DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8

ÖZ Bu çalışmada Dirac sistemi içi, deklemleri ve sıır koşullarıda biri spektral parametre içere aşağıdaki sıır değer problemi icelemiştir: { λ } u ' + P w =, { λ } w' + + R u =, α w u cos siα =, ( λ β a) u ( λ β b) w cos + si + =. Burada, λ spektral parametre, P( ) ve R( ) reel değerli ve C [,] π π sııfıda foksiyolar, a, b R, α, β, ve si cos a β b β < dır. Bu çalışmada söz kousu problemi:. Özdeğerleri sayılabilir olduğu, bu özdeğerleri reelliği ve basitliği ispatlamış;. Özvektör foksiyolarıı salıım özellikleri icelemiş; 3. Özdeğer ve özvektör foksiyoları içi asimptotik formüller elde edilmiştir. Aahtar Kelimeler: Dirac deklemler sistemi, sıır değer problemi, özdeğer ve özvektör foksiyou, salıım, asimptotik formül. i

ABSTRACT I this work, we cosider the followig boudary value problem for the Dirac system with a spectral parameter i the equatio ad the boudary coditio: { λ } u ' + P w =, { λ } w' + + R u = α w u cos siα =, ( λ β a) u ( λ β b) w cos + si + =. Where, λ is the spectral parameter, P ( ) ad R ( ) are real-valued fuctios from the class C [,],, a si β b cos β <. We prove: π π a b R, α, β,. that there is a coutable set of eigevalues of the give problem ad that they are real ad simple;. oscillatory properties of the eige-vector-fuctios; 3. asymptotik formulas for eigevalues ad eige-vector-fuctios with remaider of the form O ( ). ad Keywords: Dirac equatios system, boudary value problem, eigevalue ad eige-vector-fuctio, oscillatio, asymptotik formula. ii

TEŞEKKÜR Bu çalışmayı hazırlamamda desteğii hiçbir zama esirgemeye değerli daışmaım Prof. Dr. Nazım KERİMOV a teşekkür ederim. Ayrıca, bu çalışma boyuca yardımıı esirgemeye bölüm hocalarıma ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma teşekkürlerimi suarım. iii

İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii İÇİNDEKİLER. iv SİMGELER VE KISALTMALAR... vi. GİRİŞ. KAYNAK ARAŞTIRMASI 3. MATERYAL VE METOT.. 3 3.. ÖN BİLGİLER 3 3... Temel Taımlar ve Teoremler... 3 3... Süreklilik Modülü. 5 3..3. Tam Foksiyou Taımı ve Bazı Özellikleri.. 7 3.. BİR BOYUTLU DIRAC SİSTEMİNİN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ.. 8 3...Bir Boyutlu Dirac Sistemii Kaoik Biçime İdirgemesi 8 3...Sıır Koşulları ile Verile Dirac Operatörüü Özdeğerleri ve Özvektör Foksiyolarıı Bazı Temel Özellikleri... 3.3. (3.7)-(3.9) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞERLERİ VE ÖZVEKTÖR FONKSİYONLARI İÇİN ASİMPTOTİK FORMÜLLER 3 3.3..Operatör Döüşümü Taımı ve Geel İfadesi. 3 3.3..Operatör Döüşümü Yardımı ile Asimptotik Formülleri Elde Edilmesi. 5 4. BULGULAR VE TARTIŞMA 4.. (.)-(.4) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞERLERİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ. 4.. BAZI YARDIMCI İDDİALAR... 4 iv

4.3. (.)-(.4) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZFONKSİYONLARININ SALINIM ÖZELLİKLERİ.. 7 4.4. ( ) θ FONKSİYONUNUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ... 3 4.5. (.)-(.4) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞERLERİ VE ÖZVEKTÖR FONKSİYONLARI İÇİN ASİMPTOTİK FORMÜLLER 34 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 4 KAYNAKLAR.. ÖZGEÇMİŞ... 43 47 v

SİMGELER VE KISALTMALAR N {,,3,... } doğal sayılar kümesi Z {...,,,,,,... } tam sayılar kümesi R R C Ι Reel sayılar kümesi R i kedisiyle kez kartezye çarpımı Kompleks sayılar kümesi Birim operatör z arg z ( f, g ) { a} { : } = a N z kompleks sayısıı eşleiği z kompleks sayısıı argümeti f ile g vektörlerii buludukları uzaydaki iç çarpımı ( a, b ) { R : a < < b} [ a, b ) { R : a < b} ( a, b ] { R : a < b} [ a, b ] { R : a b} C [ a, b ] [, ] a b kapalı aralığıda sürekli ve reel değerli tüm foksiyoları uzayı O( a ) Ladau sembolü f ( ) g ( ) Her bir [ a, b] ([ a, b),( a, b],[ a, b ]) içi f ( ) = g ( ) f sup if f foksiyouu (operatörüü) tersi Üst sıırları e küçüğü (supremum) Alt sıırları e büyüğü (ifimum) vi

. GİRİŞ Lieer diferasiyel operatörleri spektral teorisii öemli problemleride biri, sıır koşulları spektral parametre içere sıır değer problemii bazı temel spektral özelliklerii (özdeğerlerii ve özfoksiyolarıı varlığı, oları asimptotik gösterimleri, özfoksiyolarıı salıım özellikleri vs.) icelemesidir. Bu tez çalışmasıda { λ } u ' + P w =, (.) { λ } w' + + R u =, (.) α w u cos siα =, (.3) ( λ β a) u ( λ β b) w cos + si + = (.4) şeklideki spektral problemi yukarıda gösterilmiş tür spektral özellikleri iceleecektir. Burada, λ spektral parametre, P( ) ve R( ) foksiyoları [, ] kapalı aralığıda reel değerli sürekli foksiyolar, a, b belirli reel sayılar ve π π π π α, β dir. (.) - (.4) sıır değer problemii spektral özelliklerii icelemesi koşulu dahilide yapılacaktır. σ = asi β b cos β < (.5) Not.. Belirtelim ki;,,,,, reel sayılar olmak üzere a b a b c d, ( a b, a c ) b w a u =, ( a λ b ) u ( c λ d ) w + + = + > + > belirli şekilli sıır koşulları (.3) - (.4) şekilli sıır koşullarıa döüştürülebilir. Bu durumda (.5) koşuluu sağlaması içi olmalıdır. b c da < (.6)

. KAYNAK ARAŞTIRMASI Lieer diferasiyel operatörleri spektral özelliklerii icelemesi hakkıda yapıla ilk temel çalışmalar [-3] kayaklarıda düzelemiştir. Sturm - Liouville tipli diferasiyel operatörler içi 973 yılıda J. Walter [4] sıır koşullarıda biri, 977 yılıda C.T. Fulto [5] ve 993 yılıda P.J. Browe, P.A. Bidig, K. Seddighi [5] sıır koşullarıda her ikisi spektral parametre içere sıır değer problemlerii icelemişlerdir. [6], [7], [8], [9], [], [], [], [6], [7], [8], [9], [], [], [], [3], [4], [5], [6] çalışmalarıda sıır koşullarıda spektral parametre içere Sturm Liouville tipli diferasiyel operatörler icelemiştir. Özellikle [6] ve [7] çalışmalarıda sıır koşullarıda her ikisi de λ spektral parametresii lieer olmaya kuadratik foksiyouu içerir. [3] ve [4] çalışmalarıda dördücü mertebede adi diferasiyel operatörler içi dört sıır koşuluda biri spektral parametre içere sıır değer problemi icelemiş ve bir dizi souçlar elde edilmiştir. [7] çalışmasıda kısmi diferasiyel deklem olarak verile ısı deklemi değişkelere ayırma metodu kullaılarak sıır koşullarıda biri spektral parametre içere Sturm Liouville tipli spektral probleme idirgemiştir. Dirac sistemi içi yılıda N.B. Kerimov [8] sıır koşullarıda her ikisi spektral parametre içere sıır değer problemii spektral özelliklerie ait souçlar elde etmiştir.

3. MATERYAL VE METOD 3.. ÖN BİLGİLER 3.. Temel Taımlar ve Teoremler Taım 3... [9]. f, ( a, b ) açık aralığıda taımlı, reel değerli bir foksiyo ve ( a b) olsu. Her bir ε > sayısıa karşılık < δ ike, < olacak biçimde bir δ δ ( ε ) f f ε foksiyoua oktasıda süreklidir deir. =, > sayısı buluabilirse f Taım 3... [9]. f, ( a, b ) açık aralığıda taımlı, reel değerli bir foksiyo olsu. f foksiyou ( a, b ) aralığıı her bir oktasıda sürekli ise f foksiyoua ( a, b ) aralığıda süreklidir deir. Taım 3...3 [9]. f, ( a, b ) açık aralığıda taımlı, reel değerli bir foksiyo ve ( a b) olsu. Her bir ε > sayısıa karşılık < δ, ( δ < ) ike f ( ) f ( ) < ε olacak biçimde bir δ δ ( ε ) =, > sayısı buluabilirse f foksiyoua oktasıda sağda (solda) süreklidir deir. Taım 3...4 [9]. f, [ a, b ] kapalı aralığıda taımlı, reel değerli bir foksiyo olsu. f, ( a, b ) açık aralığıda sürekli, = a oktasıda sağda ve = b oktasıda solda sürekli ise f foksiyoua [ a, b ] kapalı aralığıda süreklidir deir. C [ a, b ] gösterilir. [ a, b ] kapalı aralığıda sürekli ve reel değerli bütü foksiyoları kümesi 3

Taım 3...5 [9]. f, ( a, b ) (ya da [, ] a b ) aralığıda taımlı, reel değerli bir foksiyo olsu. Her bir ε > sayısıa karşılık < δ koşuluu sağlaya her, ( a, b) (ya da, [ a, b] ) içi ( ) ( ) f f < ε olacak şekilde bir δ = δ ( ε ) > sayısı buluabilirse f foksiyoua ( a, b ) (ya da [, ] aralığıda düzgü süreklidir deir. a b ) Teorem 3... [9] (Cator Teoremi). Kapalı aralıkta sürekli ola her foksiyo düzgü süreklidir. Teorem 3... [9] (Ara Değer Teoremi). f C [ a, b] olsu. [, ] a b de < ve f ( ) f ( ) olacak şekilde herhagi iki, oktası verildiğide f foksiyou (, ) aralığıda, f ( ) ile alır. f arasıdaki her değeri e az bir defa Taım 3...6 [3]. f, ( a, b ) aralığıda taımlı bir foksiyo ve ( a b) olsu. Eğer, lim f f limiti var ve solu ise f foksiyoua oktasıda türevleebilirdir deir. Bu durumda yazılır. ( ) f = lim f f Teorem 3...3 [3] (Rolle Teoremi). f, [ a, b ] kapalı aralığıda sürekli ( a, b ) açık aralığıda türevleebilir bir foksiyo ve f ( a) f ( b) durumda f ( c) = olacak şekilde e az bir c ( a, b) vardır. = olsu. Bu 4

Teorem 3...4 [3] (Diferasiyel Hesabı Ortalama Değer Teoremi). f, [ a, b ] kapalı aralığıda sürekli, (, ) foksiyo olsu. Bu durumda, olacak şekilde e az bir c ( a, b) ( c) f = vardır. a b açık aralığıda türevleebilir bir f b f a b a Taım 3...7 [9]. f, A R kümeside taımlı bir foksiyo olsu. Her bir A içi f ( ) M olacak şekilde e az bir M > sayısı varsa f foksiyoua A kümesi üzeride sıırlıdır deir. Aksi durumda f foksiyoua A kümesi üzeride sıırsızdır deir. Taım 3...8 [9]. Eğer A R üstte (altta) sıırlı bir küme ise A ı üst sıırları e küçüğüe (alt sıırlarıı e büyüğüe) A ı supremumu (ifimumu) deir ve sup A ( if A ) ile gösterilir. Teorem 3...5 [9] (Weierstrass Teoremi). f C [ a, b] foksiyou [ a, b ] kapalı aralığıda sıırlıdır. ise f Taım 3...9 [9]. N doğal sayılar kümesi üzeride taımlı bir foksiyoa dizi deir. f bir dizi ise her bir doğal sayısıa bir a f ( ) = elemaı karşılık geleceğide f dizisi { a} = şeklide gösterilebilir. 3... Süreklilik Modülü Taım 3... [3]. f foksiyou [ a, b ] kapalı aralığıda sürekli olsu. [,b a] aralığıda taımlı ω ( f, δ ) = sup f ( + h) f ( ) a b h h δ 5

ya da oa dek ola ile taımlı ω ( f, δ ) ω ( δ ) deir. ( δ ),, δ [ a b] ω f, = sup f f = foksiyoua f foksiyouu süreklilik modülü Bu taıma göre ω ( f, δ ) süreklilik modülü [,b a] δ olmak üzere f foksiyouu, uzuluğu δ ya eşit ola [ a, b ] kapalı aralığıı bütü alt aralıklarıdaki maksimum salıımıı verir. Burada her, h [ a, b] ya da her, [ a, b] elde edilir. içi f ( + h) f ( ) ω ( δ ) ( ) ( ) ω ( ) f f + içi Bu taım, foksiyou düzgü sürekli olması koşuluyla (, + ) aralığıda da verilebilir. Örek 3... [3]., a b R keyfi sabitler olmak üzere (, + ) olsu. Bu durumda herhagi bir δ içi dir. sup ω δ = a + h + b a b = sup ah = a δ R h δ h δ f = a + b, Örek 3... [3]. f ( ) = si, (, ) + olsu. Bu durumda herhagi bir δ içi h h h ω ( δ ) = sup si ( + h) si = sup cos + si = sup si buluur. Burada R R h δ h δ h δ δ si, δ < π ω ( δ ) =, δ π 6

elde edilir. Öerme 3... (Süreklilik Modülüü Özellikleri).. ω =,. ω ( δ ) azalmaya bir foksiyodur, 3. C [, b a] ω δ, ω δ alt toplamsaldır; yai, her δ, δ içi 4. sağlaır. So eşitsizlikte ( + ) + ω δ δ ω δ ω δ ( + + + ) + + + ω δ δ δ ω δ ω δ ω δ geel eşitsizliği elde edilir. Ayrıca bu geel eşitsizlikte δ = δ = = δ = δ yazılırsa buluur. ( ) ω δ ω δ 3..3. Tam Foksiyou Taımı ve Bazı Özellikleri Taım 3..3. [3]. D C bir bölge, f : D C bir foksiyo, z D olsu. Eğer lim z z f z f z z z limiti var ve solu ise f foksiyoua z türevleebilirdir deir. D oktasıda C -alamıda Taım 3..3. [3]. D C bir bölge f : D C bir foksiyo olsu. Eğer f foksiyou D bölgesii her oktasıda türevleebilir ise f foksiyoua D bölgeside aalitiktir (holomorftur) deir. gösterilir. D bölgeside aalitik ola bütü foksiyoları kümesi H ( D ) ile 7

deir. Taım 3..3.3 [3]. Tüm C de aalitik ola foksiyoa tam foksiyo Teorem 3..3. [3] (Aalitik Foksiyoları Teklik Teoremi). D C bir bölge, f, g H ( D) olsu. Eğer f ve g foksiyoları, D bölgeside e az bir limit oktasıa sahip ola bir küme üzeride eşit oluyorlarsa, her z D içi f ( z) = g ( z) dir. Souç 3..3. [3]. D C bir bölge, f H ( D) özdeş olarak sıfır olmaya bir foksiyo ise, f foksiyou D de e fazla sayılabilir tae sıfırı vardır ve bu sıfırları D bölgeside yerleşe bir limit oktası yoktur. Souç 3..3. [3]. Özdeş olarak sıfır olmaya bir tam foksiyou C de e fazla sayılabilir tae sıfırı vardır ve bu sıfırlar solu limit oktasıa sahip değildir. 3.. BİR BOYUTLU DIRAC SİSTEMİNİN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ 3... Bir Boyutlu Dirac Sistemii Kaoik Biçime İdirgemesi pik [ π ] ( i k = ) :, R,, sürekli foksiyolar olmak üzere, p p, L p p p p matris döüşümüü göz öüe alalım. y ( ) ile iki kompoete sahip (3.) y ( ) ( ) y = y vektör foksiyouu gösterelim. λ bir parametre, olmak üzere d B + L λi y = d B = ve I = (3.) 8

deklemii ele alalım. Bu deklem birici mertebede dy d dy d deklemler sistemie dektir. + p y + p y = λ y, + p y + p y = λ y,, p = p p = V + m p = V m (3.3) durumuda (3.3) deklemler sistemi, göreli kuatum teoriside Bir Boyutlu Durağa Dirac Sistemi olarak biliir. Burada V ( ) potasiyel foksiyou ve m parçacığı kütlesidir. H = H ile R deki bir düzgü ortogoal döüşümü gösterelim. Bilidiği gibi R deki her ortogoal döüşüm H ( ) siϕ ( ) ( ) cosϕ ( ) cosϕ = siϕ formudadır. Kolayca gösterilebilir ki BH = HB dir ve H vardır. y = Hz yazalım. (3.) de y = Hz yerie yazılır ve eşitliği her iki tarafıda H döüşümü uygulaırsa ya da elde edilir. d d H B Hz + H LHz = H λhz dz d yazalım. Kolayca gösterilebilir ki ve d d B + H B H + H LH z = z d d Q = H B H + H LH ( ) H B H = d ϕ ( ) d ϕ λ (3.4) 9

H p cos ϕ + p si ϕ + p si ϕ p cos ϕ + ( p p ) si ϕ LH = p cos ϕ ( p p ) si ϕ p si ϕ p si ϕ p cos ϕ + + dir. Burada Q matrisii q q Q = q q ϕ + p cos ϕ + p si ϕ + p si ϕ p cos ϕ + ( p p ) si ϕ = p cos ϕ ( p p ) si ϕ ϕ p si ϕ p si ϕ p cos ϕ + + + formuda olduğu elde edilir. ϕ ( ) foksiyou öyle seçilmelidir ki, olsu. O halde olur. Burada buluur. O halde Q Q( ) p ( ) cos ϕ ( ) + { p ( ) p ( ) } si ϕ ( ) = ( ) ϕ = = matrisi Q arcta p ( ) p p q p = q ( ) r ( ) olarak düşüülebilir. Burada (3.4) deklemi dz p + z = λz d r ( ) formuda yeide yazılabilir. Şimdi ϕ ( ) foksiyouu q ( ) q ( ) biçimde seçelim. Yai ( ) p ( ) p ( ) ϕ + + = olsu. O halde q (3.5) + = olacak olur. Burada (3.4) deklemii ϕ ( ) = { p ( t) + p ( t) } dt q ( ) p( ) dz p + z = λz d q (3.6)

formuda olduğu elde edilir. (3.5) ve (3.6) deklemlerie (3.) deklemii kaoik formu deir. (3.) deklemii çeşitli spektral özellikleri araştırılırke bu kaoik formlarda uygu olaı kullaılır. Öreği (3.) deklemii özdeğerlerii ve özfoksiyolarıı asimptotik davraışlarıı araştırırke veya keyfi bir vektör foksiyouu (3.) deklemii özvektör foksiyolarıa göre ayrışım formüllerii icelerke (3.5) kaoik formuu kullamak uygu olur. Bua karşılık (3.) deklemii özdeğerlerii sayısıı asimptotik davraışları ile ilgili problemlerde ve sosuz aralıklar üzerideki ters problemlerde (3.6) kaoik formuu kullamak daha uygu olur []. 3... Sıır Koşulları ile Verile Dirac Operatörüü Özdeğerleri ve Özvektör Foksiyolarıı Bazı Temel Özellikleri p( ) ve r ( ), [,π ] aralığıda sürekli, reel değerli foksiyolar ve α, β R olmak üzere (3.3) deklemler sistemi içi (3.5) kaoik formuu kullaıldığı aşağıdaki sıır değer problemii göz öüe alalım: farklı { λ } { λ } y + p y =, y + + r y =, (3.7) y y α y cos + siα =, (3.8) y π cos β + π si β =. (3.9) Varsayalım ki λ = λ sayısı içi (3.7) - (3.9) sıır değer problemi, aşikarda (, λ ) y çözümüe sahiptir. Bu durumda (, λ ) (, λ ) y = y λ sayısıa özdeğer ve (, ) y λ vektör foksiyoua da λ özdeğerie karşılık gele özvektör foksiyou deir [].

Lemma 3... []. (3.7) - (3.9) sıır değer problemii farklı λ, λ özdeğerlerie karşılık gele y (, λ ) ile (, ) ortogoaldir. Yai z λ özvektör foksiyoları dır. π { ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )} y, z, + y, z, d = İspat: y (, λ ) ve (, ) çözümü olduğuda z λ vektör foksiyoları (3.7) deklemlerii ( λ ) { λ } ( λ ) ( λ ) { λ } ( λ ) ( λ ) { λ } ( λ ) ( λ ) { λ } ( λ ) y, + p y, =, y, + + r y, =, z, + p z, =, z, + + r z, = sağlaır. Bu deklemler sırasıyla z (, λ ), z (, λ ), y (, λ ), y (, λ ) foksiyoları ile çarpılıp taraf tarafa toplaırsa d d { y (, λ ) z (, λ ) y (, λ ) z (, λ )} ( λ λ ){ y (, λ ) z (, λ ) y (, λ ) z (, λ )} = + elde edilir. So eşitliği iki tarafı da π ye itegre edilirse π ( λ λ ) { (, λ ) (, λ ) + (, λ ) (, λ )} y z y z d { y (, λ ) z (, λ ) y (, λ ) z (, λ )} = olur. Eşitliği sağ tarafı (3.8) - (3.9) sıır koşullarıda dolayı olur. O halde dır. λ λ π ( λ λ ) { ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )} y, z, + y, z, d = (3.) olduğuda (3.) eşitliğii her iki tarafı ( λ λ ) π { ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )} y, z, + y, z, d = π sayısıa bölüürse

elde edilir. Bu ise y (, λ ) ile (, ) olduğuu gösterir. z λ özvektör foksiyolarıı ortogoal Lemma 3... []. (3.7) - (3.9) sıır değer problemii özdeğerleri reeldir. İspat: λ sayısı (3.7) - (3.9) sıır değer problemii bir özdeğeri ve y (, λ ) bu özdeğere karşılık gele özvektör foksiyou olsu. O halde y, λ dır. Kolayca gösterilebilir ki, λ sayısı da (3.7) - (3.9) sıır değer problemii bir özdeğeridir ve bu özdeğere karşılık gele özvektör foksiyou y (, λ ) bilgilere göre (3.) deklemi halii alır. { } π ( λ λ ) ( λ ) ( λ ) y, λ olduğuda y, + y, d = π { λ λ } y, + y, d > dır. O halde λ λ =, yai λ = λ dir. Burada λ R elde edilir. dir. Bu 3.3. (3.7) - (3.9) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞERLERİ VE ÖZVEKTÖR FONKSİYONLARI İÇİN ASİMPTOTİK FORMÜLLER 3.3.. Operatör Döüşümü Taımı ve Geel İfadesi Taım 3.3.. []. A ve B iki lieer diferasiyel operatör, Φ ve Φ iki lieer foksiyo uzayı, X ise Φ de Φ ye bir sürekli lieer döüşüm olsu ve aşağıdaki koşulları sağlası: o AX = XB dir o X sürekli tersi vardır. Bu durumda, X e bir operatör döüşüm deir. 3

p A d d ( ) r d d ( ), p B d d ( ) olsu. Burada p ( ), p ( ), r ( ) ve r ( ), [ ] değerli foksiyolardır. Φ ve Φ sırasıyla sıır koşullarıı sağlaya ve f g γ f δ g cos + si γ =, cos + siδ = r d d ( ) (3.),π aralığıda sürekli ve reel f g f ( ) =, g ( ) = f g (3.) sürekli türevlere sahip ola foksiyoları uzayı olsu. Burada γ ve δ keyfi reel sayılardır []. verilir. Yai Lemma 3.3.. []. Bir X operatör döüşümü g ( ) X f ( ) = α + β + { + } = şeklide g f f P, s f s R, s f s ds, = β + α + { (, ) + (, ) } g f f Q s f s H s f s ds (3.3) dir. Burada α ( ) = si p ( t) r ( t ) p ( t) r ( t) dt arcsi, χ + + χ (3.4) β ( ) = cos p ( t ) + r ( t) p ( t) r ( t) dt + arcsi χ χ dır. Ayrıca χ = sec( δ γ ) ve P (, s ), R (, s ), Q(, s ), (, ) sahip foksiyolardır. H s sürekli türeve Bu iddiaı ispatı [, pp:367-37] da yapılmıştır. 4

Edilmesi 3.3.. Operatör Döüşümü Yardımı ile Asimptotik Formülleri Elde ϕ (, λ) (, λ) (, λ) ϕ = vektör foksiyou (3.7) deklemler sistemii ϕ ϕ, λ = cos α, ϕ, λ = siα (3.5) koşullarıı sağlaya çözümü olsu. p( ) r ( ) = içi (, ) cos ( ), (, ) si ( ) ϕ λ = λ α ϕ λ = λ α (3.6) olduğuu göstermek zor değildir. Şimdi (3.7) - (3.8) problemii çözümlerie bir operatör döüşümü uygulayalım. (3.7) deklemler sistemi formudadır. (3.6) foksiyou, yai vektör foksiyou d p ( ) d A y = y = λ y d r ( ) d cos si ( λ α ) ( λ α ) d d B y = y = λ y d d deklemii çözümüdür. Eğer ψ (, λ ) vektör foksiyou bir çözümü ise X operatör döüşümüü taımı kullaılarak [ ψ ] = [ ψ ] = [ λψ ] = λ [ ψ ] A X XB X X olduğu elde edilir. Yai ϕ X [ ψ ] (3.7) (3.8) Bψ = λψ deklemii = vektör foksiyou Aϕ = λϕ deklemii bir çözümüdür. Böylece ψ (, λ ) ( λ α ) ( λ α ) cos = si 5

vektör foksiyou (3.8) deklemii bir çözümü ise ϕ (, λ ) X ψ (, λ ) = vektör foksiyou da (3.7) deklemii bir çözümüdür. Ele alıa bu durumda, =, r ( ) = r ( ), p ( ) r ( ) p p = dır ve (3.) sıır koşullarıı yerie, (3.5) sıır koşulları alıdığıda γ = δ olur. Yai χ = dir. (3.4) te α ( ) = cos, p t + r t dt β ( ) = si p( t) + r ( t) dt elde edilir. (3.3) formülüde (3.7), (3.5) problemii ϕ (, λ) çözümü içi aşağıdaki formüller elde edilir: (, λ) (, λ) ϕ = ϕ ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ϕ, λ α cos λ α β si λ α (3.9) { (, ) cos ( λ α ) (, ) si ( λ α )} + P s s + R s s ds, ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ, λ α si λ α β cos λ α Ya da (3.9) daki α ( ) ve ( ) elde edilir. Burada { (, ) cos ( λ α ) (, ) si ( λ α )} + Q s s + H s s ds. β değerleri yerie yazılırsa (, ) = cos { (, ) } ϕ λ ξ λ α { (, ) cos ( λ α ) (, ) si ( λ α )} + P s s + R s s ds (, ) = si { (, ) } ϕ λ ξ λ α { (, ) cos ( λ α ) (, ) si ( λ α )} + Q s s + H s s ds (3.) (3.) dir. ξ (, λ) = λ { p ( t) + r ( t) } dt (3.) 6

Lemma 3.3... []. Aşağıdaki asimptotik formüller doğrudur. ϕ (, λ ) = cos { ξ (, λ ) α} + O, λ ϕ (, λ ) = si { ξ (, λ) α} + O, λ ϕ (, λ ) λ ϕ (, λ) λ { ξ ( λ) α} = si, + O, { ξ ( λ) α} = cos, + O. (3.3) (3.4) İspat: (3.3) ü elde etmek içi (3.) ve (3.) i sağ tarafıdaki itegrallerde kısmi itegrasyo yötemii kullamak yeterlidir. ( P (, s ), (, ) Q(, s ) ve (, ) R s, H s foksiyoları diferasiyelleebilir olduğuda kısmi itegrasyo metodu uygulaabilir). (3.4) ise (3.) ve (3.) i iki yaıda türev alıarak bezer bir yolla ispatlaabilir. Lemma 3.3.. []. (3.7) - (3.9) sıır değer problemii özdeğerleri sadece + ϕ π, λ cos β ϕ π, λ si β foksiyouu sıfırlarıdır ve bu foksiyou bütü sıfırları basittir. İspat: ϕ ( λ ) ve ( ), ϕ λ foksiyoları (3.8) sıır koşullarıı, sağladığıda (3.7) - (3.9) sıır değer problemii özdeğerlerii bulmak içi ϕ ( λ ) ve ϕ ( ),, bu deklemi sıfırları araştırılmalıdır. yazılırsa λ foksiyolarıa (3.9) sıır koşulları sağlatılmalı ve ardıda = + D λ ϕ π, λ cos β ϕ π, λ si β ( λ ) ϕ ( π, λ ) ϕ ( π, λ ) dd = cos β + dλ λ λ si β elde edilir. Varsayalım ki, λ sayısı D( λ ) foksiyouu çok katlı köküdür ve 7

ϕ (, λ ) (, λ ) (, λ ) ϕ = ϕ λ özdeğerie karşılık gele özvektör foksiyoudur. O halde dd ve ( λ ) dλ = deklemlerii ikisi ayı ada sağlaır. Yai dır. Bu iki deklemde ϕ π, λ cos β + ϕ π, λ si β = (, ) (, ) ϕ π λ ϕ π λ cos β + si β = λ λ ϕ π, λ ϕ π, λ ϕ ( π, λ ) ϕ ( π, λ ) = λ λ elde edilir. (3.7) deklemii her iki tarafıda λ ya göre türev alıırsa y y { λ + p( ) } = y, λ λ y y + { λ + r ( ) } = y λ λ D λ = ve (3.5) (3.6) y elde edilir. (3.7) ve (3.6) deklemleri sırasıyla λ, y, y ve y ile çarpılıp λ taraf tarafa toplaır ve daha sora da π ye itegre edilirse π y y y (, λ) y (, λ ) = { y (, λ) + y (, λ) } d λ λ elde edilir. λ = λ değeri yerie yazılırsa (3.5) te olacağıda (3.5) deklemide (, ) (, ) ϕ λ ϕ λ = = λ λ = = π π ϕ π, λ ϕ π, λ { ϕ (, λ ) + ϕ (, λ )} d = ϕ ( π, λ ) ϕ ( π, λ ) = λ λ elde edilir. Burada ϕ ( λ ) ϕ ( λ ), =, buluur. Bu ise λ i (3.7) - (3.9) sıır değer problemii özdeğeri olması ile çelişir. O halde λ basit özdeğerdir. 8

özdeğerleri ile Daha öce de bahsedildiği gibi (3.7) - (3.9) sıır değer problemii ϕ π, λ cos β + ϕ π, λ si β = deklemii kökleri çakışmaktadır. Bu deklemde (3.3) te ϕ ( π, λ ) ve ϕ ( π, λ ) değerleri yerie yazılırsa si ( λπ ν ) + O = λ elde edilir. Burada ν ü değeri (3.) de π (3.7) ν = β α { p ( t) + r ( t) } dt (3.8) şeklide buluur. (3.7) deklemide λ ı büyük değerleride olduğuu göstermek zor değildir. (,,,... ) λ π ν = π + δ = ± ± siδ = O yai δ = O buluur. Souç olarak asimptotik formülü elde edilir. yazılırsa ν λ = + + O = ± ± π Bu değerler (3.7) de yerie yazılırsa (,,,... ) (3.9) (3.9) formülü kullaılarak, ϕ ( λ ) = u ( ) ve ϕ ( λ ) = v ( ),, u ( ) = cos( ξ α ) + O v ( ) = si ( ξ α ) + O asimptotik formülleri elde edilir. Burada (3.3) (3.3) dir. ξ = ξ (, λ ) = λ { p ( t) + r ( t) } dt 9

4. BULGULAR VE TARTIŞMA 4.. (.) - (.4) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞERLERİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ Lemma 4... (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri reeldir. İspat: Aksii varsayalım. λ, (.) - (.4) sıır değer problemii reel olmaya bir özdeğeri, (, ) u w de bu özdeğere karşılık gele özvektör foksiyou olsu. Belirtelim ki, her bir [,] içi u ( ) w( ) (.) - (.) deklemlerie göre { } ( λ λ ) + > dır. { } d u w u w = u + w (4.) d eşitliği doğrudur. Gerçekte de (.) - (.) deklemlerie göre { } = + d u w u w u w u w u w u w d { } { } { } { } = λ + P w λ + R u λ + P w + λ + R u { } ( λ λ ) u ( ) w( ) = + olur. (4.) özdeşliği değişkeie göre da e itegre edilirse { u w u w } u w u w ( λ λ ) { } { } = u + w d (4.) elde edilir. (.5) koşulua göre λ cos a β + = olamaz. Varsayalım ki λ cos a β + = dır. cos β durumuda a λ = elde edilir. Bu ise λ cos β özdeğerii reel olmaması ile çelişir. cosβ = durumuda ise a = olur ve σ = a si β b cos β = elde edilir ki, bu da (.5) koşulu ile çelişir. Demek ki λ cos a β + dır. Böylece (.4) sıır koşuluda

u λ si β + b λ cos β + a = w elde edilir. cosα = olduğuda (.3) koşulua göre w = olur. Soucuya ve (4.3) e göre (4.) eşitliği ( λ λ ) σ w λ cos β biçimii alır. λ reel olmadığıda (4.4) { } ( λ λ ) (4.3) = u w d + (4.4) + a σ w λ cos β { } biçimide de yazılabilir. Soucu eşitlik = u w d + (4.5) + a { } σ < ve eşitsizlikleri ile çelişir. Demek ki; cosα = olduğuda λ reeldir. cos α olduğuda ise (.3) göre u + w d > u = w taα olur. Soucuyu ve (4.3) ü (4.) de dikkate alırsak yie (4.5) çelişkisi elde edilir. Lemma 4.. ispat edildi. Kolayca gösterilebilir ki (.) - (.) deklemler sistemii w u, λ = si α,, λ = cosα (4.6) başlagıç koşullarıı sağlaya tek türlü belirli ( u (, ), w(, )) Ayrıca her bir sabitlemiş [,] içi u (, λ ) ve (, ) λ λ çözümü vardır. w λ foksiyoları λ argümetii tam foksiyolarıdır. Bu hükmü ispatı [, pp:4] deki Teorem. i ispatıa bezer biçimde yapılır. Belirtelim ki, (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri deklemii kökleridir. ( λ β a) u ( λ ) ( λ β b) w( λ ) cos +, si +, = (4.7) Lemma 4... (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri e fazla sayılabilir taedir ve bu özdeğerleri oluşturduğu küme solu limit oktasıa sahip değildir. Ayrıca (.) - (.4) sıır değer problemii tüm özdeğerleri basittir.

İspat: (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri (4.7) deklemii sol tarafıdaki tam foksiyou sıfırlarıdır. Lemma 4.. e göre λ parametresii reel olmaya değerleride bu foksiyo sıfırda farklıdır. Özdeş olarak sıfır olmaya tam foksiyou sıfırları e fazla sayılabilir taedir ve solu limit oktasıa sahip değildir. Şimdi (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerlerii basit olduğuu ispatlayalım. Öce gösterelim ki; d u w u w d = + { (, λ ) (, µ ) (, µ ) (, λ )} ( λ µ ){ u (, λ ) u (, µ ) w(, λ ) w(, µ )} eşitliği doğrudur. Gerçekte de (.) - (.) deklemlerie göre d u w u w d { (, λ ) (, µ ) (, µ ) (, λ )} { u (, λ ) w(, µ ) u (, λ ) w (, µ )} { u (, µ ) w(, λ ) u (, µ ) w (, λ) } = + + { λ + P( ) } w(, λ ) w(, µ ) { µ + R( ) } u (, λ ) u (, µ ) { µ P( ) } w(, λ ) w(, µ ) { λ R( ) } u (, λ ) u (, µ ) + + + ( λ µ ){ u (, λ ) u (, µ ) w(, λ ) w(, µ )} = + elde edilir. (4.8) i her iki tarafı da e itegre edilip (4.6) yerie yazılırsa (, λ ) (, µ ) (, µ ) (, λ ) u w u w ( λ µ ) { (, λ ) (, µ ) (, λ ) (, µ )} = u u + w w d olur. λ µ kabul edelim. Bu durumda (4.9) da (, λ ) (, µ ) (, µ ) (, λ ) u w u w = { u (, λ ) u (, µ ) + w(, λ ) w(, µ )} d λ µ elde edilir. Soucu eşitlikte µ λ ike limite geçilirse, buluur. ( λ) ( λ) {{ } { } } (4.8) (4.9) u, w, w(, λ) u (, λ) = u, λ + w, λ d λ λ (4.) Gösterelim ki, (4.7) deklemii yalızca basit kökleri vardır. varsayalım. Yai λ = λ (4.7) deklemii çok katlı kökü olsu. Bu durumda, Aksii

olur. ( λ β a) u ( λ ) ( λ β b) w( λ ) cos +, si +, =, (4.) u (, λ ) cos β + ( λ cos β + a) u (, λ ) λ (, λ ) w w(, λ ) si β ( λ si β + b) = λ (4.) İspatlayalım ki, λ cos β + a ve λ si β + b sayıları ayı ada sıfır olamaz. Aksii varsayalım. Yai λ cos β + a = ve λ si β + b = olsu. cos β = (veya si β = ) olduğuda a = (uygu olarak b = ) olur ve σ = elde edilir. b a Soucu ise (.5) ile çelişir. cos β.si β durumuda ise λ = = si β cos β yai, σ = a si β b cos β = olur. Soucu yie (.5) ile çelişir. Böylece olur. ( λ β a) ( λ β b) cos + + si + > λ cos β + a olsu. Bu durumda (4.) ve (4.) de u λ si β + b λ cos β + a (, λ ) = w(, λ ) ( λ cos β + a), u, λ σ w, λ λ si β + b w, λ = + cos + a λ λ β λ elde edilir. Bu eşitlikler λ = λ içi (4.) da yerie yazılırsa * σ { w(, λ )} * ( λ cos β + a) { (, λ )} { (, λ )} } = u + w d elde edilir. Bu ise σ < olması ile çelişir. O halde (.) - (.4) sıır değer problemii bütü özdeğerleri basittir. λ si β + b durumu ise bezer biçimde yapılır. 3

4.. BAZI YARDIMCI İDDİALAR I. Pν ( ) ve Rν ( ) ( ν =, ), [ ] > >, R ( ) R ( ) P P ( ( ), ( ) ), aralığıda sürekli ve bu aralıkta > > koşullarıı sağlaya foksiyolar olsu. Aşağıdaki iki deklemler sistemii göz öüe alalım: ( ( ), ( ) ) ϕ P ψ =, ψ + R ( ) ϕ =, ( ) ϕ P ψ =, ψ + R ( ) ϕ =. (4.3) (4.4) ϕ ψ vektör foksiyou (4.3) deklemler sistemii, ϕ ψ vektör foksiyou ise (4.4) deklemler sistemii aşikarda farklı çözümü olsu. Aşağıdaki iki lemma [3, pp:5-53] deki karşılaştırma teoremleride kolayca elde edilir. ψ ϕ Lemma 4... Eğer ϕ ( ) = veya ϕ, ψ ise (, ] yarı - açık aralığıda ( ) ϕ ϕ, ϕ foksiyouu sıfırlarıı sayısı, ϕ ( ) foksiyouu sıfırlarıı sayısıda az değildir ve ϕ ( ) foksiyouu. k sıfırı, ϕ foksiyouu k. sıfırıda küçüktür. ψ ( ) = veya ψ, ψ, ϕ ψ ϕ ise ( ] ψ aralığıda ψ ( ) foksiyouu sıfırlarıı sayısı, ( ) Eğer, yarı - açık ψ foksiyouu sıfırlarıı sayısıda az değildir ve ψ ( ) foksiyouu k. sıfırı, ψ ( ) foksiyouu k. sıfırıda küçüktür. 4

Lemma 4... Eğer ϕ ( ) ve ϕ ( ) foksiyolarıı sıfırlarıı sayısı eşit ve ϕ ϕ Eğer ψ ( ) ve ψ ( ) foksiyolarıı, aralığıda ψ ψ, ise > eşitsizliği doğrudur. ϕ ϕ ϕ ϕ ψ, ψ ise < eşitsizliği doğrudur. ψ ψ II. ( ( ), ( ) ) ϕ ψ vektör foksiyou ϕ p ψ =, ψ + r ϕ =, aralığıda sıfırlarıı sayısı eşit ve deklemler sistemii aşikarda farklı çözümü olsu. Burada p ( ), r ( ) C [,] ve p ( ) >, r ( ) > ( ) dır. ( ) ( f ) (uygu olarak ( ) ( f ) ) ile f ( ) C [,] foksiyouu [, ) yarı açık aralığıdaki e küçük (uygu olarak e büyük) sıfırıı gösterelim. Lemma 4..3 [8]. ϕ ( ) (uygu olarak ψ ( ) sıfırı arasıa ψ ( ) (uygu olarak ϕ ( ) ) foksiyouu ardışık iki ) foksiyouu tek bir sıfırı yerleşir. Ayrıca ( ) ϕ (uygu olarak ( ) ( ψ )) var ve ϕ ψ > (uygu olarak ϕ ψ < ) ise (uygu olarak ( ϕ ) ( ) ψ (uygu olarak ( ψ ) ( ) ϕ ) de vardır ve < ) dir. Bezer biçimde ( ) ( ψ ) < ( ϕ ) ψ (uygu olarak ( ) ( ϕ ) ) var ve ϕ ψ > (uygu olarak ϕ ψ < ) ise ( ) ϕ (uygu olarak ( ) ψ ) de vardır ve [,] foksiyouu [ ) f C ( ) ( ( ψ ) < ) ( ϕ ) (uygu olarak ( ϕ ) ( ψ ) < ) dir., yarı açık aralığıdaki sıfırlarıı sayısı N ( f ) olsu. Bu foksiyou [, ) yarı açık aralığıdaki sıfırlarıı t ( f ) ( j,,..., N ( f )) = ile gösterelim: t f < t f < < t f <. N f j 5

Lemma 4..3 te aşağıdaki souç direk elde edilir. Souç 4.. [8]. Aşağıdaki iddialar doğrudur. o ϕ ψ > ve N ϕ ψ > ise, ( ϕ ) = N ( ψ ) ve t ( ψ ) t ( ϕ ) t ( ψ ) t ( ϕ ) < < < < < < dir; N ψ N ϕ o ϕ ψ < ve N ϕ ψ < ise, ( ϕ ) = N ( ψ ) ve t ( ϕ ) t ( ψ ) t ( ϕ ) t ( ψ ) < < < < < < dir; N ϕ N ψ 3 o ϕ ψ > ve N ϕ ψ < ise, ( ψ ) = N ( ϕ ) + ve t ( ψ ) t ( ϕ ) t ( ϕ ) t ( ψ ) < < < < < < dir; N ϕ N ψ 4 o ϕ ψ < ve N ϕ ψ > ise, ( ϕ ) = N ( ψ ) + ve t ( ϕ ) t ( ψ ) t ( ψ ) t ( ϕ ) < < < < < < dir; N ψ N ϕ 5 o ϕ = ve N ϕ ψ < ise, ( ϕ ) = N ( ψ ) ve t ( ϕ ) t ( ψ ) t ( ϕ ) t ( ψ ) = < < < < < dir; N ϕ N ψ 6 o ϕ = ve N ϕ ψ > ise, ( ϕ ) = N ( ψ ) + ve t ( ϕ ) t ( ψ ) t ( ψ ) t ( ϕ ) = < < < < < dir; N ψ N ϕ 7 o ψ = ve N ϕ ψ > ise, ( ϕ ) = N ( ψ ) ve t ( ψ ) t ( ϕ ) t ( ψ ) t ( ϕ ) = < < < < < dir; N ψ N ϕ 8 o ψ = ve N ϕ ψ < ise, ( ψ ) = N ( ϕ ) + ve t ( ψ ) t ( ϕ ) t ( ϕ ) t ( ψ ) = < < < < < dir. N ϕ N ψ 6

4.3. (.) - (.4) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZFONKSİYONLARININ SALINIM ÖZELLİKLERİ ( u (, ), w(, )) λ λ vektör foksiyou (.) - (.) deklemler sistemii (4.6) başlagıç koşuluu sağlaya çözümü olsu. G kümesii aşağıdaki gibi taımlayalım: { µ : µ cos β µ si β } G = + a = + b =. Kolayca gösterilebilir ki, G kümesi boş değildir ve e fazla iki elemaa sahiptir. Kabul edelim ki, µ = mi G, µ = ma G, {,ma } M = ma ma P R, { } λ = mi µ, M, λ = ma { µ, M} dir. Aşağıdaki souç Lemma 4.. de direk elde edilir: Souç 4.3.. λ > λ > λ veya λ < λ < λ koşullarıda biri sağladığıda (, ] yarı açık aralığıda u (, λ ) (uygu olarak (, ) foksiyouu sıfırlarıı sayısı, u (, λ ) (uygu olarak (, ) w λ ) w λ ) foksiyouu sıfırlarıı sayısıda az değildir ve u (, λ ) (uygu olarak (, ) foksiyouu. sıfırıda küçüktür. k sıfırı, u (, λ ) (uygu olarak (, ) Şimdi, olmak üzere u (, λ ) = (veya w λ ) w λ ) foksiyouu k. w, λ = ) deklemii göz öüe alalım. Bu deklemi çözümlerii λ ya bağlı olduğu açıktır. Aşağıdaki iki iddiada λ λ, λ kabul edilecektir. Lemma 4.3.. Eğer [,] sayısı u (, λ ) (uygu olarak (, ) w λ ) foksiyouu bir sıfırı ise yeteri kadar küçük herhagi ε > sayısı içi öyle bir δ > sayısı vardır ki λ λ δ < koşuluu sağladığı her bir λ içi u (, λ ) 7

(uygu olarak (, ) vardır. w λ ) foksiyouu < ε açık aralığıda tek bir sıfırı ayısıdır. Bu iddiaı ispatı [, pp:3] daki Lemma 3. i ispatıı tamamıyla Bu lemmada aşağıdaki souç elde edilir: Souç 4.3.. λ parametresi değiştiğide u (, λ ) (veya (, ) w λ ) foksiyouu sıfır kazaması veya kaybetmesi yalızca ve bitim oktalarıda bir sıfırı dâhil olması ile mümküdür. (.) - (.4) sıır değer problemii sayılabilir sayıda özdeğerlerii varlığı aşağıdaki teoremde ifade edilmiştir. Teorem 4.3.. (.) - (.4) sıır değer problemii sıırsız azala { λ } egatif özdeğerler dizisi ve sıırsız arta { λ} vardır: = λ < λ < < λ < λ < < λ < λ < + Bua ek olarak öyle,, k, k { } = egatif olmaya özdeğerler dizisi N sayıları vardır ki λ ( > ) özdeğerie karşılık gele ( u ( ), w ( )) özvektör foksiyou ve λ ( > ) özdeğerie karşılık gele ( u ( ), w ( ) ) özelliklerie sahiptir: özvektör foksiyou aşağıdaki salıım π o α, ve, π β ise, N u = N w + = + k, u < w dir; π π o α, ve, π β ise, N w = N u = + k, w < u dir; 8

π 3 o α, π π ve β, ise, N u = N w = + k, u < w dir; π π 4 o α, π π ve β, ise, N w = N u + = + k +, w < u dir; π 5 o α, π ve β, ise, N u = N w = + k, u < w dir; π π 6 o α, π ve β, ise, N w = N u + = + k +, w < u dir; π 7 o α, π π ve β, ise, N u = N w + = + k, u < w dir; π π 8 o α, π π ve β, ise, N w = N u = + k, w < u dir. İspat: Biz (.) - (.4) sıır değer problemii yalızca egatif olmaya özdeğerler dizisii varlığıı ve uygu (, ) u w özvektör foksiyolarıı salıım özelliklerii iceleyeceğiz. Negatif özdeğerlerle ilgili ola iddialar tamamıyla bezer bir yolla ispatlaır. 9

λ olsu. ( u (, ), w(, )) bu bölümü başıda taımlamış sayı olmak üzere λ λ λ = + λ λ vektör foksiyou (.) - (.) deklemler sistemii (4.6) başlagıç koşuluu sağlaya çözümü olsu. Souç 4.3. e göre u (, λ ) foksiyouu [, ) yarı açık aralığıda sıfırlarıı sayısı, λ parametresii azalmaya foksiyoudur. ( ( ), ( ) ) ϕ ψ vektör foksiyou, deklemler sistemii ϕ λ M ψ =, ψ + λ M ϕ = (, ) = si, ϕ λ α (4.5) (4.6) ψ, λ = cosα (4.7) başlagıç koşuluu sağlaya çözümü olsu. Kolayca gösterilebilir ki, dır. ϕ (, λ ) = si λ M + α λ + ike ϕ (, λ ) foksiyouu [, ) yarı açık aralığıdaki sıfırlarıı sayısı sıırsız artar. (.), (.), (4.6) sıır değer problemii (4.5) - (4.7) sıır değer problemi ile karşılaştıralım. Lemma 4.. de λ + ike u (, λ ) foksiyouu [, ) yarı açık aralığıda sıfırlarıı sayısıı sosuz arttığı elde edilir. λ λ koşulu sağladığıda deklemii göz öüe alalım. u (, λ ) = Lemma 4.3. e göre bu deklemi kökleri λ parametresii sürekli foksiyoudur. Öte yada Souç 4.3. e göre α olduğuda λ artarke u (, λ ) foksiyouu her bir sıfırı sola hareket eder ve = oktasıda geçmez. Zira sıfırları sayısı azalmaz; α = olduğuda ise her bir λ λ içi u, λ = dır ve λ artarke u (, λ ) foksiyouu = da farklı her bir sıfırı sola hareket eder fakat = oktasıda yie geçemez. Zira bu 3

durumda da sıfırları sayısı azalmaz. Souç 4.3. ye göre sıfırlar yalızca = oktasıda dahil olabilirler. λ = λ sayısı λ λ { } λ λ λ λ u ( λ ) ve = mi :, = olsu. Açıktır ki, u, λ = koşullarıı sağlaya ilk sayı, yai böyle bir değer vardır. tae sıfırı vardır. Kabul edelim ki, λ = λ sayısı λ λ λ λ λ λ u ( λ ) (, ) { } u λ foksiyouu [ ) > ve = mi : >, = olsu.,, yarı açık aralığıda k u, λ = koşullarıı sağlaya ilk sayı, yai u λ foksiyouu [ ), yarı açık aralığıda k + tae sıfırıı olduğu açıktır. Bu yötemle aşağıdaki özelliğe sahip λ, λ, λ,... dizisii elde ederiz: λ k λ λ k < olduğuda (, ) u λ foksiyouu [, ) yarı açık aralığıda tam k + k tae sıfırı vardır ve ek olarak u (, λ k ) = dır. Kolayca görülür ki, k değer problemii özdeğerleri değildir. Lemma 4.. ye göre azaladır. Öte yada olduğuda azalır. T w u ( λ ) (, λ ) (, λ) foksiyou λ cos β + a = λ si β + b w u (, λ ) (, λ) λ (,,,... ) k = sayıları (.) - (.4) sıır foksiyou u (, λ ) ( k = u, λ k ) = ( λ, k λ k ) aralığıda kesi ( λ, k λ k ) aralığıda + da a kadar kesi = olsu. T ( λ) σ ( λ si β + b) ve σ < olduğuda T λ foksiyou λ si β + b koşuluu sağladığı her bir aralıkta kesi artadır. 3

sayısı (.) - (.4) sıır değer problemii,λ aralığıda yerleşe özdeğerlerii sayısı olsu. a kesi azala olduğuda deklemii gösterelim: w u (, λ ) (, λ) w u (, λ ) (, ) foksiyou T λ = ( λ ) ( λ, k λ k ) aralığıda + da ( λ, k λ k ) aralığıda tek bir çözümü vardır. Bu çözümü λ + k λ ( λ, k λ k + k ). λ = λ değerii (.4) koşuluu sağladığı açıktır. + k Demek ki λ, (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğeridir ve oa karşılık + k ( + k + k ) gele u (, λ ), w(, λ ) yarı açık aralığıdaki sıfırlarıı sayısı sıfırlarıı sayısı ile ayıdır. Yai k özvektör foksiyouu birici kompoetii [, ) + k a eşittir. ile u (, λ k ) foksiyouu bu aralıktaki θ FONKSİYONUNUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ 4.4. ( ) sayısı Teorem 4.3. i ispatıda taımlamış egatif olmaya tamsayı olmak üzere, bu bölüm boyuca (, ) > kabul edeceğiz. u w, (.) - (.4) sıır değer problemii λ özdeğerie karşılık gele özvektör foksiyou olsu. θ ( ) u = Arcta w ( ) ( ) yazabiliriz. (.3) koşulua göre ( ) olarak taımlayalım. Daha kesi olarak θ ( ) = arg{ w ( ) + iu ( ) } (4.8) θ foksiyou başlagıç değerii olarak alır. Burada l θ = α + π (4.9) 3

dır. l π, α, = π, α, (4.) değişkeii diğer değerleride θ ( ) foksiyou kπ ( k Z ) kesilik ile (4.8) i yardımı ile verilir. Zira u ( ) ve w oktada sıfır olamaz. ( ) foksiyoları ayı θ foksiyou (4.9) koşuluu sağlayacak ve değişkeie göre sürekli olacak şekilde tek değerli olarak seçilebilir. Lemma 4.4. [8]. ( ) θ foksiyou ( ) P ( ) cos ( ) R ( ) si ( ) θ = λ + θ + θ diferasiyel deklemii sağlar ve bua göre [, ] aralığıda kesi artadır. (4.8) formülü gereğice u bu oktalarda ( ) foksiyouu sıfırları öyle oktalardır ki θ foksiyou π i katlarıa eşit değerler alır. < θ π ve ( ) θ foksiyou arta olduğuda ; da e değiştiğide bu foksiyo solu sayıda π, π,... değerlerii alır. ( k = k ) ile u ( ) foksiyouu [ ), k,,..., yarı açık aralığıdaki sıfırlarıı gösterelim: < < < <.,,, k Salıım özellikleri hakkıdaki Teorem 4.3. e göre k = + k olur. Böylece θ θ (, ) kπ ( k,,... k ) k > olduğuda, = =, (4.) λ si β + b l π, (4.) λ cos β + a = arcta + π, β, l = π π, β, (4.3) 33

olur. Lemma 4.4. [8]., = ve, = olmak üzere, aşağıdaki asimptotik formüller doğrudur: k + ( ), ( ) (,,... ) λ = π + O = = O k = k (4.4), k, k +, k Lemma 4.4.3 [8]. w ( δ ), f ( ) foksiyouu [, ] aralığıdaki f süreklilik modülü ve w ( δ ) = δ + w ( δ ) olmak üzere her bir f ( ) C [,] f f foksiyou içi formülü doğrudur. cos θ = f f d O w 4.5. (.) - (.4) SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞERLERİ VE ÖZVEKTÖR FONKSİYONLARI İÇİN ASİMPTOTİK FORMÜLLER Bu bölüm boyuca sayısıı mutlak değer olarak yeterice büyük bir tamsayı olduğuu kabul edeceğiz. ( ( ), ( ) ) Φ Ψ, (.) - (.4) sıır değer problemii bir özvektör foksiyou ve Φ ( ), [ ) ile ( ( ), ( ) ), yarı açık aralığıda sayıda sıfıra sahip olsu. µ Φ Ψ özvektör foksiyoua karşılık gele özdeğeri gösterelim. Salıım özellikleri ile ilgili Teorem 4.3. de > ise µ = λ k ve < ise µ = λ k + dır. + Teorem 4.5.. Aşağıdaki asimptotik formüller doğrudur. π µ = π + β α β + α ( sg sg ) ( P ( ) + R ( ) ) d + O w( ) >, (4.5) 34

π π π µ = ( + ) π + β α + sg β sg α + P + R d + O w <, ( ) ξ ( α ) (4.6) Φ = si + + O, (4.7) cos ξ ( α ) Ψ = + + O. (4.8) Burada t içi sg t =, t < içi sg w ( δ ) P( ) R( ) foksiyouu [ ] Ayrıca w = + w ve t = dir. ( δ ) δ ( δ ), aralığıdaki süreklilik modülüdür. dir. ξ P t R t dt (4.9) = λ ( + ) arg İspat: Öce (4.5) i ispatlayalım. θ ( ) = Ψ ( ) + iφ ( ) foksiyouu ele alalım. Lemma 4.4. de ( ) θ foksiyou θ ( ) = µ ( ) + P + R + ( P ( ) R ( ) ) cos θ ( ) (4.3) diferasiyel deklemii sağlar ve bua göre [ ] ve θ yazılır., aralığıda kesi artadır. () θ, (4.9) ve (4.) de verildiği gibidir ve λ ile k yerie sırasıyla Kolayca gösterilebilir ki, π π θ α α π π θ π β β = + + sg ( ) = + + sg + O( ) µ ile (4.3) (4.3) özdeşliğii her iki tarafıı da e itegre edip (4.3) değerlerii yerie yazarsak π π + β α β + α + ( sg sg ) O( ) 35

elde ederiz. Burada = µ + ( P ( ) R ( ) ) d ( P ( ) R ( ) ) cos θ ( ) d + + π µ = π + β α β + α ( sg sg ) ( P ( ) R ( ) ) d P ( ) R ( ) d O + + buluur. Lemma 4.4.3 te yerie yazılırsa cos θ ( P + R ) d = O w( ) değerledirmesi ( ) O w + O = O w olduğuda π µ = π + β α ( sg β + sg ( α )) P ( ) + R ( ) d + O w elde edilir. (4.5) ispat edildi. Şimdi (4.6) yı ispatlayalım. < kabul edelim ve aşağıdaki problemi iceleyelim. (.) - (.4) sıır değer problemide λ spektral parametresi yerie µ = δ alalım ve µ < olduğuda egatif özdeğerler içi asimptotik formüller elde edelim. µ < olduğuda b = a, a = b, b = a, U ( ) w ( ) δ > olur. P ( ) = R( ), R ( ) P( ) = ve W ( ) u ( ) = yazalım. =, a = b, π π o α, β olsu. O halde (.) - (.4) sıır değer problemi U { δ } U + P W =, (4.3) { δ } W + + R U =, (4.33) α W cos π π si α =, (4.34) π π δ cos β + a U δ si β + b W = sıır değer problemie döüşür ve π π σ = a si β b cos β = a si β b cos β = σ < (4.35) 36

yie sağlaır. δ > olduğuda (4.5) e göre elde edilir. Burada π π π δ = π + α β sg β sg α + + + + ( P( ) R( ) ) d O w( ) buluur. π π π µ = δ = π + β α + sg β + sg α + + ( P ( ) R ( ) ) d O w( ) (4.36) π π o α <, β olsu. O halde (.) - (.4) sıır değer problemi (4.3) - (4.33) deklemleri ile U cos π π si α = α W ( P ( ) R ( ) ) d O w( ) (4.37) ve (4.35) sıır koşulları ile verilmiş sıır değer problemie döüşür. (4.5) e göre π π π δ = π + π + α β sg β sg α + + elde edilir. Burada + + + buluur. π π π µ = δ = π π + β α + sg β sg α + + + + ( P( ) R( ) ) d O w( ) (4.38) π π 3 o α, β < olsu. O halde (.) - (.4) sıır değer problemi (4.3) - (4.33) deklemleri ile (4.34) ve 37

π π δ cos β + a U δ si β + b W = sıır koşulları ile verilmiş sıır değer problemie döüşür. Burada π π σ = a si β b cos β = a si β b cos β = σ < yie sağlaır. (4.5) e göre (4.39) elde edilir. Burada π π π δ = π π + α β sg β sg α + + + + ( P ( ) R ( ) ) d O w( ) buluur. π π π µ = δ = π + π + β α + sg β sg α + + + ( P( ) R( ) ) d O w( ) (4.4) π π 4 o α <, β < olsu. O halde (.) - (.4) sıır değer problemi (4.3) - (4.33) - (4.37) - (4.39) sıır değer problemie döüşür. (4.5) e göre elde edilir. Burada π π π δ = π + α β sg β sg α + + + + + ( P( ) R( ) ) d O w( ) π π π µ = δ = π + β α + sg β sg α + + + + ( P( ) R( ) ) d O w( ) (4.4) buluur. Souç olarak (4.36) - (4.38) - (4.4) - (4.4) asimptotik formülleri (4.6) da verile 38

π π π µ = ( + ) π + β α + sg β sg α + + + ( P( ) R( ) ) d O w( ) şeklide geel biçimde yazılabilir. (4.6) ı ispatı bitti. (4.7) ve (4.8) asimptotik formüllerii hesaplaması tamamıyla [, pp:5-57] deki gibidir. 39

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Bu tezde ele alıa souçlar, Bulgular ve Tartışma bölümüde 4. (.) - (.4) Sıır Değer Problemii Özdeğerlerii Bazı Özellikleri, 4. Bazı Yardımcı İddialar, 4.3 (.) - (.4) Sıır Değer Problemii Özfoksiyolarıı Salıım Özellikleri, θ Foksiyouu Taımı ve Özellikleri, 4.4 ( ) 4.5 (.) - (.4) Sıır Değer Problemii Özdeğerleri ve Özvektör Foksiyoları içi Asimptotik Formüller, başlıkları altıda toplamıştır. 4. de { λ } u ' + P w =, { λ } w' + + R u =, α w u cos siα =, ( λ β a) u ( λ β b) w cos + si + = sıır değer problemi ele alıdı ve σ = a si β bcos β < durumda bu problemi özdeğerlerii:. Reel olduğu,. Basit olduğu, 3. E fazla sayılabilir bir küme oluşturduğu ve bu kümei solu limit oktasıı bulumadığı ispatladı. 4. de ve ϕ P ψ =, ψ + R ( ) ϕ = ( ) ϕ P ψ =, ψ + R ( ) ϕ = 4

şeklide iki deklemler sistemi ele alıdı ve P ( ) > P ( ) >, R ( ) R ( ) ( [,] ) > > durumuda çözüm foksiyolarıı birici ve ikici kompoetlerii sıfırlarıı dizilişi hakkıda bir takım souçlar elde edildi. Ayrıca bu kısımda, ϕ p ψ =, ψ + r ϕ = şeklide verile deklemler sistemii çözüm foksiyolarıı birici ve ikici kompoetlerii sıfırlarıı birbirie göre durumları, ve bitim oktalarıdaki işaretlerii davraışlarıa göre belirledi. 4. de elde edile bu souçlar (.) - (.4) sıır değer problemii özvektör foksiyolarıı kompoetlerii salıım özelliklerii icelemeside büyük rol oyamaktadır. 4.3 de (.) - (.4) sıır değer problemii sosuz sayıda egatif özdeğerii ve sosuz sayıda egatif olmaya özdeğerii varlığı ispat edildi. Buula beraber α ve β sayılarıı durumua göre (.) - (.4) sıır değer problemii özvektör foksiyolarıı kompoetlerii salıım özellikleri iceledi. 4.4 de ( ) θ foksiyouu taımı ve bazı özellikleri verildi ve buda yararlaılarak (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri ve özvektör foksiyolarıı kompoetlerii sıfırları arasıdaki farklar içi asimptotik değerledirmeler yapıldı. Ayrıca bu kısımda (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerlerii süreklilik modülüe bağlı asimptotik formüllerii verilebileceği ispatladı. Bu kısımda elde edile souçlar (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri ve özvektör foksiyolarıı kompoetleri içi asimptotik formülleri elde edilmeside büyük rol oyamaktadır. 4.5 te (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri ve özvektör foksiyolarıı kompoetleri içi asimptotik formüller elde edildi. 4

Bu tez çalışmasıda, araştırmaı amacıda belirtile aa hedeflere ulaşılmıştır. (.) - (.4) sıır değer problemii spektral özelliklerii icelemesi bazı problemleri de yaıda getirmiştir. Bu problemler aşağıdaki gibi sıralaabilir: a) (.) - (.4) sıır değer problemii spektral özellikleri σ = asi β b cos β < koşulu dahilide icelemiştir. σ > durumuda da (.) - (.4) sıır değer problemii özdeğerleri reel ve basit olur mu? b) (.) - (.4) sıır değer problemii farklı foksiyoel uzaylarda tabalığı ile ilgili hagi souçları elde etmek mümküdür? Tezde icelemiş problemleri doğal soucu olarak bu iki problemi de araştırılması öerilir. 4

KAYNAKLAR [] Naimark, M.A. Liear Differetial Operators d ed., Nauka, Moskow, (969) (i Russia); Eglish Tras. of st ed., Parts I,II, Ugar, New York, (967), (968). [] Levita, B.M. ad Sargsya, I.S. A Itroductio to Spectral Theory. Selfadjoit Ordiary Differetial Operators (i Russia), Nauka, Moscow (97); Amer. Math. Soc. (975) (Traslated from Russia). [3] Kamke E.W.H. Differetialgleichuge, (i Germa) Leipzig (959), Traslated uder the title Spravochik po obykoveym differetsial'ym uraveiyam, Moskow, (98) [4] Walter, J. Regular Eigevalue Problems with Eigevalue Parameter i the Boudary Coditio. Mathematische Zeitschrift, 33 (4): 3-3, (973) [5] Fulto, C.T. Two Poit Boudary Value Problems with Eigevalue Parameter Cotaied i the Boudary Coditios, Proc.Roy.Soc.Ediburg Sect.A, 77: 93-38, (977) [6] Scheeider, A. A Note o Eigevalue Problems with Eigevalue Parameter i the Boudary Coditios, Mathematische Zeitschrift, 36 (): 63-67, (974) [7] Hito, D.B. A Epasio Theorem for a Eigevalue Problem with Eigevalue Parameter i the Baudary Coditio, Quart.J.Math. Oford, 3 (): 33-4, (979) [8] Russakovskii, E.M. Operator Treatmet of Boudary Problems with Spectral Parameters Eterig Via Polyomials i the Boudary Coditios, Fuctioal Aalysis ad Its Applicatios, 9 (4): 358-359, (975) [9] Shkalikov, A.A. Boudary Value Problems for Ordiary Differetial Equatios with a Parameter i the Boudary Coditios, Fuctioal Aalysis ad Its Applicatios, 6 (4): 34-36, (98) [] Shkalikov, A.A. Boudary Value Problems for Ordiary Differetial Equatios with a Parameter i the Boudary Coditios, Trudy Semiara im. Petrovskogo, (9): 9-9, (983) 43

[] Makhmudov, A. P. Basics of No-liear Spectral Aalysis, Dokl. Akad Nauk SSSR., 77 (6): 38-33, (984) [] Meleshko, S.V. ad Pokoryi, Yu. V. O a Vibratioal Boudary Value Problem, Differetsial ye Uraveiya, 3 (8): 466-467, (987) [3] Kerimov, N.B. ad Allakhverdiyev, T.I. O a Baudary Value Problem I Differetsial ye Uraveiya, 9 (): 54-6, (993) (i Russia), Tras. i Differetial Equatios, 9 (): 45-5, (993) [4] Kerimov, N.B. ad Allakhverdiyev, T.I. O a Baudary Value Problem II Differetsial ye Uraveiya, 9 (6): 95-96, (993) (i Russia), Tras. i Differetial Equatios, 9 (6): 84-8 (993) [5] Bidig, P.A., Browe, P.J. ad Seddighi, K. Sturm-Liouville Problems with Eigeparameter Depet Boudary Coditios, Proc. Ediburgh Math. Soc. (),37 (): 57-7 (993) [6] Bidig, P.A. ad Browe, P.J. Oscillatio Theory for Idefiite Sturm- Liouville Problems with Eigeparameter-Depedet Boudary Coditios, Proceedigs of the Royal Society of Ediburgh 7 (6): 3-36 (997) [7] Kerimov, N. B. ad Mamedov, Kh. R. O Oe Boudary Value Problem with a Spectral Parameter i the Boudary Coditios, Siberia Mathematical Joural 4 (): 8-9 (999) [8] Kerimov, N.B. ad Poladov, R.G. O Basisity i L (,) ( p ) p < < of the System of Eigefuctios of Oe Boudary Value Problem I Proc. of Istitue of Math. ad Mech. of NAS of Azerbaija : 53-64 (5) [9] Kerimov, N.B. ad Poladov, R.G. O Basisity i L (,) ( p ) p < < of the System of Eigefuctios of Oe Boudary Value Problem II Proc. of Istitue of Math. ad Mech. of NAS of Azerbaija 3: 65-76 (5) [] Kerimov, N. B. ad Aliev, Z. S. "Basis Properties of a Spectral Problem with Spectral Parameter i the Boudary Coditio" Sborik: Mathematics 97 (): 467-487 (6) [] Kerimov, N. B. ad Aliev, Z. S. O the Basis Property of the System of Eigefuctios of a Spectral Problem with Spectral Parameter i the Boudary Coditio Differetial Equatios 43 (7): 95-95 (7) 44

[] Kerimov, N.B. ad Mirzoev, V.S. O the Basis Properties of Oe Spectral Problem with a Spectral Parameter i Boudary Coditios Sibirsk. Math. Zh. 44: 4-45 (3) (i Russia), Eglish Tras. Siberia Math. J. 44: 83-86. (3) [3] Kapusti, N.Yu. ad Moiseev, E.I. A Remark o the Covergece Problem for Spectral Epasios Correspodig to a Classical Problem with Spectral Parameter i the Boudary Coditio Differetial Equatios 37 (): 677-683 () [4] Kapusti, N.Yu. ad Moiseev, E.I. The Basis Property i L p of the Systems of Eigefuctios Correspodig to Two Problems with a Spectral Parameter i the Boudary Coditio Differetial Equatios 36 (): 498-5 () [5] Kapusti, N.Yu. ad Moiseev, E.I. Covergece of Spectral Epasios for Fuctios of the Hölder Class for Two Problems with a Spectral Parameter i the Boudary Coditio Differetial Equatios 36 (8): 8-88 () [6] Kapusti, N.Yu. O a Spectral Problem Arisig i a Mathematical Model of Torsioal Vibratios of a Rod with Pulleys at the Eds Differetial Equatios 4 (): 49-49 (5) [7] Kapusti, N.Yu. A a Priori Estimate for the Solutio of a Mied Problem for the Heat Equatio Differetial Equatios 4 (): 447-45 (6) [8] Kerimov, N.B. A Boudary Value Problem for the Dirac System with a Spectral Parameter i the Boudary Coditios Differetial Equatios 38 (): 64-74 () Traslated from Differetsial ye Uraveiya 38 (): 55-64 () [9] Balcı, M. Matematik Aaliz Ertem Matbaası, 4-38 (984) [3] Thomas, G.B. ad Fiey, R.L. Calculus ad Aalytic Geometry Addiso-Wesley Publishig Compay, (984) [3] Shevchuk, I.A. Approimatio by Poliomials ad Trace of Fuctios Cotiuous o a Segmet Naukova Dymka, Kiev (99) 45

[3] Ahlfors L.V. Comple Aalysis McGraw-Hill Book Compay (Third Editio), Sigapore (979) 46

ÖZGEÇMİŞ 984 yılıda Mersi de doğdum. İlk ve orta öğreimimi bu şehirde yaptım. -6 yılları arasıda Mersi Üiversitesi Matematik Bölümüde lisas öğreimimi tamamladım. 6 yılıda Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalıda yüksek lisas programıa başladım. 5 Aralık 6 tarihide bu yaa Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü kadrosua bağlı olarak Matematik Aabilim Dalıda Araştırma Görevlisi olarak görev yapmaktayım. 47