TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R için gerçekleşmez. İşte bu eşitlikler gibi içinde trigonometrik ifadeler bulunan ve bazı özel değerler için sağlanan açık önermelere TRİGONOMETRİK DENKLEMLER denir. Trigonometrik denklemi sağlayan değerlere DENKLEMİN KÖKLERİ, köklerin oluşturduğu kümeye DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİ, çözüm kümesini bulma işlemine de DENKLEMİ ÇÖZMEK denir. A) a [ -1, 1] olmak üzere Cos = a tipi denklemler. SORU : cos = veya cos = -4, olursa ne olur? CEVAP : a [ -1, 1] ise Cos = a tipi denklemlerin çözüm kümesi olur. A 0 B α α A Denklemin [ 0, ] aralığında bir kökü α ise diğer kökü - α veya - α olur. Cos = cos α 1 = ilk değer + k. = ikinci değer + k. B 1 = α + k. = ( - α) + k. k Z Ç = { 1 = α + k., = ( - α) + k., k Z } olur. Cos = cos α 1 = α + k. = ( - α ) + k. 1

SORULAR: 1. Cos = ÇÖZÜM : Sağlayan İlk değer olduğundan ; cos = cos olur. 1 = + k. = ( - ) + k. Ç = { 1 = + k., = 11. + k., k Z } [ 0, ] daki çözüm kümesi Ç = {, 11. } olur. cos = 1. cos = -1 4. cos = 0 5. cos =. cos + = cos ÇÖZÜM : + = + k. + = + k. 1 = + k. 4 = + k. 11 k. 1 = + k. = + 1 Sin g() = Cos f() cos g( ) cos ( ) = f g( ) ( ). = f + k g( ) [ ( )]. = f + k

7. sin + cos = + cos + cos = + cos( ) = cos + çözüm kümesini bulunuz? = + + k. = + k. 1 = k. = + + k. = + k. k. = B) a [ -1, 1] olmak üzere Sin = a tipi denklemler. SORU : sin = veya cos = -1, olursa ne olur? CEVAP : a [ -1, 1] ise Sin = a tipi denklemlerin çözüm kümesi olur. B A α 0 α A Denklemin [ 0, ] aralığında bir kökü α ise diğer kökü - α veya - α olur. Sin = sin α 1 = ilk değer + k. = ikinci değer + k. B 1 = α + k. = ( - α) + k. k Z Ç = { 1 = α + k., = ( - α) + k., k Z } olur. Sin = sin α 1 = α + k. = ( - α ) + k.

SORULAR: 1. Sin = ÇÖZÜM : Sağlayan İlk değer olduğundan ; sin = sin olur. 1 = + k. = ( - ) + k. Ç = { 1 = + k., = + k., k Z } [ 0, ] daki çözüm kümesi Ç = {, } olur. sin = 1. sin = 1 4. sin = 0 5. sin = 1. sin( ) = sin( ) ÇÖZÜM : ( ) = + k. = k. 1 = k. = + k. 5 = + k. k. = + 5 5 Sin f() = Cos g() sin f ( ) = sin g( ) f ( ) = g( ) k. + f ( ) = g( ) k. + 7. sin = sin çözüm kümesini bulunuz? 4

8. cos + sin = + 9. cos + sin 5 = + çözüm kümesini bulunuz? çözüm kümesini bulunuz? 10. cos + = 0. 9848 çözüm kümesini bulunuz? ( 0,9848 = Cosα diyerek 7 + = α + k, + = α + k ) şeklinde de çözüm yapılabilir.) 7 7 C) a R olmak üzere tan = a tipi denklemler. B Tan ek. A +α 0 α A Denklemin [ 0, ] aralığında bir kökü α ise Tan = tan α 1 = ilk değer + k. 1 = α + k. B Ç = { = α + k., k Z } olur. tan = tan α = α + k. SORULAR: 1. tan = tan = tan = + k ise Ç = = + k, k Z. tan = -1. tan = 5

4. tan = tan + CEVAP: = + + k. = + k. k. = Bulunur. D) a R olmak üzere cot = a tipi denklemler. B cot ek. A +α 0 α A Denklemin [ 0, ] aralığında bir kökü α ise Cot = cot α 1 = ilk değer + k. 1 = α + k. B Ç = { = α + k., k Z } olur. cot = cot α = α + k. SORULAR: 1. cot = cot = cot = + k ise Ç = = + k, k Z. cot = 0. cot = 4. cot cot +

CEVAP: = + + k. = + + k. = + k. Bulunur. tan f ( ) = cot g( ) tan f ( ) = tan g( ) f ( ) = g( ) k. + cot f ( ) = tan g( ) cot f ( ) = cot g( ) f ( ) = g( ) k. + 5. tan + = cot denkleminin çözüm kümesini bulunuz? tan + tan = + = + + k. k. 5 = + k. 1 = + Bulunur. 10 5. cot( ) = tan + denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 7

KARMA ÖRNEK PROBLEMLER: 1. cot + = tan denkleminin çözüm kümesini bulunuz?. Cos +.sin = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?. sin.tan + 4 = 0 cosec denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 4. sin - cos + sin = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 5. cos 4 - sin = -.sin 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? E. Cos ve sin e göre Lineer Denklemler. a, b, c R olmak üzere ; a. sin + b. cos = c biçimindeki denklemlere sin ve cos e göre lineer denklem denir. 1. ÇÖZÜMÜ: a.sin + b.cos = c denkleminin her iki tarafını a ya bölelim. b c sin +.cos = a a tanα = b a yazarsak c sin + tan α.cos = a sinα c sin +.cos = cosα a c sin.cosα + sin α.cos =.cosα a c sin( + α ) =.cosα a c Elde edilen bu denklemin çözümünün olması için 1.cos α 1 olması gerekir. a Bu eşitsizlikte ancak a + b c olması ile gerçekleşir. 8

.ÇÖZÜMÜ : Daha önceki derslerimizde ; cos ve sin i tan cinsinden yazmıştık. 1 tan.tan cos =, sin = NİÇİN? 1+ tan 1+ tan 1 tan.tan Bu durumda ; a + b. = c. olur. tan = t alınırsa, 1+ tan 1+ tan 1 t. t a b. = c a.1 t + b.. t = c.1 + t + 1 + t 1 + t ( ) ( ) (a + c ).t -.b.t - (a-c) = 0 elde edilir.bu denklemin çözümünün olması için, = (-b) + 4.(a+c).(a-c) 0 ise a + b = c olmalıdır. SORU:.sin +.cos = denklemini çözelim. Denklemin her iki tarafını ile sin bölelim. Cos +.sin = olur. = tan = alınırsa. cos Cos + sin sin = buradan cos cos.cos + sin.sin = cos = cos = cos.cos =. k. + = +. k. 11. = + +. k. = + +. k. 1. 1 = +. k. = +. k. = + ( k + 1).. Ç = R = + k. = + k., k Z Bulunur. 9

F. Cos ve sin e göre Homojen Denklemler. Bütün terimlerinin dereceleri aynı olan denklemlere HOMOJEN DENKLEMLER denir. Buna göre ; + y = o denklemi 1. Dereceden bilinmeyenli +.y +.y = o denklemi.dereceden bilinmeyenli homojen denklemdir. Bir trigonometrik denklemde cos = ve sin = y yazıldığı zaman bir homojen denklem elde ediliyor ise bu denkleme homojen trigonometrik denklem denir. SORU: cos - sin = 0 sin ve cos göre 1. dereceden homojen trigonometrik denklem cos + 4sin.cos + 5sin = 0 sin ve cos göre. dereceden homojen trigonometrik denklem Sin ve cos göre 1. dereceden homojen trigonometrik denklemler genel olarak a. sin + b. cos = 0 ( a,b R ) biçimindedir. Bu denklemler lineer denklem gibi çözülebilir. Ayrıca eşitliğin ikinci tarafının sıfır,her iki tarafı cos e bölünürse ; olmasından yaralanarak a. sin + b = 0 cos a.tan + b = 0 tan = b a Elde edilir. Bu basit denklem kolayca çözülür. SORU: cos +.sin = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? ÇÖZÜM : 1+. sin = 0 1+.tan = 0 cos 1 5. tan = = + k. 5. Ç = R : = + k., k Z 10

Sin ve cos göre. dereceden homojen trigonometrik denklemler genel olarak a.cos + b. cos. sin +c.sin = 0 ( a, b, c R ) biçimindedir. Denklemin her iki tarafı cos e bölünürse ; a + b. sin + c. sin = 0 ( Cos 0) cos cos a + b.tan + c.tan = 0 Bu denklem tan e göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemi nasıl çözebiliriz? Tan = u denilirse. Denklem c.u + b.u + a = 0 şekline dönüşür ve ikinci dereceden denklem gibi çözülür. Bu tür denklemlerin çözümünde bir başka yol olarak ; cos 1 cos 1 cos = +, sin =, cos.sin = sin değerleri yerlerine yazılırsa ; a.cos + b.cos.sin +c.sin = 0 1+ cos a. b. sin 1 cos + + c. = 0 a + a.cos + b.sin + c c.cos = 0 ( a c).cos + b.sin + ( a + c) = 0 Elde edilen bu denklem nasıl denklemdir? (lineer denklemdir. Lineer denklem gibi çözülür. ) 11

ALIŞTIRMALAR : 1. ( ).cos 1+.cos.sin + sin = 0 çözüm kümesini bulunuz? Eşitliğin her iki tarafını cos e bölersek; ( ) 1 +.tan + tan = 0 tan = t alınırsa, ( ). ( ).( ) t 1 + t + = 0 t 1 t = 0 t = 1 ve t = 1 tan = = + k. tan = 1 = + k. 4 Ç = R: = + k., = + k., k Z 4. sin +.cos = denkleminin çözüm kümesini araştıralım? (Her iki tarafı ile bölelim. ). sin + sin =.sin4 çözüm kümesini bulunuz? (Çarpımı toplama çevirelim ) 4. tan + tan = tan denkleminin çözüm kümesini araştıralım? (tan = tan ( + ) yazıp açalım ) 5. cos.cos7 = cos.cos5 denkleminin çözüm kümesini araştıralım? (Çarpımları toplama çevirelim). sec + tan = 0 denkleminin çözüm kümesini araştıralım? (sec ve tan i sin ve cos cinsinden yazalım ) 7. sin + sin. cos - cos = 1 denkleminin çözüm kümesini araştıralım? (Cos =.cos + 1 ) 8. sin + cos =.cos (Cos i sinüs cinsinden yazıp, toplamı çarpıma dönüştürelim.) 9. 4.cos = cot çözüm kümesini bulunuz? 1

( cot i sin ve cos cinsinden yazalım ) 9..sin = 1 + cosec [ 0, ] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz? (cosec i sin cinsinden yazalım ) 10. sin 1 0 0 = cos arasındaki çözüm kümesin i bulunuz? ( sin( + ) = - sin ve cos = sin(90 - ) kullanılacak ) GENEL SORULAR cos 1 1. = [ 0, ] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz? 8. 1 1 8 cos + sin = denklemini sağlayan en küçük açı nedir?. cos + cos = sin + sin denklemini sağlayan en küçük açı nedir? 4. 4 Sin Cos Sin = denkleminin ( ) 0, aralığındaki en büyük kökü nedir? 5. 4 4 Cos Sin Cos Sin = 1 denkleminin çözüm kümesi?. her iki tarafta yazılabilir. Sin Sin + = denkleminin çözüm kümesi? Sin + Sin = ( Sin + Cos ) yazılıp Sin. Cos Cos ' e bölünebilir veya Sin ( ) Sin Cos Cos Sin Cos. +. = = 0 şeklinde de 1

Özel Sorular : 1. a + b + c = iken a b c 1 + Sin. Sin. Sin 4. a b c = tan.tan.tan Sina + Sinb + Sinc olduğunu gösteriniz?. Sin + Siny = 1 ve Cos. Cosy = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 4 + y y Sin + Siny =. Sin. Cos = 1 ise, + y 1. Sin Cos y = dir. Cos. Cosy = 1 ( Cos ( + y) + Cos ( y) ) = 4 4 Cos ( + y) + Cos ( y) = dir. + y y 1 Sin. Cos Yarım Açı Buradan ( ) ( ) Sin + y = a Cos y = b dersek, 1 a. b ve b a 4 = = olarak bulunur. 1 4 1 = 4 1 = 0 1 4 + 1 = 0 bulunur. a ( Sanal Kök vardır ) ( )( ) b a a a a a bulunarak çözümü yapılır. = a = 1 a = 1 4 14

Dosya adı: TRIGONOMETRIK DENKLEMLER Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET\TRIGONOMETRI Şablon: C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Normal.dotm Başlık: SÜRE D E R S N O T U 11 Konu: Yazar: EGESU Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: 09.01.017 1:17:00 Düzeltme Sayısı: Son Kayıt: 09.01.017 1:17:00 Son Kaydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 1 Dakika Son Yazdırma Tarihi: 09.01.017 1:18:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 14 Sözcük Sayısı: 1.40(yaklaşık) Karakter Sayısı: 9.49(yaklaşık)