ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR. Sevda SAĞIROĞLU PEKER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR Sevda SAĞIROĞLU PEKER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILERDE BAZI YEN I SONUÇLAR Sevda SA ¼GIRO ¼GLU PEKER Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof. Dr. Mustafa Ç IÇEK Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, -aç k kümeler, -kompakt topolojik uzaylar, genelleştirilmiş topolojiler ve genelleştirilmiş komşuluk sistemleri ile ilgili temel kavramlar hat rlat lm ş ve bu kavramlar ile ilgili baz önemli sonuçlar ifade edilmiştir. Bu çal şmada elde edilen orjinal sonuçlar üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde verilmiştir. Üçüncü bölümde, kokompakt topoloji kavram, -kompaktl k kullan larak genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiş, böylece co--kompakt ve quasi co--kompakt genelleştirilmiş topoloji tan mlar elde edilmiştir. Ayr ca c-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan mlanarak temel özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, -Lindelöf uzay tan m verilmiştir. Böylece co--lindelöf ve quasi co--lindelöf genelleştirilmiş topoloji tan mlar verilerek, kolindelöf topoloji kavram genelleştirilmiş topolojik uzaylara taş nm şt r. Ayr ca `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan mlanarak temel özellikleri incelenmiştir. Beşinci bölümde ise klasik anlamda regüler topolojik uzaylar n bir genelleştirmesi olarak regüler genelleştirilmiş topolojik uzaylar tan mlanm ş ve temel özellikleri incelenmiştir. Ayr ca genelleştirilmiş komşuluk sistemleri için regülerlik ve yar regülerlik kavramlar araşt r larak; C-regüler, M-regüler, C-yar regüler ve M-yar regüler genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan mlanm şt r. Bu kavramlar n temel özellikleri incelenerek klasik anlamda regüler topolojik uzaylar n pek çok özelli¼gi sonuç olarak elde edilmiştir. Temmuz 2009, 66 sayfa Anahtar Kelimeler : -aç k küme, genelleştirilmiş topoloji, genelleştirilmiş komşuluk sistemi, co--kompakt (co--lindelöf) genelleştirilmiş topoloji, c- ve `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar, regüler genelleştirilmiş topolojik uzay, C-regüler (Mregüler, C-yar regüler, M-yar regüler) genelleştirilmiş komşuluk sistemi. i

ABSTRACT Ph.D. Thesis SOME NEW RESULTS FOR GENERALIZED TOPOLOGIES Sevda SA ¼GIRO ¼GLU PEKER Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Mustafa Ç IÇEK This thesis consists of four chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In chapter two, the basic concepts and results of -open sets, -compact topological spaces, generalized topologies and generalized neighbourhood systems are recalled and some results concerning these concepts have also been considered. Original results are contained in the third, fourth and fth chapters. In chapter three, by considering cocompact topologies, co--compact generalized topologies and quasi co--compact generalized topologies are obtained with the help of the notions of -compactness. Moreover a new class of generalized continuous functions called c-generalized continuous functions is de ned and investigated. In chapter four, -Lindelöf spaces are de ned. Furthermore, by considering colindelöf topologies, co--lidelöf and quasi co--lindelöf generalized topologies are introduced. In addition `-generalized continuous functions are de ned and investigated. In the nal chapter, as a generalization of regular topology in the classical sense, regular generalized topologies are de ned. As another generalizations of regularity, two kinds of regularity; C-regularity and M-regularity are introduced for generalized neighbourhood systems. In addition, we introduce C-semiregularity (resp. M- semiregularity) in the same manner, which is strictly weaker then C-regularity (resp. M-regularity). By this way we obtain some characterizations and properties furnishing the well known characterizations and properties of regular and semiregular topological spaces. July 2009, 66 pages Key Words: -open set, generalized topology, generalized neighbourhood system, co--compact (co--lindelöf) generalized topology, c- and `-generalized continuous functions, regular generalized topological spaces, C-regular (M-regular, C- semiregular, M-semiregular) generalized neighbourhood system. ii

TEŞEKKÜR Bana araşt rma olana¼g sa¼glayan ve çal şmam n her safhas nda yak n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren de¼gerli dan şman hocam, Say n Prof.Dr. Mustafa Ç IÇEK (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) e, yard mlar n benden esirgemeyen de¼gerli hocam Say n Prof.Dr. Cihan ORHAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) a ve çal şmam boyunca önerileri ve deste¼giyle hep yan mda olan de¼gerli hocam Say n Doç.Dr. Alev KANIB IR (Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi) e en içten sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Benim güzel ailem; eşim Ça¼gatay Ulaş Peker, kardeşim Mehmet Şerif Sa¼g ro¼glu, annem Hülya Sa¼g ro¼glu ve babam Mehmet Ihsan Sa¼g ro¼glu, bana başarmak ve y lmamak için gerekli tüm enerji ve deste¼gi hayat m boyunca siz verdiniz. Teşekkür ederim. Sevda SA ¼GIRO ¼GLU PEKER Ankara, Temmuz 2009 iii

Bu çal şmam, hayat m boyunca bana koşulsuz güvenen ve destek olan babam Mehmet Ihsan SA ¼GIRO ¼GLU na ithaf ediyorum. iv

IÇ INDEK ILER ÖZET............................................................... i ABSTRACT........................................................ ii TEŞEKKÜR........................................................ iii ITHAF.............................................................. iv S IMGELER D IZ IN I................................................. vi 1. G IR IŞ............................................................ 1 2. -AÇIK KÜMELER, GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILER VE GENELLEŞT IR ILM IŞ KOMŞULUK S ISTEMLER I............. 4 2.1. -Aç k Kümeler................................................ 4 2.2. Genelleştirilmiş Topoloji ve Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri 14 3. co--kompakt GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILER VE c-genelleşt IR ILM IŞ SÜREKL I FONKS IYONLAR.............. 23 3.1. Kokompakt Topolojiler ve c-sürekli Fonksiyonlar................ 23 3.2. co--kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler....................... 24 3.3. Quasi co--kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler................. 28 3.4. c-genelleştirilmiş Sürekli Fonksiyonlar.......................... 32 4. -L INDELÖF UZAYLAR VE co--l INDELÖF GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILER............................. 38 4.1. KoLindelöf Topolojiler ve `-Sürekli Fonksiyonlar................ 38 4.2. -Lindelöf Uzaylar ve co--lindelöf Genelleştirilmiş Topolojiler.. 39 4.3. Quasi co--lindelöf Genelleştirilmiş Topolojiler.................. 42 4.4. `-Genelleştirilmiş Sürekli Fonksiyonlar.......................... 43 5. REGÜLER GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILER VE REGÜLER GENELLEŞT IR ILM IŞ KOMŞULUK S ISTEMLER I..... 47 5.1. Regüler Genelleştirilmiş Topolojiler............................. 47 5.2. Regüler Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri................... 52 5.3. Yar regüler Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri................ 58 KAYNAKLAR...................................................... 63 ÖZGEÇM IŞ......................................................... 66 v

S IMGELER D IZ IN I exp X X kümesinin kuvvet kümesi (X) exp X kuvvet kümesinden exp X kuvvet kümesine tan ml monoton dönüşümlerin ailesi C g i g (A) c g (A) g (g) (g) (X) (x) -aç k her kümeyle arakesiti -aç k olan kümelerin ailesi genelleştirilmiş topoloji (k saca GT) A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre içi A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre kapan ş -aç k kümelerin ailesi g genelleştirilmiş topolojisinin -aç k kümelerinin ailesi g genelleştirilmiş topolojisinin -aç k kümelerinin ailesi genelleştirilmiş komşuluk sistemi (k saca GNS) X üzerinde tan ml tüm genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin ailesi x noktas n n genelleştirilmiş komşuluklar ailesi { (A) A kümesinin genelleştirilmiş komşuluk sistemine göre içi c (A) A kümesinin genelleştirilmiş komşuluk sistemine göre kapan ş g genelleştirilmiş komşuluk sisteminin üretti¼gi GT i (A) A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre içi c (A) A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre kapan ş g g (X) c () l () c (g ) qc (g ) ` (g ) q` (g ) g genelleştirilmiş topolojisinin üretti¼gi GNS herbir ö¼gesi g genelleştirilmiş topolojisine ait olan genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin ailesi kokompakt topoloji kolindelöf topoloji co--kompakt GT quasi co--kompakt GT co--lindelöf GT quasi co--lindelöf GT vi

1. G IR IŞ Literatürde, bir topolojik uzay n aç k alt kümelerini içeren, alt kümeler aileleri önemli bir yer teşkil etmiş ve bu ailelerin özelliklerini inceleyen pek çok çal şma yap lm şt r. Bu ailelerin ö¼gelerine genelleştirilmiş aç k kümeler ad verilmiştir. Bir topolojik uzayda tan ml yar -aç k kümeler (Levine 1963), ön-aç k kümeler (Mashhour et al. 1982), -aç k kümeler (Njâstad 1965), -aç k kümeler (Abd El-Monsef et al. 1983) bir topolojik uzay n genelleştirilmiş aç k kümelerine ilişkin iyi bilinen örneklerdir. Genelleştirilmiş aç k kümelerin pek çok ortak özelli¼ge sahip olmas na dayanarak; 1997 de Császar, : exp X 7! exp X biçiminde tan ml ve 8A; B X 3 A B için (A) (B) koşulunu sa¼glayan fonksiyonlar yard m yla -aç k kümeleri tan mlam şt r. Böylece genelleştirilmiş aç k kümelerin pek çok ortak özelli¼ginin - aç k kümelerin özelliklerinden elde edilebilece¼gini göstermiştir. Daha sonra, -aç k kümeleri kullanarak, -kompakt uzay (Császar 2000) tan m n vermiş ve özelliklerini incelemiştir. Genelleştirilmiş topoloji ve genelleştirilmiş komşuluk sistemi kavramlar 2002 de tan mlanm şt r. X 6= ; bir küme, I 6= ; bir indis kümesi ve g = (G { ) {2I exp X olmak üzere ; 2 g ve 8J I icin G = [ {2J G { 2 g koşulunu gerçekleyen g ailesine X üzerinde bir genelleştirilmiş topoloji (Császár 2002) ad verilmiştir. Bir (X; ) topolojik uzay n n yar -aç k (s ras yla; ön-aç k, -aç k, - aç k, - ve -aç k (Veliµcko 1968)) alt kümelerinin ailesi X üzerinde bir genelleştirilmiş topolojidir. Genelleştirilmiş komşuluk sistemleri ise, : X! exp (exp X) ; 8x 2 X ve 8V 2 (x) için x 2 V koşulu gerçeklenecek şekilde tan mlanan dönüşümler yard m yla ifade edilmiştir. Burada V 2 (x) kümesine x noktas n n bir genelleştirilmiş komşulu¼gu ve dönüşümüne X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi (Császár 2002) ad verilmiştir. Ayr ca bu kavramlar kullan larak genelleştirilmiş sürekli fonksiyon s n ar tan mlanm şt r. 1

-aç k küme, genelleştirilmiş topoloji ve genelleştirilmiş komşuluk sistemi kavramlar yla ilgili olarak, özellikle; Császár (1997, 2000, 2002, 2003, 2004 b-c, 2007 a-b, 2008 a-b) ve Min (2005, 2008) taraf ndan yap lan çal şmalar bizim için önem teşkil etmektedir. Bu tezde topolojik uzaylarda bilinen baz temel kavramlar genelleştirilmiş topolojik uzaylara ve genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilmiştir. Literatürde hemen hemen süreklilik (Singal and Singal 1968), H-süreklilik (Long and Hamlett 1975), c-süreklilik (Gentry and Hoyle 1970, Gauld 1978-1981), hemen hemen c-süreklilik (Noiri 1979), l-süreklilik (Kohli 1981, Gauld et al. 1984), hemen hemen l-süreklilik (Konstadilaki-Savvopoulou and Reilly 1990), kc-süreklilik (Kanibir and Reilly 2006) ve lc-süreklilik (Kanibir and Girginok 2007) gibi zay f süreklilik çeşitleri ile ilgili pek çok çal şma yap lm şt r. Bu çal şmalarda; söz konusu zay f sürekli fonksiyonun de¼ger uzay üzerinde, zay f süreklili¼gi, bilinen anlamda süreklili¼ge dönüştüren yeni topolojiler tan mlanabilece¼gine işaret edilmiş ve bu topolojilerin özellikleri incelenmiştir. Bu tezin 3. ve 4. bölümlerinde yukar da bahsedilen kavramlardan baz lar genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiştir. Bunlardan ilki, Gauld (1978) taraf ndan tan mlanan kokompakt topoloji kavram d r. Gauld (1978) bir (X; ) topolojik uzay n gözönüne alarak, X üzerinde, Gentry ve Hoyle (1970) taraf ndan tan mlanan c-sürekli fonksiyonlarla ilişkili ve dan daha kaba olan kompakt bir topoloji tan mlam ş ve bu topolojiye kokompakt topoloji ad n vermiştir. 3. bölümünde; Császár taraf ndan verilen -kompaktl k kavram kullan larak, Gauld taraf ndan tan mlanan kokompakt topolojinin analo¼gu olan bir genelleştirilmiş topoloji elde edilmiş ve c- genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan mlanm şt r. Tezin 4. bölümünde; -Lindelöf uzaylar tan mlanarak, 1981 de Kohli taraf ndan tan mlanan `-sürekli fonksiyon ve Gauld vd. (1984) taraf ndan tan mlanan kolindelöf topoloji kavramlar genelleştirilmiş topolojik uzaylara taş nm şt r. 2

Di¼ger yandan; Császár 2004 c de; topolojik uzaylar için bilinen temel ay rma aksiyomlar n (T 0 ; T 1 ; T 2 ; S 1 ve S 2 ) genelleştirilmiş topolojiler için tan mlam ş ve 2007 b de normal genelleştirilmiş topoloji tan m n vermiştir. Tezin son bölümünde, bu kavramlara ek olarak regülerlik kavram genelleştirilmiş topolojik uzaylara ve genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilmiştir. Öncelikle klasik anlamda regüler topolojik uzaylar n bir genelleştirmesi olarak regüler genelleştirilmiş topolojik uzaylar tan mlanm ş ve temel özellikleri incelenmiştir. Daha sonra, genelleştirilmiş topolojilerden daha genel bir kavram olan genelleştirilmiş komşuluk sistemleri için regülerlik kavram araşt r lm ş; C-regüler ve M-regüler genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan mlanm şt r. Böylece Min taraf ndan 2008 de verilen zay f ( ; 0 )- sürekli fonksiyonlar gözönüne al nd ¼g nda; de¼ger kümesi C-regüler bir komşuluk sistemi ile donat lan zay f ( ; 0 )-sürekli her fonksiyonun ( ; 0 )-sürekli oldu¼gu gösterilmiştir. Benzer düşünceyle yar regülerlik kavram genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilmiş; C-yar regüler ve M-yar regüler genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan mlanm şt r. Bu kavramlar n temel özellikleri incelenerek klasik anlamda regüler ve yar regüler topolojik uzaylar n pek çok özelli¼gi sonuç olarak elde edilmiştir. 3

2. -AÇIK KÜMELER, GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILER VE GENELLEŞT IR ILM IŞ KOMŞULUK S ISTEMLER I Bu bölümde -aç k kümeler, -kompakt uzaylar, genelleştirilmiş topolojiler ve genelleştirilmiş komşuluk sistemleri ile ilgili temel kavramlar ve sonuçlar ifade edilmektedir. Bu çal şma boyunca; (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere int = i; cl = c ile, bir C X için X den C üzerine indirgenen topoloji C ile ve (X; ) topolojik uzay n n yar aç k (s ras yla ön-aç k, -aç k, -aç k, -aç k, -aç k) alt kümelerinin ailesi s () (s ras yla () ; () ; () ; () ; ()) ile gösterilecektir. 2.1. -Aç k Kümeler Bir topolojik uzay n genelleştirilmiş aç k kümeleri literatürde önemli bir yer teşkil etmiştir. Genelleştirilmiş aç k kümelerin pek çok ortak özelli¼ge sahip olmas na dayanarak; 1997 de Császar, daha genel tan mlar vermiş ve genelleştirilmiş aç k kümelerin pek çok ortak özelli¼ginin bu tan mlar yard m yla elde edilebilece¼gini göstermiştir. Şimdi bu tan m ve kavramlar k saca hat rlatal m. Császár (1997), genelleştirilmiş aç k kümeleri tan mlamak için temel araç olarak, X 6= ; bir küme olmak üzere, : exp X 7! exp X biçiminde tan ml ve 8A; B X 3 A B için (A) (B) koşulunu sa¼glayan fonksiyonlar kullanm ş ve bu fonksiyonlar n ailesi (X) ile gösterilmiştir. K saca; (A) = A; (X) = ve ; 0 2 için 0 = 0 biçiminde ifade edilmiştir. Z[ f+; g olmak üzere ile n 2 için n alt ailesinin ö¼gesi olan 2 lar n s n f gösterilmiştir. Bu s n ar; 2 0, ; = ; 2 1, X = X 2 2, 8A X için 2 A = A 2 +, 8A X için A A 2, 8A X için A A 4

2 2, 8A X için 2 A A biçiminde tan mlanm şlard r. + 1 ve 0 oldu¼gu kolayl kla gösterilebilir. dönüşümü; ailesinin birden fazla alt ailesine ait oldu¼gunda; örne¼gin n 2 f0; 1; g için 2 n ise, k saca 2 01 yaz l r. Örnek 2.1.1. X 6= ; bir küme olmak üzere id : exp X! exp X; 8A X için ida = A birim dönüşümü ele al n rsa id 2 012+ \ 012 olur. Örnek 2.1.2. (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere i : exp X! exp X; 8A X için ia = int A ve c : exp X! exp X; 8A X için ca = cl A dönüşümleri ele al n rsa i 2 012 ve c 2 012+ olur. Şimdi -aç k küme tan m n ifade edelim. Tan m 2.1.1. 2 denir. ve A X olsun. E¼ger; A A ise, A kümesine -aç kt r O halde; ; -aç kt r ve X in -aç k olmas için gerek ve yeter koşul 2 1 olmas d r. Herhangi bir A X için 2 2 olmas, A kümesinin -aç k olmas n ve 2 + olmas A kümesinin -aç k olmas n gerektirir. Ayr ca, 2 ise, bu durumda A kümesinin -aç k olmas için gerek ve yeter koşul A = A eşitli¼ginin gerçeklenmesidir. Aç kça görülece¼gi gibi bir topolojik uzayda = i al n rsa, i-aç k kümeler, topolojik uzay n aç k alt kümeleriyle çak ş r. Önerme 2.1.1. 2 de -aç kt r. olsun. Bu durumda, -aç k kümelerin herhangi birleşimleri Önerme 2.1.1 gözönüne al narak; bir A X için A n n kapsad ¼g, X in tüm -aç k alt kümelerinin birleşimine A n n -içi ad verilmiş ve inta = i A ile gösterilmiştir. Bir topolojik uzayda = i için i i = i dir. Önerme 2.1.2. 2 ve A X olsun. Bu durumda, i A kümesi A kümesinin kapsad ¼g en büyük -aç k kümedir. 5

i dönüşümünün baz temel özellikleri aşa¼g daki önermeler yard m yla ifade edilmiştir. Önerme 2.1.3. Herhangi bir 2 için aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (a) i 2 02 olur. (b) i 2 1 olmas için gerek ve yeter koşul 2 1 olmas d r. (c) 2 02 ise, bu durumda = i eşitli¼gi gerçeklenir. Önerme 2.1.4. Herhangi bir 2 ve A X için aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) A kümesi -aç kt r: (b) A = i A eşitli¼gi gerçeklenir. (c) A kümesi i -aç kt r. Di¼ger yandan; 2 olmak üzere, tümleyeni -aç k olan kümeye -kapal küme ad verilmiştir. Dolay s yla, 8 2 için X -kapal d r. ; nin -kapal olmas için gerek ve yeter koşul 2 1 olmas d r. Ayr ca, 2 + ise, bu durumda 8A X için A -kapal d r. Önerme 2.1.5. 2 de -kapal d r. olsun. Bu durumda, -kapal kümelerin herhangi kesişimleri Önerme 2.1.5 gözönüne al narak; bir A X için A kümesini kapsayan X in tüm -kapal alt kümelerinin kesişimine A n n -kapan ş ad verilmiş ve cla = c A ile gösterilmiştir. Bir topolojik uzayda, i-kapal kümeler, kapal kümelerle çak ş r ve c i = c dir. Önerme 2.1.6. 2 kapsayan en küçük -kapal kümedir. ve A X olsun. Bu durumda, c A kümesi A kümesini 6

8 2 ve 8A X için dönüşümü A = X (X A) biçiminde tan mlanm şt r. Şimdi, dönüşümünün temel özelliklerini ifade edelim. Bu sayede, c dönüşümünün pek çok özelli¼gi kolayca elde edilebilmektedir. Önerme 2.1.7. Herhangi bir 2 için aşa¼g daki özellikler vard r. (a) 2 ve ( ) = olur. (b) 2 0 olmas için gerek ve yeter koşul 2 1 olmas d r. (c) 2 1 olmas için gerek ve yeter koşul 2 0 olmas d r. (d) 2 2 olmas için gerek ve yeter koşul 2 2 olmas d r. (e) 2 + olmas için gerek ve yeter koşul 2 olmas d r. (f) (i ) = c eşitli¼gi gerçeklenir. Kolayca görülebilece¼gi üzere, bir topolojik uzayda i = c olacakt r. Önerme 2.1.8. 2 yeter koşul A A olmas d r. ve A X olsun. A kümesinin -kapal olmas için gerek ve Önerme 2.1.9. 2 2 ve A X olsun. Bu durumda A kümesi -aç k ise, c A = A eşitli¼gi gerçeklenir. c dönüşümünün baz temel özellikleri aşa¼g daki önermeler yard m yla ifade edilmiştir. Önerme 2.1.10. Herhangi bir 2 için aşa¼g daki özellikler vard r. (a) c 2 12+ olur. (b) c 2 0 olmas için gerek ve yeter koşul 2 1 olmas d r. 7

(c) 2 12+ ise, bu durumda = c eşitli¼gi gerçeklenir. Önerme 2.1.11. Herhangi bir 2 ve A X için aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) A kümesi -kapal d r. (b) A = c A eşitli¼gi gerçeklenir. (c) A kümesi i -kapal d r. Şimdi ailesine ait dönüşümlerin bileşkelerine ilişkin özellikleri hat rlatal m. Teorem 2.1.1. 1 ; 2 2 ise, 2 1 2 olur ve n = 0; 1; +; için 1 ; 2 2 n olmas, 2 1 2 n olmas n gerektirir. Ayr ca; ( 2 1 ) = 2 1 olur. Teorem 2.1.1 ele al n rsa; özel olarak, bir topolojik uzayda ic; ci; ici; cic 2 01 olaca¼g aç kt r. E¼ger; = ci (s ras yla; ic; ici; cic) al n rsa -aç k kümeler, yar -aç k (s ras yla; ön-aç k, -aç k, -aç k) kümelerle çak ş r. Karş l k gelen -kapal kümelerde s ras yla yar -kapal, ön-kapal, -kapal, -kapal kümelerdir. c ci A (s ras yla; c ic A; c ici A; c cic A) kümesi, A kümesinin yar -kapan ş (s ras yla; ön-kapan ş, -kapan ş, -kapan ş ) d r. Ayr ca; = c ci i al n rsa, -aç k kümeler, neredeyse aç k kümelerden başkas de¼gildir. Teorem 2.1.1 de, ailesinin n = 0; 1; +; olmak üzere, n alt aileleri için verilen pozitif sonuçlar 2 ailesi için gerçeklenmeyebilir. Aşa¼g daki örnek bu durumu aç klar. Örnek 2.1.3. R al ş lm ş topolojisiyle gözönüne al ns n ve : exp R! exp R dönüşümü 8A R için; 0 2 A ise A = f0g ve 0 =2 A ise A = ; biçiminde tan mlans n. Bu durumda; 2 02 ve i 2 012 dir. Ancak ir = f0g olmas na ra¼gmen iir = ; dir. Bu durumda, i =2 2 dir. Yukar da verilen örne¼ge ra¼gmen; {; 2 2 olmak üzere { ve n n bir çarp m şeklinde ifade edilebilen dönüşümleri için pozitif sonuçlar elde edilebilmiştir. 8

Lemma 2.1.1. {; 2 2 ve herhangi bir A X için {A A ve {A {A olsun. Bu durumda; { ve n n s ral çarp mlar şeklinde ifade edilebilen dönüşümleri 2 ye ait olacaklard r. Ancak = { durumu d şar da b rak lmal d r. Bu istisna {A {A koşulu 8A X için {A {A koşulu ile de¼giştirilerek ortadan kald r labilir. Sonuç 2.1.1. { 2 2 ve 2 2+ ise, { ve çarpanlar n n herhangi bir çarp m şeklinde ifade edilen dönüşümü 2 ailesine aittir. Özel olarak, bir topolojik uzayda icic = ic ve cici = ci dir. Dolay s yla; i ve c nin herhangi bir çarp m i; ic; ci; ici; cic fonksiyonlar ndan biriyle çak ş r. Lemma 2.1.2. 2 ise, -aç k her küme 8n 2 N için n -aç kt r. 2 2 ise, bu durumda -aç k kümelerle n -aç k kümeler çak ş r. n n bir di¼ger alt ailesi de 3 ile gösterilmiş ve aşa¼g daki şekilde tan mlanm şt r. Tan m 2.1.2. (X; ) bir topolojik uzay olsun. Bu durumda 3 ailesi; 3 = f 2 : 8G 2 ve 8A X için G \ A (G \ A)g biçiminde tan mlan r. (X; ) topolojik uzay nda, = c dönüşümünün 3 ailesine ait oldu¼gu bilinmektedir. 3 ailesinin temel özellikleri aşa¼g daki önermeler yard m yla verilmiştir. Önerme 2.1.12. (X; ) bir topolojik uzay, 1 ve 2 2 3 olsun. Bu durumda 2 1 2 3 olur. Önerme 2.1.13. (X; ) bir topolojik uzay, G 2 ; A X ve 2 3 olsun. Bu 9

durumda A kümesi -aç k ise, G \ A da -aç kt r. Di¼ger yandan; bir (X; ) topolojik uzay nda 2 3 hatta 2 023 olsa dahi aç k bir küme -aç k olmak zorunda de¼gildir. Aşa¼g daki örnek bu durumu aç klar. Örnek 2.1.4. U ile R üzerinde tan ml reel say lar n al ş lm ş topolojisi gösterilsin ve dönüşümü 0 2 A ise A = f0g ve 0 =2 A ise A = ; biçiminde tan mlans n. G = ]1; 3[ R için G = ; olup G * G dir. Dolay s yla, G kümesi -aç k de¼gildir. Önerme 2.1.14. (X; ) bir topolojik uzay, 2 Bu durumda G kümesi -aç kt r. 3 ve bir G 2 için G X olsun. Önerme 2.1.15. (X; ) bir topolojik uzay ve 2 3 ise, bu durumda i ve 2 3 olur. Sonuç 2.1.2. (X; ) bir topolojik uzay ve 2 3 ise, bu durumda c 2 3 olur. Önerme 2.1.16. (X; ) bir topolojik uzay ve 2 özellikler vard r. 3 olsun. Bu durumda aşa¼g daki (a) 2 (b) 2 0 olmas için gerek ve yeter koşul 8A X için A ca olmas d r. 1 olmas için gerek ve yeter koşul 8A X için ia A olmas d r. Önerme 2.1.17. (X; ) bir topolojik uzay, 2 23 ve 0 dönüşümü; i ve dönüşümlerinin herhangi bir çarp m olsun. Bu durumda; 0 = i durumu hariç 0 2 2 dir. Önerme 2.1.18. (X; ) bir topolojik uzay, 2 13 ve = fa X : A -aç kg olsun. ailesi aşa¼g daki koşullar sa¼glar. (a) Her aç k küme ya aittir. (b) n n herhangi say daki ö¼gelerinin birleşimi de ya aittir. (c) Bir aç k küme ile n n bir ö¼gesinin arakesiti de ya aittir. 10

Tersine, (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere, ailesi (a), (b) ve (c) ile verilen önermeleri gerçeklesin. Bu durumda, ailesi, -aç k kümelerin ailesi ile çak şacak şekilde bir 2 0123 dönüşümü mecuttur. Önerme 2.1.18(b) ile verilen özellik d ş nda -aç k kümeler, bir topolojik uzay n bilinen anlamda ki aç k kümelerinin sa¼glad ¼g özellikleri sa¼glamak zorunda de¼gildir. Örne¼gin; R al ş lm ş topolojisiyle gözönüne al n rsa A = [ 1; 0] ve B = [0; 1] kümeleri ci-aç k kümeler olmas na ra¼gmen A \ B = f0g kümesi ci-aç k de¼gildir. Teorem 2.1.2. 2 (X) olsun. Bu durumda; C = fc X : 8A X 3 A -aç k için C \ A -aç kg ailesi X üzerinde bir topolojidir. Ayr ca 2 ve (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere 2 1 ise, C ailesinin her ö¼gesi -aç kt r 3 olmas C olmas n gerektirir. Şimdi alt uzayda -aç k küme kavram n ifade edelim. (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X ve 2 (X) olsun. Alt uzayda -aç k küme tan m, X0 : exp X 0 7! exp X 0 ; X0 A = A \ X 0 biçiminde tan mlanan dönüşüm yard m yla ifade edilmiştir. Tan m 2.1.3. (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X, 2 (X) olsun ve X0 ile X den X 0 üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Bu durumda, herhangi bir A X 0 için A X0 A oluyor ise, A ya (X 0 ; X0 ) topolojik uzay nda -aç kt r (k saca X0 - aç kt r) denir. Örnek 2.1.5. (X; ) topolojik uzay gözönüne al nd ¼g nda, i ve c ile X üzerinde tan mlanan topolojisinin iç ve kapan ş operatörünü gösterelim. X 0 X için i 0 ve c 0 ile de dan X 0 üzerine indirgenen X0 topolojisinin iç ve kapan ş operatörü gösterilsin. Bu durumda; c X0 = c 0 olaca¼g aç kt r. Ancak, genellikle i X0 6= i 0 olur. Önerme 2.1.19. (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X olsun ve X0 ile X den X 0 üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Bu durumda 2 (X) ise, X0 2 (X 0 ) ve k = 0; +; ; 3 için 2 k ise, X0 2 k olur. 11

Önerme 2.1.20. (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X ve 2 (X) olsun. Bu durumda, X0 2 1 olmas için gerek ve yeter koşul X 0 kümesinin -aç k olmas d r. Önerme 2.1.21. (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X; X 0 2 ve 2 Bu durumda A kümesi -aç k ise, A \ X 0 kümesi X0 -aç kt r. 3 (X) olsun. -aç k kümelerle ilgili baz önemli özelliklerde yine Császár taraf ndan 2003 de verilmiştir. Şimdi bu özelliklerden bizim için önemli olanlar ifade edelim. (Császár 2003) Önerme 2.1.22. (X; ) bir topolojik uzay, A X 0 X ve 2 (X) olsun. A kümesinin X0 -aç k olmas için gerek ve yeter koşul A kümesinin -aç k olmas d r. (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X ve X0 ile de dan X 0 üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. i; c; i 0 ve c 0 Örnek 2.1.5 de verildi¼gi gibi al ns n ve 2 (X); s = ci; p = ic; = ici; = cic dönüşümlerinden herhangi biri olsun. Di¼ger yandan; expx 0 üzerinde tan ml s 0 = c 0 i 0 ; p 0 = i 0 c 0 ; 0 = i 0 c 0 i 0 ; 0 = c 0 i 0 c 0 dönüşümleri gözönüne al ns n. Genellikle; s X0 ; p X0 ; X0 ; X0 dönüşümleri s 0 ; p 0 ; 0 ; 0 dönüşümleri ile çak şmaz. Ancak, baz olumlu sonuçlar verilebilir: Önerme 2.1.23. = s; p; veya olarak al ns n. Aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (a) A X 0 ve A -aç k ise, bu durumda A 0 -aç kt r. (b) X 0 -aç k ise, bu durumda X 0 n 0 -aç k her alt kümesi -aç kt r. Tan m 2.1.4. X bir küme, 2 (X) ve C X olsun. X in -aç k her A alt kümesi için A \ C kümesi -aç k oluyor ise, C kümesine -conservativedir denir. Teorem 2.1.2 de, 2 (X) için X in tüm -conservative alt kümelerinin ailesi C ile gösterilmiş ve C ailesinin X üzerinde bir topoloji oldu¼gu ispatlanm şt r. Ayr ca; (X; ) bir topolojik uzay ve 2 3 ise, C olur ve 2 13 ise, C fg : G; -aç kg oldu¼gu kolayl kla görülür. 12

Son olarak Császár taraf ndan 2000 de verilen -kompakt uzay tan m n ve k saca -kompakt uzaylar n baz temel özelliklerini hat rlatal m. Tan m 2.1.5. (Császár 2000) (X; ) bir topolojik uzay ve 2 olsun. Bu durumda; 2 013 ve X kümesini örten herhangi bir A = (A k ) k2k -aç k alt kümeler ailesi için, X kümesini örtecek biçimde A ailesinin sonlu elemanl bir alt ailesi bulunabiliyor ise, X; -kompaktt r denir. Aç kca görülece¼gi üzere -kompakt her topolojik uzay kompakt r. Di¼ger yandan, -kompakt uzaylara baz örnekler = ci için yar -kompakt uzaylar (Dorsett 1980), = ic için kuvvetli kompakt uzaylar (Mashour and Abd El-Monsef 1984), = ici için -kompakt uzaylar (Maheshwari and Thakur 1985) ve = cic için -kompakt uzaylar (Abd El-Monsef and Kozae 1985) olarak al nabilir. X in bir alt uzay n n -kompakt olmas için gerek ve yeter şart alt uzay X den indirgenen topolojisiyle donat ld ¼g nda yukar daki özelli¼gin sa¼glanmas d r. Örne¼gin; (X; ) bir topolojik uzay, X 0 X olsun ve X0 ile de dan X 0 üzerine indirgenen topolojiyi gösterelim. i; c; i 0 ve c 0 dönüşümlerini Örnek 2.1.5 de verildi¼gi gibi tan mlayal m ve dönüşümü s = ci; p = ic; = ici; = cic dönüşümlerinden herhangi biri olsun. Bu durumda; e¼ger, 0 ; X 0 üzerinde tan ml s 0 = c 0 i 0 ; p 0 = i 0 c 0 ; 0 = i 0 c 0 i 0 ; 0 = c 0 i 0 c 0 dönüşümlerinden biri ise 0 2 013 (X 0 ) d r ve X 0 n 0 -kompakt olmas için gerek ve yeter şart X 0 = [ k2k A k ; A k 0 A k için X 0 = [ k2j A k olacak biçimde (9J) (J K) öyleki (J sonlu elemanl ) indis kümesinin var olmas d r. Di¼ger yandan; X 0 üzerinde tan ml X0 dönüşümü ele al n rsa, X 0 n X0 -kompakt olmas için gerek ve yeter şart X0 2 013 (X 0 ) ve X 0 = [ k2k A k ; A k X0 A k için X 0 = [ k2j A k olacak biçimde (9J) (J K) öyleki (J sonlu elemanl ) indis kümesinin var olmas d r. Ancak, s X0 ; p X0 ; X0 ; X0 dönüşümlerinin s 0 ; p 0 ; 0 ; 0 dönüşümleriyle çak şmad klar na dikkat edilmelidir. E¼ger, = s; p; ; için X 0 2 g ise sözkonusu dönüşümler çak ş r. 13

2.2. Genelleştirilmiş Topoloji ve Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri Genelleştirilmiş topoloji ve genelleştirilmiş komşuluk sistemi kavramlar 2002 de Császár taraf ndan ortaya konmuş ve takip eden y llarda bu kavramlarla ilgili pek çok çal şma yap lm şt r. Császár (2002); X 6= ; bir küme, I 6= ; bir indis kümesi ve g = (G { ) {2I exp X olmak üzere ; 2 g ve 8J I icin G = [ {2J G { 2 g koşulunu gerçekleyen g ailesine X üzerinde bir genelleştirilmiş topoloji (k saca GT) ve (X; g) ikilisine de genelleştirilmiş topolojik uzay ad n vermiştir. X üzerinde tan ml tüm genelleştirilmiş topolojilerin ailesi B (X) ile gösterilmiştir. g nin ö¼gelerine g-aç k kümeler ve g-aç k kümelerin tümleyenlerine de g-kapal kümeler denir. Herhangi bir A X için A kümesinin g-içi A n n kapsad ¼g g-aç k kümelerin en büyü¼gü olup i g A ile gösterilir. A kümesinin g-kapan ş ise A kümesini kapsayan g-kapal kümelerin en küçü¼gü olup c g A ile gösterilir. Dolay s yla; i g A = [ fg 2 g:g Ag (2.2.1) ve c g A = \ ff X : A F ve F g-kapal g (2.2.2) biçiminde tan mlanm şt r. Ayr ca, g genelleştirilmiş topolojisi X 2 g koşulunu sa¼gl yor ise, g ye kuvvetli genelleştirilmiş topoloji ad verilir (Császár 2004 a). X bir küme ve 2 (X) olsun. Bu durumda -aç k kümelerin oluşturdu¼gu aile X üzerinde bir GT olup g ile gösterilir. E¼ger bir 2 (X) için g=g ise, i g = i ve c g = c yaz l r. Ayr ca, (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere exp X in s (), p () ; () ; () ; () ve () alt kümeleri de X üzerinde birer GT dir. 2007 de Császár taraf ndan tan mlanan (g) ve (g) aileleri bizim için önem teşkil etmektedir. g; X üzerinde bir geneleştirilmiş topoloji olmak üzere bu aileler 14

(g) = fa X : 8x 2 A için x 2 G c g G A olacak biçimde bir G 2 g vard rg (g) = fa X : 8x 2 A için x 2 i g K A olacak biçimde g-kapal bir K X vard rg (2.2.3) biçiminde tan mlanm şt r. (g) (g) g olup (g) ve (g) aileleri de X üzerinde birer genelleştirilmiş topolojidir (Császár 2007 a). (g) ailesi için bir di¼ger karakterizasyonda aşa¼g daki şekilde verilmiştir. Önerme 2.2.1. (Császár 2008 a) g; X üzerinde bir geneleştirilmiş topoloji ve A X olsun. Bu durumda aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) A 2 (g) : (b) 8x 2 A için x 2 i g c g G A olacak biçimde x noktas n içeren bir G 2 g vard r. X in herhangi bir alt kümeler ailesi için temel ay rma aksiyomlar 2004 c de Császár taraf ndan tan mlanm şt r. O halde, g, X üzerinde bir GT olmak üzere T 0 ; T 1 ; T 2 ; S 1 ve S 2 ay rma aksiyomlar aşa¼g daki şekilde ifade edilir: (T 0 ) 8x; y 2 X ve x 6= y için x 2 G; y =2 G veya y 2 G; x =2 G olacak biçimde bir G 2 g vard r. (T 1 ) 8x; y 2 X ve x 6= y için x 2 G; y =2 G ve y 2 G 0 ; x =2 G 0 olacak şekilde G ve G 0 2 g vard r. (T 2 ) 8x; y 2 X ve x 6= y için x 2 G; y 2 G 0 ve G \ G 0 = ; olacak şekilde G ve G 0 2 g vard r. (S 1 ) x; y 2 X olmak üzere x 2 G ve y =2 G koşulunu sa¼glayan her G 2 g için, y 2 G 0 ve x =2 G 0 olacak şekilde bir G 0 2 g vard r. (S 2 ) x; y 2 X olmak üzere x 2 G ve y =2 G koşulunu sa¼glayan her G 2 g için, x 2 G 0, 15

y 2 G 00 ve G 0 \ G 00 = ; olacak şekilde G 0 ve G 00 2 g vard r. Tan m 2.2.1. (Császár 2007 b) g; X üzerinde bir GT olsun. Bu durumda F \F 0 = ; koşulunu sa¼glayan her F; F 0 X g-kapal kümeleri için F G, F 0 G 0 ve G\G 0 = ; olacak şekilde G ve G 0 g-aç k kümeleri varsa, g genelleştirilmiş topolojisi normaldir denir. Bir küme üzerinde genelleştirilmiş topolojiler elde etmek için di¼ger bir yöntem de genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan mlanarak verilmiştir. Tan m 2.2.2. (Császár 2002) dönüşümü; : X! exp (exp X) ; 8x 2 X ve 8V 2 (x) için x 2 V koşulu gerçeklenecek şekilde tan mlans n. Bu durumda, dönüşümüne X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi (k saca GNS) ve V 2 (x) kümesine x noktas n n bir genelleştirilmiş komşulu¼gu (k saca GN) ad verilir. (X) ile de X üzerinde tan ml tüm genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin ailesi gösterilir. 2 (X) için { ve dönüşümleri A X olmak üzere { A = fx 2 X : 9V 2 (x) 3 V Ag (2.2.4) ve A = fx 2 X : 8V 2 (x) için V \ A 6= ;g (2.2.5) biçiminde tan mlanm şt r. ; X üzerinde bir GNS olmak üzere yard m yla tan mlanan, g = fg X : 8x 2 G için 9V 2 (x) 3 V Gg ailesinin X üzerinde bir GT oldu¼gu gösterilmiş ve g genelleştirilmiş topolojisine genelleştirilmiş komşuluk sisteminin üretti¼gi GT ad verilmiştir. Bir 2 (X) için g = g ise, i g = i ve c g = c yaz l r. (Császár 2002) Ayr ca; g; X üzerinde bir GT olmak üzere her x 2 X için g (x) = fg 2 g : x 2 Gg biçiminde tan mlanan g dönüşümü X üzerinde bir GNS dir. Ancak baz x 2 X 16

noktalar için g (x) = ; olabilece¼gi dikkate al nmal d r. Di¼ger yandan; X üzerinde bir g genelleştirilmiş topolojisi verildi¼ginde 8x 2 X ve 8V 2 (x) için V 2 g koşulunu sa¼glayan genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin oluşturdu¼gu aile g (X) ile gösterilir. (Császár 2002) (2.2.1), (2.2.2), (2.2.4) ve (2.2.5) operatörlerinin temel özelliklerini ve aralar ndaki ilişkileri ifade eden sonuçlar, 2002 de Császár taraf ndan verilmiştir. Şimdi bu özellikleri ve sonuçlar k saca hat rlatal m. Lemma 2.2.1. ; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu durumda aşa¼g daki özellikler vard r. (a) { ve 2 (X) olur. (b) 8A X için A = X { (X A) eşitli¼gi gerçeklenir. (c) 8A X için i A { A ve A c A olur. Genelde bir 2 (X) ve herhangi bir A X için i A 6= { A ve A 6= c A d r. Örnek 2.2.1. X = R olsun ve 8x 2 X için (x) = f(x 1; x + 1)g biçiminde tan mlans n. Bu durumda, b a 2 olmak üzere I = (a; b) R için { I = [a + 1; b 1] ve g = f;; Xg oldu¼gundan i I = ; dir. Lemma 2.2.2. ; X üzerinde g = g için 2 g (X) koşulunu gerçekleyen bir GNS olsun. Bu durumda, { = i ve = c eşitlikleri gerçeklenir. Lemma 2.2.3. g; X üzerinde bir GT ve = g olsun. Bu durumda, g = g dir. Önerme 2.2.2. (Császár 2008 b) ; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu durumda, { 2 ve 2 + olur. 17

Ayr ca g2b (X) ve 2 + (X) olmas durumunda 8x 2 X için (; g) (x) = fv X : 9G 2 g 3 x 2 G ve V = Gg biçiminde tan mlanan (; g) dönüşümü X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemidir (Császár 2002). Bunlara ek olarak, yine 2002 de Császár genelleştirilmiş süreklilik kavram n ortaya koyarak; literatürde bilinen pek çok süreklilik çeşidinin birarada incelemesini elverişli k lacak bir tan m vermiştir. Tan m 2.2.3. X ve Y iki küme ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. g ve g 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml birer GT olsun. Bu durumda; 8G 0 2 g 0 için f 1 (G 0 ) 2 g oluyor ise, f fonksiyonuna (g; g 0 )-süreklidir (veya genelleştirilmiş süreklidir) denir. (X; ) ve (Y; 0 ) topolojik uzaylar gözönüne al n rsa; (; 0 )-süreklilik al ş lm ş anlamda süreklili¼ge, (s () ; 0 )-süreklilik yar süreklili¼ge (Levine 1963), (p () ; 0 )- süreklilik ön-süreklili¼ge (Mashhour et al. 1982), ( () ; 0 )-süreklilik -süreklili¼ge (Abd El-Monsef et al. 1983), ( () ; 0 )-süreklilik -süreklili¼ge (Mashhour et al. 1983) karş l k gelir. Tan m 2.2.4. (Császár 2003) X ve Y iki küme ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. g ve g 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml birer GT olsun. Bu durumda; 8G 2 g için f (G) 2 g 0 oluyor ise, f fonksiyonuna (g; g 0 )-aç kt r denir. Tan m 2.2.5. (Császár 2008 b) X ve Y iki küme ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. g ve g 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml birer GT olsun. Bu durumda; f fonksiyonu birebir, örten ve f ve f 1 fonksiyonlar genelleştirilmiş sürekli ise, f fonksiyonuna (g; g 0 )-homeomor zm (genelleştirilmiş homeomor zm) ad verilir. Genelleştirilmiş komşuluk sistemleri yard m yla süreklilik kavram ve bu kavram n temel özellikleri 2002 de Császár taraf ndan verilmiştir. Şimdi bu kavramlardan bizim için önemli olanlar hat rlatal m. 18

Tan m 2.2.6. X ve Y iki küme ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. X ve Y üzerinde tan ml 2 (X) ve 0 2 (Y ) genelleştirilmiş komşuluk sistemlerini gözönüne alal m. Herhangi bir x 2 X al nd ¼g nda 8V 0 2 0 (f (x)) için f (V ) V 0 koşulunu sa¼glayan bir V 2 (x) bulunabiliyor ise, f fonksiyonuna ( ; 0 )-süreklidir denir. Literatürde, ( ; 0 )-süreklilik için bilinen çok say da örnek vard r. (X; ) ve (Y; 0 ) topolojik uzaylar gözönüne al n rsa; ( ; 0 )-süreklilik; = ve 0 = (c 0; 0 ) için zay f süreklili¼ge (Mashhour et al. 1982), = () ve 0 = (c 0; 0 ) için zay f -süreklili¼ge (Popa and Noiri 1994), = () ve 0 = (c 0; 0 ) için zay f - süreklili¼ge (Noiri 1987), = s() ve 0 = (c 0; 0 ) için zay f yar -süreklili¼ge (Arya and Bhamini 1982) karş l k gelir. Örneklerin say s artt r labilir. Önerme 2.2.3. X ve Y iki küme ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. X ve Y üzerinde tan ml 2 (X) ve 0 2 (Y ) genelleştirilmiş komşuluk sistemlerini gözönüne alal m. f fonksiyonu ( ; 0 )-sürekli ise, g ; g 0 -süreklidir. Ancak Önerme 2.2.3 ün karş t genellikle do¼gru de¼gildir. Aşa¼g daki örnek bu durumu aç klar. Örnek 2.2.2. X = fa; b; cg ve X üzerinde = f;; X; fag ; fbg ; fa; bgg ve 0 = f;; X; fag ; fcg ; fa; cgg topolojileri verilsin. = (c ; ) ve 0 = (c 0; 0 ) al n rsa; g = g 0 = f;; Xg olup f = id x birim dönüşümü g ; g 0 -süreklidir, ancak ( ; 0 )- sürekli de¼gildir. Önerme 2.2.3 ün karş t n n gerçeklenmesi için gerekli koşul aşag daki şekilde ifade edilmiştir. Önerme 2.2.4. X ve Y iki küme ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. X ve Y üzerinde tan ml 2 (X) ve 0 2 (Y ) genelleştirilmiş komşuluk sistemlerini gözönüne alal m. f fonksiyonu g ; g 0 -sürekli ise ve 0 = g 0 olacak biçimde bir g 0 2 B (Y ) varsa, bu durumda f fonksiyonu ( ; 0 )-süreklidir. Teorem 2.2.1. ve 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml iki GNS olsun ve f : 19

X 7! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) f fonksiyonu ( ; 0 )-süreklidir. (b) 8A X için f A 0f (A) gerçeklenir. (c) 8B Y için f 1 (B) f 1 0B gerçeklenir. Genelleştirilmiş komşuluk sistemleri için farkl iki dönüşüm ve farkl bir süreklilik tan m da 2005 de Min taraf ndan verilmiştir. Bu kavramlardan ve özelliklerinden k saca bahsedelim. Tan m 2.2.7. ; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu durumda; 8A X için I ve cl operatörleri I A = fx 2 A : A 2 (x)g (2.2.6) ve cl A = fx 2 X : X A =2 (x)g (2.2.7) biçiminde tan ml d r. Teorem 2.2.2. ; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi ve A X olsun. Bu durumda (a) I A A ve A cl A olur. (b) cl A = X I (X A) ve I A = X cl (X A) eşitlikleri gerçeklenir. (c) I A { A ve A cl A olur. Genelde I A 6= { A ve A 6= cl A d r. Aşa¼g daki örnek bu durumu aç klar. Örnek 2.2.3. X = fa; b; cg ve A = fa; bg olarak al ns n ve X üzerinde genelleştirilmiş komşuluk sistemi; (a) = ffag ; fa; bgg ; (b) = ffbgg ve (c) = ffcgg biçimimde tan mlans n. Bu durumda, I A = fag ; ancak { A = fa; bg oldu¼gun- 20

dan I A 6= { A oldu¼gu aç kt r. Benzer şekilde A 6= cl A oldu¼gu da kolayl kla gösterilebilir. Ayr ca B = X A için I B = ; oldu¼gundan I A * I B dir. Tan m 2.2.8. ve 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml iki GNS olsun ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X noktas al nd ¼g nda f (x) noktas n n 8V 2 0 (f (x)) genelleştirilmiş komşulu¼gu için f 1 (V ) 2 (x) oluyorsa f fonksiyonu gnsüreklidir denir. Önerme 2.2.5. gn-sürekli her fonksiyon ( ; 0 )-süreklidir. Teorem 2.2.3. ve 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml iki GNS olsun ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) f fonksiyonu gn-süreklidir. (b) 8B Y için f I 1 0 (B) I (f 1 (B)) gerçeklenir. (c) 8B Y için cl (f 1 (B)) f cl 1 0 (B) gerçeklenir. Tan m 2.2.9. ve 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml iki GNS olsun ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X noktas ve x noktas n n 8V 2 (x) genelleştirilmiş komşulu¼gu için f (V ) 2 0 (f (x)) oluyorsa f fonksiyonu gn-aç kt r denir. Teorem 2.2.4. ve 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml iki GNS ve f : X 7! Y birebir ve örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) f fonksiyonu gn-aç kt r. (b) 8B Y için I (f 1 (B)) f I 1 0 (B) gerçeklenir. Tan m 2.2.10. (Min 2008) (a) X ve Y iki küme, g ve g 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml birer GT olsun ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda; 8x 2 X ve f (x) noktas n içeren 8G 0 2 g 0 için f (G) c g 0G 0 olacak biçimde x noktas n içeren bir G 2g var ise, f fonksiyonuna zay f (g; g 0 )-süreklidir denir. 21

(b) ve 0 s ras yla X ve Y üzerinde tan ml iki GNS olsun ve f : X 7! Y fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X al nd ¼g nda 8V 2 0 (f (x)) için f (U) 0V koşulunu sa¼glayan bir U 2 (x) varsa, f fonksiyonuna zay f ( ; 0 )-süreklidir denir. Son olarak; Császár taraf ndan verilen ascending alt kümeler ailesi kavram n ifade edelim. Tan m 2.2.11. (Császár 2008 b) ile exp X in herhangi bir alt kümeler ailesi gösterilsin ve A; B X olsun. E¼ger, A 2 ve A B X olmas B 2 olmas n gerektiriyor ise ailesine exp X in ascending bir alt kümeler ailesidir denir. E¼ger, exp X ise + = fb X : 9A 2 3 A Bg biçiminde tan mlanan aile ailesini içeren en küçük ascending alt kümeler ailesidir. Böylece; bir GNS olmak üzere, Császár (2008 b) taraf ndan, + dönüşümü, her x 2 X için + (x) = fw X : 9V 2 (x) 3 V W g (2.2.8) biçiminde tan mlanm ş ve + n n da bir GNS oldu¼gu gösterilmiştir. 22

3. co--kompakt GENELLEŞT IR ILM IŞ TOPOLOJ ILER VE c-genelleşt IR ILM IŞ SÜREKL I FONKS IYONLAR Bu bölümde, kokompakt topoloji ve c-sürekli fonksiyon kavramlar hat rlat larak bu kavramlar ile ilgili baz temel sonuçlar ifade edilmiştir. Daha sonra orjinal sonuçlar verilmiştir. Öncelikle, -kompakt uzay tan m kullan larak, kokompakt topoloji ve c-sürekli fonksiyon kavramlar genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiştir. Böylece, co--kompakt ve quasi co--kompakt genelleştirilmiş topoloji tan mlar elde edilmiştir. Ayr ca c-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan mlanarak temel özellikleri incelenmiştir. 3.1. Kokompakt Topolojiler ve c-sürekli Fonksiyonlar c-sürekli fonksiyonlar 1970 de Gentry ve Hoyle taraf ndan tan mlanm şt r. Daha sonra, 1978 de Gauld bir (X; ) topolojik uzay n gözönüne alarak, X üzerinde, Gentry ve Hoyle taraf ndan tan mlanan c-sürekli fonksiyonlarla ilişkili ve dan daha kaba olan kompakt bir topoloji tan mlam ş ve bu topolojiye kokompakt topoloji ad n vermiştir. Şimdi bu kavramlar ve temel özelliklerini k saca hat rlatal m. Tan m 3.1.1. (Gentry and Hoyle 1970) (X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay olsun ve f : (X; ) 7! (Y; 0 ) fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X al nd ¼g nda f (x) noktas n içeren ve tümleyeni kompakt olan 8V 2 0 için x noktas n içeren ve f (U) V koşulunu sa¼glayan bir U 2 varsa, f fonksiyonuna c-süreklidir denir. Gauld (1978), bir (X; ) topolojik uzay n gözönüne alarak X üzerinde c () = f;g [ fa 2 : X A; X A -kompaktg ailesini tan mlam ş ve bir topoloji oldu¼gunu göstermiştir. Bu topolojiye X üzerinde tan ml kokompakt topoloji ad verilir. Teorem 3.1.1. (Gauld 1978) (X; c ()) topolojik uzay kompaktt r. 23

Sonuç 3.1.1. (Gauld 1978) ; X üzerinde bir topoloji olmak üzere c () = olmas için gerek ve yeter koşul (X; ) topolojik uzay n n kompakt olmas d r. 3.2. co--kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler Bu bölümde Császár taraf ndan verilen -kompaktl k kavram ndan faydalanarak, X üzerinde, Gauld taraf ndan tan mlanan kokompakt topolojinin analo¼gu olan bir genelleştirilmiş topoloji elde edilecektir. (X; ) bir topolojik uzay ve 2 013 (X) olmak üzere; c (g ) = c () [ fa 2 g : 9C 2 C 3 X A C ve C; C -kompaktg (3.2.1) ailesini tan mlayal m. c (g ) ailesi g genelleştirilmiş topolojisinin bir alt ailesidir. Öncelikle elde edece¼gimiz sonuçlar için gerekli olan aşa¼g daki lemmay verelim. Lemma 3.2.1. (X; ) bir topolojik uzay, 2 013 (X), O C X olsun ve C ile de X den C üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Bu durumda aşa¼g daki özellikler vard r. (a) C 2 C ve O 2 C ise, bu durumda O kümesi C -aç kt r. (b) C 2 ise, bu durumda O 2 C olmas için gerek ve yeter koşul O kümesinin i C -aç k olmas d r. Ispat. (a) O 2 C olsun. Bu durumda O = U \ C olacak biçimde bir U 2 vard r. Önerme 2.1.18 (a) kullan l rsa, 2 13 oldu¼gundan U 2 g olacakt r. Böylece Tan m 2.1.4 den O 2 g sonucu elde edilir. O halde O O \ C = C O olur. Dolay s yla O kümesi C -aç kt r. (b) = i 2 13 için C i = olaca¼g aç kt r. O halde O 2 C ise, (a) dan O kümesi i C - aç kt r. Di¼ger yandan, O kümesi i C -aç k olsun. Bu durumda O i C O = io\c io olur. Böylece O 2 ve O C oldu¼gundan O 2 C dir. 24

Sonuç 3.2.1. (X; ) bir topolojik uzay, 2 aşa¼g daki özellikler vard r. 013 (X), C X olsun. Bu durumda (a) C 2 C ve C; C -kompakt ise, (C; C ) kompaktt r. (b) C 2 olsun. Bu durumda C nin i C -kompakt olmas için gerek ve yeter koşul (C; C ) alt uzay n n kompakt olmas d r. Böylece aşa¼g daki önermeyi verebiliriz. Önerme 3.2.1. c (g ) ailesi X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topolojidir. Ispat. ; ve X 2 c (g ) d r. A = [ {2I A { öyle ki 8{ 2 I için A { 2 c (g ) olsun. Bu durumda üç olas l k söz konusudur: (a) 8{ 2 I için A { 2 c () ise, c () X üzerinde bir topoloji oldu¼gundan A 2 c () c (g ) olacakt r. (b) 8{ 2 I için A { 2 c (g ) c () ise, bu durumda 8{ 2 I için A { 2 g olaca¼g aç kt r. O halde, A 2 ya da A 2 g olacakt r. Öncelikle, A 2 oldu¼gunu kabul edelim. Bir { 2 I seçilirse, A { 2 c (g ) c () oldu¼gundan, X A { C { ; C { 2 C ve C { ; C{ -kompakt olacak biçimde bir C { X vard r. Böylece C { 2 C oldu¼gundan, Sonuç 3.2. (a) dan (C { ; C{ ) topolojik uzay kompaktt r. Di¼ger yandan, X A kümesi (C { ; C{ ) topolojik uzay n n kapal bir alt kümesidir. O halde A 2 c () c (g ) d r. Şimdi, A 2 g oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda, 8{ 2 I için X A X A { oldu¼gundan, X A { C { ; C { 2 C ve C { ; C{ -kompakt olacak biçimde bir C { X vard r. O halde A 2 c (g ) olur. (c) { 2 J ( I için A { 2 c () ve { 2 I J için A { 2 c (g ) c () ise, bu durumda { 2 J ( I için A { 2 ve { 2 I J için A { 2 g olur. Böylece A 2 c (g ) oldu¼gu (b) için verilen ispata benzer biçimde kolayl kla elde edilir. Örnek 3.2.1. X = fa; b; cg, = fx; ;; fag ; fbg ; fa; bgg ve : exp X 7! exp X; = ci olarak al ns n. Bu durumda 2 013 ve g = fx; ;; fag ; fbg ; fa; bg ; fa; cg ; fb; cgg dir. Ayr ca c (g ) = g oldu¼gu kolayl kla görülür. Dolay s yla c (g ) ailesinin 25

X üzerinde bir topoloji olmak zorunda olmad ¼g aç kt r. Tan m 3.2.1. c (g ) ailesine X üzerinde tan ml co--kompakt genelleştirilmiş topoloji denir. Tan m 3.2.2. g; X üzerinde bir kuvvetli GT olsun. E¼ger; X kümesini örten herhangi bir A = (A k ) k2k g-aç k alt kümeler ailesi için, X kümesini örtecek biçimde A ailesinin sonlu elemanl bir alt ailesi bulunabiliyor ise, (X; g) genelleştirilmiş topolojik uzay na kompakt genelleştirilmiş topolojik uzay denir. Lemma 3.2.2. (X; ) bir topolojik uzay ve 2 önermeler denktirler. 013 olsun. Bu durumda aşa¼g daki (a) X; -kompaktt r. (b) (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd r. Ispat. Tan m 2.1.5 ve 3.2.2 den aç kça görülür. Tan m 3.2.2 gözönüne al nd ¼g nda (X; c (g )) genelleştirilmiş topolojik uzay için aşa¼g daki teorem verilebilir. Teorem 3.2.1. (X; c (g )) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd r. Ispat. X = [ {2I A { öyle ki 8{ 2 I için A { 2 c (g ) olsun. Bu durumda iki olas l k söz konusudur: (a) 8{ 2 I için A { 2 c () olsun. O halde bir { 0 2 I seçilirse, X A {0 ; (X; ) topolojik uzay n n kompakt bir alt uzay d r. Dolay s yla, X A {0 [ {2F A { olacak biçimde sonlu elemanl bir F I indis kümesi vard r. Böylece X = A {0 [ (X A {0 ) oldu¼gundan (X; c (g )) bir kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd r. (b) { 2 J ( I için A { 2 c () ve { 2 I J için A { 2 c (g ) c () olsun. Bu durumda bir { 0 2 I J için X A {0 C {0 ; C {0 2 C ve C {0 ; C{0 -kompakt olacak biçimde bir C {0 X vard r. Di¼ger yandan; C {0 = [ {2I (A { \ C {0 ) yaz labilir. Ayr ca, 8{ 2 I 26

için A { \ C {0 2 g oldu¼gundan 8{ 2 I için A { \ C {0 kümesi C{0 -aç kt r. O halde; C {0 = [ {2F (A { \ C {0 ) olacak biçimde sonlu elemanl bir F I indis kümesi vard r. Dolay s yla, X = S A { olur, yani (X; c (g )) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd r. {2f{ 0 g[f (X; ) bir topolojik uzay ve = i olarak al n rsa g i = olaca¼g ndan aşa¼g da verilen teoremin ispat aç kt r. Teorem 3.2.2. (X; ) bir topolojik uzay ve = i olsun. Bu durumda; c () = c () eşitli¼gi gerçeklenir. Böylece Teorem 3.1.1, = int için Teorem 3.2.1 ve 3.2.2 nin bir sonucu olarak elde edilir. Sonuç 3.2.2. (X; c ()) kompakt bir topolojik uzayd r. Son olarak Sonuç 3.1.1 in analo¼gu olan aşa¼g daki teoremi ifade edelim. Teorem 3.2.3. (X; ) bir topolojik uzay ve 2 013 (X) olsun. Bu durumda aşa¼g daki önermeler denktirler. (a) (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd r. (b) c (g ) = g eşitli¼gi gerçeklenir. Ispat. (a))(b) c (g ) g oldu¼gu (3.2.1) den aç kt r. Di¼ger yandan, herhangi bir A 2 g alal m. Bu durumda iki olas l k söz konusudur; A 2 ya da A 2 g olacakt r. A 2 ise, X A kümesi (X; ) topolojik uzay n n kapal bir alt kümesidir. O halde, -kompakt her topolojik uzay kompakt oldu¼gundan, (X A; X A ) kompakt olup A 2 c () c (g ) olur. Şimdi A 2 g oldu¼gunu kabul edelim. 2 13 oldu¼guna göre, Teorem 2.1.2 den C olup X 2 C d r. Ayr ca, Lemma 3.2.2 den X; -kompaktt r. Böylece X A X 2 C ve X; -kompakt oldu¼gundan A 2 c (g ) olur. 27

(b))(a) c (g ) = g ise, Teorem 3.2.1 den (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd r. Böylece Sonuç 3.1.1, Teorem 3.2.2 ve = i için Teorem 3.2.3 ün bir sonucu olarak elde edilir. Sonuç 3.2.3. (X; ) topolojik uzay n n kompakt olmas için gerek ve yeter koşul c () = olmas d r. 3.3. Quasi co--kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler (X; ) bir topolojik uzay ve 2 013 (X) olmak üzere qc (g ) = f;g [ fa 2 g : 9C 2 C 3 X A C ve C; C -kompaktg (3.3.1) ailesini tan mlayal m. qc (g ) ailesi, g genelleştirilmiş topolojisinin bir alt ailesidir. Önerme 3.3.1. qc (g ) ailesi X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topolojidir. Ispat. ; ve X 2 qc (g ) d r. 8{ 2 I için A { 2 qc (g ) olmak üzere A = [ {2I A { olsun. Bu durumda; A 2 g ve 8{ 2 I için X A = \ {2I (X A { ) X A { d r. Böylece, A { 2 qc (g ) oldu¼gundan X A { C { ve C { ; C{ -kompakt olacak biçimde bir C { 2 C vard r. Dolay s yla, A 2 qc (g ) olur. Tan m 3.3.1. qc (g ) ailesine X üzerinde tan ml quasi co--kompakt genelleştirilmiş topoloji ad verilir. Şimdi (3.2.1) ve (3.3.1) de verilen aileler aras ndaki baz ilişkileri ifade edelim. Teorem 3.3.1. (X; ) bir topolojik uzay olsun ve int = i ile gösterilsin. Bu durumda (a) 8 2 013 için qc (g ) c (g ), (b) 8 2 013 için c (g ) = c () [ qc (g ), 28