48
Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri veya ifadeleri yazınız. a) b) f (x, y) = 100y x 100 12 f (12,8) = = 150 8 V (h,r ) = πr 2 h V (2,4) = (3.14159)(4 4) 2 = 100.531 = 32π 49
50 BÖLÜM 5. DERS 05 c) ç) d) e) 2. Soru 2 B(A,r, t) = A + Ar t B(100,0.06,3) = 100 + 100 0.06 3 = 118 B(A,r, t) = Ae r t B(100,0.06,3) = 100 e 0.08 10 = 100 e 0.8 = 222.554 G(x, y) = 5x 2 + 6x y 4y 2 + 2x + 3 G(1,2) = 5(1 2 ) + 6(1)(2) 4(2 2 ) + 2(1) + 3 = 5 + 12 16 + 2 + 3 = 4 G(x + h, y + k) = 5(x + h) 2 + 6(x + h)(y + k) 4(y + k) 2 + 2(x + h) + 3 f (x + h, y, z) f (x, y, z) h f (x, y, z + t) f (x, y, z) t = 5x 2 10xh 5h 2 + 6x y + 6xk + 6yh + 6hk 4y 2 8yk 4k 2 + 2x + 2h + 3 f (x, y, z) = 2x y 2 z 3 = 2(x + h)y 2 z 3 h = 3x y 2 z 3 + 2hy 2 z 3 2x y 2 z 3 h = 2hy 2 z 3 h = 2y 2 z 3 = 2x y 2 (z + t) 3 2x y 2 z 3 t = 2x y 2 (z 3 + 3z 2 t + 3zt 2 + t 3 ) 2x y 2 z 3 t = 2x y 2 z 3 + 2x y 2 (3z 2 t + 3zt 2 + t 3 ) 2x y 2 z 3 t = 2x y 2 (3z 2 + 3zt + t 2 ) Ambalaj işi yapan bir şirkette Şekil 5.1 de görüldüğü gibi iki bölmeli, üstü açık bir kutu üretilmek istenmektedir. Kutunun boyutları x, y ve z ile gösterilirse, bu kutunun yapılması için gereken malzemenin toplam alanını
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 51 x, y, z nin fonksiyonu olarak A(x, y, z) biçiminde ifade ediniz ve bu fonksiyon için,a(10,12,6) değerini bulunuz. Çözüm: Şekil 5.1: kutu 3. Soru 3 A(x, y, z) = x y + 2(x + y)z + yz = x y + 2xz + 3yz A(10,12,6) = 120 + 2(22)(6) + 12(6) = 456 Bir şirket, 5 raflı ve 3 raflı kitaplıklar üretmektedir. Bir 5 raflı kitaplığın satış fiyatı p TL, bir 3 raflı kitaplığın satış fiyatı q TL; 5 raflı kitaplıklar için haftalık talep x adet, 3 raflı kitaplıklar için haftalık talep y adet ve ayrıca haftalık gider M = M(x, y) olmak üzere fiyat-talep ve gider fonksiyonları p = p(x, y) = 460 9x + 2y, q = q(x, y) = 260 + x 8y, M = M(x, y) = 400 + 80x + 60y olarak veriliyor. Haftalık gelir fonksiyonu G = G(x, y), haftalık kâr fonksiyonu K = K (x, y) yi; G(20, 15)i ve K (20, 15) i bulunuz. Çözüm: G = G(x, y = px + q y = 460x 9x 2 + 2yx + 260y + x y 8y 2 = 460x + 260y 9x 2 + 3x y 8y 2
52 BÖLÜM 5. DERS 05 K = K (x, y) = G(x, y) M(x, y) = 400 + 380x + 200y 9x 2 + 3x y 8y 2 G(20,15) = 8(20 2 ) 6(15 2 ) 14(20(15) + 720(20) + 720(15) = 8600 K (20,15) = 5700 4. Soru 4 z = 2x 2 + y 2 nin grafiğinin a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemlerinden her biri ile kesişimini belirleyiniz ve grafikle gösteriniz, b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemlerinden her biri ile kesişimini belirleyiniz ve grafikle gösteriniz, c) z = 0, z = 1, z = 2 düzlemlerinden her biri ile kesişimini belirleyiniz ve grafikle gösteriniz. Bu grafiği çiziniz. Çözüm: Şekil 5.2 z = 2x 2 + y 2 yüzeyini gösteriyor. Bu yüzeyin; (i)) (a) y=0 düzlemi ile kesişimi (x,z) düzleminde z = 2x 2 parabolüdür. (x,y) düzlemi üç boyutlu uzayda z=0 düzlemidir. (b) y=1 düzlemi ile kesişimi (x,z) düzlemine paralel olan y=1 düzleminde z = 2x 2 + 1 parabolüdür. (c) y=2 y=0 düzlemi ile kesişimi (x,z) düzlemine paralel olan y=2 düzleminde z = 2x 2 + 4 parabolüdür. (ii)) (a) z=0 konulunca 2x 2 + y 2 = 0 = y 2 = 2x 2 olmalıdır. Sol taraf her gerçel y sayısı için daima pozitif, sağ taraf ise her gerçel x sayısı için negatiftir. Dolayısıyla bu koşulu sağlayan x,y gerçel sayıları yoktur. (b) z=1 düzlemi ile kesişimi (x,y) düzlemine paralel olan z = 1 düzleminde 1 = 2x 2 + y 2 = y 2 = 1 2x 2 eğrisidir. 1 2x 2 için tanımlıdır. (c) z=2 y=0 düzlemi ile kesişimi (x,y) düzlemine paralel olan z = 2 düzleminde 2 = 2x 2 +y 2 = y 2 = 2 2x 2 eğrisidir. 2 2x 2 için tanımlıdır.
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 53 Şekil 5.2: z = 2x 2 + y 2 yüzeyi 5. Soru 5 Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonların grafiğini çiziniz. a) z = 2x 2 + 3y 2, y = 0,1,2 Bakınız: Şekil 5.3
54 BÖLÜM 5. DERS 05 Şekil 5.3: z = 2x 2 + 3y 2
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 55 b) z = 1 + 2x 2 + 3y 2, x = 0,1,2 Bakınız: Şekil 5.4 Şekil 5.4: z = 1 + 2x 2 + 3y 2
56 BÖLÜM 5. DERS 05 c) z = 1 2x 2 3y 2, z = 0,1,2 Bakınız: Şekil 5.5 Şekil 5.5: z = 1 2x 2 3y 2 6. Aşağıda verilen fonksiyonlardan her biri için istenen kısmi türevlerini bulunuz.
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 57 a) f (x, y) = 5x 3 3x y 4 + 12 = z f x = ( 5x 3 3x y 4 + 12 ) = z dx [5x3 3x y 4 + 12] = 15x 2 3y 4 f y = ( 5x 3 3x y 4 + 12 ) = z = 12x y 3 f x y = f yx = 12y 3 = 2 z = 2 z f y y = 36x y 2 = 2 z 2 f x (1,2) = 15 48 = 33 f y (1,2) = 96
58 BÖLÜM 5. DERS 05 b) f (x, y) = x 2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15 = z f x = ( x 2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15 ) = z dx [x2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15] = 2x 4y + 5 f y = ( x 2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15 ) = z = 4x + 6y 8 f x y = 2 z = 4 = 2 z f xx = 2 z = 2 = 2 z 2 f y y = 2 z 2 = 6 = 2 z f x (1,2) = 1 8 + 5 = 1 f y (1,2) = 4 + 12 8 = 0 Ayrı ayrı hesap istenirse, aşağıdakiler yazılabilir: f (x, y) = z = 5x 3 3x y 4 + 12 f x = z x = z = 15x 2 3y 4 f xx = z ( ) f (x, y) = 2 z 2 = ( ) fx = 30x
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 59 a3) a3) a4) a5) f (x, y) = 5x 3 3x y 4 + 12 f y = ( 5x 3 3x y 4 + 12 ) d y [5x3 3x y 4 + 12] = 12x y 3 f (x, y) = 5x 3 3x y 4 + 12 f y y = ( ) f (x, y) = = ( ) f y d y [ 12x y 3 ] = 36x y 2 f (x, y) = 5x 3 3x y 4 + 12 f x y = ( ) f (x, y) = ( ) fx d y [15x2 3y 4 ] = 12y 3 f (x, y) = 5x 3 3x y 4 + 12 f yx = ( 12x y 3 ) = ( ) f y = dx [ 12x y 3 ] = 12y 3
60 BÖLÜM 5. DERS 05 a6) b) f x (1,2) = ( 15x 2 3y 4) x=1,y=2 = 15 3(16) = 33 f y (1,2) = ( 12x y 3) x=1,y=2 = 96 f (x, y) = x 2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15 f x = ( x 2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15 ) dx [x2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15] = 2x 4y + 5 f y = ( x 2 4x y + 3y 2 + 5x 8y + 15 ) = 4x + 6y 8 f x y = f yx = 4 f y y = 6 c) f x (1,2) = 2 8 + 5 = 1 f y (1,2) = 4 + 12 8 = 0 f (x, y) = e 2x+y 2 f x = 2x+y 2) (e dx [e2x+y 2 ] = 2e 2x+y 2 f y = 2x+y 2) (e = 2ye 2x+y 2 f x y = f yx = 4ye 2x+y 2 f y y = 2e 2x+y 2 + 4y 2 e 2x+y 2 f x (1,2) = 2e 6 f y (1,2) = 4e 6
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 61 c) f (x, y) = ( (x 3 x y 2 ) 2) = z f x = ( (x 3 x y 2 ) 2) = z ( (x 3 x y 2 ) 2) dx = 6x 5 2x 3 y 6x 3 y 2 + 2x y 4 f y = ( x 3 x y 2 ) 2) = 4x 4 4x 2 y 3 f x y = 2x 3 12x 3 y + 8x y 3 = f yx f y y = 4x 4 12x 2 y 2 d) f x (1,2) = 6 4 24 + 32 = 10 f y (1,2) = 4 64 = 60 f (x, y) = x y + y x f x = ( x y + y ) = z x dx [ x y + y x ] = 1 y y x 2 f y = ( x y + y ) x = x y 2 + 1 x f x y = f yx = x2 + y 2 f y y = 2x y 3 x 2 y 2 f x (1,2) = 3 2 f y (1,2) = 3 4
62 BÖLÜM 5. DERS 05 7. Soru 7 f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y fonksiyonu için aşağıdaki türevleri hesaplayınız: a) b) f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y f x = ( x 2 y 2 + x 3 + y ) dx [x2 y 2 + x 3 + y] = 2x y 2 + 3x 2 f y = 2x 2 y c) f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y f xx = 2 ( x 2 2 y 2 + x 3 + y ) = ( ) [x2 y 2 + x 3 + y] = ( ) fx dx [2x y 2 + 3x 2 ] = 2y 2 + 6x f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y f x y = ( ) f (x, y) = ( ) fx d y [2x y 2 + 3x 2 ] = 4x y
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 63 ç) d) 8. Soru 8 f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y f yx = ( ) f (x, y) = ( ) f y = ( 2x 2 y + 1 ) dx [2x2 y + 1] = 4x y f (x, y) = x 2 y 2 + x 3 + y f x = 2x y 2 + 3x 2 f y = 2x 2 y + 1 f x y = 4x y f yx = 4x y f y y = ( = ( ) f y = ) f (x, y) ( 2x 2 y + 1 ) d y [2x2 y + 1 = 2x 2 K (x, y) = x 2 + 2x y 2y 2 4x + 12y 5 fonksiyonu için istenen denklem sistemini sağlayan x ve y yi bulunuz. K x (x, y) = ( x 2 + 2x y 2y 2 4x + 12y 5 ) = 2x + 2y 4 K y (x, y) = ( x 2 + 2x y 2y 2 4x + 12y 5 ) = 2x 4y + 12
64 BÖLÜM 5. DERS 05 9. Soru 9 K x (x, y) = 2x + 2y 4 = 0 K y (x, y) = 2x 4y + 12 = 0 = x = 2, y = 4 Üçüncü alıştırmada bulduğunuz kâr fonksiyonu K (x, y) için K x (20,15) ve K y (20,15) değerlerini bulunuz; bu değerleri yorumlayınız. K = K (x, y) = 400 + 380x + 200y 9x 2 + 3x y 8y 2 K x (x, y) = 380 18x + 3y K y (x, y) = 200 + 3x 16y K x (20,15) = 380 360 + 45 = 65 K y (20,15) = 200 + 60 240 = 20 5 raflı kitaplık için haftalık talep 20 ise her bir 1 birimlik artış karda 65 birimlik artış sağlar. 5 raflı kitaplık için haftalık talep 15 ise her bir 1 birimlik artış karda 20 birimlik artış sağlar. 10. Soru 10 Bir şirketin ürettiği ürünün parasal karşılığı, x birim işgücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda yaklaşık olarak f (x, y) = 10x 0.65 y 0.35 denklemi ile ifade edilmektedir. a) Şirket şu anda 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye kullandığına göre marjinal işgücü verimliliğini ve marjinal sermaye verimliliğini bulunuz. b) 300 birimlik işgücü ve 250 birimlik sermaye kullanılırken işgücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleyiniz. Çözüm: a) Marjinal işgücü verimliliği: f x = 10(0.65)x 0.35 y 0.35 = f x (300,250) = 6.5(300 0.35 (250 0.35 6.098 Marjinal sermaye verimliliği: f y = 10(0.35)x 0.35 y 0.65 = f y (300,250) = 3.5(300 0.35 (250 0.65 3.94 b) Yukarıdaki eşitliklerden görüldüğü gibi, işgücü artarsa verimlilik daha çok artmaktadır.
5.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 05 65 11. Soru 11 Bir şirket her hafta gazete reklamları için x TL, televizyon reklamları için y TL harcamaktadır. Şirketin haftalık cirosu, x ve y ye bağlı olarak, S(x, y] = 10x 0.8 y 0.4 denklemi ile verilmektedir. S x (2000,1500) ve S y (2000,1500) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm: S x = 10(0.8)x 0.2 y 0.4 = S x (2000,1500) = 8(2000 0.2 (1500 0.4 326077 S y = 10(0.4)x 0.8 y 0.6 = f y (2000,1500) = 4(2000 0.4 (1500 0.6 1.03848 2000 birimlik gazete ve 1500 birimlik TV reklamı için marjinal gazete verimliliği 326.077 ve marjinal TV verimliliği 1.03848 birimliktir. Bu demektir ki, TV reklamları için y sabit tutulduğunda TV reklamlarındaki her birimlik artış verimlilikte 326.077 birimlik artış sağlayacaktır. Gazete reklamları için x sabit tutulduğunda gazete reklamlarındaki her birimlik artış verimlilikte 1.03848 birimlik artış sağlayacaktır. O halde TV reklamları verimlilikte daha çok artış sağlar. 12. Soru 12 w = f (x, y, z) = x yz x 3 + y 2 z 25 için aşağıdakileri bulunuz. w x = yz 3x 2 w y = xz + 2yz w z = x y + y 2 w x y = z w xx = 6x w zy = ( ) z [x yz x3 + y 2 z 25] = ( x y + y 2 ] ) = x + 2y w xzz y = ( x yz x 3 + y 2 z 25 ) z z = ( yz 3x 2 ) z z = ( ) y z = (0) = 0