T.C. HARRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. HARRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK İSANS TEZİ ÇATAK İÇEREN DEĞİŞKEN KESİTİ KİRİŞERDE TİTREŞİM PROBEMİNİN SONU EEMANAR METODUYA MODEENMESİ Mehmet HASKU MAKİNE MÜHENDİSİĞİ ANABİİM DAI ŞANIURFA

İÇİNDEKİER Sayfa No ÖZ... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜRER....... iii ŞEKİER DİZİNİ.... iv ÇİZEGEER DİZİNİ...... vii SİMGEER DİZİNİ...... viii. GİRİŞ...... ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR....... MATERYA ve YÖNTEM... 5.. Sonlu Elemanlar Yöntemi..... 5... Eleman denlemlerinin elde edilmesi... 7... Sonlu elemanlar yönteminde ullanılan elemanlar...... 8... İnterpolasyon fonsiyonlarının seçimi.. 8..4. Eleman rijitli matrisinin oluşturulması... 9..5. Sistem rijitli matrisinin oluşturulması. 9..6. Sisteme eti eden uvvetlerin bulunması..... 9..7. Sınır şartlarının belirlenmesi....... Kirişlerde Titreşim Analizi......... Değişen esitli bir irişin titreşim analizi..... Kiriş elemanı için rijitli ve ütle matrislerinin elde edilmesi...... Değişen esitli irişler için rijitli matrisi........4. Basit eğilme hali için rijitli matrisi........5. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş için rijitli matrisi.....6. Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi.. 6..7. Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi...... 9..8. Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi.......9. Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi... 4... Kalınlığı ve genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi.. 7... Kalınlığı ve genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi... 8.. Çatla İçeren bir irişin titreşim analizi..... 4... Çatlatan dolayı meydana gelen direngenliğin bulunması....... 44... Gerilme yığılma fatörü 44... Gerilme yığılma fatörünün analiti ifadesi. 46..4. Gerilme yığılma fatörü ve şeil değiştirme enerjisi salıverinim oranı arasındai bağıntı. 48..5. Esneli (ompliyans) atsayıları ve matrisi.... 48..6. Didörtgen esitli bir iriş eleman için flesibilite atsayılarının bulunması.. 49..7. Esneli ve rijitli matrislerinin oluşturulması.... 5..8. Çatla içeren değişen esitli bir iriş eleman için titreşim analizi.. 5 4. ARAŞTIRMA BUGUARI ve TARTIŞMA.. 5 4.. Bir Ucu Sabit Diğer Ucu Kayıcı Kiriş. 5 4... Problemin sonlu elemanlar yöntemiyle çözümü... 5 4... Önerilen çözüm metodunun doğruluğunun araştırılması... 59

4.. Bir Ucu Sabit Diğer Ucu Kayıcı Kalınlığı Doğrusal Değişen Kiriş. 6 4... Bulgular.. 69 4.. Bir Ucu Sabit Diğer Ucu Kayıcı Kalınlığı ve Genişliği Doğrusal Değişen Kiriş 7 4... Bulgular.. 75 4.4. Bir Ucu Anastre Diğer Ucu Serbest Kalınlığı Doğrusal Değişen Kiriş.... 75 4.4.. Bulgular. 8 4.5. Bir Ucu Anastre Diğer Ucu Serbest Kalınlığı ve Genişliği Doğrusal Değişen Kiriş 8 4.5.. Bulgular. 9 5. SONUÇAR ve ÖNERİER. 9 5.. Sonuçlar.. 9 5.. Öneriler... 9 KAYNAKAR 9 ÖZGEÇMİŞ 96 ÖZET... 97 SUMMARY 98

ÖZ Yüse isans Tezi ÇATAK İÇEREN DEĞİŞKEN KESİTİ KİRİŞERDE TİTREŞİM PROBEMİNİN SONU EEMANAR METODUYA MODEENMESİ Mehmet HASKU Harran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Maine Mühendisliği Anabilim dalı Danışman : Doç. Dr. Murat KISA Yıl:, Sayfa: 98 Bu çalışmada çatla içeren değişen esitli irişlere ait titreşim analizi yapılmıştır. Kirişin dinami arateristilerini (doğal freans ve vetör) hesaplama için sonlu elemanlar metodu ullanılara bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Kirişin çatla bölgesi, çatlatan dolayı meydana gelen yerel esneliğe bağlı olara ütlesiz bir yay şelinde modellenmiştir. Yayın rijitliği, ırılma meaniği teorileri ullanılara hesaplanan gerilme yığılma fatörü ve şeil değiştirme enerjisi salıverinim oranlarına ait esneli matrisinin tersi alınara türetilmiştir. Önerilen metodu açılama, çatla derinliği ve yerinin doğal freans ve doğal vetör üzerindei etilerini araştırma için çeşitli örneler verilmiştir. Bu çalışma ile elde edilen sonuçlar ile literatürde bulunan sonuçlar arşılaştırılara sonuçlar arasında iyi bir uyum olduğu görülmüştür. Bu da önerilen metodun basit ve güvenilir olduğunu göstermiştir. ANAHTAR KEİMEER: Değişen esitli iriş, titreşim, sonlu elemanlar metodu, çatla

ŞEKİER DİZİNİ Sayfa No Şeil.. Bazı sonlu eleman tipleri... 6 Şeil.. Değişen esitli bir iriş elemandai moment ve uvvetlerin gösterimi.. Şeil.. Değişen esitli iriş elemana ait serbestli dereceleri. Şeil.4. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişe uygulanan uvvet ve momentler Şeil.5. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişte serbestli dereceleri.. Şeil.6. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri. 5 Şeil.7. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri.. 7 Şeil.8. Kirişe ait serbest cisim diyagramı..... Şeil.9. Esenel yüe maruz değişen esitli bir irişte yer değiştirmeler ile ilgili yüler Şeil.. Sağ tarafı sabit tutulup sol tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş... Şeil.. Sol tarafı sabit tutulup sağ tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş... 4 Şeil.. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş... 5 Şeil.. Genişliği doğrusal değişen değişen esitli iriş.. 6 Şeil.4. Genişliği doğrusal değişen irişin üstten görünümü... 7 Şeil.5. Kalınlığı doğrusal değişen değişen esitli iriş. Şeil.6. Kalınlığı ve genişliği doğrusal olara değişen değişen esitli iriş.. 7 Şeil.7. Temel deformasyon modları 45 Şeil.8. Polar oordinat sisteminde çatla ucundai gerilmeler...... 45 Şeil.9. Çatla içeren değişen esitli iriş ve yüleme durumu. 47 Şeil 4.. Te çatla içeren bir ucu sabit diğer ucu ayıcı iriş.... 5 Şeil 4.. Değişen esitli bir irişin SEM modeli.. 5 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı olan irişin çatlalı doğal freansının çatlasız doğal freansına olan oranı... 58 Şeil 4.4. Te çatlalı bir ucu sabit diğer ucu ayıcı değişen esitli iriş... 6 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.6. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.7. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.. 6 Şeil 4.8. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.9. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 64 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 65 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 65 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 66 Şeil 4.4. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla oranı a/b=.5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal

vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi... 66 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi... 67 Şeil 4.6. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 67 Şeil 4.7. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla yeri c/=.5 olan iriş için. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.... 68 Şeil 4.8. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla yeri c/=.5 olan iriş için. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.... 68 Şeil 4.9. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla yeri c/=.5 olan iriş için. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi... 69 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 7 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 7 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.. 7 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 7 Şeil 4.4. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 7 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 7 Şeil 4.6. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı, alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 7 Şeil 4.7. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı, alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi...... 74 Şeil 4.8. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı, alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 74 Şeil 4.9. Te çatlalı bir ucu anastre diğer ucu serbest değişen esitli iriş... 76 Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.... 76 Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi... 77 Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest, alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.... 77 Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen,, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.. 78 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8,

çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi....... 78 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen,, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 79 Şeil 4.6. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 79 Şeil 4.7. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 8 Şeil 4.8. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 8 Şeil 4.9. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi... 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.... 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.. 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.. 84 Şeil 4.44. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi 84 Şeil 4.45. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.. 85 Şeil 4.46. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.... 85 Şeil 4.47. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.... 86 Şeil 4.48. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 86 Şeil 4.49. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 87 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 87 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 88 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 88 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 89

ÇİZEGEER DİZİNİ Sayfa No Çizelge 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı irişe ait sürelili tablosu...... 55 Çizelge 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı çatla içeren irişe ait sürelili tablosu.... 57 Çizelge 4.. Çatlasız ve çatlalı irişe ait doğal freans değerleri... 58 Çizelge 4.4. Kalınlığı lineer değişen irişin serbest titreşim analizinde literatür ve önerilen programla elde edilen sonuçların arşılaştırılması 59 Çizelge 4.5. Kalınlığı ve genişliği lineer değişen irişin serbest titreşim analizinde literatür ve önerilen programla elde edilen sonuçların arşılaştırılması. 6

SİMGEER DİZİNİ M C K f(t) w P Q u v M() E I z () A i,, B i D i M A() N [] A [] B [m] A [m] B f t i [K] cr [K] wcr J K a V Kütle Matrisi Sönüm Katsayısı Rijitli Matrisi Yer Değiştirme Uygulanan Kuvvet Doğal Freans Doğal Vetör Kirişin Boyu Esenel Kuvvet Kesme Kuvvet Eseni Doğrultusundai Yer Değiştirmeler y Eseni Doğrultusundai Yer Değiştirmeler z Esenine Göre Dönme Eğilme Momenti Elastisite Modülü Atalet Momenti Flesibilite Matrisi Determinant Toplam Moment Gerilme Birim Şeil Değiştirme Mesafesindei Kesit Alanı Yoğunlu Şeil Fonsiyonu Matrisi Esenel Rijitli Matrisi Eğilme Rijitli Matrisi Esenel Kütle Matrisi Eğilme Kütle Matrisi Şeil Fonsiyonu Kirişin Kalınlığı Çatlatan dolayı meydana gelen rijitli matrisi Çatla içeren yapının rijitli matrisi Şeil değiştirme enerjisi salıverinim oranı Gerilme şiddet fatörü Çatla derinliği Kesme uvveti Poison oranı

. GİRİŞ Mehmet HASKU. GİRİŞ Günümüz mühendisli uygulamalarında özellile uzay, inşaat ve maine sanayinde değişen esitli yapılara sılıla rastlanmatadır. Uzay sanayinde örneğin uça anatlarında değişen esitli iriş ile arşılaşılır. Muavemetten de bilindiği üzere eşit muavemetli çubularda esit değişen yapıda olup iriş dayanımı her notada aynıdır. Eşit muavemetli çubularda bazı durumlarda malzemeden olduça azanç sağlanabilmete ve bu yüzden daha eonomi yapı elde edilmetedir. iteratürde düzgün esitli yapılara ait yapılmış olan yeterince çalışma olmasına arşın değişen esitli yapılardai çalışmalar daha sınırlıdır. Günümüz yapılarında masimum güvenli, minimum maliyet ve masimum esteti ön planda olduğundan yapıdai fazla malzemeler minimuma indirilmelidir ve buna bağlı olara ta birço eleman değişen esitli hale gelmetedir. Bu çalışmada öncelile değişen esitli irişler onusunda yapılmış olan çalışmalar detaylı olara verilmiştir. Daha sonra değişen esitli irişlerin titreşim analizinde ullanılaca olan sonlu elemanlar sayısal yöntemi haında bilgi verilere titreşim analizine geçilmiştir. Titreşim analizi için gereli olan denlem sistemleri elde edilere rijitli ve ütle matrisleri çıarılmıştır. Çatlatan dolayı meydana gelece olan rijitli düşümü, lineer elasti ırılma meaniği prensiplerinden faydalanara elde edilmiş ve elde edilmiş olan ütle, rijitli ve çatlatan dolayı meydana gelen rijitli matrislerini ullanara değişen esitli irişlerin serbest titreşim analizini yapabilece olan bir bilgisayar programı yazılmıştır. Program ullanılara değişi sınır şartlarına sahip değişen esitli çatla içeren irişlerin serbest titreşim analizi yapılmış ve elde edilen sonuçlar ile literatürdei sonuçlar arşılaştırılara önerilen çözüm yönteminin güvenirliği ortaya onmuştur.

. ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Mehmet HASKU. ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Değişen esitli irişlere birço maine ve inşaat yapılarında rastlanmatadır. Değişen esitli yapıların önemine il olara Amiriian (97) tarafından değinilmiştir. Düzgün veya değişen esitli irişlerdei stati yer değiştirmeler ve momentlerin tespitinde ullanılabilece manüel bir yalaşı yöntem Newmar (94) tarafından geliştirilmiştir. Değişen esitli irişlerin analizlerinde sıça ullanılan yöntemlerin başında sonlu farlar ve sonlu elemanlar yöntemleri gelmetedir (Ghali ve Neville, 97; Martin, 966). Sonlu elemanlar yönteminde, değişen esitli iriş genellile yeterli sayıda düzgün iriş elemanlarına bölünür. Stati analizlerde değişen esitli iriş yeterince elemana bölünürse doğruya yaın sonuçlar elde edilebilmetedir. Değişen esitli bir irişin düzgün esitli elemanlara bölünmesi yine de hata mitarının artmasına neden olur. iteratürde değişen esitli iriş elemana ait yapılan çalışmalar önemli faat yetersizdir. Just (975; 977) değişen esitli irişlere ait rijitli matrisini geliştirmiştir. Kirchoff (879) Bessel fonsiyonlarından faydalanara değişen esitli irişlerin titreşim analizini yapan il araştırmacıdır. Değişen esitli irişlerin serbest titreşim analizi onusunda birço araştırmacı çalışmalar yapmıştır (Suppiger ve Talep, 956; Cranch nad ve Adler,956; Convay ve Becer, 964; Convay ve Dubil, 965; Wang, 967; Mabie ve Rogers, 97; Mabie ve Rogers 976; Gorman, 975). Kenarların değişimi doğrusal değil de herhangi bir fonsiyona bağlı şeilde değişen irişlere ait en genel çözüm Wang (967) tarafından geliştirilmiştir. Wang çalışmasında genelleştirilmiş hipergeometri fonsiyonlar yardımıyla modal çözümü elde etmiştir. Basit değişen esitli irişlere ait freans analizleri, yalaşı analiti ve nümeri tenilerle analiz edilmiştir. Martin (956) perturbasyon teniğiyle, Gaines

. ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Mehmet HASKU ve Volterra (966; 968) Euler ve Timosheno iriş teorileriyle ve Klein (974) Rayleigh-Ritz prosedürüyle serbest titreşim analizlerini gerçeleştirmişlerdir. Sonlu farlar ve sonlu elemanlar yöntemiyle titreşim analizi arşımıza özdeğer problemlerini çıarır ve genellile matris iterasyon yöntemleriyle çözülür. Rissone ve Williams (965) Euler ve Timosheno iriş teorilerini ullanara değişen esitli irişlere ait detaylı bir freans analizini sonlu farlar yöntemiyle gerçeleştirmiştir. Sonlu elemanlar yönteminde, yayılmış ütle matrisleri ullanımıyla titreşim analizi problemlerindei doğrulu oranı artmıştır (Archer, 96). indberg (965) übi bir yer değiştirme fonsiyonu ullanara didörtgen, dairesel veya üçgen değişen esitli iriş elemanlar geliştirere titreşim analizi yapmış ve son derece doğru sonuçlar elde etmiştir. Gallagher ve ee (97) übi bir yer değiştirme fonsiyon esaslı değişen esitli bir iriş geliştirere serbest titreşim analizleri yapmıştır. Thomas ve Doumacı (97) altıncı dereceden Hermitian polinomları ullanara değişen esitli bir eleman geliştirmişlerdir. Kolouse (97) genel değişen esitli bir iriş elemana ait dinami rijitli matrisini geliştirmiştir. Avaian ve Bestos (976) genel ve doğrusal olmayan değişen esitli irişlere ait serbest titreşim problemini dinami rijitli matrisleri yardımıyla analiz etmişlerdir. Karabalis ve Bestos (98) çalışmalarında genişliği sabit, alınlığı değişen irişlerin stati, dinami ve stabilite analizini yapabilen bir numeri yapı önermişlerdir. Friedman ve Kosmata (99) herhangi bir formda olan değişen esitli irişlere ait rijitli matrisini geliştirmişlerdir. Friedman ve Kosmata (99) ayma deformasyonunu göz önüne alara değişen esitli bir irişe ait eğilme rijitli matrisini hesaplamışlardır. Baer (996) çalışmasında prizmati olmayan yapılarda meydana gelen üçü yer değiştirmeleri bulan apalı formda bir çözüm yapısı geliştirmiştir. De Rosa ve Auciello (996) esne sınır şartlı doğrusal değişen esitli irişlerin dinami davranışlarını araştırmışlardır. Kirişe ait hareet denlemini Bessel fonsiyonunu ullanara çözmüşlerdir. Al-Gahtani (996) değişen esitli

. ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Mehmet HASKU elemanlara ait rijitli matrisi terimlerinin apalı form çözümlerini verece basit bir yöntem önermişlerdir. Çalışmalarında sınır integral yöntemimi ullanmışlardır. Colugna (997) ii ve üç boyutlu prizmati olmayan elemanlara ait elasti rijitli matrislerini gelenesel iriş teorisine göre bulaca bir yöntem ortaya oymuştur. Bu çalışmasında ayma etisi göz önüne alınmamıştır. Qiusheng, Hong ve Guiging (996) değişen esitli çubuların stati ve dinami analizini yapmışlardır. Data ve Sil (996) değişen esitli onsol irişlerin doğal freanslarını bulmuşlardır. Taahashi (998) transfer matrisi yöntemini ullanara esenel yülü te çatla içeren değişen esitli olonların burulma ve titreşim analizini yapmıştır. Franciosi ve Mecca (998) değişen esitli irişin stati analizi için üç tane sonlu eleman çeşidi önermiştir. Bu elemanların performansı çeşitli örnelerle ontrol edilere elemanların güvenli olduğu gösterilmiştir. Al-Gahtani ve Khan (998) pizmati olmayan irişlerin genel sınır şartları için bir analiz yöntemi gerçeleştirmişlerdir. Analizlerinde sınır integral yöntemini ullanmıştır. Zheng ve Fan () birden fazla çatla içeren değişen esitli bir irişin doğal freanslarını fourier serilerini ullanara bulmuştur. i () çalışmasında birden fazla çatla içeren irişlerin serbest titreşim analizini yapmıştır. Modelinde iriş esitinde çatlatan dolayı meydana gelen bölgesel esneliği ütlesiz bir yay ile modellemiştir. Ruta () elasti zemin üzerinde değişen esitli çubulara ait bir dinami rijitli matrisi geliştirmiştir. Mazanoğlu ve Sabuncu (9) ço çatlalı değişen esitli irişlerin eğilme titreşim analizini yapmışlardır. 4

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU.MATERYA ve YÖNTEM.. Sonlu Elemanlar Yöntemi Sonlu elemanlar yöntemi; analiti olara çözümü ço zor ve bazen de imânsız olan problemlerin daha basit olan alt problemlere ayrılara her birinin endi içinde çözülmesi ve bu çözümlerin denge ve sürelili göz önüne alınara birleştirilmeleri ile tam çözümün bulunduğu sayısal bir çözüm yöntemidir. Yani bu yöntem süreli bir sistemi problemin araterine uygun sonlu elemanlara ayırara elde edilen elemanlar üzerinde iç ve dış uvvetlerin enerjisinin minimizasyonu ve sonra bu elemanların birleştirilmesi tarzında bir uygulama getirir (Topçu ve Taşgetiren, 998). Sonlu elemanlar çözüm yönteminde, geometri olara armaşı olan çözüm bölgesi sonlu elemanlar olara adlandırılan geometri olan basit alt bölgelere ayrılır. Her elemandai, süreli fonsiyonların, cebirsel polinomların doğrusal ombinasyonu olara tanımlanabileceği abul edilir. Aranan değerlerin her eleman içinde süreli olan tanım denlemlerinin belirli notalardai (düğüm notaları) değerlerinin elde edilmesinin problemin çözümünde yeterli olacağı abul edilir. Kullanılan yalaşım fonsiyonları interpalosyan teorisinin genel avramları ullanılara polinomlardan seçilir. Seçilen polinomların derecesi ise çözülece problemin tanım denleminin derecesine ve çözüm yapılaca elemandai düğüm sayısına bağlıdır. Sonlu elemanlar yöntemi, özellile ısmi diferansiyel denlemlerin çözümünde ço etin bir şeilde ullanılan bir yöntemdir. Süreli bir ortamda, alan değişenleri (gerilme, yer değiştirme, basınç, sıcalı vs.) sonsuz sayıda farlı değere sahiptir. Eğer süreli bir ortamın belirli bir bölgesinin de aynı şeilde süreli ortam özelliği gösterdiği biliniyorsa, bu alt bölgede, alan değişenlerinin değişimi 5

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU sonlu sayıda bilinmeyi olan bir fonsiyon ile tanımlanır. Bilinmeyen sayısının az ya da ço olmasına göre seçilen fonsiyon doğrusal ya da yüse mertebeden olabilir. Süreli ortamın alt bölgeleri de aynı arateristi özellileri gösteren bölgeler olduğundan, bu bölgelere ait olan denlem taımları birleştiğinde bütün sistemi ifade eden denlem taımı elde edilir. Denlem taımının çözümüyle de süreli ortamdai alan değişenleri sayısal olara elde edilir. Düğümler a) İi düğümlü çubu eleman b) Üç düğümlü üçgen eleman c) Douz düğümlü üç boyutlu eleman Şeil. Bazı sonlu eleman tipleri Şeil. de bazı sonlu eleman tipleri verilmiştir. Sonlu elemanlar metodunda sistem sonlu elemana ayrılmatadır. Sistemi oluşturan elemanların her birine sonlu 6

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU eleman denir. Bu elemanların birleştileri notalar da düğüm notaları olara adlandırılır. Eleman boyutları üçüldüçe problemin hata oranı azalmata faat çözüm süresi uzamatadır. Sonlu eleman yüzeyinin şeil değiştirmesi, düğüm notalarının deplasman parametresine bağlı olara ifade edilebilir. Deplasman parametreleri; deplasman bileşenleri, dönmeler ve burulma eğriliği gibi deplasman vetörlerini içermetedir. Sonlu elemanlar metodunu diğer nümeri yöntemlerden üstün ılan başlıca unsurlar şöyle sıralanabilir (Topçu ve Taşgetiren, 998). a) Değişi boyut ve şeillere sahip sonlu elemanlar ile, analizi yapılaca geometri yeterli derecede hassas olara modellenebilir. b) Ani esit değişilileri, öşeler ve deliler modellenere inceleme yapılabilir. c) Sonlu elemanlar yöntemine her elemana değişi malzeme ve geometri özelliler atanabildiğinden, değişen esitli ve birden fazla malzemeden oluşmuş problemler olaylıla modellenebilir. d) Değişi sınır şartlarının uygulaması olaydır.... Eleman denlemlerinin elde edilmesi Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi, öncelile bir elemana ait sistem özellilerini içeren denlemlerin çıartılıp tüm sistemi temsil edece şeilde eleman denlemlerini birleştirere sisteme ait doğrusal denlem taımının elde edilmesidir. Bir elemana ait denlemlerin elde edilmesinde değişi yöntemler ullanılabilir. Bunlar içinde en ço ullanılan dört temel yalaşım diret, varyasyonel, ağırlılı alanlar ve enerji dengesi yalaşımlarıdır (Topçu ve Taşgetiren, 998). Sonlu elemanlar metodu ile problem çözümünde ullanılaca olan yalaşım çözüm işleminde izlenece yolu değiştirmez. Çözüm yöntemindei adımlar şunlardır: Cismin sonlu elamanlara bölünmesi, İnterpolasyon fonsiyonlarının seçimi, 7

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Eleman rijitli matrisinin teşili, Sistem rijitli matrisinin hesaplanması, Sisteme eti eden uvvetlerin bulunması, Sınır şartlarının belirlenere problemlere uygulanması, Sistem denlemlerinin çözümü.... Sonlu elamanlar yönteminde ullanılan elemanlar Sonlu eleman problemin çözümünde il adım eleman tipinin belirlenmesi ve çözüm bölgesinin elemanlara ayrılmasıdır. Çözüm bölgesinin geometri yapısı belirlenere bu geometri yapıya en uygun gelece elemanlar seçilmelidir. Seçilen elemanların çözüm bölgesini temsil etme oranında, elde edilece neticeler gerçe çözüme yalaşmış olacatır. Sonlu elemanlar metodunda ullanılan elemanlar boyutlarına göre dört sınıfa ayrılabilir. Bunlar; te boyutlu, ii boyutlu, dönel ve üç boyutlu elemanlardır (Topçu ve Taşgetiren, 998).... İnterpolasyon fonsiyonlarının seçimi İnterpolasyon fonsiyonu alan değişeninin (oordinat, yer değiştirme) eleman üzerindei değişimini temsil etmetedir. İnterpolasyon fonsiyonunun belirlenmesi seçilece eleman tipine ve çözülece denlemin derecesine bağlıdır. Ayrıca interpolasyon fonsiyonları şu şartları sağlamalıdır (Topçu ve Taşgetiren, 998). İnterpolasyon fonsiyonunda bulunan alan değişenin en yüse dereceden bir öncei dereceye adar olan ısmi türevleri eleman sınırlarında süreli olmalıdır. İnterpolasyon fonsiyonunda bulunan alan değişenlerinin bütün türevleri, eleman boyutları limitte sıfıra gitse bile alan değişenini araterize etmelidir. Seçilen interpolasyon fonsiyonu oordinat değişiminden etilenmemelidir. Hem yuarıdai şartları sağlamaları hem de türev ve integral almadai olaylığından dolayı interpolasyon fonsiyonu olara genelde polinomlar seçilir. Seçilen polinom, yuarıdai şartların gerçeleşmesi ile uygun terimler içermelidir. 8

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU..4.Eleman rijitli matrisinin oluşturulması Eleman rijitliğinin bulunması, elemana eti eden dış yüler ile alan değişenleri arasında bir ilişi urma anlamına gelir. Eleman rijitliği elde ediliren çözülece problemin onusu, alan değişeni, seçilen eleman tipi, seçilen interpolasyon fonsiyonu, eleman özellilerini elde ederen ullanılan yöntem gibi pe ço fatör göz önüne alınır. Eti eden bu fatörlere göre eleman rijitli matrisi hesaplanır...5. Sistem rijitli matrisinin hesaplanması Sistem rijitli matrisi sistemin düğüm sayısı ve her düğümdei serbestli derecesine bağlı olara belirlenir. Elemanlar için hesaplanan rijitli matrisleri, eleman üzerindei düğüm notalarına bağlı olara genel rijitli matrisinde ilgili satır ve sütuna yerleştirilir. Farlı elemanlar tarafından orta ullanılan düğümlerdei terimler genel rijitli matrisinin ilgili satır ve sütununda üst üste elenmelidir. Elemanların düğüm numaralaması bir sistematiğe göre yapılırsa genel rijitli matrisinde diagonal üzerinde üst üste elenir. Genelde rijitli matrisi simetritir...6.sisteme eti eden uvvetlerin bulunması Bir problemde sisteme eti edebilece uvvetler şunlar olabilir (Topçu ve Taşgetiren, 998). - Teil uvvetler: Teil uvvetler hangi elemanın hangi düğümüne, hangi yönde eti ediyorsa genel uvvet vetöründe eti ettiği düğüme arşılı gelen satıra yerleştirilir. - Yayılı uvvetler: Bu uvvetler bir enar boyunca ya da bir alanda etili olurlar. - Kütle uvvetleri: Eleman hacmi için geçerli olan merezaç uvveti ve ağırlı uvvetleri gibi uvvetlerdir. 9

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU..7. Sınır şartlarının belirlenmesi Her problemin tabii ya da yapay sınır şartları vardır. Sınır şartları cismin çeşitli ısımlarındai elasti yer değiştirmelerin ölçülebileceği bir referans sağlar (Topçu ve Taşgetiren, 998)... Kirişlerde Titreşim Analizi... Değişen esitli bir irişin titreşim analizi Kusursuz bir iriş için hareet denlemi; M C K f () t (.) olara verilir. Bu toplu bir ütlenin hareât denlemidir. Burada M, C, K, f ( t) ve sırası ile ütleyi, sönüm atsayısını, rijitliği, uygulanan uvveti ve yer değiştirmeyi göstermetedir. Serbest sönümsüz bir iriş için hareet denlemi, C f ( t) alınara M K (.) olara elde edilir. Yer değiştirme ( ) aşağıda gösterildiği gibi ifade edilip yuarıda verilen (.) denlemine yerleştirilirse; X sin( wt ) wx sin( wt ) w X sin( wt ) (.) serbest titreşim yapan bir irişin hareet denlemi aşağıdai gibi olur: Burada w M K ( w M K) w doğal freansları, ise doğal vetörleri göstermetedir. (.4) (.5) En son denlem bir öz değer problemidir. Bu çalışmada Jacobi yöntemi uygulanara (.5) eşitliği çözülmüştür. Bu eşitliten görüleceği üzere çözüm yapılabilmesi için değişen esitli irişe ait sistem matrisleri ( KM, ) elde edilmelidir.

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU... Kiriş elemanı için rijitli ve ütle matrislerinin elde edilmesi Bu çalışma ile ii düğümlü ve her düğümünde üç serbestli derecesi olan değişen esitli iriş eleman için rijitli ve ütle matrisleri elde edilecetir.... Değişen esitli irişler için rijitli matrisi y Q Q M M P P z Şeil.. Değişen esitli bir iriş elemandai moment ve uvvetlerin gösterimi y v v u u z Şeil.. Değişen esitli iriş elemana ait serbestli dereceleri Şeil. de görüldüğü gibi boyunda olan izotropi ve değişen esitli iriş ele alınsın. eseni irişin eseni ile çaışmatadır. P, Q, M sırasıyla düğümlerdei esenel ve esme uvvetleri ile eğilme momentini, uv,, ise sırasıyla eseni ve y

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU eseni doğrultusundai yer değiştirmeleri ve z eseni etrafındai dönmeyi göstermetedir. Görüldüğü gibi her düğümde üç serbestli derecesi ( uv,, ) bulunmatadır. Bir elemanda ii düğüm notası olduğundan bir eleman için toplam 6 serbestli derecesi olmatadır. Dolayısıyla bir eleman için rijitli matrisi 66 boyutunda, eleman serbestli dereceleri vetörü 6 boyutunda ve eleman dış yü vetörü 6 boyutunda olup simgesel olara aşağıdai gibi verilir. K e 4 5 6 (.6) 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 4 44 54 64 5 5 45 55 65 6 6 46 56 66 66 Q e u v u v F e P Q M P Q M F KQ e (.7) e Değişen esitli bir irişe ait rijitli matrisi, irişin basit eğilme ve esenel deformasyon halleri için elde edilece rijitli matrislerinin uygun biçimde birleştirilmesi ile elde edilecetir...4. Basit eğilme hali için rijitli matrisi Şeil.4 ve Şeil.5 de basit eğilme etisindei değişen esitli bir iriştei eğilme momentleri, esme uvvetleri ile ilgili serbestli dereceleri görülmetedir.

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU y Q Q M M z Şeil.4. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişe uygulanan uvvet ve momentler y v v z Şeil.5. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişte serbestli derecelerinin gösterimi Yuarıdai şeillerde görülen basit eğilme halindei bir eleman için rijitli matrisi, yü ve yer değiştirme vetörleri simgesel olara aşağıdai gibi gösterilebilir.

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU B B B B 4 B B B B B 4 K B B B B 4 B B B B 4 4 4 44 44 Q v Q B B M, F v Q M 4 4 B B B F K. Q (.8) K B basit eğilmede meydana gelen eğilme rijitli matrisidir ve Mawell 44 teoremine göre bulunur.[k B ] nin bulunması için ii adımdan faydalanılır. İl önce bir flesibite yöntemi geliştirilere birinci ve iinci düğümler için uvvet -yer değiştirme ilişisi elde edilir. Daha sonra birinci ve iinci düğümlerin etileşim terimleri dengeden elde edilir. Eğilme rijitli matrisindei B B ( Kij i, j,) B B (.9) rijitli atsayılarını elde etme için v ve sıfır alınara Q, M yüleri altında v ve eşitlileri aşağıdai adımlar sonucunda elde edilecetir. Değişen esitli iriş için şeil değiştirme enerjisi; M U d EI (.) zz eşitliği ile verilir. Burada M, E, Izz sırası ile iriş esitindei eğilme momentini, elastisite modülünü ve esit boyunca değişen alan atalet momentini göstermetedir. M momentini bulma için mesafede bir esim yapılsın. 4

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU y Q M M C V Şeil.6. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri Yuarıdai şeilde C notasına göre moment dengesi yazılara momenti elde edilir. M eğilme Mc M M Q M Q M (.) (.) eşitliğinin aresi alınara; M Q Q M M (.) şelinde M elde edilir. Birinci düğüm için yer değiştirme ile ilgili yüler arasındai ilişi Castigliano nun. teoremi ullanılara bulunabilir. du v (.) dq du (.4) dm (.). eşitliğini oluşturma için gereli olan şeil değiştirme enerjisi (.) eşitliği ile verilen eğilme momentinden faydalanılara elde edilir ve du Q Q M M d dq (.5) EI zz eşitliği elde edilir. Gereli işlemler yapılara 5

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU du Q M d dq (.6) EI zz elde edilir ve bu denlem matris formatına dönüştürülürse; Q (.7) v d d EI zz EI zz M eşitliği elde edilir. Benzer şeilde (.4) eşitliğini oluşturma için yine eğilme momentinden faydalanılara bulunan şeil değiştirme enerjisi ullanılır ve du Q Q M M d dm (.8) EI zz eşitliği elde edilir ve gereli işlemler yapılara; Q M d (.9) du dm EI zz elde edilen bu eşitli matris formatına dönüştürülürse; Q d d EI zz EI zz M (.) eşitliği elde edilir. Flesibilite metoduna göre yer değiştirme ile ilgili yüler arasındai eşitli bulunacağı için (.7) ve (.) eşitlileri birleştirilir. d d EI zz v EI zz Q M d d EI zz EI zz Bu eşitli simgesel olara v A AQ A A M şelinde yazılabilir. Buradai A, A, A terimleri; (.) (.) i Ai d, i,,, (.) EI zz 6

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU eşitliği ile verilir. Buradai A i lerden oluşan matris flesibilite matrisi olup bu matrisin tersi birinci düğüm için rijitli matrisini verece olup bu matris aşağıdai gibi elde edilir. v A A Q A A M Her ii tarafı A A A A ile çarpılırsa Q A A v Q A A v M A A M D A A elde edilir. Burada D matrisin determinantı olup (.4) D ile bulunur. A. A A (.5) Birinci düğümde yapılan işlemler benzer olara iinci düğüm için de yapılmalıdır. Burada v, alınara iinci düğüme Q ve M yüleri uygulanır. Bu durumda eğilme momenti şöyle bulunur. y M V y M Q C Şeil.7. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri C notasına göre moment dengesi yazılırsa; + Mc M Q M ( ) ( ) M Q M (.6) ( ( )) ( ) M Q Q M M (.7) elde edilir. v ve aşağıdai gibi elde edilirler. 7

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU v du (.8) dq du (.9) dm Değişen esitli irişlerde şeil değiştirme enerji denlemi yeniden yazılarsa; M U EI zz d ( Q ( )) Q ( ) M M U d (.) EI zz eşitliği elde edilir. (.8) eşitliğini oluşturma için aşağıdai işlemler gerçeleştirilir. v du Q ( ) Q ( ) M M d dq (.) EI zz du Q( ) M ( ) d dq (.) EI Yuarıdai eşitli matris formatında düzenlenirse; ( ) ( ) Q v d d EI zz EI zz M zz (.) elde edilir. Aynı işlemler (.9) eşitliğinin oluşturulması için terar edilirse; du d Q ( ) Q ( ). M M d dm dm (.4) EI ( ) zz M ( ) Q d (.5) du dm EI zz sonucu elde edilir ve bu sonuç matris formatına dönüştürülürse; Q d d EI zz EI zz M ( ) (.6) şelinde elde edilir. (.) ve (.6) denlemler birleştirilirse, v B B Q B B (.7) M eşitliği elde edilir. 8

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Buradai B, B, B terimleri; i ( ) Bi d, i,, (.8) EI ( ) eşitliği ile verilir. Buradai zz B i ler den oluşan matris flesibilite matrisi olup bu matrisin tersi iinci düğüm için rijitli matrisini verecetir. Bu rijitli matrisi aşağıdai işlemler sonucunda elde edilecetir. v B B Q B B M Her ii tarafı B B B B ile çarpılırsa, Q B B v Q B B v M B B M D B B eşitliği elde edilir. Burada D, matrisin determinantı olup aşağıdai gibidir. (.9) D B. B B (.4) İi düğümlü ve her düğümünde serbestli derecesi olan basit eğilme etisindei bir iriş için 44 lü eğilme rijitli matrisi (.4) ve (.9) denlemleri ullanılara aşağıdai gibi oluşturulur. Q M Q M A D A D B B 4 A D A D B B 4 B B B D B D B 4 B 4 B D B D v (.4) v Yuarıdai eşitlite görülen ve birinci ve iinci düğüm etileşimini temsil eden, terimleri bulunmalıdır. Bu terimler uvvet ve moment dengesinden 4,, 4 elde edilebilir. Değişen esitli irişe ait serbest cisim diyagramı Şeil.8. de görülmetedir. 9

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU y M Q Q M C D Şeil.8. Kirişe ait serbest cisim diyagramı Yuarıda serbest cisim diyagramı verilen iriş üzerinde stati denge denlemleri uygulanır. Fy Q Q Q Q (.4) (.4) denlemi ullanılara Q ve Q A A Q v v D D (.4) B B 4 B B B B Q v v (.44) D D şelinde verilir. Bu ii denlemin birbirine olan eşitliği (.4) göz önüne alınırsa, B B,,4 i i i (.45) eşitliği elde edilir. Bu durumda, 4, ve4 terimleri 4 4 B D B D (.46) olara elde edilir. Rijitli matrisinin simetri olduğu bilindiğinden, 4 4 olara alınır. (.4) eşitliğindei ve4 terimleri bulunduğu tadirde

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU basit eğilme etisindei değişen esitli iriş için eğilme rijitli matrisi elde edilmiş olacatır. Şeil.8. de verilen serbest cisim diyagramında C notasına göre moment alınırsa; M M Q (.47) olur. (.4) denleminden faydalanara (.48) eşitliği elde edilir. A A B B M v v 4 D D B B B B M 4. v 4.. v. D D (.48) (.44) ve (.48) eşitlileri (.47) eşitliğinden yerine yerleştirilere aşağıdai eşitli elde edilir. A A B B B B v v v v v v D D D D D D B B B B B B 4 4 4 A B B A B B B B B B B B v 4 4 v 4 D D D D D D (.49) B Burada 4 aşağıdai gibi elde edilir. B B B 4 (.5) D B Benzer şeilde terimini bulabilme için D notasına göre moment alınırsa; M M Q (.5) B bu eşitliten terimi; B A (.5) D olara elde edilir. (.4) eşitliği terar yazılırsa; A A B B D D D D Q A A B. B M D D D Q B B M D D B simetri D v v (4.5)

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU B K eğilme rijitli matrisi elde edilir. 44 A i ve B i denlemleri bağımsız değildir ve birbirleriyle olan eşitliği yazılırsa, B A B A A B A A A D D olara elde edilir. (.5) denlemi terar düzenlenere aşağıdai gibi elde edilir; A A A A. A A A A. A B K D A ( A. A ) simetri ( A. A. A ) (.54) (.55) Bu denlem basit eğilmeye maruz değişen esitli bir irişe ait eğilme rijitli matrisidir...5. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş için rijitli matrisi Esenel yü altındai bir iriş elemana ait yer değiştirmeler ve ilgili yüler Şeil.9 da gösterilmiştir. y z u P u P Şeil.9. Esenel yüe maruz değişen esitli bir irişte yer değiştirmeler ile ilgili yüler Değişen esitli irişte uvvet ve yer değiştirme arasındai bağıntı yazılırsa; A A A { F } K { q } (.56) Burada; A T F P, P (.57)

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU A T q u, u (.58) ile verilir. Flesibilite metoduna göre il önce flesibite matrisi sonra da bu flesibilite matrisinin tersi alınara esenel yüe maruz değişen esitli irişe ait esenel rijitli matrisi elde edilir. y P Şeil.. Sağ tarafı sabit tutulup sol tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş Şeil. da görüldüğü gibi irişin sağ tarafı sabit tutulsun ve sol düğüme bir P uvveti uygulansın. Bu durumda şeil değiştirme enerjisi aşağıdai gibi verilir. U A( ) d (.59) Burada gerilmeyi, birim şeil değiştirmeyi ve A ( ) ise esenindei esit alanını göstermetedir. Hooe anununun E. (.6) olduğu bilinmetedir. (.6) denlemi (.59) eşitliğinde yerine yerleştirilirse; U A ( ) d (.6) E elde edilir. Gerilme, nın denlemi P A ( ) (.6) olduğu bilinmetedir. Elde edilen bu eşitli (.6) eşitliğinde yerine yazılırsa, şeil değiştirme enerjisi; U P d (.6) A( ) E olara elde edilir.

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Castigliano nun iinci teoremine göre, uygulanan P uvveti yönünde u yer değiştirmesi; du P u dp d (.64) A( ) E olara elde edilir. Burada; C d A( E ) ile gösterilir ve (.64) denlemi terar düzenlenirse; (.65) u PC (.66) eşitliğine ulaşılır. Uygulanan P uvveti ile ilgili yer değiştirme u arasındai bağıntıyı bulma için yuarıda verilen yönteme benzer olara irişin sol tarafını sabitleyip sağ tarafa P uvveti uygulansın. y P Şeil.. Sol tarafı sabit tutulup sağ tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş Üstte verilen ısımda uygulanan işlemler iinci düğüme de uygulanır ve şeil değiştirme enerjisi terar yazılırsa; U P d (.67) A( ) E elde edilir. Castigliano nun iinci teoremi uygulanara P uvveti ile u yer değiştirmesi ile arasındai bağıntı; 4

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU u du P dp d (.68) A( ) E olara elde edilir. (.65) eşitliğinden faydalanılara (.68) eşitliği aşağıdai gibi verilebilir. u P C (.69) (.66) ve (.69) eşitlileri matris formatında yazılırsa; u P C C u P eşitliği elde edilir. Burada P ve P esenel yüleri; P u C P u C olara elde edilir. (.7) eşitliği matris formatında aşağıdai gibi verilir. P C u P u C (.7) (.7) (.7) Eşitliten görüldüğü üzere ve bulunmuş olup ve değerleri aşağıdai gibi bulunur. y P P Şeil.. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş Şeil. den yararlanara denge denlemi yazılırsa; F P P P P (.7) 5

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU (.7) denlemine göre P ve P yazılsın. P u u C P u u C Bu eşitliten faydalanılara ve ; (.74) (.75) C olara elde edilir. Elde edilen rijitli terimleri matris formatında; P u P C u olara elde edilir. Buna göre esenel rijitli matrisi aşağıdai gibi verilebilir. K A C (.76) (.77) Bu ısımda basit eğilmeye ve esenel yülemeye maruz irişlere ait eğilme ve esenel rijitli matrisleri elde edilmiştir. Daha sonrai ısımlarda bu matrislerden faydalanara; genişliği, alınlığı ve genişliği ile alınlığı doğrusal değişen, değişen esitli irişlere ait rijitli matrisleri elde edilecetir. Bu irişlere ait ütle matrisleri de ayrıca elde edilecetir...6. Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi gösterilmiştir. Şeil.. te genişliği eseni boyunca doğrusal değişen bir iriş y W W t t Şeil.. Genişliği doğrusal değişen değişen esitli iriş z 6

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Bu irişin üstten görünüşü Şeil.4. te ayrıca görülmetedir. Burada W ve W, irişin sırası ile sol ve sağ uçtai genişliğini göstermetedir. m W A n A W q A Şeil.4. Genişliği doğrusal değişen irişin üstten görünümü Kirişe ait genişli değişen olduğundan, esit alanı e bağlı olacatır. Kesit alanı eseni boyunca doğrusal olara değişen irişin alınlığı (t) sabit olup genişliği doğrusal bir şeilde değişmetedir. Öncei ısımda rijitli terimlerinin elde edilmesi için A() ifadesinin elde edilmesi geretiği belirtilmişti. Genişliği doğrusal değişen irişe ait herhangi bir mesafesine ait esit alanı A() aşağıdai gibi bulunur. A W. t (.78) A W. t Burada A sol uçtai A ise sağ uçtai esit alanlarıdır. Kalınlı; A W t (.79) olara verilebilir. mesafedei esit alanı Şeil.4. de görüleceği üzere A( ) mq. t (.8) olara bulunabilir. mq uzunluğu; mq mn W (.8) ile verilebilir. Buradai mn mesafesi benzerliten; mn / W W mn W W (.8) 7

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU olara elde edilir. (.8) denlemi (.8) denleminde yerine yazılırsa, mq; mq ( W W ).( ) W (.8) olara elde edilir. (.79) ve (.8) denlemleri (.8) eşitliğinde yerine yerleştirilere A() esit alanı aşağıdai gibi elde edilir. W W A ( ) A W (.84) W W W oranı aşağıdai gibi gösterilsin. W W W Sol uçtan mesafedei EI z () ve EA() değerleri aşağıdai gibi verilir. zz EI EI zz (.85) (.86) EA( ) EA (.87) Burada I zz ve A değerleri sırasıyla sol uçtai alan atalet momentini ve esit alanını göstermetedir. (.55) ve (.77) eğilme ve esenel rijitli matrislerinin bulunabilmesi için A, C D A, D A, D terimlerinin elde edilmesi gerelidir. Bunun için (.86) ve (.87) eşitlileri (.), (.5) ve (.65). eşitlilerinde yerine yazılırsa; EA C ln( ) (.88) A D EI zz ln( ) ( )ln( ) (.89) A D EI zz ( ln( )) ( )ln( ) (.9) A D elde edilir. EI zz ln( ) ( ) ( )ln( ) (.9) 8

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU (.55) ve (.77) eğilme ve esenel rijitli matrisleri birleştirilirse aşağıdai eşitli elde edilir. A A B B B B 4 B B B B 4 K A A (.9) B B B B 4 B B B B 4 4 4 44 (.88.9) eşitlilerinde bulunan değerler (.9) de yerine yazılıp terar düzenlenere aşağıdai matris elde edilir. C C A A A A A D D D D A A A A A D D D D K C C A A A A A D D D D A A A A A A A A A D D D D 66 (.9) Elde edilen bu matris genişliği doğrusal değişen iriş için rijitli matrisini temsil etmetedir. Genişliği doğrusal değişen bir irişe ait serbest titreşim analizini yapabilme için rijitli matrisinin yanında ütle matrisinin de bulunması geremetedir...7. Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi Burada elde edilece ütle matrisi esenel ve eğilme ütle matrisi olara ii ısımdan oluşmatadır. Esenel ütle matrisi aşağıdai eşitlite bulunabilir (Friedman and Kosmata, 99). 9

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU A T m N N A d (.94) Burada, A, ve N değerleri sırasıyla yoğunlu, sol uçtai esit alanı ve şeil fonsiyonunu göstermetedir. mesafesindei esit alanı aşağıdai gibidir. A A (.95) Şeil fonsiyonu matris formatında olup N değerleri aşağıdai gibidir (Friedman and Kosmata, 99). N N N N N N değerleri yerine yerleştirilere aşağıdai gibi elde edilir. (.96) N (.97) (.97) ile verilen şeil fonsiyonları matrisinin transpozesi aşağıdai gibi alınır. N T (.97) ve (.98) eşitlileri (.94) eşitliğinde yerine onursa, esenel ütle matrisi; m A m A (.98) Ad (.99) A A 4 A A 4 (.) olara elde edilir. Elde edilen bu matris boyutunda olup esenel yü yönünde meydana gelen ütle matrisini oluşturmatadır.

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Esenel ütle matrisi bulundutan sonra, eğilme ütle matrisi de elde edilmelidir. Bu matrise ait eşitli aşağıdai gibidir (Friedman and Kosmata, 99). B T m f f A d (.) f i şeil fonsiyonları olup matris formatında; 4 f f f f f (.) ile verilir. Buradai f değerleri aşağıda verilmiştir (Friedman and Kosmata, 99). f (.) (.) eşitliğinden faydalanara eğilme ütle matrisini oluşturma için şeil fonsiyonlarının transpozesi geremete olup bu matris aşağıdai gibi oluşturulur. f T (.4) (.) ve (.4) eşitlileri (.) eşitliğinde yerine onulup denlem düzenlenirse, eğilme ütle matrisi; 9 7 6 5 4 4 4 8 7 84 4 8 5 5 4 8 5 84 B A A A A A A A m A A Simetri A (.5) olara elde edilir. Burada, A ve terimleri

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU A tw W W W olara verilmetedir. (.6) (.) ve (.5) eşitlileri ile elde edilen esenel ve eğilme ütle matrisleri serbestli derecelerine uygun olara birleştirilirse ii düğümlü, her düğümde üç serbestli derecesi bulunan genişliği doğrusal değişen irişe ait ütle matrisi simgesel olara aşağıdai gibi elde edilir. M m m m A A B B B B m m m m4 B B B B m m m m 4 A A m B B B B m m m m 4 B B B B m4 m4 m4 m44 6 6 (.7) Değişen esitli bir iriş eleman için sistem matrisleri olan rijitli ve ütle matrisleri bu bölümde verilen eşitliler yardımıyla elde edilditen sonra, titreşim analizi uygun bir yöntemle yapılır...8. Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi Bu ısımda Şeil.5 te görülen genişliği sabit alınlığı doğrusal değişen bir iriş incelenecetir. y W W z t t Şeil.5. Kalınlığı doğrusal değişen değişen esitli iriş

. MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Sol uçtan mesafesindei esite ait EI zz () ve EA() değerleri aşağıdai gibidir. EI zz ( ) EI zz (.8) EA( ) Burada, terimi; olara verilir. EA t t t (.9) (.) Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş elemana ait esenel rijitli atsayısı (/ C ) genişliği doğrusal değişen bir iriş için elde edilen değere eşittir. Yani EA C ln( ) olacatır. Kalınlığı değişen bir irişe ait A A, D D terimlerinin bulunması geremetedir. (.8) ve (.9) eşitlileri (.) ve (.4) eşitlilerine yerleştirilirse; A, D A D EI zz ( ) ( )ln( ) (.) A D EI zz ( )ln( ) (.) A D EI zz ( ) ( ln( ) ( )ln( ) ) (.) olara elde edilir. Bulunan bu değerler (.9) eşitliğinde yerine yazılara alınlığı değişen bir irişe ait rijitli matrisi aşağıdai gibi elde edilir.