MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y) : x,y Z ve x - y ilebölünür.} bağıntısı denklik bağıntısıdır. Bir x tam sayısı ile bölündüğünde kalan 0,,, sayılarından biri olur. Buna göre Z tam sayılar kümesi modülüne göre 0,,, kalan sınıflarına ayrılır. Z tam sayılar kümesinde modülüne göre kalan sınıflar; 0 {...,,,,0,,,,6,...}, {...,, 7,,,,9,,7,...}, {..., 0, 6,,,6,0,,,...}, {..., 9,,,,7,,,9,...} şeklinde olur. modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z / ile gösterilir. Z / {0,,, } tür. Bu sınıfların her birinde bulunan elemanların ile bölünmesinden elde edilen kalan, o elemanın bulunduğu sınıfı verir. Örneğin 0 un ile bölümünden kalan olduğundan, 0 olarak yazılır. m modülüne göre kalan sınıfların kümesi; Z / m {0,,,,..., m } olur. a ile b aynı kalan sınıfına ait ise bu durum a b (mod m) biçiminde gösterilir. in 7 ile bölümünden kalan olduğu için (mod 7) dir. ün 0 ile bölümünde kalan olduğu için (mod 0) dur. nin ile bölümünde kalan olduğundan (mod ) tür. 6 ün 9 ile bölümünde kalan 0 olduğu için 0 (mod 9) dur. in 9 ile bölümünde kalan olduğu için (mod 9) dur. sayısı, sayısı, sayısı ve sayısının ile bölümünde kalanlar eşit olduğundan (mod ) tir Yine in ile bölümünden kalan olduğundan dir. Ayrıca aynı sınıfta bulunan iki elemanın denk olduğunu biliyoruz. Bu durumda ün kalan sınıflarına göre 0 sayısı e denktir. Bunu 0 (mod ) biçiminde yazar ve modülüne göre 0, e denktir diye okuruz. Sonuç m pozitif tam sayısı için Z tam sayılar kümesi m modülüne göre 0,,,,..., m olmak üzere m tane kalan sınıfına ve 7 sayısının 9 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre, 7 0 (mod 9) dur. 6 nın ile bölümünde kalan olduğu için (mod ) tir.
Sonuç A B (mod m) ve B C (mod m) ise A C (mod m) ve C A (mod m) dir. ve sayılarının 7 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre, (mod 7) ve (mod 7) dir. Uyarı A D (mod m) ise A ve D nin m ile bölümünden kalanlar eşittir. 0 (mod 6) olduğundan ve 0 sayılarının 6vile bölümünden kalanlar eşittir. Kural A B (mod m) ve C D (mod m) ise olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir.. A C B D (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanabilir.. A C B D(mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış iki denklik taraf tarafa çıkarılabilir.. A.C B.D (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış iki denklik taraf tarafa çarpılabilir.. k bir sabit sayı olmak üzere k.a k.b (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış bir denkliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir. n n. A B (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış bir denkliğin her iki tarafının aynı kuvveti alınabilir. (mod 7) ve (mod 7) dir. Buna göre, a) (mod 7) 9 (mod7) b).6. (mod 7) 6 0 (mod7) (mod7) elde edilir. 6 (mod7) elde edilir. c) (mod 7) 6 (mod7) 00 x (mod ) ise x kaçtır? (mod ) olduğundan, (mod7) elde edilir. 00 00 00 (mod ) (mod) olacağından x = bulunur. Kural k, tam sayı olmak üzere x y (mod m) ise x y m. k dır. x x (mod 7) ise x in alabileceği en küçük üç farklı doğal sayı değerini bulalım. x x (mod 7) x x 7k x 7k elde edilir. k 0 ise x 7.0 x 0 dır. k ise x 7. x 7 dir. k ise x 7. x tür. 99 6 sayısının ile bölümünde kalan kaçtır?
99 (mod ) dir. (mod ) (mod ) (mod ) dir. Buna göre, 99 (mod ) 99 (mod) olur. 0 sayısının 9 ile bölümünde kalan kaçtır? 6 sayısının 9 ile bölümünden kalan 0 dır. Bu durumda 6 dur. Buradan 9 9 0 (mod 9) 0 (mod 9) bulunur. 0 (mod 9) 0 (mod 9) 0 (mod 9) olacağından; 0 0 (mod 9) 0 (mod 9) 0 9 (mod 9) 0 (mod 9) bulunmuş olur. 7 sayısının ile bölümünden kalan kaçtır? (mod ) (mod ) (mod ) 7. (mod ). (mod ). (mod) (mod) bulunmuş olur. Kısaca nin. kuvveti olduğuna göre ün katı olan kuvvetleri de dir. Bunun için üssün ile bölümünden kalan bulunur. Buradan sonuca gidilir. sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım. Bir sayının birler basamağındaki rakam 0 ile bölümündeki kalana eşittir. Buna göre sayısının birler basamağındaki rakamı 0 ile bölümündeki kalan verir. (mod 0) 9 (mod 0) 7 (mod 0) (mod 0). (mod ). (mod ).9 (mod) 9 (mod) bulunmuş olur. 7 6 sayısının ile bölümündeki kalan kaçtır? (mod )
6 (mod ) (mod ) 0 (mod ) 0 (mod ) 7 0 (mod ) bulunmuş olur. 00 00 x (mod 0) olduğuna göre x in alabileceği en küçük değer kaçtır? 00 (mod 0) (mod ) tir. Burada asal sayı ve sayısı in katı değildir. 00 x (mod ) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? sayısı in katı olmayıp asal sayı olduğundan (mod ) yazılabilir. 0 00 0 (mod ) (mod ) 00 00 (mod ) bulunur. 00 00 00 00 (mod 0) (mod 0) 6 (mod 0) (mod 0) 00 in 0 ile bölümünden kalan 00 in 0 ile bölümündeki kalan ile aynıdır. Buna göre 00 in ile bölümünden kalan olduğu için, 00 00 00 (mod 0) 00 00 (mod 0) bulunur. Kural x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı m - ise x (mod m) dir. 6 Son verdiğimiz kuraldan hareketle, nın 7 ile bölümünden kalanın olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre, 6 (mod 7) dir. x (mod ) olduğuna göre, x pozitif tam sayısının alabileceği en küçük değeri bulalım. (mod ) (mod ) x olduğuna göre, (mod ) ifadesini doğrulayan en küçük pozitif tam sayı dir.
Uyarı x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı m - ise, x (mod m) dir. Ancak x in m- den küçük kuvvetleri için de denklik e eşit olabilir. Örneğin (mod ) ve (mod ) olur. 00 x (mod ) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? sayısı in katı olmayıp asal sayı olduğundan (mod ) yazılabilir. 00 Buna göre in kuvveti olan 00 in ile bölümünden kalan 0 olduğu için 00 0 00 (mod ) (mod ) bulunur. sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım. Son verdiğimiz kural gereği, 6 (mod 7) dir. Buna göre sayısının kuvveti olan sayısının 6 ile bölümünden kalan olduğu için, (mod 7) (mod 7) olur. 7 a (mod ) olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük doğal sayı değerini bulalım. 6 (mod ) (mod ) 0 (mod ) 6 6 7 0 (mod ) (mod ) 7 7 0 (mod ) a 0 bulunmuş olur. Takvim ve Saat Problemleri Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 0 u gösteriyor. Bu saat saat sonra kaçı gösterir? Problemini çözelim: 0+= dir. Saatin üzerinde sayısı yoktur. Saat üzerinde 0 dan itibaren birim sayarsak;,,,,,,,6 üzerine geliriz. Yani öğleden sonra saat 6 yı gösterir. Bu toplama, tam sayılarda yaptığımızdan farklı bir toplamadır. 0 (mod ) 6 (mod ) olur. Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 0 u gösteriyor. saat sonra kaçı gösterir? 0+ = tir. Fakat saat üzerinde yoktur. Her saatte bir saat tekrar 0 olacağından sayısının modülüne göre kaça denk olacağını bulmalıyız. 7 (mod ) olacağından saat 7 yi gösterecektir. Bugün Ağustos 00 Cumartesidir. Buna göre 7 gün sonraki günü bulalım.
Bir hafta 7 gün olduğuna göre, bugünden itibaren her 7 gün sonrası Cumartesi olacaktır. 7 (mod 7) olduğuna göre istenen gün Cumartesi gününden gün sonrasıdır. Yani Salı günü. Buna göre Ağustos 00 Cumartesi gününden 7 gün sonraki gün 0 Ağustos 00 Salı günüdür. Bu ay Ağustos ayıdır. Buna göre 7 ay öncesi hangi ay olduğunu bulalım. Bir yıl ay olduğuna göre, ay öncesi ve nin katı ile ifade edilen aylar hep Ağustos olacaktır. 7 (mod ) olduğuna göre istenen ay Ağustostan ay öncesindeki aydır. Yani Marttır. Tam saat i gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi 0 saat sonra kaçı gösterir? Akrep ile yelkovan her saat sonra tekrar i gösterecektir. Buna göre 0 0(mod) olacağından istenen saat, in 0 saat sonrasıdır. Yani dir. Bir hasta A hapını günde bir yutuyor. Bu hasta, B hapını günde bir yutuyor. Bu hasta A ve B hapını birlikte ilk kez Pazar günü yutuyor. Buna göre, A ve B hapını ikinci kez birlikte yuttuğu gün hangisidir? E.K.O.K.(,) = olduğu için bu hasta A ve B hapını birlikte günde bir yutar. (mod 7) olduğundan ve hapları birlikte ilk kez Pazar günü yuttuğundan A ve B hapını ikinci kez birlikte yutacağı gün Pazar gününden gün sonrasındaki gün olan Çarşamba günü olacaktır. 9 (mod m) olduğuna göre m pozitif tam sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır? 9 (mod m) 9 (mod m) 0(mod m) olduğuna göre; m, 6 nın tam bölenleri olmalıdır. 6 nın pozitif bölenleri,,,,6,9,,,6 dır. Modüler aritmetik tanımı gereği m = olamaz. Bu durumda m sayısı tane pozitif değer alabilir. 7 x (mod 6) olduğuna x sayısı kaçtır? 0(mod m) 0 (mod6) 7 7 (mod6) ( ) (mod 6) 7 7 (mod 6) (mod 6) x = bulunur. a b (mod 0), a.b (mod 0) ve a b x (mod 0) olduğuna göre x kaçtır? a a a a b ab b olduğundan; b b a b ab (mod 0). (mod 0) a b 0 (mod 0) 6
a b (mod 0) a b (mod 0) x bulunur. x 0 6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x sayısı kaçtır? x 0 6 (mod 7) x 7 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7) Z/ {0,,, } kümesinde; 0.. 0 Z/ {0,,, } kümesinde tanımlı ve işlemleri aşağıdaki tablo ile gösterilebilir. x (mod 7).x. (mod 7) x 6 (mod 7).x 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod ) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır? x (mod ) x x x (mod ) x (mod ) x (mod ) x (mod )..x (mod ) x (mod ) olduğuna göre x sayısı, 9,,, gibi değerleri alabilir. Buna göre x in en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı; +9= tür. Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemleri x, y Z / m olsun. Bu elemanlar arasındaki toplama işlemi ile ve çarpma işlemi ile gösterilirse; Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Özellikleri. Değişme Özelliği Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özellikleri vardır.. Birleşme Özelliği Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özellikleri vardır. Z/ kümesinde ve olduğundan tür. ve olduğundan tür. x y x y ve x y x. y dir.. Toplama İşleminin Etkisiz Elemanı Z/m kümesinde toplamanın birim elemanı 0 dır. 7
Her x Z / m için x 0 0 x x dir. Z/ {0,,, } kümesinde 0 0 ve 0 0 dir. Z/ {0,,, } kümesinin işlemine göre etkisiz elemanı 0 dır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı üzerinde çalışılan kümeye göre değişmektedir.. Toplama İşlemine Göre Bir Elemanın Tersi Her x Z / m için x ( x) x ( x) 0 ve ( x) x x x 0 olduğundan her x in tersi x tir. x Z / m için işlemine göre işleminde her x Z / için x 0 x olduğundan etkisiz eleman 0 dır. 0 0 0 olduğundan 0 ın tersi 0 dır. 0 olduğundan in tersi tür. 0 olduğundan nin tersi tür. 0 olduğundan ün tersi dir. 0 olduğundan ün tersi dir. işleminde her x Z / için x x olduğundan etkisiz eleman dir. 0 x olacak şekilde x Z / bulunmadığından Z/ kümesinde işlemine göre 0 ın tersi yoktur. Z/ {0,,, } kümesinde ( ) ( ) 0 olduğundan in tersi tür. ( ) ( ) 0 olduğundan nin tersi Çarpma işlemine göre bir elemanın tersi üzerinde çalışılan kümeye göre değişebilmektedir olduğundan in tersi dir. olduğundan nin in tersi tür. olduğundan ün tersi dir. olduğundan ün tür. Z/ {0,,,, } kümesinde ve işlemlerinin tablosunu yapıp birim elemanları ve her elemanın tersini bulalım. Z/6 kümesinde.x denklemini çözelim.
.x.x x veya x 6 dir. O halde.k., Ç tir. Z/ kümesinde.x denklemini çözelim..x.x 6 x dir. O halde Ç.K. dir. 6.x 0.x x.x 0.x x O halde.k., Ç dır. Z/ kümesinde x denklemini çözelim. 6.x.x x x x veya x olur. O halde.k., Ç dır. Çözümlü Sorular Z/7 kümesinde.x 6 denklemini çözelim.. sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?.x.x x 6 O halde Ç.K. 6 dır. Z/ kümesinde.x..x 0 denklemini çözelim..x..x 0 x 0 veya x 0 dır. (mod 7) (mod 7) (mod 7) Buna göre, 7. (mod 7) 7 (mod 7) 7. (mod7) 9
7. x (mod ) olduğuna göre x sayısı kaçtır? (mod ) 7 7 (mod ) 7 (mod ) olduğundan x dir.. 97 9 toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 97 (mod 6) 97 (mod 6) 97 (mod 6) olur. 9 9 9 9 (mod 6) (mod 6) (mod 6) (mod 6) 9 (mod 6) olduğundan 97 9 (mod 6) 97 9 (mod 6) bulunur. 999 997 sayısının birler basamağındaki rakam, bu sayının 0 ile bölümündeki kalana eşittir. 997 997 7 (mod 0) 9 (mod 0) 997 0 9 0 (mod 0) 997 (mod 0) 99 99 997 ( ) (mod 0) 99 997 (mod 0) 99 997.997.997 (mod 0) 999 997.7 (mod 0) 999 997 7 (mod 0) 999 997 (mod 0) bulunur.. x (mod 0) olduğuna x sayısı kaçtır? (mod 0) (mod 0) (mod 0). 999 997 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? 6 (mod 0) (mod 0) 6 (mod 0) 0
7 (mod 0) 6k 6.( k) (mod 7) 6 (mod 0) 6k 6.( k) (mod 7) Görüldüğü gibi nin ten sonraki kuvvetlerinden elde edilen kalanlar ilk bulunan kalanlarla aynıdır. 9 k... (mod 0) 6k 6k k 6. (mod 7) k. (mod 7) 6 0 k... (mod 0) 6k. (mod 7) 7 k... (mod 0) 6k (mod 7) bulunur. k... 6 (mod 0).9 (mod 0 ) bulunur. 6. x 997 (mod 7) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? 997 (mod 7) 997. (mod 7). x 0 6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır? x 0 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7) x 6 (mod 7) x 6 (mod 7) bulunur. 997. 6 (mod 7) 997 6. (mod 7) x 997 (mod 7) olduğuna göre x tür. 9. - x (mod ) olduğuna göre x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır? - x (mod ) - x (mod ) 7. 6k k Z olmak üzere sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? 7, in tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve 7 asal sayı olduğundan, 6 (mod 7) dir. Buna göre, x (mod ) 9 6x (mod ) x (mod ) olduğuna göre x sayısı,9,,, gibi değerleri alabilir. Buna göre x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı, += tür.
0. Bugün günlerden Salı olduğuna göre, gün sonrası hangi gündür? Bir hafta 7 gündür. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra yine aynı gündür. (mod 7) olduğundan istenen gün Salı gününden gün sonraki gündür. Yani Cumartesi günüdür.. Bir öğretmen günde bir ( gün arayla) nöbet tutmaktadır. 6. nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre. nöbetini hangi gün tutmuştur? Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre yapmalıyız. 6. nöbet Çarşamba günü tutulduğuna göre 7 gün önce de Çarşamba dır. Bunun için kalanı 0 olan günler Çarşamba ya, kalanı olan günler Salıya, kalanı olan günler Pazartesi ye, rastgelir.. nöbetten ile 6. nöbete zaman geçene kadar defa nöbet tutulmuştur. Her nöbet günde bir tutulduğundan,. nöbet, 6. nöbetten. = gün önce tutulmuştur. (mod 7) olduğundan ilk nöbet Çarşamba gününden gün önceki gün olan Pazar günü tutulmuştur.. Bir asker günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk nöbetini Pazartesi günü tuttuğuna göre, 00. nöbetini hangi gün tutar? Asker günde bir nöbet tuttuğuna göre 00. nöbetini tutması için 99. = 96 gün geçmesi gerekir. 9 (mod 7) olduğundan bizden istenen Pazartesi den gün sonrasıdır. Yani 00. nöbetini Cuma günü tutar.. Bir elektronik saat şu anda :00 i gösterdiğine göre, 7 saat sonra kaçı gösterir? Elektronik saat saatte bir aynı vakti göstereceğine göre, işlemleri mod e göre yapmalıyız. 7 (mod ) olduğundan bizden istenen saat :00 den saat sonrası yani :00 dır. 7 (mod ) olduğu için, saat 07:00 yi gösterir. x x. (mod 7) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? x x (mod 7).x.x (mod 7) Burada ve ün mod 7 ye göre tersini bulmalıyız.. (mod 7) olduğundan in mod 7 ye göre tersi,. (mod 7) olduğundan ün mod 7 ye göre tersi bulunur. Bu durumda,.x.x (mod 7).x.x (mod 7).x (mod 7).x (mod 7) x (mod 7) Buna göre, x in alabileceği değerlerden bazıları -,-,,0,7, tür. Bu durumda x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri tür.. x iki basamaklı bir doğal sayı, x (mod 6) ve x (mod ) olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır? x (mod 6) olduğuna göre, x in 6 ile bölümünden kalan dir. Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler,,0,6,,6,9,9 dir.
x (mod ) olduğuna göre, x in ile bölümünden kalan dir. Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler, 0,,6,,,90,9 dir. 6 ile in E.K.O.K u olduğundan x iki basamaklı sayısı 6,0,7,9 değerlerini alabilir. 6. 6 günlük bir yıldaki Salı ve Çarşamba günleri sayısının toplamı en çok kaçtır? Bir hafta 7 gündür. 6 =.7+ olduğu için, tane Salı ve Çarşamba sayılır. Sayma işlemine Salı günü başlanırsa, artan gün Salı olur. Böylece, Salı ve Çarşamba günü olur. Toplam +=0 Salı ve Çarşamba günü olur. ( x ).(x ) x 0.x x 6 olur. 9. Z/ kümesinde.x.y 0 ve x 7.y 0 olduğuna göre, x + y toplamını bulunuz..x.y 0 ve x 7.y 0 eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,. x.x.y 7.y 0 9.x 9.y 0 0.x.y 0 x y x y 6 bulunur. 7. x olmak üzere - x 0 (mod x ) denkliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? 0. Z/ kümesinde toplamı kaçtır? x ve k tam sayı olmak üzere, - x 0 (mod x ) ise, - x 0 xk (k )x tir. Buna göre, x tam sayısı in tam bölenidir. Bu durumda x in alabileceği değerler,,7,, olmak üzere beş tanedir.. Z/7 kümesinde ( x ).(x ) ifadesinin en sade şeklini bulunuz. Z/7 {0,,,,,, 6} dır. Bu kümede işlemler mod 7 ye göre yapılır. Buna göre, ( x ).(x ).x.x 6.x 6 Z/ {0,,,, } tür. Bu kümede işlemler mod e göre yapılır. Buna göre, -. 6 (mod ). (mod ) (mod ) tir. -. 6 (mod ). (mod ) (mod ) dir. O halde (mod ) bulunur.. f(x ) x ve g(x ) x olduğuna göre (f g)() nin Z/ kümesindeki değeri kaçtır? (f g)() f(g()) f() dir. (mod ) olduğundan g)() (f nin Z/ kümesindeki değeri tür.
. 0 x (mod ) olduğuna x sayısı kaçtır? 0 (mod ) tir. Buna göre, 0 (mod ) 0 (mod ) bulunur. 96 97.96 97 x (mod 9) ifadesinde x i bulmalıyız. 97 (mod 9) ve 9 7 (mod 9) olup, 97.96 (mod 9) dur. 97 (mod 9) 97 (mod 9) olduğundan, 009 0. x (mod 6) olduğuna göre x kaçtır? 009 0 009.( )(mod 6) 9 97 9 (mod 9) 96 97 olur. Buna göre, 96 97.96 97 (mod 9) bulunur. 009 0 009.6 (mod 6) 009 0 0 (mod 6) x 0 bulunur. 0. x (mod 7) olduğuna x sayısı kaçtır? 6 (mod 7) 9 (mod 7) 0 (mod 7) olduğuna göre 6 nın ten büyük tüm kuvvetleri mod 7 de 0 a denktir. 0 Buna göre, 0 (mod 7) olup x 0 bulunur.. x 97 ve y 96 olduğuna göre 9 ile bölümünden kalan kaçtır? y x.y x sayısının 6. Bir fabrikada yöneticiler 9 günde bir toplantı yapıyorlar. İlk toplantılarını Çarşamba günü yapmışlardır.. toplantılarını hangi gün yaparlar? Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre yapmalıyız. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra da aynı gündür.. toplantının yapılabilmesi için tane 9 gün geçmelidir..9. (mod 7).9 (mod 7) olduğuna göre istenen gün Çarşamba gününden gün sonrası olan Perşembe günüdür. 7. 0!!! 6!...! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? Bir sayının 0 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamı verir. 0!!! 6!...! 0 70... 7 70... 7 0 70...
6! Sayısı 0 ile tam bölünür. 6! den sonra gelen tüm terimler de 0 ile tam bölünür. Buna göre, 0!!! 6!...! 7 (mod 0) olur. O halde 0!!! 6!...! toplamının birler basamağındaki rakam 7 dir.. sayısının 9 a bölümünde kalan kaçtır? (mod 9) (mod 9) dur. 7.x 7.(mod ) x 7 (mod ) x (mod ) bulunur.. x - 6 (mod 7) olduğuna göre x in alabileceği en küçük iki basamaklı pozitif tam sayı kaçtır? x - 6 (mod 7) x 6 (mod 7) x (mod 7).x. (mod 7) x 0 (mod 7) x 6 (mod 7) 6 (mod 9) olduğundan, 9 6. 9. (mod 9) olur. O halde sayısının 9 ile bölümünden kalan dir. 9. x (mod 6), y (mod 6) ve x y a (mod 6) olduğuna göre a kaçtır? x y (x y).( x y) dir. x (mod 6) ve y (mod 6) ise, x x y ( ).( ) (mod 6) y. (mod 6) bulunur.. ax (mod 7) denkliği x için sağlandığına göre, a kaçtır? ax (mod 7) denkliği x için sağlanıyorsa, a. (mod 7) a (mod 7) a - - (mod 7) a (mod 7) a.. (mod 7) a (mod 7) bulunur.. f( x ) 6x 7 olduğuna göre f( 0) nin Z/9 kümesindeki değeri kaçtır? f( x ) 6x 7 f( x ) 6x 0. x - (mod ) denkliğini sağlayan x değeri kaçtır? x - (mod ) x 6 (mod ) x (mod ) f( x ).(x ) f(a).a f( 0).0 bulunur. Konu Bitmiştir.
6