Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36= 2 hariç bütün asal sayılar tektir. 24= Asal Sayılar: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9... 50= Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma 72= Her pozitif tam sayı iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu sayıların her birine ise o doğal sayının çarpanı denir. Pozitif bir tam sayının çarpanları aynı zamanda o tam sayının bölenleridir. Yani sorularda sorulacak çarpan veya bölen ifadeleri aynı şeyi ifade etmektedir. Aşağıda verilen örnekleri inceleyelim. 2 sayısının çarpanlarını bulalım. 2=x2 2=2x6 2=3x4 Demek ki 2'nin çarpanları (bölenleri):, 2, 2, 6, 3, 4 8 sayısının çarpanlarını bulalım. 8=x8 8=2x9 8=3x6 Demek ki 8'in çarpanları (bölenleri):, 8, 2, 9, 3, 6 Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını 60= 70= 08= 20= İsmail ŞAFAK Sayfa
Aralarında Asal Sayılar Aşağıda verilen örnekleri inceleyelim. 3 ile 7 aralarında asaldır. (3 ve 7 ikisi de aynı zamanda asal sayıdır.) 'den başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayı denir. (Aralarında asal sayı olmaktan bahsetmemiz için en az iki doğal sayı olmalıdır.) sayısı 0 hariç tüm doğal sayılarla aralarında asaldır. Aralarında asallıktan bahsetmemiz için sayıların asal olması gerekmez. sayısından başka ortak böleni olmaması yeterlidir. 4 ile 9 aralarında asaldır. (4 ve 9 ikisi de asal sayı değildir ama ortak bölenleri sadece olduğu için aralarında asaldır.) Uygulama-2 Aşağıdaki sayıların aralarında asal olup olmadığını inceleyiniz. 7 ile 0... 3 ile... 4 ile 0... 8 ile 5... 9 ile 3... 3 ile 2... Çıkmış soru 6 ile 3 aralarında asaldır. (6 asal sayı değil, 3 asal sayıdır. Ortak bölenleri olduğundan dolayı aralarında asaldır.) 5 ile 0 aralarında asal değildir. (5 asal sayı, 0 asal sayı değildir. 5 ile 0 ikisi de 'e bölündüğü gibi 5 sayısına da bölünür. Bundan dolayı da aralarında asal değildir.) 8 ile 2 aralarında asal değildir. (8 ve 2 ikisi de asal sayı değildir. 8 ile 2 'den farklı 4 sayısına bölündüğü için aralarında asal değildir. Pozitif Bir Tam Sayının Asal Çarpanlarını Bulma Pozitif tam sayıların çarpanlarının bazıları asal sayıdır. Bu asal sayılara o sayının asal çarpanı denir. Pozitif tam sayıların asal çarpanlarını bulurken iki yöntem ile bulabilir. Bunlar:. Çarpan Ağacı 2. Asal Çarpan Algoritması İsmail ŞAFAK Sayfa 2
. Çarpan Ağacı 50= 24 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle asal çarpanlarına ayırmayı inceleyelim. 24 24x=24 2 2 2x2=24 2 2 6 2x2x6=24 2 2 2 3 2x2x2x3=24 72= Demek ki: 24 sayısını 2x2x2x3 yani x3 olarak yazabiliriz. Burada da gördüğümüz gibi 24 sayısını sadece asal sayıların çarpımı olarak yazdık. 24 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Ayrıca 24 sayısını şekilde yazma denir. Uygulama-3 x3 şeklinde yazmaya 24 sayısının üslü Aşağıdaki sayıları çarpan ağacını kullanarak asal çarpanlarını bulunuz ve sayıları üslü biçimde yazınız. Aşağıda verilen çarpan ağacında bilinmeyenleri A 2 B 2 C 3 D 3 5 2= 36= K 2 L 2 M 3 N 5 5 48= İsmail ŞAFAK Sayfa 3
. Asal Çarpan Algoritması 45= 24 sayısını asal çarpan algoritması yöntemiyle asal çarpanlarına ayırmayı inceleyelim. 24 2 2 2 6 2 3 3 20= 24 sayısını bölünebilen en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemine devam ediyoruz taki sayısını bulana kadar. Çizginin sağ tarafında kalan sayıları çarptığımızda ise 24 sayısını bulduğumuz zaman işlemi doğru yaptığımız demektir. 2x2x2x3=24 x3=24 Buradan 24 sayısının asal çarpanların 2 ve 3 olduğunu görmekteyiz. 20= 360= Uygulama-4 Aşağıdaki sayıları üslü biçiminde yazarak asal çarpanlarını 420= 20= 500= 32= İsmail ŞAFAK Sayfa 4
Aşağıda verilen çarpan algoritmasında bilinmeyenleri A 2 B 2 C 3 Aşağıda verilen soruları cevaplayınız. 80 sayısını üslü biçimde yazarak asal çarpanlarını D 2 E 2 F 3 G 3 50 sayısını üslü biçimde yazarak asal çarpanlarını bulunuz H 2 I 3 İ 5 J 5 x3x5 şeklinde verilen sayının bölenlerinin toplamı kaçtır. K 2 35= xbxc olduğuna göre ax(b+c) kaçtır? L 2 M 3 N 7 İsmail ŞAFAK Sayfa 5