YILDIZ TEKNİ K ÜNİ VERSİ TESİ İ N Ş T FKÜLTESİ İ N Ş T ÜHENDİ SLİĞİ BÖLÜÜ UKVEET Ders Ntları CİLT-I Prf. Dr. Turgut KOCTÜRK ' d d d d() ' d() ' d()
Knular. Giriş, Kavramlar, İlkeler. İç Kuvvet ve Gerilme Hali. Şekil Değiştirme Hali 4. Gerilme-Şekil Değiştirme Bağıntıları ( Hke Yasası ) 5. Şekil Değiştirme Enerjisi 6. Katı Cisimlerin Ekanik Öellikleri 7. Butlandırma 8. Çuuk ukavemetinin Esasları, Kesit Tesirleri, Eşdeğerlilik Bağıntıları 9. Eksenel Nrmal Kuvvet. Kesme Kuvveti. Basit Eğilme. Burulma. Kırılma Hipteleri.
FOR : DERS TNITI VE DEĞERLENDİRE Kdu: 4 Dersin dı: UKVEET I Öğretim Yılı Yarıılı Grup(lar) Dili Teri Ug. La. Kredi ECTS 7-8 Gü ---4 Türkçe 6 Dersin Türü Temel lan Dersi Ön Kşul Dersleri Statik 4 lan Dersi Seçimlik lan Dersi Ssal ve Beşeri Bil. Dersi Krdinatörü Yürütücü(ler) Prf. Dr. Faruk YÜKSELER Prf. Dr. R. Faruk YÜKSELER, Prf. Dr. Turgut KOCTÜRK, Dç. Dr. İrfan COŞKUN, Y. Dç.Dr. Zafer KÜTÜĞ, Y. Dç. Dr. şe ERDÖLEN macı Taşııcı sistemlerin utlandırılması ve emnietli larak taşınailecek maksimum kuvvetlerin hesaplanması. Dersin İçeriği Giriş, Kavramlar, İlkeler / İç Kuvvet ve Gerilme Hali / Şekil Değiştirme Hali / Kinematik Bağıntılar / Gerilme-Şekil Değiştirme Bağıntıları ( Hke Yasası ) / Şekil Değiştirme Enerjisi / Emniet Gerilmeleri / Çuuk ukavemetinin Esasları, Kesit Tesirleri, Eşdeğerlilik Bağıntıları / Eksenel Nrmal Kuvvet / Kesme Kuvveti / Basit Eğilme / Burulma / Kırılma Hipteleri. Kaandırdığı Bilgi ve Beceriler Dülemsel ve üç utlu cisimlerde gerilme ve şekil değiştirme analiinin apılması. Çuuk sistemlerde kesit tesirlerinin hesaplanması. Basit mukavemet hallerinde utlandırma ve şekil değiştirme hesaı. Yararlanılan Kanaklar. İNN,., Cisimlerin ukavemeti, İTÜ Vakfı, İstanul,.. BKİOĞLU,., Cisimlerin ukavemeti, Beta Yaınevi, İstanul,.. ÖZTÜRK,. Z., ÇĞDŞ, S., ukavemet, urat Ders Yaınları, İstanul, 98. 4. OURTG,. H., ukavemet, Birsen Yaınevi, İstanul, 5. Ödev ve Prje Knuları - Laratuvar Dene Knuları - Bilgisaar Yaılımları - Diğer Etkinlikler - BŞRI DEĞERLENDİRE SİSTEİ Terik Ders Prje Dersi ve Bitirme Çalışması dedi ğırlığı (%) dedi ğırlığı (%) Dönem İçi Sınavlar 6*(*.) Dönem İçi Sınavlar - Kısa Sınavlar - Dönem İçi Kntrller - Ödevler - ra Teslim - Laratuvar - Sölü Sınav - Diğer - Diğer - Final Sınavı 4 Final Sınavı -
FOR : DERSİN İŞLENİŞ PROGRI Kdu:, 4 Dersin dı: UKVEET I Yürütücü(ler). Hafta Giriş Kavramlar. İlkeler. Prf. Dr. R. Faruk YÜKSELER, Prf. Dr. Turgut KOCTÜRK, Dç. Dr. İrfan COŞKUN, Y. Dç.Dr. Zafer KÜTÜĞ, Y. Dç. Dr. şe ERDÖLEN.. Hafta İç kuvvet ve gerilme hali.. Hafta Şekil değiştirme hali. 4. Hafta Kinematik ağıntılar. 5. Hafta Gerilme-şekil değiştirme ağıntıları (Hke asası). 6. Hafta Şekil değiştirme enerjisi. Emniet gerilmeleri. 7. Hafta Çuuk mukavemetinin esasları. Kesit tesirleri. Eşdeğerlilik ağıntıları. 8. Hafta Eksenel nrmal kuvvet halinde gerilme ve şekil değiştirme. Eksenel nrmal kuvvet knusu kapsamındaki hiperstatik prlemlerin çöümü. Isı etkisi. Halkada iç asınç. 9. Hafta. Vie Sınavı. Hafta Kesme kuvveti halinde gerilme ve şekil değiştirme.. Hafta. Hafta. Hafta Basit eğilme. Dü eğilme. Eğik eğilme. Basit eğilme. Dü eğilme. Eğik eğilme. Burulma. Dairesel kesitli çuukların urulması. Dairesel kesitli lmaan çuukların urulması. İnce cidarlı açık kesitlerin ve ince cidarlı ölmeli kapalı tüp kesitlerin urulması. 4. Hafta. Vie Sınavı 5. Hafta Kırılma hipteleri.
KYNKlR.. İnan,: Cisimlerin ukavemeti, rı Kitaevi, 967... İnan,: Dülemde Elastisite Terisi, ataa Teknisenleri Basımevi, 969.. İ. Kaan,: Cisimlerin ukavemeti, İstanul Teknik Üniversite ataası, 987. 4..Bakiğlu, N. Kadığlu, H. Engin,: ukavemet Prlemleri, Beta Basım Yaım,998. 5. Z.Ötürk, S. Çağdaş,: ukavemet-teri ve Prlemler, urat Ders Yaıları,98. 6. T.Öek,: ukavemet, Birsen Kitaevi,99. 7. H. Bdurğlu, F.Delale, N. Gira,: Çöümlü ukavemet Prlemleri-Cilt I, Çağlaan Basımevi,974. 8. N.Yaman, R.Erdöl,. O. Çakırğlu: Çöümlü ukavemet Prlemleri I, Yüksekkaa ataası,979. 9. E.P. Ppv(Çeviri: H. Demira): ukavemet-katı Cisimlerin ekaniğine Giriş, Çağlaan Basımevi, 974.
UKVEETE GİRİŞ Prf. Dr. Turgut KOCTÜRK
ukavemetin Tanımı ukavemet, inşaat, makine, uçak, gemi mühendisliği ve eneri alanlarda karşılaşılan mühendislik apılarının kendilerine etkien çk çeşitli ükler altında görevlerini apacak şekilde utlandırılması srununa cevap veren ir temel mühendislik ilimidir. Butlandırma Kşulları Güvenlik (emniet) kşulu Eknmik lma kşulu Yapılacak göreve ugun lma kşulu Çelişkili gii görünen emniet kşulula eknmik lma kşulların anı amanda ve her irisini en üük ölçüde erine getireilme sanatı ise, elki de, alnı mukavemetin değil, mühendislik mesleğinin amacı larak nitelendirileilir. ukavemet, ütün knularını elirli ir amacı, genel deimi ile utlandırma amacını erine getirmek için inceler. alemeler İçin Baı Kauller Hmjenlik: Cismin fiiksel öelliklerinin krdinatlardan ağımsı lması öelliğine denir. Heterjenlik: Cismin fiiksel öelliklerinin krdinatlara ağımlı lması öelliğine denir. İtrpi: Cismin fiiksel öelliklerinin dğrultudan ağımsı lması öelliğine denir. nitrpi: Cismin fiiksel öelliklerinin dğrultua ağımlı lması öelliğine denir.
Elastik, Plastik, Elast-plastik Cisim ukavemette kullanılan ideal kavramlar arasında, tam elastik cisim ve tam plastik cisim sınırda lan iki cismi gösterir. Tam elastik öellik, cisimde şekil değiştirmenin dış etki ile irlikte geri dönmesi demektir Bunun tersine, tam plastik cisimde de dış tesirler rtadan kalktığı halde, aptıkları şekil değiştirme lduğu gii kalır. Yapıda kullanılan taii cisimler, genel larak, u iki ideal durumun arasında ulunur; ani dış etkiler geri dönerken, şekil değiştirmelerin ir kısmı geri döner, diğer kısmı ise kalır. Buna elast-plastik cisim adı verilir. Fkuvvet F F F uuama u u u a c d Tam elastik cisim Tam plastik cisim Elast-plastik cisim Dğrusal elastik cisim
Hke Kanunu 66 da Rert Hke tarafından kuvvet ne kadarsa uama da kadardır iaresi ile verilmiştir. Buna göre kuvvetle şekil değiştirme arasında lineer ir ağıntının lduğu kaul edilmektedir. Şekil değiştirme kanunu lineer lan cisimlere kısaca Hke cismi adı verilir. ukavemetin Prensipleri ) Katılaşma Prensii : Cismin ancak şeklini değiştirmiş, sn durumunun üerine, denge denklemlerinin ugulanaileceğini kaul eder. Yani katılaşma prensii rijit cisim mekaniği ile şekil değiştiren cisim mekaniğinin statikleri arasında ir köprü rlünü nar. ) ırma Prensii : Bir cismin mukavemet önünden durumunun incelenmesi için, haalen de lsa, nun küçük parçalara arılarak anali edilmesi gerekir. Buna aırma prensii denir. ) Eşdeğerlik Prensii F S S B a F B F Q B P a a F F P Q B
V V ' a a Birinci ertee Terisi: F F l l a Süperpisn Kanunu: V V B B B B' F V, VB l V V F VB' l ', ' Fa l Fa l V ve VB V B B s s' s c F s s' c' F a s' S F S ve S S Denge denklemleri er değiştirmiş knum müerinde aılırsa irinci mertee terisi, er değiştirmemiş knum üerinde aılırsa ikinci mertee terisi ile çalışılmış lur. s' s F B f ' B B f ' F F F B B B f ' a c f f f Süperpisnun geçerli lailmesi için maleme lineer elastik (Hke cismi) lmalı ve. mertee terisi çerçevesinde çalışılmalıdır.
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ EKNİK NBİLİ DLI UKVEET İÇ KUVVET VE GERİLE HLİ PROF. DR. TURGUT KOCTÜRK nimasnlar: Baki ÇĞLR 545
. Dış ve İç Kuvvet: Dış Kuvvet: İnceleme knusu lan cisme, diğer cisimlerin apmış lduğu etki larak tanımlanailir. Etki, cisimler dğrudan dğrua temas halinde iseler akın, aksi halde uak saılır. Cisimler arasında ulunduğu kaul edilen u etkiler, vea tepkiler elirtilmesi akımından iki önemli kategrie arılır. Dğrudan dğrua elirli dış kuvvetler: Bilinen verilmiş kuvvetlerdir, örneğin ağırlık kuvvetleri gii. Bağ kuvvetleri: Cisimlerin arasındaki ağlarda luşan kuvvetlerdir. Bunların elirtilmesinde ağın şekli ve denge fikri esas rlü nar. ekanikte ağ kuvvetlerine, çk aman, mesnet kuvvetleri vea kısaca reaksin adı verilir. İç Kuvvet: nı ir cismin, ihnen düşünülen çeşitli parçaları arasındaki etki ve tepkie verilen addır. ukavemette ir cismin tptan durumu hakkında ir fikir edineilmek için, cismi parçalara aırmak ve her parçaı, sanki diğerinden ağımsı, arı ir cisim larak düşünmek gerekmektedir; u işlemde, cismin parçalarından, irinden diğerine geçen tesirin hesaa katılması, iç kuvvet fikrini dğurmuştur. İç kuvvet, cismin parçalarını elirten aırma üei vea kesit kavramından arı larak düşünüleme. Bu aırma üeinin seçilen tarafına göre de, iç kuvvet elirli ir ön kaanır. Seçilen taraflarda değişiklik apılırsa iç kuvvet de önünü değiştirir. İç kuvvetin hesaında ve işaretlenmesinde u ıt önlü karakteri her aman gö önünde tutulmalı ve na hiçir aman elirli önlü ir vektör göü ile akılmamalıdır. P P P5 t II I P P4 t Şekil. P6 Şekil. de görülen cisim, üerine etkien dış kuvvetleri ile dengede ulunmaktadır; cismin t-t aırma üei ile I ve II parçalarına arıldığı düşünülsün. Hangi cisim parçasının, aşlı aşına ir cisim gii dengesi düşünülecek ise, na diğerinden geçen tesirin de, ir dış etki gii, hesaa katılması gerekir. rı arı dengesi ele alınan parçalar I ve II lduğuna göre kesitin ir tarafından diğerine geçen tesirlerin şiddeti anı kaldığı halde önü değişir, çünkü mekaniğin genel prensiine göre etki tepkie eşittir.
. Dış ve İç Kuvvet: Gerilme: İç kuvvetlerin esas öelliklerinden iri de, kesit üei unca sürekli ir tarda dağılı lmalarıdır. Yüee dağılı iç kuvvetin herhangi ir nktada dağılma şiddetini elirtmek için, civarda irim alana isaet eden değerinin verilmiş lması gerekmektedir, u şiddete gerilme denir. P P P5 P t P B II I I P P4 t P6 P P n aırma (Kesit) üei P4 Şekil. Şekil. Şekil. de gösterilen cisim parçası, Şekil. deki cismin t-t aırma üei ile ölünen I numaralı parçası lsun. Kesitin alnı ile gösterilen alan elemanına isaet eden iç kuvvet tutarı ile gösterilirse, u civarda gerilme vektörünün tarifi G P p lim (.) şeklinde apılır.
. Dış ve İçKuvvet: Gerilme: Gerilme vektörü genel larak aırma üeinin nrmalinden farklı ir dğrultuda lmaktadır; u seeple, eğik gerilme vektörü denir. Gerilme vektörüne ilişkin ileen kavramlar verileilir: p e Nrmal gerilme: Eğik gerilme vektörünün aırma üeinin nrmali dğrultusundaki idüşümüne nrmal gerilme adı verilir ve ile gösterilir. sal nrmal gerilme: p gerilme vektörü, n aırma üei nrmali vektörü ile çakışırsa ve p lur. Bu durumdaki gerilmesine asal nrmal gerilme adı verilir. Kama gerilmesi: ırma üei üerindeki idüşüme kama gerilmesi adı verilir ve ile gösterilir. B P n Şekil. Gösterilen u kavramları ir animasnda üç utlu larak canlandıralım.
. Gerilme Durumu: Gerilmenin ira önce verilen tarifinde, ir kesit alanı elemanının seçilmesi öngörülmüştür; una göre ir nktadan geçen, çeşitli dğrultulu üe elemanları düşünüleileceğinden, anı nkta için her defasında aşka ir gerilme ulunacaktır. Kısaca sölemek gerekirse n değiştikçe p gerilme vektörü na ağlı larak değişecek demektir. sıl prlem, u iki vektör arasındaki vektör fnksinunu elirtmektir. Sö knusu nkta civarında kenarları snsu küçük ir dört ülünün dengesini düşünülsün; üç farklı üe ait p, p ve p gerilmeleri verilmiş ise, denge esasından dördüncü üe ait gerilmesini unlar cinsinden hesaplamak mümkündür (Şekil.4). Bu açıklamadan anlaşılacağına göre, ir nktadaki, herhangi ir üe elemanındaki gerilmenin elirtilmesi için snlu saıda üüklük vermek etecektir. Verilmesi gerekli üüklükler, p, p, p gii üç vektör vea unların ileşenleri lan dku skalerden iarettir. rtık ukarıda söü geçen vektör fnksinu için p f ( p, p, p) gii ir ifade verileilir. Denge denklemleri kuvvetlere göre lineer lduğu için f fnksinu da lineer ir vektör fnksinudur. P c P n P a Şekil.4 P d Gösterilen u kavramları ir animasnda üç utlu larak canlandıralım.
. Gerilme Durumu: ukavemette ir nktadan geçen ütün üe elemanlarındaki gerilmeleri elirtmek için verilmesi gerekli değerlerin hepsi irden tek ir üüklük larak düşünülür ve adına nktanın gerilme hali denir. Bu tarife göre, gerilme hali, dku krdinatlı ir üüklük lur demektir; vektörden karakter itiarıla farklı lan u eni tip üüklük gerilme tansörü adını alır. Yine denge denklemleri ardımıla göstermek mümkündür ki dku krdinatın ancak altı tanesi ağımsıdır; u öellik, tansör hesaında kullanılan terimlere göre, gerilme tansörünün simetrik lduğunu sölemekle ifade edilir. Genel halde, altı skalerle elirtilen ir gerilme hali, öel durumlarda, daha a saı ile tarif edileilir ki, u durumlar ileen ölümlerde irdelenecektir. Üç eksenli gerilme hali: Eğer ir nktadan geçen ütün üe elemanlarındaki gerilmelerde dğrultu itiarıla hiçir öellik ksa, u gerilme haline üç eksenli gerilme hali denir ve urada gerilmesi hiçir kesit ktur. İki eksenli gerilme hali: Yüe elemanlarındaki gerilme vektörlerinin dğrultuları hep anı ir dülem içinde kalırsa u öel hale iki eksenli gerilme hali denir. Burada gerilmesi tek kesit u iki eksenin elirttiği dülemdir. Bir eksenli gerilme hali: Bir nktadan geçen ütün üe elemanlarındaki gerilme vektörlerinin şiddetleri farklı lduğu halde dğrultuları sait kalırsa u öel hale ir eksenli gerilme hali denir. Burada gerilmesi irçk üe elemanları vardır. Sıfır gerilmeli lan u kesitler hep sait eksenden geçerler. şağıdaki maddelerde gerilme halleri arı arı ele alınacaktır. İncelemede esas amaç, verilen kesitteki gerilmelerden istenilen kesitteki değerlere geçmektir. Bu iş apılırken daima ir cisim parçasının dört ülü, prima gii- dengesi hesaa katılacaktır. Yalnı gerilme hali ir nktadan geçen ütün üe elemanlarındaki gerilmeler larak tarif edildiği için, gö önüne alınan cisim parçasının lineer utlarının da snsu küçük lması gerekecektir. Bir cisim içerisinde gerilme hali ir nktadan diğerine değişmese, una hmjen gerilme hali denir. Ele alınan cisimler u şekilde rlanmış ise, çeşitli kesitlerdeki gerilmelerin incelenmesinde, dengesi hesaplanacak cisim parçasının utlarının snsu küçük lmasına artık ihtiaç kalma.
. Gerilme Hali: Bir nktadaki gerilme hali asal gerilmelerle verileilmesine karşın, çğu aman nrmalleri seçilen ir eksen takımına paralel lan üç kesitteki gerilmelerle karakterie edilir. Bu durumda seçilen kesitlerdeki gerilmeler sadece nrmal lmaıp, anı amanda unların ileşenleri de mevcuttur. Şekil.5 de verilen küpün ir üünden diğer üüne gerilmelerin değişmesi ve içeride hacim kuvvetlerinin (atalet) ulunması ihtimalleri mevcuttur. Önce a..c utunda ir eleman düşünülüp snra limite gidildiğinde, u terimlerin üksek merteeden küçük lduğu, dlaısıla ihmal edileileceği görülür. c Şekil.5 a Şimdi gerilme halindeki u cismi üç utlu ir animasnla canlandıralım.
. Gerilme Hali: c a Şekil.5 Nrmal gerilme için işaret kaulü: nrmal gerilmeleri dış nrmal önünde ise artı alınacak ve çekme denilecek, aksi hal eksi saılıp asınç gerilmesi larak isimlendirilecektir. Kama Gerilmelerindeki iki indisin anlamı şöledir: Birinci indis gerilmelerin ulunduğu üün nrmalinin dğrultusunu, ikincisi ise gerilmenin dğrultusunu elirtir. Kama gerilmesi için işaret kaulü: Kama gerilmesinin ulunduğu kesitin dış nrmali önü ve kendi önü ikisi irden krdinat eksenlerinin anı vea ıt önünde ise artı saılacak, farklı lması halinde ise eksi denecektir. Bu hale göre Şekil.5 deki tüm kama gerilmelerinin artı lduğu görülür.
. Gerilme Hali: Şekil.5 de nrmali dğrultusunda lan dülem üerindeki gerilmenin krdinat eksenleri dğrultusundaki ileşenleri (,, ) lsun. Burada ilk gerilme nrmal, diğer ikisi de kama gerilmesidir. c Şekil.5 a Nrmali dğrultusunda lan dülem üerindeki gerilme ileşenleri (,, ) ve nrmali dğrultusunda lan dülem üerindeki değerler de (,, ) larak verilmiş lsun. Klalıkla ispat edileilir ki, gerilme halinin dku ileşeni irirlerinden ağımsı değillerdir, aralarında ile gösterilen üç ağıntı vardır.,, (.) (.) ağıntıları dğrudan dğrua Şekil.5 de görülen, üleri krdinat eksenlerine paralel cismin dengesinden de ulunailir. Örneğin eksenine göre aılan mment denge denklemi a... c a. c.. ağıntısını verir, diğer iki ağıntı da ener şekilde ve eksenlerine göre aılacak mment denge denklemlerinden elde edilir. (.) denklemlerine göre, artık gerilme halinin dku ileşeninden altısı ağımsı lacak demektir. şağıdaki talda tplanan u ileşenler, esas çapa göre simetrik lan ir matris aparlar: (.)
.4 İki Eksenli Gerilme Hali: Bu durumda (.) gerilme tansörü aşağıdaki gerilme tansörüne indirgenir: Biririnden ağımsı u üüklükle artık herhangi ir kesitteki gerilmeleri ulmak mümkün lur. p p p a s p n Şekil.6 C ϕ p ϕ B p p n (.4) Şimdi nrmali lan herhangi ir kesitteki gerilme aransın. Şekil. de BC primasının dengesinden gerilmesini hesaplamak mümkündür. Yalnı CB kesitinin a çk akın lduğu kaul edilmektedir. Dengeden: p csϕ sinϕ p csϕ sinϕ n csϕ i sin ϕ j ; n n i n j (.5a) (.5) Şimdi nrmali lan herhangi ir kesitteki gerilme aransın. Şekil.6 de BC primasının dengesinden gerilmesini hesaplamak mümkündür. Yalnı CB kesitinin a çk akın lduğu kaul edilmektedir. Dengeden: p. n p csϕ p sinϕ cs ϕ sin ϕ sinϕ csϕ (.6) p. s p sinϕ p csϕ (cs ϕ sin ϕ) ( )sinϕ csϕ Burada s, n irim nrmal vektörüne dik dğrultudaki irim vektör lup Şekil.6a da gösterilmiştir. (.5) ve (.6) ifadeleri herhangi ir kesitteki gerilmeleri veren esas ifadelerdir.
.5 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular: φ açısı değiştikçe ve gerilmeleri değişir. Bu arada ve nun ekstrem değerleri aransın. Bu gae için (.6) ifadeleri önce φ açısıla gösterilsin: cs ϕ sin ϕ sinϕcsϕ (.6) (cs ϕsin ϕ) ( )sinϕcsϕ ϕοπ/ ϕο cs ϕ cs ϕ sin ϕ sin ϕ (.7) Şekil.7 ma ve min için: d dϕ sin ϕ cs ϕ ; tgϕ (.8) denklemi ulunur. (.8) ifadesini sağlaan farklı φ ve φ π/ ile tarif edilen iki kesit vardır, u kesitlere asal nrmal kesitler ve unlar üerindeki değerlere asal nrmal gerilmeler denir, (.8) ifadesi anı şekilde şartından da elde edildiği için asal kesitlerde kama gerilmesinin sıfır edeceği snucuna varılır, Şekil.7. φ ve φ π / e karşı gelen asal gerilmelerin değerleri ise:, ± (.9) lur.
.5 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular: Şimdi ir de nun ekstrem lduğu kesitler ve değerler aransın: d şartından dϕ sin ϕ cs ϕ tgϕ (.) ulunur. ϕ Şekil.8 (.) denklemini sağlaan açılar φ ve φ π / lursa asal kama kesitlerinin asal nrmal kesitlere göre π/4 kadar dönük lması gerekir; çünkü (.8) ve (.) denklemleri unu gösterir, Şekil.8. nun mutlak ekstrem değeri ve uradaki nrmal gerilmenin değeri ise: (.) ( ) larak ulunur. (.)
.5 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular: sal gerilmelere ir aşka ldan da varmak mümkündür. sal nrmal gerilmelerin kesitlerinde kamanın sıfır lduğu hususundan fadalanarak p cs ϕ p sin ϕ Hatırlatma: ulunur. p csϕ sin ϕ p csϕ sin ϕ n C (.5) ϕ p p ϕ Bu değerler (.5) denklemile karşılaştırılsın. ( ) cs ϕ sin ϕ (.) cs ϕ ( ) sin ϕ B Bu lineer hmjen denklemin, ikisi irden sıfır lmaan ir çöüme sahip lailmesi için ( ) ( ) (.4) p determinantının sıfır lması laımdır. (.4) denkleminin düenlenmesile ( ) (.5) gii ikinci dereceden ir denklem elde edilir; unun kökleri aranan ve asal gerilmeleridir. Her köke karşı gelen açılar da (.) denkleminden elde lunacaktır ve irinin φ, diğerinin ise φ π / edeceği klalıkla ispat edileilir. (.5) den köklerle katsaılar arasındaki ağıntı I I II şeklinde ulunur. Bunlara dülem gerilme halinin invarantları denir. (.6)
.6 Gerilme Halinin Dönüşümü: (, ) krdinat eksenleri φ kadar dönerek (, h) knumunu alsın. Birinci takıma ait,, ve değerlerinden ikinci takıma ait ξ, η veξη değerleri ulunsun. (.6) dan hemen: η ϕ ϕ ξ ξ η ξη ϕ ξη a Şekil.8 c ξ cs ϕ sin ϕ sinϕ csϕ cs ϕ sin ϕ η sin ϕ cs ϕ sinϕ csϕ cs ϕ sin ϕ ξη (cs ϕ sin ϕ) ( )sinϕ csϕ cs ϕ sin ϕ (.6) denklemleri elde lunur; unlara gerilme halini ir takımdan diğerine dönüştürmee araan dönüşüm frmülleri denir. Bu dönüşümde ξ ξ η η ξη sait sait edeceği ulunailir. (.8) ifadelerine dönüşümün invarantları denir ve (.6) ile karşılaştırınca unların asal gerilmelerle lan ağlantısı görülür. (.8)
.7 hr Grafik Gösterimi: Herhangi ir kesitteki nrmal gerilmesi asis ve anı kesitteki kama gerilmesi rdinat seçilirse,, çifti ir nktasını gösterir, Şekil.9. hr gösteriminde işaret kaulü ileen şekildedir: nrmal gerilmesi için dış nrmal dğrultusu, daha önceki işaret kaulünün anısı larak, pitif öndür. kama gerilmesi için kaul edilen işaret esası şudur: Kesitin dış nrmali matematik pitif önde π/ kadar döndürüldükten snra aldığı ön kama gerilmesinin önü ile anı larak düşürsa öle hale artı, aksine eksi işaret verilecektir, Şekil.. n' π n n' π n Şekil.9 Şekil. Şekil. Bu eni ve sadece hr gösterim sistemine öel işaret esasına göre Şekil. de gösterilen gerilmesi pitif işaretli lduğu halde gerilmesi eksi işaretli lur ve (.) denklemindeki ifadesinin u prensie göre, lması gerekir. (.9)
.7 hr Grafik Gösterimi: Şimdi φ açısı değiştikçe gösterim nktalarının gemetrik eri aransın. (.6) denklemleri arasında φ açısı k edilirse: (.) denklemi ulunur ki u da, düleminde, merkei asis ekseni üerinde lan, ir çemer gösterir. Buna hr çemeri adı verilir. Şekil. öle ir çemer göstermektedir. 4 c ϕ ϕ Şekil.
.7 hr Grafik Gösterimi: nktası, nrmali dğrultusundaki kesiti ve de una dik lan diğer kesiti temsil eder ve çap karşısıdır. Dairenin merkei ( )/ asisinde lup, arı çapı r 4 ϕ (.) değerini alır. (.) dan dlaı nun değerinin r ma edeceği klaca görülür. Hatırlatma: (.) c ϕ Şekil. ve gösterim nktaları asal nrmal gerilmelere karşı gelirler. Şekilde C açısı (.8) den dlaı φ açısından iarettir. φ ile tarif edilen kesitteki, gerilmeleri daire üerinde nktası ile gösterilmiştir. C açısı, hesap apılırsa görülür ki φ kadar lup ters önde ulunmaktadır. Yani Şekil.8 deki kesitler φ açısıla artı önde dönerken hr çemeri üerindeki gösterimleri ters önde φ açısıla dönerler. Bu öellik gösterimin en önemli nktasıdır. Nihaet, 4 tasvir nktaları asal kama kesitlerine karşı gelir. hr gösterim sistemi ile gerilme haline ait her çeşit prlem çk asit ve açık larak çöüldüğü için analitik la naaran daima tercih edilir. η ξη ξη ξ η ϕ ξ ϕ ϕ Şekil.8
.7 hr Grafik Gösterimi: Öel Durum Bir Eksenli Gerilme Durumu : sal nrmal gerilmelerden iri sıfır lursa öle hale ir eksenli gerilme hali denir. Bu durumda hr çemeri da eksenine teğet lur, (Şekil.). Tek eksenli halde ikinci invarantın edeceğine dikkat edilmelidir. Tek eksenli gerilme halinde ütün kesitlerdeki gerilme vektörlerinin dğrultuları sait lur, u dğrultu da, sıfır lmaan asal gerilmenin dğrultusudur. Şekil. Baı Basit Gerilme Halleri : Şekil.4a da gösterilen aı gerilme halleri ugulama akımından önemlidir. ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο a Şekil.4 Bunlardan Şekil.4a da gösterilen ir eksenli haldir, adına asit çekme denir. Sıfır lmaan u asal gerilme ters işaretli lursa, gerilme halinin adı asit asınç lur. Şekil.4 de asal gerilmeler arasında - ağıntısı lan ir öel hal gösterilmiştir, adına asit kama denir. sal gerilmeler eşit lursa u takdirde hr çemeri ir nktaa dejenere lur. Bu hal kaması lup her kesitteki gerilme sadece nrmal dğrultuda ve şiddeti saittir Şekil.4c. Levhada gerilme hali ir nktadan diğerine değişmese na hmjen gerilme hali denir, u takdirde, ve değerleri sait lup, ile değişmeecek demektir. c
.8 Üç Eksenli Gerilme Hali: O dan geçen irirlerine dik üç kesit gö önüne alınsın. Bunlardan nrmali dğrultusunda lan c düleminin üerindeki gerilmenin krdinat eksenleri dğrultusundaki ileşenleri (,, ) lsun. Burada ilk gerilme nrmal, diğer ikisi de kama gerilmesidir. c p n a Şekil.5 Nrmali dğrultusunda lan ac dülemindeki gerilme ileşenleri (, ) ve nrmali dğrultusunda lan a kesitindeki değerler de (,, ) larak verilmiş lsun. Bu şekilde tarif edilen iririnden ağımsı 6 değere daanarak nrmali lan herhangi ir ac kesitindeki gerilmesini hesaplamak mümkündür; diğer ir deimle u 6 değer üç eksenli gerilme halini elirten ileşenlerdir. Şimdi gerilme halindeki u cismi üç utlu ir animasnla canlandıralım.
.8 Üç Eksenli Gerilme Hali: G Şimdi üç eksenli durumda ac dülemindeki p gerilmesinin hesaı apılmak istensin. Bu hesapta iki eksenli durumda G ilenen lun anısı takip edilir. ac kesitinin nrmali lan n irim vektörünün krdinatları sırasıla (n, n, n) ve vektörünün krdinatları da p, p, p lsun. Şekil.6 daki cismin dengesinden, () ekseni dğrultusunda aılacak idüşüm denklemi p. ac. c. ac. a şeklindedir. Haluki çeşitli ülerin alanları arasında c n. ac, ac n. ac, a n. ac ağıntıları mevcut lduğundan, denge denklemi p n. n. n. (.) haline gelir. Bener şekilde diğer eksenler unca idüşüm denge denklemleri de p n. n. n. (.) (.4) p n. n. n. G p ( p, p, p ) elde edilerek gerilmesi G krdinatları ardımıla hesaplanmış lur. (.), (.) ve (.4) denklemleri, gerilme vektörü ile n ( n,n,n ) nrmal vektörü arasındaki lineer vektör fnksinunu tarif eden ifadelerdir. Bu vektör fnksinunun (.) de verilen katsaılar p c talsuna, gerilme tansörü adı verilir. Gerilme Hatırlatma: (.) vektörünün mutlak değeri, krdinatlardan G p p p p (.5) şeklinde hesap edileilir. a n
.8 Üç Eksenli Gerilme Hali: c p n a ac kesitindeki nrmal gerilme p. n n. p n. p n. p eder ki (.), (.) ve (.4) denklemlerinden ararlanılarak için n. n. n.. n. n. n n n n (.6) frmülü ulunur. nı kesitteki kama ileşeni lan için p (.7) lur. Yalnı u ifadeleri hesap ederken n n n (.8) lduğu da dikkate alınmalıdır.
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : n asal nrmal gerilmenin ulunduğu üein nrmali larak alınsın. sal kesitte lacağından, p n p etmesi gerekir. (.), (.) ve (.4) denklemlerinden p p p n n n n n n.. n. n n n... n n n... aılailir. ( n, n, n ) değerlerine göre lineer ve hmjen lan u takımın hepsi irden sıfır lmaan ir çöüme sahip lailmesi için katsaılar determinantının sıfır etmesi şartından (.9) ( ) ( ) ( ) (.) ulunur. Bu denklem aranan asal gerilmesine göre küik ir denklemdir. çık aılışı ( ) ( ) (.) şeklindedir. (.) denkleminin üç kökünün daima reel lduğu gösterileilir.
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : (.) denkleminin üç kökünün daima reel lduğu gösterileilir. Bunlar, ve lsun. sal gerilmeler (.) den elde edildikten snra (.) denkleminde sırasıla erlerine knursa, istenilen asal gerilmee karşı gelen irim nrmal vektörün n, n, n krdinatlarını hesaplamak mümkün lur; u arada (.8) denklemi gö önünde ulundurulmalıdır. Bu şekilde elde edilecek üç irim vektörün krdinatları n n, n, n ), n ( n, n, n ), n ( n, n, n ) ( (.) asal kesitleri tarif ederler. Yine göstermek mümkündür ki u üç dğrultu irirlerine diktir, ani n. n n. n n. n (.) ağıntısı vardır. (.) küik denkleminin katsaıları ile kökleri arasında ilinen üç cerik ağıntı (.4) (.5) (.6) gerilme halinin invarantları(değişmeleri) adını alır, çünkü u ifadeler krdinat dönüşümlerinden ağımsıdır.
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : Öel Durum : Gerilme tansörü, asal dğrultular ve asal gerilmelerle verilsedi herhangi ir dülemdeki gerilme ileşenlerini veren ifadeler ldukça kısalırdı. Bu durumda gerilme tansörünün ileşenleri n C p (.7) talsu ile, gerilmesi aranan BC düleminin nrmalinin, Şekil.6, asal dğrultularla aptığı açıların dğrultman ksinüsleri ise n, n, n ile tanımlanmak şartı ile, BC dülemindeki p gerilme vektörünün asal dğrultular unca idüşümleri p n. n. n. p n p n. n. n. p n p p... n n n n D (.8) lur. Buradan Şekil.6 B p p p p n n n (.9) aılailir. BC dülemindeki nrmal ve kama gerilmeleri ise n. n. n.. n. n. n n n n p nn( ) nn( ) nn( ) n n n (.4) larak aılailirler. Bütün u frmüller OBC snsu küçük dörtülüsünün dengesinden de elde edileilir.
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : Üç eksenli gerilme hali için hr Çemeri : Herhangi ir üç utlu gerilme hali etkisindeki ir elemana üç farklı önden akılailir. Örneğin gerilme hali Şekil.8a daki gii asal gerilmelerle verilmiş ise u durumda - dülemindeki gerilmeler Şekil.8 nin ilkinde gösterildiği gii, - dülemindeki gerilmeler ikincisinde gösterildiği gii, - dülemindeki gerilmeler ise üçüncüsünde gösterildiği gii ifade edileilir. Elemanın her idüşümüne karşı gelen hr çemerleri anı ir - eksen takımında gösterilirse Şekil.8c de gösterilen hr çemerleri rtaa çıkar. Daha snra kırılma hiptelerinde görüleceği gii en üük kama gerilmesinin ilinmesi önemli lmaktadır. En üük kama gerilmesi, Şekil.8c den en üük arıçapı veren hr çemeri için rtaa çıkar. Şekil.8c den ma lur. (.44) ma (a) () Şekil.8 (c)
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : Şekil.9a da verilen eleman iki utlu gerilme hali etkisindedir. Yukarıda anlatılan lla hr çemerleri çiilirse Şekil.9c deki durum elde edilir. Bölesi durumda en üük kama gerilmesi ma lur. (.45) ma (a) () (c) Şekil.9
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : Şekil.a da görülen tek eksenli gerilme halinde ise maksimum kama gerilmesi ine (.45) ile hesaplanır. Snuç larak her aman en üük hr çemerinin arıçapı maksimum kama gerilmesini verecektir. ma (.45) ma (a) () (c) Şekil.
.9 sal Gerilmeler ve sal Dğrultular : Üç eksenli gerilme hali için hr Çemeri : Gerilme halinin çift ve tek eksenli lması durumlarında da Şekil.9a,.a daki elemanlarda, u elemanların üç utta herhangi ir dülemle kesilmeleri halinde sö knusu dülemlerde gerilmelerin luştuğunu nt etmekte fada vardır. Dlaısıla gerilme hali iki eksenli verildiğinde, elemandaki maksimum kama gerilmesi aranırsa u her aman (.) vea (.4) ifadesi değildir. Bölesi durumlarda (.44) ve (.45) eşitlikleri gö önünde ulundurularak maksimum kama gerilmesi elde edilmelidir. ma (.44) ma (.45) ma ma (a) (a) () (c) () (c) Şekil.9 Şekil.
Çöümlü Prlemler : Prlem. : Verilen gerilme durumu için asal gerilmeleri ve asal dğrultuları ulunu. / 4 4 mm N T Çöüm : n n n n n n P P P..... 4 4 n n n 8 4 6 4 6 6 ) -8).( ).( (6 - - 6) - 6 ).( (6 - Buradan,, ulunur. N/mm 8 N/mm 6 N/mm - n n n n n n. 4 4... '. ' 4. ' 8). ( n n n '. ' 8.) ( '. 4 n n n ' 8). ( '. '. n n n ) ' ( ) ' ( ) ' ( n n n () () () (4) ' ' '. 6 4 ' ' '. 6 4 ' ' '. 6 4 4 6 n n n n n n n n n Şimdi asal dğrultular ulunsun. Önce in etkidiği üein dğrultusu lan asal dğrultusu elde edilsin.
Çöümlü Prlemler : Prlem. : Verilen gerilme durumu için asal gerilmeleri ve asal dğrultuları ulunu. T 4 4 N / mm Çöüm :. ve. satırlar lineer ağımlı lup anı denklemi verir.. n '. n' n' n'. denklemden. 4. n' 6.( n' ). n'. n '. n' n' n'. denklemden. 4. denklemde n', n' ve n' için ulunan ilişkiler erlerine knursa, n' ulunur. n' n' dür. n'. i. j. k için apılan işlemler ener larak ve içinde apılırsa, n' '. i. j n' ''. i. j. k 6 6 6 n'. n'' n'. n''' n''. n''' lduğu da ilgili skaler çarpımların apılmasıla hemen tahkik edileilir.
Çöümlü Prlemler : Prlem. : Bir nktasının da verilen iki eksenli gerilme hali şekilde görülmektedir. Verilen gerilme hallerini tplaarak nktasındaki tplam gerilme halinin asal gerilmelerini ulunu. Daha snra tplam gerilme haline ait hr çemerini çiini. N/mm N/mm N/mm 6 8 N/mm Çöüm : 6 6 8,67 ' 6 6 ' ' F.cs 6 cs6 5N / mm ı F.sin 6.cs6 ı 8.67N / mm ı 8,67 F ı 5. sin6.sin 6 8.67.cs6 5N / mm ı 6 6 6 6 5 8,67 8,65 8,65 5 5 Tplam gerilmeler 5 5N / mm 5 5N / mm 8 8,67,67N / mm 5 5 5 5 ma ± (.67) min ma,n / 5 mm 5,N mm min / (5;,67) (-5;-,67)
Çöümlü Prlemler : Prlem. : Bir nkta civarındaki gerilme haline ait, u nktadan geçen üç üedeki gerilmeler şekilde görüldüğü gii verilmiştir: a a a ac a 5 a a ac c c 4 7 d c c 9 c e a) a, a, c gerilmelerini dönüşüm frmülleri ardımıla ulunu. )Sö knusu gerilmeleri dülemdeki üç adet denge denklemini kullanarak ulunu. c)ilgili gerilmeleri ugun üeler seçerek, dülemde kesişen kuvvetlere ait iki adet denge denklemini kullanarak ulunu. d) Gerilme hali için hr Çemerini çiini. e) sal gerilmeleri ve dğrultularını ulunu. f) ekseninden itiaren saat ireleri önünde dönüldüğünde elde edilecek üedeki gerilmeleri dönüşüm frmülleri ardımıla ulunu. g) sal gerilmeleri, maksimum kama gerilmesini ve f şıkkındaki gerilmeleri hr çemeri ardımıla ulunu. ac N / mm c 9 N / mm ac N / mm
Çöümlü Prlemler : Prlem. : a alınırsa, sinüs tereminden ac sin /sin c sin /sin Çöüm : lur. cs ϕ cs ϕ sin ϕ sin ϕ a) a.cs(. ) ( 5).sin(. ) () a a c ( 5).cs(. ).sin(. 9.cs(. ) ( 5).sin(. ) ) () () 5 a a () den 7,,7. a (4) c 4 7 d () den () den 5,9,. a 6,698,587 (5) (6) 9 c e (4), (5) ve (6) dan a 5,96 N / mm a 9,69N / mm 8,768N / mm ulunur. c ( 8,768) 5.cs(. ).sin(. 4,4 N / mm
Çöümlü Prlemler : Prlem. : a a alınırsa, sinüs tereminden ac sin /sin Çöüm : ) F c sin /sin lur. sin sin sin a. cs a.sin...cs 4 9..sin 4 c sin sin sin F sin sin sin a. sin a.cs 5...sin 4..cs 4 c c sin sin sin (7) (8) 5 c 9 4 7 c a e d a a..,5 9. (,4465) 5.,657..cs 7,657.,657.(,87) (9) (7) den,997,4,4 9,44 a a c () (8) den (9) dan,4,997,87 47,975 a a c,5 5,48 a () () (), () ve () den 5,96 N / mm 9,75 N / mm 4,49 N / mm ulunur. a a c
Çöümlü Prlemler : Prlem. : a alınırsa, sinüs tereminden ac sin /sin c sin /sin lur. Çöüm : c) 5 a c F 9 4 7 c e a d a a 5 ac c 7 a d 5 Şekil Şekil Şekil (Şekil den)..cs 5.sin a..cs a..sin 85,48,94 a.4 a () F (Şekil den) a c 5 9 5 c 4 9 c 4 e 9 c d 5 a d e 5 5.cs ( 8,88).sin a..sin a..cs 85,685,4, 94 (4) a a a c F (Şekil den)..cs5.sin 5.sin 4.cs 4 c,766 c,979 c 4,47N / mm F (Şekil den) () ve (4) den 5,96 N / mm 9,69 N / mm ulunur. a a c..sin 5.cs5.sin5.cs5 c 9,88,766 8,88N / mm ac ac ac
Çöümlü Prlemler : Prlem. : a alınırsa, sinüs tereminden ac sin /sin c sin /sin lur. Çöüm : d) (-8,88;5) (;-5) e) ma 4,99 ± (4,99) ( 5) ma,n / mm min 84,4 N / mm min f) 5 tgφ.77, 4,99 ϕ,6 ve ϕ 69,96 B G N/mm 5 N/mm G N/mm 5 N/mm 8,88 N/mm 8,88 N/mm 8,88 8,88.cs.5 ( 5).sin.5 5,9N / mm 5.cs 4,99.sin 9,59N / mm
Çöümlü Prlemler : Prlem. : a alınırsa, sinüs tereminden ac sin /sin c sin /sin lur. Çöüm : g) aksimum kama gerilmesinin luştuğu kesitteki nrmal gerilme hr çemerinin merkeinin apsisine eşit lup, aşağıda ulunmuştur: 4,99 aksimum kama gerilmesi ise hr çemerinin arıçapı lup ileen şekilde hesap edilir: r ( 8,88) ( 5) ma 4.9 G üeindeki nrmal ve kama gerilmeleri ise sırasıla 4,9.cs 49,94 4,99 5.9N / mm 4,9.cs 49,94 4,99 5.9N / mm lur. sal nrmal gerilmeler ise 4 N mm,99 4,9, / 4 N mm,99 4,9 84,4 / şeklinde elde edilir. ϕ, 6 ϕ ϕ 9
Çöümlü Prlemler : Prlem. : ο ο E F D C ο 45 F E ο D C B d ϕο e ϕ 6 g ϕο c B kesitine hr çemerinde a nktası, B kesitine hr çemerinde nktası karşı gelmektedir. Şimdi ileen iki srua cevap aranmaktadır: ) sal gerilmeler lan ma, min i hr çemeri üerinde elirleen c ve d nktalarına eleman üerinde karşı gelen C ve D kesitlerinin nrmalleri hangi dğrultadırlar? ) aksimum kama gerilmesini hr çemeri üerinde elirleen e nktasına elemanın hangi nrmal dğrultulu kesiti karşı gelmektedir? hr çemeri üerinde a dan itiaren ϕ ac, 6 negatif önde dönülmesi gerektiği hr çemerinden görülmektedir. O halde ilk önlenme durumundaki elemanın unun arısı lan ϕ açısı kadar ve pitif önde döndürülmesi gerekmektedir. Şekilden görüldüğü ad,6 / gii asal gerilmelere karşı gelen önlenmiş eleman ad dğrultusu üerinde gösterilmiştir; çünkü u dğrultu, ilk durumdaki önlenmiş elemandan matematik pitif önde ϕ,6 ad / açısı kadar dönülmesi durumuna karşı gelmektedir. Bu durumda ad dğrultusu maksimum nrmal gerilmenin dğrultusunu verir ve söknusu gerilmenin etkidiği üe u dğrultua diktir. aksimum kama gerilmesini elirleen e nktası da a dan itiaren hr çemeri üerinde ϕ ea,6 9 pitif önde dönülerek ulunur: Bu durumda elemanda negatif önde ϕ (,6 9 )/ dönülmelidir. Elde edilecek u üede maksimum kama gerilmesi etkir ve u gerilmeler ma dğrultusundaki köşegeni uatacak şekilde önlenmişlerdir. Kama gerilmelerinin işaretleri ile ilgili kaulden de söknusu gerilmelerin önleri elirleneilir. dac 9 lduğu gemetriden ilinmektedir. Buradan hareketle, ad dğrultusu kullanılarak apılan işlemler, ener rumlarla ac dğrultusu kullanılarak da apılailir. Bölesi durumda elde edilecek önlenmiş elemanlar da şekilde gösterilmiştir. h f a
ŞEKİL DEĞİŞTİRE
Şekil Değiştirmenin Tanımı: C C' B B' ' B B C C BC B C ) çı Değişimi: t C' α C ' β B' n Şekil Değiştirmenin Elemanları ve Ölçülmesi: ) Uunluk Değişimi: B' ' C B ve BB er değiştirme vektörleri B B B lim B B B B B değişimi ranı için kaul edilen işaret kuralına göre, uamaları pitif, kısalmaları ise negatif kaul edilir. B Başta 9 lan açısında γ α β kadarlık ir değişim medana gelmiştir. γ α β lim ( ), B C dik açısındaki değişim π/ radanlık açıdaki değişimi ine radan cinsinden tanımlaan γ ve γ ν değerlerine daki, ve ν, dğrultularına ait açı değişim ranları adı verilir. çı değişimi ranları radanla ölçüldükleri için, değişimi ranları gii, utsu değerlerdirler. çı değişimi ranı için kaul edilen kurala göre, 9 lik açıdaki aalma pitif,artma ise negatiftir.
Şekil Değiştirme Durumu: ' d d d ' ' d() d() d() γ γ γ γ γ γ Dülemsel Şekil Değiştirme Durumu: γ γ γ γ
Şekil Değiştirmelerin Yer Değiştirmeler Cinsinden İfadesi: v v c u u c' d d' u u u du u a nktasından mesafedeki nktasının u er değiştirme ileşeni a α a' u v α ' v v u u dğrultusundaki irim uaması u v a a u v a u u v ve snsu küçük v u ac ac v u v ac ac dik açısında medana gelen açı değişimi γ ac a c α α v v dv v v γ v u v v v v tg u α α << u u u u α v α u
Eksen Takımının Döndürülmesi: ' ' ϕ u' c' d c a' a v u ϕ d' ' v' ' ' u v γ u u u v u v v u u γ ( ) ( ) u v csϕ sin ϕ csϕ u cs v v ϕ sin ϕ u sin ϕ csϕ v u v v v u v csϕ sin ϕ sin ϕ cs ϕ sin ϕ γ sinϕ csϕ csϕ sinϕ sinϕ csϕ,, u ucsϕ vsinϕ v u sinϕ vcsϕ γ cs ϕ sin ϕ γ cs ϕ sin ϕ γ γ sin ϕ cs ϕ
' C E ϕ ϕ D γ min ma γ γ γ min ma ± γ tg γ ϕ ma γ γ ϕ γ ϕ sin cs ϕ γ ϕ sin cs ϕ γ ϕ γ cs sin
Hacim Değişmesi: Dış tesirlerden önce hacmi Kenarları V lursa θ V V V V lan ir cisim parçasının şekil değiştirme ittikten snra hacmi, ve lan ir cisim parçasının ilk hacmi V Şekil değiştirdikten snra kenarlar: ( ), ( ) ve ( ) Yeni hacim V ) ( ) ( ) ( Yüksek merteeden üüklükler ihmal edilirse θ çı değiştirmesinin hacim değişikliğine etkisi ikinci ve daha üksek merteeden lduğu için θ nın değeri asal lmaan üç dik dğrultudaki uama ranları için de anı kalır. θ
Şekil Değiştirme Ugulama
Örnek Şekilde görülen levhanın şekil değiştirmeden önceki utları 4m m lup, anı levhanın şekil değiştirdikten snraki utları 4,m,8m dir. ' ' a) ve değerlerini ulunu. Bulunan değerler, elemanın u önlenme durumunda açı değişimi lmadığından ve değerleridir. ) Verilen eksen takımına göre açı apan eksen takımı için γ değerlerini mhr çemerini kullanarak ulunu. ilk durum 4 m m Şekil değiştirmiş durum 4, m,8 m a) 4, 4,5 4,8, -γ' ', γ ),5 (,) R,65, 5,.75,75 ı, 5, R.csα,65.(cs.).65 -, C 6,5 ı, 5, R.csα,65.(cs.).688 γ. R.sin 6.,65.,8 ', γ'
Örnek Verilen levha için asal şekil değiştirmeleri ve asal dğrultuları ulunu. α lik kesitteki şekil değiştirmeleri elde ederek hr çemeri üerinde gösterini. 9. 4. 4 4,5. 6,7. cm ı ı 4 4 ( 4,5 6,7). (4,5 6,7). 4 4.cs( 6 ).( 8).sin( 6 ) 8,5. 4 4 ( 4,5 6,7). (4,5 6,7). 4 4.cs( 6 ).( 8).sin( 6 ),69. cm γ.sin( 6 ).( 8).cs( 6 ),95. 4 (4,5 6,7). 4 4 4 8. tan γ ϕ,66 ϕ 7, 4 (4,5 6,7). γ -4 ma min (4,5 6,7). 4 ± 4,5 6,7.( 4 ) 8. 4 (,69;,95) (5,6;4,5) (6,7;4) 4 ma 9,75. 4 min,45. (,45;) 74,6 6 (9,75;) γ ma 4,5 6,7.( 4 ) 8. 4 4,5. 4 (4,5;-4) (5,6;-4,5) (8,5;-,95)
Örnek Bir levhanın ir nktasındaki iki arı dülem şekil değiştirme haline ait asal uamalar arasındaki açının ksinüsü csα / 5 dir sal uamalar 4 4 4 4., 4., 5., 6. ileşenlerini ulunu. m n lduğuna gre tplam şekil değiştirme n m α Çöüm: n m n' m' 4 4 csα, sinα, sin α sinα csα, csα cs α sin α 5 5 5 7 5 α α 5 6 4 5 6 4 7 4 4. m 5,64. m 5 5 4 5 7 5 4 5 5 6 4 4 4 γ mn.. γ mn..96. 5. 6 4 4 6. 5,64. n n 5,6. 4 m m m. 4 5,64. 4 8,64. 4 n n n 4. 4 5,6. 4,6. 4 γ mn γ mn γ mn,96. 4,96. 4
Örnek 4 Bir BCD dikdörtgen levhası şekil değiştirme snunda şekilde görüldüğü gii B C D dörtgeni haline gelir. nktası civarında şekil değiştirme ileşenlerini hesaplaını. Levhaların B ve C ları sıra ile ve cm dir. Bu durumda nktası civarında γ 8..., cm cm ' cm cm cm C C' cm cm D B B' D' cm cm
GERİLE ve ŞEKİL DEĞİŞTİRE BĞINTILRI
Hke Kanunu: -ν / E -ν a θ ν ν ν ν E E E E ν ν E ( ) / ν/ sınır değeri için hacim sait kalmaktadır Üç eksenli gerilme hali için : ν ( ) E E ν E E ν ν ( ) E E ν E E ν ν ν ( ) E E E E ν Basit Kamada Hke Kanunu: C D C C' D D' γ γ γ / G B,' B,B' G: kama mdülü
Elastisite mdülü(yung mdülü) ile kama mdülü arasındaki ilişki B' δ B δ π 4 ' π γ 4 O D D' C' mutlak değer itiarıla, lduğundan δ C δ köşesindeki açı π / γ BB δ ( ) δ ν E E E ( γ ) ( γ ) ( ν ) π γ tg45 tg / OB δ tg O B tg 4 tg45 tg / O δ γ γ γ δ ( ) δ δ γ δ ( ν ) E G ( ν ) γ E B ve B ( δ ) ( δ ) B B B δ δ / B ν E lur ki unun d a göre ikinci merteeden küçük ir değer lduğu göönüne alınırsa B B aılailir. Varılan u önemli snuç şöle öetleneilir: Kama gerilmeleri sadece açı değiştirir, uunluk değiştirme. Bu öellik nrmal gerilmeler için de şöle tekrarlanailir: Nrmal gerilmeler, sadece uunluk değişimi aparlar, fakat açıları değiştirmeler.
Genel Hke Kanunları: Önce nrmal ve kama gerilmelerinin etkileri arasındaki ağımsılık gö önüne alınarak uamaların alnı nrmal gerilmelerden dğduğu düşünülürse,,,,, ve gerilmeleri cinsinden,,, γ, γ ve γ şekil değiştirmeleri ileen şekilde aılır: ν ( ) ν ( ) ν ( ) E E E γ γ, γ G G G, Bu denklemler Genel Hke kanunlarıdır Hke kanunları gerilmeler erine şekil değiştirmeler cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edileilir: λ Eν ( )( ) ( ) ν ν Eν ( )( ) ( ) ν ν Eν ( )( ) ( ) ν ν Eν ( ν )( ν ) G G G Gγ, Gγ, Gγ
Hacimsel Elastisite dülü: Hidrstatik gerilme hali ele alınsın ( ) [ ] ( ) E E ν ν Birim hacim değişmesi ( ) E ν θ K / θ ( ) ν E K Çeşitli mdüller: Cismin elastik şekil değiştirme öelliğini tarif eden fiik saitler arasında aılarına mdül rtak adı verilir. Şekil değiştirmegerilme/dül E G γ K θ Dülem haller: ( ) E ν ( ) E ν γ γ Dülem Gerilme Hali: Dülem şekil değiştirme hali: γ γ ( ) ( )( ) ( ) E ν ν ν λ ( ) λ
Gerilme Tansörünün Hacim ve Biçim Değiştirme Bileşenleri: -m m m m -m -m, ve m m m,, m m m,, ) ( ) ( ) ( m m m ) ( m Hacmin sait kalması şartının gerçekleşmesi için, θ ve dlaısıla m m m m m m Yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki ilk terime hacim değiştirme ileşeni tansörü, ikinci terime ise içim değiştirme ileşeni tansörü vea deviatör ileşen tansörü adı verilir.
Gerilme Şekil Değiştirme Bağıntıları Ugulama
Örnek İki eksenli ir gerilme hali için gerilme tansörü aşağıda verilmiştir. Bu gerilme durumuna karşı gelen şekil değiştirme tansörünü ulunu. 4 E,. N / mm T N / mm Çöüm 4 [,.(4) ],5.. 4,. [ 4,.( ) ],9.. 4,. [,.( 4) ],86.. 4,. γ G E.( ν ),..(,),8. 4 γ γ,5, 8 γ γ, 8,9 γ,6 γ
Örnek Snsu rijit ir uğa şekilde görüldüğü gii elastik ir lk erleştirilmiştir. Blğa uktan 5 N/mm lik ir asınç gerilmesi etkimesi için F kuvvetinin şiddeti ne lmalıdır? Bu durumda gerilmesi ne lur? E 4,. N / mm, υ, [ 5,.( )] 4... 4,. mm cm mm,, mm, - 5 -,. -,. 4 cm 5 [,.( 5 )] 4.,6.. 4 5,. F mm,,5,,6 4 5,..5,6 cm 45,N / mm F 45, 5 765N 76,5kN
Şekilde görülen içi dlu çelik ir silindire eksenel F kuvveti etkimektedir. Silindirin çapı dğrultusundaki değişimini silindirin çapı d, F kuvveti, E ve cinsinden ulunu. ν F F,7.. 4 4. d F d F d F π π..,7...4.. 4... E d F d E F d F E ν π ν π ν E d F..,7 ν Örnek
Örnek 4 Kare prima şeklindeki ir lk üsten ir levha vasıtasıla F4 kn luk ük taşımaktadır. Kesitin ir kenarı a cm dir. Bu prima şekilde görüldüğü gii iririne uaklığı d,4 cm lan iki snsu rijit lk arasına ve tam simetrik larak knmuştur. Blğa F ükü ugulandığında rijit lklarla elastik lk arasında medana gelen gerilmei ulunu. E.5 N/mm ν. F4 kn 4 9 66,67 N / mm,4,. 4 4,..( 5.,.( 66,67 )) d cm cm. 4 4 5 4 4.,...,6667. 5, N / mm 5
ŞEKİL DEĞİŞTİRE İŞİ
Elastik Enerji: Hesaplarda Kullanılacak Baı Kavramlar: Dış kuvvetlerin işi: Dğal katı cisimler üklendikleri aman şekillerini değiştirdiklerinden dış kuvvetlerin tatik nktaları ir miktar er değiştirir; u suretle de ükler ir iş görür. Dış etkilere göre hesaplanan u iş Ud ile gösterilir ve dış kuvvetlerin işi adını alır. İç kuvvetlerin işi: Dış kuvvetlerin aptığı iş, iç kuvvetlerin cisim içinde dğurduğu şekil değiştirmede kullanılır. İç kuvvetlere-gerilmelere-göre hesaplanan ve Ui ile gösterilen u işe de iç kuvvetlerin işi vea şekil değiştirme enerjisi denir. ekanik enerjinin krunumu: Enerji kaı lmaan hallerde Ud Ui lması gerekir. Tam elastik cisimde ükler kaldırıldığı aman, eğer mekanik enerji kaı ksa, cisim ilk durumuna tekrar geri döner ve şekil değiştirme enerjisi larak cisim içinde saklı ulunan u iş tekrar medana çıkar. Şekil değiştirme enerjisi, elastik cismin alnı defrme lmuş durumunu tarif eden üüklüklere ağlı lup çk defa elastik ptansiel enerji adını alır. Statik ükleme: Şekil değiştirme hesap edilirken gerek kuvvetlerin ve gerekse er değiştirmelerin sıfırdan aşlaarak avaş avaş arttıkları (statik ükleme) kaul lunur. Her an iç ve dış kuvvetler arasında ir denge mevcut lduğundan cisimde dinamik lalara medan verilme.
F F F F F s s s s ds ds F U d s F( s) ds F: kuvvet s: kuvvet dğrultusundaki er değiştirme Ud: -s aralığında apılan iş a U i u V i dv c a a c. γ. γ c γ γ γ γ U i ( ac)( a) V ac u i u i V U ac( ) i (.)..(. γ ) γ Gγ u i G E u i E a
Üç Eksenli Gerilme Hali: ) ( i u [ ] ) ( ν E u i ) ( ν ν G u i ] [ i u γ γ γ [ ] ) ( ( i G E u ν ) ( ) ( i G G u γ γ γ ν ν u i u i
Hacim ve Biçim Değiştirme Enerjileri: m m m m m m Yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki irinci ve ikinci ileşenleri için şekil değiştirme enerjisi ğunlukları hesap edilsin. Safi hacim değişikliği ile ilgili enerji u v ve alnı içim değişikliği apan enerji de u g ile gösterilsin. Buna göre g v i u u u ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) ( ν ν ν E E E u m m m v [ ] ) ( 6 G u g [ ] ) ( ) ( ) ( G u g
KTI CİSİLERİN EKNİK ÖZELLİKLERİ
F Çekme Denei: l : Çuuğun ilk kesiti l : Çuuğun ilk uunluğu F kuvveti altında anı değerler ve l lsun F l l Uama ranı : l F Gerilme ranı : F/O Orantılılık sınırı: p : gerilmesi u sınırın altında kaldıkça, cisim Hke kanununa uar ve, diagramı u ölge için c FE P -P -E arctge k l l ir dğru parçasıla gösterilir. E ve p dğrusunun eğimi elastisite mdülünü verir. Buna uaan çuukta, enine ir daralma görülmektedir. e e : Enine Şekil Değiştirme Oranı ν ν : Pissn Oranı
F/O Elastisite sınırı: E : alemenin elastik öelliğinin sna erdiği sınırdır. > E Şekil değiştirmenin ir kısmı kuvvetle irlikte geri döner ir kısmı da kalıcıdır. c FE P arctge k l l kma sınırı: F : Çekme diagramında eksenine paralel ir eşiğe karşı gelen -P -E rdinata denir. Gerilme u değere erişince,uamaların artması için artık gerilmenin çğalması gerekme. aleme içinde üük değişiklikler ve kamalar lur. Çekme mukavemeti: c : Çekme diagramında en üük rdinata denir. alemenin, ilk kesite ölünmek şartıla, kaldıraileceği en üük gerilmedir. Bir F çk erde malemeler u sınıra göre sınıflandırılır. Kpma uaması: k : Çuuk kpuncaa kadar hasıl lan tplam uama ranı O lup diagramın en üük apsisinden iarettir. k değeri maleme için çk karakteristiktir. Kpma uaması a lan ir malemee gevrek, aksi halde düktil p. (sünek) maleme denir.
Basınç Denei: Basit asınç, dene tekniği önünden çekme kadar kla değildir. Burkulma tehlikesi gö önünde tutularak kısa deneme çuukları alınır. Fakat kısa çuuklar, uç şartlarının snuçlara tesir etmesi akımından, elverişli değildir. Çk Eksenli Gerilme ltında Deneme: Tek eksenli deneler maleme hakkında ldukça önemli ilgi verseler ile, ugulama için etmeler. alemenin iki ve üç eksenli gerilme altında denenmesi gerekmektedir. Bu arada apılailen kla denemelerden iri asit kamadır. İki eksenli lan u denemede gerecin G kama mdülü ve ilgili sınırları tain edilir. rıca içi ş ru şeklindeki dene çuukları ir taraftan eksenel larak çekme vea asınca maru tutulurken, diğer taraftan içten etkien ir sıvı asıncı ardımıla çk eksenli hale rlanır. Çk eksenli denemeler arasında, üç asal gerilmenin eşit lduğu, hidrstatik asınç deneinin öel ir değeri vardır. Sıvı asıncı ile ldukça kla realie edilen u gerilme hali altında ütün cisimlerin davranışları hemen hemen iririnin anıdır. Hepsi artan hidrstatik asınç altında safi ir hacim aalması göstermekte, gerilmeler gerie döndüğü aman şekil değiştirmeler de tamamen gerie dönmekte ve hiçir plastik şekil değiştirme kalmamaktadır. Deneler göstermiştir ki, asıncın değeri ne kadar üük lursa lsun, hidrstatik asınçla, cisimleri ne emek, ne de nlarda plastik ir şekil değiştirme luşturmak mümkün değildir. 4
BOYUTLNDIRD GENEL İLKELER VE YÖNTELER
ühendislikte karşı şılaşılan aşlıca prlemler: şırı elastik şekil değiştirme, Plastik ahut kalıcı şekil değiştirme, Kırılma, kpma, eilme, Sait ük altında amanın ilerlemesile şekil değiştirmenin, sakıncalı lacak şekilde, artmaa devam etmesi (Creep). şırı elastik şekil değiştirme: Elastik şekil değiştirmenin elirli sınırlar üerine çıkması pek çk elemanı, göçme, kırılma vea eilme gii ilinen tehlikelerin dışında, görevini apama duruma getireilir. Plastik ahut kalıcı şekil değiştirme : Öellikle sünek malemeden apılı ir elemanda ük altındaki gerilme elirli ir sınırı aşarsa medana gelen şekil değiştirme ük kaldırılınca artık tümü ile geri dönme ve ölece elemanda kalıcı ir şekil değiştirme rtaa çıkar. Kırılma, kpma, eilme : Öellikle gevrek malemede görülen u tür tehlikeli durumlar elemanın aşırı ük altında kırılarak parçalara arılması şeklinde rtaa çıkar. Baı malemelerin asınç altında eilerek harap lması da teknik larak kırılma kapsamına girer. Kırılma tehlikesi, dinamik ük altındaki elemanda elirli ir tekrar saısı snunda, statik haldekinden çk daha düşük gerilme değeri için medana geleilir. Yrulma adını alan u la statik halde sünek malemede pek görülmeen kırılma tehlikesini u tür malemede dinamik ük altında ön plana çıkarır. Creep : Yapı vea makine elemanında, sait ük altında aman süresi unca artmakta devam eden şekil değiştirme larak tanımlanır.
Butlandırman rmanın n na Yöntemleri: Y Klasik öntem: Bu öntem elemanın utlarının, hiçir nktadaki gerilmenin tehlikeli durum gerilmesini aşmaacak, hatta ndan elirli ir randa küçük lacak şekilde saptanmasını öngörür. İki vea üç eksenli gerilme durumlarının sö knusu lduğu hallerde, en kesitin ir nktasındaki gerilme kavramı, erini ir nktadaki gerilme hali kavramına ırakır ve u halde tehlikeli durum ir kırılma terisinin kullanılması ile saptanailir. Taşıma gücü vea limit anali öntemi: Bu öntemde en kesitte ir nktanın tehlikeli duruma geçmesi erine tüm en kesitin ve elemanın, hatta giderek elemanlardan luşan ütün sistemin tehlikeli duruma geçmesi esas alınır ve utlandırma, elemanı u tehlikeden elirli ir randa uak tutacak surette gerçekleştirilir. Hmjen gerilme haline maru elemanlarda ir nktanın tehlikeli duruma geçmesi halinde tüm nktalar tehlikeli duruma geçmiş lacakları için her iki öntem anı snucu verir. ncak hmjen lmaan gerilme hallerinde vea elemanlardan kurulu öellikle statikçe elirsi lan sistemlerde, çk daha mdern lan taşıma gücü öntemi daha gerçekçi snuç verir. Emniet Katsaısı ve Emniet Gerilmesi: Dış kuvvetin tam larak elirli lmaması, teride apılan kauller, malemenin öellikleri, prjenin ugulanması, kntrlü, apının ömrü gii faktörler nedenile tehlike durumları kesin larak ilineme. Bu nedenle güvenlik şartının edelenmemesi için tehlikeli durumun hemen altında değil, fakat u faktörlerin ağırlık derecesine göre, elirli ir randa altında kalınması gerekir. Bölece utlandırmada, tehlikeli durum gerilmesinin vea halinin değil, unun erine u gerilme vea gerilme halinin irden üük lan ir katsaısı ile ölünmesile elde edilen değerin hemen altında kalınması sağlanır. Kesin tehlikeli durumun ilinmemesine neden lan u faktörlerin ağırlık derecelerine göre saptanan ve daima irden üük lan katsaıa emniet katsaısı adı verilir. tehlikeli durum gerilmesi e mni et gerilmesi emni et katsaısı