Deprem Tepksnn Sayısal Metotlar le Değerlendrlmes (Newmark-Beta Metodu)
Sunum Anahat Grş Sayısal Metotlar Motvasyon Tahrk Fonksyonunun Parçalı Lneer Interpolasyonu (Pecewse Lnear Interpolaton of Exctaton Functon Pecewse Exact Method) Sonlu Farklar Metodu (Central Dfference Method) Newmark Metodu (Newmark s Method) Sayısal Metotlarda Zaman Aralığı Seçmnde Dkkat Edlecek Hususlar Sayısal Hatalara Kısa Br Bakış Metotların Karşılaştırılması
Sayısal Metotlar (Motvasyon) Tek serbestlk derecel (TSD) sstemler çn yazılmış hareket denklemnn analtk (kesn) çözümü, kuvvet fonksyonunun random (gelş-güzel) değşmes (örn.: yer hareket) veya sstemnn non-lneer olması durumunda mümkün olmamaktadır, Bu tp problemlern çözümü ancak sayısal metotlarla mümkündür (tme steppng methods).
Zaman Tanım Aralığında Sayısal Çözümler Doğrusal olmayan TSD br sstem çn çözülmes stenen hareket denklem aşağıdak gb yazılablr: mu&& + cu& + f ( uu, &) = pt () veya = mu&& () t s u(0) = u ve u& (0) = u& Başlangıç şartları: 0 0 g m: c: Kütle Vskoz sönüm katsayısı f s f ( u, u & = 0) s u fs( u, u& ): Nonlneer ç kuvvetler
Zaman Tanım Aralığında Sayısal Çözümler (Devam) Etkyen dış kuvvet p(t), zaman tanım aralığında genellkle parçalı (keskl- dscrete) değerler olarak fade edleblr(örnek deprem vme kayıtları): pt () p = pt ( ), = 0KN t = t t + p 0 p p K p p + u( t) t 0 t t u u K t t t + u u + u 0 t t 0 t t t + t t Sstemn tepks, t zaman aralıklarında keskl olarak bulunacaktır. TSD br sstemn t anındak deplasman, hız ve vme değerler, sırasıyla, u, u& veu&& olarak gösterlr.
Zaman Tanım Aralığında Sayısal Çözümler (Devam) Blndğ kabul edlen deplasman, hızve vmetepk değerler t anında hareket denklemn sağlar: mu&& + cu& + f ( u, u& ) = p() t = mu&& t= t s, g, Lneer sstemler çn, f = ku Sayısal metotlar, sstemn t + anındak u, u& ve u&& değerlern bulmakta kullanılır. Bu değerler hareket denklemn t + anı çn de sağlar: s + + + mu&& + cu& + f ( u, u& ) = p () t = mu&& + + s, + + + + g, + t= t + Sayısal metotlar anları çn sırasıyla uygulandığında, sstemn tüm anlardak tepks elde edlr (başlangıç şartları gerekl blgy verr). = 0,,, K, N u0 ve u& 0 sayısal şlem başlatmak çn
Zaman Tanım Aralığında Sayısal Çözümler (Devam) t den t + değerne lerlemekgenellkle kesn(exact) olarak yapılamaz; ancak yaklaşıkolarak yapılablr. Bunun çn brçok sayısal metot mevcuttur. Genel olarak sayısal metotların üç öneml şartı sağlamaları gerekr: Yakınsama(Convergence): Zaman aralığı dtküçüldükçe, çözüm gerçek çözüme yaklaşmalıdır, Stablte(Stablty): Sayısal metot, yuvarlama hataları (round-off errors, numercal precson) gb etkler altında stabl olmalıdır, Doğruluk(Accuracy): Sayısal metot, doğru çözüme yakın sonuçlar vermeldr. Bu üç özellğn ncelendğ çok güzel br çalışma: Muğan, A. (008). Frequency doman analyss of tme ntegraton algorthms. Comp. Methods n Appled Mechancs and Engneerng, Vol. 90, pg.: 5777-5793
Zaman Tanım Aralığında Sayısal Çözümler (Devam) Zaman tanım aralığında kullanılan, üç farklı tp sayısal metot tanıtılacak (genel kategor): ) Tahrk fonksyonunun (deprem snyal -grd) nterpolasyonuna dayanan metot, ) Hız ve vme tepk değerlernn sonlu farklar le fadesne dayanan metot, 3) İvme tepksnn bell br formda değştğ kabulüne dayanan metot.
Newmark Metodu (Newmark s Method) 959 da N.M. Newmark,zaman tanım aralığında çalışan ve aşağıdak formüllere dayanan br ser sayısal ntegrasyon metodu gelştrd: ( γ) ( γ ) ( ) u& = u& + t u&& + t u&& + + ( ) ( β)( ) β( ) + = + & + && + && + u u t u / t u t u () ()ve () vme tepksnn belrl br şeklde değştğne dayanarak elde edlmştr β ve γ vmenn br zaman adım boyunca değşmn kontrol eden ve metodun stablte ve doğruluk karakterstklern belrleyen parametrelerdr. Lneer sstemler çn t = t + anı çn hareket denklem aşağıda verşmştr: : + anı çn yazıldı, mu&& cu& ku && + + + + + = mug, + (3) mplct br metotdur.
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam (), () ve (3) kullanılarak u, u& ve u&&, u, u& ve u&& bağlı olarak teratf br şeklde bulunablr; teratf olmasının neden && değernn () ve () nn sağ tarafında olmasından kaynaklanmaktadır. + + + u + Özel durumlar:. γ = / ve β = /4: sabt ortalama vme metodu,. γ = / ve β = /4: doğrusal vme metodu.
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam Newmark sabt ortalama vme metodu: γ = / ve β = /4 İvme (Sabt) && u + u&& Hz (Lneer) ( u&& u&& ) u&& ( ) = / + τ + u& ( ) u& τ u&& u&& ( ) τ = + + + t u& + = u& ( t) = u& + ( u&& + u&& + ) (4) u& Deplasman (Quadratc) τ u( τ) = u + u& τ + + + 4 ( u&& u&& ) t u+ = u( t) = u+ u& t+ ( u&& + u&& + ) (5) 4 u τ t t t + Denklemler (4) ve (5), verlen γ ve β değerler çn () ve () le karsılaştırılırsa ayn oldukları görülür.
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam Newmark doğrusal vme metodu: γ = / ve β = /6 İvme (Sabt) u&& u u( τ) u && + && = && + τ t u && = u && + ( t) u&& Hz (Lneer) u+ u &( τ) = & + && τ + τ u& + = u& t = u& + ( u&& + + u&& ) u u u && t && t ( ) (6) u& Deplasman (Quadratc) u u&& u( τ) u u& τ τ 3 τ u&& + u&& + 6 t = + + + τ t t t + t t u u( t) u u t u + = = + & + && + u&& + (7) 3 6 Denklemler (6) ve (7), verlen γ ve β değerler çn () ve () le karsılaştırılırsa ayn oldukları görülür.
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam Newmark Metodunun Explct Artımsal Formülasyonu (terasyondan kurtarmak çn): Artımsal formülasyon, lneer sstemler çn gerekl değldr; ancak bu metot doğrusal olmayan sstemlern analznde kullanıldığı çn burada sunulmuştur. u = u u u& = u& u& u&& = u&& u&& + + + p = p p + (8) Denklem () ve () aşağıdak gb artımsal sekle getrlerek tekrar yazılablr: ( ) ( γ ) u& = t u&& + t u&& ( ) ( t) ( ) u = t u& + u&& + β t u&& (9a) (9b) Bu denklemlerden kncs aşağıdak gb düzenleneblr: γ ( t) β t u&& = u u u β & && β (0) (0) nolu denklem (9a) da yerne konulursa aşağıdak fade bulunur. γ γ γ u & = u u + t u () t β β & β &&
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam t + ve t anlarındak hareket denklem yazılır, brbrnden çıkarılırsaaşağıdak hareket denklem elde edlr: m u&& + c u& + k u = p = - m u&& () g, Denklem (9a) ve (0), () de yerne konup aşağıdak gb düzenleneblr: kˆ u = fˆ burada, γ ˆk = k+ c+ m β t β ( t) : efektf rjtlk (dnamk etkler dahl) ˆ γ γ f = m u&&, + m c u m t c u g + & + β t β + && β β : efektf artımsal yük u = fˆ k ˆ
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam u bulunduktan sonra & u ve && u denklem (0) ve () kullanılarak bulunablr; artımsal değerler bulunduktan sonra t + anındak tepk değerler aşağıdak gb bulunur: u = u + u u& = u& + u& u&& = u&& + u&& + + + && u + ayrıca t + anındak hareket denklemnden de bulunablr, Sayısal analz çn gerekl adımlar: γ = / ve β = /4 veya γ = / ve β = /6 seçlr!. Gerekl lk hesaplar (br kez yapılacak):...3 u&& 0 = t seclr, mu&& cu& ku g,0 0 0 m γ ˆk = k+ c+ m β t β ( t)
Newmark Metodu (Newmark s Method) - Devam γ.4 a= m+ c ve β t β b m t γ = + β β c. Her adım çn yapılacak hesaplar ( = 0,,,,N):...3.4.5 fˆ = m u&& g, + au& + bu&& fˆ u = ˆ k γ γ γ u & = u u+ t u β t β & β && γ u&& = u u u β( t) & β t && β u = u + u u& = u& + u& u&& = u&& + u&& + + + 3., + le değştrlerek.0 adm tekrar edlr.
Newmark Metodu (Metotla lgl gozlemler) Newmark metodu aşağıdak şartı sağlıyorsa stabldr: t π (T= ) T π γ-β ω γ = / ve β = /4 Dkkat edlrse, yukarıdak şart, (sabt ortalama vme metodu) aşağıdak hal alır: t T O zaman sabt ortalama vme metodu, tüm dt değerler çn stabldr (şartsız stabl uncondtonally stable); ancak yeterl doğruluktak sonuçlar ancak dt yeter kadar küçükse elde edlr. Şartsız stabl metotlar çok serbestlk derecel (CSD) sstemlern sayısal çözümü çn uygundur! Yukardak stablte sart, lneer vme metodu cn asagdak hal alr γ = / ve β = / 6 t T 0.55
Genel Gozlemler (dt nn secmnde dkkat edlmes gereken hususlar) Hesapsal vermllk (computatonal effcency): İstenlen düzeyde doğrulukla, bu doğruluk düzeyne ulaşmak çn gerekl olan hesap mktarının mnmze edlmes, Tahrk fonksyonunun ve tepknn yeterl olarak fade edleblmes yüksek frekanslı tahrk ve tepk değerler büyük dt değerler le fade edlemez (Nyqust frekansı), dt ye bağlı stablte şartı TSD sstemler çn sınırlayıcı değlken, ÇSD sstemler çn öneml hale gelr. CSD sstemler çn sıklıkla şartsız stabl metotlara htyaç vardır, Sayısal çözümün, gerçek çözüme yakınsaması çn (convergence) hem stabl hem de doğru (accurate) sayısal metotlara htyaç vardır
Genel Gozlemler (Saysal hatalara ksa br baks) Sönümsüz TSD br sstemn serbest ttreşm: mu&& () t + ku( t) = 0 Başlangıç şartları: u(0) = ve u& (0) = 0 Bu başlangıç şartları çn analtk (kesn) çözüm: ut () = cos( ωt) ω= k/m Bu problem dört farklı sayısal metotla çözülürse: Sonlu farklar, Sabt ortalama vme (Newmark), Doğrusal vme (Newmark), Wlson θ metodu (anlatılmadı!) t= 0.0T
Genel Gözlemler (Sayısal hatalara kısa br bakış) Yapay Sönüm Peryot Uzaması Yapay sönüm y br şeydr; ama fazlası değl!!!
Genel Gözlemler (Saysal hatalara ksa br baks) dt nn seçm çn kullanılablecek pratk br metot: Sstem çok küçük olmayan, uygun küçüklüktek br dt le sayısal olarak çözülür. Sonra, ayn sstem braz daha küçük br dt le yenden çözülür. Bu şlem brbrn takp eden k çözüm arasında stenlen yakınlık sağlanana kadar tekrarlanır. Bu k dt den büyüğü yeterl küçüklüktek dt değerdr ve sayısal analz çn kullanılablr.
Ödev Sadece ve T le karakterze edleblen TSD br sstemn tepksn (deplasman, hız ξ ve vme), Newmark-Beta metodunu kullanarak hesaplayan: a. Br blgsayar programı yazınız, Matlab programını kullanınız. Deprem kaydı olarak 940 yılında El Centro Calforna da meydana gelmş El Centro depremnn K-G bleşenn kullanınız. Bu kayıt: http://nsee.berkeley.edu/data adresnden ndrleblr (dt = 0.0 sn, brm = g, satr satr okunacak, ), b. Farklı sayısal metotlar kullanarak bulduğunuz tepkler farklı dt değerler çn tekrarlayarak brbryle kıyaslayınız, c. Seçtğnz br sayısal metodu kullanarak, ve değerlernn sstem tepksne etklern rdeleynz. d. Ayrıca http://ngawest.berkeley.edu/stestesnden çok genş br deprem ver tabanına ulaşılablr. Bu steye üye olarak, ncelemeye başlayınız, lerde kullanacağız. ξ ω u && (0) = 0 g