerideki her R bağıtısı içi R ( R ) e = dir. c İspat: Yukarıdaki Öerme de ( R ) e i c R yi ve elbette R yi içere bir deklik c bağıtısı olduğu açıktır. ( R ) e i bir kogrüas olduğuu göstermek içi hem sol c hem de sağ uyumlu olduğuu göstermeliyiz. st, R S R R olmak üzere bazı içi st, olduğuda c c c S e ve a S olsu. O zama c S olur. S S c c S S c S R R R R c elde edilir. Böylece hem S hem de c e S sol ve sağ uyumludur. as, at S R c e c ve sa, ta S R dir ve dolayısıyla R e bir kogrüastır., S yarıgrubu üzeride R yi içere
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER c e R i S yarıgrubu üzeride R yi içere e küçük kogrüas olduğuu göstermek içi S yarıgrubu üzeride R yi içere başka bir kogrüasıı ele alalım. c bağıtısıdır ve R olduğuda c e c c R olur. Yai, c R yi içere bir deklik dır. Taım..3: S bir yarıgrup ve ρ, S üzeride bir kogrüas olsu. S i ρ ile bölümüde elde edile S ρ bölüm kümesi, xρ, yρ S ρ içi ( x ρ)( yρ) = ( xy)ρ şeklide taımlaa çarpma işlemi ile bir yarıgrup olup bu yarıgruba S i ρ ile elde edile bölüm yarıgrubu deir. Taım..4: S bir yarıgrup ve ρ, S üzeride bir kogrüas olsu. ρ : S S ρ a a aρ şeklide taımlaa ρ, örte bir homomorfizm olup bu homomorfizme doğal homomorfizm deir. Teorem..5: ST, iki yarıgrup ve φ : S T bir homomorfizm olsu. Bu durumda ker φ = φo φ = {( ab, ) S S: aφ = bφ} S üzeride bir kogrüastır. 3
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: kerφ, S üzeride bir deklik bağıtısı olup a b ve c d olduğuda a c b d olduğuda ac bd olup ac bd ab,, cd, ker içi olur. φ bir homomorfizm, ker dir. Yai ker bir kogrüastır. Taım..6: S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir bağıtı olsu. Eğer cd, S içi c=sat ve d=sbt olacak şekilde st, S ve ( ab, ) R R mevcut ise c ile d bir basit R-bağlatılıdır veya c, d de bir R bağıtısı kullaılarak elde edilmiştir deir ve c R d ile gösterilir. (, cd) R ( R ) c c dir. c R d ise d R c olduğu açıktır ve Ayrıca, S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir bağıtı olsu. Eğer ( ab, ) Siçi a=b veya ci = sat i i i, ci+ = si+ bt i i+ ile basit R-bağlatılı olacak şekilde ( a, b) R R i i R olmak üzere ci c i + bir a = c c... c c = b S i elemalarıı solu bir dizisi var ise a ile b R i bir soucudur veya a ile b R-bağlatılıdır deir, a b ile gösterilir. R.. Doğuray Kümeleri Taım..: S bir yarıgrup ve X de S i boş olmaya bir alt kümesi olsu. S i X kümesii içere tüm altyarıgruplarıı arakesiti de X kümesii içere bir altyarıgrup olup bu altyarıgruba S i X tarafıda doğurula alt yarıgrup deir ve < X > ile gösterilir. M bir mooid (grup) ve φ X M olsu. X i içere S i e küçük mooidie (altgrubua) X tarafıda doğurula alt mooid (alt grup) deir. 4
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER sg Notasyoda karışıklığı ölemek içi X tarafıda doğurula alt yarıgrup < X >; X tarafıda doğurula alt mooid mg < X > ve X tarafıda doğurula alt grup gg < X > ile gösterilir. Öerme..: S bir yarıgrup ve X ile Y, S i boş olmaya iki alt kümesi olsu. Eğer X Y ise < X > < Y > dir. İspat: < X >= T ve < Y >= U olsu. X T ve X Y U olduğuda X U T olur. U T de S i bir alt yarıgrubu olup X i içerir. U T T ve T de X i içere e küçük alt yarıgrup olduğuda U T = T olur ve dolayısıyla T U olur. Öerme..3: S bir yarıgrup ve φ X S olsu. O halde, X üzerideki tüm solu çarpımları kümesi, bir diğer deyişle + { xx... x : Z vex, x,..., x X} kümesi X i doğurduğu alt yarıgruba eşit olur. + İspat: T { xx... x : Z vex, x,..., x X} = olsu. Z + içi x, x,..., x X < X > olduğuda xx... x < X > yai T < X > olur. Ayrıca, X T ( = ) ve x, x,... xm, y,..., y X içi u = xx... x y... y m de X üzeride solu bir çarpım olup u T dir. Böylece, T de X i içere bir alt yarıgrup olup X T ve taım gereği < X >= T olur. Özel olarak, solu bir yarıgrup ayı zamada kedisi içi bir solu doğuray kümesi olup solu doğuraylıdır. 5
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..4: S bir yarıgrup ve S =< X > olsu. Eğer X ={ x } şeklide tek elemalı bir küme ise S ye moojeik (tek doğuraylı) yarıgrup deir ve S = x şeklide de yazılabilir. Taım..5: S bir yarıgrup ve φ X S olsu. Eğer < X >= S ise X e S i bir doğurayı deir. Eğer bir solu φ X alt kümesi içi S =< X > ise S ye solu doğuraylı bir yarıgrup deir. S solu doğuraylı bir yarıgrup olsu. O zama, { X X S X < < X >= S} mi :,, pozitif tamsayısıa S i yarıgrup rakı deir; rak(s) veya s-rak(s) ile gösterilir. Taım..6: S bir yarıgrup ve A da S i boş olmaya bir alt kümesi olsu. Eğer S i her doğurayı A yı içeriyor ise A ya S i idirgeemez elemalarıı bir kümesi deir. Taım..7: S bir yarıgrup ve a S olsu. Eğer her st, S içi st = a olduğuda s = a veya t = a olmak zoruda ise a S ye S i bir asal elemaı deir. Öerme..8: S bir yarıgrup olsu. A S taımlaa A kümesi idirgeemez elemalarda oluşur. =( S ) { a S: aasal} olarak İspat: Asal ve idirgeemez elema taımlarıda açıktır. Not: a hem asal hem idempotet olabilir. Bu durumda a S S dir. Öerme..9: S solu doğuraylı bir yarıgrup olsu. S i (varsa) asal elemaları ve S S kümesii elemaları idirgeemezdir. 6
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: S solu doğuraylı bir yarıgrup ve X φ de S i herhagi bir doğurayı olsu. Eğer S S φ ise bir s S S alalım. S =< X > olduğuda s = xx... x olacak şekilde x, x,..., x X vardır. olursa s = x( xx 3... x ) olur ki bu S S olması ile çelişir ve s X olur. Böylece, S S X olur. Dolayısıyla, S S i elemaları idirgeemezdir. Şimdi s S asal elemaıı olsu. S =< X > olduğuda s = xx... x olacak şekilde x, x,..., x X vardır. = ise s = x X olur. ise s = x( xx 3... x ) şeklide düşüülürse s asal olduğuda s = x ise s X olur. s = x... x olması durumuda = ise s = x X olur. Eğer, s = x( x3... x ) olup bezer şekilde devam edildiğide < olduğuda e az bir i içi s = xi olmak zorudadır. O halde, s X olur. Böylece, asal elemalar da idirgeemezdir. Öerme..0: S solu doğuraylı bir yarıgup ve T S olsu. Eğer S T, S i bir ideali ise S i her doğurayı T i bir doğurayıı içerir. Bir başka deyişle, X S i bir doğurayı ise T X de T i bir doğurayı olur ve T de solu doğuraylı olur. Taım..: S bir yarıgrup ve X de S i bir solu doğurayı olsu. Eğer, X = rak( S) ise X e bir miimal doğuray kümesi deir. Eğer X sadece idirgeemez elemalarda oluşa bir doğuray kümesi ise X e miimum doğuray kümesi deir. Taım..: S bir yarıgrup ve T S olsu. Eğer, S T < ise T ye S i solu ideksli altgrubu veya S ye T i bir küçük geişlemesi deir. Öerme..3: S bir yarıgrup, T T =< T X > olur. S ve S T < S olsu. Eğer S =< X > ise 7
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: S =< X >ve Y = T X olsu. Herhagi bir t T içi t S =< X > olduğuda t = xx... xi xx i i+... x olacak şekilde x, x,..., xi, xi, xi+,..., x X vardır. Eğer herhagi bir i içi xi S T olsaydı S T < S olduğuda t = xx... x xx... x olurdu ki bu da t T ile çelişir. O halde, tüm i i i+ x, x,..., x T olur ve dolayısıyla x, x,..., x Y = T X olur. Böylece, t Y yai < Y >= T olur..3. Döüşüm Yarıgrupları Bu bölümde tüm döüşümler yarıgrubu ve tüm kısmi döüşümler yarıgrubu, yarıgrubu elamaları, doğuray kümeleri ve rak özellikleri iceleecektir. X φ bir küme olmak üzere X üzerideki tüm bağıtıları kümesi daha öce gösterildi. B x ile Taım.3.: x olsu. Eğer x domα içi x α = oluyorsa α ya X Bx üzeride bir kısmi döüşüm (foksiyo) deir. X üzerideki tüm kısmi döüşümleri kümesi P x ile gösterilir. üzerideki tüm kısmi döüşümler yarıgrubu deir. P x kümesi bileşke işlemi ile yarıgrup olup bu yarıgruba X Öerme.3.: X φ olmak üzere P x kümesi B x i bir altyarıgrubudur. İspat: αβ, Px olsu. Eğer dom( αo β) = φ ise αo β bir boş bağıtı olup P x i bir elemaıdır. dom( αo β) φ ise herhagi bir x dom( αo β) alalım. O zama, y X içi (x,y) ( αo β) olup (x,z) α ve (, zy) β olacak şekilde bir z X vardır. ( xu, ) α ise α Px olduğuda u=z olmak zorudadır. Ayrıca, (, zv) β ise 8
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER β P x olduğuda v y = olmak zorudadır. O halde, x( α β ) = { y} o olup ( αo β) Px olur. Taım.3.3: X φ olsu. α Px içi dom α = X oluyor ise α ya bir tam döüşüm deir. X üzerideki tüm tam döüşümleri kümesi T x ile gösterilir. T x kümesi bileşke işlemi ile yarıgrup olup bu yarıgruba X üzerideki tüm (tam) döüşümler yarıgrubu deir. Öerme.3.4: T x kümesi P x i bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, Tx olsu. O zama, domα = domβ = X olup x X içi xα = xβ = dir. dom( αo β) X dir. Herhagi bir x X elemaıı alalım. x domα olduğuda ( xy, ) α olacak şekilde bir y X vardır. Ayrıca, y domβ olup ( yz, ) β olacak şekilde bir z X vardır. Böylece, ( xy, ) o( yz, ) = ( xz, ) αo β olup x dom( αo β) olup X dom( αo β) dır yai X = dom( αo β) dır. O halde, αo β T x dir. Taım.3.5: X φ olsu. α Tx içi im α = X oluyor ise α ya bir örte döüşüm deir. Eğer x, y X içi x α = yα ike x = y oluyorsa α ya bir birebir döüşüm deir. α Tx hem örte hem de birebir döüşüm ise α ya X üzeride bir permütasyo deir. X üzerideki tüm permütasyoları kümesi S x ile gösterilir. Eğer X solu bir küme ise X yerie X {,,, } = K ve B, P, T, S x x x x sembolleri yerie B, P, T, S sembolleri kullaılır. Taım.3.6: α P olsu. ker α {( x, y) xα = yα} = : 9
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER şeklide taımlaa ker α kümesie α ı çekirdeği (keral) deir. Teorem.3.7: i. im( α o β ) imβ ii. kerα ker( α o β ) dır. α, β T olsu. O zama, İspat: i. y im( α o β ) olsu. O zama ( x, y) α o β olacak şekilde bir x vardır. Bileşkei taımıda ( x, z) α ve ( z, y) β olacak şekilde X bir z vardır. Böylece ( z, y) β olup y imβ olur. X ii. ( x, y) kerα olsu. O zama, x α = yα olup β iyi taımlı olduğuda ( x α ) β = ( yα) β yai x ( α o β ) = y( α o β ) olup ( x, y) ker( α o β ) olur. Taım.3.8: α T \ S ise α ya bir sigüler döüşüm deir. Sigüler döüşümleri oluşturduğu küme Sig ya da ST ile gösterilir. Dolayısıyla, Sig = = ST T \ S dır. Taım iceleirse α ST imα olduğu kolayca görülür. Öerme.3.9: ST kümesi T i bir idealidir. İspat: α T, β ST içi im( α o β ) imβ ve 0
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER im( α o β ) imβ olduğuu biliyoruz. Burada, ST i T i bir sol ideali olduğu açıktır. Diğer tarafta, β ST ve α T olsu. Foksiyou taımı gereği im β = X β dır. Burada, X ( β o α) = ( X β ) α X β yazılır. Böylece, i bir idealidir. β oα ST olup ST, T i bir sağ idealidir. Dolayısıyla, ST, T.4. Gree Deklik Bağıtıları Gree deklik bağıtıları, bir yarıgrubu elemalarıı, doğurdukları esas idealler vasıtasıyla sııfladırmaya yaraya beş tae deklik bağıtısıdır. James Alexader Gree tarafıda ilk kez 95 yılıdaki bir çalışmasıda taımlamıştır. Bir yarıgrubu içide bölüebilmei doğasıı alamak içi de Gree bağıtıları yararlıdır. Bu bağıtılar grupta da geçerlidir ama kullaışlı bilgiler vermez. Gree deklikleri ile çalışırke bir S yarıgrubu ile doğruda çalışmak yerie S mooidi ile çalışırız. Böylece bir elema tarafıda doğurula ideali o elemaı içermesi garati altıa alımış olur. Taım.4.: S bir yarıgrup ve a S olsu. S i a yı içere e küçük (sağ-sol) idealie a tarafıda doğurula (sağ-sol) ideal deir. Yai a S elemaı tarafıda doğurula sol ideal,
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER { : } Sa = sa s S ve sağ ideal { : } as = as s S olur. Ayrıca, a S elemaı tarafıda doğurula iki yalı ideal (veya kısaca ideal) { :, } SaS = sat st S olarak taımlaır. Dikkat edilecek olursa as kümesi aslıda { : } { : } U{ } U { } as = as s S = as s S a = as a şeklidedir. Bezer şekilde { } Sa Sa a = U { } SaS SaS as Sa a = U U U dir. Taım.4.: S bir yarıgrup olsu. S üzeride taımlaa L = {( ab, ): Sa = Sb } R = {( ab, ): as = bs } J= = {( ab, ): SaS = SbS }
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER bağıtılarıa sırasıyla sol, sağ ve J -Gree deklik bağıtıları deir. Eğer ( ab, ) S içi ( ab L, ) ise a ile b L-bağlatılıdır, ( ab R, ) ise a ile b R-bağlatılıdır ve ayrıca ( ab, ) J ise a ile b J-bağlatılıdır deir. Sırasıyla alb, arb, ajb ile gösterilir. Öerme.4.3: S bir yarıgrup ve ab, S olsu. O halde, i. ( ab L, ) olması içi yeter ve gerek şart a = sb ve b= ta olacak şekilde st, S olmasıdır. ii. ( ab R, ) olması içi yeter ve gerek şart a = bu ve b= av olacak şekilde uv. S olmasıdır. iii. ( ab J, ) olması içi yeter ve gerek şart a = sbu ve b= tav olacak şekilde stuv,,, S olmasıdır. İspat: i. ( ) ( ab L, ) vardır. Bezer şekilde b ve ( ) a Sb= Sya Saolup Sa= Sb a Sb olup a = xb olacak şekilde = ya olacak şekilde = xb ve b= ya olacak şekilde y S olduğu gösterilebilir. xy, S var olsu. Sa = Sb ve burada ( ab, ) L dir. x S Sa = Sxb Sb ii. ve iii. de bezer şekilde gösterilebilir. Öerme.4.4: S bir yarıgrup olsu. S üzeride sağ ve sol Gree deklik bağıtıları değişmelidir. Bir başka deyişle, L o R=Ro Ldır. İspat: Howie (995), Propositio..3 e bakıız. 3
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım.4.5: L ve R deklik bağıtılarıı içere S i e küçük deklik bağıtısıa D-Gree deklik bağıtısı deir. Bir D=Lo R olduğu kolayca gösterilir. başka deyişle, D=L R dır. Burada da Taım.4.6: H-Gree deklik bağıtısı da H=L R olarak taımlaır. D=Lo R=R o L olduğuda D, L ve R yi içere bir deklik bağıtısı olup bir D-sııfı D ise D L-sııflarıı ve ayı zamada R-sııflarıı bir bileşkesidir. Ayrıca, ab, S içi L a ve b R ayı D- sııfı tarafıda içeriliyor ise La Rb φ dır. Gerçekte de a La D ve b Rb D ise ab, D yai ( ab, ) D olur. Dolayısıyla, ( ac, ) L ve (, cb) Rolacak şekilde c S vardır. c La ve c Rb olup c La Rb dır. Böylece, bir D-sııfı her satırı R-sııfı, her sütuu bir L-sııfı ve her bir hücresi de H-sııfı ola bir yumurta kutusu şeklidedir. Çizelge.. D-sııfıı yumurta kutusu L a R a a H a Teorem.4.7 (Gree Teoremi): S bir yarıgrup, ab, S ve arb olsu. O halde, as = b ve bt = a olacak şekilde st, S vardır. Bu seçili s ve t içi g : L L g : L L s a b t b a x xs y yt 4
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER olarak taımlası. O zama, g s ve g t birbirlerii tersi olup - ve örtedir. Ayrıca bular bir H-sııfıı yie bir H-sııfıa götürür. Yie bezer şekilde, S bir yarıgrup, ab, S ve alb ike tb= ave sa = b ise λ : R R λ : R R s a b t b a x sx y ty olarak taımlaa döüşümler birbirlerii tersi olup - ve örtedirler. Ayrıca bu döüşümler bir H-sııfıı bir H-sııfıa götürürler. İspat: Howie (995), Lemma.. ve Lemma.. ye bakıız. Souç.4.8: S bir yarıgrup olsu. ( ab, ) S içi ( ab, ) Doluyor ise La = Lb, R a = Rb ve Ha Hb = olur. Bir başka deyişle, bir D-sııfı içideki herhagi iki L- sııfı (R-sııfı veya H-sııfı) eşit sayıda elema içerir. İspat: Howie (995), Lemma..3 e bakıız. Teorem.4.9: H bir H-sııfı olsu. O halde, H ya bir gruptur ya da H H = φ dır. İspat: Howie (995), Theorem..5 e bakıız. Souç.4.0: S bir yarıgrup ve H, S de bir idempotet elema içeriyor ise S i bir altgrubudur. H-sııfı olsu. Eğer H bir Souç.4.: S de bir H-sııfı e fazla tae idempotet elema içerir. 5
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER.5. Döüşümleri Orbitleri Taım.5.: α T ve xy, X olsu. X üzerideki α bağıtısı r q + { } x α y xα = yα olacak şekilder, q Z 0 olmasıdır. X üzeride bir deklik bağıtısıdır. Bu deklik bağıtısıı deklik sııflarıa α ı orbitleri deir. α T içi α ı orbit grafiği Γ α ile gösterilir. kümesi V ( Γ ) ve kearları kümesi E ( Γ ) α α Γ α grafiği i köşeleri ( ) ( ) ( ) { } V Γ = X, E Γ = xx, : x X α α α şeklide taımlıdır. Örek.5.: 3 4 5 6 7 8 9 α = 3 5 5 6 6 5 Ω = {,,3,4,5,8,9} ve { 6,7} Ω = olur. alalım. α T i orbitleri Not: α T içi α ı orbitleri Ω, Ω,..., Ω m ve i ri Ω = ( i m) olsu. Γ α ı m tae bağlatılı bileşei vardır ve bu bağlatılı bileşeler ( α Ω ) i ( Γ α, Ω ) = {(, α): Ωi} Γ : V Γ =Ω α, Ωi i, i E xx x i i dır. Ayrıca, her i içi Γi, Ωi r i köşeli ve r i kearı ola bağlatılı bir grafik olup, ağaç olmaz, dahası; Γ i, Ω de bir tek patika ve devir vardır. Γ i α ı grafiği 6
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER 4 8 7 6 3 5 9 Şekil.. α döüşümüi orbit grafiği olur. 7
.TEMEL TANIM ve TEOREMLER 8
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI X {,,..., } = kümesi üzerideki simetrik grup, tüm döüşümler yarıgrubu, kısmi döüşümler yarıgrubu ve sigüler döüşümler yarıgrubuu öceki bölümde taımladık ve sırasıyla S, T, P ve ST ile gösterdik. 3.. T ve P Yarıgruplarıı Doğuray Kümeleri Bu bölümde bazı döüşüm yarıgruplarıı doğuray kümeleri ve rakları bulumuş olup bu bilgileri derleyeceğiz. αβ, T içi i. im( αβ) im( β) ii. ker( α) ker ( αβ ) olduğuu bir öceki bölümde ispatlamıştık. Teorem 3..: αβ, T olsu. O halde i. α L β imα = imβ ii. αrβ kerα = ker β iii. α D β imα = imβ iv. αh β imα = imβ ve kerα = ker β olmasıdır. İspat: i. ( ) α L β olsu. O halde, α vardır. Dolayısıyla, = γβ ve β σα = olacak şekilde γσ, T 9
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI imα = im( γβ) imβ = im( σα) imα olup imα = imβ olur. ( ) imα = imβ = i, i,..., i m olsu. O zama, { } A A A =, i i... im α... m β B B... m = i i im... B olacak şekilde X i ( ) m i i A = ve ( B ) m i i = parçalaışları vardır. Her j m içi k j B alalım ve j γ A A... m = k k km... A olarak taımlayalım. Böylece, γβ A A... A B B... B m m = k k k m i i i m...... A A... A α i i... im m = = olur. Bezer şekilde, σα ii. ( ) α R β olsu. O zama, α vardır. Dolayısıyla, = β olacak şekilde bir σ taımlaacağıda ( αβ L, ) dir. = βγ ve β ασ = olacak şekilde γσ, T kerα = ker( βγ) kerβ = ker( ασ) kerα olup kerα = ker β olur. 30
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI ( ) kerα = ker β olsu. Bu deklik bağıtısıı deklik sııfları A, A,..., A m olsu. O zama, A A A =, i i... im α... m β A A... m = j j jm... A olacak şekilde i, i,..., im, j, j,... jm X vardır. Şimdi, γ : X X döüşümüü x X içi xγ ik, x= jk( k m) = x, diğer olarak taımlayalım. O halde, βγ {,,..., } A A... A j j... j X j j j m m m = j j j m i i im...... A A... A α i i... i m m = = olur. Bezer şekilde, ασ olur. = β olacak şekilde bir σ taımlaacağıda ( αβ R, ) iii. ( ) α D β olsu. D=Lo R olduğuda α Lγ = γ R β olacak şekilde bir γ T vardır. O halde, imα = r ise imγ = imα olduğuda imγ = r olup kerγ ı r tae deklik sııfı vardır. γ R β olduğuda kerγ = ker β olup ker β da r tae deklik sııfı vardır. Dolayısıyla, imβ = r dır. ( ) Diğer tarafta, imα = r = imβ olsu. O zama, 3
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI A A... A = i i... ir r α ve β B B... B r = j j... jr şeklide olur. Dolayısıyla, γ B B... B r = i i... ir alıır ise α Lγ ve γ R β olacağıda α D β olur. Öerme 3..: P, T + i bir altyarıgrubua izomorfiktir. İspat: α P olsu. Her x X + içi * α : X+ X+ i xα * xα x domα X = + x domα olarak taımlayalım. O zama, * α T + olur. φ : P T+ döüşümüü αφ * = α ( α P ) olarak taımlayalım. αβ, P olsu. α β α β taımlı ve birebir olması gerekir. * * = = olması içi yeter ve gerek şart φ i iyi ( α β) = [ α βα ] dom o im dom () dır. Şimdi ( α βφ ) αφ βφ α β * * o = o = o olduğuu gösterelim. () eşitliği göz öüe alıdığıda x X + içi 3
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI x( αoβ) * x( αoβ), x [ imα domβα ] = +, diğer x( αoβ), xα [ imα domβ] = +, diğer ( xαβ ), ( xα) domβ = +, diğer = x α β * * ( o ) olduğuda φ bir homomorfizmdir. Böylece, P im T φ + olur. Öerme 3..3: S i her elemaı ayrık devirleri bir çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca, ( ii i... 3 i r ) S i bir devri ise ( ii i... i ) = ( i i )( i i )...( i i )( i i ) 3 r r r r r 3 şeklide traspozisyoları çarpımı olarak yazılabildiğide S i her elemaı traspozisyoları çarpımı olarak yazılabilir. Tümevarım yötemi ile buu göstermeye çalışalım. α = ( 3... ) ve ( ) β = olsu. O zama, i içi ( ) i i i i α βα = α βα i (... )( )(... ) = i ifadeside 33
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI ( )( )( ) = α βα = i...... i= = 3... = 3... = ( 3) α βα α βα 3 4... = 4 3... = ( 34) M M ( ) ( )( )( ) ( ) = α βα = i,...... = elde ederiz. Böylece, ( ) ( ) ( ), 3,..., αβ, olur. Teorem 3..4: 3 içi S = αβ, ve rak( S ) = dir. İspat: Her i j içi j i ise = ise ( ij), αβ olduğuu biliyoruz. j i > ( i i+ )( i+ i+ )...( j j )( j j)( j j )...( i+ i+ )( i i+ )... i i i+... j j j+... =... i j i+... j i j+... = ( i j) olup ( i j) αβ, dır. 34
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Teorem 3..5: T = αβγ,, olmak üzere Ayrıca, γ ij : X X döüşümüü x X içi 3... γ = 3... olsu. xγ ij j, x= i = x, x i olarak taımlayalım ( γ γ) =. O halde, γ αβγ,, dır. ij İspat: i, j 3 içi... i i i+...... i i+... ( i) oγ o ( i) = = γi... j j j+... j... j j j+... ( j) oγ o ( j) = = γ j ( i) o( j) oγ o ( j)( i)... i i i+... j j+ = = γ... i j i+... j j+ ij ( i j) oγ o ( i j) = γ ji olur. Böylece, i j X içi γij αβγ,, olur. Teorem 3..6: 3 içi T = αβγ,, ve rakt = 3 dür. İspat: α T olsu. Eğer imα = ise α S olup α αβ, αβγ,, olur. imα olduğuu varsayalım. O halde, e az bir z X imα mevcuttur. 35
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Ayrıca, α, değildir. Dolayısıyla, iα = jα ike i j olmak üzere e az bir çift ( i, j ) vardır. ^ : X X α döüşümüü x X içi ^ z, x= i xα = xα, x i olarak taımlayalım. O zama, α ij ^ = γ α olur. Ayrıca, ^ imα = imα + olur. Eğer α ^ ise α ^ S αβγ,, olduğu aşikardır. Eğer α ^ ise bezer şekilde S ^ ^ imα ^ = imα + ve ^ α kl ^ ^ = γ α olacak şekilde kl ve α buluur. İmaj her defasıda arttığıda solu adım sora, X ^ ^ T ^ M ^ ^ α = γγ... γ α αβγ,, ij kl pq olduğu görülür. 36
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Teorem 3..7: αβ, P olsu. O zama, i. α L β imα = imβ ii. α R β kerα = ker β dır. İspat: i. ( ) αβ, P içi α L β olsu. λα = β ve γβ = α olacak şekilde λγ, P vardır. Dolayısıyla ( ) ( ) imα = im γβ imβ = im λα imα olup imα = imβ olur. ( ) imα = imβ olsu. α A A... A A m m+ = X X... Xm Xm+ ve β B B... B B m m+ = X X... Xm Xm+ ( m A + veya B m + φ olabilir.) Her i m içi bir yi Ai seçelim (fix) ve λ B B... B B m m+ = Y Y... Ym Ym+ olarak taımlayalım. 37
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI λα B B... B B A A... A A m m+ m m+ = Y Y... Ym Y m+ X X... Xm X m+ B B... B B m m+ = X X... Xm Xm+ olur. Bezer şekilde, ii. ( ) γ P mevcut olup α L β olur. αβ, P içi α R β olsu. αλ = β ve βγ = α olacak şekilde λγ, P vardır. Dolayısıyla ( β) = ( αλ) ( α) = ( βγ) ( β) ker ker ker ker ker olup ker( β) ker ( α) = olur. ( ) ker( β) ker ( α) = olsu.o zama α A A... A A m m+ = X X... Xm A A... Am Am+ ve β = Y Y... Ym olacak şekilde Xi, Yi X vardır. Her i m içi bir Zi Xi seçelim ve {,,..., } Y = X Z Z Z olmak üzere m Z Z... Z Y = P Y Y... Ym m λ olarak taımlayalım. O zama αλ A A... A A Z Z... Z Z m m+ m m+ = X X... Xm Y Y... Ym Y m+ A A... A A m m+ = Y Y... Ym = β 38
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olur. Bezer şekilde βγ = α olacak şekilde γ P buluur. α R β olur. Öerme 3..8: rak( P ) = 4 dür. İspat: α P olsu. O zama α A A... A A, m m+ = X X... Xm β A A... A A m m+ = ( x A m X X... Xm A + m+ ise xβ = x) ve λ A A... A A m m+ = A A... Am ( x A A... Am içi xλ = x)... i K olarak taımlaır ise α = λβ olur. i X içi ξi =... _ K taımlayalım. Eğer A = m+ φ ise λ = X ve β = α olup souç açıktır. Eğer {,,..., } A = i i i φ ise o zama m+ r olarak λ = ξξ... i i ξ ir olur. Böylece α = ξξ ξβolur.... i i ir 3... α =, α3 = 3... ve α4 = ξ α = ( ), (... ) 39
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI alalım. β α, α, α3, ξi α, α, α4 ve α α, α, α3, α4 olur. Böylece rak( P ) 4 olur. Ayrıca, T P, SP P T P olur. Dolayısıyla = < ve rak( T ) = 3 olduğuda rak( P ) 3+ = 4 rak( P ) = 4 olur. Taım 3..9: Bir α döüşümü içi Fix( α), Shift ( α), Def ( α) kümelerii ve fix( α), shift ( α), def ( α) pozitif tamsayılarıı { α } Fix( α) = x X : x = x Def( α ) = X im ( α) Shift( α ) = X Fix ( α) fix( α) = Fix ( α) def( α) = Def ( α) shift( α) = Shift ( α) olarak taımlayalım. Def ( α) kümesie α ı (defect kümesi) oksalık kümesi, Fix ( α) kümesie α ı (fixleri kümesi) sabitleri kümesi, Shift ( α) kümesie α ı (shiftleri kümesi) değişeleri kümesi deir. Taım 3..0: φ A X olsu. Eğer xyz,, X içi xz, A ve x< y< z olduğuda y A ise A ya koveks küme deir. mi A= r ve max A q = ise A { rr,,..., q, q} = + dır. 40
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI 3.. T ve P Yarıgruplarıı Bazı Altyarıgrupları Solu bir X {,,, } = K kümesi üzeride tüm döüşümler yarıgrubuu T ile göstermiştik. Bu bölümde tüm döüşümler yarıgrubu T i bazı özel alt yarıgruplarıı taıtarak bu güe kadar belirlee özellikleri hakkıda bir derleme yapılacaktır. r olmak üzere K r, kümesi { α α } K = T im r r, : olarak taımlaır. Dikkat edilecek olursa K, = T ve K =, ST dir. Teorem 3..: K r, kümesi T yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, Kr, alalım. O halde imα r ve im r olduğuda β dir. im( αβ) imβ ( αβ) im imβ r dir. Böylece αβ K r, olup K, r T dir. Teorem 3..: K r, kümesi T yarıgrubuu bir idealidir. İspat: α K r, ve β T elemalarıı alalım. O halde im r olduğuda α ve im( βα) imα ( βα) im imα r 4
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olup βα K r, dir. Böylece K r, kümesi T yarıgrubuu bir sol idealidir. imβ = k olsu. k r ise bezer şekilde im( αβ) imβ = k r olup αβ K r, dir. k > r = olup ( αβ) (( α) β) ise αβ ( imαβ ) im im im r dir. Her durumda αβ K r, olup K r, kümesi T yarıgrubuu bir sağ idealidir.o halde K, r < T dir. Dikkat edilecek olursa K K L K K,, r, r, K < K <L< K < K,, r, r, dir. Taım 3..3: α T alalım. xy, X içi x y ike xα yα oluyor ise α ya bir sıra koruya döüşüm deir. X üzeride taımlı tüm sıra koruya tam döüşümler yarıgrubua sıra koruya döüşüm yarıgrubu deir ve Öreği O 3 ü tüm elemaları aşağıdadır. O 3 3 3 3 3 3,,,, 3 3 = 3 3 3 3 3,,,, 3 3 3 3 3 3 3 3 O ile gösterilir. Teorem 3..4: O kümesi T yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, O olsu. Eğer x y ise α O olduğuda ve xα yα dir. β O olduğuda ( xαβ ) ( yαβ ) olur yai x( αβ) y( αβ ) olur bu da αβ ı sıra koruya döüşüm olduğuu gösterir. Dolayısıyla, O T dir. O i elema sayısı = olur. 4
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Öerme 3..5: αβ, O olsu. i. α L β imα = imβ ii. α R β kerα = ker β iii. α D β imα = imβ dır. İspat: A {,,..., r}, A { r, r,..., r },..., A { r, r,..., } üzere, = = + + = + + olmak m m m α O ise parçalaışı { } A A... A = i i... im m α A, A,..., A m ve olacak şekilde i i... im dir. Teoremi i.,ii.,iii. şıklarıdaki ( ) yölü ispatlar yukarıda Teorem 3.. deki ispatı ayısıdır. ( ) ispatları yapalım. i. imα = imβ olsu. O zama, X i bir sıralı koveks T üzerie ola A A... A =, i i... im m α β B B... B m = i i... im olacak şekilde X i sıralı koveks parçalaışları { } r i i I A ve { } r B vardır; ayrıca i i I... r i i i olur. Öce her k m içi bir jk Ak seçelim. A k ları sıralı koveks parçalaış olduğuda j j... jm olup γ B B... B m = j j... jm olarak taımlaır ise şekilde bir γ O dır ve γα = β olur. Bezer şekilde, λβ = α olacak γ O mevcut olup α L β olur. ii. kerα = ker β olsu. O zama, 43
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI A A... A =, i i... im m α β A A... A m = j j... jm olacak şekilde m X i α { A i } i= = sıralı koveks parçalaışı ve {... },{... } i < i < < i j < j < < j X m m vardır. B = {,,..., i} {,..., } B = i + i... {,..., } = {,,..., } B = i + i m m m B X i m+ m olmak üzere γ B B... B B m m+ = j j... jm olsu. O halde, γ O dır ve αγ = β olur. Bezer şekilde, βλ = α olacak şekilde λ O mevcut olup α R β olur. iii. imα = imβ olsu. O halde, α A... Am B B... Bm =, β = i... i j j... j m m 44
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olacak şekilde... m X i { A } ve { } i i i ve j j... jm vardır. i B sıralı koveks parçalaışı ve i γ B B... B i i... im m = O olup bezer şekilde α Lγ ve γ R β olduğuda α D β olur. Soru 3..6: α O ise α ı orbitlerii grafiğii bulalım. Cevap: α O ise x X olsu. Şimdi xxα xα xα xα xα m m+ m+ r,,,...,,,...,,... dizisii ele alalım. Bu dizi sosuza dek farklı elemalarda oluşamayacağıda dolayı x m m r α = xα + olacak şekilde mr, Z + vardır. Biz bu koşulu sağlaya e küçük m ve sora e küçük r yi seçelim. r olsaydı, α O olduğuda Birici durumda xα m m r xα + ike m m+ m+ r xα xα... xα olur. m+ m+ r m xα xα = xα çelişkisi elde edilir. Bezer şekilde diğer durumda da çelişki elde edilir. Dolayısıyla, r = olmak zorudadır. Souç olarak, α O ise α ı orbitlerideki devirler birer halkadır Öerme 3..7: α O ise α ı orbitleri kovekstir. 45
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI İspat: α ı herhagi bir orbiti Ω olsu. Ayrıca, x y ola xy Ω, mevcut olsu. Kabul edelim ki x<y ve bir z X içi x< z< y olsu. O zama, xα zα yα olur. Bir t Ω içi Ω daki halka t olsu. O halde, y r α = t olacak şekilde mr, Z + { 0} O zama, xα m = t ve vardır. Geelliği bozmaksızı, m r olsu. r m ( r m) m xα = xα + = xα = t r m ( r m) m r m r m xα = xα + = xα α = tα = t y r α = t olup r r r t xα zα yα t = = olduğuda z r α = t yai z Ω olur. Taım 3..8: α T alalım. x X içi xα x oluyor ise α ya sıra azalta döüşüm deir. X üzeride taımlı tüm sıra azalta döüşümler yarıgrubua sıra azalta döüşümler yarıgrubu deir ve D ile gösterilir. Öreği D 3 ü tüm elemaları aşağıdadır. 3 3 3 3 3 3 D =,,,,, 3 3 Teorem 3..9: D kümesi T yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, D olsu. x X içi xα x ve xβ x olup x( αβ) = ( xαβ ) xα x olduğuda αβ D olur. Dolayısıyla, D T dır. D i elema sayısı da! olarak buluur. Dikkat edilecek olursa D ve O de birim döüşümde başka permütasyo yoktur. α D içi α = α ve 46
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI D 3... S = O S = I = 3... dır. Taım 3..0: döüşüm deir. α T alalım. x X içi xα x oluyor ise α ya sıra arttıra X üzeride taımlı tüm sıra arttıra döüşümler yarıgrubua sıra artıra döüşümler yarıgrubu deir ve r olmak üzere D r, kümesi * D ile gösterilir. D r, = { α D : imα r } olarak taımlaır. D r, kümesi kümesi D yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. DP ( ) r ( ) =, DPr D = r r, D { α D : imα = r } olarak taımlaır. ( ) r DP kümesie D r, i Rees bölümü deir Taım 3..: α T alalım. xy, X içi xα x ve x y ike xα yα oluyor ise α ya sıra koruya ve azalta döüşüm deir. X üzeride taımlı tüm sıra koruya ve azalta döüşümleri yarıgrubua sıra koruya ve azalta döüşümler yarıgrubu deir ve C ile gösterilir. Dikkat edilecek olursa C = O D 47
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI dir. Öreği C 3 ü tüm elemaları aşağıdadır. C 3 3 3 3 3 3 =,,,, 3 3 Tüm kısmi döüşümleri yarıgrubuu yarıgruplarıı taıyalım. r olmak üzere PK r, kümesi P ile göstermiştik. Şimdi { α α } K = P im r r, : P i bazı alt olarak taımlaır. PK, r kümesi P yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. 3.3. Stirlig Sayıları Stirlig sayılarıı hagi problemlere cevap oluşturduğuu alatarak taımlamaya çalışalım. A= { wxyz,,, } ve {,,3} B = olsu. Bu durumda f : A B şeklide 3 4 =8 tae foksiyo vardır. B i elemalı alt kümelerii sayısı 3 = dir. Öreği B i, {,} B alt kümesii alırsak f : A {,} şeklideki foksiyoları sayısı 4 =6 dır. Dikkat edilecek olursa f : A {,} şeklideki foksiyolar A da B ye örte olmaya foksiyoları bir kısmıdır. B i, { } B alt kümesii alırsak : { } f A şeklideki foksiyoları sayısı 4 = dir. f : A { } şeklideki foksiyolar da A da B ye örte olmaya foksiyoları bir kısmıdır. Fakat örte olmaya foksiyoları sayarke f : A { } sabit foksiyou B i {,,,3 } { } ve { } öz alt kümeleri içi üç defa saydık. Tüm 48
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI bu durumları dikkate alırsak A da B ye örte foksiyoları sayısı (tüm foksiyoları sayısıda örte olmayaları sayısı çıkarılarak) 3 3 4 4 4 3 + = 36 dır. Geel olarak A foksiyoları sayısı = m ve B = solu kümeleri içi A da B ye örte m k k + + k + k m m + L+ ( ) + ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) m m k m k m dir. Daha kısa olarak ifade etmek istersek A da B ye örte foksiyoları sayısı = m ve B = solu kümeleri içi A k k k m k m ( ) ( k) = ( ) ( k) k= 0 k= 0 dir. Bu sayı sadece örte foksiyoları vermei dışıda başka problemleride yaıtı olarak düşüebilirz. Bu problemlere örek olarak aşağıdaki problemi verebiliriz. Geel olarak m olmak üzere m tae eseyi kutuya hiçbir kutu boş kalmayacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtabiliriz? Bu problemi de yukarıdaki örte foksiyolar gibi düşüürsek cevap ayı sayıdır. Yai geel olarak m olmak üzere m tae eseyi kutuya hiçbiri boş kalmayacak şekilde k k k m k m ( ) ( k) = ( ) ( k) k= 0 k= 0 49
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI farklı şekilde dağıtabiliriz. Kabul edelimki, bu kutuları farklı yapa üzerlerideki etiketler olsu. Yai etiketler çıkarıldığıda kutular tamame ayı kutular olsu. Bu tae farklı etiketi bu kutuya! farklı şekilde dağıtabileceğimizde, m tae eseyi kutuya hiçbiri boş kalmayacak şekilde k m k m ( ) ( k) = ( ) ( k)! k! k k= 0 k= 0 farklı dağıtabiliriz. Bu sayıya ikici tip Stirlig Sayısı deir ve Sm (, ) ile gösterilir. Sm (, ) = k, m! k= 0 k k m ( ) ( ) ( ) Dikkat edilecek olursa m elemalı bir kümede elemalı bir kümeye örte foksiyoları sayısı Sm! (, ) şeklide ifade edilebilir. Bazı Stirlig sayıları aşağıdaki çizelgede ifade edilmiştir. Çizelge 3.. Sm (, ) Stirlig Sayıları m 3 4 5 6 7 8 3 3 4 7 6 5 5 5 0 6 3 90 65 5 7 63 30 350 40 8 7 966 70 050 66 8 50
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Yukarıda bahsedile dağıtım problemide boş kutu olmasıa izi verilirse, yai problem m olmak üzere m tae eseyi tamame ayı ola kutuya kaç farklı şekilde dağıtabiliriz olsu. Bu durumda m tae eseyi tae, tae,, tae tamame ayı ola kutuya dağıtacağız. O halde m eseyi tamame ayı ola kutuya olmak üzere m tae i= Smi (,) farklı şekilde dağıtabiliriz. Öreği 4 farklı eseyi 3 tae tamame ayı ola kutuya 3 i= S(4, i) = S(4,) + S(4,) + S(4,3) = + 7+ 6 = 4 farklı şekilde dağıtabiliriz. ( Smi (,) sayıları Çizelge. de alımıştır.) Stirlig sayılarıı cevap olduğu problemlere aşağıdaki öreğide verebiliriz. Örek 3.3.: 505 pozitif tamsayısı sıra gözetmeksizi kaç farklı şekilde pozitif tamsayı çarpalarıa ayrılabildiğii bulalım. Buu içi öce 505= 3 5 7 3 olup 5 tae asal çarpa olduğua dikkat edelim. Kutulara sayı yerleştirmek olarak problemi düşüürsek 505 sayısıı çarpalarıı kutulara yerleştirile sayıları çarpımı olarak belirleyelim. O halde kutuya kutuya 3 kutuya 4 kutuya ve 5 kutuya sayıları dağıtabiliriz. Öreği iki kutuya sayıları atmak demek 505= ( 3 5 7) ( 3) = 05 43 yada 5
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI 505= ( 3 5) ( 7 3) = 5 00 olup 05 43 yada 5 00 ifadelerii örek olarak alabiliriz. Böylece 505 pozitif tamsayısı sıra gözetmeksizi 5 i= S(5, i) = S(5,) + S(5,) + S(5,3) + S(5,4) + S(5,5) = + 5+ 5+ 0+ = 5 farklı şekilde pozitif tamsayı çarpalarıa ayrılabilir. Teorem 3.3.: m ve pozitif iki tam sayı ve < m olsu. O zama Sm ( +, ) = Sm (, ) + S( m, ) dir. İspat: {,,,, } A= a a L am a m + olsu. A kümesideki elemaları tae ayı kutuya hiç biri boş kalmayacak şekilde dağıtalım. Öce B { a a a } tae ayı kutuya hiç biri boş kalmayacak şekilde =,, L, m kümesii Sm (, ) farklı dağıtabiliriz. A kümeside kala a m + elemaıı -ici kutuya koyabiliriz. Bu birici dağıtım şekli olur. Yada B kümesideki elemaları kutu boş kalmayacak şekilde Sm (, ) 5
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI farklı dağıtabiliriz. Bu kutu içidekiler ile farklı oldu. A kümeside kala a m + elemaıı farklı kutuda birie koyabiliriz. Böylece a m + elemaıı S( m, ) farklı şekilde kutuya koyabiliriz. Buda ikici dağıtım şekli olur. m + tae eseyi tamame ayı ola kutuya Sm ( +, ) farklı şekilde dağıtabiliriz. Bu dağıtımı yukarıda bahsettiğimiz iki farklı şekildede yapabileceğimizde souç olarak Sm ( +, ) = Sm (, ) + S( m, ) eşitliği elde edilmiş olur. Yukarıdaki eşitliği! ile çarparsak Sm! ( +, ) = Sm! (, ) + S! ( m, ) (( ) ) Sm! ( +, ) =! Sm (, ) + Sm! (, ) m + elemalı bir kümede elemalı bir kümeye taımlı örte foksiyoları sayısı m elemalı bir kümede elemalı bir kümeye taımlı örte foksiyoları sayısı ile m elemalı bir kümede elemalı bir kümeye taımlı örte foksiyoları sayısıı toplamıı katı olduğu buluur. Stirlig sayıları T ve P i bazı alt yarıgruplarıı elema sayıları ve bazı alt yarıgrupları belli tipteki elemaları sayıları belirlediği çalışmalarda karşımıza çıkmaktadır. Stirlig sayılarıa rak hesaplamalarıda karşılaşılmakta olup ilgili çalışmalar ve souçlar bazı alt yarıgrupları rak özellikleri ile ilgili.5 olu bölümde derlemiştir. Aşağıda Stirlig sayıları ile karşılaştığımız souçlar derlemiştir. 53
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI T yarıgrubuu D alt yarıgrubuu daha öce taımlamıştık. D alt yarıgrubuu tüm idempotet elemalarıı kümesi E( D ) ve ikici tip Stirlig Sayısı Sm (, ) olmak üzere E( D r= 0 ) = Sr (, ) dir. { α : α } Q= P im = r olmak üzere Q kümesii tüm ilpotet elemalarıı sayısı Laradji ve Umar tarafıda 004 yılıda yapıla çalışmada NQ ( ) = Sr (, + ) r! r olarak bulumuştur. 3.4. Catala Sayıları Catala sayılarıı hagi problemlere cevap oluşturduğuu alatarak taımlamaya çalışalım. + kearlı bir çokge köşegelerle kaç farklı şekilde üçgelere bölüebileceğii bulmaya çalışalım. Öreği altıgede 4 tae farklı üçge vardır. (+=6,=4) 54
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Şekil 3.. Altıgei 4 farklı şekilde üçgelere ayrılışı basamaklı bir merdivei, tae karoyla kaç farklı şekilde kaplaabileceğii cevabıı arayalım. Öreği dört basamak 4 tae farklı şekilde karo döşeir. de e kadar ola sayıları, sıralı üçlü oluşturmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebileceğii bulalım. Öreği,,3,4 ile sıralı üçlü oluşturmamak koşulu ile 4 farklı diziliş vardır. Bu farklı dizilişler 43, 43, 43, 43, 34, 34, 34, 34,34, 43, 43, 43, 43,43 şeklidedir. + tae sayı belli bir sırada verilmiş olsu. Bu sayıları sıralarıı değiştirmede kaç farklı şekilde çarpabileceğimizi bulalım. Öreği =4 ise beş tae sayı a,b,c,d,e olmak üzere 4 farklı şekilde çarpabiliriz. Tüm farklı çarpımlar aşağıdaki gibidir. (((a b) c) d) e, ((a b) c) (d e), ((a b) (c d)) e, (a b) ((c d) e), (a b) (c (d e)), ((a (b c))d) e, (a (b c)) (d e), (a ((b c) d)) e, (a (b (c d))) e,(a (((b c) d) e), a ((b c) (d e)), a ((b (c d)) e),a (b ((c d) e)), a (b (c (d e))) tae aça ve tae kapaa paratezi kaç farklı şekilde degeli grupladırabileceğimizi bulalım. Burada degeli grupladırmakta kasıt paratezleri dizilişide herhagi biryerde ayırma yaparsak solda sağa doğru açıla 55
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI paratezleri sayısı kapaa paratezleri sayısıda büyük ya da eşit olmasıdır. Öreği =4 alıırsa 4 farklı şekilde degeli grupladırabiliriz. Tüm farklı grupladırmalar aşağıdaki gibidir. ()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), ((()))(), (()()()), (()(())), ((())()), ((()())), (((()))) x karelik bir alada, köşegei üzerie çıkmayacak şekilde, sol alt köşede sağ üst köşeye kaç farklı şekilde ulaşılabileceğii bulalım. Öreği 4x4 lük alada 4 tae farklı yol isteile özelliği sağlar. Bu problemi cevabıı ispatı Nesi (009) da yer almaktadır. Geel durum x karelik bir alada isteile yolları sayısı C = + olup bu sayıya Catala Sayısı deir ve C ile gösterilir. Çizelge 3.. C Catala Sayıları 3 4 5 6 7 8 9 0 C 5 4 4 3 49 430 486 6796 Yukarıda bahsedile problemlerde dolayı tae paratezi degeli grupladırılma sayısıı -ici Catala sayısı C olduğuu biliyoruz. Bu tae paratezi degeli grupladırılma sayısıı herhagi bir degeli grupladırma üzeride bulmaya çalışalım. Bir degeli grupladırmada bir paratez seçelim. Bu seçtiğimiz paratezi dışıdaki paratez sayısı A, seçtiğimiz paratezi içideki paratez sayısı B olsu. AB ( ) 56
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Bir paratez seçtiğimizde geriye paratez kalmıştır. Bu durumda B tae paratez grupladırma sayısı C olsa A da 0 paratez grupladırma sayısı C 0 olabilir, B paratez grupladırma sayısı C olsa A da grupladırma sayısı C olup böylece devam edilirse C = CC + CC + K + C C 0 0 eşitliği elde edilir. Catala sayılarıı C = + olduğuu göstermek içi katsayıları Catala sayıları ola bir seri taımlayalım. Bu seri i cx ( ) = C0 + Cx + Cx + L = Cx i i= 0 olsu. c ( x ) yi i c ( x) = CC 0 0 + ( CC 0 + CC 0) x+ L= ( CC 0 i + CC i + L + CC i 0) x i= 0 olarak elde ederiz. Dikkat edilecek olursa c ( x ) i i-ici terimii katsayısı C i + olup c ( x ) yi olup c ( x) = C + Cx+ Cx +L 3 xc ( x) = Cx+ Cx + Cx + L 3 3 xc ( x) + C = C + Cx+ Cx + Cx + L 3 0 0 3 ( ) + = ( ) xc x C0 cx elde edilir. C 0 = olduğuda so eşitlik 57
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI xc ( x) cx ( ) + = 0 şeklii alır. Bu deklemi kökleri ± 4x cx ( ) = x 4x dir. cx ( ) ( 4x) = = alalım ve x x x = + + + + L 0 ( 4x) 4x ( 4x) L ( ) ( 4x) eşitliğii kullaalım. L + 4 = 4! 3 + 3 L = 4! = ( ).3.5L( 3) (.)! = = = ( ).3.5L( 3).4.6L( )!.4.6L( ) ( ).3.5L( 3).4.6L( )! (! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! 58
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olup ( ) 4 = elde edilir. x = x = x = 0 = 0 ( 4 ) ( ) 4 ( ) ( ) cx ( ) = 4x x x de yerie yazılırsa eşitliği elde edilir. Yukarıdaki so eşitlik ( ) cx ( ) = ( 4x) = ( ) ( ) x x x x x = 0 eşitliği elde edilir. Burada c( x ) deki x i katsayısıı C olduğu hatırlaırsa (dikkat edilirse toplam sembolüde x + i katsayısı ile çarpılıca x i katsayısı buluur.) C ( ) ( ) + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + +!!+ + = = = ( + ) + +! +! + +! +! C = + Catala sayıları T i bazı alt yarıgruplarıı elema sayıları ve bazı alt yarıgrupları belli tipteki elemaları sayıları belirlediği çalışmalarda karşımıza çıkmaktadır. Catala sayıları ile rak hesaplamalarıda karşılaşılmış olup ilgili 59
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI çalışmalar ve souçlar bazı alt yarıgrupları rak özellikleri ile ilgili.5 olu bölümde derlemiştir. Aşağıda Catala sayıları ile karşılaştığımız souçlar derlemiştir. Öceki bölümlerde X {,,3,, } = K kümesi üzeride taımlı tüm sıra koruya ve azalta döüşümleri yarıgrubua sıra koruya ve azalta döüşümler yarıgrubu olarak adladırıp ve C ile gösterildi. Dikkat edilecek olursa C = O D dir. Higgis tarafıda 993 de yapıla çalışmada üzere sıra koruya ve azalta döüşümleri yarıgrubu C, -ici Catala sayısı olmak C i elema sayısıı C = = C + olduğu gösterilmiştir. T yarıgrubuda sıfır elema yoktur. Bu yüzde mevcut değildir. Dikkat edilecek olursa elemalardır. D ve C yarıgrubuda sıfır elema T de sabit döüşümler L L T de ilpotet elema T i sağ sıfır dir. Laradji ve Umar tarafıda 006 de yapıla çalışmada C, -ici Catala sayısı olmak üzere sıra koruya ve azalta döüşümleri yarıgrubu sayısıı C i tüm ilpotet elemalarıı N( = = C ) C olduğu gösterilmiştir. 60
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI 3.5. Bazı Altyarıgrupları Rak Özellikleri Yukarıda bahsedile Stirlig ve Catala sayıları T ve P yarıgruplarıı bazı alt yarıgruplarıı rak ve idempotet raklrı hesaplaırke karşılaşılmıştır. Bu bölüm rakları hesaplaırke bu sayılarla karşılaşıla çalışmalar ve bulua souçlar derlemiştir. Howie ve McFadde 990 yılıda yaptıkları çalışmada T i alt yarıgrubu K r, i rakıı rak K ( r, ) = S( r, ) olduğuu göstermiştir. Yie ayı çalışmada K r, i idempotet rakıı idrak K ( r, ) = S( r, ) olduğuu gösterilerek K r, i rak ve idempotet rakıı eşit olduğu bulumuştur. P yarıgrubuu r, PK alt yarıgrubu daha öce taımlamıştı. Garba tarafıda 990 yılıda yapıla çalışmada PK r, alt yarıgrubuu rakı ( r, ) = ( +, + ) rak PK S r olarak bulumuştur. Yie ayı çalışmada PK r, alt yarıgrubuu idempotet rakıı ( r, ) = ( +, + ) idrak PK S r olarak gösterilip PK r, i rak ve idempotet rakıı eşit olduğu bulumuştur. 6
3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI DPr ( ) Rees bölümüü daha öce taımlamış olup Umar tarafıda 996 yılıda yapıla çalışmada DPr ( ) i rakı ( ) rak DP( ) = Sr (, ) r olarak bulumuştur. 6
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI 4. İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI Bu bölümde J.M. Howie tarafıda tüm döüşümler yarıgrubuu idempotetler tarafıda doğurula alt yarıgrupları ve tüm döüşümler yarıgrubuu idempotet doğurayları ile ilgili 966 ve 978 deki çalışmaları derleecektir. Öcelikle tüm döüşümler yarıgrubuda bir döüşümü idempotet olması içi gerek ve yeter koşulları aşağıdaki öerme ile ifade edelim. 4.. ST Yarıgrubuda İdempotetleri İdirgeemez Çarpımı üzere Öceki bölümlerde olduğu gibi X {,,3,, } X kümeside yarıgrubuu alalım. = K bir solu küme olmak X kümesie taımlı tüm döüşümler yarıgrubu Öcelikle tüm döüşümler yarıgrubu T de bir döüşümü idempotet olması içi gerek ve yeter koşulları aşağıdaki öerme ile ifade edelim. T Öerme 4..: α T olsu. α ı idempotet olması içi gerek ve yeter koşul α imα birim döüşüm olmasıdır. İspat: ( ) α = α olsu. Herhagi bir y imα alalım. O zama xα = y olacak şekilde x X vardır. O halde α = α olduğuda ( ) yα = xα α = xα = y yα = y olup ( ) α imα birim döüşümdür. α imα döüşümü birim döüşüm olsu. Her x X içi xα imα olduğuda 63
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI ( x ) α α = xα olup α = α dir. Yai α idempotetdir. E( ST ) ile sigüler döüşümler kümesideki tüm idempotetleri kümesii gösterelim. Aşağıdaki teorem sigüler döüşümler kümesideki idempotetleri sayısıı vermektedir. Teorem 4..: E( ST ) = r r dir. r= r İspat: α E( ST ) olsu. im r idempotet olup α = olarak alalım. α ST olup r dir. α α imα : imα imα döüşümü birim döüşümdür. Yai imα = Y ve γ = α olmak üzere X Y α Y : Y Y, birim döüşüm γ : X Y Y, herhagi bir döüşüm olarak ele alalım. Bu durumda α : X X, döüşümüü her x X içi xα x, x Y = xγ, x Y olarak taımlaırsa α E( ST ) olur. Gerçekte de xγ Y olduğua dikkat edilirse 64
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI ( ) x Y xα = xα α = xα = x ( ) x Y x = x = x = x α γ α γ α olup α bir idempotet elemadır. Böylece r ve imα = Y olmak üzere X i bir r elemalı alt kümesi Y içi r r tae idempotet döüşüm var. r elemalı her farklı Y kümesi içi farklı idempotetler buluacağıda buları sayısı r r r dir. Her farklı r sayısı içi sayma yapılırsa ( ) E ST = r r= r r olarak buluur. S i birim döüşümü idempotet olup bu sayılalara ekleerek T deki tüm idempotetleri sayısı buluur. Bu sayı aşağıdaki souçta ifade edilmiştir. Souç 4..3: ( ) r E T = r + = r r= r r= r r dir. Sigüler döüşümler yarıgrubu ST = T S içi doğuray kümesi bulalım. Hatırlaacak olursa α ST ise imα dir. K kümesii * r, { α α } K = T im = r * r, : 65
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI olarak taımlayalım. Bu durumda dikkat edilecek olursa K *, = S ve U r= K * r, = ST dir. Öerme 4..4: Eğer bir X ST içi K X ise ST *, = X dir. İspat: Bir X ST içi K X olsu. Herhagi bir α ST *, K *, elemaıı X i elemalarııı çarpımı olarak yazılabildiğii göstermeliyiz. ST = U K r= * r, olup r olmak üzere ( ) α alalım. E az bir tae farklı çift * K r, i, j X X içi iα = jα ve e az bir y X imα vardır. γ i, j : X X ve αˆ : X X döüşümleri sırasıyla i, j xγ i, j j, x= i = x, x i ve xαˆ, i j y, x= i = xα, x i olarak taımlayalım. Dikkat edilecek olursa γ K ve imαˆ = imα + olup * i, j, * α ˆi, j K r, + dir. Yukarıdaki taımlama ile α = γ αˆ i, j i, j olur. Bezer şekilde işleme α = αˆi, j alıarak α K olaa kadar devam edilirse * ˆk, l, α = γ L γ αˆ i, j kl, kl, 66
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI şeklide yazabiliriz. Böylece * γ ˆ i, j, K, γkl,, αkl, K, = X olup α X dir. O halde * K, i her doğuray kümesi ST i doğuray kümesidir. Yai bir kümei ST i doğuray kümesi olduğuu göstermek içi o kümei kümesii doğurduğuu göstermek göstermek yeterli olacaktır. K *, def( α ) = r olmak üzere imaj kümeside r tae elema ola döüşümleri içere D-sııfıı D rile gösterdiğimizi hatırlayalım. Öerme 4..5: olmak üzere her α D elemaı defecti ola idempotetleri çarpımı olarak yazılabilir. İspat: Shift ( α ), Def ( α ) kümelerii ve shift ( α ). def ( α ) pozitif tam sayılarıı daha öce taımladık. α D ve shift( ) α = r olsu. = ise D =, olup souç aşikardır. 3 alalım. shift( α ) = r = ise α E( D ) olur. 3 ve olsu. Yai her i r içi ai r olsu. Geelliği bozmaksızı α ı Shift( α ) = {,, K, r} i olmak üzere 67
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI α L r r+ L = a al ar r+ L olsu. α D Defect olup ( ) defect α = olacağıda z X olmak üzere ( α ) = { z} olsu. O halde, z {,,..., r} olur. Dikkat edilecek olursa defect ( α ) = olduğuda {,,..., r } kümesideki iki elemaı görütüsü ayıdır, yai a, a, L, ar listeside olsa shift( ) α = r oluşu ile çelişir. r tae farklı elema vardır. Ayrıca a = a { } O halde düşümemiz gereke 4 temel durum vardır. I. Durum i r II.Durum i r içi a {,,..., r}, a = a { } z { } i,,, içi a {,,..., r}, { } ama farklı bir durum yaratmaz.) III.Durum a = r+, z {,,..., r } IV.Durum a = r+, z = r I. Durumda i r r r i, a = a,, z = ( z = de olabilir içi a {,,..., r}, a a { } z { } i =,,, olmak üzere γ 3... 3... r r+... =, 3... β = a a3... ar r+... olarak taımlaırsa, γβ 3... r r+... = = α a a a3... ar r+... olur. Çükü a a { } =, dir. II. Durumda i r içi a {,,..., r}, { } i a = a,, z = olmak üzere 68
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI β 3... r r+...... =, γ = a3... ar r +... a... olarak taımlaırsa βγ 3... r r+... = = α a a a3... ar r+... olur. III. Durumda a = r+, z {,,..., r } r γ... r r r+...... r r... =, β =... r r+ r+... a a... ar r... Olarak taımlaırsa γβ... r r r+... = = α a a... ar r+ r+... olur. IV. Durumda a = r+, z = r olmak üzere r γ... r r r+...... r r... =, β =... r r+ r+... r a... ar r... ve ξ... r r r+... =... r a r+... 69
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI olarak taımlaırsa γβξ... r r r+... = = α a a... ar r+ r+... buluur. α yı Bu dört durumda da γξ E( D ),, β D ve shift( β ) = r olmak üzere α = γβ, α = βγ, α = γβ veya α = γβξ şeklide yazılabilmekteyiz. İspatı tamamlamak içi β ı idempotet olduğuu göstermek yeterlidir. Eğer shift( β ) = r = ise β bir idempotet olup α defect i ola idempotetleri çarpımı olarak yazılabilir. Eğer shift( ) r β = ise bezer işlemler β içi de yazılabileceğide ve her defasıda shift azalacağıda souç elde ediliceye kadar bu işlem tekrarlaabilir. Böylece α D elemaı defecti ola idempotetleri çarpımı olarak yazılabilir. Öerme 4..6: D sııfıdaki tüm idempotetleri kümesi ( ) E D olmak üzere ( ) ( ) E D = dir. İspat: α ( ) E D alalım. Y X içi imα = Y ise Y = ve α bir idempotet olduğuda α = dir. O halde X Y = dir. Dolayısıyla, sadece bir Y Y x X Y içi xα Y olacak şekilde taımlamak mümküdür. Y = elemaı 70
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI olduğuda xα yı ( ) farklı şekilde taımlayabiliriz. Ayrıca, X i elemalı tae altkümesi olduğuda ( ) ( ) E D = olur. α olsu. Ayrıca, D α = αα... αm olacak şekilde α, α,..., αm D mevcut olsu. imα = imα = imα =... = imαm = ve ( α) = ( αα α ) ( α ) im im im... m m olduğuda im( α) im( α ) = olmak zorudadır. Ayrıca, m ( α ) ( αα α ) = ( α) Ker Ker Ker... m ve Ker ( α ) ve Ker ( α ) ı deklik sııflarıı sayısı ( ) olup Ker ( α ) = Ker ( α) 7
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI olur. Dikkat edilecek olursa D deki L sııflarıı sayısı, R sııflarıı sayısı ( ) = dir. Souç 4..7: Bir A D içi D A ise A ı elema sayısı A ( ) ( ) max, =, ( 3) olur. İspat: α D olsu. D A olduğuda α = αα... αm olacak şekilde α, α,..., αm A D vardır. Özel olarak α i =, i j j seçilir ise Ker( α) Ker ( α ) A = olduğuda R[ i, j ] α dir. O halde α R[ i, j ] ve α olup A kümesi her bir R sııfıda bir elema içermelidir. im( α) = im( α ) olup αm L{,,..., i, i+,... } dir. O halde αm L{,,..., i, i+,... } ve αm A olup A kümesi her bir L sııfıda bir elema içermelidir. Dolayısıyla, A herbir L sııfıda ve herbir R sııfıda e az bir elema içermek zorudadır. m 7
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI 4.. ST Yarıgrubuu Rak Özellikleri J.M. Howie, (978) deki çalışmasıyla sigüler döüşümler yarıgrubuu idempotet rakıı ( ) ve (987) de de Gomes ile birlikte yaptığı çalışmada sigüler döüşümler yarıgrubuu rakıı idempotet rakıa eşit olduğuu göstermiştir. Bu bölümde yukarıda bahsedile çalışmalar derlemecektir. Teorem 4..: αβ, T ( ), def aβ defα def β dır. İspat: im( αβ) im( β) olup def ( αβ) def ( β) Ker ( α) Ker ( αβ ) olup olduğu açıktır. ( αβ) ( α) ( αβ) ( α) im im def def olduğu açıktır. O halde ( ), def aβ defα def β dir. Öerme 4..: α T ve ( ) def α = olsu. Eğer α = αα... αm olacak şekilde defecti ola α i döüşümleri mevcut ise 73
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI Ker ( α) = Ker ( α ) ve Def ( α) = Def ( α ) m dir. İspat: ( i, j) Ker ( α ) ise iα jα = olup ( i ) = ( j ) α αα... α α αα... α 3 m 3 iα = jα ( i, j) Kerα Ker ( α ) Ker ( α) m olur. Ayrıca def ( α ) = def ( α) = olduğuda Ker( α ) Ker ( α) = olur. (... ) X α = X αα α α X α m m m olup im( α) im( α ) def ( α ) def ( α) m dir. Dolayısıyla, Def ( α ) Def ( α) m = = olup Def ( α ) Def ( α) m m olur. = olur. Taım 4..3: α, α,... α m idempotet olsu. Eğer i =,,..., m içi αα i i+ α ve i αα α ise αα... α m ifadesie idirgeemez çarpım deir. i i+ i+ α E( ST ) ve def ( α ) = olsu. O zama, α... i i i+... =,... i j i+... ( i j) i şeklidedir. Bu yüzde bir α = şeklide yazabiliriz. j 74
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI i α = j ise Def ( α ) = { i} ve ( ) ( ) ( ) deklik bağıtısıı [ ij ] ile gösterelim. {,,, } {(, ) : } Ker α = i j ji kk k X i Not: α = j ve j β = i ise Ker ( α) Ker ( β) [ ij ] = = olur. Öerme 4..4: α ST ve def α = olsu. Eğer α defecti ola idempotetleri α i i i m =... j j jm, ( m ) şeklide bir idirgeemez çarpımı ise i. Ker( α ) = [ i j ] ii. Def ( α ) = [ i m ] dir. iii. Her r =,..., m içi i = j, j i r r r r İspat: (i) ve (ii) şıkları yukarıdaki öermede dolayı doğrudur. Şimdi (iii) şıkkıı doğruluğuu gösterelim. r =,3,..., m içi β i i r r = jr jr ele alalım. ir, ir, jr, jr içi 3 durum vardır. Bular ) Durum:Dördüü de birbiride farklı olması ) Durum:Sadece ikisii eşit olması ki bular 75
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI i. ir = i r ii. ir = j r iii. jr = iv. jr = i r j r 3) Durum:İki çifti birbirie eşit olması i. i = r i ve r jr = j r dır. ii. i = r j ve r jr = i r I.Durum:Dördüü de birbiride farklı olsu. Def ( β ) { i i } def ( α ) = olması ile çelişir. II.Durum: Sadece ir, ir, jr, jr de ikisi eşit olsu = olup bu da, r r i. β ir ir ir = = j j j r r r olup bu durum idirgeemezlik ile çelişir. ii. β i i r r = jr ir ise Def ( β ) = { i r } olup isteile durum buluur. ir jr ir iii. β = = jr jr jr ile çelişir. ir ir iv. β = jr jr III.Durum: İki çift birbirie eşit olsu. ise Def ( β ) = { i i } olup bu ( ), r r ise Def ( β ) = { i i } olup ( ), r r def α = olması def α = olması ile çelişir. i. β ir ir ir = = j j j r r r olup bu çarpım idirgeemezlik koşulu ile çelişir. ii. β ir jr jr = = olup bu da idirgeemezlik koşulu ile çelişir. j i i r r r 76
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI ir ir O halde β = isteile durum olarak buluur. Yai her jr ir r =,..., m içi ir = jr, jr ir dir. α ST ve def ( α ) = olsu. O zama, α defect i ola idempotetleri çarpımı olarak α = αα... αm şeklide yazılabilir. Bu çarpım idirgeemez olmayabilir. Bir başka deyişle, αα = i i+ α veya i αα i i+ = αi+ şeklide bir durum olabilir. Bu durumda αα = i i+ α (veya i α i + ) ise yukarıdaki çarpımda αα i i + yerie α i (veya i α + ) yazılabilir. Çarpım hala idirgeemez değil ise bu işleme α = αα... αm şeklide idirgeemez çarpım olaa kadar devam edilir. Böylece α ST ve def ( α ) = ise α i i i i i i 3 4 4 m m =... i i i3 i5 im im ve i i ( r = m ), i i ( r m ) r r+,,... r r+ =,,... ve i i 4 şeklide yazılabilir. Yai yukarıdaki çarpım içi yazıla şartlar sadece ya yaa geleleri farklı idirgeemezliğii garati ede şartlardır. Öerme 4..5: m 3 ve tüm i, i,..., i m X ler farklı elemalar olsu. 77
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI m i i3 i4 im i i... = i i i3 im im i olur. İspat: β i i i i i 3 4 m =... i i i3 im im olsu. O zama, olup β i i i i... i i 3 4 m m = im im i i3... im im β i i i i... i i i m 3 4 m m = = i i i3 i4... im im i dır. I defect i ola idempotetlerde oluşa bir küme olsu. Köşe kümesi X ola ve kear (ok) listesi i I j gösterelim. Tüm okları kümesii A ( I) içi ( ji, ) oklarıda oluşa grafiği ( I ) ( ) Γ ile gösterelim. Γ ile 4 Öreği; I =,,, T4 3 3 3 içi Γ ( I ) grafiği aşağıdaki gibidir. Şekil 4.. Bir I T4 4 3 grafiği, alt kümesii Γ( I ) 78
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI 3 4 5 3 5 4 Öreği I =,,,,,,,,, T5 3 4 5 3 5 4 Γ aşağıdaki gibi (tam ve sıkı bağlatılı) bir diagramdır. ( I ) içi 3 Şekil 4.. Bir I T5 5, alt kümesii Γ( I ) 4 grafiği Taım 4..6: I defecti ola idempotetleri bir kümesi ve Γ ( I ) da I ı diyagramı olsu. Eğer şekilde i j X x, x,..., x X i i i i j X içi ( ix, ),( x, x ),...,( x, j) A( ( I) ) var ise ( I ) i i i i içi ( i, j) Γ ( I) veya ( ji, ) Γ ( I) ise ( I ) deir. Γ olacak Γ ya sıkı bağlatılı diyagram deir. Ayrıca, her Γ diagramıa tam diyagram Teorem 4..7: I E( ST ) defect i ola idempotetler kümesi olsu. I kümesii, ST i bir doğuray kümesi olması içi gerek ve yeter koşul ( I ) Γ ı tam ve sıkı bağlatılı olmasıdır. İspat: ( ) ST = I ve i, j X içi i j olsu. i I j ise souç aşikardır. i I j ise i x x x x... * 3 4 m j = x x x3 xm ( ) 79
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI olacak şekilde x x3 x4 xm,,,..., I x x x x 3 m vardır. i xm Def = Def j xm olduğuda xm = i ve i x Ker Ker j = x olduğuda [ ij] [ x x ] = olur. [ ij] [ x x ] = olduğuda x j = x i olup i I j olduğuda x j = x i olur. Böylece, i j, j i i j veya j i Γ ( I ) ı bir elemaıdır. Dolayısıyla, ( I ) Γ ( I ) ise i de j ye ve j de i ye ( I ) Γ tamdır. Γ bir patika vardır. ( I ) Γ tam i olduğuda I j i de j ye bir patika ve x j x i olsu. Bu durumda (*) deklemide = Γ( I ) olup ( jx, ),( x, x ),...,( x, i) ( I) 3 3 4 m Γ olduğuda j de i ye bir patika vardır. Γ ( I ) sıkı bağlatılıdır. olduğuda ( ) ( I ) Γ tam ve sıkı bağlatılı olsu. i, j X ve i j i I j veya j I i diğerii I da olmadığıı kabul edelim. sıkı bağlatılı olduğuda olsu. ( I ) Γ tam dır. Her ikisi de I da ise soru yok. Birii I da j I i ve i I j olsu. O zama Γ ( I ) 80
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI ( jx, ),( x, x ),...,( x, i) ( I) m Γ mevcuttur. Bir başka deyişle, x x i I,,..., j x xm olur. j I i olduğuda β j x x i =... i j x xm I olur. Bir öceki öermede, β m i = j I ( ) * olur. Böylece, (, ) E K I olup defect i ola tüm idempotetleri ST doğurayı olduğuda I = ST olur. Taım 4..8: S bir yarıgrup olsu. Bu yarıgrubu idempotet rakı { } ( ) mi : ( ) idrak S = A A E S ve A = S olarak taımlaır. Taımlara dikkat edilecek olursa idrak S ( ) rak( S) dir. Souç 4..9: idrak( ST ) ( ) = = rak( ST) dır. 8
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI İspat: Bir A kümesii ST yarıgrubuu doğurduğuu göstermek içi A kümesii * K, kümesii doğurduğuu göstermek yeterli olacaktır. Bu yüzde A kümesi D sııfıdaki her L ve R sııfıda bir elema içermek zoruda olup daha öce gösterildiği üzere A ( ) dir. Herhagi bir doğuray kümesi e az ( ) elelmaa sahip olmalıdır. Böylece idrak ST ( ) rak ST ( ) ( ) rak( ST ) ( ) dir. İdempotetlerde oluşa bir I kümesie karşılık gele Γ ( I ) grafiğii düşüelim. Bu grafiği sıkı bağlatılı olmasıı garatilemek içi tüm köşeleri içere bir grafik almalıyız. Herhagi bir tam diyagram e az ( ) ok içereceğide I ( ) = olacak şekilde idempotetlerde oluşa bir I kümesi buluabiliyorsa idrak ST ( ) rak( ST ) ( ) = = olur. 8
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI Γ ( I ) grafiğii tam sıkı bağlatılı olacak şekilde idempotetlerde oluşa bir I kümesii m = + olmak üzere I,,...,,, 3,,...,, 3 4 =,,...,, 4 5 3 3 3,,...,,..., 4 5 m m m,...,, m + olsu. Γ ( I ) tam ve sıkı bağlatılı olduğuda ST = I olur. ( ) ( ) ( ) ( 3)( ) I = + 3 + 3 + 4 +... + + = 3+ 4 6+ 5+ 6 = = = ( ) dir. O halde I ( ) yukarıdaki gibi mevcut olup = olacak şekilde idempotetlerde oluşa bir I kümesi 83
4.İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI idrak ST ( ) rak( ST ) ( ) = = olur. 84
KAYNAKLAR ARAUJO, I.M., BRANCO, M.J.J., FERNANDES, V.H., GOMES, G.M.S., RUSKUC, N. (00). O Geerators ad Relatios of Uios of Semigroups, Semigroup Forum, 63, 49-6. AYIK, H., RUSKUC, N., (999). Geerators ad Relatios of Rees Matrix Semigroups, Proc. Ediburgh Math. Soc., 4, 48-495. AYIK, G., AYIK, H. ad HOWIE, J.M., 005. O Factorisatios ad Geerators i Trasformatio Semigroups. Semigroup Forum,70: 5-37. AYIK, G., AYIK, H., HOWIE, J.M. ad ÜNLÜ, Y., 005a. The Structure of Elemets i Fiite Full Trasformatio Semigroups. Bull. Aust. Math. Soc., 7: 69-74. FERNANDES, V. H., (00). Presetatios for some mooids of partial trasformatios o a fiite chai:a survey, Semigroups,Algorithms, Automata ad Laguages- Coimbra 00, World Sci. Publ, 368-378. GARBA, G.U., (990). Idempotets i partial trasformatio semigroups, Proc. of Royal Soc. of Ediburgh, 0A, 359-366. GANYUSHKIN, O., MAZORCHUK, V., (008) Itroductio to classical fiite trasformatio semigroup, Spriger, 34s. GOMES,G. M. S., AND HOWIE, J. M., (987). O the rak of certai fiite semigroups of trasformatios, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 0 395-403. GOMES,G. M. S., AND HOWIE, J. M., (99). O the raks of certai semigroups of order-preservig trasformatios, Semigroup Forum 45, 7-8. HIGGINS, P.M., (99). Techiques of semigroup theory. Oxford Sciece Publicatios. The Claredo Press, Oxford Uiversity Press. HIGGINS, P.M., (993). Combiatorial results for semigroups of order-preservig mappigs, Math. Proc.Camb.Phill. Soc. 3, 8-96. HIGGINS, P.M., HOWIE, J.M., RUSKUC, N., (998). Geerators ad factorisatios of trasformatio semigroups, Proc. Royal Soc. Ediburgh A 8, 355-368. 85
HOWIE, J.M., (966). The subsemigroup geerated by the idempotets of a full trasformatio Semigroup, J. Lodo Math. Soc. 4, 707-76. HOWIE, J.M., (995). Fudametals of semigroup theory. Lodo Mathematical Society Moographs. New Series,. Oxford Sciece Publicatios. The Claredo Press, Oxford Uiversity Press, New York, 35s. HOWIE, J.M., MCFADDEN, R.B., (990). Idempotet rak i fiite full trasformatio semigroups, Proc. Royal Soc. Ediburgh A 4, 6-67. HOWIE, J.M., (97). Products of idempotets i certai semigroups of trasformatio, Proc. Ediburgh Math. Soc. () 7, 3-36. HOWIE, J.M., (978). Idempotet geerators i fiite full trasformatio semigroup, Proc. Royal Soc. Ediburgh 8A, 37-33. HOWIE, J.M., (996). Fudametals of semigroup theory, Lodo Mathematical Society Moographs, Oxford Uiversity Press, New York, 368s. KEARNES, K.A., SZENDREİ, A., WOOD, J., (00). Geeratig sigular trasformatio, Semigroup Forum, 63, 44-448. LARADJI, A., UMAR, A., (004), O certai fiite semigroups of orderdecreasig trasformatios, Semigroup Forum, 69(), 84-00. LARADJI, A., UMAR, A., (006), Combiatorial results for semigroups of orderpreservig full trasformatios, Semigroup Forum, 7, 5-6. LIPSCOMB, S., (996). Symmetric Iverse Semigroups, Math. Surveys ad Moographs, Vol. 46, America Math Soc., Providece. NESİN, A., (009). Sayma, Nesi Matematik Köyü,9s. ROTMAN, J. J. 994. A Itroductio to the Theory of Groups. Spriger-Verlag, New York, Berli, Heidelberg, 536s. RUSKUC, N., (998). O Large Subsemigroups ad Fiiteess Coditios of Semigroups, Proc. Lodo Math. Soc., 76, 383-405. SATOH, S., YAMA, K. ad TOKIZAWA, M., (994). Semigroups of order 8,. Semigroup Forum, 49, 7 9. TAINITER, M., 968. A characterizatio of idempotet i semigroups. J. Combiatorial Theory, (5):370 373. 86
ÖZGEÇMİŞ 987 yılıda Adaa da doğdu. İlkokul öğreimi Adaa da ortaokul ve lise öğreimii Çorlu da yaptı. 005 yılıda Yüzücü Yıl Üiversitesi Matematik Bölümü de lisas eğitimie başladı ve 009 yılıda mezu oldu. Ayı yıl içeriside Çukurova Üiversitesi Matematik Bölümü de cebir alaıda yüksek lisas eğitimie başladı ve Milli Eğitim Bakalığı YLSY bursu ile ABD de lisasüstü eğitime hak kazadı. 0 yılıda Michiga State Üiversitesi de uygulamalı matematik alaıda yüksek lisas eğitimie başladı ve hale devam etmektedir. 87