Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN
KAYNAK KİTAPLAR Cisimlerin Mukavemeti F.P. BEER, E.R. JOHNSTON Mukavemet-2 Prof.Dr. Onur SAYMAN, Prof.Dr. Ramazan Karakuzu Mukavemet Mehmet H. OMURTAG
1 SİMETRİK OLMAYAN (EĞİK) EĞİLME
Kirişe etki eden kuvvetlerin veya kuvvet çiftlerinin, kiriş simetri eksenlerinden birisiyle veya asal atalet eksenlerinden biriyle çakışması durumuna Simetrik (basit) eğilme denilmektedir. Eğer kuvvet veya kuvvet çiftleri, kirişin simetri eksenleri veya asal atalet eksenlerinden herhangi biriyle çakışmıyorsa Simetrik olmayan (eğik) eğilme denilmektedir.
Atalet Momentleri Bir kesitin eksenlerine göre atalet momentleri; Paralel eksen teoremi Asal Atalet Eksenleri
Çarpım atalet momentinin sıfır olduğu birbirine dik öyle iki eksen vardır ki, bu eksenlerde atalet momentleri maksimum ve minimum değerlerini alır. Bu eksenlere asal atalet eksenleri adı verilir. Örnek : Aşağıda verilen kesitte; a) ağırlık merkezinin koordinatlarını, b) ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini, c) asal atalet momentlerini ve eksenlerini bulunuz.
Eşlenik Eksenler
Simetrik Olmayan Eğilme Keyfi şekilli yanda görülen bir kesitin tarafsız ekseninin hangi koşullar altında bu kesite etkiyen kuvvet çiftinin (M) ekseniyle çakıştığını belirlemek istersek; Bunun için yandaki kesitte kuvvet ve kuvvet çiftleri için aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz. Buradan kesitin tarafsız ekseni ancak ve ancak M kuvvet çifti kesitin asal atalet eksenlerinden biri boyunca yönlenmişse çarpım atalet momenti sıfır olur sonucunu ortaya çıkarır.
Kirişe etki eden kuvvetlerin veya kuvvet çiftlerinin, kiriş simetri eksenlerinden birisiyle veya asal atalet eksenlerinden biriyle çakışması durumun da Simetrik (basit) eğilme oluştuğu daha evvel bahsedilmişti. Böyle bir durumda gerilme dağılımları;
Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi bir kesitin düşey düzlemiyle q açısı yapan düzlem içinde etkiyen kuvvet çiftinin (M) simetrik olmayan eğilme durumu oluşturacağı açıktır. Çünkü bu moment vektörü ne simetri ekseninde nede asal eksenlerden biri doğrultusunda etki etmemektedir. Bununla birlikte bu M momentinin y ve z eksenlerine göre oluşturacağı M y ve M z momentleri simetri ekseninde veya asal atalet eksenlerinde etkiyeceği aşikardır. Bu durumda bu iki bileşenin ayrı ayrı oluşturacağı gerilmeler süperpozisyon ilkesi ile bir araya getirilebilir. A = + A Yukarıdaki T kesitin A noktasındaki gerilmeyi yazarsak;
Yukarıda elde edilen denklem y ve z asal eksenleri belirledikten sonra simetrik olmayan kesitlerdeki gerilmeleri belirlemekte de kullanılabilir. Bu denklem ayrıca simetrik olmayan eğilmenin neden olduğu gerilme dağılımlarının lineer olduğunu gösterir. Kesitin tarafsız ekseni, genellikle eğilme çiftinin ekseniyle çakışmaz. Normal gerilme tarafsız eksenin her noktasında sıfır olduğundan, bu ekseni tanımlayan denklem aşağıdaki şekilde elde edilir. I y ve I z asal atalet momentlerinin ikisi de pozitif olduğundan, q ve f nin işaretleri aynıdır. Ayrıca, iken, ve iken dir. Buna göre tarafsız eksen daima M momenti ile minimum eylemsizlik momentine karşılık gelen asal eksen arasında yer alır.
Örnek : 180 N.m lik bir kuvvet çifti, düşeyle 30 o lik bir açı yapan bir düzlemde dikdörtgen kesitli bir ahşap kirişe uygulanmaktadır. a) Kirişteki maksimum gerilmeyi, b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açıyı bulunuz. M z = 180.cos 30 o = 155,9 N.m M y = 180.sin 30 o = 90 N.m I y = (1/12).0,09.0,04 3 = 0,48x10-6 m 4 I z = (1/12).0,04.0,09 3 = 2,43x10-6 m 4 En büyük gerilme A noktasında oluşacaktır. Tarafsız düzlem;
Örnek : Kesiti aşağıda gösterilen kirişe, düşeyle b = 20 o lik bir açı yapan bir düzlemde M = 1 kn.m lik bir kuvvet çifti etki etmektedir. a) A, B ve D noktalarındaki gerilmeyi, b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açıyı bulunuz.
Dış Merkezli Eksenel Yüklemenin Genel Hali Tarafsız düzlem; Örnek : Kısa bir W150x24 çekme çelik elemana şekilde görüldüğü gibi 50 kn büyüklüğünde P kuvveti etki etmektedir. Maksimum basınç gerilmesinin 90 MPa aşmayacak şekilde en büyük a mesafesini belirleyiniz. I z = 13,4x10 6 mm 4, I y = 1,83x10 6 mm 4, A= 3060 mm 2
Örnek. Düşey bir düzlemde etkiyen, büyüklüğü M o =1,5 kn.m olan bir kuvvet çifti gösterilen Z şekilli kesite sahip bir kirişe uygulanmaktadır. a) A noktasındaki gerilmeyi, b) Tarafsız eksenin yatay eksenle yaptığı açıyı belirleyiniz.