SEZGİSE BUANIK CHOQUET İNTEGRA OPERATÖRÜ YARDIMI İE OPTİMA ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com ÖZET Bu çalışmada il olara -bulaı ümeler ümesi F X i bir alt ümesi ola sezgisel bulaı ümeler ve daha sora sezgisel bulaı Choquet itegral operatörü taıtılmış, daha sora bu operatör yardımı ile e iyi alteratif seçim problemi icelemiştir. Aahtar Kelimeler: Sezgisel bulaı ümeler, -bulaı ümeler, t-(o)orm, Sezgisel bulaı Choquet itegrali 1. GİRİŞ Sıırlı veya sıırsız zama aralığıda firmaı elde edebileceği masimum ar düzeyii sağlaya zama patiasıı öcede belirlemiş otrol değişelerii ullaara elde edebileceğimiz bilimetedir. Optimal otrol süreci olara adladırıla bu modellemelerde üretim fatör girdileri homoe olara abul edilmetedir. Aca gerçe hayatta gere fizii sermayei, gere istihdam gücüü itelisel alamda çeşitlili göstermesi üretim fosiyouu da bulara bağlı olara zama içide farlılaşmasıa sebep olacatır. Bu otada firma optimal arlılığı ve piyasa içidei reabette avatalı duruma geçebilmesi açısıda zorulu bir seçim süreci ile arşı arşıya alacatır i bu durum firma diami arlılı problemie üretim fatörleri arasıda e eti alteratifi buluma sürecii de elemesi gereliliğii ortaya çıarmatadır. Bu seçim sürecide e iyi alteratifi seçebilme içi üretim sürecide farlılı göstere üretim fatör girdilerii edi aralarıda bir sıralamasıa ihtiyaç vardır. Böyle bir sıralama yapare ullaılaca metotlarda biri Zadeh i (Fuzzy Sets:1965) bulaı üme teorisii geişletilmiş yapısı ola Ataassov u (Ituitioistic Fuzzy Sets: 1986) öermiş olduğu sezgisel bulaı üme (ituitioistic fuzzy set) teorisidir. Bu teori zama içide çeşitli yölerde geliştirilmiştir. Bu çalışmada C. Ta ve X. Che i (Ituitioistic Fuzzy Choquet Itegral Operator for Multi- Criteria Decisio Maig: 2010) taımlamış olduğu sezgisel bulaı Choquet itegral operatörü yardımı ile firmaı masimum ar düzeyie ulaşmasıda başlagıç içi gereli ola farlı üretim fatörlerii edi aralarıda sıralaması gösterilecetir. 2. SEZGİSE BUANIK KÜMEER Karar alma süreçlerie dair aalizler içi alteratifler ümesi olara X,, 1 üzeride taımlı tercih bağıtısı ümeye ait alteratifleri tam sıralamasıı verecetir. C c,, 1 ct C içi : X 0,1 verilsi. Bu üme riterler ümesi ve c c fosiyou, her alteratif ile ilgili riteri sağlama oraıı göstermetedir. Zadeh (Zadeh, 1965) çalışması ile göstermiş olduğu bulaı üme yapısı aalizleri, itelisel yapıları icelisel değerler ile ifade edebilmei yoluu açmıştır. Zadeh i aalizie göre c 0,1 değeri c riterii sağlama oraı ie 1 c 0,1 değeri ilgili riteri sağlamama değeri olara ortaya çımatadır. Ataassov (Ataassov, 1986), Zadeh i aalizii bilgi değerii belirsiz yapıları tam olara avrayamayacağı durumlara geişletmiştir. Bua göre riteri sağlama ve sağlamama ile ilgili tüm bilgi esililer içermetedir. 1
Taım 2.1: X,, 1 alteratifler ümesi verilsi. Her X içi A : X 0,1 ve va : X 0,1 fosiyoları 0 A va 1 şartıı sağlıyorsa, A, A, va X ümesie sezgisel bulaı üme deir. Tüm sezgisel bulaı ümeler ailesii IFS ile gösteririz. A 1A va değeri, alteratifii A ümeside i sezgisel ides değeridir. Yuarıda i taımda bulaı ümeleri sezgisel bulaı ümeleri özel bir alt ümesi olduğu olaylıla görülebilir. Sezgisel ides, X alteratifii bulaılı değeride e adar uza oluduğuu göstere ölçüttür. A, B IFS X ve her elde edilir. Aca X X içi A B ve va vb IFS üzeride tam sıralamaı yapılamayacağı açıtır. X eşitsizlileri sağlaıyorsa A B IFS i yapısıı aalizi olara Gogue i (Gogue, 1967) -bulaı ümeler aalizi olduça yararlıdır. (Wag ve He, 2000) Taım 2.2: X üme ve,, N üzeride sıralamayı tersie çevire ivolütif N döüşümüe sahip tam latis yapısı olsu. X,, ümeler F X ile gösterilir. N fosiyou -bulaı üme yapısı oluşturmatadır. Tüm -bulaı Taım 2.3:,, N, üzeride sıralamayı tersie çevire ivolütif N döüşümüe sahip tam latis yapısı ve her X içi A N va özelliğii sağlaya A, A, va X, -sezgisel bulaı üme olara adladırılır. Tüm -sezgisel bulaı ümeler X IFS ile gösterilir. Taım 2.4:,, N, üzeride sıralamayı tersie çevire ivolütif N döüşümüe sahip tam latis verilsi., : N tam latis yapısı,, mi, y y sağlamatadır. y y y y özelliğii 1 1 2 2 1 2 1 2 Teorem 2.1: IFS X F X ümeleri arasıda izomorfi döüşüm vardır. Böylece X tam latis yapı özelliğie sahiptir. Teorem 2.2: X X edilebilir. Bu durum IFS X i görütüsüü F X IFS ümesi IFS F arasıda taımlı homomorfizma fosiyou 1-1 olaca şeilde elde de alt-latis yapılı olduğuu ortaya oymatadır. Yuarıda verile teorem yardımı ile IFS X üzeride tam sıralama özelliğii gerçeleşmeyeceği, her sezgisel bulaı ümei birbiri ile muayese edilemeyeceği elde edilmetedir. Aca bu özelli gere derece fosiyou (Che ve Ta, 1994) gere esili fosiyou (Hog ve Choi, 2000) yardımı ile sezgisel bulaı değerler üzeride geçerli olmamatadır. Taım 2.4: a 1, y1 ve b 2, y2 sezgisel bulaı değerler verilsi. Sırası ile, y y, y y S : 0,1 0,1 1,1 ve H : 0,1 0,1 0,1 fosiyoları derece ve esili fosiyoları olara adladırılır. S a S b içi a beğer S a S b eşitliği geçerli ise ve H a H b eşitsizliği sağlaıyorsa a b elde edilir. Diğer durumlar içi a b geçerlidir. Üçgesel ormlar diğer değişle t-ormlar ve buları dual yapısı, olasılılı metri uzaylar, bulaı ümeler, ço değerli matı gibi matematiği farlı alalarıda ullaım alaı bulmatadır. Ayı zamada bu işlem yapısı sezgisel Choquet itegralii farlı gösterimi açısıda olduça yararlıdır. 2
Taım 2.5: T : 0,10,1 0,1 t-orm fosiyou aşağıdai özellileri sağlamatadır (Klemet ve diğerleri, 1997) Komütatif : T, y T y, Asosyatif : T,T y, z T, y, z Azalmaya: t ve y z içi T, y T t, z Birim elema: T,1 Taım 2.6: T d : 0,1 0,1 0,1 t-oorm fosiyou aşağıdai özellileri sağlamatadır, Komütatif : T d d, y T y, Asosyatif : T d,t d y, z T d T d, y, z Azalmaya: t ve y z içi T d d, y T t, z Birim elema: T d,0 Uygulamalarda e ço rastlaalar, uasiewicz, çarpım ve miimum t- ormlarıdır. Bularda uasiewicz ve çarpım t-ormları tamame distribütif latis yapısı özelliğie sahip 0,1 aralığıda taımlamatadır. Çalışmada çarpım t-ormu ve buu duali ile çalışılacağıda aşağıdai taımı verelim. Taım 2.6: T : 0,10,1 0,1 t-ormu T, duali T d, p y y şelide taımlaıyorsa çarpımsal t-orm, buu t y y y şelide taımlaıyorsa olasılılı toplamsal (çarpımsal t-oorm) olara adladırılır. Yuarıda taımlaa çarpımsal t-orm ve duali yardımı ile a b, y y şelide gösterile 1 2 1 2 1 2 işlemii sezgisel bulaı üme üzeride apalı olduğu açıtır. Sezgisel bulaı değerler ile çarpımıı da a 1 1 1, y1 şelide taımlayabiliriz. Böylelile X,, edilir. 2007) Taım 2.7: X,, a1 a2 a2 a1 IFS ümesi ve a, y N 1,, a a y 1 1 a a a a 1 11, 1 2 1 2 a a a 1 1 2 1 1 2 1 IFS ümesi elde içi aşağıdai özelliler geçerlidir. (Xu, 3. SEZGİSE BUANIK CHOQUET İNTEGRAİ P N şelide verilsi. N, N N 1,, sıırlı sayıda elemaa sahip üme ve bu üme üzeride taımlı tüm alt ümeler ümesi P iilisi ölçülebilir uzay olara adladırılır. 3
Taım 3.1: N, P N ölçülebilir uzay üzeride taımlı : N sağlarsa bulaı ölçü olara adladırılır, 0 Her S T içi S T mootolu şartı geçerlidir. P döüşümü aşağıdai şartları Bulaı ölçü yapısı üzeride toplamsallı varsayımı ( S T içi S T S T ) elediği tadirde ölçü fosiyouu elde edileceği açıtır. Gerçe hayata dair olayları geelde toplamsallı özelliği şelide yapı sergilememesi ölçü fosiyoları yerie bulaı ölçüleri ullaımıı yaygılaştırmıştır. Öreği S ve T alt ümeleri aralarıda pozitif sieri yaratabiliyorlarsa üst-toplamsal bulaı ölçü fosiyouu S T S T şelide taımlarız. S T içi Taım 3.2: : N P bulaı ölçüsü içi : N fosiyouu ayrı Choquet itegrali,, 1,, şelide taımlaır. Burada : N N i i1 Ch i i permütasyo fosiyou değerlerii arta şeilde sıralamatadır. (de Campos ve Jorge, 1992) i i N Sezgisel bulaı Choquet itegralii taımı ise aşağıdai şeilde gösterilir. Taım 3.3:,, Choquet itegrali : N N 1 1 A A A v X sezgisel bulaı ümesi verilsi. Bu üme üzeride taımlı permütasyo fosiyou değerlerii arta şeilde sıraladığı varsayımı ile, 1,, 2,,, ICh A y y gösterilir. (Ta ve Che, 2010) i i N şelide,,,,,,,, va ve y 1 1 A olaca şeilde a, y değerlerii terarda taımlayıp bu değerler üzeride sırası ile çarpımsal t-orm ve olasılılı toplamsal işlemlerii uygularsa sezgisel bulaı Choquet itegraliii aşağıda verile yei bir gösterimii elde etmiş oluruz.,,,,,,,, 1 1 A, A 1 1 ICh A v 4. ÇOKU KRİTER SEÇİM PROBEMİNE SEZGİSE BUANIK CHOQUET İNTEGRA OPERATÖRÜ YAKAŞIMI,, 1,, 1 t riterler ümesi göz öüe alıdığıda, her alteratife ait riter değerlerii diğer alteratifleri riter değerleri ile muayese edip e iyi alteratifi seçme olara taımlaabilir. Alteratifi riter değer vetörlerii tam sıralı olmaması, alteratif riter değerleri haıda tam esi bilgii olmaması, riterlere atamış ola ağırlıları eşit düzeyde olmaması arşılaşıla e öemli soruda biraçıdır. Aşağıda verile yötem sezgisel bulaı Choquet itegral operatörü Çolu riter seçim problemi X alteratifler ve C c c yardımı ile alteratifler arasıda e iyii seçilmesii sağlaya yötemdir. a i A i, va i ifadesi. alteratifi i. riteri sırası ile sağlama ve sağlamama değerlerii göstermetedir. (Ta ve Che, 2010) 4
Adım 1: M, v, v A 11 A 11 A 1t A 1t, v, v A 1 A 1 A t A t matrisi taımlaır. Adım 2: Her matris sütuu taım 2.4 yardımı ile üçüte büyüğe terar sıralaır. Adım 3: C c c riterler ümesii alt ümeler ümesi ola P C üzeride : P C,, 1 t bulaı ölçü fosiyou taımlaır. Bu ölçü riterlere e orada ağırlı verildiğii, hagi riterleri birbirleri ile egatif/pozitif etileşim içide olduğuu da göstermesi açısıda öemlidir. Adım 4: 1 1 A,,,,,,,,, A 1 1 ICh A v sezgisel bulaı Choquet itegral operatörü Adım2 de taımlı matrisi her satırı içi ayrı ayrı hesaplaır. Adım 5: Adım 4 de elde edile adet sezgisel bulaı Choquet itegral operatör değeri taım 2.4 yardımı ile sıralaara e büyü a, y olduğu soucua varılır. değerii adım 3 de taımlı riter ağırlılarıa göre e iyi alteratif 5. ÇOKU KRİTER SEÇİM TABANI FİRMA ÜRETİMİ Üretim fatörlerii edi aralarıda iteli olara farlılıları üretim süreci içide firma gelirii etileyebilme özelliğie sahiptir. Fizii sermayei yıprama ömrü, yede parçasıı elde edilmesidei güçlü, iş gücüü bilgi, abiliyet ve öğreme performaslarıdai sıırlılı firma arlılığı öüdei ısıtlara verilebilece örelerdedir. Aşağıda ifade edile basit optimal otrol problemi üretim fatörleri arasıdai iteli farlılılarıı firma gelirii e şeilde etileyeceğii göstermetedir. 0,T plalama döemi içi, It : t döemidei sto derecesi, Pt : t döemidei üretim mitarı, St : t döemidei satış mitarı, I hedef : firma sto hedefi, P hedef : firma üretim hedefi, : sto maliyeti, : üretim maliyeti (Sethi ve diğerleri, 2000), : idirgeme oraı, t, t : 0,T aralığıda üretim ve sto patialarıda üretim girdi farlılılarıı yaratacağı değişilileri gösterme içi ullaacağımız süreli fosiyolar. 1 umaralı eşitli veri üretim fatörleride iteli olara daha aşağıda fatör seçimi gerçeleştiğide sto değişimii göstere delemi vermetedir. Fizii sermaye ve işgücü iteliğidei farlılılar üretim hacmiyle birlite satışlarda da belli orada azalmaya sebep olma durumu eşitliği sağ yaıda ifade edilmiştir. P i otrol değişei olduğu açıtır. : I0 I0 ve her t 0, T I t P t t S t t içi S t, 1 t t P t Optimal otrol problemii amaç fosiyou aşağıdai delem ile ifade edilmiştir. Bua göre firma plalama döemi içide sto ve üretim değerlerii mümü olduğu adar hedef değerlere yaı tutmasıı sağlayaca patiayi elde etmeye çalışmatadır. mi Pt0: t0, T T t 2 2 J e I t Ihedef Pt t Phedef dt 2 2 0 2 5
Hamilto fosiyouu aşağıdai şeilde yazabiliriz. 2 2 2 H= P S I Ihedef P Phedef 3 HP P P hedef 0 4 Yuarıdai delemde P değerii yalız bıraırsa P P hedef 5 So eşitliği, (1) umaralı eşitliği içie oyarsa sto değişimii yeide gösterimii elde ederiz. I Phedef S 6 adoit fosiyouda i değişimi aşağıdai şeilde ifade edip, ve değerlerii zama içide sto ivmesie yerleştirirse 9 umaralı iici derecede lieer delem elde edilir. : T 0 7 I I hedef I S 8 I I I S P I S hedef hedef 9 2 Bu delemi öleri reel olduğu 4 0 eşitsizliğide elde edilir. Üretim maliyetleridei artış üretim sürecie başlamada öcei üretim fatör seçimie bağlı olduğuda diferasiyel delemi çözüm ümesi alteratif seçimlerie göre farlılı arz edecetir. Alteratifler arasıda seçile e iyi alteratifi sağlayacağı ve 0,T aralığıda firma gelirii diğer alteratiflere göre arttıracağı açıtır. SONUÇ Üretim fatörlerii iteli olara birbirleride ayrılması üretim döemie ait firma gelirleride de farlılıları ortaya çımasıa sebep olacatır. Firma bu otada optimal arlılı plaıı belirlere il olara üretim fatörleri arasıda e iyi alteratifi seçme zorudadır. Aca itelisel özellileri lasi matematisel yötemler ile modelleebilme soruu bulaı üme yötemlerii ilgili aalizlerde ullaılmasıa yol açmatadır. Bu çalışmada Ataassov u taımlamış olduğu sezgisel bulaı üme avramı tabalı olara itelisel özellileri veri riterlere göre Choquet itegrali yardımı ile asıl sıralaabileceği ve e iyi alteratifi elde edilmeside ullaılaca yötem gösterilmiştir. So bölümde ise basit optimal otrol problemie ilgili souçlar adapte edilere itelisel farlılıları üretim döemie ait firma geliride asıl değişiliğe sebep olabileceği gösterilmiştir. KAYNAKÇA 6
Ataassov, K.T. (1986), Ituitioistic Fuzzy Sets, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.20, (87-96) Che, S. M.; Ta, J. M. (1994), Hadlig Multicriteria Fuzzy Decisio-Maig Problems Based o Vague Set Theory, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.67, (163-172) De Campos,.M.; Jorge, M. (1992), Characterizatio ad Compariso of Sugeo ad Choquet Itegrals, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.52, (61-67) Deschriver, G.; Kerre, E. E. (2007), O the Positio of Ituitioistic Fuzzy Set Theory i the Framewor of Theories Modellig Imprecisio, Iformatio Scieces, Vol. 177, (1860-1866) Gogue, J. (1967), -Fuzzy Sets, Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, Vol.18, (145-174) Hog, D. J.; Choi, C.H. (2000), MulticriteriaFuzzy Decisio-Maig Problems Based o Vogue Set Theory, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.114, (103-113) Klemet, E. P.; Mesiar, R.; Pap, E. (1997), A Characterizatio of the Orderig of Cotiuous t-norms, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.86, (189-195) Mesiar, R.; Mesiarova, A. (2008), Fuzzy Itegrals ad iearity, Iteratioal Joural of Approimate Reasoig, Vol. 2008, (352-358) Sethi, S. P.; Thompso, G.. (2000), Optimal Cotrol Theory, Secod Editio, Kluwer Academic Pub., Ta, C.; Che X. (2010), Ituitioistic Fuzzy Choquet Itegral Operator for Multi-Criterie Decisio Maig, Epert Systems with Applicatios Vol.37, (149-157) Wag, G.; He, Y. (2000), Ituitioistic Fuzzy Sets ad -Fuzzy Sets, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.110, (271-274) Xu, Z. (2007), Itutioistic Preferece Relatios ad Their Applicatios i Group Decisio Maig, Iformatio Scieces, Vol. 177, (2363-2379) Xu, Z.; Yager, R. R. (2006), Some Geometric Aggregatio Operators Based o Ituitioistic Fuzzy Sets, Iteratioal Joural of Geeral Systems, Vol.35, (417-433) 7