Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına dayanmaktadır. Euler in 1748 yıllında tamsayıların parçalanması problemini araştırması sırasında geliştirilmiş ve Laplace sayesinde 18.yüzyılda sistematik olarak kullanılmaya başlanmıştır. Hatta Üretici Fonksiyonlar ismini Laplace ın en önemli çalışmalarından biri olan Olasılığın Analitik teorisi adlı eserine borçludur. Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Sonsuz seri toplamında x değişkeninin katsayısı ile ilgili olduğumuz için serinin yakınsaklığını x değişkeninin uygun değerde olmasını kabul ederek sağlayabiliriz. Genel Binom Açılımı: ve için İfadesine genel binom katsayısı denir. için ve İfadesine ise genel binom açılımı denir. Genelleştirilmiş binom açılımından, 1. 2. Sonuçlarını elde edebiliriz. Daha genel bir ifade ile, için, olduğunu söyleyebiliriz.
Alıştırmalar: 1. için açılımındaki teriminin katsayısını bulunuz. Bulunur. Bu ifadenin açılımında teriminin katsayısı olur. Örneğin teriminin katsayısı olur. 2. açılımında li terimin katsayısı kaçtır? Buradan teriminin katsayısı,, olarak bulunur. 3. Altı yüzlü normal bir zar üç kere atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 14 olduğu kaç durum vardır. üç zarın atılışından gelebilecek r-toplamının sayısı olsun. Bir zar atıldığında 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarından birisi gelebileceği için dizisi için üretken fonksiyonumuzu şeklinde tanımlayabiliriz. bulunur. İstenen olduğundan teriminin katsayısı bize istediğimiz sonucu verecektir.
Bir parantez açacak olursak. Bu verilen örnekte içerme dışarıma prensibi ile paylaştırma yaparsak sonuca belki daha rahat ulaşabiliriz. Fakat zar sayımızın daha fazla ve toplamın daha yüksek olabileceği sorularda üretken fonksiyonlar daha sistematik ve daha rahat saymamıza yardımcı olacaktır. 4. İki zardan birinci zarın üç yüzünde iki sayısı, iki yüzünde üç sayısı ve bir yüzünde beş sayısı bulunmaktadır. İkinci zarın bir yüzünde bir, dört yüzünde dört ve bir yüzünde de altı sayısı bulunmaktadır. Bu iki zar atıldığında zarların üst yüzeylerine gelen sayıların toplamlarının altıdan büyük ondan küçük olma olasılığı nedir? Birinci zar için üretken fonksiyonu şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu zarları atalım, ve ikinci zar için üretken fonksiyonu Sonucunu elde ederiz. terimlerinin katsayılarının toplamı bizden istenen durumların sayısını verir. Böylelikle bu iki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının altıdan büyük ondan küçük olma olasılığı olarak bulunur. 5., olmak üzere denkleminin sayısının çift ve c sayısının tek olduğu kaç tane tamsayı çözüm dörtlüsü vardır. Sırası ile bilinmeyenleri için üretken fonksiyonları yazacak olursak, için, b için, c için ve d için, olur. Şimdi bu fonksiyonları çarpalım ve bizden istenen denklemin çözüm sayıları için teriminin katsayısını bulalım. Bu çarpımın sonucunda terimleri çarpar toplarsak li terimin katsayısı ile ilgili olduğumuz için bu terimi elde edebileceğimiz buluruz. Bu da bize denklemin 20 tane çözümünün olduğunu verir. 6. Dört arkadaş lunaparkta sıra ile birer kez, 1 veya 2 liranın kazanıldığı veya kaybedildiği veya ne kazanılıp ne de kaybedilmediği beş durumu olan bir oyun oynuyorlar. Sırayla oynanan bu dört oyunun sonunda dört arkadaşın toplamda kaybetmedikleri ve kazanmadıkları kaç durum vardır? Bu oyuna ait üretken fonksiyonu üretken fonksiyonumuz şeklinde yazalım. Şimdi dört arkadaşın bu oyunu oynadığını düşünelim,
fonksiyonu olur. Bu ifadenin açılımında sabit terim bizden istenen durum sayısını verecektir. teriminin katsayısı bize istediğimiz sonucu verir. 7. 6 erkek ve 8 kızdan oluşan bir öğrenci gurubu pikniğe giderler. Her erkek öğrenci gezide ya iki çiçek toplar veya hiç çiçek toplamaz. Her kız öğrenci de ya üç çiçek toplar ya da hiç çiçek toplamaz. Öğrencilerin toplamda 20 çiçek topladıkları kaç farklı durum vardır. Erkek öğrenciler için üretken fonksiyonu ve kız öğrenciler için üretken fonksiyonu şeklinde tanımlayalım. Tüm öğrencilerin çiçek toplama durumlarının sayılarını veren üretken fonksiyonu elde ederiz. Bu fonksiyonun açılımında nin katsayısını, teriminin katsayısı bize istenen durum sayısını verecektir. olarak buluruz. 8. Birbirleriyle aynı olan 10 tane topun, hiçbir çocuk 4 toptan daha fazla almayacak şekilde, dört çocuğa kaç farklı şekilde verilebileceğini bulunuz. Bu paylaştırmanın üretken fonksiyonu, olduğundan teriminin katsayısı istenen durum sayısıdır. Tanım: (2. Tip Üstel Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 0, a 1, a 2,, a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 2. Tip üretken fonksiyonu Olarak tanımlanır. Bu fonksiyona dizinin Üstel üretken fonksiyonu da denir.
Örnekler: 1. dizisinin üstel üretken fonksiyonu 2., p tane özdeş nesnenin r-li sıralamalarının sayısı ise, dizisinin üstel üretken fonksiyonu için ve için olduğundan 3.,p tane özdeş kırmızı nesnenin, q tane özdeş mavi nesnenin r-li sıralamalarının sayısı ise, dizisinin üstel üretken fonksiyonu Alıştırmalar: 1. PAPAYA kelimesindeki harflerden dört tanesi kullanılarak anlamlı veya anlamsız kaç değişik kelime oluşturulur? PAPAYA kelimesini oluşturan harfler kümesi olsun. dizisi de bu harflerin kullanılmasından oluşan r-lı sıralanışların sayısını veren dizi olsun. A harfi için üstel üretken fonksiyon P harfi için üstel üretken fonksiyon Y harfi için üstel üretken fonksiyon Olacaktır. dizisi için üstel üretken fonksiyon olur. Bizden istenen, bu da teriminin katsayısıdır ve, olarak bulunur.
2., 2 ve 3 rakamlarının en az birer kez kullanıldığı 0, 1, 2, 3 rakamlarından oluşan r-li sıralanışların sayısı olsun. Her için değerini bulunuz. için üstel üretken fonksiyon şeklinde tanımlanır. olduğundan, olarak bulunur. Şimdi daha sonraki alıştırmalarda kullanacağımız iki eşitlik yazalım. eşitliklerinden, elde edilir. 3. 0, 1 ve 2 rakamlarının kullanıldığı, tek sayıda 0 dan, çift sayıda 1 lerden oluşan r uzunluğundaki dizilerin sayısını bulunuz., r uzunluğunda olan istenen özelliklere sahip dizilerin sayısı olsun. sayısı için üstel üretken fonksiyon, Buradan, elde edilir.
Yazının başında, aynı nesnelerin farklı kutulara kaç farklı şekilde dağıtılabileceğine ait soruların 1.tip üretken fonksiyon kullanılarak nasıl çözülebileceğine ait bir alıştırma yapmıştık. Şimdi ise farklı nesnelerin farklı kutulara kaç farklı şekilde dağıtılacağına ait soruların üstel üretken fonksiyon kullanılarak nasıl çözülebileceğinden bahsedeceğiz. Örnek: r tane farklı nesne 4 farklı kutuya, birinci ve ikinci kutular çift sayıda, üçüncü kutu tek sayıda nesne alacak şekilde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir. İlk olarak üstel üretken fonksiyonu tanımlamadan önce, sorunun daha önce çözdüğümüz dizi sorularına nasıl benzediğini gösterelim. Örneğin nesne sayımız 7 olsun, bu 7 uzunluğunda bir dizi oluşturacağımızı belirtir. Kutu sayımız dört olduğu için bu dizide 1, 2, 3, 4 rakamlarının kullanılacağını söyleyebiliriz. Bir örnekle istenen durumda bir paylaştırmayı bir dizi ile gösterelim. Örneğin 2312144 dizisi 1.nesnenin 2. kutuda, 2.nesnenin 3. kutuda, 3.nesnenin 1. kutuda, 4.nesnenin 2.kutuda, 5.nesnenin 1. kutuda, 6. ve 7. nesnelerin 4. kutuda olduğunu söyler. Böylelikle istenen şartların sağlandığı paylaşma sayısı olmak üzere, dizisinin üstel üretken fonksiyonu, olur ki buradan, bulunur. Kaynakça [1] Chen Chuan-Chong, Koh Khee-Meng, Principles and Techniques in Combinatorics, Worl Scientific 1992 [2] David Patrick, Intermediate Counting & Probability, the Art of Problem Solving,2007