MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA

ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI adlı bu tezi Yüksek Lisas tezi olarak uygu olduğuu oaylarım. Yrd. Doç. Dr. Erca ALTINIŞIK Tez Daışmaı, Matematik Aabilim Dalı.. Bu çalışma, jürimiz tarafıda oy birliği ile Matematik Aabilim Dalıda Yüksek Lisas tezi olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU (başka) Matematik Aabilim Dalı, Akara Üiversitesi.. Yrd. Doç. Dr. Erca ALTINIŞIK(daışma) Matematik Aabilim Dalı, Gazi Üiversitesi.. Prof. Dr. Dursu TAŞCI (üye) Matematik Aabilim Dalı, Gazi Üiversitesi. Tarih: / / 200 Bu tez ile G.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Yöetim Kurulu Yüksek Lisas derecesii oamıştır. Prof. Dr. Bilal TOKLU Fe Bilimleri Estitüsü Müdürü

iii TEZ BİLDİRİMİ Tez içideki bütü bilgileri etik davraış ve akademik kurallar çerçeveside elde edilerek suulduğuu, ayrıca tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışmada orijial olmaya her türlü kayağa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiririm. Mehmet YILDIZ

iv MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI (Yüksek Lisas Tezi) Mehmet YILDIZ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Ocak 200 ÖZET Bu çalışmada, sayılar teoriside aritmetik foksiyoları kullaışlı araçlarıda ola Möbius iversiyo formulüü bazı geelleştirilmeleri suulmuştur. Bu geelleştirilmeleri çeşitli koulardaki uygulamaları verilmiştir. So bölümde Möbius iversiyo formulüü geelleştirilmesi ile ilgili yaptığımız çalışmalar tartışılmıştır. Bilim kodu : 403 Aahtar Kelimeler : Möbius iversiyo formulü, aritmetik foksiyo, Dirichlet kovulosyou, icidece cebiri, icidece foksiyou Sayfa Adedi : 69 Tez Yöeticisi : Yrd. Doç. Dr. Erca ALTINIŞIK

v MÖBIUS INVERSION FORMULA, ITS GENERALIZATIONS AND APPLICATIONS (M.Sc.Thesis) Mehmet YILDIZ GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Jauary 200 ABSTRACT I this study, we preset some geeralizatios of Möbius iversio formula which is a useful tool for arithmetical fuctios o the theory of umbers. The we give its applicatios to various areas. I the last sectio we argue our study o its geeralizatios. Sciece Code : 403 Key Words : Möbius iversio formula, arithmetical fucito, Dirichlet covulotio, icidece algebra, icidece fuctio Page Number : 69 Adviser : Assistat Professor, Erca ALTINIŞIK

vi TEŞEKKÜR Yaptığımız çalışmalar boyuca çok kıymetli ola zamaıı ve bilgilerii bizde esirgemeye çok değerli ve sabırlı hocam Yrd. Doç. Dr. Erca ALTINIŞIK a yürekte teşekkürlerimi bir borç bilirim.

vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... v TEŞEKKÜR... vi İÇİNDEKİLER... vii ŞEKİLLERİN LİSTESİ... viii. GİRİŞ... 2. ÖN BİLGİLER... 8 2.. Aritmetik Foksiyo Kavramı... 8 2.2. Aritmetik Foksiyoları Dirichlet Çarpımları... 2 2.3. Möbius iversiyo Formülü... 2 2.4. Çarpımsal Foksiyolar... 20 3. KISMİ SIRALI KÜMELERDE MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ... 24 3.. Kısmi Sıralı Kümeler... 24 3.2. İcidece Cebiri... 3 3.3. Kısmi Sıralı Kümelerde Möbius İversiyo Formülü ve Uygulamaları... 34 4. GENELLEŞTİRİLMİŞ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLLERİ 39 4.. Parametrik Möbius İversiyo Formülü 39 4.2. Soyut Möbius İversiyo Formülü 44 4.3. Selberg-Çarpımsal Foksiyolar İçi Geelleştirilmiş Möbius İversiyo Formülü... 5 4.4. Kombiatorik Aalizde Möbius İversiyo Uygulaması... 60 5. SONUÇ... 66

viii Sayfa KAYNAKLAR... 68 ÖZGEÇMİŞ... 70

ix ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 3.. 5, B3 ve D 2 kısmi sıralı kümeleri Hasse diyagramı... 37 Şekil 3.2. Eş.3.. ile verile kısmi sıralı kümei Hasse diyagramı... 45

.GİRİŞ Euler Sosuzu Aalizie Giriş adlı eserii [] Çarpımlarda Elde Edile Seriler Üzerie başlıklı bölümüde P = s p p çarpımıı P = olarak s yazılabileceğii göstermiş ve PQ = koşuluu sağlaya Q çarpımıı Q = = P s olarak yazılabileceğii açık olduğuu söyledikte sora p p = Q = + + s s s s s s s 2 3 5 6 7 0 olduğuu ispatlamıştır. Euler, bu serii 2 r ( p p2 p r ) s geel terimii katsayısıı = 2 = = r = 0ise, = 2 = = r = ise ( ) r i 2ise0 olduğuu sözcüklerle ifade etmiştir. Euler i bu şekilde taımladığı foksiyou aritmetik öemi Möbius tarafıda keşfedilmiştir. Möbius [2] çalışmasıda; verile bir keyfi f ( z ) foksiyou ve gz ( ) = af( z) (.) = ile taımlı gz ( ) foksiyou içi f ( z ) yi gz ( ) i terimleri ciside f ( z) = b g( z ) (.2) = olarak asıl belirleebilir? problemii ortaya atmıştır. Eğer f ( z ) foksiyou f( z) c z c z 2 = + 2 + biçimide bir kuvvet serisi olarak alıırsa bu problem biçimsel

2 kuvvet serileri ile ilgili bir problem olarak ele alıabilir. Gerçekte verile ( a ) katsayıları, = ise ab d = d 0, > ise d (.3) eşitliğide yerlerie yazılarak ( b ) dizisi elde edilir. Özel olarak her pozitif tamsayısı içi a = alıırsa b, µ ile gösterdiğimiz Möbius foksiyouda başka bir şey değildir. Burada Möbius ü sorusuu a = içi yaıtı; biçimsel seriler içi gz ( ) = f( z) f( z) = µ ( gz ) ( ) = = (.4) z z Möbius iversiyo formülüdür. Burada f ( e ) = F( z) ve ge ( ) = Gz ( ) alıırsa Eş... ve Eş..2. eşitlikleri sırasıyla Gz ( ) = afz ( ) ve = F( z) = bg( z) = biçimide daha uygu bir hal alır [3]. Güümüzde Möbius foksiyou içi kulladığımız µ ilk kez 874 yılıda F. Mertes tarafıda kullaılmıştır [3-4]. Hille ve Szasz ı çalışmalarıa [5-6] kadar bu seriler biçimsel olarak ele alımıştır. + Hille ve Szasz ı çalışmalarıı bir soucu olarak içi g ( ) = f( m) m= ve ε f( ) yakısak olacak şekilde bir ε > 0 sayısı vardır acak ve acak =

3 f ( ) = µ ( m) g( m) ve m= ε g( ) yakısak olacak şekilde bir ε > 0 sayısı = vardır teoremii ispatlamışlardır. Böylece Eş... ve Eş..2. ile verile serileri yakısaklıkları da icelemiştir. Möbius iversiyo formülüü g( ) = f( d) f( ) = µ ( d) g( ) d (.5) d d biçimideki ilk solu versiyou Dedekid [7] ve Liouville [8] tarafıda eş zamalı olarak 857 yılıda verilmiştir. Bu gelişmelerde bağımsız olarak 935 yılıda Weiser [9] ve 936 yılıda Philip Hall [0] grup teori problemleri ile ilgili çalışmalarıda Eş..5. ile verile Möbius iversiyo formülüü geel bir halii elde etmişlerdir. Hall bir kümei kuvvet kümesii kapsama bağıtısı ile oluşturduğu kısmi sıralı küme üzeride Möbius iversiyo formülüü yeide keşfetmiştir. Weiser ise daha geel olarak herhagi bir kısmi sıralı kümede bu geellemeyi gerçekleştirmiştir. ( P, ) bir kısmi sıralı küme olsu. Verile bir f : P foksiyou; bir t P içi x t olmadıkça f( x ) = 0 şartıı sağlası. Weiser çalışmasıda [9] x P içi gx ( ) = f( z) ise f ( x) = g( z) µ ( z, x) (.6) x z z x olduğuu ispatlamıştır. Weiser i grup teorideki bir problemi çözümü içi elde ettiği kısmi sıralı kümeler üzerideki Möbius iversiyo formülü 964 yılıda Rota [] tarafıda çok daha geel bir amaç içi verilmiştir.

4 Gerçekte bu kısmi sıralı kümei elemalarıı grup, halka, cisim, vektör uzayı gibi cebirsel yapıları alt yapıları olması, bir topolojik uzayı açık veya kapalı kümelerii olması, bir grafı köşelerii olması, bir parçalamaı bloklarıı olması durumlarıda Möbius iversiyo formülüü özellikle sayma problemleri ile ilgili bir çok problemi çözümüde kullaılması bu aracı geelliğii çok iyi vurgulamaktadır. Rota da sora yapıla çalışmalarda [2] P bir kısmi sıralı küme olmak üzere P P de ye taımlaa icidece foksiyoları içi Möbius iversiyo formülü elde edilmiştir. ( P, ) yerel solu bir kısmi sıralı küme olmak üzere FP ( ) icidece cebiri üzeride f g kovülasyou x, y P içi (.7) gx ( ) = f( y) f( x) = gy ( ) µ ( yx, ) y x y x ile taımlamaktadır. Bu cebiri birim elemaı x = y δ ( xy, ) = 0 x y olup x y ζ ( xy, ) = 0 aksi halde icidece foksiyouu kovülasyoua göre tersi P i Möbius foksiyou µ dir. Bu durumda Möbius iversiyo formülü f F( P) olmak üzere g = f ζ f = g µ (.8) veya

5 h= e f f = µ h (.9) halii alacaktır. Bu gelişmelerde sora 997 yılıda Che [3] yaptığı geelleştirme ile Möbius foksiyouu ortaya çıktığı seriler ile ilgili problem ile Möbius iversiyo formülüü solu versiyouu birleştirmeyi başarmıştır. A boşta farklı bir küme, FP ( ) icidece cebiri ve Eş..7. ile taımlaa kovülasyo olmak üzere P A üzerideki kompleks değerli foksiyolar P A üzeride bir vektör uzayı olup bu uzayı FP ( A) ile gösterilsi. f FP ( ) ξ FP ( A) olmak üzere Dξ f( a, x) ξ f( a, x) ξ( a, b) f( b, x) = = a b ile FP ( ) solda FP ( A) ya etki eder ve bezer biçimde Dξ f( x, b) fξ( x, b) f( x, a) ξ( a, b) = = a b ile FP ( ) sağda FP ( A) ya etki eder. Che f FP ( ) tersiir ve η( x, a) = f( x, y) ξ( y, a) mutlak yakısak ise ξ( x, a) = f ( x, y) η( y, a) x y y P Möbius iversiyo formülüü elde etmiştir. x y y P Haukkae [4], 997 yılıda ( S, ) ve (, ) S iki kısmi sıralı küme olmak üzere F( P P, ) kümesi üzeride taımlı f :( S S) ( S S) icidece foksiyoları içi Möbius iversiyo formülüü farklı bir alamda geellemesii vermiştir. Yie bu çalışmasıda Haukkae regüler aritmetik kovulüsyolar yardımı ile literatürde yer ala birkaç geelleştirmeyi gerçekleştirmiş ve bu geelleştirme yardımı ile yei iversiyo formülleri elde etmiştir.

6 2006 yılıda Budschuh, Hsu ve Shive [5] Selberg-çarpımsal aritmetik foksiyoları özel bir S sııfı üzeride Möbius iversiyo formülüü yei bir geellemesii elde etmiştir. Buu ortaya attıkları verile bir F α, β aritmetik foksiyoları içi S foksiyou ve β ( ) = F( ) ( d) ( ) G( ) ( d) d α α = d β d d biçimide bir Möbius tipi iversiyo formülü geçerli olacak şekilde bir G S foksiyou buluabilir mi? problemii çözerek yapmışlardır. Ayrıca buradaki geelleştirmeye bezer bir geelleştirme 963 yılıda Dayki [6] tarafıda elde edilmiştir. Bu çalışmada öcelikle literatürde yer ala Möbius iversiyo formülüü geelleştirmelerii ve uygulamalarıı bir çoğu gözde geçirilmiştir. Ayı zamada FP ( ) icidece cebiri üzeride Eş..7. ile verile kovulasyouda z [ x, y] yerie z yi [ x, y ] aralığıı bir A alt aralığıda seçerek Eş..8. ve Eş..9. ile verile iversiyo formülleri geelleştirilmeye çalışıldı. Bu edele literatürde yer ala geelleştirme ve uygulamalara daha çok bu amaç doğrultusuda yer verilmeye öze gösterildi Çalışmaı birici bölümüü kouu tarihsel gelişimii ve çalışmaı amacıı içere bu giriş bölümü oluşturmaktadır. İkici bölümde sayılar teoriside aritmetik foksiyolar ile ilgili kısa ö bilgilerde sora klasik Möbius iversiyo formülü ifade edildi. Üçücü bölümde kısmi sıralı kümeler ve latislerle ilgili alt yapıda sora kısmi sıralı kümeler içi Möbius iversiyo formülü ve kombiatorikteki çeşitli uygulamaları suulmuştur. Dördücü bölümde Haukkae; Che ve Budschuh, Hsu ve Shive tarafıda elde edile çeşitli geelleştirmeler ve uygulamalar suulmuştur. Beşici bölümde üzeride çalıştığımız geelleştirmeler ile ilgili yaıt aradığımız sorular sıralamıştır. Bu sorularla ilgili souçlar tartışılmıştır.

7 2. ÖN BİLGİLER 2.. Aritmetik Foksiyo Kavramı Öcelikle Möbius foksiyou ve Möbius iversiyo formülüü sayılar teorisideki başlagıcıda bahsedilecektir. Buu içi sayılar teorisii bazı araçlarıı özetleyelim. 2.. Taım Taım kümesi doğal sayılar değer kümesi kompleks sayılar ola f : foksiyolarıa aritmetik foksiyo veya teorik-sayı foksiyou deir. Bu foksiyoları karmaşık sayıları bir dizisi olarak ( a ) ( f( ) ) gösterebiliriz [7]. = şeklide de Möbius foksiyou, Euler foksiyou, kuvvet foksiyou ve böle foksiyou aritmetik foksiyolara birer örektir. Şimdi sırasıyla bu aritmetik foksiyoları ve temel özelliklerii [7] ve [8] kayaklarıı ışığıda görelim. Bu kouda daha ayrıtılı bilgilere [9-22] kitaplarıda ulaşılabilir. 2.2. Taım a a ak p, p2,, p k farklı asallar olmak üzere pozitif tamsayısı = p p2 2 p olarak yazılsı. Klasik Möbius foksiyou k, = k µ ( ) = ( ), a = a2 = = ak 0, aksi halde = şeklide taımlaır [7].

8 Şimdi bazı tamsayılar içi Möbius foksiyouu değerlerii hesaplayalım. 5 = 3 5 olduğuda 2 µ (5) = ( ) = ; 30 = 2 3 5 olduğuda 3 µ (30) = ( ) = ve 2 60 = 2.3.5 olduğuda µ (60) = 0. 2.. Teorem + Her içi d,, = µ ( d) = 0,, > dir [8]. İspat a a ak = ise formül açıkça doğrudur. Varsayalım > ve = p p2 2 p olsu. d i µ (d) toplamıı terimleride sıfır olmaya terimler sadece d = ve d i, farklı {, 2, k} p p p p asalları çarpımı olarak yazılabildiği durumlardır. 0 r k olmak üzere eğer d bu asalları r taesii çarpımı şeklide yazılıyorsa o zama Möbius foksiyouu taımıda ( d) ( ) r sayıda seçilebilir. Yai ( ) r k µ = dir. Bu r ler ( ) r biom katsayısıa eşit k sayısıa karşılık gele d bölelerii sayısı ( ) Böylece µ (d) toplamıı r üzeride taımlayabiliriz. d k r. d k µ k r k ( d) = ( )( ) = ( + ( )) = 0 r= 0 r elde edilir.

9 Bu teoremi kullaılmasıyla yapılacak basit hesaplamalar bize her p asalı içi 2 µ ( p) = ve µ ( p ) = 0 olduğuu gösterir. Aritmetik foksiyolara ikici örek olarak Euler foksiyouu verelim. 2.3. Taım + içi Euler ϕ foksiyou; cebirsel alamda φ ( ) = U yai halkasıı birimsellerii sayısı veya sayılar teorisideki ifadesi ile ile aralarıda asal ve de büyük olmaya pozitif tamsayıları sayısı olarak taımlayabiliriz [7-8]. i bazı küçük değerleri içi Euler foksiyouu değerleri aşağıdaki gibidir: φ () =, φ (2) =, φ (3) = 2, φ (4) = 2, φ (5) = 4 φ (6) = 2, φ (7) = 6, φ (8) = 4, φ (9) = 6, φ (0) = 4 2.2. Teorem + Her içi ϕ (d) = d dir [8]. İspat S = {, 2,, } olsu. Her d içi Sd = a S:( a, ) = kümesii taımlayalım. d S d kümeleri S i bir parçalaışıdır. Çükü eğer a S ise o zama ( a, ) = olacak d şekilde i sadece bir tae d bölei vardır. Buda dolayı Geriye her bir d içi S = φ( d) olduğuu göstermek kalıyor. d Sd = S = dir. d

0 a S d a, a ve ( a, ) =. d Eğer her bir a tamsayısı içi ad dolayı a bir tamsayı olur. a = eşitliğii gerektirmeyi a olmak üzere ad a = yi taımlarsak = ( a, ) a yı böldüğüde d d ile bölersek yukarıdaki çift a S d a =. a, a ve( a, d) d = şeklide yazabiliriz. Buda dolayı S a d olmak üzere d ile aralarıda asal d a tamsayılarıı sayısıa eşittir. Bu, taımda φ ( d) dir. Souç olarak S = φ( d). d 2.4. Taım α ya da olmak üzere N α : + N = α α ( ) biçimide taımlaa aritmetik foksiyoa kuvvet foksiyou deir [7]. 2.5. Taım τ ( ) = ( i bölelerii sayısıı göstere foksiyo), d σ ( ) = d ( i pozitif bölelerii toplamlarıı ifade ede foksiyolar) d biçimide taımlaa τ, σ böle foksiyou olarak adladırılır. Böle foksiyou α e geel haliyle α olmak üzere σ ( ) = d şeklide taımlaır [7]. α d

2.2. Aritmetik Foksiyoları Dirichlet Çarpımları 2.6. Taım f ve. g aritmetik foksiyolarıı Dirichlet çarpımı veya kovülasyou her pozitif tamsayısı içi ( f g)( ) = f ( d) g d d ile taımlaa f g aritmetik foksiyoudur [7]. Eğer e = alıırsa f g çarpımıı ( f g)( ) = f( d) g( e) şeklide de ifade d edilebilir [8]. de= 2.3. Aritmetik Foksiyoları Dirichlet Tersi ve Möbius İversiyo Formülü Cebirsel olarak f () 0 şartıı sağlaya aritmetik foksiyoları kümesii Dirichlet çarpımı ile bir abelya grup oluşturduğuu göstermek içi bazı taım ve teoremleri ifade edeceğiz. Öcelikle taımda hareketle aritmetik foksiyoları oluşturduğu kümei Dirichlet çarpımıa göre kapalı olduğuu söyleyebiliriz. Şimdi bu işlemi değişme ve birleşme özelliklerii var olduğuu gösterelim. 2.3. Teorem f, g ve h aritmetik foksiyolar olmak üzere f g = g f ve ( f g) h= f ( g h) dir [8].

2 İspat f ve g aritmetik foksiyolar olmak üzere. + içi ( f g)( ) f( a) g( b) = ab= = ga ( ) f( b) ab= = ( g f )( ) yazılabileceğide f g = g f elde edilir. Diğer tarafta f, g ve h aritmetik foksiyoları verilsi. + içi (( f g) h)( ) = ( f g)( d) h( c) dc= = f ( agb ) ( ) hc ( ) dc= ab= d = f ( agbhc ) ( ) ( ) abc= ve bezer olarak ( f ( g h))( ) = f( a)( g h)( e) ae= = f ( a) g( b) h( c) ae= bc= e = f ( agbhc ) ( ) ( ) abc= elde edilir. Burada işlemii birleşmeli olduğu görülür. f () 0 şartıı sağlaya aritmetik foksiyoları kümesii Dirichlet çarpımı ile bir abelya grup olması içi verile özelliklere ek olarak birim elemaıı ve her

3 elemaıı tersii bu kümede var olması gerekir. 2.7. Taım Her pozitif tamsayısı içi, = I ( ) = 0, > şeklide taımlaa I foksiyoua özdeşlik foksiyou deir [7]. Aşağıdaki teorem, bu foksiyou yukarıda sözü edile grubu birim elemaı olduğuu gösterir. 2.4. Teorem f aritmetik foksiyou içi I f = f I = f eşitliği sağlaır [7]. İspat ( f I)( ) = f( d) I( ) eşitliğii sağ tarafıda sıfırda farklı ola tek terim d d f ( I ) ( ) = f( I ) () dir. I () = olduğuda bu terim de f ( ) e eşittir. Bezer şekilde ( I f)( ) = f( ) olduğu gösterilebilir. Şimdi verile bir f aritmetik foksiyouu hagi şartlarda tersii var olduğuu ve tersii asıl buluabileceğii göstere aşağıdaki teoremi ifade ve ispat edelim.

4 2.5. Teorem (Aritmetik foksiyoları Dirichlet tersi) f ( ) 0 şartıı sağlaya bir f aritmetik foksiyou verilsi. Bu takdirde f i Dirichlet tersi = içi f () = ve > içi f () ( ) = ( ) ( ) f() d d f f f d d< ile taımlaa f aritmetik foksiyoudur [8]. İspat değişmeli olduğuda f f = I olduğuu göstermek yeterlidir. Yai f ( d) f( ) = I( ) olduğuu göstermeliyiz. d d = içi f () f() = elde edilir. > ise o zama ( ) ( ) = ( ) () + ( ) ( ) d d f d f f f f d f d d d< f () = ( ) ( ) + ( ) ( ) f d d = 0 f d f f d f () d d d< d< elde edilir. O halde buraya kadar yaptığımız işi şöyle özetleyebiliriz: f ( ) 0 şartıı sağlaya aritmetik foksiyoları kümesi Dirichlet çarpımı ile bir abelya grup teşkil eder. Şimdi bu grubu öemli bir elemaı ola Möbius foksiyouu tersii taımlayalım.

5 2.8. Taım + Her içi u ( ) = biçimide taımlaa u foksiyoua birim foksiyo deir [7]. 2.. Örek Teorem 2.. de µ ( d ) = I( ) olduğuu biliyoruz. Bu eşitliği Dirichlet çarpımıı d ve u foksiyouu taımıda hareketle ( µ u)( ) = µ ( d) u d d = µ ( d) d = I( ) şeklide de gösterebiliriz. Souç olarak u = µ ve µ = u dir. Bu so eşitlik aşağıdaki teoremi ispatıda bize oldukça yardımcı olacaktır. 2.6. Teorem (Sayılar teoriside Möbius iversiyo formülü) + f ve g aritmetik foksiyolar olmak üzere her içi f ( ) = g( d) g ( ) = f ( d) µ (2.) d d d olmasıdır [7].

6 İspat + Her içi f ( ) = g( d) olsu. Bu f = g u şeklide ifade edilebilir. Her iki d taraf µ ile çarpılırsa f µ = ( g u) µ ve bu eşitlikte f µ = g ( u µ ) = g I = g elde edilir. Yai açık olarak g ( ) = f ( d) µ dir. d d Karşıt olarak f µ = g eşitliğii her iki tarafı u foksiyou ile çarpılırsa ( f µ ) u = f ( µ u) = f I = f = g u ve burada f = g u elde edilir ki bu f ( ) = g( d) alamıa gelir.. d Şimdi Dirichlet çarpımı ve Möbius iversiyo formülü yardımıyla aşağıdaki teoremi ispatlayalım.

7 2.7. Teorem + Her içi ϕ ( ) = µ ( d) [8]. d d İspat Teorem 2.2. de φ ( d) = = N( ) olduğuu biliyoruz. Burada Eş.2.. deki d deklemde f souca ulaşılır. = N ve g = φ alıp Möbius iversiyo formülü uygulaırsa isteile 2.2. Örek a a olmak üzere Teorem 2.7. yi kullaarak φ ( p ) ı değerii hesaplayalım. a p φ ( p ) = µ ( d) d a dp a = µ + + µ + µ a a a a ( p ) p ( p) p () p a = p a p elde edilir. 2.3. Örek Yie Teorem 2.6. yı kullaarak i bölelerii sayısıı göstere τ ( ) ve i bölelerii toplamıı vere σ ( ) foksiyoları içi eşitlikleride faydalaarak =τ ( ) ve d d d = σ ( )

8 τ ( d) µ ( ) = ve d d d σ ( d) µ ( ) = d özdeşlikleri elde edilebilir. 2.4. Örek (Möbius iversiyo formülüü özel bir uygulaması) Yuvarlak bir masa etrafıa tae sadalye yerleştiriliyor. Her bir sadalyeye bir erkek veya bir kız (K) oturacaktır. Erkekler veya kızları farklılıkları dikkate alımadığıda 2 muhtemel oturma şekli vardır. Oturaları her biri ayı yöde bir soraki sadalyeye otururlarsa farklı bir oturma şekli elde edilir acak bu işlem kez tekrarlaırsa başlagıçtaki oturma şeklie ulaşılır. Bir oturma düzeide herkesi ayı yöde bir soraki sadalyeye oturması ve bu işlemi isteildiği kadar tekrarlaması ile e fazla d farklı oturma düzei ortaya çıkıyorsa bu oturma düzeii periyodu d dir. Eğer bir oturma düzeii periyodu d ise oturma düzei yukarıdaki alamda d kez ayı yöde dödürülürse yie başlagıçtaki oturma şekli elde edilir. Öreği KK K ve EE E oturma düzelerii periyodu dir. EKEK EK ve KEKE KE oturma düzelerii periyodu 2 dir. Her bir d içi acaba periyodu d ola oturma düzeleride kaç tae vardır? İlk olarak bir oturma düzeii periyodu d ise d olması gerektiğii gösterelim. d olmadığıı varsayalım: O zama = qd + r 0 r < d olacak şekilde bir tek q, r tamsayı çifti vardır. Burada bu oturma biçimi hem hem de d defa dödürüldüğüde tekrarlaacağıda qd kez dödürüldüğüde de tekrarlaır. Halbuki r = qd olup 0 r < d olduğuda d i taımı gereği r = 0 olmalıdır. Şimdi f ( d ) periyodu d ola oturma şekilleri sayısıı göstersi. O zama f( d ) = 2 olup burada g ( ) = 2 alıırsa Möbius iversiyo formülüde d d f( ) = 2 µ ( ) d d elde edilir. Öreği

9 f µ µ µ µ µ µ 2 3 4 6 2 (2) = 2 (2) + 2 (6) + 2 (4) + 2 (3) + 2 (2) + 2 () = 42 olarak kolayca hesaplaır [8]. 2.4. Çarpımsal Foksiyolar 2.9. Taım f 0 a özdeş olmaya bir aritmetik foksiyo olsu. Aralarıda asal ola her m, pozitif tamsayı çifti içi f ( m) = f( m) f( ) koşuluu sağlıyor ise f aritmetik foksiyoua çarpımsal foksiyo deir [7]. 2.0. Taım f aritmetik foksiyou, her m, pozitif tamsayı içi f ( m) = f( m) f( ) koşuluu sağlıyor ise f aritmetik foksiyoua tam çarpımsal foksiyo deir [7]. Basit hesaplamalar ile eğer f foksiyou çarpımsal ve, pozitif tamsayıları ikişer ikişer aralarıda asal ise f ( k) = f( ) f( k) olduğu buluabilir. e e Ayrıca = p k p k şeklide asal çarpalarıı çarpımı şeklide ifade ediliyorsa o e e zama f( ) = f( p ) f( p k k ) dir. Souç olarak f çarpımsal foksiyouu herhagi bir pozitif tamsayısı içi değerii hesaplamak istediğimizde i asal çarpalarıı f altıdaki görütüsüü hesaplamak yeterlidir. Möbius foksiyou, Euler foksiyou ve böle foksiyou çarpımsal, kuvvet foksiyou ve özdeşlik foksiyou tam çarpımsaldır., k 2.8. Teorem f çarpımsal foksiyo ise f () = dir [8].

20 İspat sayısı bütü tamsayılarla aralarıda asaldır. Herhagi bir pozitif tamsayısı içi f ( ) = f( ) = f( ) f() eşitliğide f () = elde edilir. Çarpımsal foksiyoları kümesi yukarıda Dirichlet çarpımı ile oluşturula grubu bir alt grubudur. Buu içi çarpımsal iki foksiyou Dirichlet çarpımıı da çarpımsal ve çarpımsal bir foksiyou Dirichlet çarpımıa göre tersii de çarpımsal olduğuu göstermek yeterlidir. 2.9. Teorem Dirichlet çarpımı çarpımsallığı korur [9]. İspat Teoremi ispatı içi çarpımsal ola iki f, g aritmetik foksiyou içi f g i de çarpımsal olduğuu göstermeliyiz. k = f g ve ( ab, ) = olmak üzere kab ( ) = kakb ( ) ( ) olduğuu göstermeliyiz. ab kab ( ) = f( dg ) ( ) (2.2) d dab toplamıda a ile b aralarıda asal olduğuda ab i her d bölei ( xy=, ) ve a b x a ve y b olmak üzere d = xy şeklide yazılır. Ayrıca (, ) x y = olduğu aşikardır. Bua göre Eş.2.2. toplamıı yeide ifade edecek olursak ab kab ( ) = f( xyg ) ( ) xy xa yb

2 = a b f( x) f( y) g( ) g( ) x y ( f ve g çarpımsal) xa yb a b f( x) g( ) f( y) g( ) x y = xa xa yb yb = kakb ( ) ( ) Çarpımsal bir foksiyou Dirichlet tersii de çarpımsal olduğuu göstermemize yarayacak aşağıdaki teoremi verelim 2.0. Teorem h ve f h çarpımsal ise f çarpımsaldır [7]. İspat f foksiyouu çarpımsal olmaması durumuda f h ı da çarpımsal olmadığıı göstermek yeterlidir. k = f h olsu. f çarpımsal olmadığıda ( m, ) = ola m ve pozitif tamsayıları içi f ( m) f( m) f( ) dir. m = içi k() = f() g() = f() bua göre k çarpımsal değildir. m > içi ( ab, ) = ve ab olsu. am b ab< m < m a ve b pozitif tamsayıları içi f ( ab) = f ( a) f ( b) eşitliği var m km ( ) = f( abg ) ( ) + f( mg ) () ab m = f ( a) f( b) g( ) g( ) + f( m) a b am b ab< m = m f ( ag ) ( ) f( bg ) ( ) f( mf ) ( ) f( m) a b + am b

22 = kmk ( ) ( ) f( mf ) ( ) + f( m) f ( m) f( m) f( ) olduğuda km ( ) kmk ( ) ( ) elde edilir ve bu souç k ı çarpımsal olmadığıı gösterir ki bu ise bir çelişkidir. 2.. Teorem f aritmetik foksiyou çarpımsal ise f i Dirichlet tersi f de çarpımsaldır [7]. İspat f f I = Teorem 2.24 te I ve f çarpımsal olduğuda f de çarpımsaldır. Souç olarak çarpımsal foksiyolar kümesi aritmetik foksiyoları Dirichlet çarpımıyla oluşturduğu grubu bir alt grubudur.

23 3. KISMİ SIRALI KÜMELERDE MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ 3.. Kısmi Sıralı Kümeler ve Latisler ile İlgili Taım ve Temel Özellikler Kısmi sıralı kümeler kombiatorikte çok öemli bir rol oyamaktadır. Özellikle kısmi sıralı bir küme üzeride Möbius iversiyo içerme-dışarma presibii çok zegi bir geelleştirmesidir. Öreği solu A, B,C ve D kümeleri içi D= A B= A C = B C = A B C olsu. İçerme-dışarma presibi (Iclusio- Exclusio Priciple) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C = A + B + C 2 D (3.) soucua ulaşmamızı sağlar. Dikkat edilirse Eş.3.. deklemideki 7 terim A, B, C kümelerii birleşimide sadece 4 farklı elema olduğu içi 4 terime döüşmektedir. Eş.3.. deki 2 katsayısıı öemi edir? Daha fazla sayıda küme verildiğide bu katsayıyı hesaplayabilir miyiz? Açıkça bu katsayı A, B,C ve D kümeleri arasıda kapsama bağıtısıyla taımlaa ve birleşim kümesii eklediği kısmi sıralı kümei Möbius foksiyouu değeridir. Souç olarak Möbius iversiyo uygu şartlarda taımladığıda içerme-dışarma presibii bir basitleştirilmişi ile souçlaır. Buula birlikte Möbius iversiyou uygulamalarıda içerme-dışarma presibii zegi bir geelleştirmeside çok daha fazlası olduğuu göreceğiz [2]. İcidece cebiri ve Möbius foksiyoua başlamada öce solu kısmi sıralı kümeleri yapısıı kavramak içi bir takım temel taım ve teoremleri vereceğiz. 3.. Taım (Kısmi sıralı küme, Partially Ordered SET, Poset) Bir P kümesi ve bu küme üzeride taımlaa bir bağıtısı verilsi. ) x P içi x x (yasıma) 2) x, y P içi x y ve y x ise x= y (ters simetri)

24 3) x, yz, Piçi x y ve y z ise x z (geçişme) koşulları sağlaıyor ise bağıtısıa P üzeride bir kısmi sıralama bağıtısı deir. Bu bağıtıyla birlikte P ye kısmi sıralı küme adı verilir [2]. Şimdi solu kısmi sıralı kümelere birkaç örek verelim. 3.. Örek olsu. [ ] {,, } sıralamasıyla oluşa S T dir. = kümesii bütü alt kümelerii kapsamaya göre B kümesi kısmi sıralı kümedir. B kümeside eğer S T ise 3.2. Örek olmak üzere [ ] {,, } = kümesi bildiğimiz alamdaki sıralama ile kısmi sıralı bir kümedir. Buda böyle bu kısmi sıralı kümeyi ile göstereceğiz. 3.3. Örek olmak üzere i bütü pozitif böleleride oluşa küme bölüebilme bağıtısı ile kısmi sıralı bir kümedir. i bütü pozitif böleleride oluşa bu kısmi sıralı kümeyi taımlaır. D ile göstereceğiz. Bu kümedeki sıralama eğer i j ise i j ile 3.4. Örek V ( ) q, q -elemalı F q cismi üzeride - boyutlu bir vektör uzayıı göstersi. V ( ) q uzayıı bütü alt uzaylarıı kapsamaya göre sıralamasıyla oluşa L ( q ) kümesi, bir kısmi sıralı kümedir. L ( q ), B kısmi sıralı kümesii q -bezeridir.

25 3.2. Taım x, y P içi x y ya da y x ise x ile y karşılaştırılabilir elemalardır. Aksi halde x ile y karşılaştırılamaya elemalardır. Bu durum x y ile gösterilir [2]. 3.5. Örek kısmi sıralı kümesii bütü elemaları karşılaştırılabilirdir. Çükü iki doğal sayıda biri diğeride küçük veya büyüktür. D 6 kümeside 2 ile 3 karşılaştırılamaya elemalardır. 3.3. Taım Q, P i bir alt kümesi olmak üzere x, y Q içi x Q y x P y ise Q, P i bir alt kısmi sıralı kümesidir deir [2]. 3.6. Örek Bölüebilme ile sıralı D 6 = {, 2, 3, 6} kümesii bir alt kısmi sıralı kümesi D 2 = {, 2} dir. 3.4. Taım Bir P kısmi sıralı kümeside x y olmak üzere [ x, y] = { z P: x z y} kümesi, alt kısmi sıralı küme kavramıa özel bir örektir. Bu küme kapalı aralık olarak adladırılır. Boş küme bir aralık olarak kabul edilmez.[ x, x ] kapalı aralığı sadece x elemaıda oluşmaktadır [2].

26 3.5. Taım P i her aralığı solu ise P ye yerel solu kısmi sıralı küme deir [2]. 3.6. Taım x, y P içi eğer x < y ve P i x < z < y şartıı sağlaya bir z elemaı yoksa y elemaı x elemaıı kaplar deriz ve x y ile gösteririz. bağıtısıa kaplama bağıtısı deir. Eğer x y ise o zama [ x, y] = { x, y} dir [2]. 3.7. Taım P kısmi sıralı küme olsu. x, y P içi x y ya da y x oluyorsa P ye bir zicir (tam sıralı küme) deir [2]. Bir ziciri herhagi bir alt kısmi sıralı kümesi de yie bir zicirdir. P = {, 2, 3, 4} kümesi adi sıralama bağıtısıyla bir zicirdir. 3.8. Taım İki kısmi sıralı küme P ve Q olsu. Eğer x y φ( x) φ( y) şartı sağlaıyorsa φ : P Q birebir eşlemesi sıra koruyadır deir [2]. P Q P ve Q u izomorf olması içi P de Q ya taımlı sıra koruya ve üzerie bir döüşümü var olması gerekir. 3.9. Taım P kısmi sıralı kümesii elemalarıı x y ise x y i aşağısıda kalacak şekilde diyagramla gösterilmesie bu kısmi sıralı kümei Hasse diyagramı deir [2].

27 3.7. Örek 5 sıralı kümesi, 3 elemalı bir kümei alt kümelerii kapsamayla sıralı kısmi sıralı kümesi; 3 B ve 2 i pozitif bölelerii kümesi { } diyagramı Şekil 3. de verilmiştir. D 2 =, 2,3, 4,6,2 i Hasse Şekil 3.. 5, B3 ve D 2 kısmi sıralı kümeleri Hasse diyagramı 3.0. Taım P kısmi sıralı kümesii bütü elemalarıda küçük yai; x P içi ˆ0 x olacak şekilde bir ˆ0 elemaı varsa bu elemaa P kısmi sıralı kümesii tabaı deir. Bezer şekilde P kısmi sıralı kümesii bütü elemalarıda büyük ola yai; x P içi x ˆ olacak şekilde bir ˆ elemaı varsa bu elemaa P kısmi sıralı kümesii tavaı deir [2]. 3.. Taım P ve Q kısmi sıralı kümelerii direkt (kartezye) çarpımı P Q {( x, y) : x Pvey Q} kümesi üzeride taımlı ( ) ( ) x, y P Q x, y x Px vey Qy sıralama bağıtısı ile verile kısmi sıralı kümedir.

28 3.2. Taım P, P2, P sıralı kümeler olsu. P P2 P kartezye çarpımı üzeride bileşe bazıda sıralama şöyle taımlaır; P P P de ( x, x, x ) ( y, y, y ) 2 i=, 2,, içi 2 2 x y i Pi i dir [2]. 3.3. Taım P bir sıralı küme ve Q P olsu. Eğer x Q, y P olmak üzere y x ike y Q oluyorsa Q ya P i bir aşağı kümesi deir [2]. 3.4. Taım Q P olsu. Q= { y P: x Qiçi y x} kümesi Q yu kapsaya e küçük aşağı kümeyi gösterir. Eğer Q u kedisi bir aşağı küme ise Q yu kapsaya e küçük aşağı küme Q u kedisidir. 3.5. Taım P bir sıralı küme ve x P olmak üzere x = { y P: y x} kümesie esas aşağı küme (esas ideal) deir [4] Şimdi kısmi sıralı kümeleri özel bir sııfıda bahsedelim. Buu içi öcelikle alt ve üst sıır kavramlarıı ifade etmeliyiz.

29 3.6. Taım P kısmi sıralı bir küme ve S P olsu. s S içi s x oluyorsa x P ye S kümesii bir üst sıırı deir. Bezer şekilde s S içi y s oluyorsa y P ye S i bir alt sıırı deir [2]. 3.7. Taım L kısmi sıralı kümeside her bir elema çiftii e büyük alt sıırı ve e küçük üst sıırı varsa L ye latis deir [2]. 3.8. Taım Bir L latiside herhagi iki ab, elemaıı e küçük üst sıırıı a b ve e büyük alt sıırıı a b ile gösterilir ve bular sırasıyla a joi b ve a meet b diye okuur. 3.8. Örek Bölüebilme ile sıralı D 2 = {, 2,3, 4,6,2} kümesi bir latistir. Her zicir ayı zamada bir latisdir. 3.9. Taım (Alt latis) L bir latis ve M ve M L olmak üzere ab, M içi a b M ve a b M oluyorsa M ye L i bir alt latisi deir [2]. 3.20. Taım (Dağılmalı latis) L bir latis ve abc,, Liçi ; a ( b c) = ( a b) ( a c) ve a ( b c) = ( a b) ( a c)

30 şartları sağlaıyorsa L ye dağılmalı latis deir [2]. 3.2. Taım L, tabaı (0) ve tavaı () var ola bir latis olsu. a L içi a b= 0 ve a b= olacak şekilde bir b L varsa b ye a ı tamlayıcısı deir [2]. a ı tamlayıcısıı tek olması durumuda buu a ile göstereceğiz. L i dağılmalı latis olması durumuda a ı tamlayıcısı varsa tektir. 3.22. Taım L bir latis olsu. Eğer L dağılmalı latis, L i taba ve tavaı var ve a L içi bir a tamlayıcısı var ise L ye Boole latisi deir [2]. 3.23. Taım (Boole cebiri) B ;,,,0, cebirsel yapısı verilsi. B;, dağılmalı latis, a B içi a 0 = a ve a = a; a B içi a a = ve a a = 0 ise B ye Boole Cebiri deir [2]. X herhagi bir küme, A X içi A = X \ A ile taımlası. ( X );,,,, X bir Boole cebiridir. 3.2. İcidece Cebiri P yerel solu kısmi sıralı bir küme olsu. It( P ) ile P i tüm aralıklarıı kümesii gösterelim. K bir cisim olsu. Eğer f :It( P) K bir foksiyo ise o zama f ([ xy, ]) yerie f (, ) xy yazılır.

3 3.24. Taım K bir cisim olmak üzere x, y P içi taımlaa iki değişkeli reel değerli f :It( P) K f ( xy, ) foksiyou x y olmaması durumuda f( x, y ) = 0 olsu. f foksiyoua P i icidece foksiyou deir [2]. 3.25. Taım f, g icidece foksiyolarıı toplamı ve skalerle çarpımı ( f + g)( x, y) = f( x, y) + g( x, y), ( cf )( x, y) = c. f ( x, y) şeklide taımlaır. Bu foksiyoları çarpımı aşağıdaki şekilde taımlaır; hxy (, ) = f( xz, ). gzy (, ) [2]. x z< y P yerel solu olduğuda foksiyoları çarpımı solu tae terimde oluşur. Açıkça alaşılacağı üzere bu bir reel cisim üzeride taımlı birleşmeli bir cebirdir. Bu cebire P i icidece cebiri deir ve I ( PK, ) ile gösterilir [2]. Bizim yapacağımız çalışmalar içi K = almak yeterlidir. Bu durumda I( P, ) yerie kısaca I( P ) yazalım. Şimdi icidece cebirii birim elemaıı taımlayalım. 3.26. Taım, δ ( xy, ) = 0, x = y x y

32 ile taımlaa δ ( x, y) Kroecker delta, icidece cebirii birim elemaıdır [2]. Şimdi I( P ) de Möbius foksiyou tersi ola zeta foksiyouu taımlayalım. 3.27. Taım P kısmi sıralı kümeside x y içi ζ ( xy, ) = biçimide taımlaa foksiyoa zeta foksiyou adı verilir [2]. ζ foksiyou bir takım özellikleri yerel solu kısmi sıralı kümeler üzeride çok kullaışlı souçlar elde etmemizi sağlar. Öreği ( ) x, y = ( x, z) ( z, y) 2 ζ ζ ζ x z y = card [ x, y] yai 2 ζ [, ] x y aralığıı uzuluğuu hesap etmemizi sağlar. + Daha geel olarak k olmak üzere k ζ ( xy), = x= x0 x xk y x te y ye uzuluğu k ola çoklu-zicirleri sayısıı hesaplar. Bezer şekilde, = 0, ( ζ )( xy, ) x < y x = y elde edilir. Buda dolayı ( ) k ( x, y) ζ ile x = x0 < x < < xk = y biçimideki x

33 te y ye uzuluğu k ola zicirleri sayısı hesap edilebilir [2]. 3.3. Kısmi Sıralı Kümeler Üzeride Möbius İversiyo ve Uygulamaları Şimdi yerel solu kısmi sıralı bir kümede Möbius foksiyouu ve Möbius iversiyo formülüü uygulamalarıyla birlikte verelim. 3.28. Taım P i zeta foksiyouu tersie Möbius foksiyou deir ve µ ( x, x) = x P içi µ ( x, y ) = µ ( x, z ) x < y x z< y biçimide taımlaır [2]. µζ = δ eşitliğide hareketle de tümevarım uygulaarak Möbius foksiyouu bu şekilde elde edebilirdik. 3.. Teorem (Kısmi sıralı kümeler üzeride Möbius iversio formülü) P her esas ideali solu ola bir kısmi sıralı küme ve f, g P de içie iki foksiyo olsu. x P içi gx ( ) = f( y) f ( x) = g( y) µ ( y, x) y x dir [2]. y x

34 İspat P ile P de ye taımlaa ve sıra koruya bütü foksiyoları kümesii gösterelim. Bu küme lieer döüşümleri bir cebiri olarak I( P ) ye sağda aşağıdaki gibi etki eder. P f ve ( ) ζ I P olmak üzere ( f ζ)( x) = f( y) ζ( y, x) y x Dirichlet çarpımıda f ζ = g f = gµ dir. 3.9. Örek (İçerme-dışarma presibi) S,..., S solu kümeler olsu. P bu kümeleri tüm arakesitlerii kapsama bağıtısıa göre oluşturduğu, ˆ = S S birleşimii de kapsaya kısmi sıralı küme olsu. f ( T ) ; T < T içi T ye ait olup T ye ait olmaya elemaları p sayısıı göstersi. gt ( ) = T olsu. S S yi hesaplaya S ˆ S = g() = f( T) T ˆ biçimide bir formül elde etmek istiyoruz. gt ( ) = f( T ) T T olup, P üzeride Möbius iversiyo uygulaırsa 0 = f() ˆ g( T) µ ( T,) ˆ = T P g() ˆ T µ ( T,) ˆ = T < ˆ

35 elde edilir. Şimdi Eş.3.. ile verile öreğe geri döelim.bu kısmi sıralı kümeyi P ile gösterelim. P i Hasse diyagramı Şekil 3.2 de gösterilmiştir. Bua göre µ ( A,) ˆ =, µ ( B,) ˆ =, µ ( C,) ˆ = ve µ ( D,) ˆ = 2 ve böylece Eş.3.. deklemii sağladığı görülebilir. Şekil 3.2 Eş.3.. ile verile kısmi sıralı kümei Hasse diyagramı Möbius foksiyouu kısmi sıralı kümeler üzeride asıl hesapladığıı göstere birkaç örek verelim. 3.0. Örek P, ziciri olsu. µ ( xx, ) = ve µ ( x, y) = µ ( x, z) olduğuda x z< y, i = j µ (, i j) =, i+ = j 0, diğer durumlarda dir. Bu durumda Möbius iversiyo formülü aşağıdaki şekle döüşür; > 0 içi ( ) f( ) g ( ) g ( ) g ( ) = f( i) > 0 i= 0 =. Başka bir deyişle ve işlemleri birbirlerii tersidirler.

36 3.2. Teorem (Çarpım teoremi) P ve Q lokal solu birer kısmi sıralı küme ve P Q direkt çarpımları olsu. Eğer P Q da ( x, y) ( x, y ) ise o zama µ P Q(( x, y),( x, y )) = µ P( x, x ). µ Q( y, y ) dir [2]. İspat ( x, y) ( x, y ) olsu. µ (( x, y),( x, y )) = µ ( x, u) µ ( y, v) P Q P Q ( xy, ) ( uv, ) ( x, y ) = µ P( x, u) µ Q( y, v) x u x y v y = δ δ = xx yy δ ( xy, ),( x, y ) 3.. Örek P, B Boole cebiri olsu. B 2 ve { } 2=,2 zicirii Möbius foksiyou µ (,) =, µ (2, 2) =, µ (,2) = ile verilir. B elemalı bir X kümesii bütü alt kümeleri olarak taımlarsak çarpım teoemide (, ) ( ) S µ T S = T soucua ulaşırız. [ T, S ] aralığıı uzuluğu lt (, S) = S T olduğuda (, ) µ ( T, S) = ( ) lts olarak ifade edilebilir. B içi Möbius iversio formülü aşağıdaki gibi olur. f, g: B foksiyoları verilsi. S X içi

37 S T gs ( ) = ft ( ) f ( S) = ( ) g( T). T S T S Souç olarak bir Boole cebiri üzeride Möbius iversio formülü içerme-dışarma presibie dektir. 3.3. Teorem P bir solu kısmi sıralı küme ve ˆP, P ye ˆ0 ve ˆeklemiş halii göstersi. c i uzuluğu i ola 0ˆ = x ˆ 0 < x < < x i = zicirlerii sayısıı göstersi. Öreği c 0 = 0 ve c = dir. O zama µ ˆ (0,) ˆˆ = c P o c+ c2 dir [2]. İspat P ˆ ( ) ( ) ˆˆ ˆˆ 2 ˆˆ µ (0,) = ( + ( ζ )) 0, = ( ( ζ ) + ( ζ ) ) 0, = δ ˆˆ ζ ζ ( ) 2 (0,) ( )( 0, )+( ) 0, = c0 c+ c2 c3+

38 4. MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜNÜN GENELLEŞTİRMELERİ VE UYGULAMALARI 4.. Parametrik Möbius İversiyo Formülü Şu aa kadar yaptığımız çalışmalarda solu toplamlar üzeride Möbius iversiyo formülüü uyguladık. Acaba sosuz toplamlar ve parametre içere ifadeler içi de Möbius iversiyo formülüe bezer bir ifade elde edebilir miyiz? Sosuz toplamda parametre kullaılması kombiatorik iversiyo formülleri ve ters döüşümleri uygulamalarıda yarar sağlamaktadır. Şimdi sosuz toplamlar içi bize gerekli ola bazı kavram ve teoremleri ifade edelim. P bir kısmi sıralı küme ve X boş olmaya herhagi bir keyfi küme olsu. FP ( X) P X üzeride taımlı bütü kompleks değerli foksiyoları göstersi. FP ( X) yi vektör uzayı olarak düşüebiliriz [3]. 4.. Taım P i icidece cebiri Ι ( P) FP ( X) vektör uzayıa solda etkisi aşağıdaki gibi taımlaır; ξ Ι ( P) ve f FP ( X) olmak üzere Dξ f( a, x) ξ f( a, x) ξ( a, b) f( b, x) = =. a b Bezer şekilde sağda etki aşağıdaki gibi taımlaabilir; ξ Ι ( P) ve g F( X P) olmak üzere

39 Dgxb ξ (, ) gξ( xb, ) gxa (, ) ξ( ab, ) = = a b dir [3]. Çalışmada uygu olması içi tüm kısmi sıralı kümeleri solu veya sayılabilir solu ve tüm sosuz toplamları mutlak yakısak kabul edeceğiz. 4.. Teorem ξ Ι ( P) ve f FP ( X) içi eğer ξ ı tersi var ve gax (, ) = ξ ( ab, ) fbx (, ) (4.) a b mutlak yakısak ise o zama (, ) ξ ( abgbx, ) (, ) f ax = (4.2) a b dir [3]. İspat Eş.4.. deklemi Eş.4.2. de yerie yazılırsa ξ = ξ ξ ( abgbx, ) (, ) ( ab, ) ( bc, ) f( cx, ) a b a b b c = ξ ( ab, ) ξ( bc, ) f( cx, ) a b c = ξ ( ab, ) ξ( bc, ) f( cx, a b c a b c

40 = δ ( ac, ) f( cx, ) = a c f ( ax, ) Eğer Teorem 4.. deki ξ yerie zeta foksiyou alıırsa ξ ı tersi Möbius foksiyou olur. Bu durumda Eş.4.. ve Eş.4.2. deklemleri aşağıdaki Möbius iversiyo formülüe döüşür. gax (, ) = fbx (, ), a b f ( ax, ) = µ ( abgbx, ) (, ) a b 4.. Souç P + = pozitif tamsayılar ve X = kompleks sayılar olarak alalım. Eğer üzerideki kısmi sıralama bağıtısı bölüebilme bağıtısı olarak alıırsa o zama µ ( m, ) Möbius foksiyou sayılar teorisideki µ ( ) e döüşür [3]. m + Bu durumda sosuz toplam içere aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. 4.2. Teorem ξ latisi üzeride taımlası. f + + + üzeride taımlı bir foksiyo olsu. Eğer + k içi ξ ( kk, ) 0 ve gkx (, ) = ξ ( k, ) f( kx, ) k = mutlak yakısak ise, o zama

4 (, ) ξ ( kgkx, ) (, ) f x = k = dir [3]. Teorem 4.2. deki f foksiyou x = y olduğu durumlarda f ( kx, ) = fly (, ) k l x koşuluu sağlaya bir foksiyo ise o zama f yi üzeride f ( ) f( k, x) k = olarak taımlayabiliriz. Bu durumda Teorem 4.2. ü aşağıdaki öerme şeklide ifade edebiliriz. 4.. Öerme f ( x ) ve gx ( ) birer foksiyo olmak üzere; gx ( ) = fkx (, ) k = x f( x) = µ ( k) g( ) k k = dir [3]. Eğer f foksiyou kx = ly ike f ( kx, ) = fly (, ) koşuluu sağlaya bir foksiyo ise o zama f üzeride f ( kx) = f ( k, x) şeklie idirgeebilir. Bu durumda Teorem 4.2. yi aşağıdaki öerme şeklide ifade edebiliriz. 4.2. Öerme f ( x ) ve gx ( ) iki foksiyo olmak üzere;

42 gx ( ) = fkx ( ) k = f ( x) = µ ( k, x) g( kx) k = dir [3]. Eğer f x ± k = y± l olması durumuda f ( kx, ) = fly (, ) koşuluu sağlaya bir foksiyo ise o zama üzeride f foksiyou f ( x± k) = f( k, x) şeklide idirgeebilir. Bu durumda aşağıdaki öermeyi verebiliriz. 4.3. Öerme gx ( ) = f( x± k) k = f ( x) = µ ( k) g( x± l) k = dir [3]. Şimdi bir seride Möbius iversiyo formülüü uygulamasıı göstere bir örek verelim. 4.. Örek gx (, ) + üzeride taımlı bir foksiyo olsu.ω kompleks sayılarda birimi. mertebede kökü olmak üzere k i x x i wx gx (, ) = = = e k= ( k)! i i! i= 0 ise o zama i k wx e x =! µ (, k) k= i= 0 k

43 k ω i x e =! µ ( k) k= i= 0 k k µ ( k) i ω x = ( )! e k k= k i= 0 dir [3]. 4.2. Soyut Möbius İversiyo Formülü Bu bölümde verile bir kısmi sıralı kümei bir A alt kümesi üzeride Möbius iversiyo formülüü uygulaması verilecektir. ( S, ) lokal solu kısmi sıralı bir küme olsu. S üzeride başka bir lokal solu kısmi bir sıralama bağıtısı olsu. O zama ( S S, ) lokal solu kısmi sıralı bir kümedir. Bu küme üzerideki sıralama ( ux, ) ( vy, ) u v, x y şeklidedir. 4.2. Taım ( S S) ( S S) üzeride taımlaa f foksiyou ( ux, ) ( vy, ) durumuda ((, ),(, )) 0 olmaması f u x v y = şartıı sağlıyor ise bu foksiyoa ( S S, ) i bir icidece foksiyou deir. ( S S, ) i bütü icidece foksiyolarıı kümesi I( S S, ) ile gösterilir [4].

44 4.3. Teorem ( S, ) ve (, ) S kısmi sıralı kümeleri x y x y şartıı sağlaya birer lokal solu kısmi sıralı küme olsu. Kabul edelim ki f, g I( S S, ) ve h I( S, ) olsu. Öyle ki x Siçi h( x, x) 0 olsu. O zama vxy,, Siçi f (( xx, ),( vy, )) = hxzg (, ) (( zz, ),( vy, )) (4.3) x z y z v olması içi gerek ve yeter şart ((, ),(, )) (, ) ((, ),(, )) g x x v y = h x z f z z v y (4.4) x z y z v olmasıdır. Burada h, h ı I( S, ) deki tersidir [4]. İspat Kabul edelim ki Eş.4.3. sağlası. O zama h x z f z z v y = h x z h z w g w w v y x z y x z y z w y z v z v w v (, ) ((, ),(, )) (, ) (, ) ((, ),(, )) = h ( x, z) h( z, w) g(( w, w),( v, y)) x w y x z w w v = δ ( x, wg ) (( ww, ),( vy, )) x w y w v = g(( x, x),( v, y)). Buda dolayı Eş.4.4. sağlaır. Tersi de bezer şekilde ispatlaır.

45 Bu teoremde h = ζ zeta foksiyou olarak alıırsa aşağıdaki souca ulaşılır. 4.2. Souç ( S, ) ve (, ) S kısmi sıralı kümeleri x y x y şartıı sağlaya birer lokal solu kısmi sıralı küme olsu. Kabul edelim ki f, g I( S S, ) olsu. O zama vxy,, Siçi f (( xx, ),( vy, )) = g(( zz, ),( vy, )) x z y z v olması içi gerek ve yeter şart g(( x, x),( v, y)) = µ ( x, z) f(( z, z),( v, y)) x z y z v olmasıdır. µ I( S, ) ı Möbius foksiyoudur [4]. 4.3. Taım Her bir pozitif tamsayısı içi A( ) i pozitif bölelerii kümesii bir alt kümesi olsu. A( ) i elemalarıa i A böleleri deir [4, 23]. 4.4. Taım f ve g aritmetik foksiyouu A kovülasyou, f A g ( ) = f( d) g( ) d ( ) d A( )

46 şeklide taımlaır [4]. 4.4. Teorem Aşağıdaki üç şart sağlaıyor ise A kovülasyou regülerdir deir; a) bildiğimiz alamda foksiyoları toplama işlemi ve A kovülasyou işlemlerie göre aritmetik foksiyoları kümesi değişmeli ve birimli bir halkadır, b) A kovülasyou çarpımsallığı korur ve c) A kovülasyoua göre e dek ola foksiyou bir tersi µ A var ve bir asal sayıı kuvveti ike µ ( ) = 0 veya - dir [4]. A 4.5. Taım ( A -Kovulasyoua Göre Bir f foksiyouu Tersi) f () 0 şartıı sağlaya f aritmetik foksiyouu A kovülasyoua göre tersi δ () = 0 ve > içi δ ( ) = 0 olmak üzere ; f A f = f f = δ şeklide taımlaır [4]. 4.5. Teorem A kovülasyou regüler olması içi gerek ve yeter şart i) ( m, ) = içi Am ( ) = { de: d Am ( ), e A ( )} a a ii) her bir asal sayıı kuvveti p > içi t = τ ( p ) olacak şekilde a ı bir t bölei vardır öyleki 2 { } a t t rt A( p ) =, p, p,, p ( rt = a) ve 0 i r koşullarıı sağlamasıdır [4]. A 2 <,içi A( p it ) = {, p t, p t,, p it }

47 4.2. Örek i bütü böleleride oluşa D kısmi sıralı kümesii Dirichlet çarpımı ve U ( ) = d> 0: d,( d, ) = d birimsel kovülasyou regülerdir. 4.6. Taım Bir pozitif tamsayısı içi A ( ) {, } = oluyorsa e A ilkeli deir [4]. 4.3. Örek Dirichlet çarpımlarıda ilkel sayılar asal sayılardır. Birimli kovülasyoda bir asal sayıı kuvveti ola sayılar ilkel sayılardır. 4.4. Örek Geelleştirilmiş Möbius foksiyou µ A çarpımsal bir foksiyodur ve a a, ( p > ) A ilkel ise µ A( p ) = a 0, p A ilkel değil ise şeklide verilir. Özel olarak µ D = µ ve µ U = µ dır. 4.7. Taım ( m, ) A sembolü A( ) e ait ola m i e büyük böleii gösterir [4]. Özel olarak ( m, ) = ( m, ) ve ( m, ) = ( m, ) dır. D U

48 4.6. Teorem A ve B birer regüler döüşüm ve üzeride bağıtısı ( ux, ) ( vy, ) u B(), v x A() y şeklide taımlası. f ( m, ) iki değişkeli bir aritmetik foksiyo olsu. O zama (, ) i bir f foksiyou ile f i u B( v) ve x A( y) olmak üzere v y f (( u, x),( v, y) ) = f(, ), diğer durumlarda =0 şeklide taımlayarak bağıtılı hale u x getirebiliriz. Üstelik f f döüşümü bire-birdir [4]. 4.7. Teorem A ve B birer regüler döüşüm öyle ki içi, A( ) B( ) i bir alt kümesi olsu. h ( ) h() 0 ola bir aritmetik foksiyo olsu. O zama m f( m, ) = h( d) g(, ) ( m, ) d d d B( m) d A( ) acak ve acak m gm (, ) = h ( d) f(, ) ( m, ) d d d B( m) d A( ) ve burada h, h ı A kovülasyoua göre tersidir [4]. Şimdi bu teoremi sayılar teorisideki bazı uygulamalarıa örek verelim. Bu öreklerde B( m) = Dm olarak alacağız.

49 4.5. Örek Ramauja toplamı CA( m, ); CA( m, ) = exp(2 πimx/ ) x(mod ) ( x, ) A = şeklide taımlaır. Ayı zamada CA( m, ) = dµ A( ) d d A( ) dm olduğuu biliyoruz. Teorem 4.7. deki h ( ) = ve gm (, ) = µ ( ) alıırsa A m µ ( ) = µ ( d) dc (, ) d d A A A d A( ) dm elde edilir. Özel olarak birimsel-kovülasyoda; m µ ( ) = µ ( d) dc (, ) d d d dm elde edilir. Burada C ( m, ) = dµ ( ) dir. Dirichlet kovülasyouda; d dm d m µ ( ) = µ ( d) dc(, ) d d d ( m, ) elde edilir.

50 4.3. Selberg-Çarpımsal Foksiyolar İçi Geelleştirilmiş Möbius İversiyo Formülü Bu bölümde sayılar teorisi ve kombiatorikte kullaıla Möbius iversiyo formülüü geel bir tipii elde etmeye çalışacağız. F 0 olmak üzere F : foksiyou aralarıda asal ola her m, pozitif tamsayı çifti içi Fm ( ) = FmF ( ) ( ) eşitliğii sağlıyorsa F foksiyouu çarpımsal olduğuu söylemiştik. M ile tüm çarpımsal aritmetik foksiyoları kümesii gösterelim. M { 0}, kümesii Dirichlet çarpımı ile bir abelya grup oluşturduğuu 2. bölümde göstermiştik. Bu grubu birim elemaı ε () : = ve > içi ε ( ) = 0 ile taımlaa ε çarpımsal foksiyoudur. Şimdi çarpımsallığı çok daha geel bir hali ola Selberg çarpımsallığı ifade edeceğiz. 4.8. Taım F bir aritmetik foksiyo olsu. e ( ) ; i asal çarpalarıı çarpımı şeklide p yazıldığıda p i kuvvetii göstermek üzere i bölebile p asalları içi F ( ) = fp( ep( )) p ve i bölei olmaya p asallar içi f p (0) = olacak şekilde bir f p : 0 foksiyou varsa F foksiyoua Selberg-çarpımsal deir [5]. 4.6. Örek p 2 ( p ) F(2) = fp e (2) 2 2 3 3 ( ) = f ( e (2)) f e (2)

5 = f (2) f () 2 3 Selberg çarpımsallık bize çok değişkeli çarpımsal foksiyou taımlamak içi değişiklik olmada bu gösterimi kullamamızı sağlar. Şimdi Selberg-çarpımsal foksiyoları özel bir S alt sııfıı ele alalım. S kümesii elemaları aşağıdaki şartları sağlaya F foksiyolarıı kümesi olsu. F : içi f : 0 ve f (0) = olmak üzere F ( ) = fe ( ( )) (4.5) p p şartlarıı sağlaya bir evresel f foksiyou var olsu. Açıkça her F S içi alışılmış alamda çarpımsal ve F () = diyebiliriz. Bu { 0} S M alamıa gelir. Açık olarak klasik Möbius foksiyou µ S ye aittir. 4.7. Örek Fleck i geelleştirmesi; z içi µ z z µ z ( ) = ( ) ep ( ) p ep ( ) ( ) (4.6) ile taımlıdır [5]. µ 0 = ε ve µ = µ olduğu açıktır. Ayrıca µ = (özdeş olarak e eşit ola foksiyo), µ 2 = τ (klasik böle foksiyo) dur.

52 Bu örekteki düşücede yola çıkarak Möbius iversiyo formülüü bir geelleştirilmesi işa edilebilir. Buu içi aşağidaki probleme çözüm araacaktır. F S verilsi. α, β sayı teorik foksiyoları içi β( ) = F α( d) d d α( ) = G( ) β( d) (4.7) d d Möbius tipi iversiyo gerçekleecek biçimde G S bulabilir miyiz? [5]. İşte bu bölümü amacı; bu problemi öce teorik olarak ve daha sora yapısal ve açık olarak çözmektir [5]. Verile bir F foksiyou içi G i bir tek biçimde belirleebileceği gösterilecektir. Bu durumda { FG, }; geelleştirilmiş Möbius foksiyolarıı bir çarpımsal ters çifti olarak adladırılır [5]. { 0} F M foksiyouu kovülasyoua göre tersi F ile gösterilir. F S i F S i gerektirdiğii gösterdiğimizde yukarıdaki problemi bir tek çözüme sahip olduğu açıktır. Aşağıdaki öerme ihtiyaçta biraz fazlasıı verir. 4.4. Öerme S, kümesi M { 0, } ı bir alt grubudur [5]. İspat Buu içi FG, S H = F G S ve F S olduğuu göstermeliyiz. f, g: birer foksiyo olsu öyle ki f(0) = g(0) = ve içi 0

53 F ( ) = fe ( ( )) ve G ( ) = ge ( ( )) (4.8) p p p p şartları sağlası. Noktasal olarak h : 0 foksiyouu r 0 içi r hr (): = f( ρ) gr ( ρ) (4.9) ρ = 0 ile taımlayalım. h (0) = olduğu aşikardır. Üstelik H = F G M olduğuda ep ( ) H ( ) = Hp ( ) p r ρ p = F( p ) G p p ρ = 0 r ρ = 0 e ( ) ρ ( ) = f( ρ) g( e ( ) ρ) p = he ( p ( )) p p F S F S olduğuu ispatlamak içi ψ : 0 foksiyouu oktasal olarak ψ (0) = ve r f( ρψ ) ( r ρ) = 0 ( r =,2, ) (4.0) ρ = 0 şeklide taımlayalım. f (0) = olduğuda bu bir tek şekilde mümküdür. F F = ε ve Eş.4.5. deklemide her bir p asal ve r içi r 0 = ε ( p ) r ρ r ρ = F( p ) F ( p ) ρ = 0 r r = f( ρ) F ( p ρ ) ρ = 0

54 dir. O zama F () = = ψ (0) ve tümevarım yötemiyle her bir p asalı ve r içi r F ( p ) =ψ ( r) olduğuu görebiliriz. Souç olarak ep ( ) F ( ) = Fp ( ) p = ψ ( ep ( )) p olduğuda F S elde edilir. 4.. Lemma (Yapıyı işa etme yötemi) Eğer F M ise, o zama s içi s r rs F ( ) = Fp ( ) p = p r= 0 biçimsel deklemi gerçekleir [5]. Şimdi yukarıdaki problemde olduğu gibi F Lemma 4.. göz öüe alıırsa S olduğuu kabul edelim. Eş.4.5. ve s rs F ( ) = f( rp ) (4.) = p r= 0 eşitligii buluruz. Üstelik Eş.4.. i sağ tarafıdaki toplamda x = p s alıarak biçimsel bir kuvvet serisi olarak düşüebiliriz. O zama bu biçimsel kuvvet serisii bir tersi vardır; g (0) = olmak üzere;

55 r (4.2) r= 0 r= 0 r f () rx = grx () ile gösterebiliriz. O zama G ( ) = ge ( ( )) ( ) şeklide bir sayı-teorik G p foksiyouu işa edebiliriz. Bu G S olduğuu gösterir. Böylece Lemma 4.. de p s rs G ( ) = gr ( ) p (4.3) = p r= 0 eşitliğie sahip oluruz. Eş.4.. i sol tarafıı f () s ve Eş.4.3. i sol tarafıı gs () ile gösterirsek o zama Eş.4.2. yi gs () = f () s ile gösterebiliriz. Eş.4.2 açıkça r f( ρ) g( r ρ) = 0 ( r =,2, ) ρ = 0 eşitliğie dektir. Buu Eş.4.0. ile karşılaştırırsak g = ψ olduğuu buluruz. Gerçekte, gs () = f () s eşitliği Dirichlet serilerii çarpımı içi bezer bir kuralıyla birlikte Möbius iversiyou geel bir tipi alamıa gelir. 4.8. Teorem F S olsu. O zama F ( ) = fe ( ( )), G ( ) = ge ( ( )) ve Eş.4.2. p p p eşitliklerii kullaarak Möbius iversiyou geelleştirilmiş tipii geçerli olacağı p

56 G S i işaa edebiliriz. Başka bir deyişle α, β : şeklide taımlaa α, β foksiyolarıı herhagi biri keyfi olarak verildiğide β( ) = F α( d) d d α( ) = G( ) β( d) d d eşitliği sağlaır [5]. Gerçekte, eğer UV, teorik-sayı foksiyou ve Dirichlet serileri diliyle s us (): = U (), vs (): = V () = = s veya kısaca () Dir ( ()), ( ) Dir ( ( )) us U v V şeklide gösteriliyorsa o zama Dirichlet serilerii çarpımı ile (aslıda Dirichlet kovülasyou ile) Dir usvs ()() U( ) Vd ( ) d d elde edilir. Souç olarak, as () Dir ( α() ), bs () Dir ( β () ) kabul edersek Eş.4.7. deki iki eşitliği olduğuu bs () = f ()() sas, as () = gsbs ()() bağıtılarıa karşılık geldiğii görürüz. Açıkça gs () = f () s gereğice bu iki deklem birbirie dektir. Böylece teorem ispatlamış olur [5].

57 4.8. Örek z f(): r = () r r ( ) 0 r, z olarak alıırsa r= 0 r f () rx = ( x) z z = ( x) r r= 0 r elde edilir. Böylece z gr () () = r r ( r 0) olarak gösterebiliriz [5]. 4.3. Souç z içi { µ, µ } geelleştirilmiş Möbius foksiyolarıı bir çarpımsal ters çiftidir [5]. z z Bu souçta hareketle Eş.4.7. β ( ) = µ z α( d) α ( ) = µ z β( d) d d d d olarak alıırsa geelleştirilmiş Möbius iversiyo formülü alamıa gelir. Açıkça bu so eşitlikte z = veyaz = alıırsa klasik Möbius iversiyo formülüe döüşür.