EN KISA YOL PROBLEMİNDE ÇİZGE PARÇALAMA YÖNTEMİ KULLANILARAK YENİ BİR YAKLAŞIM Eskişehir Osmagazi Üiversitesi, İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Özet Bu çalışmada ilk olarak çizge kuramıı temel kavramları verilmiş, e kısa yol problemi taıtılmış ve ayrıca çizge parçalama içi Kerigha Li algoritması ele alımıştır Asıl amaç olarak, e kısa yol problemi içi çizgeyi Kerigha Li algoritması kurallarıa göre işlemcilere ayıra ve böylelikle problem içi çizgeyi başlagıç ve bitiş oktalarıı ele ala bir zicir çizge formua döüştürerek e kısa yolu bula bir yaklaşım ortaya koulmuştur Her parça içide amaç düğümler arasıdaki e kısa rotayı bula parça içi e kısa yollar hesaplamaktadır ANAHTAR KELİMELER Çizge, Çizge Parçalama, E Kısa Yol Problemi Bu çalışma yazarı DEÜ SBE Ekoometri BD da tamamlamış yüksek lisas tezide alımıştır Ayrıca bir bölümü YA/EM-2000 de suulmuştur 99
AN APPROACH FOR THE SHORTEST PATH PROBLEM: DEALING WITH GRAPH PARTITIONING Eskişehir Osmagazi Uiversity, Faculty of Ecoomic ad Admiistrative Scieces Abstract As a startig poit of this study, basic cocepts of graph theory, shortest path problem, ad Kerigha Li algorithm are preseted for graph partitioig problem Mai aim is to preset a approach which solves the shortest path problem by usig the graph partitioig techique i regard with the rules of Kerigha-Li algorithm; therefore it becomes to a chai graph dealig with the startig ad the target odes of the problem The shortest paths are calculated i order to provide the shortest route betwee the objective odes i all the processors KEY WORDS Graph, Graph Partitioig, Shortest Path Problem 00
GİRİŞ Geometride (x,y) ikilileri ile belirlee oktalar bir koordiat sistemide işaretleebilir (x,y) oktalarıı değişmesi soucu ortaya çıka ya bir doğru ya da bir eğridir Kısaca çizge (graph) adı verile bu doğru ya da eğriler, çizge teorisii temel öğeleridir Bir doğrusal programlama problemide, problemi amaç foksiyouu e elverişli kıla çözüm kümesii buluması ile modeli kayaklarıda e iyi bir düzeyde yararlamaı sağlaması birbirie eşdeğerdir Bu yöüyle problemi çözümüde ve geliştirile kriterlerde çizgeler kuramı, ağ akışları, doğrusal programlama, dağıtım problemi ve matrisler iç içe görülmektedir Uygulama alaı, sayılamayacak kadar çok ola çizgeler kuramı, bugü, kedie özgü taım ve teoremleriyle ayrı bir matematik dalı olarak uygulamacıları hizmetidedir Ekoomi, işletme, istatistik, kimya, bilgisayar bilimleri, mühedislik, biyoloji gibi pek çok bilim alaıdaki çeşitli problemlerde; problemi elemaları ve buları birbirleriyle ola ilişkileri bir çizgeyle ifade edildiğide; çözüm çizge teorisi yardımıyla çoğu kez daha kolay buluabilmektedir Bir çizge parçalama problemide parçalarıa ayrılmış gruplar arasıdaki, yai işlemciler arasıdaki iletişim zamaıı az olmasıı yaıda hesaplama yüküü de degelemesi gerekir Algoritmalar, bir komşu düğümü diğer bir işlemciye aktarılmasıyla çalışır "Kesim büyüklüğü" işlemciler arasıdaki atlama ayrıtlarıı ağırlıkları toplamıdır Bu işlem komşu düğümü diğer işlemciye geçmesi ile kesim büyüklüğüü e kadar değişeceğii tespiti içidir Bu tür ardışık algoritmalarda düğümler işlemciler arasıda devamlı yer değiştirdikleri içi, çizge, bir hesaplamada diğerie geçerke arta bir ivme ile değişir Bu hesaplamalar sırasıda işlemcilere düğümler ve dolayısıyla kirişler ekleir ya da çıkarılır Bu tekrarlı bir işlem izleye algoritmalara literatürde diamik algoritmalar deir Bütü bu ardışık algoritmalar istedikleri girdi tipie göre farklılık gösterirler (Fjalström, 998) Kou ile ilgili yazıda pek çok öcü çalışma vardır Öreği, Fiduccia ve Mattheyses (982), bir iterasyou O(E) operasyo zamaı aldığı, Kerigha ve Li i (KL) algoritmasıda esilemiş, Fiduccia ve Mattheyses (FM) algoritmasıı hazırlamışlardır KL metodu çizge parçalama bölümüde tam olarak ele alıacaktır FM metodu da KL metoduda olduğu gibi bir iterasyo sırasıda kesim büyüklüğüdeki kazacı pozitif olduğu e iyi ikiye parçalama işlemii gerçekleştirir Acak, düğüm çiftleri seçmektese FM metodu düğümleri tek olarak seçer Bu, iterasyou her adımıda, kesim büyüklüğüü e fazla azalta işaretlememiş bir düğümü N ve N 2 de sırayla seçilmesi içidir FM 0
metodu, keyfi parça sayısı ve de ağırlıklı düğümlerle çalışmak üzere geliştirilmiştir Rollad, Pirkul, ve Glover (996), çizgeyi ikiye parçalamada bu metodu başarılı bir şekilde kullamışlardır İlk olarak degelemiş bir şekilde belirlemiş iki işlemcide başlaır ve daha iyileri iterasyolu bir şekilde araştırılır Her bir iterasyo esasıda bir düğüm seçilir ve diğer işlemciye geçirilir Geçişte sora, düğüm tabu listesi e alıır Geçiş souda kesim kirişleri ağırlığı azalıyorsa, bu parçalama o esadaki e iyisi olarak kayda alıır Belli sayılardaki geçişlerde sora daha iyi bir kesim kirişleri ağırlığı toplamı buluamazsa bu parçalama o esadaki e iyisi olarak kayda alıır Belli sayıdaki geçişlerde sora daha iyi parçalama buluamaz ise algoritma degesizlik faktörü ü arttırır Bu faktör iki parça arasıdaki esas farkı limitler Başlagıç olarak bu faktör sıfır olarak kurulur Düğümleri tabu listesie soka geçişler o aki e iyi parçalamada bir gelişme sağlarsa, geçişie izi verilir Algoritma bütü izi verilmiş geçişler içi, kesim büyüklüğüde e büyük azalışı sağlaya bu yer değiştirmeleri sağlar Rollad, Pirkul, ve Glover deeysel olarak kedi algoritmalarıı Kerigha-Li ile karşılaştırmış ve de zama ve çözüm kalitesi açısıda daha iyi souç verdiğii bulmuştur Bui ve Moo (996), geetik bir algoritma geliştirmişlerdir Bir geetik algoritma (GA) popülasyo adı verile bir kromozomlar (çözümler) kümesi ile başlar Bu popülasyo bir durma şartı sağlaaa kadar birçok jeerasyolar meydaa getirir Yei bir jeerasyo mevcut popülasyoda bir ya da daha çok kromozom çiftii seçilmesiyle elde edilir Bu seçim olasılıksal seçim şeması tabalıdır Çaprazlama operasyou herbir çifti evlat meydaa getirmesi yai soyuu devam ettirmesi içi birleştirilmesidir Souç olarak bir yerleştirme şeması kullaılır Bu, hagi popülasyo üyeleriyle hagi evlatları yer değiştirdiğii göstere şemadır Buu yaıda pek çok araştırmacı çizge parçalama içi geetik algoritmalar geliştirmişlerdir Bular arasıda Berger ve Bokhari (987), bir geometrik algoritmaı e temel örekleride biri ola recursive coordiate bisectio (RSB) algoritmasıı tasarlamışlardır Miller, Teg, Thursto ve Vavasis (993), d-boyutlu bir çizgeyi (düğümleri d-boyutlu bir uzaya yerleştirilmiş bir çizgeyi) ikiye parçalaya bir algoritma tasarlamışlardır Pothe, Simo, ve Liu u (990), geliştirdikleri Recursive Spectral Bisectio (RSB) metodu, çizgedeki Laplace matrisii ikici e küçük özdeğerie uya özvektörü kullaır (Laplace matrisi L=D-A, D düğüm 02
derecelerii göstere diagoal matris, A ise bitişiklik matrisidir) Fiedler vektörü adı verile bu özvektör çizge hakkıda öemli bilgileri barıdırır Fiedler vektörüü koordiatları arasıdaki fark, ilgili düğümler arasıdaki mesafe hakkıda bilgi sağlar Böylece RSB metodu düğümleri Fiedler vektörü koordiatlarıı sıırları bakımıda çizgeyi ikiye böler RSB çizgeyi dörde ya da sekize parçalamayı ve de düğüm ve kiriş ağırlıklarıı da gözöüe alarak çözüm verebilecek şekilde tasarlamıştır Araştırmacılar çizge parçalama içi paralel algoritmalar da geliştirmeye başlamışlardır Buu sebebi bazı ardışık algoritmalar yüksek kaliteli parçalar verirler fakat yavaştırlar Böyle bir algoritmayı paralelize etmek hesaplama hızıı arttırabilir Acak, çizge çok büyükse veya bir paralel algoritma tarafıda meydaa getirilmişse ardışık parçalama algoritması etkisiz olacak ve uygulamak mümkü olmayacaktır (Fjallström, 998) Gilbert ve Zmijevski (987), bir çizgeyi ikiye parçalamak içi e eski paralel algoritmalarda birii hazırlamışlardır Bu algoritma KL algoritması temellidir ve de herbir iterasyoua {N,N 2 } parçaları girdi teşkil ede birtakım iterasyolarda oluşur Bu ikiye parçalama işlemcileri {P,P 2 } şeklide degelemiş bir parçalamadır Eğer vn 2 ise v düğümüü bütü komşu düğümleri P i dâhil olduğu işlemcide depolaır Walshaw, Cross ve Everett (997), çizgede tekrarlı parçalama yapabile iterasyolu bir algoritma vermişlerdir (JOSTLE-D yazılımı) Bu algoritma ilk olarak komşu parçalar arasıda e kadar ağırlığı trasfer yapılacağıı belirler Daha sora işlemciler arasıda iterasyolu bir düğüm alış-veriş safhasıa geçer Schloegel, Karypis ve Kumar (997), çokaşama yaklaşımı temelli ardışık ve paralel tekrarlı parçalamalı algoritmalar sumuşlardır Bu çalışmada öce çizge parçalaması ile ilgili literatür gözde geçirilmiş, ardıda çizgeler kuramıı uygulama alalarıda biri ola e kısa yol problemi ele alımıştır Sorasıda souca çizge parçalama metodu kullaarak ulaşa bir e kısa yol problemi algoritması suulmuştur Bu algoritmada, zicir çizge yapısı elde edilebildiği durumlarda, bu yapıı parçalamış gruplar arasıda geçiş yapılırke sadece ardışık gruplar arası geçişe izi vermesi sayeside, sadece atlama düğümleri işleme tabi tutulacaktır Bu algoritma işleme tabi tutula daha az düğüm sayısıda ötürü zama ve işlem sayısıda büyük orada tasarruf sağlamaktadır 03
2 ÇİZGE TEORİSİ N ile E ayrık iki küme (N ) olmak üzere, bir G çizgesi (N,E) ikiliside oluşur ve G=(N,E) yazılır N i v i, (i=,2,3,,) elemalarıa da G i düğümleri ve E i a k, (k=,2,3,,m) elemalarıa da G i kirişleri deir Herbir a k kirişii iki v i ve v j düğümlerie eşleye bir g bağıtısı vardır ve bu g(a k )=(v i,v j ) biçimide gösterilir Buradaki (v i,v j ) bir sıralı ikili ise a k bir yölü kiriş, sıralı ikili değil ise a k bir yösüz kiriş adıı alır Tüm kirişleri yölü ola bir çizgeye yöledirilmiş çizge ve tüm kirişleri yösüz ola bir çizgeye yöledirilmemiş çizge deir Bir G çizgesii bir a k kirişi içi g(a k )=(v i,v j ) ise v i ve v j düğümlerie a k kirişii uç düğümleri ya da so oktaları deir Bir kirişi uç düğümleri durumuda ola iki düğüme bağlatılı düğümler, birer uç düğümleri ortak ola kirişlere bağlatılı kirişler adı verilir İki uç düğümleri çakışık ola bir kirişe bukle deir E kısa yol problemi aslıda bir doğrusal programlama problemidir Bu şöyle ispat edilebilir; v de v e gide e kısa yol belirlemek isteiyorsa ve eğer v i ve v j oktaları bir kirişle birleştirilmiş ise q ij uzuluklu yollar takımı oluşturulur Eğer v i ve v j oktaları bir kirişle birleştirilmemiş ise q ij =+ yazılabilir Buklesiz herhagi bir ağda v de v ye gide yollarda herbiri ( v, v,, i v, i v k ) biçimide ifade edilebilir Eğer (v i,v j ), ye ait ise, 2 sayıda ola ve 0x ij (i,j=,2,,) ile taımlaa x ij sayılarıı birleştirile takımı bire eşitleir ve aksi halde yai (v i,v j ) ye ait değilse sıfıra eşitleir Bu halde v ve v arasıdaki e kısa yolu bulma problemi; a) 0x ij (i,j=,2,,), b) ( x ) 0 ;(i, i), j ij x ji c)( x j x j ) = j d) ( x j x j ) = - j 04
koşulları altıda, v de v ye gide yolu uzuluğu ola, z= q x ij ij i j doğrusal ifadesii miimum yapa tam sayılı çözümüü bulmaktır Yai x ij yi belirtmektir v ve v arasıdaki herhagi bir ( v, v,, i v, i v k ) yoluu x ij ye (i,j=,2,,) karşı gele belirli kümesi yukarıdaki koşullarıı sağlar Buu ispatı şöyledir: (v i,v j ) düğümleri yolua ait ise x ij = ve ait değilse x ij =0 alıması gereke bir büyüklük olarak taımladığıda 0x ij (i,j=,2,,) olup a koşulu sağlamaktadır b koşulu, ( x ) 0 (i, i) idi Bu koşul, j ij x ji ( x i x i ) ( xi2 x2i ) ( xi xi ) 0 biçimide (i=2,3,,-) içi ayrı ayrı yazılarak (-2) tae deklem oluşturur Bu deklemlerde herbiri yoluu ilk ve so oktaları hariç v,v 2,,v -,v takımıı sabit bir v i düğümü içi yazılmış ve yie bu deklemlerde herbiri x ij ve x ji leri kapsaya, birii başlagıcı ve diğerii sou v i de bulua iki kirişe karşılık gelmektedir Eğer v i oktası yolua ait değil ise, burada (v i,v j ) ve (v j,v i ) kirişleride hiçbirisi ye ait olamaz ve bu edele x ij =x ji =0 (j=,2,,) olur Burada da ( x ij x ji ) =0 yazılır j c ve d koşulları, yolu v uç oktalı tüm kirişleride sadece birii kapsadığı (yai ilk kiriş yolua ait) ve ayı biçimde yie yolu v uç oktalı tüm kirişleride sadece birii kapsadığı (yai so kiriş yolua ait olduğu) dikkate alıırsa b koşulua bezer düşüceleri bir soucu olduğu görülür Burada doğrusal programlama problemii her bir tamsayılı çözümüü belirlediği x = x == = biçimideki bir sayı kümesii bir j j j 2 x j yolua karşılık olduğuu göstermek gerekir j x =+ j x j j deklemide de alaşılacağı gibi e az bir tae x = vardır (Bu ise ilk j 05
kirişi yolua ait buluduğuu bir ifadesidir) Bezer olarak, x j j x jj ifadeside de alaşılacağı gibi hiç olmazsa x j j 2 j = j = ola e az bir elema vardır Bu şekilde ilerleyerek bir dizi oluşturulur Bu dizi ise acak v uç oktasıda souçladırılır Ayrıca herhagi bir v s düğümüde ( x sj x js ) 0 eşitliği elde edilir j Görüldüğü gibi e kısa yol problemi, bir doğrusal programlama problemie döüştürülebilmektedir Acak bu problemi simpleks yötemle çözümü, koşulları özelliklerie bağlı olarak, çok uzu işlem zamaı alabilir Pratikte bir çizgede istee bir başka çözüm de, e kısa ikici, üçücü yollardır Buu sebebi, probleme başka kriterler de katıldığıda, bu e kısa yollar arasıdaki, bu kriter çerçeveside e elverişli yolu bulumak istemesidir E kısa yol problemlerii çöze, Ford, Floyd, Bellma- Kalaba, Dijkstra gibi algoritmalar bilimektedir Başlagıç "s" ile "t" düğümleri olarak taımlaa düğümler arasıdaki e kısa yol problemi içi e etkili algoritmalarda biri Djkstra algoritmasıdır Metot düğümlere geçici etiketler vererek çalışır Bir düğümdeki etiket, s de o düğüme ola yolu üst sıırıdır Bu etiketler sürekli olarak iterasyolu bir prosedür izleyerek üretilirler Her iterasyoda bir geçici etiket sabit etikete döüşür ve bu etiket artık üst sıırı değil, s de o düğüme ola e kısa yolu verir Sabitlee etikete "+" üst idisi verilir 3 ÇİZGE PARÇALAMA İÇİN ALGORİTMALAR Verile bir G=(N,E) çizgeside (N ağırlıklı düğümleri kümesi, ve E de ağırlıkladırılmış kiriş kümesi olmak üzere) N i p alt kümesi N, N 2,,N p içi p U i Ni N ve N i N j ij ise Bu bir düğümü birde fazla grup (işlemci) içerside yer almadığı alamıa gelir W(i) W/p i=,2,,p W i ve W sırasıyla N i ve N i düğüm ağırlıkları toplamıdır Bu, sistemi yüküü işlemciler arasıda yaymak ve degelemek alamıa gelir 06
Bu alt kümeler arasıdaki geçişi sağlaya kirişleri (kesim kirişlerii büyüklüğü) ağırlıkları toplamı miimum olmalıdır Bu, işlemciler arasıdaki iletişimi miimum tutmak alamıa gelir Herhagi bir {N i N : i p} kümesi, birici şartı sağlarsa, bu p-yollu parçalama olarak adladırılır Her bir N i çizgei bir parçasıdır Bir bisectio (ikiye parçalama) 2-yollu parçalamadır İkici durumu sağlaya parçalamaya da degelemiş parçalama deir Şekil- de 4-yollu degelemiş parçalama çizge üzeride gösterilmiştir Şekil- (4-yollu Degelemiş Parçalama) G=(N,E) çizgesii ikiye parçalamak iki yolla yapılabilir Biricisi E i e küçük altkümesi ola E s yi E de ayırarak, G çizgesii, N N 2 =N olmak üzere her biri N ve N 2 düğümlerie sahip G ve G 2 alt çizgesie bölmektir N ve N 2 eşit büyüklüktedir E s içideki kirişler N içideki düğümleri N 2 içideki düğümlere bağlarlar E s kaldırılırsa çizge ikiye parçalaır N ve N 2 arasıdaki tüm bağlatılar kopar E s kiriş ayrıştırıcısıdır Bir çizgeyi parçalamaı diğer bir yolu da N s kümesii yai düğüm ayrıştırıcılarıı bulmaktır N i bir altkümesi ola N s i ve tüm bağlı kirişlerii çizgede kaldırılması çizgeyi birbirie bağlatısız iki G ve G 2 alt çizgesie böler Diğer bir deyişle N=N NsN 2 dir N ve N 2 yie eşit büyüklüktedir ve buları hiçbir kiriş birbirie bağlamaz Kısaca çizge parçalamak içi çizgede, çizgeyi parçalamak içi düğüm grupları ya da kirişler çıkartılır Eğer kiriş çıkartılarak çizge parçalarıa bölüüyorsa bu kirişler kesim büyüklüğü olarak adladırılır (Berkeley(996)) 4 KERNIGHAN-LIN ALGORİTMASI Kerigha-Li ilk çizge parçalama metotlarıda birii tasarlamışlardır ve birçok bölgesel gelişim metodu Kerigha-Li metoduu bir varyasyoudur Öcelikle çizge rastsal olarak eşit iki parçaya bölüür Bu iki parça algoritmaı girdileridir Kerigha-Li kesim büyüklüğüü azaltmaya yöelik, farklı parçalarda bulua düğüm çiftlerii ardışık olarak yer değiştirir 07
{N,N 2 } G=(N,E) çizgesii iki parçası olsu (burada düğüm ağırlıklara olarak varsayılmıştır) Her bir vn içi şu taımlamalar yapılır; it(v)= w ( v, u) ; ext(v) = w ( v, u) ( v, u) E, P( v) P( u) ( v, u) E, P( v) P( u) it(v), v düğümüü kedi işlemcisi içideki düğümlere bağlaya kirişleri ağırlıkları toplamıdır ext(v) ise, v düğümüü diğer işlemcilere bağlaya kirişleri ağırlıkları toplamıdır P(v), v düğümüü buluduğu parçadır w(v,u) ise(v,u) kirişii ağırlığıdır Çizgede toplam kesim ext ( v) dir v düğümüü buluduğu parçada diğer büyüklüğü vn parçaya taşımasıyla elde edile kazaç g(v)=ext(v) it(v) formülüyle hesaplaır Böylece g(v)>0 olduğuda, v i yer değiştirilmesiyle kesim büyüklüğü g(v) kadar azalır v N ve v 2 N 2 içi g(v,v 2 ) v ve v 2 düğümlerii N ve N 2 arasıda yer değiştirilmeside elde edile kazaç olsu Bu kazaç; g ( v) g( v2 ) 2w( v, v ) eger 2 ( v, v2 ) E g(v, v2) = g( v) g( v2 ) dd ile formülleştirilir Bu, v ve v 2 düğümleri yer değiştirilirse, kesim büyüklüğüde elde edilecek azalışı (kazacı) verir Herhagi bir iterasyoda, bu kazaç değerii yai kesim büyüklüğüdeki azalışı e büyükleye düğüm çifti yer değiştirilir Kerigha-Li algoritmasıı bir iterasyou şöyledir İterasyoa girdi degelemiş (düğüm ağırlıkları eşit) ola {N,N 2 }parçalarıdır İlk olarak, düğümleri tekrar adladırılabilmesi içi bütü düğümleri işaretleri kaldırılır Sora aşağıdaki prosedür kere tekrarlaır (= mi( N, N 2 ) ) g(v,v 2 ) yi pozitif yapa (fakat ister istemez pozitif olmayabilir) v N ve v 2 N 2 işaretsiz düğüm çifti buluur v ve v 2 işaretleir ve geriye kala bütü işaretsiz düğümleri g değerlerii v ve v 2 yi yer değiştirilmiş gibi gücelleir Sadece v ve v 2 i komşularıı g değerlerii gücellemesi yeterlidir Bu işlemlerde sora sıraya sokulmuş düğüm çiftleri listesi oluşur j i i ( v, v2 ), i=,2,, i i g( v, v2 ) yi maksimum yapa j ideksi i buluur Eğer toplam pozitif ise ilk j adet düğüm çifti yer değiştirilir ve KL algoritmasıı başka bir iterasyouyla devam edilir Aksi halde algoritma durdurulur Kerigha-Li metoduu tek bir iterasyou e 3 O N kadar zamaa ihtiyaç duyar fazla 08
5 EN KISA YOL PROBLEMİNİN ÇİZGE PARÇALANIŞI İLE ÇÖZÜMÜ Taım-: G=(N,E) birleştirilmiş, katlı kirişsiz, buklesiz ve yöledirilmiş bir çizge olsu Böyle bir G çizgesii bitişiklik matrisi ola A matrisi aşağıdaki biçimde taımlaır (Buckley, Harary (990)) a ij 0 i tepesi j tepesi e bir kirisle bitisik i tepesi j tepesi e bir kirisle bitisik deg il Taım-2: G bir basit yöledirilmiş çizge olsu G i A bitişiklik matrisi aşağıdaki biçimde yazılabiliyorsa G çizgesie zicir çizge deir Burada A,A 2,,A m boyutlu kare alt matrisler olup sırasıyla G i G =(N,E ), G 2 =(N 2,E 2 ),,G m =(N m,e m ) alt çizgelerii bitişiklik matrisleridir Eğer G çizgesii kirişleri üzeride ağırlıklar (maliyetler) işaretlemişse G i C maliyetler matrisi ve A matrisi: A 0 A 0 0 B A 2 0 0 0 B 2 0 0 0 B m Am C D biçimide gösterilebilir (Düdar, Beşer, Düdar (2000)) Burada D, D 2,,D m sırasıyla G, G 2,,G m alt çizgelerii ağırlıklar matrislerii ve E, E 2,,E m- bu alt çizgeleri geçiş kirişlerii ağırlıklarıı içerir Verile ağ ı modeli ola çizge; KL algoritması ile k adet parçaya ayrılarak bir zicir çizge halie getirildikte sora; G çizgesideki bir v düğümüde başlayarak sırasıyla G 2, G 3,,G k- alt çizgeleride geçip G k çizgesii bir v 2 tepeside bite e kısa yolu bulma bu çalışmaı temelidir E D 2 E 2 E m D m Adım-: G çizgesii verile bir v düğümü ile başlaya ve G ile G 2 çizgesii (y i,z i ) kesim kirişlerii (y i ) düğümleri ile bite işlemci içi tüm (v,y i ) e kısa yolları Dijkstra algoritması ile hesapladıkta sora bütü bu yolları G 2 işlemcisie bağlaya (y i,z i ) kesim kirişleri her bir bulua (v,y i ) yolua ekleerek tüm (v,z i ) e kısa yolları buluur Adım-2: G 2 çizgeside z i düğümleri ile başlayıp G 2 ile G 3 çizgesii (t i,p i ) kesim kirişleride t i düğümleri ile bite işlemci içi tüm (z i,t i ) e kısa yolları Dijkstra algoritması ile hesapladıkta sora bütü bu yolları G 3 işlemcisie bağlaya (t i,p i ) kesim kirişleri her bir bulua (z i,t i ) yolua ekleerek (z i,p i ) e kısa yolları buluur Adım-k: G k- ile G k işlemcilerii kesim ayrıtlarıı so düğümleri ola q i düğümleri ile v 2 arasıdaki tüm (q i,v 2 ) yolları buluur 09
Adım-k+: v de v 2 e tüm bağlatılı yollar arasıdaki mi[(v,y i )+(y i,z i )+(z i,t i )+(t i,p i )+(p i,)+(,q i )+(q i,v 2 )] ( i /k) yolu hesaplaır Bu yol bütü işlemcilerde sırasıyla geçmek şartı ile e kısa yolu verir Geliştirile algoritma içi bir örek olarak aşağıdaki çizge ele alıırsa, çizge parçalama yötemi ile e kısa yol bu algoritma ile şu şekilde hesaplaabilecektir Bu hesaplamalar Borlad Delphi yardımıyla yazıla program ile elde edilmiştir v v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v0 v v2 v3 v x 0 3 6 3 v2 0 X 8 v3 8 X 25 25 v4 25 X 5 6 v5 5 X 0 5 8 v6 25 6 0 X 4 5 20 v7 3 5 4 X 24 3 v8 6 5 X v9 3 24 X v0 3 X 2 v 2 X 5 v2 20 5 X 0 v3 8 0 X Verile bu çizgede v 2 düğümü ile v 3 düğümü arasıdaki e kısa yolu bulma problemii ele alalım Bu çizge öce Kerigha-Li algoritmasıyla 4 parçaya bölümüş, ardıda geliştirdiğimiz algoritma bu çizgeye uygulamıştır Çizge 4 parçaya bölüdükte sora ağırlıklı bitişiklik matrisi aşağıdaki şekilde oluşur 0
v4 v2 v3 v8 v0 v6 v7 v v9 v5 v v2 v3 v4 X 25 6 5 v2 X 8 0 v3 25 8 X 25 v8 X 5 6 v0 X 3 2 v6 6 25 5 X 4 0 20 v7 3 4 X 3 24 5 v 0 6 3 X 3 v9 24 3 X v5 5 0 5 X 8 v 2 X 5 v2 20 5 X 0 v3 8 0 X 6 SONUÇ Çizge Kuramı kedie özgü taımları kullaarak fe bilimleri ve sosyal bilimleri pek çok problemlerii çözmede yaygı olarak kullaılmaktadır Problemleri çizgelerle sembolize edilmeleri ile problem daha sade bir görüüme kavuşur, böylece çözüme daha kolay ulaşılabilir Öceki çalışmalarda; diferasiyel deklemleri solu farklarla çözümleri gibi bazı, kare matrislerle çözüle problemleri çözümleride sparse matrislerle karşılaşılmakta; bu matrislerle yapılacak işlemleri süresii kısaltmak amacıyla matris yoğu alt matrislerie parçalamaktadır Bu çalışmada, e kısa yol problemii bağlatı matrisii sparse olduğu durumda - ki bu zicir çizgelerde karşımıza çıkmaktadır, matris, yoğu alt matrislerie parçalamış ve e kısa yol problemii çözümü içi bir algoritma üretilmiştir Bir problemi çözümüde kullaıla algoritmaı karmaşıklığı, ou, uygulaması mümkü ola maksimum adım sayısıdır Bu, işlem süresi ile doğru oratılıdır Çizgedeki düğüm sayısıı büyük olduğu durumlarda (N>000), çizgeye Djkstra Algoritması uyguladığıda, e kısa yol problemii çözümü içi yapılabilecek maksimum işlem sayısı N(N-)/2 olup, karmaşıklığı N 2 mertebesidedir Kerigha-Li Algoritmasıı karmaşıklığıı N 3 olduğu kayaklarda bilimektedir Bu çalışmada öerile algoritma N 5 karmaşıklıkta poliomsal bir algoritmadır Düğüm ve parça sayısıı büyük olduğu durumlarda çizge kolaylıkla zicir çizge formua getirilebilmekte ve işlem sayısı öerile algoritma yardımıyla azalmaktadır
KAYNAKLAR Berger, MJ, Bokhari, SH (987), A Partitioig Strategy for No- Uiform Problems across Multiprocessors, IEEE Trasactios o Computers, C-36:570-580 Berkeley, CS (996), Lectures Graph Partitioig I,II, HTTP, CS267, Ders Notları Buckley, F, Harary, F (990), Distace i Graphs, Califoria: Addiso-Wesley Pub Bui, TN, Moo, BR (996), Geetic algorithm ad graph partitioig, IEEE Trasactios o Computers, 45(7):84-855 Düdar, S, Beşer, MK, Düdar, P (2000), E Kısa Yol Problemii Çizge Parçalaışı ile Çözümü, Yöeylem Araştırması ve Edüstri Mühedisliği XXI Ulusal Kogresi Bildiriler Kitabı, 8 2 Fjalström, P (998), Algorithms for Graph Partitioig, Liköpig Uiversity Electroic Press Fiduccia, C, Mattheyses, R A (982), Liear time heuristic for improvig etwork partitios, 9 th IEEE Desig Automatio Coferece Gilbert, JR, Zmijewski, E (987), A parallel graph partitioig algorithm for a message-passig multiprocessor Iteratioal J of Parallel Programmig 6(), 427-449 Miller, GL, Teg, SH, Thursto, W, Vavasis, SA (993), Automatic mesh partitioig, I A George, R Gilbert, ad JWH Liu, editors, Graph Theory ad Sparse Matrix Computatio, volume 56 of The IMA Volumes i Mathematics ad its Applicatios, 57-84 SprigerVerlag Pothe, A Simo, HD, Liu, KP (990), Partitioig sparse matrices with eigevectors of graphs, SIAM J o Matrix Aalysis ad Applicatios (3), 430-452 Rollad, H Pirkul, Glover, F (996), Tabu search for graph partitioig, A Oper Res, 63, 209-232 2
Schloegel, K, Karypis, G, Kumar, V (997), Parallel multilevel difusio schemes for repartitioig of adaptive meshes Techical Report 97-04, Uiversity of Miesota, Departmet of Computer Sciece Walshaw, C, Cross, M, Everett, MG (997), Parallel dyamic graph-partitioig for ustructured meshes Techical Report 97/IM/20, Uiversity of Greewich, Cetre for Numerical Modellig ad Process Aalysis 3
4