İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi ve yötemleri sağlaya bir bilim dalıdır. Sistem-Model Kavramı Gerçek düyadaki bir olayı, süreci veya birimlerde oluşa ve birimleri arasıdaki iç ilişkiler yaıda çevre ile dış ilişkilere göre işleye bir sistemi belli bir alatımıa model deir. Alatım sözle, çizimle, belli bir ölçekte fiziki bezer oluşturmak veya başka bir şekilde yapılmakla birlikte e geçerli alatım, bilimi ortak dili ola matematik ile yapılmaktadır. Model, gerçek düyadaki bir olguu belli bir alatımı olmak üzere, simülasyo, model üzeride "deey yapmaktır". Sistem, belirli girdileri ola ve buları işleyerek bilgi vere elemalar topluluğu olarak taımladığı gibi, birbirleriyle etkileşimli ola elemaları sıralamış bir kümesi olarak da taımlaabilir. Model Model gerçek düyadaki bir olguu veya sistemi yapı ve işleyişii, ilgili olduğu bilim sahasıı (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astroomi, ekoomi, sosyoloji, vb.) kavram ve kaularıa bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek düyadaki bir olguu bir alatımıdır, bir temsilidir. Gerçek düyaı çok karmaşık olması edeiyle modeller, alatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altıda ele almaktadır. Modeller gerçeği kedileri değildirler ve e kadar karmaşık görüseler de gerçeği bir eksik alatımıdırlar. Kısaca model deile şey; model kurucuu gerçeği "alayışıı" bir ürüüdür. Modeller değişik biçimlerde sııfladırılmakla birlikte e geçerli alatım biçimi matematiksel modellerdir. Matematiksel modeller; *Stokastik (rasgele değişke içere) ve determiistik (rasgele değişke içermeye) matematiksel modeller, *Doğrusal ve doğrusal olmaya modeller, *Sürekli (diferesiyel deklem,...) ve kesikli (fark deklemi,...) modeller
olmak üzere sııfladırılabilir. Matematiksel modeller alatım gücü e fazla ve e geçerli ola modellerdir. Geel olarak bir matematiksel model aşağıdaki gibi ifade edilir. GİRDİ sayısal veri başlagıç değer Matematiksel Model ÇIKTI sayısal souç çözüm Gerçek düyayı alama ve alatmada, yai modellemede isa aklıı e güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik özellikle, rasgelelik içere olguları modellemeside ö plaa çıkmaktadır. Herhagi bir deeysel bilimi ilgi sahasıa gire olguları modellemede düşüce tarzı aşağıdaki gibidir. Gerçek Düya Olgu veri data Soyut Düya Model Ölçme souç çıkarma Matematik İstatistik Betimsel İstatistik Verileri toplaması ve bu verilerde souç çıkarılması bir istatistiksel araştırmaı e öemli kısımlarıı oluşturmaktadır. Bu veriler, bir deey yoluyla elde edilebileceği gibi aket ve gözlem yoluyla da elde edilebilir. Güümüz tekolojisi sayeside veri toplamak ve bu verileri saklamak kolay hale gelmiştir. İstatistiksel çalışmada amaç, toplaa çok büyük miktardaki veride bilgi çıkarmaktır. Betimsel istatistikler, bir çalışmadaki verileri temel özelliklerii alatmak, tarif etmek, tasvir etmek ve ifade etmek içi kullaıla yötemleri içerir. Betimsel istatistik yötemleri toplaa bu verileri, basit-kullaışlı ve alaşılabilir bir biçimde özetlemek amacıyla, çeşitli grafik ve çizelgeler kullaırlar. Bu istatistikleri her biri veriyi
sadece betimler. Eldeki verileri altıda yata süreçleri ortaya çıkarılması amacıı içermezler. Tüm bu sıırlılıklarıa rağme kou ile ilgili kimseleri karşılaştırma yapabilmesie olaak taırlar. Çıkarımsal İstatistik Çıkarımsal istatistikle, araştırma içi toplaa verileri içide gizli kalmış alamları ortaya çıkarılması amaçlaır. Eldeki verilerde elde edile bilgiler, geleceğe ilişki kestirimlerde bulumak, souç çıkarmak, tahmi yapmak ve karar vermek içi kullaılır. Burada asıl soru, bu verilerde elde edile souçlara dayaarak geel geçer geellemei e derecede yapılabileceğidir. VERİLERİN DÜZENLENMESİ VE ÖZETLENMESİ Rasgelelik içere olgularda elde edile ölçüm (gözlem) değerlerie istatistiksel veri veya kısaca veri deildiği belirtilmişti. Veriler, deeyler soucu veya doğal koşullarda olguları gözlemlemekle elde edilir. Rasgelelik söz kousu olduğuda, ölçme soucuda çıka sayılar da rasgele olacaktır. Bu rasgele sayılar, bir rasgele değişkei aldığı değer olarak düşüülmektedir. Rasgele değişkeleri bir dağılımı vardır. Bu dağılımları biçimlerii görülebilmesi içi, ölçümlerde elde edile verileri alaşılabilir bir şekilde suulmaları, betimlemeleri gerekmektedir. Gözlem sayısı çok olduğuda bu gözlemler çeşitli çizelgeler ve grafiklerle suulur. Bu şekilde veriler düzeleir ve özetleir. Sıklık Çizelgeleri Histogram Birikimli Sıklık Grafiği Gövde Yaprak Grafiği Kutu Grafiği Saçılım (Serpme) Grafiği Değişim Geişliği (R): Öreklemdeki e büyük değer ile e küçük değer arasıdaki farka değişim geişliği deir. R = E büyük gözlem değeri E küçük gözlem değeri
birimlik bir öreklemi sıklık çizelgesii oluşturabilmek içi ilk olarak değişim geişliği R hesaplamalıdır. Daha sora, bu R, eşit uzuluktaki aralıklara bölüerek sııflar elde edilir. Sııf Aralığı: birimlik bir rasgele öreklemi değişim geişliği R i bölüdüğü aralıklara sııf aralıkları deir. Sııf aralığı c ile gösterilmek üzere; ile hesaplaır. Değişim geişliği (R) c = İsteile sııf sayısı (k) Alt Sıır (As): Bir sııf aralığıı e küçük değeridir. Üst Sıır (Üs): Bir sııf aralığıı e büyük değeridir. Sııf Ortası ( S i ): Bir sııf aralığıı merkezie ya da orta oktasıa sııf ortası deir. Bir sıklık çizelgeside k tae sııf aralığı varsa sııf ortaları S 1, S 2,, S k ile gösterilir. Sıklık (Frekas-f i ): Bir sııf aralığıa düşe veri sayısıa sıklık (frekas) deir. Bir sıklık çizelgeside k tae sııf aralığı varsa sııf sıklıkları f 1, f 2,, f k ile gösterilir. Sıklıkları toplamı, toplam veri sayısıı verir, yai, i=1 f i = dir. k Göreli Sıklık (Frekas Yüzdesi-p i ): Her sııfa düşe sııf sıklıklarıı toplam sıklığa oraıdır. Bir sıklık çizelgeside k tae sııf aralığı varsa sııflar içi göreli sıklıklar p 1, p 2,, p k ile gösterilir ve p i = f i, i = 1,2,, k olmak üzere p i=1 i = 1 dir. k Histogram Histogram, koordiat sistemide, tabaları x eksei üzeride sıklık çizelgesi tablosudaki her bir sııfı sııf aralığı büyüklüğüde, yükseklikleri buluduğu sııfı sıklıkları ile oratılı olarak ya yaa çizile dikdörtgelerde oluşur. Kutu grafiği Bir veri grubuda elde edile e küçük değer, e büyük değer, birici çeyreklik (Q 1 ile gösterilir, verileri %25 i bu değeri altıda değer alır), üçücü çeyreklik (Q 3 ile gösterilir, verileri %25 i bu değeri üstüde değer alır) ve ortaca (Q 2 ile gösterilir, verileri %50 si bu değeri altıda, %50 si bu değeri üstüde değer alır) değerlerii içere aşağıdaki gibi grafiktir.
E küçük değer Q 1 (1.çeyreklik) Q 2 (Ortaca) Q 3 (3.çeyreklik) E büyük değer KONUM ÖLÇÜLERİ Aritmetik Ortalama x = i=1 x i Geometrik Ortalama G = x 1. x 2 x = x i i=1 Harmoik Ortalama H = 1 x + 1 1 x + + 1 = 1 2 x i=1 x i Tepe Değeri (Mod) Verile bir veri grubuda e çok tekrar ede değer tepe değer (mod) olarak adladırılır. Ortaca (Medya) Gözlem değerleri, küçükte büyüğe göre sıraladığıda, tam ortaya düşe değer ortaca değer olarak adladırılır.
Çeyreklikler Gözlemler küçükte büyüğe doğru sıraladığıda gözlem değerlerii dört eşit parçaya böle değerlere çeyreklikler deir. Birici çeyreklik (Q 1 ), gözlemler küçükte büyüğe sıraladığıda gözlemleri %25 ii soluda, %75 ii sağıda bıraka değerdir. İkici çeyreklik (Q 2 ), gözlemleri ortacasıa dek gelmektedir. Üçücü çeyrek değer (Q 3 ), gözlemler küçükte büyüğe sıraladığıda gözlemleri %75 ii soluda, %25 ii sağıda bıraka değerdir. Yai sıralı gözlemlerde, ortacada küçük ola değerleri ortacası birici çeyreklik, ortacada büyük ola gözlemleri ortacası üçücü çeyrekliktir. Değişim Aralığı R = E büyük değer E küçük değer Varyas s 2 = i=1 (x i x ) 2 1 Stadart Sapma s = s 2 = i=1 (x i x ) 2 1 Stadart Hata s x = s Çeyrekler Arası Sapma Q = Q 3 Q 1 2 Mutlak Sapma ms = i=1 x i x
Değişim Katsayısı DK = s x 100 Eğer bir dağılımda, aritmetik ortalama, tepe değer ve ortaca eşitse dağılımı simetrik olduğu söyleir. Aritmetik ortalama ortacada küçük o da tepe değerde küçükse dağılım sola çarpıktır deir. Tepe değer ortacada küçük o da aritmetik ortalamada küçükse dağılım sağa çarpıktır deir. OLASILIK Rasgele Souçlu Deey: Souçlarıı kümesi belli ola, acak hagi soucu ortaya çıkacağı öcede söyleemeye bir işleme Rasgele Souçlu Deey veya kısaca Deey deir. Örek Uzay: Bir deeyi tüm olabilir souçlarıı kümesie örek uzay deir. Geellikle S harfi ile gösterilir. Örek uzay, üzeride çalışıla evresel kümeye dek gelmektedir. Olay: Örek uzayı bir altkümesie olay deir. Yalız bir öğede meydaa gele alt kümeye basit (ilkel), birde fazla öğede meydaa gele alt kümeye birleşik olay deir. Ayrık Olay: İki olay ayı ada meydaa gelemiyorsa bu olaylara ayrık olaylar deir. Kesişimleri boş küme ola olaylara ayrık olaylar deir. Bir Olayı Olasılığı Olasılık; taım kümesi S örek uzayı tüm alt kümelerii kümesi ve görütü kümesi [0,1] arasıdaki reel sayılar ola bir foksiyodur. Olasılık foksiyou, örek uzayı ile olasılık değerleri arasıda foksiyo tipide bir ilişki kurar ve her olaya, o olasılığı belirte 0 ile 1 arasıda bir sayı karşılık getirir. Bir deey yapıldığıda, tüm olaaklı souçları solu S örek uzayı oluşturulabilir. Örek uzayı S = {D 1,, D } ve örek uzayı tüm alt kümelerii kümesi K olmak üzere, bir A olayıı olasılığı P: K R A P(A)
P(A) = (A) (S) = A ı elema sayısı S i elema sayısı olarak verilir. Bu taım olasılığı klasik taımıdır. Bu durumda, örek uzayı her bir elemaı içi P(D 1 ) = = P(D ) = 1 olduğu kabul edilmiş olur. Klasik taım, örek uzayıı solu sayıda birimde oluşması ve her olayı eş olasılıkla ortaya çıkması karşılığıda kullaılabilir. Gerçek yaşamda eş olasılıklı olaylarla adir karşılaşılır. Olasılık Aksiyomları Bir deeyi örek uzayı S olsu. Örek uzayı tüm alt kümelerii kümesi K olsu. Her bir A olayı içi, P(A) gerçek değerli foksiyou A olayıı ortaya çıkma olasılığı olarak taımlaır ve aşağıdaki özellikleri sağlar. Yai aşağıdaki özellikleri sağlaya P(A) foksiyoua olasılık foksiyou deir. P(A) değerie de A olayıı olasılığı deir. P: K R A P(A) olmak üzere aşağıdaki özellikleri sağlaya foksiyoa olasılık foksiyou deir. Bu özellikler olasılık aksiyomları (Kolmogorov Aksiyomları) olarak biliir. A.1) Bütü A olayları içi P(A) 0 dır. Yai olasılık pozitif veya sıfır ola, egatif değerler almaya bir sayıdır. A.2) P(S) = 1. Kesi olayı olasılığı 1 e eşittir. A.3) Sayılabilir sayıda ayı ada imkâsız olayı birleşimii olasılığı, olasılıkları toplamıa eşittir. A 1, A 2,, A olaylar olsu. A i A j = i j i, j = 1,2,, ise olacaktır. P( i=1 A i ) = i=1 P(A i ) A i A j = i j i, j = 1,2, ise P( i=1 A i ) = i=1 P(A i ) S ve P(A) ya birlikte olasılık uzayı adı verilir. S solu, sayılabilir solu ve sosuz elemalı olabilir. Teorem: 1. P( ) = 0
2. Bir olayı tümleyeii olasılığı P(A ) = 1 P(A) şeklidedir. 3. Bir olasılık uzayıda A ve B kümeleri arasıdaki farkı olasılığı, yai A B = A B i olasılığı P(A B) = P(A B ) = P(A) P(A B) şeklidedir. 4. Bir olasılık uzayıda A ve B gibi iki olayı birleşimii, A B olasılığı P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) şeklidedir. 5. Bir alt olayı olasılığı A ve B ayı olasılık uzayıda taımlamış olaylar ve A B olsu, bu durumda, P(A) P(B) şeklidedir. 6. Bir olasılık uzayıda taımlamış tüm A olayları içi, 0 P(A) 1 şeklidedir. Taım: S solu bir örek uzay olsu, S = {a 1, a 2,, a } alalım. Solu olasılık uzayı her bir a i S içi a i i olasılığı dee p i reel sayısı karşılık getirilerek buluur. Öyle ki i. Her p i 0, i = 1,2, ii. i=1 p i = 1 olacaktır. Taım: S sayılabilir sosuzlukta bir örek uzay olsu, S = {a 1, a 2,, a, } alalım. Solu uzaydaki gibi, her bir a i S içi a i i olasılığı dee p i reel sayısı karşılık getirilerek buluur. Öyle ki i. Her p i 0, i = 1,2, ii. i=1 p i = 1 olacaktır.
Çarpım Kuralı Bir deeyde, ilk işlem N 1 yolda yapılabiliyorsa ve işlem bu yolları herhagi biride yapıldıkta sora, ikici işlem N 2 yolda yapılabilirse, bu iki işlem birlikte N 1. N 2 yolda yapılabilir (bua çarpım kuralı deir). Neseleri kümesii bir kısmıı ya da tümüü belli bir sıralamasıa veya düzelemesie permütasyo deir. esei bir grubuda bir defada alıa r esei bir sıralamasıa, bu esei permütasyou deir. Böyle permütasyoları toplam sayısı r olmak üzere P(, r) gösterilir ve P(, r) =! ( r)! ile hesaplaır. Bu, bir defada r taesi alıarak ve yielemede (kullaıla yie kullaılmayacak) farklı esei permütasyolarıı sayısıdır. ile Kombiasyo Taım: Bir defada r taesi alıa farklı esei bir kombiasyou, düzeleme sırasıa bakılmaksızı esede r taesii bir seçimidir. Bir defada r taesi alıa esei kombiasyolarıı sayısı C(, r) ile veya ( ) gösterilir ve r C(, r) = ( r ) =! r! ( r)! şeklide hesaplaır. r esei her bir kombiasyou r! yolda düzeleebileceğide, yai ( r ) kombiasyolarıı her biri içi r! permütasyo olduğuda permütasyoları toplam sayısı ( ). r! dir. Bu edele, aşağıdaki eşitlik elde edilir. r ( r ). r! = P(, r) =! ( r)! Ayrıca, bir defada r taesi alıa farklı esei kombiasyolarıı sayısı, bir defada r taesi alıa farklı esei kombiasyolarıı sayısıı ayıdır. ( r ) =! r! ( r)! = ( r )
Koşullu olasılık, bir olayı başka bir olayı meydaa gelmesi koşulu altıda ortaya çıkması olasılığıdır. B olayı bilidiğide A olayıı ortaya çıkması olasılığı, P(A B) = P(A B), P(B) 0 P(B) ile gösterilir ve B olayı verilmişke A olayıı koşullu olasılığı olarak adladırılır. Bezer şekilde, A olayı verilmişke B olayıı koşullu olasılığı, olarak taımlaır. Ayrıca, ve olarak yazılabilir. P(B A) = P(A B), P(A) 0 P(A) P(A B) = P(A B). P(B) P(A B) = P(B A). P(A) Olasılığı Sıklık Taımı Deeme sayısı N ile, A olayıı N deemede gerçekleşme sayısı ile gösterilsi. N sayısı giderek artarke /N oraı P(A) gibi belirli bir değere yakısıyorsa, daha matematiksel bir ifadeyle ε isteildiği kadar küçük olabile pozitif bir sayı olmak üzere, N > M(ε) ike P(A) < ε N olmasıı sağlayacak bir M(ε) sayısı buluabiliyorsa lim N = P(A) yazılır ve P(A), A olayıı gerçekleşmesii olasılığı olarak alıır.