Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 PRETOPOLOJİK UZAYLAR KATEGORİSİNDE -BAĞLANTILILIK Muammer KULA Eryes Ünverstes, Fen-Edebyat Fakültes, Matematk Bölümü 3839 Kayser ÖZET Bu çalışmada, verlen herhang br ε tljk kategrs ve ε nun herhang br Χ bjes çn, -bağlantılılık kavramı tanımlanarak bu kavram, Pretljk Uzaylar kategrsnde nelenmştr. Anahtar kelmeler: Bağlantılılık, Tljk kategr, Yakınsak süzgeç Uzaylar, Pretljk uzaylar. A NOTION OF -CONNECTEDNESS IN THE CATEGORY OF PRETOPOLOGICAL SPACES ABSTRACT In ths study, the ntn f -nnetedness s defned fr any gven X bjet f ε, whh s a tlgal ategry ver sets, and ths ntn s haraterzed n the ategry f retlgal saes. Keywrds: Cnnetedness, Tlgal ategry, Cnvergene sae, Pretlgal sae. E-sta: kula@eryes.edu.tr
48 Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 1. GİRİŞ ( Χ, τ ) herhang br tljk uzay lsun. ( Χ, τ ) nun bağlantılı lması çn gerek ve yeter şart Χ n bştan farklı her öz alt ümlesnn sınırı bştan farklıdır [1]. Baran [2] de kaalılık kavramını kaanış eratörlern kullanmadan tljk kategrye genşletmştr. Burada se, [2] de k kaalılık kavramı ve yukarıdak terem kullanılarak, bağlantılılık kavramı tljk kategrye genşletld. 2. 1. Temel Tanım ve Teremler SET, bjeler ümleler ve dönüşümler fnksynlar lan br kategr lmak üzere; Tanım 2.1.1. ε ve SET kategrler verlsn. Eğer U : ε SET fanktru aşağıdak şartları sağlıyrsa U ya tljk fanktr ya da ε na SET kategrs üzernde tljk kategr denr. 1. U belrl (nrete) lmalıdır [1]. 2. U küçük demetlere sahtr. Yan, her B O SET çn U 1 ( B) br ümledr. Burada U 1 ( B) = { X Οε U ( X ) = B } şeklnde tanımlanır ve B üzerndek demet larak adlandırılır [2]. 3. Her U - kaynağı çn yan SET de g : Β U ( X ) ales çn ε da f : X X ales vardır öyle k U( f ) = g dır ve eğer U( h : Y X ) = g k: U( Y) Β= U( X) U( X ) se bu taktrde k: UY yan U ( k ) = k dır ve f k UX =Β nn en az br k : Y X kaldırması vardır, = h dr. Bunu dağramla gösterelm. k ε SET f g Χ Χ Β Χ Y U h k U(h ) U(Y) U( ) Bu sn şartın anlamı, her U - kaynağı br başlangıç kaldırmaya (ntal lft) sahtr. Keyf br U - kaynağının başlangıç kaldırmasının varlığı, keyf U -kavşağı (U -snk) çn btş kaldırmasına (fnal lft) denktr (Btş kaldırma, başlangıç kaldırmanın dualdr) [3-4]. Α br ümle ve σ Ρ( Α ) lsun. [ σ ] = { Β Α en az br C σ vardır öyle k C Β } şeklnde tanımlansın [5]. Tanım 2.1.2. Eğer [ σ ] = σ se ( ) altında kaalıdır [6]. σ Ρ Α ya Α üstünde br yığın (stak) denr. Yan σ süer ümle α, Α üzernde bş lmayan br yığın lsun. Eğer Β,C α ken Β C α luyrsa α ya A üzernde süzgeç (flter) denr.
Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 49 α yığınının (süzgeç), öz yığın (süzgeç) (rer) lması çn gerek ve yeter şart φ α, yan α Ρ( Α) lmasıdır. Aks durumda α ya öz lmayan yığın (süzgeç) (mrer) denr. Α üzernde yığın ve süzgeçlern ümles sırasıyla S( Α ) ve F( Α ) le gösterlr. Eğer α ve β ( ) Β α ve Β β } da br süzgeçtr. Yan [ α β] α β tanımından dlayı açıktır [7]. Şmd [ α β] α β lduğunu gösterelm. Β [ α β ] F Α se bu taktrde α β = { Β Α = dır. β α [ α β ] süzgen alalım. En az br G α β vardır öyle k G Β dr. G α β lduğundan G α ve G β dır. α ve β süzgeç lduğundan Β α ve Β β dır [6]. Tanım 2.1.3. Α br ümle ve L: Α ΡS( Α ) her br a Α çn ( ) La, Α nın a nktasına yakınsayan bş lmayan tüm yığınların ümles laak şeklde tanımlanan br fnksyn lsun [6]. Tanım 2.1.4. Α br ümle ve L: Α PS( ) şartları sağlıyrsa ( Α,L) çftne Pretljk uzay denr. (1) Her a Α çn [ a] L( a), burada [ a ] = { Β Α a Β } dr. (2) α ve β, Α üstünde yığınlar ve α β lsun. Eğer α La ( ) se La ( ) (3) L(a) da k bütün süzgeçlern kesşm Ν a lmak üzere Νa L(a) dır [6]. ( ΑΚ, ) dan (,L) ( ) f ( ) L f ( a) Burada [ f ] { Β ye br f dönüşümü, : α dır. Yan f sürekldr. α = U U Β ve en az br C α Α yukarıda tanımlanan fnksyn lsun. Eğer L aşağıdak β dır. α Κ se f Α Β fnksyndur öyle k eğer ( a) çn U f ( C) } şeklnde tanımlanır [6]. Tanım 2.1.5. Dönüşümler Tanım 2.1.4 de k gb tanımlanan sürekl fnksynlardan luşan ve nesneler yerne de Pretljk uzaylar alınarak elde edlen sınıfa Pretljk uzayların kategrs denr ve PrT le gösterlr. PrT br tljk kategrdr [6, 8]. 2.2. Kaalı Alt Objeler Tanım 2.2.1. Χ br ümle ve Χ lsun. V Χ snsuz wedge çarımı, Χ n sayılablr ayrık kyalarını alarak ve bunların nktasında çakışması le elde edlr. =Χ Χ Χ K, Χ n sayılablr kartezyen çarımı lsun. A : V Χ Χ A ( x) = (,, K,x,, K ) şeklnde tanımlansın. Burada x snsuz wedgenn n bleşenn elemanıdır ve (,,, x,, ) tüm ler çn ( ) = le tanımlansın [7-8]. x x Χ U : ε SET tljk fanktr ve Χ de ε nun br nesnes lsun. K K de k x se n yerdedr. : V Χ Χ φ Μ Χ ve Χ Μ bölüm uzayı le q:u( Χ ) =Β Β Μ = ( Β\ Μ) {*} U -kavşağının sn (fnal) kaldırmasını göstereeğz. Burada q, \ Β Μ nn elemanlarını kendsne ve Μ y de * götüren br fnksyndur [7-8].
5 Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 Β nn br elemanı lsun. Şmd aşağıda k tanımı vereblrz. Tanım 2.2.2. (1) nn kaalı lması çn gerek ve yeter şart { A : V Β UΧ =Β ve : V Β UDΒ=Β } U - kaynağının başlangıç kaldırmasının dskre lmasıdır [7-8]. (2) Μ Χ n kaalı lması çn gerek ve yeter şart ın Χ Μ de kaalı veya Μ = φ lmasıdır [7-8]. (3) Μ Χ n açık lması çn gerek ve yeter şart Μ nın kaalı lmasıdır [9]. Uyarı ε =T alırsak, Tanım 2.2.2 dek kaalılık ve açıklık kavramları sırasıyla klask kaalılık ve açıklık kavramlarına ndrgenr [1,8]. Terem 2.2.3. = ε PrT ve ( Α,L) Οε lsun.φ Μ Α nın kaalı lması çn gerek ve yeter şart a Μşartını sağlayaak şeklde k her br a Α çn α Μ [ ] öz süzgeç laak şeklde α L(a) mevutsa, [ a] Önerme 2.2.4. ε = PrT ve ( Α,L) Οε lsun. I Ν lmalıdır ( b α Κ (b) (1) Α dak tüm kaalı alt ümlelernn keyf adettek kesşmler kaalıdır. (2) Α dak açıkların keyf adettek brleşmler açıktır. İsat: İsatı [9] de verlmştr. Ν =I α ) [8]. Tanım 2.2.5. ε br tljk kategr, Χ Οε ve Μ Χ lsun. (1) Μ nn kaanışı, Χ n Μ y htva eden tüm kaalı alt ümlelernn kesşmdr ve Μ le gösterlr Μ= Ε Χ: Ε Μ, Ε kaalı ) [9]. ( { } (2) Μ nn tüm açık alt ümlelernn brleşmne Μ nn ç denr ve { :, açık } Μ= Η Χ Μ Η Η ) [9]. (3) Μ nn sınırı, Μ ( ) =Μ\ Μşeklnde tanımlanır [9]. Μ le gösterlr ( Uyarı (1) ε =T alırsak, Tanım 2.2.5 dek tanımlar klask Μ nn kaanışı, ç ve sınırı kavramlarına ndrgenr [1-12]. (2) ε = PrT se Μ nn kaanışı Dkranjan ve Gul [12] anlamında kaanış eratörüdür ve bu eratör demtent, çarımsal ve kalıtsaldır [1, 13]. Önerme 2.2.6. ( Α,L) PrT da br bje ve Μ Α lsun. Bu takdrde; (1) Μ kaalıdır. (2) Μ açıktır. (3) Μ kaalıdır anak ve anak Μ=Μ dr. (4) Μ açıktır anak ve anak (5) Μ=Μ dır. (6) Μ=Μ dr. Μ=Μ dr.
Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 51 (7) Μ ( ) = φ lması çn gerek ve yeter şart İsat: İsatı [9] de verlmştr. Μ =Μ dr. 3. -bağlantılılık SET, bjeler ümleler ve dönüşümler fnksynlar lan br kategr, ε SET üzernde tljk kategr ve Χ de ε nun br bjes lsun. Tanım 3.1. Χ n -bağlantılı lması çn gerek ve yeter şart Χ n bştan farklı her öz alt ümlesnn sınırı bştan farklı lmasıdır. ε Uyarı = T alırsak, -bağlantılılık kavramı, grş kısmında fade edlen Teremn (3) şıkkına göre klask bağlantılılık kavramına ndrgenr. Burada Pretljk uzayların kategrs lan PrT de, -bağlantılı bjeler karakterze edleektr. Terem 3.2. ( Α,L) PrT da br bje lsun. Bu takdrde aşağıda k fadeler denktr. (1) ( Α,L) -bağlantılıdır. (2) Α nın bştan farklı herhang br Μ öz alt ümles çn aşağıdak şartlardan en az br sağlanır. () En az br a Μ çn α Μ [ ] öz süzgeç laak şeklde α L(a) mevut ve I Ν b [ a] lmalıdır ( Ν =I α ). α Κ (b) () En az br b Μ çn α Μ öz süzgeç laak şeklde α L(b) mevut ve I Ν a [ b] lmalıdır ( Ν a Μ a =I α ). (a) α Κ İsat : (1) (2) Kabul edelm k ( Α,L) -bağlantılı ve Α nın bştan farklı en az br Μ öz alt ümles çn () ve () şartları sağlanmasın. Yan bu Μ öz alt ümles çn aşağıdak (1) ve (2) şartları dğru lsun. (1) a ( b α Κ (b) L(a) çn [ ] α Ν =I ). (2) b ( a α Κ (a) α Ν =I ). Bu takdrde; I.Durum : a L(b) çn I lsun α Μ öz lmayan süzgeç veya [ a] α Μ Ν I lsun öz lmayan süzgeç veya Ν a [ b] a Μ L(a) çn α Μ [ ] öz lmayan süzgeç ve b L(b) çn α Μ öz lmayan süzgeç lsun. Bu taktrde Μ hem açık hem de kaalı lur. Gerçekten; α Μ öz süzgeç laak şeklde α L(a) mevut lmadığından (kabulden) herhang br a Μ çn [ ] Μ kaalıdır (Terem 2.2.3) ve Μ=Μ(Önerme 2.2.6) lur. Benzer larak Μ da kaalıdır (kabulden ve
52 Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 Terem 2.2.3 den) ve Μ =Μ lur (Önerme 2.2.6). Buradan ( Μ ) =Μ\ Μ =Μ\ Μ = φ dur (Tanım 2.2.5). Bu se ( Α,L) nn -bağlantılı lmasıyla çelşr. II.Durum : a L(a) çn α Μ [ ] öz lmayan süzgeç ve lsun. Bu takdrde Μ hem açık hem de kaalıdır. Gerçekten; herhang br a laak şeklde I b Μ çn Ν a [ b] Μ a Μ çn [ ] α Μ öz süzgeç α L(a) mevut lmadığından (kabulden) Μ kaalıdır (Terem 2.2.3) ve Μ =Μ (Önerme 2.2.6) lur. Μ açık yan Μ kaalıdır. Çünkü; herhang br b Μ çn α Μ öz süzgeç laak şeklde α L(b) mevut değlse açık larak Μ kaalıdır. Herhang br b Μ çn α Μ öz süzgeç laak şeklde α L(b) mevutsa, b Μ çn I Ν a [ b] lduğundan a Μ Μ kaalıdır (kabulden ve Terem 2.2.3 den) ve Μ =Μ lur (Önerme 2.2.6). Buradan Μ ( ) =Μ\ Μ=Μ\ Μ= φ dur (Tanım 2.2.5). Bu se ( Α,L) nn -bağlantılı lmasıyla çelşr. III.Durum : a Μ çn Ν I b [ a] lsun ve L(b) çn α Μ b Μ öz lmayan süzgeç lsun. Bu takdrde Μ hem açık hem de kaalıdır. Gerçekten; herhang br a α Μ öz süzgeç laak şeklde Μ çn [ ] α L(a) mevut değlse açık larak Μ kaalıdır. Herhang br a α Μ [ ] öz süzgeç laak şeklde L(a) α mevutsa, a Μ çn Ν b [ a] b Μ (kabulden) Μ kaalıdır (Terem 2.2.3) ve Μ =Μ (Önerme 2.2.6) lur. b α Μ çn I lduğundan L(b) çn Μ=Μ lur Μ öz lmayan süzgeç lduğundan, Μ açık larak kaalıdır (Terem 2.2.3) ve (Önerme 2.2.6). Buradan ( Μ ) =Μ\ Μ =Μ\ Μ = φ dur (Tanım 2.2.5). Bu se ( Α,L) nn -bağlantılı lmasıyla çelşr. I ve Ν a [ b] a Μ Μ çn [ ] larak Μ kaalıdır. Herhang br a Μ çn [ ] Μ çn [ a] IV.Durum : b Μ, a Μ çn Ν b [ a] b Μ hem de kaalıdır. Gerçekten; herhang br a mevut değlse açık α L(a) mevutsa, b Ν I lsun. Bu takdrde Μ hem açık α Μ öz süzgeç laak şeklde α L(a) α Μ öz süzgeç laak şeklde I lduğundan (kabulden) Μ kaalıdır (Terem 2.2.3) ve Μ=Μ (Önerme 2.2.6) lur. Benzer larak Μ kaalı (Terem 2.2.3) ve Μ =Μ lur (Önerme 2.2.6). Buradan Μ ( ) =Μ\ Μ=Μ\ Μ= φ dur (Tanım 2.2.5). Bu se ( Α,L) nın -bağlantılı lmasıyla çelşr. Snuç larak dört htmalde de çelşkye düştük. Buradan kabulümüz yanlış şartımız dğrudur. (2) (1) Kabul edelm k şartımız dğru ve ( Α,L) -bağlantılı lmasın. Bu takdrde en az br bştan farklı Ν öz alt ümlesnn sınırı bştur. Yan ( Ν ) =Ν\ Ν=φ dır. Bunun lması çn Ν=Ν yan Ν nn hem açık hem de kaalı lması gerekr k (Önerme 2.2.6), kabulümüz gereğ bu mümkün lamaz. Çünkü; Ν kaalı lduğundan (Terem 2.2.3) herhang br a Ν çn α Ν [ ] öz süzgeç laak
Eryes Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Dergs 21 (1-2), 47-53, 25 53 şeklde α L(a) mevut lmayablr. Fakat kabulümüz gereğ bu mümkün değldr. Herhang br a Ν çn α Ν [ ] öz süzgeç laak şeklde α L(a) mevut ve I Ν b [ a] lablr. Fakat b Μ yne kabulümüz gereğ bu mümkün lmaz. Dlayısıyla Ν nn kaalı lması mümkün değldr. Benzer larak Ν da kaalı değldr (kabulden ve Terem 2.2.3 den). Yan Ν açık da lamaz. Α nın kendsnden ve bştan farklı hç br alt ümles hem açık hem de kaalı lamaz. Dlayısıyla kabulümüz yanlıştır. KAYNAKLAR 1. Munkres, J.R., Tlgy: A Frst Curse, Prente Hall In., New Jersey, 1975. 2. Baran, M., The Ntn f Clsedness n Tlgal Categres, Cmment. Math. Unv. Carlnae, 34, 383-395, 1993. 3. Herrlh, H., Tlgal Funtrs, Gen. T. Al., 4, 125-142, 1975. 4. Brümmer, G.C.L., A Categral Study f Intaly n Unfrm Tlgy, Ph.D. Thess, Unv. f Cae Twn, 1971. 5. Melke, M.V., Gemetr Tlgal Cmletns wth Unversal Fnal Lfts, T. and Al., 9, 277-293, 1985. 6. Shwartz, F., Cnnetns Beetween Cnvergene and Nearness, Leture Ntes n Math. N.719, Srnger-Verlag, 345-354, 1978. 7. Baran, M., Clsure Oeratrs n Cnvergene Saes, Ata. Math. Hunger., 87, 33-45, 2. 8. Baran, M. and Kula, M., A nte n Searatn and Cmatness n Categres f Cnvergene Saes, Aled General Tlgy, 4, 1-13, 23. 9. Kula, M., Tljk Kategrlerde Bağlantılılık, Dktra Tez, Eryes Ünverstes, Kayser, 23. 1. Clementn, M. M. and Thlen, W., Searatn Versus Cnnetedness, Tlgy and ts Alatns, 75, 143-181, 1997. 11. Cllns, P.J., Cnrdant Mangs and the Cnrdant-Dssnant Fatrzatn f an Arbtrary Cntnus Funtn, Preedngs f the A.M.S, 27, 587-591, 1971. 12. Dkranjan, D. and Gul, E., Clsure eratrs I, Tlgy Al., 27, 129-143, 1987. 13. Baran, M., Searatn Prertes, Indan J. Pure and Al. Math., 23 (5), 333-341, 1992.