Çözüler (Wee tr). Bir taraftai (bu tarafı yuarı taraf abul edeli) uçları iişer iişer, rastgele seçere bağlayalı. Bağlaa çiftlerde birii seçip, çifti oluştura iplere A ve A diyeli. A, aşağıda serbest duruda bulua edisi dışıdai ipte herhagi birie bağlaabilir. Aca bu bağlatı A ile yapılırsa bu ii ip diğerleride ayrı bir ile oluşturacağıda, ipleri tüüü bir ile oluşturası egelleiş Kısaca, A edisi ve A dışıda ala ipte birie bağlaış olalıdır i, buu olasılığı dir. Şidi, A i aşağıda bağladığı ipe A ve A ü yuarıda bağladığı ipe de A diyeli. Aşağıda A ü bağlaabileceği uç vardır ( A, A ve A dışıda ala uçlar) aca, te bir ile elde edebile içi bularda A dışıda ala taesi ullaılabilir ve bu duruu olasılığı da dür. Bezer şeilde deva edilere araa olasılı p olara ( ) ( ) ( )! ve ( ) ( ) hatırlayara p ( ) ( )! ( )! yazabiliriz. olduğuu. olası duruuda, araa olasılı 0 olduğuda abul edebiliriz. Birici çözü. işii yapacağı tü seçileri sayısı dir. Bu işii farlı farlı sayılar seçiş olası, {,,, } üesii bir -li perütasyouu seçilesie detir. O halde araa olasılı değeri P(; )! ( )! İici çözü. Birici işii herhagi bir sayı seçiş olası olasılığı dir. İici işii biricide farlı bir sayı seçiş olası olasılığı ; üçücü işii seçtiği sayıı il iiside farlı olası olasılığı ve bezer şeilde ici işii, il işii seçtiği sayıları tüüde farlı bir sayı seçiş olası olasılığı da + dir. Bu duruda seçile sayıları tüüü birbiride farlı olasıı olasılığı şu çarpıla verilir: +! ( )!. Özel olara alırsa, P(). +! ( )! ifadesi ile, işili bir toplulutailerii doğu gülerii tüüü farlı olası olasılığıı hesaplaış oluruz. Q() P() ise, işili bir topluluta e az ii işii ayı doğu güüe sahip olası olasılığıı verir. Gereli işlelerle aşağıdai tabloyu elde edebiliriz: Q() 0 0,007 0,0080 0,0 0,07 0 0,98 0,90 0 0,8 0,88 0,79 0,0797 0 0,70 0,90 7 0,990. Birici oyucu destesii arıştırdığıda bir perütasyo taılaış Kartlarda çaışa olaası içi iici oyucuu dstesidei artları taıladığı perütasyo biricisie göre bir şaşı diziliş olalıdır. Şaşı dizilişleri sayısı D ( )! 0! e olara verildiğide, destelerde çaışa olaa olasılığı da D olara hesaplaır.! e. içi verile oşulu sağlaya bir duruu iceleyeli. Aşağıda ez atıla ve ard arda ii ez yazı geleye bir diziliş buluatadır. 7 8 9 0 T T Y T T Y T Y T Y T T T Y T Böyle bir dizilişte Y lere arşı gele sıra sayılarıı oluşturduğu üe, (yuarıdai örete {,,8,0,} üesi) {,,,} üesii ardışı ta sayı çiftleri buluduraya bir alt üesi O halde, {,,, } üesii ardışı ii ta sayı buluduraya alt üelerii sayısıı F ile gösterirse, araa olasılı F Şidi F yi belirleyeli.
{,,, } üesii ardışı ii ta sayı buluduraya bir alt üeside ta sayısı yer alıyorsa, bu alt üei seçii, {,,, } üeside F farlı şeilde yapılabilir. Eğer ta sayısı alt üede yer alıyorsa, ta sayısı yer alaayacağıda, üei diğer eleaları {,,, } üeside F farlı seçilebilir. Böylece F F + F idirgee bağıtısı elde edilir i bu, Fiboacci dizisii idirgee bağıtısıdır. {F } dizisii il terileri icelediğide F 0, F, F olduğu gözleir. Stadart Fiboacci dizisi {f } ile gösterilirse F f + O halde aradığıız olasılı değeri f + dir.. Yapıla alaşaya göre ayrıla bütçe, bulua hataları sayısıa göre değil, itaptai tü hataları sayısıa göre belirleiştir. Aca, itaptai tü hataları sayısı biliediğide, bu sayıyı eldei verileri ullaara belirleeiz gereir. Öte yada, eldei veriler de hataları esi sayısıı bula içi yeterli oladığıda, tati edici bir yalaşı değerle yetiebiliriz. Her bir hatayı bula olasılığıı A içi p A ve B içi p B ile göstereli. Kitaptai topla hata sayısıa T derse p A T 8 p B T yazabiliriz. Bu ii delei taraf tarafa çarpııda da p A p B T 8 Öte yada, bir hatayı he A he de B i bula olasılığı p A p B olduğuda, orta bulua hataları sayısı göz öüde buludurulara p A p B T olduğu görülür. Elde edile so ii dele bir arada değerledirildiğide ise T 8 buluur. Kitaptai topla hata sayısı ve tü hataları buluası içi ayrıla bütçe 000 TL olduğuda, hata başıa düşe ödee yalaşı,07 TL (000/ TL) dir. Musahhihleri bulduğu topla hata sayısı ise 8 + dür ve yapılaca topla ödee de 000 77, TL dir. Şidi bu ödeede usahhihlere düşe payları hesaplayalı. Her usahhihe bulua topla hata sayısıa atıları içi ödee yapılacağıda, birici usahhih, diğeri tarafıda buluaya 8 0 hata buluştur ve bu hatalar içi edisie,9 TL ödeecetir. Ayı şeilde B ye de, A tarafıda buluaaya 8 hata içi,0 TL ödee yapılacatır. Orta bulua hata içi ödeesi geree topla 7, TL ise A ve B tarafıda eşit olara bölüşülecetir. Bu duruda A ya yapılaca topla ödee 88, TL ve B ye yapılaca topla ödee de 9,77 TL olalıdır.. Bir bireyi öle olasılığı 0,08 olduğuda işii öle olasılığı ( 7 )(0,08) (0,90) 000 Şidi, geree 0 ( 7 )(0,08) (0,90) 000 toplaıı 0,9 da büyü ıla e üçü değerii bulatır. Gereli işlelerle buluur. (Kış evsii boyuca gerçeleşece ölüleri belee sayısı 7 0,08, dür. Aca, hazırlaaca çuur ile başarı olasılığı 0, dir. Kazılaca 7 çuur içi başarı olasılığı 0,99 da; çuur ile 0,999 da büyütür.) 7. Problei hatalı çözüü: Örüceği altıcı sie ağa yaalaada öce doyuş ola olasılığı ( ) ( ) ( ) dür. Dolayısı ile altıcı sieği ye ola olasılığı ( ) 7 0, ve urtula olasılığı da 0.7 dır. Problei doğru çözüü: Örüceği il sie arasıda veya daha azıı yaalaa olasılığı ( 0 ) ( ) 0 ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) 99 olara buluur. Örüceği altıcı sieğe hale yapası ve hale yaparsa yaalaa olasılıları sırası ile Souç olara, altıcı sie 99 ve 0,09 olasılıla ye olur; 0,90 olasılı değeri ile urtulur. 8. Yapıla çeilişlerde belirlee obiasyoları sayısı ( 9 ) 98 dır. 0 çeilişi tüüde farlı obiasyoları çıa olasılığı 98 98 98 98. 98 98 9807 98 0 teri 0,708 Dolayısı ile, 0 çeilişte ii çeilişi ayı obiasyola souçlaa olasılığı 0,9... olur i gerçeleşe çaışaı ucizevi oladığı söyleebilir. 9. İl sırada yer ala oyucuyu A; iici sırada yer alaı B ile göstereli ve oyu souda buları öle olasılılarıı sırası ile, p A ve p B ile göstereli. A ı ölüü ile souçlaa ziciri taip edeli. A, il ateş ettiğide olasılıla ölür; Stadard Fiboacci dizisi: {f } 8... Burada başarı, göülesi içi ezar çuuru buluaya ceaze alaası alaıı taşıatadır.
olasılıla sıra B ye geçer. B de sırasıı olasılıla ölede savar ve sıra terar A ya gelir. Yie baştai oua döüldüğüde A ı bu so duruda da öle olasılığı p A dır. Bu duruda p A + p A yazabiliriz. Burada p A B i ölüü ile souçlaa zicir ise şöyledir. İl sırada A, ateş eder ve olasılıla ölez; sıra B ye gelir. Bu duruda B, il ateş ede ouua geliştir ve öle olasılığı il sırada ateş ede A ı öle olasılığıa eşit oluştur. O halde p B p A dir. İl ateş edei öle olasılığıı, iici ateş edee göre biraz daha yüse olduğu görületedir. 0. İl sıradai silahşoru A; diğerii de B ile göstereli. Düello souda buları hayatta ala olasılıları da, sırası ile, p A ve p B olsu. İici sıradai silahşörü her ateş edişidei isabet olasılığıı da x ile göstereli. A ı hayatta ala olasılığı şu şeilde ifade edilebilir: p A p + ( p)( x)p A ve burada p A p p + x px p A p B eşitliğii sağlaası isteiyor. p A + p B olduğuu abul ederse p A /, yai p p + x px ve souç olara x p p. İl el ateş ede A eğer B yi vurursa sıra C ye geçer ve C de açıılaz olara A yı öldürür. O halde A, B ye işa alaalıdır. Eğer A, C yi vurusa bu ez B edisie yöelece ve %80 olasılıla vuracatır. Oysa C hayatta alırsa B, C ye yöelece ve A ı hayatta ala olasılığı yüselecetir. O halde A, C ye de işa alaalıdır. Souç olara, A ı il eldei e iyi stratejisi havaya ateş etetir. Çözüe başlaada öce bir gösteri belirleyeli. [XYZ: T] ile, X i Y yi hedef tuttara ateş ettiğii ve bu şeilde başlaya bir oyuda souda T i hayatta ala olasılığıı göstereli. Öreği [BCA: C], B ı C yi hedef tutup ateş edere başlattığı bir oyu souda C i hayatta ala olasılığıı gösterir. Yie bezer şeilde [XY: T] ile, hayatta ala ii silahşörde X i Y ye işa alara başlattığı bir oyuu souda T i hayatta ala olasılığıı göstereli. Sıra edisie geldiğide B, A ya işa alıp öldürürse sıra C ye geçece ve hayatta ala te raibi B yi ister isteez öldürecetir. O halde üç silahşörü de hayatta olduğu bir duruda sıra B ye gelirse tereddütsüz C ye işa alacatır. O halde şuları yazabiliriz: [BCA: A] [CBA: A] + [AB: A] [BCA: B] [CBA: B] + [AB: B] [BCA: C] [CBA: C]. Bezer şeilde, sıra edisie geldiğide C, doğal (ve açıılaz) olara B ye ateş edip öldüre zorudadır. Asi tadirde, yai A yı öldürüse B edisie işa alaca ve %80 olasılıla öldürecetir. Bu duruda [CBA: A] [AC: A] [CBA: B] 0 [CBA: C] [AC: C] Şidi[AB; A], [AB; B], [AC; A] ve [AC; C] olasılılarıı hesaplayalı. [AC: A] ve [AC: C] olduğu açıtır. [AB: A] + [BA: A] ve [BA: A] [AB: A] olduğuda [AB: A] + [AB: A] 0 ve [AB: A] olara buluur. Burada da 9 [AB: B] elde edilir ve 9 [BCA: A] [CBA: A] + [AB: A] [AC: A] + 9 0 + 9 9 90 [BCA: B] [CBA: B] + [AB: B] [BCA: C] [CBA: C] 0 İl ateş sırası ediside ola A, havaya ateş edere sırasıı savdığı ve sıra B ye geçtiğie göre yuarıda bulduğuuz değerler oyucuları hayatta ala olasılılarıdır. Yai hayatta ala olasılıları A, B ve C içi sırasıyla 0,, 0, ve 0, dir.. Herhagi bir otasıda bulua pirei bir süre sora orijie gele olasılığıı p ile göstereli. Bulaız geree p 0 dır. Orijide bulua pire il sıçrayışı souda ya ya da A ve B i öle olasılıları ve olup toplaları olduğuda, oyuu ii tarafta birisi ölede sosuza adar sürüp gite olasılığıı 0 olduğu da alaşılır. Her ii silahşor ez ateş ettite sora her iisii de hayatta ala olasılığı [( p)( x)] dir. Öte yada li (( p)( x)) 0 olduğuda oyuu ii tarafta birisi ölede sosuza adar sürüp gite olasılığıı 0 olduğu ve dolayısı ile p A + p B alaşılır.
otasıa ulaşacağıda p 0 p + p yazabiliriz. Öte yada, sietri gereği p p olduğu içi p 0 p otasıda bulua pire eşit olasılılarla 0 ve otalarıa gideceğide p + p Bu so dele, p p eşitliğii verir. otasıda bulua pire eşit olasılılarla ve otalarıa gideceğide p p + p Bu so dele p p p veya p p şelide yazılabilir. Bezer şeilde deva edilere her pozitif ta sayısı içi p p ( ) olduğu görülür. Herhagi bir (pozitif ta sayı) oordiatlı otasıda bulua pirei, her halede gerçel sayı eseii egatif yöüde sıçrayara orijie ulaşası olasılığı olduğuda her pozitif ta sayısı içi p > 0 dır. Burada, p ( ) > ve ( > içi) p > / Burada, p i de üçü tü sayılarda daha büyü olduğu alaşılır. Öte yada, p olduğuda p buluur. p içi bulua bu değer yuarıdai delelerde ullaıldığıda p 0 ve hatta her ta sayısı içi p olduğu görülür. Souç olara, pirei orijie döe olasılığı dir. [Not. Problei çözüüde elde edile souç, problede taıladığı şeilde hareet ede bir pirei, hagi ta sayı oordiatlı otada başlarsa başlası, orijie döe olasılığıı olduğuu da gösteretedir. Burada da, pire hareete hagi otada başlarsa başlası ta sayı oordiatlı her otaya ulaşa olasılığıı olduğu soucu ]. Pirei oordiatlı otayı ziyaret ete olasılığıı p ile göstereli. p 0 ve p olduğu açıtır. Pirei bir otasıa ulaşası ii yolda gerçeleşebilir: p olasılıla otasıa ulaşır ve olasılıla birili bir sıçraa soucu ye ulaşır. p olasılıla otasıa ulaşır ve olasılıla birili bir sıçraa soucu ye ulaşır. O halde, her ta sayısı içi p p + p idirgee bağıtısı sağlaır. Bu bağıtıı arateristi delei r r 0 ve bu delei öleri r ve r olduğuda p A + B ( ) yazabiliriz. p 0 ve p oşulları ullaılara A ; B buluur. Souç olara p + ( ) Aradığıız olasılı p 0 + 0 dir. [ içi p olduğu göz öüde buludurulara büyü değerleri içi p abul edilebilir.]. Pirei 0 oordiatlı otayı ziyaret ete olasılığı p 0 dır. Bu otaya gelede öce 0 oordiatlı otaya uğraa olasılığı da p 0 dir. 0 oordiatlı otada 0 oordiatlı otaya ulaşa olasılığı ise 0 oordiatlı otada 0 oordiatlı otaya ulaşa olasılığıa eşit olduğuda p 0 dur. O halde araa olasılı [ p 0 p 0 + 0 ( ) ] [ + 0] ( ) p 0 [ + 09 07 0] ( ) 0,9. Tü tavular arıştığıda çiftlitei 8 tavuğu i hastalılı olduğuda, rastgele seçile bir tavuğu hastalılı ve sağlılı ola olasılıları sırası ile p(h) 7 ve p(s) dir. 8 8 Rasgele seçile bir tavuğa uygulaa testi (+) souç vere olasılığı da p(+) p(+ H) p(h) + p(+ S) p(s) 9 0 8 + 00 7 8 0,08 dir. Burada, testi pozitif souç verdiği bir durudai tavuğu hasta ola olasılığı şu şeilde elde edilebilir: p(h +) p(h +) p(+) p(+ H) p(h) p(+) 0,77. Burada da test soucu pozitif ola bir tavuğu sağlılı ola olasılığıı % olduğu ve testi güveilir oladığı alaşılır.. Torbaya atıla topu regii ifade ede öre uzay {S,B}; torbada çeile topu regii taılaya öre uzay da {s, b} ile gösterilsi. Bulaız geree olasılı, p(s s) olasılığıdır. Beyaz topları sayısıa derse torbadai topları sayısı + olur ve p(s S) p(s) p(s S) + yazabiliriz. Öte yada,
p(s) p(s)p(s S) + p(b)p(s B) + + + + olduğuda p(s s) p(s S) p(s) +. + 7. Her bir x A içi, X Y esişiide yer ala olasılığı olduğuda, esişide yer ala eleaları sayısıı belee değeri yada (X Y) X,Y A dür. Öte ifadesi de ayı belee değeri taıladığıa göre, aradığıız sayı 8. Dizide bir teride sorai terii farlı bir değere sahip olası olasılığı ( ) dir. Dolayısı ile, dizii il terii dışıda ala her teriii bir öcei teride farlı değere sahip ola olasılığı ( ) dir. O halde, bir öcei teride farlı değere sahip terileri sayısıı belee değeri ( ) dir. Bir öcei teride farlı değere sahip her teri bir öbeği il terii olduğuda, dizii il teriii de hesaba atara, öbeleri ( )( ) belee sayısıı + olduğu alaşılır. 9. Sabit otası olaya perütasyoları şaşı dizilişler olduğuu ve buları sayısıı D! ( )j j! j0 ile verildiğii hatırlayara, ta tae sabit otaya sahip perütasyoları sayısıı p () ( )D şelide yazabiliriz. Bu duruda aradığıız topla ( ) D 0 şelii alır. ( ( )j ) ( )! ( ) j! 0 j0! ( )j ( ) ( )! j! 0 j0 Yalaşı değerleri ullaılası ile çözü: ( ) j Büyü değerleri içi j0 olduğu göz j! e öüde buludurulara p ()! e! ( )! 0 0 Belee değer hesabı ile çözü: Lâlettayi bir perütasyou ta tae sabit otaya sahip olası olasılığı p () olduğuda, perütasyoları sabit ota sayısıı belee değeri 0 p () dir. Öte yada her bir! eleaı sabit ala olasılığı olduğuda, sabit otaları sayısıı belee değeri O halde p! () ve dolayısı ile 0 p ()! 0 0. t ici sırada top çee öğrecii çetiği topta yazılı ola ta sayı ise, bu sayıı daha öce aydedile t sayı e büyüğüde daha üçü olaa olasılığı ( )t dir. O halde, t ici sıradai öğrecii bir reorte ola olas ılığı t ( ) ve reorteleri belee sayısı da! E(R) ( ) t t Bu toplaı şu şeilde yazabiliriz: E(R) ( ) t t ( ) t t ( ) ( ).. Siyaha boyaa üp parçalara ayırıldıta sora ortaya çeşit üp çıar: 8 adet yüzü siyah üp, adet yüzü siyah üp, adet te yüzü siyah üp ve adet beyaz üp.
İl gruptai üpler öşelere üçer farlı şeilde oulabilir. O halde 8 üp içi 8 farlı ihtial buluur. Bu 8 üp de 8! şeilde öşelere yerleştirilir. Dolayısıyla yüzü siyah üpler 8 8! farlı şeilde yerleştirilir. İici gruptai üpü her biri içi ihtial buluuyor. Bu üpler earlara! şeilde yerleştirilir. Dolayısıyla yüzü siyah üpler içi! farlı şeilde yerleştirilir. Üçücü gruptai üp içi dörder ihtial buluur. Bu üpler de üpü ya yüzlerii ortasıa! şeilde yerleşebilir. Bu üpler içi de! olasılı buluur. Beyaz üp ise oluşturula üpü ortasıa farlı şeilde yerleştirilebilir. O halde topla 8 8!!! dış yüzü siyah üp oluşturulabilir. Her üp farlı şeilde yerleştirilebilir. Bu üpler 7! farlı şeilde sıralaırlar. Dolayısıyla topla 7 7! üp oluşturulabilir. Souç olara oluşturula bir üpü dış yüzüü siyah ola olasılığı 8 8!!! 7.8 0 7 7!. Bir tae avi bilye seçip, geri ala bilyeyi ya yaa sıralayalı. Bu bilyei diziliide tae ırızı bilyei ya yaa gelee ihtiali, hala şelide dizile bilyeii ile ayı olacatır. ırızı 7 avi bilyei tü dizilişlerii sayısı ( ) 0 dur. Herhagi ii ırızı bilyei ya yaa olaası içi öce 7 avi bilyeyi yerleştirip sora da buları belirlediği 8 ouda, ırızı bilyeleri yerleştirileceği ouu seçeriz. Souç olara, ırızı bilyeler ya yaa olaa şartıyla ( 8 ) 70 farlı şeilde dizilişi gerçeleştirebiliriz.. Dolayısıyla ii ırızı bilyei ya yaa olaa ihtiali 7 tür. (Not. Bu problei çözüüde izlee yolu, ırızı 8 avi bilyei hala şelidei dizilişlerii sayısıı göz öüde buluduradığıa diat edilelidir.). Birici çözü yolu. Güeş'i sahip olduğu paraları sayısıı ile göstereli. Güeş'i elde ettiği turaları sayısı x ; Ateş'i elde ettiği turaları sayısı da y ola üzere öre uzay, 0 x ve 0 y ola üzere ( ) tae (x, y) sayı çiftide oluşur. Güeş'i Ateş'te daha fzla tura elde ettiği, yai x > y ola çiftler (,0), (,), (,),, (, ), (, ),, (, ) olup, buları sayısı + + + ( ) ( ) olara hesaplaır. O halde isteile olasılı ( ) ( ) İici çözü yolu. Ya Ateş Güeş te daha ço tura atacatır, ya da Ateş Güeş te daha ço yazı atacatır. Aca Ateş ta olara bir fazla adei paraya sahip olduğu içi, her iisi birde olaaz. Sietride dolayı, birbiride bağısız, eşi olaya bu ii duru eşit ihtialle gerçeleşir. Bu yüzde, Ateş i Güeş te daha fazla tura elde ete ihtiali dir. Bu olasılığı, oyucuları sahip olduları adei paraları sayısıda bağısız olası sürpriz olabilir.. Ateş'i oyuu azaa olasılığı p olsu. İl ii atış soucuda gelebilece bütü ihtialleri düşüeli. Aşağıda listelee, bütü olasılıları apsaya ve iişer iişer ayrı ola ihtiallere göz atalı: İl atışta gele sayıları toplaı ise (/ ihtial) Ateş azaır. İl atışı soucu 7 ve iici atışı soucu ise ( ihtial) Ateş azaır. İl ii atışı soucu 7 ise ( ihtial) Güeş azaır. İl atışı soucu 7 ve iici atışı soucu 7 veya değilse ( 9 ihtial) Ateş'i azaa 9 olasılığı p dir. İl atışı soucu 7 veya değilse ( 9 ihtial) Ateş'i azaa olasılığı p dir. Dolayısıyla, p + + 9 p 7 olara elde edilir ( p > ediiz). 9 p + p burada da olduğua diat. Ateş uyruğa gireleri doğu gülerii bileetedir. Ateş, açıcı sırada uyruğa girerse bedava bilet ala şası e fazla olur? (Bir seei gü olduğuu ve doğu güleri olasılılarıı eşit olduğuu abul ediiz. Soruu çözüü içi hesap aiesi ullaaya ihtiyaç duyabilirsiiz.) Ateş'i sıraya ici işi olara girdiğide bedava bilet azaa olasılığı p()olsu. Ateş'i bedava bilet azaabilesi içi öüdei işii yılı farlı güleride doğuş olası ve Ateş'i bu işide herhagi biriyle ayı gü doğuş olası gereir. Dolayısıyla Ateş i bedava bilet azaa olasılığı, öüdei işii yılı farlı güleride doğuş ola olasılığı ile Ateş'i içleride biriyle ayı gü doğuş ola olasılılarıı çarpııa eşittir. Burada ( ( )) p() elde ederiz. O halde, bizi bulaız geree p() > p( + p() ) (de bir ifadeyle >. ) eşitsizliğii p(+) sağlaya e üçü ta sayı değeridir. p() p(+)
ve p() p(+) >, > olasıı geretirir. Burada > 0 olduğuu görürüz. Bu iici derecede poliou öleri yalaşı olara 8. ve 9. dır. > 0 olduğu içi 0 olalıdır. Başa bir deyişle Ateş'i bedava bilet azaabile içi yapabileceği e iyi şey yirici sırada uyruğa giretir. (Not. Ateş'i azaa olasılığıı e yüse değeri %, dür.). Oyuu il başlaya Ateş azaır. C otası AC doğru parçası üzeride ve AC 00 ola ota olsu. ABC eşear üçgeii ele alalı. Eğer bu üçge içi birici oyucuu bir azaa stratejisi varsa o zaa bu üçgei il esilesii, eşear üçge olasıda dolayı AC earı üzeride alıa bir D otası içi, BD doğru parçası boyuca olacağıı abul edebiliriz. Bu duruda Ateş'i oyua ABC üçgeii BD doğru parçası boyuca esere başlaası azaasıı garati edecetir. Eğer ABC üçgei içi iici oyucuu bir azaa stratejisi var ise o zaa da Ateş'i oyua ABC üçgeii BC doğru parçası boyuca esere başlaası azaasıı garati edecetir. Diat edilece olursa her bir adı souda ala üçgei alaı bir öcei üçgei alaıda e az bir üçütür. Bu da oyuu solu zaada biteceğii gösterir. 7. ola üzere, p(, ) zar ere atıldıta sora farlı yüzüü gele olasılığıı belirtsi. Eğer zar atışı sorası farlı yüz gelişse burada ii duru vardır: ya öcei atış sorasıda farlı yüz geliştir ve ici atışta yei bir yüz geleiştir ya da atış sorasıda farlı yüz geliştir ve ici atışta yei bir yüz geliştir. Burada: p(, ) p(yei yüz gelee olaslığı)p(, ) + p(yei yüz gele olasılığı)p(, ) olur ve burada da p(, ) 7 p(, ) + p(, ) buluur. q p(, ) > oşuluu sağlaya e üçü değerii bulaız gereir. Hesaplaa değerler aşağıdai tabloda veriliştir: p(, ) 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 7 0,0 8 0,0 9 0,890 0 0,78 0, 0,78 0,8 0,88 Tabloda olduğu görülür. 8. Birici çözü yolu. Belli bir aa adar yapılış ola tercihleri SOL SAĞ SOL SOL SAĞ SOL SAĞ SAĞ gibi bir diziyle göstereli. Sol cepte yer ala utudai ibritleri boşalış olası içi bu dizide ta ez SOL ve sağ ceptei utuda tae ibrit alış olası içi ez SAĞ tercih yer alalıdır. Bu duruda üü ola sıralaaları sayısı ( )! ) dır. Topla!( )! ( tercihi her birisi ii seçee arasıda yapıldığı içi öre uzayı büyülüğü ez tercih yapıldıta sora sol ceptei utuu boşalış ola olasılığı ( ve bu ada sora sol cebi tercih edilip boş utuyla ) arşılaşa olasılığı ( Sietride dolayı ayı olasılı sağ cep içi de geçerli ) olduğuda, araa olasılı ( olara buluur. ) İici çözü yolu. Eğer so duruda diğer utuda tae ibrit alıyorsa, bu utuda daha öce ibrit alıış olası gereir. Profesör ( + ). ibriti sol cebidei ibrit utusuda ala isteiş olsu. Bu duruda, o zaaa adar + adet seçi yapılış olur ve bu da + farlı şeilde yapılabilir. Buları ( ) taesi ise, ( + ). seçiii sol cebide yapış olasıdır. Dolayısıyla profesörü sol cebide boş bir boş utu çıara olasılığı ( ) Sağ cebidei utuu boş ola + olasılığı da ayı olduğua göre, so duruda boş utuyu açtığıda diğer utuu içeriside tae ibrit çöpü ola olasılığı ( )