Bölüm 7 - Kök- Yer Eğrii Teknikleri Kök yer eğrii tekniği kararlı ve geçici hal cevabı analizinde kullanılmaktadır. Bu grafikel teknik kontrol iteminin performan niteliklerini tanımlamamıza yardımcı olur. Kök yer eğrilerinden çoğunlukla ikinci dereceden daha yükek dereceli itemlerde faydalanırız. 7.1 Giriş Kök yer eğrii itemin kararlılığının ve kararlılığının ınırlarının grafikel olarak göterimidir. Kapalı Çevrim Şeklindeki Sitemler İçin ; KG( ) T ( ) (7.1) 1+ KG( ) H ( ) N D () () G H G () ; H () (7.) () () G N D H K N G ( ) ( ) ( ) DH T (7.3) DG ( ) DH ( ) + K N G ( ) N H ( ) Örnek: K G ( S) fonkiyonu için açık ve kapalı çevrim tranfer ( + 7)( + 11) fonkiyonlarını yazınız, kök ve ıfırlarını belirtiniz. Çözüm: Açık çevrim tranfer fonkiyonu: K G ( ) (7.4) ( + 7)( + 11) Kapalı çevrim tranfer fonkiyonu: K T() 3 + 18 + 77+ K (7.5) Kapalı çevrim tranfer fonkiyonun kökleri K ya bağlı olduğundan bulunmaı daha zordur. Örnek: 1 3 G () + ; H () + + + 4 (7.6) 1
Açık çevrim kökleri; KG()H() K( + 1)( + 4) ( + )( + 4) ; - ; -4 (7.7) Açık çevrim ıfırları; -1; -4 Kapalı çevrim kökleri; K ( + 1)( + 4) T() ( + )( + 4) + K ( + 1)( + 3) (7.8) Kökler K ya bağlı ve bulunmaları oldukça zor, ıfırları -1 ; -4 7. Kök-Yer Eğrilerinin Tanımlanmaı Köklerin konumları K nın farklı değerleri için geçici hal cevabındaki değişimleri göterir. Kazanç her zaman pozitiftir Şekil 7.1 K 1.Kutup.Kutup Tablo 7.1
Kapalı çevrim kökleri K 5 için gerçektir ve item aşırı önümlüdür. Kapalı çevrim kökleri K 5 için çift kat köktür ve item kritik önümlüdür. Kapalı çevrim kökleri K 5 için komplektir ve item az önümlüdür. K T ; %OS ; ω ; Tp 7..1 Kök Yerlerinin Özellikleri d Şekil 7. N G N H G( ) ; H ( ) (7.1) DG DH KG( ) T ( ) (7.11) 1+ KG( ) H ( ) Kök;karakteritik denklemi ıfır yapan değeridir yada; KG()H() 1 1 ( k + 1)18 ; k ; ± 1; ± ; ± 3... (7.1) Denkleminden bulunabilir. Bu denklem; KG ( ) H ( ) KG( ) H ( ) 1& (k + 1)18 (7.13) şeklinde de yazılabilir. Kapalı çevrim kutbu için K değerini bulalım; K 1 G( ) H ( ) (7.14) Kapalı çevrim itemlerin kökleri KG()H() in açıının değerini oluşturur veya baitçe G()H() çarpımı 18 nin tek katını verir. 3
KG()H() in büyüklüğü birim olmalıdır.bu ilişkiyi ikinci dereceli bir itemin ütünde görelim; Örnek olarak şekil 7.1 i ele alalım tablo 7.1 de ki verilerden yararlanarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim. K5 için kökler 1, -9,47 ve -,53 K 5 KG()H() 1 ( + 1) 9,47( 9,47 + 1) (7.15) Şimdi de açı koşuluna göre K yı bulmayı deneyelim; S-Düzlemi Şekil 7.3 Kapalı çevrim tranfer fonkiyonu: ( K( + 3)( + 4) T ) (1 + K) + (3 + 7K) + ( + 1 K (7.16) ) 1 - + j3 olarak kabul edelim. 4
S-Düzlemi Şekil 7.4 θ 1 + θ θ 3 θ 4 ( k + 1)18 (7.17) o o o o o o 53.31 + 71.57 9 18.43 7.55 (k + 1)18 Koşulu ağlamıyor. Dolayııyla 1 - + j3 noktaı kök yer eğrii üzerinde değildir, bir başka deyişle bu nokta hiçbir kazanç değeri için bir kapalı çevrim kutbu değildir. Aynı teti + j için uyguladığımızda açı koşulunun ağlandığını görürüz.bu noktada ki kazanç değeri aşağıdaki gibi bulunur.. K 1 1 Π Kutup uzunluğu LL GH () () M Π Sıfır uzunluğu LL 3 4 1 (7.18) K 1,,1 1,,33 7.3 Kök Yer Eğrilerinin Oluşturulmaı 1) Kol Sayıının Bulunmaı Kök yer eğriinde ki kolların ayıı kapalı çevrim kökleri ile bulunur. 5
) Simetri Kök yer eğrii reel ekene göre imetriktir. 3) Reel Eken Ütündeki Bölümler -düzlemi Şekil 7.5 Reel eken üzerinde ki bölümler K için kök yer eğrii tek ayılı açık çevrim köklerinin ve onlu açık çevrim ıfırlarının ol tarafında oluşur. 4) Başlangıç Ve Bitiş Noktaları KG( ) K N G ( ) ( ) ( ) DH T K 1+ KG( ) H ( ) DG ( ) DH ( ) + K N G ( ) N H ( ) (7.19) Düşük kazançlar için; T ( ) K N G ( ) DH ( ) DG ( ) DH ( ) + ε (7.) Kapalı çevrim item kökleri küçük kazanç değerlerinde bileşik kutuplara yaklaşır (G()&H())yani kök yer eğrii G()H() köklerinden başlar. Yükek kazançlar için: K N G ( ) ( ) ( ) DH T ε + K N G ( ) N H ( ) (7.1) Kapalı çevrim kökleri büyük kazançlarda G()&H() bileşkeinin ıfırlarına yaklaşır, kapalı çevrim G() H() in ıfırlarında onlanır. Özetle Kök yer eğrii G()H() in onlu ve onuz köklerinden başlar ve onlu ve onuz ıfırlarında onlanır. 6
Şekil 7.6 5) Kök Yer Eğrilerinin Sonuzdaki Davranışı K K K KG( ) H ( ) da 3 ıfır vardır. 3 ( + 1)( + ) Eğer iken fonkiyon onuza gidiyor ie bu durumda fonkiyonun onuzda kökü vardır. Eğer iken fonkiyon ıfıra gidiyor ie bu durumda fonkiyonun onuzda ıfırı vardır Örnek: G() için iken G() gidiyora G() in onuzda bir kökü vardır. G() 1 için iken G() gidiyora G() in onuzda bir ıfırı vardır. Kök yer eğrileri, kökleri onuza yaklaştıkça aimptotlar gibi düz çizgi halini alırlar. Bu aimptotların eşitlikleri σ a ve açıı θ a olarak aşağıdaki gibi belirlenir. Sonlu Kutuplar Sonlu Sıfırlar σ Σ Σ a #Sonlu Kutuplar #Sonlu Sıfırlar (7.) θ a # Sonlu (k + 1) π Kutuplar # Sonlu Sııfırla (7.3) 7
Örnek: Şekil 7.7 de ki item için kök yer eğriini oluşturunuz. Çözüm: Kutuplar: ; -1; -; -4 ; Sıfırlar: -3 Şekil 7.7 σ a 1 4 ( 3) 4 1 (7.4) 4 1,33 3 ( k + 1)18 θ a (k + 1)6 (7.5) 4 1 k θ a 6 k1 θ a 18 k 3 θ a Aimptot S-Düzlemi Aimptot Aimptot Şekil 7.8 8
K Örnek: G() açık çevrim fonkiyonuna ahip birim geri belemeli ( + )( + 4)( + 6) item için kök yer eğriini oluşturunuz. Çözüm:Kutuplar: -, -4, -6 ; Sıfırlar: Tüm ıfırlar onuzda oluşacak. σ a 4 θ a (k + 1)6 olarak bulunur ve bu veriler doğrultuunda elde edilen kök yer eğrii şekil 7.9 de göterilmiştir. Sanal eken Reel eken Şekil 7.9 7.4 Kök Yer Eğrilerinin Taarlanışının İncelenmei Ekenden Ayrılma Ve Birleşme Noktaları Şu ana kadar eğriyi oluştururken dikkate alacağımız şartları kıaca hatırlayalım ve şekil 7-1 inceliyelim. 1. Kök yer eğriine ait kol ayıı. Eğrinin reel ekene göre imetrik oluşu 3. Reel eken ütündeki eğri parçaları 4. Eğrinin başlangıç ve bitiş noktaları 5. Eğrinin onuzdaki davranışı 9
S-Düzlemi Şekil 7.1 σ 1 veya σ e kollar 18 lik bir açı oluşturur ki Burada ki n kol ayııdır. n Şekil 7.11 Kök yer eğrilerinde ekenden ayrılma ve birleşme noktalarının bulunmaında kullanılan ilk yöntem K nın diferaniyel denklemi a eşitlenerek denklemin minimum ve makimum noktalarının bulunmaıdır. KG()H() -11 ( + 1) 18 k (7.6) 1
1 K G( ) H ( ) Kök yer eğriinde reel ekenden ayrılma ve birleşme noktaları nedenle; 1 K G( σ ) H ( σ ) (7.7) σ de oluşur, bu (7.8) alınabilir. Ekenden Ayrılma Ve Birleşme Noktalarının Bulunmaı KG()H() K( 3)( 5) ( + 1)( + ) K( 8 + 15) ( + 3 + ) (7.9) Reel ekendeki tüm noktalar için; KG()H() -1 ve reel eken boyunca alındığında; σ K( σ 8σ + 15) ( σ + 3σ + ) (7.3) 1 ( σ + 3σ + ) K (7.31) ( σ 8σ + 15) dk dσ (11σ 6σ 61) ( σ 8σ + 15) (7.3) Denkleminin kökleri bize ekenden ayrılma birleşme noktalarını verir. Diferaniyel Denklemlerin Yardımı Olmakızın Ayrılma Ve Birleşme Noktalarının Tepiti m 1 n 1 1σ + 1 σ + σ Z i Pi (7.33) Z i ve P i kök ıfır değerlerinin negatif işaretlileridir. Örnek: 1 1 1 1 + + σ 3 σ 5 σ + 1 σ + (7.34) 11
11σ 6σ 61 (7.35) Bu işlemler onucunda σ 1 1, 45 ve σ 3, 8 olarak buunur. Sanal Eken Keim Noktaları Bir uygulamayla anal ekenin keim noktalarının naıl heaplandığını inceleyelim. Örnek: Şekil 7.7 de ki itemin kararlı olmaı için kazanç değerinin hangi aralıkta olmaı gerektiğini bulunuz. Çözüm: Özellikle bu tarz orularda kazancın daima pozitif olduğu unutulmamalıdır. G() K( + 3) ( + 1)( + )( + 4) ; buradan T() K( + 3) 4 3 + + 14 + (8 + K) + 3K bulunur ve Routh tablou oluşturulur. Tablo 7. Sitemin anal ekeni ketiği noktaları Routh tablou yardımıyla buluruz. Tabloda K ya verilecek değerler ile olabilecek atırı buluruz bu atırı a eşitleyerek bir K değeri elde ederiz daha onra bir üt atırı açarak elde edilen denklemin köklerini buluruz. Bu kökler bize anal eken keim noktalarını verir. K 65K + 7 (7.36) buradan K9,65 bulunur ve aşağıdaki denklemde yerine konulur. (9 K ) + 1K (7.37) K9,65 kazancı için kök yer eğriinin anal eken keim noktaları ± j1, 59 oluyor. Sanal eken keim noktalarının yada kök yer eğrii üzerindeki herhangi bir noktayı bulmanın bir başka yolu da anal ekenin keildiği nokta için kutup ve ıfırlardan 1
vektörler çizmektir. Bu çizilen vektörlerin açıları toplamı yada 18 derecenin katı olmalı eğer bu şart ağlanıyora eçilen nokta kök yer eğriinin ütündedir. Anlaşılacağı gibi bu yöntem ancak bilgiayar yazılımı yardımıyla gerçekleştirilebilir. Gidiş Ve Dönüş Açıları Kök yer eğrileri açık çevrim kutuplarında başlar ve yine açık çevrim ıfırlarında onlanır. Burada başlangıç açıı gidiş, bitiş açıı ie dönüş açıı olarak tanımlanır. Şekil 7.1 (a,b) Şekil 7.1 için denklemler aşağıdaki gibi düzenlenir: Şekil 7.1(a) için θ 1 + θ + θ 3 θ 4 θ 5 + θ 6 ( k + 1) 18 (7.38) Şekil 7.1(b) için θ 1 + θ + θ 3 θ 4 θ 5 + θ 6 ( k + 1) 18 (7.39) 13
Örnek: Aşağıdaki itemin komplex kutbuna ait gidiş açıını bulunuz ve kök yer eğriini çiziniz. Kutuplar: -3, -1 ± j1 ; Sıfırlar: - Şekil 7.13 θ 1 θ + θ 3 θ 4 18 θ 1 9 + 45 6.56 (7.4) θ 51,6 1 18,4 -Düzlemi Şekil 7.14 Kök Yer Eğrilerinin Kalibrayonu Ve Grafikel olarak Çizilmei Kök yer eğriinde noktaların daha haa bir şekilde tayin edilmeinde ortak kazancın bulunmaı faydalı olacaktır. 14
Yarı çap Açı (Derece) S Düzlemi Şekil 7.15 Örnek: Şekil 7.8 de ki ζ, 45 önüm oranı çizgiindeki keim noktayı ve bu noktadaki kazancı bulalım. Çözüm: Eğer ζ, 45 önüm oranı çizgiinde ki noktaları kutuplardan ve ıfırlardan noktaya olan vektörlerin açılarının toplamlarını tet ederek bulabiliriz. Açıları toplamı (k+1) 18 olmalıdır. K 1 G( ) H ( ) ΠKutup ΠSııfır uzunlukları uzunlukları (7.41) Örnek: K( + ) G ( ) fonkiyonuna ahip birim belemeli item için ; ( 4 + 13) 1. Kök yer eğriini çiziniz.. Sanal eken keim noktalarını ve bu noktalardaki kazancı bulunuz. 3. Reel ekenle birleşme noktalarını bulunuz. 4. Komplek köklerin gidiş açıını bulunuz. Çözüm: Kutuplar: ± j3 ; Sıfırlar: - ( K( + ) T ) + ( K 4) + (13 + K (7.4) ) Tablo 7.3 15
Routh tabloundan (Tablo 7.3): K4 anal eken keim noktalarında ki kazançtır. + 13 + K (7.43) ± j 1 ± j4. 6 anal eken keim noktalarıdır. -Düzlemi Şekil 7.16 Reel eken keim noktaları ie; ( σ 4σ + 13) K (7.44) ( σ + ) dk dσ σ 4σ + 1 ( σ + ) (7.45) 7.45 nolu denklemin köklerini σ 1 7 σ 3 olarak bulunur.kök yer eğriinden dolayı grafiğin ol tarafındaki kökü alırız σ 1 7 ve bu kökü 7.44 nolu denklemde yerine koyarak bu noktadaki kazancı K18 olarak bulabiliriz. 16
-Düzlemi Şekil 7.17 Gidiş açıı ie; θ 1 θ θ 3 18 (7.46) 1 3 tg 9 θ 3 18 θ 3 33, 1 olarak bulunur. (7.47) 4 Örnek: Şekil 7.18 için kök yer eğriini çiziniz ve aşağıda itenenleri bulunuz. a) ζ, 45 ten geçen eğrinin kein noktaını ve bu noktanın kazancını bulunuz. b) Sanal eken keim noktalarını ve itemin bu noktadaki kazancını bulunuz. c) Reel ekenden ayrılma noktaını bulunuz. d) Sitemi kararlı yapan K değer aralığını bulunuz. 17
Çözüm: Kutuplar: - ; -4 ; Sıfırlar: ± j4 Şekil 7.18 K( 4 + ) T ( ) (7.48) ( K + 1) + (6 4K) + (8 + K) K+1 8+K + 1 (6-4K) + (8+K) + Tablo 7.4 Routh tabloundan anal eken keim noktalarında ki kazanç K 6 1, 5 bulunur. 4 ( K + 1) + 8 + K (7.49) denkleminden anal ekeni ketiği noktalar ± j3, 9 olarak bulunur. ( σ + 6σ + 8) K (7.5) ( σ 4σ + ) 18
dk 1σ 4σ 15 dσ ( σ 4σ + ) (7.51) Buradan reel ekenden ayrılma noktaı -,88 olarak bulunur. Sorunun on şıkkının cevabı ie anal eken keim noktaları bulunurken verilmiş oluyor. K 1, 5 değerleri araında item kararlıdır. Soru da kök yer eğriinin ζ, 45 çizgiiyle keiştiği noktayı ıfırları olmayan ikinci dereceli item olarak düşünürek ve karakteritik denklemini yazarak. ζωn ωn + + (7.5) ωn ωn + (.45) + Sitemin karakteritik denklemi ie; (7.53) ( 1+ K ) + (6 4K) + (K + 8) (7.54) 6 4K K + 8 + + şeklinde yazılabilir (7.55) 1+ K 1+ K 7.53 ve 7.55 denklemlerinin eşitliğinden; 6 4K (,45) ω n (7.56) 1 + K K + 8 ω n (7.57) 1 + K 7.56 nolu denklemin kareini alıp 7.57 nolu denkleme eşitleyip elde ettiğimiz denklemin köklerini bulurak bu noktadaki kazanç değerini K,417 buluruz. Bu yöntem dışında bu noktaya ulaşabilmek için daha öncede bahedilen açıların yada (k+1) 18 olan eşitliklerine bakılmalıdır. 19
Kazanç Ayarına Göre Geçici Hal Cevabının Dizaynı Bu tür durumlarda ikinci derece yaklaşımı uygulanır. Şekil 7.19 Yükek dereceli kutup bakın ikinci dereceli kutup çiftine göre düzleminde ne kadar olda olura etkii o kadar az olur. Buna göre ikinci derece yaklaşımı Şekil 7.19 b de a ya göre daha geçerlidir. Kapalı çevrim ıfırı ikinci dereceli kutup çiftine ne kadar yakına kutup-ıfır adeleştirmei o kadar mümkün olur. Buna göre kutup-ıfır adeleştirmei şekil 7.19 d de c ye göre daha geçerlidir. Örnek: Şekil 7. deki itemin % 1,5 üt aşıma ahip olduğu kazanç değerini ve T, T p ve ürekli hal hataını bulunuz.
1 Şekil 7. K( + 1,5) T ( ) + 11 + (1 + K) 1,5 K (7.58) 3 1 1+K 11 1,5K 11 + 9,5K 11 1,5K Tablo 7.5 Routh tabloundan K nın pozitif tüm değerleri için itemin kararlı olduğu görülüyor. Ayrıca kök yer eğrii anal ekeni kemiyor. Bunu takiben reel eken ütündeki noktaları inceleyelim; KG()H()-1 (7.59) K( σ + 1,5) σ ( σ + 1)( σ + 1) 1 (7.6) 3 ( + 11σ + 1σ ) K σ (7.61) ( σ + 1,5) dk dσ 3 σ + 15,5σ + 133σ + 15 ( σ + 1,5) (7.6) ekenden ayrılama ve birleşme noktaları; σ 1 4,36 ; σ,77 ; σ 3,61 (7.63) 1
Bu kökleri 7.61 no lu denklemlerde yerine koyduğumuzda bu noktalardaki kazanç değerlerini elde ederiz. K 1 8,89 ; K 7,91 ; K 3,51 (7.64) %OS1,5% ζ,8 θ 36, 87 (7.65) T 4 ζ ω n (7.66) T p ω n π 1 ζ (7.67) K v lim G( ) (7.68) 1 e K v (7.69) KG()H()-1(k+1)18 (7.7) Durum Kapalı Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Kazanç Üçüncü T S T P K V Kapalı Çev. Kutbu Tablo 7.6 Üçüncü durumda, üçüncü kapalı çevrim kutbu ile yine kapalı çevrim ıfırı birbirine oldukça yakın oldukları için ikinci derece yaklaşımı kullanılabilir. Bunu götermek için, parçalı keirler yardımıyla kapalı çevrim baamak cevabını üçüncü durum için bulalım. 39,64( + 1,5) C3( ) (7.71) ( + 1,8)( + 4,6 + j3,45)( + 4,6 j3,45) 1,3 1,3( + 4,6) + 1,6(3,45) + ( + 1,8) ( + 4,6) 3,45 (7.7)
Üçüncü Derece K1,79 İkinci Derece K1,79 Zaman (a) Üçüncü Derece K39,64 İkinci Derece K39,64 Zaman (b) 7.5 Genelleştirilmiş Kök Yer Şekil 7.1 Şu ana kadar incelediğimiz itemlerin ileri yol kazancı K idi. Şimdi ie farklı parametrelere göre kapalı çevrim kutuplarında ki değişimleri inceleyelim. Örneğin şekil 7. de açık çevrim kutbu p 1 de yer alıyor. Böyle bir durumda kök yer eğriini p 1 e göre aşağıdaki gibi oluşturmalıyız. Şekil 7. 1 T() + ( + P1) + ( P + 1 1) 1 T() + ( + ) P1 + + 1 (7.73) (7.74) 3
1 + + 1 T() 1( + ) 1+ P + + 1 (7.75) KG()H() ( + ) P1 + + 1 1± j3 (7.76) Şekil 7.3 7.6 Pozitif Geri Belemeli Sitemler İçin Kök Yer Eğrileri Pozitif geri belemeli itemler ütünde çalışırken itemi negatif geri belemeli item gibi düşünüp H() i negatif bir değer olarak kabul etmek, hem itemi kavrayış hemde denklemleri anlamada oldukça yararlı olmaktadır. Şekil 7.4 den hareketle pozitif geri belemli itemleri inceleyelim. Şekil7.4 K( ) T() 1 KG( ) H ( ) (7.77) 4
KG ( ) H ( ) 1 (7.78) KG()H()11 k 36 (7.79) Pozitif geri belemeli bir item için kuralları negatif geri belemeli itemle karşılaştırarak gözden geçirelim: 1. Kol ayıının bulunmaı negatif geri belemeli itemde olduğu gibi bulunur.. Simetri kuralı negatif geri belemeli itemde olduğu gibi geçerlidir. 3. Reel eken üzerindeki parçalar negatif geri belemeli itemdekinin terine tek değil de çift açık çevrim köklerinin ve onlu açık çevrim ıfırlarının ol tarafında oluşur. 4. Başlama ve bitiş noktaları negatif geri belemeli itemde olduğu gibi bulunur. 5. Pozitif geri belemeli itemlerin onuzda ki davranışlarını inceleylim; σ a ΣSonlu Kutuplar ΣSonlu Sıfırlar # Sonlu Kutuplar # Sonlu Sıfırlar kπ θ a # Sonlu Kutuplar # Sonlu Sıfırlar (7.8) (7.81) Örnek: Şekil 7.(a) da ki pozitif geri belemeli itemin kök yer eğriini çiziniz. Şekil 7.5 5
( 1 4) ( 3) 4 σ a (7.8) 4 1 3 θ a kπ 3 (7.83) k için θ a ; k1 için θ a 1 ; k için θ a 4 elde edilir. 7.7 Matlab İle Kök Yer Eğrii Oluşturulmaı: Tranfer fonkiyonu 7.84 No lu denklemdeki gibi olan açık çevrimli bir item olduğunu varayalım. Kök yer eğrii metodu kullanarak geri belemeli bir itemi naıl dizayn edebiliriz. Kriter olarak %5 üt aşımı ve 1 aniye yükelme zamanını alalım. + 7 T ( ) (7.84) ( + 5)( + 15)( + ) Bir Matlab doyaı oluşturulur, tranfer fonkiyonu girilir ve kök yer eğrii çizdirilir. num[1 7]; denconv(conv([1 ],[1 5]), conv([1 15],[1 ])); rlocu(num,den) axi([- 3-15 15]) Sanal eken Reel Eken Şekil 7.6 6
7.8 Matlab İle Kök Yer Eğriinden K Değeri Seçilmei Şekil 7.7 de oranal kontrol için olaı tüm kapalı çevrim kökler göterilmiştir. Doğal olarak bu kapalı çevrim köklerinin hepi itediğimiz kriterlere uymayacaktır. İtenilen kritelere uygun noktalar grid ( ζ, ω n ) ile gerçekleştirilebilir. Bu oruda kriter olarak üt aşımın %5 den az olmaını (Bu değerde ζ, 7 den büyük olmaı durumunda gerçekleniyor) ve yükelme zamanın 1 aniye (Bu değerde ω n 1, 8 den büyük olmaı durumunda gerçekleniyor). Matlab komut ekranına aşağıdakileri girerek programı çalıştırdığınızda şekil 7.7 elde ediliyor. zeta.7; Wn1.8; grid(zeta, Wn) Şekil 7.7 Şekil 7.7 de ki noktalar halindeki çizgiler zeta nın,7 olduğu değer için oluşmuştur, bu çizgilerin araında zeta,7 ve çizgilerin dışında zeta,7 değerindedir. Orta çember ie ω n 1, 8 değer için oluşmuştur, bu çemberin içinde ω n 1, 8 ve çemberin dışında ω n 1,8 değerindedir. Başta belirlediğimiz kriterlere dönecek olurak %5 den daha az bir üt aşım için kutuplar zeta tarafından oluşturulan iki çizginin araında yer almalı ve 1n lik yükelme zamanı için kutuplar çemberin dışında bulunmalı. Şu durumda elde ettiğimiz bölge anal ekenin ol tarafında dolayııyla kapalı çevrim itemimiz bu bölgede kararlı olacaktır. Grafikten gördüğümüz gibi kök yer eğrimiz itenilen bölgededir. Şimdi oranal kontrol uygulayarak kutupları itediğimiz bölgeye kaydırabiliriz. Matlab da itenilen kutupları rlocfind komotu ile yerlerini belirleyebiliriz. 7
[kd,pole] rlocfind(num,den) Grafikte kapalı çevrim kutbu itediğiniz yeri işaretleyebiliriniz. Kriterlere uygun olarak kutupları şekil 7.8 de ki eçebiliriz. Kök yer eğriinin birden çok kolu olabilir ve bir kök eçildiğinde diğer kökün nerde olduğu itenebilir. Unutulmamalıdır ki bu durum cevabı da etkiler. Aşağıdaki grafikten de gördüğümüz gibi kutuplar uygun bölgelerde eçilmiştir. Şekil 7.8 7.9 Matlab İle Kapalı Çevrim Cevabının Elde Edilmei Baamak cevabının bulunabilmei için kapalı çevrim tranfer fonkiyonun bilinmei gerekmektedir. Blok diyagramları ile bu fonkiyonu bulabiliriniz ancak Matlab la da direkt bulunabilir. [numcl, dencl] cloop((kd)*num, den) cloop fonkiyonunun iki argümanı açık çevrim itemin payı ve paydaıdır. Seçilen oranal kazanç eklenmelidir. Bunların birim geri beleme için geçerli olduğu unutulmamalıdır. Şayet birim olmayan bir geri beleme uygulanıyor ie Matlab ın yardım menüünden feedback için bakın, bu şekilde geri beleme kazançlı kapalı çevrim tranfer fonkiyonunu elde edebiliriniz. Sonuçta beklediğimiz gibi cevap %5 den daha az bir üt aşım ve 1 aniyeden az bir yükelme zamanına ahip. 8
tep(numcl,dencl) Şekil 7.9 9