DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet çama elee dual smlet matsle celemşt. Ayıca bm dual üe üzede smlet yaı elee bu üe b heme heme Hemtye mafold olduğu gösteld. Aaa Üestes, Fe Faültes, Matemat Bölümü, 0600 Tadoğa /ANKARA.Gş. Smlet Mafold Taım... M dfeesyelleebl -boyutlu eel b mafold olsu. B Ω Ω ( M ) ç aşağıda özellle sağlaıyosa Ω ya M üzede b smlet fom, ( M, Ω) lse de b smlet mafold de. ) d Ω 0 ( Ω fomu aalıdı ) ) He m M otasıda T M (m) tajat uzayı üzede x TM (m) olma üzee he y T (m) ç Ω ( x, y) 0 x 0 özellğ) M m dı. (o-degeeate Bu duumda he m M otasıda T M (m) b smlet uzay olu. Böylece boy M ç ya çft olma zoudadı. Taım... ( M, Ω) e ( M, Ω ) smlet mafold olsu. F : M M dfeesyelleebl döüşümü ç F Ω Ω se F ye b smlet döüşüm de. Buada F, F e döüşümüdü. Aahta Kelmele: Dual smlet döüşüm, Dual smlet gu, Dual smlet mats, Dual uateyola, Hemtye mafold, Komles yaı, Reel uateyola, Smlet döüşüm, Smlet gu, Smlet mats.
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet Eğe F smlet döüşümü beb e öte se F ye b smletomofzm de. M üzede tüm smletomofzmle cümles S (M ) le göstel. Taım..3. M dfeesyelleebl eel b mafold olsu. x M otasıda tajat uzay T M (x) olma üzee J : TM ( x) TM ( x) lee edomofzm ç j I se j ye M üzede b heme heme omles yaı de. Buada I, özdeşl döüşümüdü. Üzede böyle b omles yaı buludua M mafoldua se heme heme omles mafold de. Taım..4. Heme heme j omles yaısıa sah b heme heme omles mafold M olsu. M üzede b g Rema metğ ç ( j( x), j( y) ) g( x, y) g, x, y χ( M ) se g ye M üzede b Hemtye met de. Üzede b Hemtye met buludua heme heme M omles mafoldua b heme heme Hemtye mafold de... Reel Kuateyola Taım... B eel uateyo q d + ae + be + ce3, a, b, c, d IR bçmde fade edl. Buada ) e e e3 ) e e e e e3, e e3 e3 e e, e3 e e e3 e d. B eel uateyou, sala ısmı s q d e etöel ısmı q ae + be + ce3 olma üzee ısma ayıablz. Böylece q eel q s q + şelde yazılabl. uateyou q Tüm eel uateyolaı cümles IR le gösteelm. Bu cümle tolama e salala çama şlemyle blte eel sayıla csm üzede b etö uzayı, uateyo çaımı le de bml e bleşml b hala yaısıa saht. [].3. Dual Kuateyola Taım.3.. q d + ae + be + ce3 e q d + a e + b e + c e3 eel uateyo olma üzee b dual uateyo
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet ε 0, q + ε q, ε IR şelde taımlaı. Ayıca dual uateyou, D d + ε d, A a + ε a, B b + ε b, C c + ε c olma üzee D + Ae + Be + Ce3 şelde de yazablz. Buada D, A, B, C dual sayılaı u dual bleşeled. B dual uateyou, sala ısmı S D e etöel ısmı V Ae + Be + Ce3 olma üzee ısma ayıablz. Böylece dual uateyou S + V bçmde de yazılabl. B dual uateyou sala ısmı b dual sayı, etöel ısmı b dual etödü. Tüm dual uateyolaı cümles le gösteeceğz. Bu cümle tolama e salala çama şlemyle blte eel sayıla csm üzede b etö uzayı, uateyo çaımı le de bml e bleşml b hala yaısıa saht.[] Şmd dual uateyola halası üzede temel bazı şlemle eelm. S + V, S + V ç Eştl; S S e V V se dı. Çama; olu. Hehag K es S S V, V + S D + Ae + Be + Ce3 D + Be K ( Ae + Ce) N, omu şelde taımlaı. V + S V + V V ç u eşleğ D + A + B C e N +. Dual Smlet Gu... ç dual uateyola halası olma üzee { ( q, q,..., q ): q, } cümles taımlayalım. Bu cümle, üzede tolama 3
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet : (, ) + ( q, q,..., q ); q, K e sala çama, : (, ) ( q +, q +,..., q ) ( q, q,..., q ) şlemleyle blte dual uateyola halası üzede b modül yaısıa saht. Bu yaı le blte elemalaıa be dual etö dyeceğz.. Dual Smlet Vetö Uzayı Taım..., : (, ), ( q, q,..., q ); q, (,,..., );, K( q ) şelde taımlı döüşüme üzede b dual smlet çama de. Buada K ( q ), q dual uateyou eşleğd. Dual smlet çama aşağıda özelle sağla. ) +,,,,,, + ), +, +, ) ),. q, q, q. q, K( q), Taım... Üzede dual smlet çama taımlı ola etö uzayıa dual smlet etö uzayı de. 4
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet Taım..3. b smlet etö uzayı olsu. lee döüşümü eştlğ sağlaıyosa σ ya σ σ :, ç σ ( ), σ ( ), üzede b dual smlet döüşüm de. Öeme... : b dual smlet döüşüm olsu. Bu duumda σ, beb e öted. İsat. σ lee b döüşüm olduğuda he olduğuu göstemelyz. olduğuda yazablz. Özel olaa olu. ( ) 0 ç σ ( ) 0 0, ç σ b dual smlet döüşüm σ ( ), σ ( ), alısa σ ( ), σ ( ), σ olsu. Bu duumda 0, 0 elde edl. O halde σ bebd. σ ı taım e değe uzaylaı ayı olduğuda ötelğ açıtı. Buada σ dual smlet döüşümü b lee edomofzm olu. üzede b dual smlet döüşüm se σ ı tes Öeme... σ, ola σ döüşümü de üzede b dual smlet döüşümdü. İsat. σ leelğ açıtı. Bz buada ç çaımı ouduğuu gösteelm., ç σ ( ), σ ( ) σ σ ( ), σ d. Buada ( ) ( σ ( ) ), olu. Ayıca σ b smlet döüşüm olduğuda σ ( ), σ ( ), 5
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet dı. O halde elde edl bu bze göste. ( σ ( ) ), σ ( σ ( ) ) σ ( ), σ ( ) σ σ üzede b dual smlet döüşüm olduğuu Souç olaa dual smlet döüşümle cümles bleşe şleme göe b gu oluştuu. Bu guba dual smlet gu de e S (, ) le göstel. Buada S, σ σ :,, ç σ ( ), σ ( ), olu. ( ) { } Teoem... σ üzede stadat baz { e, e,..., } e olma üzee bm dual etö se σ ( e ) olaca şelde b : dual smlet döüşümü adı. İsat. {,,..., } cümles hehag b otoomal bazı olma üzee σ yı σ ( e ), olaca şelde taımlasa b lee edomofzm olu. Buada σ ( e ), σ ( e ), δ e, e elde edl bu bze σ ı b dual smlet döüşüm olduğuu göste. Teoem... σ, üzede b dual smlet döüşüm olsu. Eğe σ ya aşılı gele mats [ ] q e se [ K ) ] T [ δ ] ( dı. İsat. etö uzayıı stadat bazı e ( δ, δ,..., δ ) { e, e,..., } olsu. Bu duumda σ ( e ) e jq e σ ( e ) j yazablz. σ b dual smlet döüşüm olduğuda j e q j j olma üzee 6
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet j j, s e q j j, s K( q σ ( e ), σ ( e ), j j, s s e q T [ K( q )] [ q ] [ δ ] e q j s K( q s s ) e, e s, e q, q s ) q j s j δ e, e e, e e, e e, e elde edl. Ayıca [ ] T [ K( ) ] [ δ ] olma üzee D + Ae + Be + Ce3, j olsu. S D e V Ae + Be + Ce3 S + V şelde yazablz. T K( ) S V K( ) S V olu. Buada K( e, j buluu., ç [ ] [ ] T [ )] [ δ ] [ S V ] [ S + V ] [ δ ] D + A + B + C [ S S + V, V S V + S V V V ] 0 ( j) Taım..4. Dual smlet döüşümle gubuu zomof ola matsle gubua dual smlet matsle gubu de. Matsle bu gubuu da ye S () le gösteeceğz. O halde T { [ K( ) ] I } S ( ). 7
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet olu. Özel olaa ç S ( ) N bm dual uateyolaı cümles elde edez. { } 3. Bm Dual Küe Üzede Smlet Yaı 3 M mafoldu olaa S { x x (,0) } cümles, ya - modül de bm dual üey alalım. Bm dual üeye üzede b otasıda teğet ola etöle, üe bu otasıda tajat uzayıı oluştuula. S üzede stadat smlet fom ç e dış çaımla yadımıyla taımlaı. Ya Ω: χ ( M ) χ( M ) C ( M, ) olma üzee he M ç Ω : TM ( ) TM ( ) ( A, B ) Ω ( A, B ), A B det(, A, B) döüşümüü bleee e altee olduğu açıtı. No-dejeee özellğe sah olduğuu gösteelm. A TM ( ) ç B TM ( ) olma üzee Ω ( A, B) 0 olsu. Ω ( A, B) 0, A B A B 0, A 0 0 B T M ( ) olu. O halde Ω o-dejeee özellğe saht. Ayıca Ω fomu dual üe üzede c deecede b fom olduğuda aalıdı. Ya d Ω 0 dı. Souç olaa Ω b smlet fom e ( M,Ω) ls b smlet mafold olu. 3 Eğe dual bm olaa ε 0 alıısa IR de S ües üzede smlet fom elde edl. Şmd se bm dual üe heme heme omles yaıya e buada da b j, g heme heme Hemtye yaıya sah olduğuu gösteelm. ( ) 3 üzede ç çaım bm dual üe üzede doğal b g met tesö alaı e. 8
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet S ç T ( ) tajat uzayı, doğal olaa e otogoal ola S ü alt uzayı le zomof yaılabl. j T ( ) T : SK S K ( ) Y j ( Y ) Y döüşümü taımlayalım. Bu b lee edomofzmd. Ayıca j ( Y ) j j ( Y ) j ( ) ( Y ) ( Y ), Y, Y Y, se j I olu. O halde j eşlemes j I olaca şelde b j tesö alaı taımlaı. Bu se j S üzede b omles yaı olduğuu göste. Dğe taafta g j Y, j Z g Y, Z ; Y, Z T ( ( ) ( ) ) olduğuda bm dual üe b ( g) Y 3 j, heme heme Hemtye yaısıa saht. Buada bm dual üe b heme heme Hemtye mafold olu. 9
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet KAYNAKÇA [] Hacısalhoğlu, H.H., Haeet Geomets e Kuateyola Teos, Gaz Üestes, Bası Yayı Y.O. Basıme, 983 [] Claude,C., Theoy of Le Gous, ceto Uesty ess, 946 [3] Yao, Ketao ad Ko, Masaho ; Stuctues o Mafolds, Wold Scetfc ublshg, 984 [4] Wad, J.., uateos ad Cayley Numbes, Kluwe Academc ublshes, 997 30