www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ ( N ) = = < N = N içi Α= {}, N= Α N E = olsu. ( N ) µ < = biçimide taımlaa oksiyou ye ait olduğu açıkça öülü. = = = Α = = = = Α = = Α N = = ( ) µ µ µ µ N d d d Elde edile so seii yakısak olması içi < olmalı, uzayıı taımıda dolayı olmalı o halde bulaı soucuda; < < < < olduğu östeili. Sou : (,, µ ) E { x ( x) } : < Α solu bi ölçü uzayı bi ölçülebili oksiyo ve = < olsu. < olmak üzee öemesii doğuluğuu östeiiz. Geeklilik Kısmı N olduğuda 0 k µ E = < olsu. Göstememiz eeke: µ ( E) < olduğu. = E = E = dµ = dµ dµ ( ) dµ = ( ) µ ( E) = E = k k k = + = = k ( ) ( ). k= 0 k= 0 olduğuda ( ) ( ) k k di. - - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com µ E µ E = µ E dµ < k k k =! = k= 0 k= 0 = k= 0 < olsu. Göstememiz eeke: = dµ = dµ dµ = µ ( E) = E = E = Yetelilik Kısmı µ ( E) Bu ise olmasıa dekti. Sou 3: ve olsu. Bu takdide. olduğuu östeiiz. ve olduğuda o halde dµ< ve Hölde Eşitsizliği dµ< olu.. dµ dµ. dµ < < <. dµ< ve ölçülebili olduğuda. de ölçülebilidi. Buada dolayısıyla. di. Sou 4: ve ise ve ise di. Gösteiiz.. dµ< ve dµ< di. < <. dµ =. dµ dµ. dµ = dµ. dµ < :. di. Sou 5: [ 0,8 ] üzeide 3 te olmadığıı östeiiz. x x 3 = şeklide taımlaa oksiyou de olduğuu akat 8 3 3 3 3 3 x dx= x = 6 0= 6< = [ 0,8] 0 [ 0,8] [ 0,8] : x 8 x dx dx= l x 0 x : x 3 - - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com Sou 6: = ( 0, + ), λ ebesue ölçüsü olsu. ( x) x ( lo x) de olması içi eek ve yete koşul = di. Gösteiiz. Yetelilik Kısmı = olsu. Bu takdide; = + oksiyouu x ( lo x) dλ dx ( 0, ) 0 x( + lo x) 0 x( lo x) x( + lo x) ( x) ( + x) dx dx + = = + = = = 0< lo lo lo lo 0 Geeklilik Kısmı lıştıma! Sou 7: ve sıılı ise + di. Gösteiiz. Öce hatılatalım ki + M R x x M sıılıdı di. olduğuu biliyouz dµ < < + dµ =. dµ M. dµ = M. dµ < : Sou 8: < < s<+ olsu. s olduğuu östeiiz. Göstememiz eeke: s içi dµ < ; dµ < s { } { } olduğu. = x : x ; B= x : x >, B= olduğu kullaılaak; s s dµ = dµ + dµ dµ + dµ dµ + dµ < B B : + Sou 9: (,, µ ) östeiiz. yıca: Α solu bi ölçü uzayı ve olsu. < < içi x eşitsizliğii doğuluğuu östeiiz.. µ olduğuu - 3 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com ise dµ< olduğuu biliyouz. <, + = = = = dµ dµ dµ dµ ( µ x ) :. =. < < = dµ dµ µ x µ x = :. µ x < ( ) Sou 0: olduğuu kaıtlayıız. ve ε> 0 olsu. { } = x x ε olsu ({ }) µ x x ε ε dµ = = εµ ε dµ ε dµ dµ dµ : µ ε dµ Sou : (, Α, µ ) solu bi ölçü uzayı ve ( x) ise di. Gösteiiz. = x x. x < µ = 0 { } hhy. hhy. di. µ = olsu., + dµ dµ x. x ve hhy µ ( x) = dµ = dµ. dµ =. dµ dµ dµ = \ \ \ \ \ dµ. dµ dµ. dµ µ ( x) dµ. dµ : dµ dµ = = \ \ - 4 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com Sou :, 3 olsu. kaıtlayıız. = = dµ = 3 3 olduğuda hhy = olacağıı 3 3 3 3 3 3 dµ dµ = = dµ = = dµ 3 3 3 3 dµ = 0 hhy = 3 3 dµ = 0 hhy = 3 hhy = = hhy = Sou 3: içi aşağıdaki öemelei doğuluğuu östeiiz. (i) içi (ii) lim = + (i) kümesi üzeide ebesue iteali aldığımızı düşüüsek kümesii ve B ibi ayık kümelee açalayalım; = x x ; B= x x > { } { } B=, Yai taımlaa, B kümelei ayık kümeledi. O halde ebesue iteallei kümesi ile B kümesi üzeide alıa ebesue iteallei tolamıa eşit olacaktı. < < dµ = dµ + dµ dµ + dµ dµ + dµ < (ii) B B : lim + 0 lim dµ = dµ = ve (, ) ola bi dizi taımlayalım. = olsu. ( x) = ( x) x x lim { } max, : = ( x) olsu x x x x dµ < lim ( lim ) = lim x dµ x dµ = x dµ x dµ - 5 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com = µ ()( ) F x d dizisi içi F F lim + 0 = x dµ x dµ l lim ( x) dµ l ( x) dµ + 0 lim 0 lim lim ( x) + = dµ lim e e ( x) dµ + 0 + 0 = = = = + 0 x e : lim = + oksiyou süeklidi Sou 4: He bi i içi 0< α i bağıtısıı sağlaya α, α,..., α sayılaı içi i= α= olsu. Đtealleebile,,..., oksiyolaı içi aşağıdaki öemelei doğu olduğuu östeiiz. α α α (i)... α α α (ii)... dµ ( ) ( )...( ) α α α (i) Bi oksiyo takımıı iteali o oksiyolaı e büyüğü üzeide alıa iteale dekti. Bu takdide; max {,,..., } = olsu. 0,,..., itealleebili olduğu içi 0 oksiyou da itealleebilidi. < αi α α α α α α =...... i dµ dµ = = dµ = dµ < 0 0 0 0 0 α α α :... (ii) Đsatı tümevaım ile yaalım; = içi α+ α= α α α α α α dµ dµ dµ = sağlaıyo. içi αi= olmak üzee i= α α α olduğuu kabul edelim. α α α α α α... dµ dµ dµ... dµ = ( ) ( )...( ) doğu i - 6 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com + içi + αi= olmak üzee i= α α+ α3+... + α+ α α α α+ α + α α3... α... 3... µ + + + µ + + + µ α3 α d d d α α α+ = = α α dµ dµ... dµ + ( ) ( )...( ) ( + ) olduğu öülü. O halde içi doğu olacağıda (ii) şıkkı isatlaı. Sou 5: + + 0< <, + =,, ise olduğuu kaıtlayıız.. dµ dµ. dµ α α+, = + = + = = öte yada; = = = ( ) dµ = dµ dµ dµ = (. ) ( (. ) ) ( (. ) dµ ) ( dµ ) = :. dµ dµ. dµ Sou 6: 0< <,, + olsu. Bu takdide; olduğuu östeiiz. ( max {, }) + + + olduğuu biliyouz; ( { }) + dµ max, dµ < : + + ( + ) = ( + )(. + ) =.( + ) +. ( + ) = + - 7 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com ( ( µ µ ) µ ) + d d + d =. + ( ( µ µ ) µ ) + d d + d =. + µ + d + + + + + + + + + Sou 7: ve ise. olduğuu ve olduğuu östeiiz.. d. µ hehai bi kümesi içi Sou 8: (,, µ ) östeiiz. (i) dµ = µ ( ). dµ. dµ = dµ =. < :. :. dµ. Α bi ölçü uzayı ve Α olsu. şağıdaki öemelei doğuluğuu (ii) üzeide ϕ ϕ µ µ x K d K., K= cost. (i) ebesue itealii taımıda aydalaalım: k = dµ = lim yµ k { } = x : y x < y, = k k k k k= k k = dµ =. dµ = lim yµ =. µ = µ k k - 8 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com (ii) Beze şekilde taımda ve üçe eşitsizliğide; ϕ dµ ϕ dµ K. dµ = K dµ = K. µ : ϕ dµ K. µ Sou 9: uzayıı işa ediiz., Α, µ bi ölçü uzayı ve : R ölçülebili bi oksiyo olsu. Eğe { x ( x) M} > kümesi lokal µ -boş olacak şekilde eati olmaya bi M R sayısı vasa oksiyou esaslı sıılıdı dei. Esaslı sıılı oksiyolaı sııı ile östeili ve süslü sosuz diye okuu. { x ( x) M} > kümesi lokal µ-boş olduğuda M { } > M şatıı sağlaya he bi { x x > M} M sayısı içi de x ( x) > M kümesi lokal µ -boştu. kümelei lokal µ -boş olacak şekilde alıa M sayılaıı iimumu olsu. Bua öe; { { } µ } = i M : x x > M lokal boştu. olu. ( M ),lim M şekilde atmaya bi eel sayı dizisi olsu. olacağıda dolayı kümesi de lokal µ -boştu. { x x M } = ve he bi içi { } { } x x > = x x > M = { > } x x { x x M} oksiyou ölçülebili olduğuda > lokal µ -boş olacak > kümesi de ölçülebilidi. µ ölçüsü σ -solu olduğuda lokal µ -boş he küme µ -boş olacağıda ({ x ( x) M} ) µ > = 0 dı. Bu duumda σ -solu ölçüle içi kümesi heme heme he yede sıılı ola oksiyolaı kümesi olu. Bu duumda i M : hhy x M = { } olu. Bu takdide M { } S = x x > M deise, sayısı suemumu olu. Bu edeledi ki sayısıa ( x ) i esaslı sııı da dei, ess su x = biçimide yazılı. Böylece, eel değeli bi oksiyou içi olacağı aşikadı. { { } } λ ess su x = i M : x x > M = 0 c S M üzeide ( x ) i - 9 - www.uukcevik.com
www.uukcevik.com Eğe, üzeide taımlı, ölçülebili ve sıılı bi oksiyo ise { x ( x) > M} = olacak şekilde bi M sayısı vadı. O halde { x x > M} kümesi lokal µ -boştu. Bu takdide ölçülebili ve sıılı oksiyola uzayıı elemalaıdı. Fakat kümesii elemalaı aasıda sıılı olmayalada vadı. Öeği: (, B, λ) R R ölçü uzayıı öz öüe alısak R üzeide x, x ise ( x) Q = 0, x Q ise şeklide taımlaa oksiyou sıılı değildi. M 0 { x x > M} λ ( Q ) = 0 olduğuda : { x x M} içi R : > Q ve R kümesi λ -boş ve dolayısıyla lokal λ -boştu. O halde du. üzeide hhy = şeklide taımlaa deklik bağıtısı kümesii deklik sıılaıa ayıı. Bu deklik sıılaıı kümesi ile östeili. ve uzaylaı bie vektö uzayıdı. Sou 0: B M ve : B R ölçülebili bi oksiyo olsu ve eati değele alması. Bu takdide; olduğuu östeiiz. D { x B : ( x) 0} D= x D : ( x) > D M ve di. D B = 0 hhy = 0 = > kümesii taımlayalım. N B olduğuda olması ( D ) 0 içi yazalım. ölçülebili bi oksiyo olduğuda N içi D = N içi D χ < olduğuda ( D) 0 µ < < = µ = olmasıı eektii. şağıdaki eşitsizlik istee çelişkidi; o halde hhy = 0 olması eeki. D D ( D) ( D) ( D) 0< µ µ = 0 µ = 0 B iletişim : uukmatematik @ mail. com uuk @ uukcevik. com Çözümlei ilham kayağı Poblems i Real alysis, Owe BURKINSHW, ISBN:0--05053-4 kitabıdı ve taaımda Tükçeleştiilmişti - 0 - www.uukcevik.com