BAŞKENT ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ SAYISAL BENZETĐM YÖNTEMĐ ĐLE YAĞMUR SUYU ŞEBEKELERĐNĐN DEĞERLENDĐRĐLMESĐ SARPER GÖZÜTOK

BAŞKENT ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ SAYISAL BENZETĐM YÖNTEMĐ ĐLE YAĞMUR SUYU ŞEBEKELERĐNĐN DEĞERLENDĐRĐLMESĐ SARPER GÖZÜTOK YÜKSEK LĐSANS TEZĐ 009

SAYISAL BENZETĐM YÖNTEMĐ ĐLE YAĞMUR SUYU ŞEBEKELERĐNĐN DEĞERLENDĐRĐLMESĐ EVALUATION OF STORMWATER NETWORKS VIA NUMERICAL SIMULATION METHOD SARPER GÖZÜTOK Başken Ünverses Lsansüsü Eğm Öğrem ve Sınav Yönemelğnn BĐLGĐSAYAR Mühendslğ Anablm Dalı Đçn Öngördüğü YÜKSEK LĐSANS TEZĐ olarak hazırlanmışır. 009

Fen Blmler Ensüsü Müdürlüğü'ne, B çalışma, jürmz arafından BĐLGĐSAYAR MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI'nda YÜKSEK LĐSANS TEZĐ olarak kabl edlmşr. Başkan Prof.Dr. Zya Akaş Üye (Danışman) Doç.Dr. Nzam Gaslov Üye Prof.Dr. Hayr Sever ONAY B ez 8/0/009 arhnde, ykarıdak jür üyeler arafından kabl edlmşr..../.../... Prof.Dr. Emn AKATA FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MÜDÜRÜ

TEŞEKKÜR Yazar, b çalışmanın gerçekleşmesnde kakılarından dolayı, aşağıda adı geçen kşlere çenlkle eşekkür eder. Başken Ünverses Fen Blmler Ensüsü Blgsayar Mühendslğ Anablm Dalı ndan Sayın Doç.Dr. Nzam Gaslov a (ez danışmanı), çalışmanın sonca laşırılmasında sağladığı kakılar çn Haceepe Ünverses Fen Blmler Ensüsü Blgsayar Mühendslğ Anablm Dalı ndan Sayın Prof.Dr. Hayr Sever e, ez çalışması sırasında yol göserc ve yardımcı oldğ çn...

ÖZ SAYISAL BENZETĐM YÖNTEMĐ ĐLE YAĞMUR SUYU ŞEBEKELERĐNĐN DEĞERLENDĐRĐLMESĐ Sarper Gözüok Başken Ünverses Fen Blmler Ensüsü Blgsayar Mühendslğ Anablm Dalı Kensel br bölgede meydana gelen yağışın olşrdğ akımların, yağmr sy drenaj şebekesndek gerçek zamanlı davranışları hdrolk benzem yolyla nceleneblmekedr. Br yağmr sy drenaj şebekes kanallarında meydana gelen akımın yükseklğ ve hızı, sığ s modelleme denklemler olarak da blnmeke olan San Venan denklem ssem le fade edlmekedr. B ezde, hperbolk yapıdak San Venan denklemler, br sonl farklar yönem olan MacCormack yönemne dayanan algorma kllanılarak çözülmüşür. Yüzeyde olşan akımların drenaj ssemne grş nokaları olan bacalarda sürekllk ve enerj denklemler ayrıca yglanmamış, bacalardan gren yağmr slarının doğrdan kanallara geçğ varsayılmışır. Sayısal benzem sırasında elde edlmş olan sonçların grş verleryle arlı oldkları göserlmşr. ANAHTAR SÖZCÜKLER: San Venan denklemler, yağmr sy şebekes, hdrolk benzem, sonl farklar, MacCormack yönem Danışman: Doç.Dr. Nzam Gaslov, Başken Ünverses, Blgsayar Mühendslğ Bölümü.

ABSTRACT EVALUATION OF STORMWATER NETWORKS VIA NUMERICAL SIMULATION METHOD Sarper Gözüok Başken Unversy Inse of Scence Deparmen of Comper Engneerng Sormwaer orgnang from ranfall on an rban area flows n he sormwaer nework n a way ha can be nspeced by real me hydralc smlaon. The flow hegh and velocy occrng n he sormwaer nework s conds can be saed by he San Venan eqaon sysem aka shallow waer eqaons. In hs hess he hyperbolc San Venan eqaons are solved by an algorhm based on he MacCormack scheme whch s a fne dfference mehod. In he access holes, whch are aken as he dranage sysem enrance pons for he srface flows, conny and energy eqaons are no appled separaely and s assmed ha ran waer enerng from he access holes pass drecly o he conds. I has been shown ha, resls obaned drng he nmercal smlaon are conssen wh he np daa. Keywords: San Venan eqaons, sormwaer nework, hydralc smlaon, fne dfferences, MacCormack mehod Advsor: Assoc. Prof.Dr. Nzam Gaslov, Başken Unversy, Deparmen of Comper Engneerng

ĐÇĐNDEKĐLER LĐSTESĐ Sayfa ÖZ... ABSTRACT... ĐÇĐNDEKĐLER LĐSTESĐ... ŞEKĐLLER LĐSTESĐ...v ÇĐZELGELER LĐSTESĐ...v SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ...v. GĐRĐŞ.... TEORĐ... 4. Kornm Kannları... 4. Temel Akışkanlar Dnamğ Denklemler... 8.3 Sığ S Modelleme Denklemler... 6.4 San Venan Denklemlernn Çözüm Yönem... 36.5 MacCormack Yönemnn San Venan Denklemlerne Uyglanması... 44.6 Açık Yönemlerde Kararlılık Sorn... 46.7 Yakınsama ve Tarlılık... 5 3. UYGULAMA... 54 3. Şebeke Özellkler... 54 3. Baca Havzalarının Olşrlması... 57 3.3 Baca Grş Hdrograflarının Olşrlması... 59 3.4 Örnek Şebekede Başlangıç ve Sınır Koşlları... 63 3.5 Benzem Sonçları... 65 4. SONUÇ... 74 KAYNAKLAR LĐSTESĐ... 75 EKLER... 77

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ Şekl.. Hareke eden sonsz küçük akışkan elemanına doğrlsnda ekyen kvveler... 7 Şekl.. Akışkan elemanına ekyen yüzeysel kvveler a) kesme gerlmes b) normal gerlme... 8 Şekl.3. Kanal enkes... 8 Şekl.4. Konrol hacmne ekyen kvveler... 8 Şekl.5. Basınç kvveler... 9 Şekl.6. -y düzlemndek ayrık nokalar... 4 Şekl.7. Sonl br bölgede karakerskler... 48 Şekl.8. Kararlı br yaklaşım... 5 Şekl 3.. Şebeke planı ve baca koordnaları... 55 Şekl 3.. Baca havzaları (saha aksma planı)... 58 Şekl 3.3. Yağış şdde fonksyon (mm/dakka)... 59 Şekl 3.4. Bacalara a yağış grş hdrografları... 6 Şekl 3.5. Kanal dek s sevyeler... 68 Şekl 3.6. Kanal dek s sevyeler... 69 Şekl 3.7. Kanal 3 dek s sevyeler... 69 Şekl 3.8. Kanal 4 dek s sevyeler... 70 Şekl 3.9. Kanal 5 dek s sevyeler... 70 Şekl 3.0. Kanal 6 dak s sevyeler... 7 Şekl 3.. Kararlı olmayan drm (Coran sayısı,5) 5... 7 Şekl 3.. Kararlı olmayan drm (Coran sayısı,5) 50... 7 Şekl 3.3. Kararlı olmayan drm (Coran sayısı,5) 00... 7 Şekl 3.4. Kararlı olmayan drm (Coran sayısı,5) 0... 7 Şekl 3.5. Kararlı olmayan drm (Coran sayısı,5) 5... 7 Şekl 3.6. Kararlı olmayan drm (Coran sayısı,5) 7... 73 v

ÇĐZELGELER LĐSTESĐ Çzelge 3.. Bacaların fzksel paramereler... 56 Çzelge 3.. Kanalların fzksel paramereler... 56 Çzelge 3.3. Bacalara gren yağış sy mkarları... 6 Çzelge 3.4. Kanallarda meydana gelen en yüksek akış yükseklkler... 65 Çzelge 3.5. Karşılaşırmalı benzem sonçları... 67 Çzelge 3.6. Hesaplamalarda kllanılan değerler... 68 v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ h m a V c eksenndek oralama akım hızı (m/s) Akış yükseklğ (m) Küle (kg) Đvme (m /s) Hız vekörü (m/s) Sığ slarda dalga lerleme hızı (m/s) µ Vskoze (N s/m ) V Hacm (m 3 ) ν Knemak vskoze (m /s) Zaman (s) Del operaörü T Sıcaklık ( o C) Yoğnlk (kg/m 3 ) δ V Hacmsel fark δ m Külesel fark τ Kesme gerlmes (N/m ) n Mannng pürüzlülük kasayısı λ Đknc vskoze (N s/m ) p Basınç (N/m ) Q Deb (m 3 /s) g Yerçekm vmes (m/s ) A Islak kes alanı (m ) η Kanal abanından yükseklk (m) σ S yüzü genşlğ (m) b Kanal genşlğ (m) K Cr R Taşınım Konmsal adım (m) Zaman adımı (s) Coran sayısı Hdrolk yarıçap (m) v

CFL SEY SFY SHY Coran Fredrch Lewy Sonl Elemanlar Yönemler Sonl Farklar Yönemler Sonl Hacmler Yönemler v

. GĐRĐŞ Kensel gelşm; bna çaıları, doğal aş kaplama alanlar, asfal yollar, araba parkları gb geçrmsz yüzeylern mkarlarını arırmakadır. Tüm b yüzeylere düşen yağmr sy da çok kısa sürede yüzey akışına geçmekedr. Yağış devam ekçe yüzey akışı brkerek ararken yağışın şddene ve yağmr sy drenaj şebekesnn drmna da bağlı olarak br akım olmszlklar meydana gelmekedr. Yağmr sy drenaj şebekelernn amacı; yağmr sları br aşkın eks olşrarak rafğ olmsz ekleyp nsan ve yapılara zarar vermeye başlamadan önce yağmr syn ekl br şeklde yer alında blnan kanal ya da borlara almak ve sy hızlı br şeklde br deşarj nokasına doğr nsan ve yapılardan zaklaşırmakır. Tüm alyapı essler gb yağmr sy şebekelernn de dkkal br şeklde planlanması gerekmekedr. Br alyapı ess esasen üs yapılardan önce nşa edlr ve ekonomk ömrü boynca meydana geleblecek arızalar harcnde müdahale gerekrmez. Br başka deyşle nlr ve görevn yerne germey başaramayacağı ana kadar da nlmş olarak kalır. Yüksek derecede şehrleşmş ve kalabalık br nsan opllğ arafından paylaşılmaka olan br bölgede, henüz ekonomk ömrünü amamlamadan önce planlama ve asarım haalarından kaynaklanan yeerszlklerden dolayı, rehable edlmeye ya da yenlenmeye çalışılan br al yapı ess çn krlan şanye ve devamında gerçekleşrlen nşaa şler günlük yaşanı rnn olmsz ekler. Geçmşe yapılmış olması gereken br şn yen başan yapılıyor olması da madd anlamda br kayıpır. Al yapı esslernn pahalı yaırımlar olması parasal anlamdak b kaybı kayda değer yapmakadır. Yağmr sy şebekes gb alyapı esslernn projelendrlmes şler yerel ooreler ve yekl krmlar arafından yerne gerlr. Proje anlamında hyaçların fazlalığından dolayı se söz kons ooreler yapmakla yükümlü oldkları proje şlern genellkle proje ve müeahhlk frmalarına hale ederler ve kendler de

hazırlanan b projelern denem ve onaylama şlern üslenrler. Sosyal ve ekonomk anlamda öneml sonçlar doğrablecek yağmr sy şebekelernn doğr olarak planlandığı ve asarlandığından emn olnmalıdır. Planlama ş daha çok, proje kapsamındak şn kapasesnden çok büyüklüğü le lgldr. Örneğn, planlama sırasında br bölgede geleceke nüfsn ne kadar aracağı ve bnn soncnda şehrleşmş alanların ne kadar genşleyebleceğ y ahmn edlmeldr. Bnn soncnda, yapılması gerekl yağmr sy şebekesnn ne kadar büyük olacağına (nerelere kadar laşacağına) karar verlecekr. Tasarım se, planlaması yapılmış olan yağmr sy şebekesnn hang kapasede olması (bor çaplarının ne kadar büyük olması) gerekğ le lgldr. Gereksz derecede büyük kapasede ya da yeersz derecede küçük kapasede nşa edlecek br yağmr sy şebekes her k drmda da para kaybı anlamına gelmekedr. Her k drmdan da kaçınablmek çn projes hazırlanarak yekl oorenn önüne onay çn gelmş olan şebekelern yeerllkler le lgl br denem yapılması doğr olacakır. Onaya snlmş olan yağmr sy şebekes henüz sadece kağı üzernde oldğndan b şebekenn nşa edlmes planlanan bölgeye düşecek pk br yağış alında nasıl br davranış sergleyeceğ sadece sayısal oramda modellenerek, model üzernde br yağış benzem yapılarak belrleneblmekedr. Yağış le yeryüzüne düşen yağmr synn br şebeke çersnde nasıl hareke edeceğnn gerçek zamanlı benzemnn yapılablmes çn sayısal akışkanlar dnamğ yönemlernden faydalanmak gerekmekedr. Sayısal akışkanlar dnamğ, oraya 970 lerde çıkmışır ve o arhlerde akımların benzemn yapmak çn faydalanılmaka olan fzk, nümerk maemak ve bell ölçüde de blgsayar blmn fade eder şeklde anılmaya başlanmışır [8]. Günümüzde se sayısal akışkanlar dnamğndek lerlemeler blgsayar eknolojsndek lerlemeler le yakından lşkldr. Blgsayarlar sayesnde mlyonlarca şlem gerçekleşrlerek s ve gaz gb akışkanların karmaşık davranışlarının benzem yapılablmekedr. Bnnla brlke günümüzün en güçlü blgsayarlarıyla ble, elde edlen sonçlar sadece yaklaşık sonçlar olablmekedr.

B çalışmada, verlmş olan br yağmr sy şebekesnn yağış alındak davranışının benzemn yapmak çn sayısal akışkanlar dnamğ alanında yaygın olarak kllanılmaka olan MacCormack yönemnden faydalanılmışır. Klask anlamdak ve gelşrlmş MacCormack yönemler le yapılmış olan çalışmalar dğer yönemlere göre daha cz (kllandıkları blgsayar kaynakları anlamında) olmakla brlke daha pahalı olan sofske yönemlerle kıyaslandıklarında oldkça y sonçlar verdkler görülmekedr [4]. 3

. TEORĐ. Kornm Kannları B ezn kapsamında olan ve şebeke çersnde s akımını modellemek çn hyaç dylan maddenn ve momenmn kornm gb kannların fzksel lkelerden nasıl çıkığını görmek çn örneğn ek boyl br üp çersnde hareke eden br sıvı ele alınablr. Brada verlmeke olan örnek büyük ölçüde Leveqe [7] den alınıdır. Hareke emeke olan sıvının, üpün çersndek hızı (, ) verlmşr ve b değşkenn, sadece üp boynca konm ve zaman ye bağlı oldğ kabl edlmekedr. Akışkanlar dnamğ problemlernde çözümün br parçası olarak genellkle akışkanın hareken yan hızını belrlemek gerekl olmakadır. Elmzdek örneke se hızın, zamana ve konma bağlı olarak blndğ ve akışkan yan sıvı çersnde blnan br kmyasalın yoğnlğnn modellenmes senlmekedr. Kmyasal maddenn sıvı çersnde çok az mkarlarda blndğ ve akışkanın dnamklern eklemedğ varsayılmakadır. Brada q (, ), sıvı çersnde blnmaka olan kmyasalın yoğnlğn vermeke olan fonksyondr ve belrlenmes senlmekedr. Yoğnlk genellkle brm hacmde küle olarak ölçülmekedr ancak yoğnlkak değşklklern sadece e bağlı olarak gerçekleşğ ek boyl br üp akımında q nn brm znlkak küle mkarı olarak ölçüldüğünü varsaymak daha doğal olmakadır (örneğn gram/mere gb). Bahsedlen b yoğnlk ( q olarak fade edlen), üç boyl yoğnlk fonksyonnn üpün kes alanı le çarpılması sonc elde edleblmekedr. B drmda; q (, )d (.) 4

üpün ve arasındak kısmında belrl br zaman olan de kmyasal maddenn oplam külesn vermekedr. Tüpün < < le fade edlen bell br kısmında (.) le verlen negraln zaman çersnde değşğ düşünüleblr. Eğer ncelenmeke olan kmyasal madde üpün verlen kısmında yok olmyor ya da var edlemyorsa o halde üpün le arasında kalan kısmında kmyasal maddenn oplam küles sadece ve den gerçekleşen kmyasal madde parçacıklarının akımı le gerçekleşeblr., çn sab nokasından gerçekleşen kmyasal madde akımının hızı (örneğn gram/sanye cnsnden) F ( ) olarak anımlanablr ve değer sadece ye bağlıdır. F ( ) kesndek akışkan çersnde blnan kmyasal madde akımının hızıdır, (, ) se akışkanın hızıdır. ( ) > 0 F oldğnda akımın soldan sağa, F ( ) < 0 oldğnda se sağdan sola oldğ kabl edlmekedr. [, ] kısmındak oplam küle sadece ç nokalarda meydana gelen akılara bağlı olarak değşğnden aşağıdak fade elde edleblr: d d q(, )d F ( ) F ( ). (.) Brada ( ) ve ( ) F olan akımı vermekedr. F üpün le arasında kalan kısmı çersne doğr (.) le verlen denklem br kornm yasasının emel negral formdr. Toplam küledek değşmn hızı sadece ç nokalardan meydana gelen akıya bağlıdır ve b drm kornmn emeln olşrmakadır. B aşamada akı fonksyon olan F j ( ) nn, (, ) q le nasıl br lşk çersnde oldğnn belrlenmes q çn çözüleblr br bağını elde edlmesn sağlayablecekr. Ykarıda anlaıldığı şekldek br akışkan akımında her hang br j nokasında anındak akı basçe yoğnlk q (, ) nn hız (, ) şeklde fade edlmekedr. le çarpımına eş olmakadır ve b drm aşağıdak 5

( ) (, ) q(, ) F j j (.3) Hız j nokasından kmyasal madde parçacıklarının ne kadar çabk geçğn söylemekedr (örneğn mere/sanye olarak). Yoğnlk q se br merelk br sıvının ne mkarda kmyasal madde küles aşıdığını söylemekedr (örneğn gram/mere olarak). B drmda hız ve yoğnlğn çarpımı gerçeken de b nokadan kmyasal madde külesnn geçş hızını vermekedr. (, ) blnen br fonksyon oldğndan akı fonksyonn aşağıdak şeklde yazmak mümkündür. ( q,, ) (, ) q(, ) Akı f (.4), ) akı Hızın ve ye bağlı olmaksızın sab oldğ br drmda ( ( ) 0 fonksyon çn aşapıdak fade yazılablr. ( q) q Akı f 0 (.5) B drmda her hang br noka ve andak akı o nokadak kornan ncelğn değernden elde edleblmekedr ve nokanın zay-zamandak konmna bağlı olmamakadır. (.5) le verlmeke olan ve sadece q nn değerne bağlı olan genel br akı fonksyon f ( q) çn kornm yasası (.) aşağıdak şeklde yenden yazılablr. d d q(, )d f ( q(, )) f ( q(, )) (.6) B denklemn sağ arafı cebrn sandar noasyon kllanılarak yenden yazılablr. d d q(, )d f ( q(, )) (.7) 6

B kısa göserm akının karmaşık br yapısı oldğ drmlarda faydalı olablecekr ve aynı zamanda da aşağıda gerçekleşrlen manplasyonlar sayesnde q nn dferansyel formnn elde edleblmesn sağlamakadır. Akı fonksyon f ( q) örneğn (.5) le br kez belrlendken sonra q çn çözülme olasılığı olan br denklem elde edlmş olmakadır. B denklem, gelş güzel ve değerlerne bağlı her [, ] sağlayan br (, ) aralığı çn geçerl olmalıdır. Verlmş olan şarı q fonksyonnn nasıl blanableceğ se açık değldr. B problem doğrdan çözmeye çalışmak yerne söz kons denklem, sandar eknklerle çözüleblecek br kısm ürevl dferansyel denklem halne dönüşürüleblnr. Bnn yapılablmes çn aşağıda verlmeke olan manplasyonların geçerl olmasını sağlayacak şeklde q (, ) ve f ( q) fonksyonlarının yeernce düzgün (smooh) oldğnn kabl edlmes gerekmekedr. q ve f nn düzgün fonksyonlar oldkları varsayıldıkları akrde (.7) denklem aşağıdak şeklde yenden yazılablmekedr. d d q(, )d f ( q(, ))d (.8) (.8) düzenlenrse aşağıdak denklem elde edleblmekedr. q( ) f ( q( )) d 0,, (.9) B negraln üm ve değerler çn sıfıra eş olması gerekğnden negral çersnde kalan fadedn sıfıra eş olması zornl hale gelmekedr. Sonç olarak aşağıdak dferansyel denklem elde edleblmekedr. 7

q(, ) f ( q(, )) 0 (.0) (.0) le verlmeke olan denklem kornm yasalarının dferansyel form olmakadır.. Temel Akışkanlar Dnamğ Denklemler Akışkanlar dnamğnn emel denklemler, küle ve enerjnn kornm lkeler ve Newon n knc yasasından faydalanılarak ürelmekedr. B yapılırken aşağıdak adımların zlenmes gerekmekedr [7]: -Fzk kannlarından ygn olan emel fzksel lkeler seçlr: a) Küle kornmakadır b) F ma (Newon n knc kann) c) Enerj kornmakadır -B fzksel lkeler akımın ygn br modelne yglanır. 3-Yapılana yglama soncnda söz kons fzksel lkeler kapsayan maemaksel denklemler alınır. Ykarıda verlen knc maddenn gerçekleşrleblmes çn akımın ygn br modelnn seçlmes gerekmekedr. Kaı br maddey görmek ve anımlamak nspeen kolaydır. Öe yandan br akışkan elle lması mümkün olmayan ymşak br yapıdadır. Kaı br madde konm değşrmesne neden olan br hareke halndeyken maddenn her br parçası aynı hızda hareke emekedr, br akışkan benzer br hareke halndeyken se akışkanın her br nokasında hız farklı olablmekedr. B drmda fzksel lkeler yglayablmek çn hareke eden br akışkanın nasıl ele alınacağına karar vermek gerekmekedr. Sürekl olan br akışkanda dferansyel br dv hacmne sahp örneğn küp şekll br akışkan elemanı düşünüleblr. B akışkan elemanı akışkan çersnde akmakadır ve dferansyel cebr anlamında sonsz küçük olmakla beraber, sürekl br oram olarak düşünüleblmesn sağlayacak kadar da büyükür ve çersnde çok fazla sayıda moleküller barındırmakadır. Söz kons akışkan elemanı br hız vekörü V le belrl br yol zlyor ve b hız vekörü de zledğ yoln her nokasındak akış 8

hızına eş olablr. B yaklaşım sayesnde üm akışkan alanı le lglenmek yerne emel fzksel lkeler sadece sonsz küçük akışkan elemanına yglanmakadır. Sonç olarak emel denklemler kısm ürevl denklemler bçmnde elde edlmş olmakadır. Akışkan le brlke hareke eden akışkan elemanından elde edlen söz kons kısm ürevl dferansyel denklemler emel denklemlern kornml olmayan bçmnde olmakadır. Devam eden bölümlerde emel akışkanlar dnamğ denklemlern çıkarablmek çn öncelkle sürekllk hpoeznden bahsemek gerekmekedr... Sürekllk hpoez Akışkanlar, moleküler yapıları harc kesme kvvelerne karşı hçbr drenç gösermeyen ve en küçük kvveler karşısında ble kolayca deforme olan olşmlardır. Fzksel olarak farklılıklar göserseler de sıvılar da, gazlar da akışkan olarak anımlanmakadır. Br çağın erafında meydana gelen hava akımı ya da br nehrdek s akınısının hareke gb prak problemler söz kons oldğnda söz kons akışkan (hava ya da s) sürekl br madde gb kabl edleblr. B kable sürekllk hpoez denlmekedr. Akışkanların dnamkler; külenn, momenmn ve enerjnn kornm olarak adlandırılan klask fzğn kornm kannları arafından yönelmekedr. B kannlardan kısm ürevl dferansyel denklemler elde edlmeke ve ygn koşllar alında basleşrlmekedrler. Kornm kannları geleneksel olarak akışkanın sürekl br oram oldğ kablü alında yan sürekllk hpoez sayesnde formülze edleblmekedr. B şeklde akışkanın, yoğnlk ve hız gb fzksel özellkler akışkanın kapladığı zayda zamana dayalı skalar ve vekör alanları olarak arf edleblrler [6]. Bna göre zaydak br noka maemaksel anlamda br noka olmakan çok aslında küçük br akışkan parçasını fade emekedr ve b akışkan parçasını pek çok molekül meydana germekedr. Böylece akışkan çersndek br noka moleküler düzeyn üzernde olmakla beraber o nokadak fzksel özellkler aslında orada blnmaka olan moleküller belrlemekedr. Sürekllk hpoez sayesnde ek ek moleküller (ya da onları meydana geren daha al parçacıklar) le lglenmek yerne onların oraklaşa meydana gerdkler özellkler le lglenlmekedr. 9

Akışkanların harekelern analz edeblmek açısından akışkanın sürekl br oram olarak düşünülmes gerekl olmakadır. µm ve üzerndek makroskopk boylarda gerçekleşen akışkan akımlarının analznde maddenn moleküler yapısı ve moleküler harekeler göz ardı edleblmekedr [8]. B drmda akışkanın davranışı, hız, basınç, yoğnlk ve sıcaklık gb makroskopk özellkler ve b özellklern zay ve zaman ürevler cnsnden fade edlr. B özellkler yeernce büyük sayıdak moleküllern oralaması gb düşünüleblnr. Böylece br akışkan parçacığı ya da akışkan çersndek br noka, makroskopk özellkler breysel moleküller arafından eklenmeyen en küçük akışkan elemanı olmakadır. Akışkanlar dnamğnn emel denklemler elde edlrken hareke eden br akışkan elemanı modelnden faydalanılacakır. B nedenle hareke eden br akışkan elemanı le lgl özellklern zamana karşı olan değşm hızını fade eden büyük ürevden bahsemek gerekmekedr. Devam eden bölümler çoğnlkla Anderson [7] dan alınmışır... Büyük ürev Akışkan akımı le brlke hareke emeke olan akışkan elemanının üç boyl karezyen zayında hareke eğ düşünüleblr., y ve z eksenler boynca brm vekörler sırasıyla, j ve k olarak verlmşr. B drmda b karezyen zayındak hız vekör alanı aşağıda fade le verleblmekedr. V vj wk (.) Hız vekörünün, y ve z bleşenler sırasıyla aşağıdak fadeler le verlmekedr: (, y, z, ) (.a) (, y, z, ) v v (.b) (, y, z, ) w w (.c) 0

Sayısal yoğnlk alanı se aşağıdak şekldedr: ( ) z, y,, (.3) Br anında ( ) z, y, konmnda akışkan elemanının yoğnlğ: ( ), z, y, Aynı akışkan elemanının dğer br anı ve ( ) z, y, konmnda sahp oldğ yoğnlk se: ( ), z, y, ( ) z, y,, oldğndan b fonksyon nokası yakınında Taylor sers le aşağıdak şeklde açılablmekedr. ( ) ( ) y y y ( ) ( ) z z z (yüksek derecel ermler) (.4) B açılımı ( ) e bölerek ve yüksek derecel ermler hmal ederek aşağıdak denklem elde edlmekedr. y y y z z z (.5)

Ykarıdak denklemn sol arafı, akışkan elemanı nokasından nokasına doğr hareke ederken akışkan elemanının yoğnlğndak değşm hızının oralamasıdır. nn e yaklaşığı lm değernde b erm aşağıdak şekl almakadır: D lm D (.6) Brada D / D, nokasından geçerken akışkan elemanının anlık olarak yoğnlğnn zamana göre değşm hızını fade emekedr. Tanım olarak D / D sembolü büyük ürev olarak smlendrlmekedr. D / D), sab olan ( nokasındak yoğnlğn zamana göre değşm hızını veren ( / ) den ( farklıdır. D / D), hareke ederken akışkan elemanının nokasından geçerken geçrdğ değşklk le lgldr, ( / ) se sab nokasında akım alanındak geçc dalgalanmalar soncnda o nokada meydana gelen yoğnlk değşm le lgldr. B bakımdan b k fade fzksel ve nümerk olarak farklı büyüklüklerdr. Konmdak değşmn zamandak değşme oranı lmnde hızı verdğnden ve, y ve z yönlerndek hızlar sırasıyla, v ve w le fade edldğnden (.5) aşağıdak şeklde yenden yazılablmekedr. D D v y w z (.7) Ykarıda verlmş olan denklem ncelendğnde büyük ürev D / D çn karezyen koordnalarında aşağıdak fadenn yazılableceğ görülmekedr. D D v y w z (.8)

Bnnla brlke karezyen koordnalarında vekör operaörü aşağıdak şeklde anımlanmakadır. j y k z (.9) B drmda (.8) fades aşağıdak şeklde yazılablmekedr. D D ( V ) (.0) Ykarıdak denklem büyük ürev operaörünü vekör noasyonnda fade eğnden her koordna ssemnde geçerl olmakadır. Yerel ürev olarak anılan ve sab br nokadak zamana göre değşm hızını veren / fadesnden farklı olarak D / D, hareke eden br akışkan elemanını akp ederken meydana gelen zamana göre değşm hızını fade emekedr. V se leml ürev olarak anılmakadır ve akışkan elemanının, akım özellklernn konmsal olarak farklı oldğ akım alanı çersndek nokalar arasında hareke ederken meydana gelen zamana göre değşm hızını fade emekedr. Büyük ürev her ür akım-alanı değşkenne (örneğn basınç p çn Dp / D, sıcaklık T çn DT / D vb.) yglanablmekedr. Büyük ürev, cebrsel anlamda zamana göre alınmış oplam ürev (oal dervave) d / d ye eşdeğerdr...3 Hızın ıraksamasının fzksel anlamı Hızın ıraksamasını fade eden V y anlamak çn akışkan le hareke emeke olan br konrol hacm düşünüleblnr. Söz kons konrol hacm akım le brlke hareke ederken sürekl olarak aynı akışkan parçacıklarından meydana gelmekedr. B bakımdan küle sabr ve zamanla değşmemekedr. Bnnla beraber söz kons konrol hacm farklı değerlernn oldğ akımın farklı bölgelerne zaman çersnde hareke ederken hacm V ve konrol yüzey S değşmekedr. Sab küleye sahp olan konrol hacm, akımın karekersklern bağlı olarak hacmn sürekl olarak azalmaka ya da arırmakadır ve şekl de 3

sürekl olarak değşmekedr. Konrol hacmnn sürekl değşmeke olan yüzey üzernde yerel V hızı le hareke emeke olan sonsz küçük br yüzey elemanı ds düşünüleblr. zaman arışında sadece ds nn hareke soncnda konrol hacmnde meydana gelen hacmdek değşm meydana gelen ve aban alanı ds, yükseklğ V eş olmakadır. Brada n, ds yüzeyne dk olan brm vekördür., ds nn hareke soncnda ( V ) n olan hayal br hacme [( V ) n] ds ( V ds V ) (.) Brada ds, n ds ye eş olarak anımlanmakadır. Zamandak arış olan de üm konrol hacmnde meydana gelen oplam değşm (.) denklemnn üm konrol yüzey üzerndek oplamına eş olmakadır. ds nn sıfıra yaklaşığı lm değernde söz kons oplam aşağıda verlmeke olan yüzey negral halne gelmekedr. S ( V ) ds (.) Ykarıdak negral le bölünürse sonç DV / D le göserlmeke olan konrol hacmnn zamandak değşm hızı olmakadır: DV D S ( V ) ds S V ds (.3) Ykarıdak fadedenn sol arafı büyük ürev olarak yazılmışır. Bnn sebeb konrol hacmnn akım le hareke edyor olmasıdır ve büyük ürev de böyles drmlarda meydana gelen zamana göre değşm hızlarını fade emekedr. B fadenn sağ arafına vekör cebrndek ıraksama eorem yglandığında aşağıdak bağını elde edlmekedr. DV D ( V )dv V (.4) 4

B aşamada, hareke emeke olan konrol hacmnn çekerek esasında sonsz küçük olarak düşünüleblecek çok küçük br hacm olan varsayılırsa ykarıdak fade aşağıdak hal almakadır. δ V ye dönüşüğü ( δv ) D D δv ( V )dv (.5) V nn üm δ V boynca sab br değere sahp olacak şeklde δ V nn yeernce küçük oldğ düşünüldüğünde ykarıdak negral, δ V nn sıfıra yaklaşığı lm değernde ( V) δv halne gelmekedr. Böylece ykarıdak denklemden aşağıdak fade elde edlmekedr. ( δv ) D D ( V) δv ya da V δv ( δv ) D D (.6) B bağınıdan görülmekedr k hızın ıraksaması V, fzksel anlam olarak, hareke emeke olan br akışkan elemanının brm hacm başına hacmndek zamana göre değşm hızını fade emekedr...4 Sürekllk denklem Sürekllk denklemn elde edeblmek çn akışkan le beraber hareke emeke olan sonsz küçük akışkan elemanına, külenn korndğn söyleyen fzk yasasını yglamak gerekmekedr. Söz kons akışkan elemanının küles sabr ancak akım le brlke hareke ederken genelde şekl ve hacm değşken olablmekedr. Elemanın sab küles ve değşken hacm sırasıyla δ m ve δ V le fade edleblr. B drmda, δ m δv (.7) 5

Küle kornmaka oldğndan akışkan elemanı akım le brlke hareke ederken külesnn zamana göre değşm hızının sıfır oldğ söylenleblmekedr. Büyük ürevn anlamı dkkae alındığında aşağıdak fade elde edlmekedr. ( ) D δm D 0 (.8) (.7) ve (.8) denklemler braraya gerldğnde: D ( δv ) D D( δv ) D δv D D 0 ya da; D D δv ( δv ) D D 0 (.9) Ykarıdak denklemde köşel paranezler çersnde verlmeke olan erm fzksel olarak V ye eşdeğerdr. Böylelkle (.9) aşağıdak gb yazılablmekedr. D V D 0 (.30) (.30) bağınısı, sürekllk denklemnn kısm ürevl dferansyel denklem bçmdr. Sürekllk denklemnn b bçmde elde edlmş olmasının sebeb üreme şlemnn sonsz küçük br akışkan elemanından faydalanılarak yapılmış olmasıdır. B fadey çersnde büyük ürev operaörünün yglanmadığı br formda da yazmak mümkündür. Büyük ürev operaörünün anımından yola çıkarak ykarıda verlmeke olan denklem aşağıdak şeklde de yazılablr. ( V ) ( V) 0 (.3) 6

Br skalar le br vekörün çarpımının ıraksaması aşağıdak şekldedr. ( ) ( V) ( V ) V (.3) B fadeden faydalanarak (.3) sadeleşrrsek; ( V) 0 (.33)..5 Momenm denklem Momenm denklem elde emek çn yglanması gereken fzksel lke F ma olarak fade edlmeke olan Newon n knc kanndr. Brada F kvve, m küley, a se vmey fade emekedr. Şekl. de momenm denklemnn elde edlmes çn kllanılacak olan sonsz küçük akışkan elemanı göserlmekedr. v Hız bleşenler y w h y ( τ y τ dy) d dz y g τ p dy dz dy dz e dz dy d τ z d d dy f c p ( p d) dy dz ( τ τ d) dy dz a τ yz d dz b z ( τ z τ dz) d dy z z Şekl.. Hareke eden sonsz küçük akışkan elemanına doğrlsnda ekyen kvveler 7

Ykarıdak şeklde verlmş olan, hareke eden akışkan elemanına Newon n knc yasası yglandığında, akışkan elemanına yglanan ne kvve, külesnn vmesne çarpımına eş olmakadır. B br vekörel lşkdr ve, y ve z eksenlernde üç ade skalar lşkye ayrılablmekedr. Momenm denklemn çıkarmak çn sadece bleşen çn Newon n knc yasası ele alınablr. F ma (.34) Brada F ve a doğrlsnda kvve ve vmenn skalar bleşenlerdr. Hareke emeke olan akışkan elemanına doğrlsnda ekmeke olan F kvvenn k kaynağı blnmakadır: -Gövde Kvveler: B kvveler akışkan elemanının hacmsel külesne bell br mesafeden ekmekedr. B kvvelere örnek olarak yerçekm kvve, elekrksel ve manyek kvveler verleblr. - Yüzey Kvveler: B kvveler doğrdan akışkan elemanının yüzeyne ek emekedr ve k ade kaynakan oraya çıkmakadırlar. Brncs, akışkan elemanını saran dışarıdak akışkanın yaraığı ve akışkan elemanının yüzeyne ekyen basınç dağılımıdır. Đkncs se yne dışarıdak akışkanın sürünme sayesnde akışkan elemanını çekmes ve mes sonc oraya çıkan ve akışkan elemanının yüzeyne ek eden kesme ve normal gerlm dağılımlarıdır. Şekl.. Akışkan elemanına ekyen yüzeysel kvveler a) kesme gerlmes b) normal gerlme 8

Akışkan elemanının brm külesne ekyen gövde kvve, bleşen f olmak üzere f le fade edleblr. Akışkan elemanının hacm ddydz le verlmekedr. B drmda akışkan elemanına yönünde ekyen gövde kvve f ddydz olmakadır. Br akışkan çersndek kesme ve normal gerlmeler, akışkan elemanının zamana göre deforme olma hızı le lşkldr. Sadece y düzlem düşünüldüğünde τ y le fade edlen kesme gerlmes akışkan elemanının kesme deformasyonnn zamandak değşm hızı le lşkldr. τ le fade edlen normal gerlme se akışkan elemanının hacmnn zamanda değşme hızı le lgldr. Sonç olarak kesme ve normal gerlmeler akışkan çersndek hız gradyenlerne bağlı olmakadır. Çoğ vskoz akımda normal gerlmeler, kesme gerlmelernden çok daha küçük olmaka ve çoğ kez hmal edleblmekedr. Normal gerlmeler, örneğn br şok dalga çersnde normal hız gradyenler çok büyüdüğünde öneml hale gelmekedr. yönünde akışkan elemanına ekyen yüzey kvveler Şekl.. de göserlmekedr. B şeklde kllanılan konvansyona göre τ j, eksenne dk olan br düzlemde j yönünde ekyen gerlmey fade emekedr. abcd yüzünde yönündek ek kvve kesme gerlmesnden kaynaklanan τ jddz dr. efgh yüzü abcd yüzünden dy kadar br mesafe ykarıdadır, dolayısıyla da efgh yüzünde yönündek kesme kvve [ τ ( τ / y) dy]ddz dr. abcd ve efgh yüzlernde y y kesme kvveler zı yönlerdedr., v ve w hız bleşenlerndek pozf arışlar eksenlern pozf yönlernde gerçekleşmekedr; söz kons zı yönler b konvansyon le arlıdır. Örneğn efgh yüzünün hemen üzerndek hızı yüzeydek hızdan daha büyükür, b da akışkan elemanı üzernde pozf yönünde br asılma eks olşrmakadır. Benzer şeklde abcd yüzeynn hemen alındak hızı yüzeydek hızından küçükür, b da akışkan elemanı üzernde negaf yönünde br çekme eks olşrmakadır. eksenne dk olan adhe yüzeynde yönündek kvveler, her zaman akışkan elemanının çersne doğr ekyen basınç kvve pdzdy ve negaf yönündek τ dzdy kvvedr. Brada 9

da ykarıda bahsedlen drm söz konsdr ve adhe yüzeynn hemen solndak hızı yüzeydek hızından küçük olğndan vskozenn eksnden kaynaklanan normal gerlme, akışkan elemanını negaf yönünde çekmek başka br deyşle yönündek hareken yavaşlamak semekedr. bcgf yüzünde se basınç kvve [ p p / ) d]dydz, akışkan elemanının çersne doğr ek emekedr ve hızı bcgf yüzünün hemen sağında üzernde oldğndan daha büyükür ve vskoz normal gerlme akışkan elemanını [ τ ( τ / ) d]dydz ye eş olan br kvve le pozf yönünde çekmeye çalışmakadır. Ykarıdak arışma göz önünde blndrlarak hareke eden akışkan elemanına yönünde ek emeke olan ne yüzey kvve çn aşağıdak fade yazılablr. doğrlsndak ne yüzey kvve p p p d dydz τ τ d τ dydz (.35) τ y τ y y dy τ y ddz τ z τ z z dz τ z ddy Akışkan elemanına yönünde ek emeke olan oplam ne kvve, yönünde ekyen ne yüzey kvve le gövde kvvelernn oplamıdır ve aşağıdak gbdr. F p τ τ y y τ z z ddydz f ddydz (.36) Akışkan elemanının küles sabr ve m ddydz le fade edlmekedr. Đvmes se sahp oldğ hızın zamanda değşm hızına eşr ve yönündek bleşen nn zamandak değşm hızına eşr. Hareke emeke olan br akışkan elemanı ele alındığından zamana göre değşm hızı büyük ürev le verlmekedr ve a D / D şeklndedr. 0

(.36), ddydzd / D ye eş oldğnda Newon n knc kann,, y ve z doğrllarında aşağıdak şekllerde yazılablmekedr. D D p τ τ τ z y z y f (.37a) Dv D p y τ y yy zy τ y τ z f y (.37b) Dw D p z τ τ τ z z yz zz y f z (.37c) Ykarıda verlmeke olan denklemler, y ve z doğrllarında kısm ürevl dferansyel denklemler bçmndek momenm denklemlerdr ve Naver-Sokes Denklemler olarak anılmakadır. B denklemler hareke eden sonsz küçük br akışkan elemanı kllanılarak elde edldklernden büyük ürev operaörü yglanmış ermler çermekedrler. Büyük ürev operaörünün anımından faydalanıldığında yönündek momenm denklemnn sol arafı aşağıdak şeklde yazılablr. D D V (.38) Aşağıda verlmeke olan ürev açıldığında; ( ) B fade düzenlendğnde; ( ) (.39)

Br skalar le br vekörün çarpımının ıraksaması aşağıdak şekldedr. ( ) ( ) ( ) V V V (.40) B fade farklı yazılırsa; ( ) ( ) V V V (.4) (.39) denklemne (.40) ve (.4) denklemler yerleşrlrse; ( ) ( ) ( ) V V D D ( ) ( ) ( ) V V (.4) Ykarıdak denklemde köşel paranezler arasında yer alan erm daha önce elde edlmş olan sürekllk denklemnn sol arafıdır ve dolayısıyla da sıfıra eşr. Böylelkle ykarıdak denklem aşağıdak hal almakadır. ( ) ( ) V D D (.43) Elde edlmş olan b bağını ve dğer yönlerdek benzerler momenm denklemlerne yerleşrlrse aşağıdak denklemler elde edlmekedr. ( ) ( ) z y f z y p τ τ τ V (.44) ( ) ( ) y zy yy y f z y y p v v τ τ τ V (.45) ( ) ( ) z zz yz z f z y z p w w τ τ τ V (.46)

Momenm denklemlernde kesme ve normal gerlme ermler blnmakadır. Sokes 945 yılında kesme ve normal gerlmeler aşağıdak fadeler le vermşr. τ λ( V ) µ (.47) v τ yy λ( V ) µ y w τ zz λ( V ) µ z (.48) (.49) τ τ y y µ v y (.50) τ τ z z µ z w (.5) τ yz τ zy µ w y v z (.5) Brada moleküler µ vskoze kasayısı, λ de knc vskoze kasayısıdır. B k kasayı arasında λ ( / 3)µ gb br lşk blndğ yönünde br yaklaşım yglamalarda sıklıkla kllanılmakla beraber söz kons lşk kesn olarak kanılanmamışır. Tek boyl br newon akışkanı çn ek boyl Naver Sokes Denklemler aşağıdak gb vekör ( mars) formnda yazılablr [0]. N Ε 0 (.53a) 3

Brada N ve Ε aşağıdak şekllerde verlmekedr. N, E 4 0 µ 3 (.53b)..6 Türbülans model ve oralamalı Reynolds Navers Sokes denklemler Prenspe zamana dayalı üç boyl Naver-Sokes denklemler verlen br ürbülanslı akımdak üm fzksel olgları çermekedr. Bnn b şeklde olmasının sebeb ürbülansın br sürekllk fenomen olmasıdır [6]. Türbülanslı br akımda gerçekleşmeke olan en küçük ölçekler ble moleküler ölçeken çok daha büyük olmakadır [4]. Bnnla brlke ürbülansak en küçük ölçekler yne de oldkça küçük boyl olmakadır. Söz kons ölçekler en büyük ölçekek ürbülansan pek çok merebe daha küçük olmakadır. En büyük ürbülans ölçeğ se ürbülanslı akımın yakınında gerçekleşğ nesnenn boy le aynı merebede olmakadır. Bnnla brlke en küçük ürbülans ölçeğnn en büyük ölçeğe oranı Reynolds sayısı büyüdükçe hızla azalmakadır. B drm, ürbülanslı br akımda gerçekleşen üm olayları modellemenn çok fazla şlem gücü gerekreceğ le lgl pc vermekedr. Türbülans en küçüken en büyüğe sürekl br ölçek spekrm çermekedr. Türbülansı meydana geren çevrnler zayda çakışmaka, büyük olanlar küçük olanları aşımakadır. Türbülans basamaklı br yapıda gerçekleşrken büyük çevrnler knek enerjlern küçük çevrnlere akarmakadır. Nha olarak en küçük çevrnler de moleküler vskozenn eks le knek enerjlern kaybemeke ve b enerjler ısıya dönüşmekedr. B bakımdan ürbülanslı akımlar enerjy büyük ölçüde dağıma özellğne sahprler [6]. Mühendslk açısından bakıldığında ürbülansın enerjy yüksek derecede dağıma özellğ, küle, momenm ve enerj ransferne büyük kakı sağlamakadır. Türbülanslı akımlarda, düzgün ve sakn br şeklde gerçekleşen lamnar akımlarda oldğndan br kaç merebe daha büyük gerlmelern olşacağını beklemek yanlış olmayacakır. 4

Naver Sokes denklemlernn doğrsal olmayan yapısı, farklı dalga boyları ve doğrllardak dalgalanmalar arasında ekleşmlern meydana gelmesne sebep olmakadır. B karmaşık drm sayısal olarak modellemek çn gerçeken çok küçük boylara kadar nmek ve oradan başlayarak üç boyl olarak çok fazla sayıda şlem yapmak gerekmekedr. Gerçekç problemler çn böyles doğrdan br çözümün mkansızlığından olsa gerek zaman çersnde Naver Sokes denklemler yerne pek çok basleşrlmş denklem ssemler gelşrlmşr. Đsasksel anlamda br oralama alma yaklaşımı kllanılarak gelşrlmş olan br anes Reynolds oralamalı Naver Sokes denklemlerdr ve aşağıda verlmekedr [9]. ( ) ( v) y ( w) z p ( ν ) ( ν y ) ( ν z ) z y (.54a) v ( v) ( vv) y ( vw) z p y ( ν ) ( ν y ) ( ν z ) z y (.54b) w ( w) ( wv) ( ww) p ( ν w ) ( νw ) ( w ) g ν y z z y y z z (.54c) v y wz 0 (.55) Brada, v ve w sırasıyla, y ve z doğrllarındak hızları vermekedr., zaman, p se basıncı yoğnlğa bölerek elde edlmş olan normalze basınçır. g, yerçekm vmes, ν belrl br ürbülans modelnden elde edlmş olan çevrn vskozes kasayısıdır. Ykarıdak bölümlerde emel akışkanlar dnamğ denklemlern elde emek çn kllanılmış sonsz küçük akışkan elemanı model yerne mkroskopk br yaklaşım yglamak da mümkün olmakadır [7]. Bnn sebeb br akışkanın harekenn, aslında sahp oldğ aom ve moleküllernn oralama harekelerrnden kaynaklanıyor olmasıdır. B yaklaşıma göre doğanın emel yasaları doğrdan aomlara ve moleküllere yglanmaka, ygn şeklde sasksel oralamalar alınarak akışkanın özellkler anımlanmakadır. B yaklaşım knek eornn alınında yer almakadır ve b ezn kapsamı dışındadır. 5

.3 Sığ S Modelleme Denklemler Akışkan akımını fade emek çn gelşrlmş olan br akım maemaksel modeller blnmakadır. Bnlardan en genel olanı, üç boya vskoz sıkışablr br akışkanın davranışını ahmn emek çn kllanılmaka olan Naver-Sokes denklemler ssemdr. Prake maemaksel br model olşrlrken eldek problem basleşrmek çn pek çok kabl yapılmaka ve gerekl fenomen açıklayıcı en emel denklemler elde edlmekedr. Açık kanal akımında en çok kllanılmaka olan modeller sığ s denklemler sınıflandırmasının alına düşmekedr. Sığ s denklemlernde eldek problemn boylarına göre akım sığ kabl edlmekedr. Tüm akışkan akım modellernde oldğ gb br sığ s model olşrmak çn külenn kornmna karşılık gelen br sürekllk denklem olşrlmaka ve klask fzk kannları yglanarak br hareke denklemne laşılmakadır. Yapılışına bağlı olmak üzere b gb denklemler genellkle, momenm ya da enerj gb belrl br ncelğn kornmn fade eden kornm kannları olarak yazılmakadır. Denklemlere sürünme, geomernn değşm, vskoze vb., ekler de çerecek şeklde lave ermlerde ekleneblmekedr ve bnlar genellkle, ssemden gelen br şekldek kazanca ya da kayıba karşılık gelen kaynak ermler olarak adlandırılmakadır. Ağırlıklı olarak ek boyl akımların modellenmesnde San Venan denklemler açık kanal problemlern çözmek çn en sıklıkla kllanılmaka olan ssemdr ve b denklemler vskoz olmayan sıkışmaz olan ve derece derece değşen br akımı emsl emekedr. Denklemler br sürekllk ya da küle denklemnden ve Newon n knc yasasını kanal boynca yglayarak elde edlen br hareke denklemnden olşmakadır. Bell sayıda kabl model çersnde blnmakadır ve bnlar aşağıdak maddelerde özeleneblmekedr: - akım, s yüzey düz ve hız br kes alanda sab olacak şeklde ek boyl yapıdadır. - Đvmenn düşey bleşen hmal edleblr sevyededr öyle k dernlk boynca basınç değşm hdrolk hdrosakr. 6

- sürünme ve ürbülans kararlı drm akımını yönemeke olan aynı amprk kannlar (Mannng denklem gb) kllanılarak fade edleblmekedr. - Yaak sevyes ve yüzey arasındak açının kosnüsü yaklaşık br olacak şeklde yaak eğm küçükür. Düşey hız yaaka sıfırken serbes yüzeyde maksmm olacak şeklde hızın lneer olarak değşğ kablü le belrgn olan düşey vme bleşennn dahl edldğ, hızla değşm göseren akımlardak hareke arf emek çn kllanılmaka olan daha karmaşık br denklemler ssem Bossnesq denklemler de blnmakadır. b ssemde vme ermler sıfır alınarak San Venan denklemler elde edlmekedr. San Venan denklemler leraürde çok farklı formlarda görüleblmekedr. Aşağıda verlmeke olan dervasyon Crossley [9] den alınmışır ve Şekl.3 de göserlmeke olan gelş güzel şekldek br kanala yglanmakadır. Şekl.4 de göserlmş olğ üzere (, ) düzlemnde, kesler ve, zamanları arasında br konrol hacm oldğ düşünüldüğünde A ıslak en kes alanı ve da oralama en kes hızı olmakadır. B drmda akışkan yoğnlğ olacak şeklde konrol hacm çersne doğr küle akış hızı (yoğnlk deb) ( A) ve bölgeden ayrılış hızı ( A) olmakadır. Konrol hacm çersne doğr ne küle akışını blnablmek çn ve zamanları arasında küle akış hızlarının negral alınmakadır; [( A) ( A) ] d. (.56) 7

Şekl.3. Kanal enkes z * F p ** F p F g Ff α y Şekl.4. Konrol hacmne ekyen kvveler 8

y * F * F ** F O ** F Şekl.5. Basınç kvveler Külenn kornmndan verlen zaman aralığında ne çer akış ve arasındak depolamanın değşmne eş olmalıdır ve aşağıdak fade le verlmekedr: [( A) ( A) ] d (.57) Q deb olacak şeklde Q A olarak alındığında ve yoğnlğn sab oldğ kablü le (.56) ve (.57) eşlenmes aşağıdak fadey vermekedr: [( A) ( A) ] d ( Q) ( Q) [ ] d 0 (.58) B bağını gelş güzel şekle sahp br kanaldak sürekllk denklemnn negral form olmakadır. Đknc denklem çn Newon n knc yasasını yglamak, verlen zaman aralığında konrol hacmnde momenmn değşmnn momenmn ne çer akışı ve konrol hacmnn üzerne ekyen dış kvvelern zamana göre negralnn oplamına eş olması gerekğn ma emekedr. Momenm küle ve hızın çarpımına eşr, momenm akısı se küle akış hızının hız le çarpımına eşr ve aşağıdak şeklde verlmekedr; 9

Momenm akısı A A. (.59) Ne momenm akısı konrol hacmne gren ve çıkan akış arasındak fark kadar olmakadır ve zaman aralığında meydana gelen ne çer akış aşağıdak gb olmakadır: [( A) ( A) ] d. M f (.60) Belrl br zamanda konrol hacm çersndek momenm aşağıdak fade le verlmekedr: Ad (.6) Dolayısıyla da zaman aralığında meydana gelen ne arış M aşağıdak gb olmakadır:.m [( A) ( A) ] d. (.6) Şekl.4 ve.5 e bakarak, yönünde konrol hacmne ekyen dış kvvelern öneml olanlarının basınç, yer çekm ve sürünme drencnden kaynaklandığını göz önünde blndralım. Ne ekyen basınç kvve F, sınırlara ekyen * F ve ** F basınç kvveler arasındak fark olarak verlmekedr. Hdrosak basınç varsayımında yglayarak basınç kvve amınlanılablmekedr. * F aşağıdak şeklde h( ) [ h( ) η] σ (, η) * F g p dη 0 (.63) 30

Brada η dernlk negrasyon değşken, h (, ) s dernlğ ve σ (,η) (, h) B( ) se σ olacak şeklde η dernlğndek en kesn genşlğ olmakadır. Böylelkle ne basınç kvve F p n negral aşağıdak şekl almakadır. F d [ ] d * ** ( F F ) d g ( pi ) ( pi ) p (.64) Brada I raha olması açısından aşağıdak gb verlmekedr. h( ) [ h( ) η ] σ (, η) I dη 0 (.65) Kanalın sonsz küçük br znlğ olan d göz önünde blndralım. Genşlke meydana gelecek br değşm nedenyle basınç kvvende meydana gelecek olan arış b drmda ıslak alanda meydana gelen arış çn), ağırlık merkeznn serbes yüzey ( h ( ) η) olarak verlmekedr. B da aşağıdak fade le verlmşr: d σ dη nn (sab dernlk h 0 den olan zaklığı le çarpımı σ pg d dη [ h( ) η] h h0 (.66) Konrol hacmne ekyen oplam anlık kvve hesaplamak çn br kes alanında b kvven 0 η ve h( ) η arasında ve le arasında negral alınmakadır ve aşağıdak bağını elde edlmekedr: ( ) [ ( ) ] (, h ) σ η η h Fp pg 0 h 0 dηd (.67) Zaman aralığındak oplam kvve blmak çn F p n le arasında negral alınmakadır ve b aşağıdak şeklde yazılablmekedr: 3

F pd g pi dd (.68) Brada I aşağıdak şeklde verlmekedr; I 0 h ( ) [ h η] σ h h 0 dη (.69) Yerçekm kvve olan F g kanal eğmnn küçük oldğ varsayımı le aşağıdak şeklde blnablmekedr: S 0 z an α sn α (.70) Brada z belrl br damn üzernde kanal yaağı kodr. Zaman aralığı üzernde yerçekm kvvenn oplam eks aşağıdak gbdr Fgd gas0dd (.7) Sürünme drenc olan F f kanal yaağı ve şevler le olan kesme kvvenden kaynaklanmakadır ve sürünme eğm S f le fade edleblmekedr. Kanalın brm znlğna ekyen kesme kvve b drmda gas f le verlmekedr ve sürünme kvvenn zaman negral aşağıdak hal almakadır: Ff d gas f dd (.7) Momenmn kornmndan, momenmdak değşm kazanımı M f le dış kvvelern zaman negrallernn oplamına eşr: M ne momenm M M f F p d Fpd Fgd F f d (.73) 3

(.68)-(.73) bağınılılarından ve yoğnlğn sab oldğ kablü le momenm denklemnn negral gösermnn sandar formna laşablmekedr: [( A ) ( A) ] [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] d A A d g I I d g I dd g A( S0 S f )dd (.74) Alernaf olarak A ve Q y çeren ermler Q A bağınısından faydalanarak yenden yazılablmekedr: [ ] Q Q [( Q ) ( Q) ] d d g ( I ) ( I ) A A d g I dd g A( S S f )dd 0 (.75) San Venan denklemlernn dferansyel form pek çok drmda alını olarak verlmekedr ve bnlar denklemlern negral formndan akış değşkenlernn sürekl ve ürevleneblr oldkları ve mesafesnn sonsz küçük hale geldğ kabller le elde edleblmekedr. Daha sonra Taylor sers açılımı yglanarak de A ve Q aşağıdak şekllerde yazılablmekedr. A A ( A) ( A)... (.76) Q Q ( Q) ( Q)... (.77) Đknc ve daha büyük dereceden ermler hmal ederek ve yaklaşırken lmn alarak ykarıdak fade aşağıdak hal almakadır: ve ve sıfıra lm [( A) ( A) ] d A dd (.78) 33

34 ( ) ( ) [ ] dd Q d Q Q lm (.79) Böylelkle sürekllk denklem aşağıdak şeklde yenden yazılablmekedr: 0 dd Q A (.80) Taylor sers açılımını (.75) bağınısındak dğer ermlere yglamak bze aşağıdak fadeler vermekedr: ( ) ( ) ( ) ( )... A / Q A / Q A / Q A / Q (.8) ( ) ( )... I I I I (.8) (.78) bağınısındak sadece brnc dereceden olan ermler kllanarak ve ve sıfıra yaklaşırken lmlern alarak (.75) bağınısı aşağıdak şeklde yenden yazılablmekedr: ( ) ( ) 0 f dd S A S I I g dd A / Q Q (.83) (.80) ve (.83) bağınılarının üm bölge boynca geçerl olması gerekğnden aşağıdak dferansyel denklemler le değşrleblnrler: 0 Q A (.84)

Q Q A gi ( 0 S f ) gi ga S (.85) B denklemler San Venan denklemlernn dferansyel formn meydana germekedr. Alernaf olarak momenm denklem bazen aşağıdak şeklde yazılmakadır: Q h ( Q) ga S 0 0 gas f (.86) B denklem, dnamk denklem olarak adlandırılmakadır. Her nekadar ykarıdak denklemler gelşgüzel br şekle sahp br kes alanı çn yazılmış olsalar da denklemlern geçerl oldkları drmlar San Venan hpoez le sınırlı olmakadır ve denklemlern olşrlması sırasında yapılmış olan kabller, belrl br problem çn ygn br model olşrlmaya çalışılırken akılda blndrlmalıdır. San Venan yönemler farklı olarak Bölüm.3.6 da verlmeke olan Reynolds oralamalı Naver Sokes denklemlernden de elde edleblr [9]. Dğer alernaf br göserm se aşağıdak gbdr. h A B h B A h sab 0 (.87) g h g ( S S ) 0 f 0 (.88) Sürünme eğm olan S f yüzey sürünmes ve ürbülansan kaynaklanan ekler modellemek çn kllanılmakadır. Tanım olarak sürünme eğm, br A ıslak alanı çn brm ağırlıkak s külesnn brm znlka mere cnsnden enerj kaybı olarak anımlanmakadır ve aşağıdak şeklde hesaplanmakadır []. 35

S f QQ K (.89) Brada Q deb, K se aşınımdır ve aşağıdak şeklde verlmekedr. K A np 5 / 3 / 3 (.90) Brada A ıslak kes alanı, P se ıslak çevredr ve ıslak enkesn kanala emas eden kenarlarının oplamıdır. n Mannng pürüzlülük kasayısıdır, amprk olarak blnmş br değerdr ve düzgün beonarme yüzeyler çn oralama 0,03 olarak verlmekedr []..4 San Venan Denklemlernn Çözüm Yönem Sayısal benzem çn pek çok eknk blnmakadır ve her br yönemn nasıl şledğn anlaan çok sayıda kaynak blnmakadır. Akışkan akımı problemler çn kllanılmaka olan en popler dör yönem aşağıda sıralanmakadır:.sonl Farklar Yönemler (SFY).Sonl Elemanlar Yönemler (SEY) 3.Spekral Yönemler 4.Sonl Hacmler Yönemler (SHY) Genel olarak söylemek gerekrse br sonl farklar yönem, br problem belrl noka ya da düğümlerdek değerler dzs aracılığıyla fade emekedr. Blnmeyenler çn fadeler, model denklemlerndek ürev ermler kısalılmış Taylor sers açılımları le değşrmek sreyle elde edlmekedr. En esk sayısal yaklaşımlar sonl farklar yapısı üzerne krlmşr ve yglama açısından kavramsal ve sezgsel olarak en kolay yönemlerdendr. Bnnla beraber emel olarak b gb eknkler ızgarada yüksek derecede düzenllk olmasını gerekrmekedr ve b da b yönemlern karmaşık problemlere yglanmasını sınırlamakadır. Tek boyl San Venan denklemlernde se amaca ygn olmakadırlar. 36

Sonl elemanlar yönemnn esası, bölgenn üçgen yada dörgen gb elemanlara bölünmes ve her elemanın çne sayısal sonçların belrlenldğ düğümler yerleşrlmesne dayanmakadır. Daha sonra her hang br nokadak çözüm, nokanın yerel komşlğnda blnan düğümlerdek değerlern br ser açılımı olarak fade edlmekedr. Düğümlerden gelen kakılar baz fonksyonları le çarpılmaka ve baz fonksyonların hang şeklde anımlanmış oldğ, sonl elemanlar yönemndek değşkenn seçmn belrlemekedr. Spekral yönemler, baz fonksyonlarının yerel oldğ ve lgl düğümün komşlğnn dışarısında sıfır oldğ yaygın yaklaşımdan farklı olarak baz fonksyonların global oldğ br sonl elemanlar yönem al kümes olarak değerlendrleblmekedr. Orjnal sonl elemanlar yönem yapı mühendsler arafından gerlm analz alanında gelşrlmşr ve b drm yaklaşımın olşrlmasında ve ermnojsnde görüleblmekedr. Sonl hacmler yönem, model denklemlernn br negral formnn ayrık hale gerlmes ve alanın sonl hacmlere bölünmes üzerne krlmşr. Her br hacm çersnde negral lşkler yerel olarak yglanmaka ve böylelkle her br hücredek am kornm elde edlmekedr. Sonça blnmeyenler çn elde edlen fadeler sonl farklar le elde edlen yaklaşımlara benzerlk gösermekedr ve seçlmş olan belrl yöneme bağlı olarak sonl farklar ya da sonl elemanlar eknklernn özel br drm olarak kabl edleblmekedr. Çoğ akışkan modelleme problemnn kornm lkeler üzerne krlmş oldğ gerçeğnden harekele sonl hacmler yönem genel akışkan akımı problemlerne yglanan en popüler yaklaşım halne gelmşr. Sonca laşma açısından yeerl olacağı düşünüldüğünden b çalışmada, ek boyl San Venan denklem ssemnn sayısal çözümünde kllanılmak üzere sonl farklar yönem seçlmşr..4. Sonl farklar yönem Sıradan dferansyel denklemlern yaklaşık çözümlern blmak çn gelşrlmş olan lk eknkler sonl fark yönemleryd ve b gb yglamalardan sonl fark yönemlernn özellkler le lgl eorler oraya çıkmışır. 37

Sonl fark yönemler, Taylor sers açılımlarının gerçekleşrlmes ve kısalılmış fadelern dferansyel denklemlere yerleşrlmeler üzerne krldr. Bradak düşünce dferansyellern, çeşl nokalardak çözümler şeklnde yaklaşık olarak alınmasıdır. Tanım olarak; ( ) ( ) lm 0 (.9) küçük oldğnda b formül nokasında nn ürevnn br yaklaşımı olarak kllanılablr. Taylor sersnden; ( ) ( ) ( ) ( )... (.9) yenden düzenleme yapıldığında; ( ) ( ) ( ) ( )... (.93) küçük oldğnda açılımdak ardışık ermler azalacak ve aşağıdakn yazmak mümkün olacakır. ( ) ( ) ( ) O( ) (.94) (.94) denklemnn sağ arafı le n yakınsanmasındak haanın önde gelen erm merebesndendr ve dolayısı le de b denklem brnc derece br yaklaşımı emsl emekedr. Türevler ahmn emek çn başka derecelerden fark formüller anımlamak da mümkündür ve bnların kesnlk dereceler farklı olablmekedr. 38

Ykarıdak analz sürekl çözüm le lglenmekedr. Bnnla beraber amaç y ızgaradak ayrık nokalar kümesnde hesaplamakır ve b da sayısal çözüm olmakadır. Izgara nokaları 0,,,..., N olacak şeklde le göserlyor ve bölge znlğnda eş boyl ayrılık elemanlar şeklnde oldğnda sayısal çözümü ( ) şeklnde nokasal değerler olarak düşünüleblmekedr. B noasyon akp edldğnde nn e göre ürevnn ahmn edlmes çn üç genel yol blnmakadır: () Đler fark ( ) O( ) (.95) () Ger fark ( ) O( ) (.96) ()Merkez fark ( ) O( ) (.97) Taylor sers analznden de göserlebleceğ üzere ler ve ger farkların her ks de brnc dereceden, merkez fark se knc dereceden yaklaşımlardır. B formüller farklı faydaları blnmakadır ve en y seçenek modellenen probleme bağlıdır. Ad dferansyel denklemler söz kons oldğnda pek çok başka fark formülü sandar eknkler kllanılarak olşrlablmekedr. Bnnla brlke kısm ürevl dferansyel denklemler çn pek çok yaklaşım sandar ler, ger ve merkez fark formüllernn kllanımı üzerne krldr..4. MacCormack yönem B çalışmada, br yağmr sy şebekesndek drenaj kanallarında meydana gelen akışları modellemek çn ek boyl San Venan denklemler MacCormack yönem kllanılarak yaklaşık olarak çözülmüşür. MacCormack yönem açık (eplc) br yönemdr. Açık yönemlerde br k zaman adımında değşkenler 39

40 hesaplanırken, b değşkenlern sadece k zaman adımındak değerler kllanılmakadır. MacCormack yönem, örnek olarak Eler denklemler üzernden aşağıdak paragraflarda anlaılmakadır. Aşağıda verlmeke olan Eler denklemler Şekl.6 da verlmeke olan nokalarda çözülmek senlmekedr. y v y v (.98) p y v (.99) y p y v v v (.00) y v p p y e v e e (.0) Ykarıda verlmeke olan denklemlerden brnc denklem sürekllk denklem. Đknc ve üçüncü denklemler sırasıyla ve y yönlernde momenm denklemler, son sırada verlmeke olan denklem se enerj denklemdr. Verlmeke olan denklemler sadece anlaım amaçlı olarak kllanılmakadır.

y, j y, j, j, j, j, j, j, j, j Şekl.6. -y düzlemndek ayrık nokalar Şekl.6 dak, j nokasındak yoğnlğn anındak üm değerlernn blnyor oldğ düşünüleblr. Aşağıda verlmeke olan fade le yoğnlğn anındak değern hesaplamak mümkündr ancak öncelkle paranez çersnde yer alan ürevn hesaplanması gerekmekedr.. j. j or (.0) Brada paranez çersnde verlmeke olan oralama değer ve arasındak oralama değerdr. değerler Benzer şeklde:. j, j or (.03) v. j v, j v or (.04) 4

4 e e e or j, j. (.05) MacCormack yönemnde oralama değerler blmak çn br ahmn-düzelme yaklaşmından faydalanılmakadır. Tahmn adımı: Eler denklemlerndek sürekllk denklemnn sağ arafındak konmsal ürevler ler yönlü farklar le değşrlrek aşağıdak fade edlr. j. y v y v j, j, j, j. j, j, j. j, j, j, j, j, (.06) B denklem sayesnde Taylor sers açılımının lk k ermnden faydalanarak ( ) çn ahmn br değer hesaplamak mümkündür; ( ) j. j, j, (.07) Benzer şeklde; ( ) j. j, j, (.08) ( ) v v v.j j, j, (.09) ( ) e e e j. j, j, (.0)

Düzelme adımı: Düzelme adımında öncelkle anındak zaman ürev ( / ), j nn ahmn br değer elde edlr. Bn yapmak çn, v ve nn br öncek adımda ahmn edlmş olan değerler sürekllk denklemnn sağ arafına konlr ve b sırada konmsal ürevler ger yönlü farklarla değşrlr. Sonç olarak elde edlen olan bağını aşağıda verlmekedr., j ( ) ( ), j ( ) ( ), j ( v ) ( v ) y, j ( ), j ( ) ( ), j, j ( ) ( ), j, j, j, j ( v ), j y, j (.) Son adım olarak, elde edlmeye çalışılan oralama değerler aşağıdak şeklde hesaplanır: or, j, j (.) Paranezn çersndek brnc erm ahmn adımında hesaplanmışır, knc erm se düzelme adımında elde edlmşr. B k ermn oralaması alınarak blnan değer (.0) denklemnde yerne konlr ve edlmş olr: anındak yoğnlk değer elde.4.3 MacCormack yönemnn kesnlğ Kesnlk, problemn ayrık çözümünün problemn am çözümünü ne derecede emsl edebldğnn br ölçüsüdür. Bn ölçmek çn k ncelk blnmakadır; fark denklemlernn dferansyel denklemlere ne derecede karşılık geldğn ölçen yerel ya da kısalma haası ve am çözüm blnmedğ sürece blnması mümkün olmayan ve çözümdek üm haayı emsl emeke olan global haa. Kesnlk dereces olşan haanın dereces le ölçüldüğünden br sonl farklar yönemnde 43

44 Taylor sers açılımının hmal edlen ve fark denklemlerne alınmayan ermlernden en büyük dereceden olanı le fade edlmekedr. Örneğn çözülmek senen br dferansyel denklemn Taylor sers açılımı le elde edlen fark ermlernden ( ) 3 ve daha küçük olanları kllanılmaka olan sonl fark yönemne alınmadıysa söz kons sonl farklar yönem mekanda üçüncü dereceden doğr olarak anılmakadır. MacCormack yönem zamanda ve mekanda üçüncü dereceden doğrdr [7]..5 MacCormack Yönemnn San Venan Denklemlerne Uyglanması Sayısal modelleme aşamasında çözümlenmes senlen San Venan Denklemler dkdörgen kesl kanallar çn aşağıdak şeklde verlmekedr. h h h (.3) 0 3 4 S hb h b n g h g / (.4) Brada h kesek s yükseklğ, kesek oralama hız, g yerçekm vmes, n Mannng pürüzlülük kasayısı, b kanal genşlğ ve 0 S se kanal abanı eğmdr. zaman, se konm vermekedr. MacCormack yönem le San Venan denklemlernn göserm çözümleme sıralamasına göre aşağıdak gbdr. San Venan Denklemler brada s yükseklğ h ve kesek oralama s hızı cnsnden yazılmışır. (.5)-(.4) denklemler çözülerek anında, 3 N,,,, K nokalarındak h ve değerler hesaplanmakadır. h h h h (.5)

45 0 3 4 S h b h b ) ( n g h h g / (.6) ( ) h h h (.7) ( ) (.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h (.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h g ( ) ( ) ( ) 0 3 4 S b h h b ) ( n g / (.0) or h h h (.) or (.) h h h or (.3) or (.4)

anında, N nokasındak h ve değerlern hesaplamak çn aşağıda verlmeke olan denklemler kllanılmışır. h N h N h N N N N.5. Başlangıç ve sınır koşlları MacCormack formndak San Venan Denklemler n çözmek çn başlangıç koşl olarak 0 anında üm ler çn h ve değerler gerekmekedr: h (, 0 ) h ( ) [ 0, L] b (, 0 ) ( ) [ 0, L] b Brada L oplam kanal znlğ, h b ( ) başlangıçak h değerlern hesaplamak çn br fonksyon ve b ( ) se başlangıçak değerlern hesaplamak çn br fonksyondr. Sınır koşl olarak 0 ken üm ler çn h ve değerler gerekmekedr: h ( 0, ) h ( ) [ 0, T] s ( 0, ) ( ) [ 0, T] s Brada h s ( ) ve ( ) s, üm ler çn kanalın başındak h ve ları hesaplamak çn kllanılan fonksyonlardır. T se oplam süredr..6 Açık Yönemlerde Kararlılık Sorn Bçmsel olarak br yaklaşımın kararlı olması demek çözümdek üm haaların sınırlandırılmış olması demekr. Prake kararlı olmayan br yönem yglandığı akrde çözüm sonsza doğr gdecekr. Hperbolk kısm ürevl dferansyel 46

denklemlerde kararlılık sornndan bahsemek çn önce karekersklerden bahsemek gerekmekedr..6. Karekerskler yönem Karakerskler yönem sadece hperbolk kısm ürevl dferansyel denklemlere yglanablmekedr ve rahasızlığın yayılımı doğrlsnda karakersklern anımlanılmasını çermekedr. Karakerskler zay-zaman düzlemnde, anım gereğ bazı özellklern sab oldğ çzgler olarak düşünmek mümkündür. B yönemn emeln arf emek çn aşağıdak şeklde verlen brnc derece br kısm ürevl dferansyel denklem düşünmek gerekmekedr [9]. (,) 0 a (.5) Başlangıçak ver (, ) ( ) 0 şeklndedr. Zncr kralı yglanırsa; 0 d d d d (.6) Termler yenden düzenlendğnde aşağıdak fade elde edlmekedr: d d d d (.7) Ykarıdak fadey edlmekedr: çn (.5) e yerleşrdğmzde se aşağıdak fade elde d d a d d (,) 0 (.8) 47

Şekl.7. Sonl br bölgede karakerskler Bağını (.8) den görüldüğü üzere / d a(, ) d le anımlanılan çzgler boynca d / d 0 olmakadır. B da karakerskler olarak blnen b çzgler boynca nn sab oldğn ma emekedr. Prenspe eğer brs karakersk çzgler anımlıyablyorsa çzglern çakışmadığı br drmda sadece başlangıç ve sınır koşllarından problemn çözümü belrleyeblr. Maemaksel olarak b aşağıdak fadeye eşdeğerdedr: ( ), ( ) a, d, 0 0 (.9) Eğer yönem sonl br bölgeye yglanırsa (Şekl.7) o zaman karakersklern bölgeye grdğ her sınır boynca değerler belrmek gerekmekedr. Örneğn, Şekl.7 de boynca sınır vers gerekl olmakadır, bnnla beraber bölgey erkeden karakersklern kendler çn belrlmş değerler zaen oldğndan boynca sınır vers gerekl değldr. Aynı prenspler aşağıdak drmda da yglanablnmekedr: ( ) 0 a (.30) Brada, f a( ) oldğ drmda; ( ) 0 f (.3) 48

B da skalar br kornm yasasıdır. B drmda karakerskler aşağıdak gb verlmekedr: d a( ) d (.3) nn karakerskler boynca sab olması drmnda a da sab olmaka ve değerler başlangıç koşlları le belrlenmş olacak şeklde karakerskler de düz çzgler olmakadır. Bas dferansyel denklem eors yardımıyla göserlebleceğ üzere sürekl çn karakersk çzgler kesşmemekedr. Bnnla beraber lneer olmayan hperbolk kısm ürevl dferansyel denklemler sürekl olmayan çözümler vermekedrler ve gelş güzel başlangıç koşlları olan genel br doğrsal olmayan kornm yasası çn karakerskler sonl br zamanda kesşecekler ve br sürekszlk ya da şok meydana gelecekr. Bna rağmen br şokn meydana gelmedğ yerel br bölgede se blg sadece karekerskler le lelebleceğnden, karekersk hızının laşamayacağı nokalardak koşlları o bölgedek çözümü eklemeyecekr, çözümü sadece karekersk hızının laşableceğ bağımlılık bölgesndek nokalardak koşllar ekleyecekr..6. Coran Fredrch Lewy sayısı Hperbolk kısm ürevl dferansyel denklemlerde kararlılığın sağlanılması çn CFL koşlnn sağlanılması gerekl olmakadır. Leveqe [7], Coran-Fredrchs ve Lewy (CFL) koşln aşağıdak şeklde anımlamışır: CFL Koşl: Br sayısal yönem, eğer sadece sayısal bağımlılık bölges kısm ürevl dferansyel denklemn gerçek bağımlılık bölgesn kapsamakaysa yakınsakır; en azından ve nn sıfıra yaklaşığı lm drmnda. CFL koşl kararlılığı ve dolayısıyla da yakınsaklığı sağlamak çn sadece gerekl br koşldr, b koşln sağlanıyor olması kararlılığı her zaman garan ememekedr. 49

.6.3 San Venan denklem ssemnde kararlılık şarı Hperbolk br denklem ssemnde meydana gelen br rahasızlık (dsrbance) karekersklern hızında lerlemekedr. Karekersklern lerleme hızları ( düzlemndek eğmler), kornm yasası q f q s şeklnde yazılmış hperbolk q kısm ürevl br denklem ssemnde Jacob mars olan f q nn özdeğerlerne eşr [7]. Dkdörgen kesl br kanal çn San Venan denklem ssem aşağıda şekldedr []. K F S (.33) Brada; K h h (.34) S 0 gh( S0 S f ) (.35) F h h gh (.36) (.33) denklem aşağıdak şeklde de yazılablr. K J K S (.37) Brada J df dk Jacob marsdr ve aşağıdak şekldedr: J 0 gh (.38) Jacob marsnn k ade gerçek özdeğer blnmakadır []; 50

λ c λ c Brada c sığ sda dalga lerleme hızıdır; c gh le verlmekedr []. Sonç olarak CFL koşl aşağıdak gb fade edleblr. Cr c (.39) Brada Cr Coran sayısıdır. B sayı genellkle den küçük olarak alınmakadır, b çalışmada se yglama sırasında kararlılığı sağlayacak Coran sayısı denenerek blnacakır. Kararlılığı sağlayacak br Şekl.8. e düzlemnde göserlmekedr. oranına sahp br yaklaşım Karakersk Eğm Şekl.8. Kararlı br yaklaşım 5

.7 Yakınsama ve Tarlılık.7. Yakınsama MacCormack yönemnde kllanılmaka olan konm ve zaman adımları ( ve ) küçülülerek sıfıra yaklaşırıldıklarında sonl farklar yönemnn verdğ yaklaşık çözüm, kısm ürevl dferansyel denklemlern kesn çözümüne yaklaşıyorsa, söz kons yaklaşık çözümün yakınsak oldğ söyleneblr. Kısm ürevl dferansyel denklemn kesn sonc le sonl farklar yönem le elde edlmeke olan soncn arasındak fark çözüm haasını olşrmakadır. B haanın mkarı konm adımı ve zaman adımı nn büyüklüğünden ve söz kons cebrsel denklemler olşrlrken orjnal dferansyel denklemn ürevlern fade eden sonl fark ermlernn hmal edlmş olanlarından kaynaklanmakadır. Genel olarak kısm ürevl dferansyel denklemler çözmek çn sonl farklar yaklaşımları le olşrlmş olan cebrsel denklem ssemlernn yakınsak oldğn spa emek çok zordr [5]. San Venan Denklemler nde oldğ gb kısm ürevl dferansyel denklemlern karmaşık oldğ br drmda yakınsamayı gösermek kolay br kon değldr..7. Tarlılık Br sonl farklar yaklaşımı le elde edlmş olan cebrsel denklem ssem, denklemde yer almaka olan konmsal ve zamansal adım büyüklüklernn sıfıra yaklaşığı br lm drmnda orjnal kısm ürevl dferansyel denklem ssemne denk se o zaman söz kons cebrsel denklem ssemnn orjnal kısm ürevl dferansyel denklem ssem le arlı oldğ söyleneblr. Söz kons cebrsel denklem ssem le elde edlecek olan yaklaşık soncn, kısm ürevl dferansyel denklem ssemnn gerçek soncna yaklaşması çn arlılığın gerekl br koşl oldğ açıkır. Bnnla brlke cebrsel denklem ssemnn, orjnal denklem ssem le arlı olması yakınsama çn yeerl br koşl olmamakadır [5]. 5

.7.3 La denklk eorem Sınırlı br sınıfak problemlerde yakınsama, La denklk eorem aracılığı le sağlanılablmekedr. Doğrsal br başlangıç koşl problem ve b problem le arlı br sonl farklar yaklaşımı verldğnde, yakınsama çn kararlılık gerekl ve yeerl koşldr []. La denklk eorem sayesnde br algormanın kararlılığını ve orjnal kısm ürevl dferansyel denklem le arlılığını gösermek kolay olmakla brlke, algormanın çözümünün kısm ürevl dferansyel denklemn çözümüne yakınsadığını gösermek genellkle çok zor olmakadır [5]. San Venan Denklemler nn de çernde blndğ br çok gerçek akım problem doğrsal değldr ve La denklm eorem b problemlere her zaman senldğ şeklde yglanamayablr. Bnn sonc olarak La denklk eorem gerekl ancak her zaman yeerl olmayan koşllar sağlamakadır. MacCormack yönem [], [], [4], [0] ve [] gb çalışmalarda San Venan Denklemler ne yglanmış ve b çalışmaların yazarlarının vrgladığına göre gerçeğe ygn (deneysel olarak da deseklenen) sonçlar elde edlmşr. Kesn br yargı olmamakla brlke, b drmdan harekele b ez kapsamında yapılan çalışmada da kararlılığın sağlanması koşl le gerçeğe ygn sonçlar elde edleceğ beklenlmekedr. 53

3. UYGULAMA B çalışmada, şebekenn asarımı çn alınmış olan yağış alında şebeke ssemnde meydana gelen akımların gerçek zamanlı benzemn yaparak ssemn yeerllğn denelemek çn kllanılablecek br yglama, sayısal akışkanlar dnamğ eknklernden faydalanılarak gelşrlmşr. Uyglama java programlama dlnde yazılmışır. Yazılmış olan yglamada baca, kanal, havza vb. lgl sınıflar olşrlmşr. Yazılımın kaynak kod Ek. de CD oramında verlmekedr. 3. Şebeke Özellkler Uyglamada denem yapılan örnek şebeke ssem k kesl beonarme kanallar le bacalardan barer. Bacaların üslernde yağış sonc yüzeyde olşacak akışı oplayarak yağmr sy drenaj kanallarına yönlendrecek ızgara ssemler blnmakadır. Örnek şebeke (Şekl 3.) 7 ade baca le 6 ade kanaldan meydana gelmekedr.,, 3, 4 ve 6 no l kanalların genşlkler ve yükseklkler 0,50 m olarak alınmışır. Dğerlernden farklı olarak 5 no l kanal çn yükseklk ve genşlk m dr. Çalışma soncnda b kesern yeerl olp olmadığı oraya çıkarılacakır. 54

Şekl 3.. Şebeke planı ve baca koordnaları 55

Şekl 3. de mav renk le göserlmeke olan çzgler yer alında blnmaka olan drenaj kanallarını, kırmızı renk le verlmeke olan nokalar bacaları sembolze emekedr. Oklar kanallarda syn akış yönlern gösermekedr. Dare çersnde verlmeke olan sayılar baca nmaralarıdır. Paranez çersnde verlmeke olan sayı çfler bacaların sırasıyla ve y koordnalarını vermekedr. Izgaraların am olarak bacaların üzernde oldkları kabl edldğnden şeklde ayrı br sembolle ayrıca göserlmemekedrler. Baca ve kanalların fzksel paramereler aşağıdak çzelgelerde verlmekedr. Çzelge 3.. Bacaların fzksel paramereler Baca No. X (m) Y (m) Z (m) 97,00 4,00 97,30 60,00 7,00 98,75 3 74,00 3,00 98,78 4 37,00 00,00 99,53 5 53,00 8,00 99,47 6 9,00 47,00 00,00 7 3,00 4,00 00,00 Çzelge 3.. Kanalların fzksel paramereler Kanal No. Kanal Başı Taban Ko Kanal Son Taban Ko Baş Baca No. Son Baca No. Uznlğ (m) Eğm (m/m) 98,00 97,53 6 4 94,5 0,005 98,00 97,47 7 5 68,60 0,008 3 97,53 96,78 4 3 85,43 0,009 4 97,47 96,78 5 3 0,65 0,007 5 96,78 95,5 3 85,6 0,003 6 96,75 95,30 98,73 0,05 56

3. Baca Havzalarının Olşrlması Şebeke üzerndek alana düşen yağışın hang bacaya laşacağını belrlemek çn baca havzaları olşrlmakadır. B şeklde br bacaya a havzaya düşen yağışın akışa geçerek o baca üzernde blnan ızgaraya greceğ kabl edlmekedr. Toplam havza 00 50 m lk dkdörgen br alan olarak ele alınmışır. Baca havzaları olşrlrken bacalar noka olarak ele alınmış, oplam havza m lk kare alanlara bölündüken sonra her kare en yakınındak bacaya aanmışır. B yapılırken, oplam 00 50 50.000 ade olan m lk kare alanların her brs, ağrılık merkezne en yakın mesafede olan bacaya aanmışır. Sonça her baca le lşkl kare alanlar br araya gerlrerek her br bacaya a yağış havzaları olşrlmşr. Yazılmış olan program çersnde se gerçeke her br kare alan nesnes, en yakınında blndğ baca nesnesnn kare alanlarını an lseye eklenmşr. Görsel açıdan 0 0 m lk kare alanlar kllanılarak olşrlan baca havzaları Şekl 3.. de göserlmekedr. Şeklde, 0 0 m lk kare havza parçaları en yakınında blnan baca le lşkldr ve b lşk, kare alanlar farklı renklerde boyanarak fade edlmşr. 57

Şekl 3.. Baca havzaları (saha aksma planı) 58

3.3 Baca Grş Hdrograflarının Olşrlması Yağmr sy şebekelernn asarlanması sırasında, şebekenn blnacağı bölgede hdrolojk olarak meydana gelme olasılığı blnan br yağış süres ve yağış şdde seçlerek boylandırmalar böyle br yağışa göre yapılır. Örneğn, asarım çn 5 yılda br gelmes mhemel olan ve 0 dakka süren br yağış alınablr. B sıklıka ve sürede meydana gelmes mhemel br yağışın yağış şdde-zaman lşks hdrolojk yönemler kllanılarak belrlenr. B çalışmda söz kons verler hazır olarak kabl edlmşr, sözü edlen hdrolojk yönemlerle lgl daha deaylı blg Bayazı [3] a blnablr. B çalışmada kllanılmaka olan yağış 0 dakka sürmekedr ve yağış şddezaman lşksnn 0, bağınısı le verldğ kabl edlmşr. Brada, mm/dakka cnsnden yağış şdde, se dakka cnsnden zamandır. Yağış şddenn fzksel anlamını anlamak çn yağış şdde fonksyonnn 5 mm/dakka gb sab br fonksyon oldğ örnek br drm düşünüleblr. B drmda br dakkalık br yağış sonrasında yüzey akışı ya da sızmanın gerçekleşmedğ deal br alanda 5 mm yükseklğnde yağmr sy brkmş olacakır. Verlen yağış şdde fonksyon Şekl 3.3. e göserlmekedr. En yüksek yağış şdde, 5 mm/dakka le yağışın 5. dakkasında gerçekleşmekedr. 5 4 (mm/dakka) 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 (dakka) Şekl 3.3. Yağış şdde fonksyon (mm/dakka) Br yağış soncnda yer yüzüne düşen yağışın br kısmı yeralına sızmaka, br kısmı yüzeyde çkrlklarda göllenmeke ve br kısmı da akışa geçmekedr. Aslında oraya çıkan drm hdrolojk olarak braz daha ayrınılı olarak ele 59

alınablmekedr [5], b çalışmada se b ür ayrınılara grlmemşr. Yapılmış olan b çalışmada sızmanın meydana gelmedğ ve göllenme ya da br geckme olmadan havza yüzeyne düşen yağışın havza yüzeyne düşüğü anda en yakınındak bacaya doğr akışa geçğ kabl edlmşr. Sonça yağış başladıkan sonra yağmr le br bacanın havza alanına düşen yağış sları yüzeyde akarak bacaya laşmakadır. Gerçekleşen b akış br zaman almakadır ve sonça bacaya zaman çersnde laşan yağış sları le bacanın grş hdrografı meydana gelmekedr. Hdrograflar br kesen zaman çersnde geçen syn debsn vermekedr. Br hdrograf b bakımdan zamana bağlı olan ve verlen br zamanda br kesen geçen syn debsn veren br fonksyon olarak düşünüleblr. Söz kons kesn konmsal olarak yer sabr, örneğn b kes br bacaya a ızgaranın grş ağzı olablr. Deb se br kesen bell br anda geçen syn hacmsel olarak mkarını vermekedr ve Q V A olarak fade edleblr. Brada deb Q örneğn m 3 /sanye cnsnden A (m ) alanından V (m/sanye) hızında geçen s akımıdır ve skalar br değerdr. Bradak A, syn oralama hız vekörüne dk olan ıslak (alınan kese syn kapladığı) alandır. V syn ıslak alan çersnden geçğ oralama hız vekörüdür. Baca grş hdrograflarını olşrmak çn yer yüzüne düşen syn akışa geçken sonra düşüğü yern en yakınındak bacaya ne mkarda ne sürede laşığının hesaplanması gerekmeke ve b hesaplama baca le lşkl her br havza parçası kare alan çn, yüzey akışının devam eğ her br zaman adımında yapılmalıdır. Yapılan çalışmada b hesaplama br sanye aralıklarla gerçekleşrlmşr. Sonça elde edlmş olan baca grş hdrografları sanye aralıklarla bacalara gren debler vermekedr. B drm yglamanın daha sonradan gerçekleşrlmş olan sayısal çözümleme kısmı le ymldr çünkü sayısal çözümlemede zaman adımı sanye olarak alınmış ve üm hesaplamalar br sanye aralıklarla yapılmışır., Bacaların havzalarını olşran m lk alanların üzerlerne düşen yağışın en yakındak bacaya laşma süreler amprk br formül le hesaplanmışır [3]. Söz kons formül aşağıda verlmekedr. 60

8 0,0886(nL) T a 0,4 0,5 (3.) S P _4 Brada T a, yer yüzüne düşen syn L mesafesn kaemes çn gerekl olan dakka cnsnden akış süresdr. (3.) amprk br formüldür ve [3] e verldğ halyle T a yı dakka cnsnden vermekedr, b çalışmada se, (3.) le elde edlen dakka cnsnden akış süreler sanyeye çevrlerek kllanılmışır. n Mannng pürüzlülük kasayısı, S yüzey eğm ve P _4 se k senede br gerçekleşen 4 saalk br yağışa düşen oplam yağış yükseklğdr. P _4 ıpkı örnek şebekenn fzksel özellkler gb verlmş olan br değerdr ve şebekenn blndğ bölgenn hdrolojk br özellğdr. P _4 değer 0 mm olarak verlmşr. n akışın meydana geldğ yüzeyn özellklern yansıan Mannng pürüzlülük kasayısıdır. Geçrmsz ve yeşl alanların brlke oldğ drmda b değer pk olarak n 0, 4 olarak alınmakadır ve b çalışmada da böyle alınmışır. L kare alanın ağırlık merkeznn en yakınındak bacaya mere cnsnden olan zaklığıdır. S yüzey eğmdr ve P _4 gb verlmş olan br değerdr. S üm kare alanlar çn 0,005 m/m olarak verlmşr; bnn anlamı üm yüzeylern en yakınlarındak bacalara doğr 0,005 m/m lk br eğme sahp oldklarıdır. Sonça her kare alana le arasında sanyede düşen oplam yağış hacm ( 60) 0,00 m 3 kadardır. B mkardak yağmr synn kare alanın ağırlık merkezne düşüğü kabl edlmşr. Kare alanın ağırlık merkeznn en yakınındak bacaya olan zaklık L blndğnden gerekl değerler (3.) denklemnde yerlerne konlarak 60Ta anında ele alınan kare alandan en yakınındak bacanın grş hdrografına olan kakısı hesaplanmış olr. Aynı hesaplama bacanın yağış havzasına a üm kare alanlar çn, yağış akışının gerçekleşğ üm zamanlarda yapılır, aynı grş anındak hacmsel grş değerler oplanırsa bacanın grş hdrografı elde edlr. Tüm bacalara a grş hdrografları aşağıdak şeklde opl olarak verlmekedr. 6

Deb Q (mere3/sanye), 0,8 0,6 0,4 0, Baca Hdrografı Baca Hdrografı Baca 3 Hdrografı Baca 4 Hdrografı Baca 5 Hdrografı Baca 6 Hdrografı Baca 7 Hdrografı 0 0 00 00 300 400 500 600 700 Süre (sanye) Şekl 3.4. Bacalara a yağış grş hdrografları Şeklde verlmş olan hdrograflarda yağışın sona erdğ 600. sanyeden sonra da bacalarda grş debs oldğ görünmekedr. Bnn sebeb bacalara a havzaların zak nokalarından gelen akımların yağış sona erdken sonra da br süre gelmeye devam emelerdr. Bacaların grş hdrograflarının alında kalan alanlar oplanarak her br bacaya gren oplam yağış sy mkarı hacmsel olarak hesaplanmış ve Çzelge 3.3. de verlmşr. Çzelge 3.3. Bacalara gren yağış sy mkarları Baca No Bacaya gren oplam s hacm (m 3 ) 44,3 59,57 3 333,80 4 65,40 5 5,57 6 36,7 7 4,93 TOPLAM:.666,67 6

Düşen yağışın amamının akışa geçğ ve bacalara laşığı kabl edldğnden bacalara gren oplam yağış sy mkarı, yağış süresnce şebekenn oplam yağış havzasına düşen oplam yağış mkarına eş olmalıdır. Yağış süresnde havzanın her br nokasına, Şekl 3.3. de verlmş olan yağış şdde-zaman eğrsnn alında kalan alan kadar mkarda yağmr sy (mm cnsnden) düşmekedr. Söz kons eğrnn alında kalan alan negrasyon le hesaplanıp mereye çevrldken sonra elde edlen değer oplam havza alanı olan 00 50 50.000 m le çarpıldığında 0 dakkalık yağış süresnce şebekenn oplam yağış havzasına oplam.666,67 m 3 yağmr sy düsüğü oraya çıkmakadır. B hesaplama soncnda blnan değer hdrografların alında kalan alanların oplanması soncnda blnan değerle aynıdır ve b drm kanallardak akımın modellenmes sırasında kllanılmış olan baca grş hdrograflarının doğrlğn gösermekedr. 3.4 Örnek Şebekede Başlangıç ve Sınır Koşlları Uyglama çn seçlen sayısal çözüm yönem MacCormack yönemdr. B yönemn San Venan Denklemler çn yazılmış sonl farklar denklemler Bölüm.6 da verlmekedr. Her çn kanallardak s yükseklğ ve oralama hızın hesaplanıldığı benzem aşamasında benzemn devam eğ her anı çn kanal başlangıçlarında ( 0) s yükseklğ h ve oralama s hızı sınır koşl olarak gerekl olmakadır. Benzem 0 anından başlayarak br sanye ( ) aralıklarla gerçekleşrlmşr. Bölüm 3.3 e 0 anından başlayarak yüzey akımının devam eğ süre çersnde br sanye aralıklarla baca grş hdrografları olşrlmş. MacCormack formndak sonl farklar yönemler br sanyelk adımlarda çözüleceğnden baca grş hdrograflarındak blg, bacaların bağlandığı kanallardak başlangıç koşllarını belrlemek çn yeerldr., ve 6 nol kanallar sadece başlangıç bacalarına gren debler aşımakadır, dğer kanallar se bacalara gren ve baca grş hdrografları le verlen deblern yanı sıra onlara bağlanan kanalların aşıdıkları debler de aşımakadır. Her drmda deblern bacalardan kanallara geçeblmeler çn mnmm br spesfk enerjye sahp olmaları gerekmekedr. Mnmm spesfk enerjye karşılık gelen akış yükseklğ, spesfk enerj denklemnn akış yükseklğne göre alınan ürevnn sıfıra 63

eşlenmes le hesaplanablr. Spesfk enerj denklem ve mnmm enerj drmnda olşacak akış yükseklğn hesaplamak çn kllanılan denklemler sırasıyla aşağıda verlmşr. ( Q bh) E s h g (3.) Brada E s spesfk enerj, b dkdörgen kesl kanalın genşlğ, g yerçekm vmes ve Q se debdr. h s ( ) ( Q ( ) b) s g 3 (3.3) Brada ( ) h s Bölüm.5. de verlmş olan ve üm ler çn 0 dak h ları hesaplamak çn kllanılan fonksyondr. Q s ( ) zamana bağlı olarak kanal başındak deby vermekedr ve üm ler çn blnmekedr. Tüm ler çn 0 dak ları hesaplamak çn yne Bölüm.5. de verlmş olan ( ) fonksyon kllanılmakadır ve ( ) Q ( ) h ( )b s s s şeklnde hesaplanmakadır. s MacCormack yönem le sayısal çözümleme yapmak çn ykarıda bahsedlen sınır koşllarının yanı sıra 0 anında başlangıç koşl olarak üm ler ( n ; n 0,,, K, k ; 0 kanal başlangıcı, k kanal son) çn h ve değerlernn de blnyor olması gerekmekedr. Başlangıç koşl olarak 0 anında kanal çersnde en azından 0,0 m yükseklğnde nform br s akımı oldğ kabl edlmşr. B şeklde yağışın lk anlarında kanallara grmeye başlayan çok küçük debler hmal edlmeke ve aynı zamanda da çok küçük s yükseklklernn olması drmnda oraya çıkablecek kararlılık sornlarının önüne geçlmş olmakadır [0]. Yağışın başladığı lk anlarda en azından 0,0 m lk ( h mn 0, 0 m) yükseklke akım veren br deb ( Q mn ) geldğnde, b akış yükseklğ ve karşılık gelen akış hızı kanalın çndek her nokada başlangıç koşl olarak alınmış ve benzem o andan baren başlaılmışır. Böylece var oldğ 64

kabl edlen baz akım lave br s yükseklğ eks yaramamışır. h b ( ) ve ( ) fonksyonları Bölüm.5. de verlmşr; Başlangıç koşlları b ( ) hmn ( ) Q h ( ) b b mn b şeklndedr. b h ve 3.5 Benzem Sonçları Java programlama dlnde yazılımış olan program kllanılarak verlmş olan örnek yağmr sy drenaj şebekesnn sayısal oramda modellenmes yapıldıkan sonra verlen yağış alında şebeke kanallarında meydana gelen akışın benzem yapılmışır. Şebeke kanallarında akış meydana gelmesne sebep olan yağmrn yağış şdde-zaman lşks Bölüm 3.3 de verlmşr. Söz kons yağış en yüksek şdde olan 5 mm/dakka ya yağışın 5. dakkasında (300. sanyesnde) laşmakadır. Yağış 0 anından başlayarak 600 anına kadar 600 sanye sürmüşür. Yağış sona erdken sonra da bacalara a havzaların zak nokalarından yüzey akışı le gelen yağmr sları bacalara grmeye devam emşr. Bnn yanı sıra, kanallarda hareke emeke olan yağmr sları kanalların başlangıçlarından sonlarına kadar farklı sürelerde akığından yağışın bş anı olan 600. sanyeden sonra da kanallarda akış br süre devam emşr. Kanallarda meydana gelen en yüksek akış yükseklkler le b yükseklklere karşılık gelen hız ve deb, meydana gelş anları le brlke Çzelge 3.3. de verlmşr. Çzelge 3.4. Kanallarda meydana gelen en yüksek akış yükseklkler Kanal No. Ma h (m) (m/s) Q (m3/s) 334 0,6,3 0,090 34 0,3,78 0,85 3 34 0,6,44 0,756 4 35 0,8,94 0,795 5 383,,96,00 6 37 0,56,33 0,65 65

Çzelge 3.4. de görülmeke oldğ üzere 3, 4, 5 ve 6 nmaralı kanallarda hesaplanılan s yükseklğ önerlmş olan kanal yükseklklernden fazla çıkmakadır., ve 6 nmaralı kanallar sadece bacalarından grmeke olan yağmr slarını aşımakadır. Dğer kanallar se kend bacalarından gelmeke olan yağmr synn yanı sıra onlara dğer bacalardan bağlanılmış olan kanalların gerdklr sları da aşımakadırlar. 3 nmaralı kanal kend bacasından gelmeke olan slar le brlke nmaralı kanalın aşıdığı sları, 4 nmaralı kanal kend bacasından gelmeke olan slar le brlke nmaralı kanalın aşıdığı sları, 5 nmaralı kanal se kend bacasından gelen slar le brlke 3 ve 4 nmaralı kanalların aşıdığı yağmr slarını da aşımakadır. nmaralı bacaya gren oplam 44,3 m 3 sy aşıyan kanal örnek şebekenn dışında kaldığından b kanal hesaplamaların dışında bırakılmışır. B bakımdan üm kanallar brlke, havzaya yağış süresnde düşmüş olan oplam.666,67 44,3.5,54 m 3 sy aşımakadırlar. Çzelge 3.5. de yağış hdrografları ve bağlanılı kanallara bağlı olarak her br kanalın aşıması gereken s mkarları, benzem soncnda hesaplanılmış olan s mkarları le brlke karşılaşırmalı olarak verlmekedr. 66

Çzelge 3.5. Karşılaşırmalı benzem sonçları Kanal No. Bacadan gelen oplam s (m 3 ) Kanallardan gelen oplam s (m 3 ) AB (m 3 ) Benzem sonc hesaplanan (m 3 ) (%) Haa ( - C/(AB) ) A B C 36,7-36,7 36,4 % 0,4 4,93-4,93 5,0 %0, 3 65,40 36,7 30,67 30,3 %0, (kanal den) 4 5,57 4,93 330,50 330,30 %0, (kanal den) 5 333,80 63,7 965,97 969,3 %0,3 (kanal 3 ve 4 en) 6 59,57-59,57 59,75 %0, Benzem sonc hesaplanan deb değerler kanal sonlarındak hız ve yükseklk değerlernden elde edlmşr. B bakımdan benzem sonc hesaplanan olarak verlen değerler kanalların sonlarından akan sların oplamı olarak düşünüleblr. Çzelge 3.5. de görülmeke oldğ üzere elde edlmş benzem sonçları kanalların aşıması gereken s mkarları le arlıdır. Haalar küçükür ve prak amaçlar çn benzemn sonçları doğr olarak kabl edleblr. 3.5. Kanallarda gözlemlenen s yükseklkler Aşağıda, kanallarda syn zaman çersndek lerlemesn göseren şekller yer almakadır. Şekllerdek dkey eksenler kanallar çersndek s yükseklklern gösermekedr. Yaay eksenlerde se kanal başlangıcından baren mere cnsnden mesafeler ve sanye cnsnden zaman verlmekedr. Mesafeler göseren eksenlerde verlmeke olan b değerler, hesaplamaların yapıldığı konmsal nokalara karşılık gelen sayıların, konmsal adım değerler le çarpılması 67

soncnda hesaplanmışır. Hesaplamalarda her kanal çn alınmış olan değerler Çzelge 3.6. da verlmekedr. Farklı ler kararlılığın sağlanacağı Coran sayılarını hesaplamak çn kllanılmış olp çzelgede verlmeke olan değerlerne karşılık gelen Coran sayılarında kararlı sonçlar elde edleblmşr. Çzelge 3.6. Hesaplamalarda kllanılan değerler Kanal No. Noka sayısı (m) 33,95 5 4,75 3 8 4,90 4 4,89 5 8 5,0 6 4,94 Aşağıdak şekllerde, zamana göre kanallardak s sevyeler göserlmekedr. Şekl 3.5. Kanal dek s sevyeler 68

Şekl 3.6. Kanal dek s sevyeler Şekl 3.7. Kanal 3 dek s sevyeler 69

Şekl 3.8. Kanal 4 dek s sevyeler Şekl 3.9. Kanal 5 dek s sevyeler 70