PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarını belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısının n! P(n, r) = n(n )(n 2) (n r + ) = ( n r )! olduğunu gösterir. 3. Kazanım : Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar. 4. Kazanım : Tekrarlı permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar. Kombinasyon. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarını belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının Pn (, r) n! C(n, r) = = olduğunu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir. r! r!( n r)! Binom Açılımı. Kazanım : Binom açılımını yapar. Olasılık. Kazanım : Deney, çıktı, örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olaylar kavramlarını açıklar. 2. Kazanım : Olasılık fonksiyonunu belirterek bir olayın olma olasılığını hesaplar ve olasılık fonksiyonunun temel özelliklerini gösterir. 3. Kazanım : Eş olasılı (olumlu) örneklem uzayı açıklar ve bu uzayda verilen bir A olayı için sa ( ) P(A) = se ( ) olduğunu belirtir. 4. Kazanım : Koşullu olasılığı açıklar. 5. Kazanım : Bağımsız ve bağımlı olayları örneklerle açıklar, A ve B bağımsız olayları için P(A B) = P(A).P(B) olduğunu gösterir. İstatistik. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumuna uygun serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bu grafikler üzerinden çıkarımlarda bulunur. 2. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumunu yansıtabilecek en uygun grafik türünün hangisi olduğuna karar verir, grafiği oluşturur ve verilen bir grafiği yorumlar. 3. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri kullanılarak gerçek yaşam durumları için hangi eğilim veya yayılım ölçüsünü kullanması gerektiğine karar verir. 4. Kazanım : Verilen iki değişken arasındaki korelasyon kat sayısını hesaplar ve yorumlar.
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASALIK ve İSTATİSTİK SAYMA KURALLARI Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma Bir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N + = {, 2, 3,...} kümesinin elemanları ile bire bir eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir. Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz. Toplama Yoluyla Sayma A ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu, s(a B) = s(a) + s(b), ( A B = ) şeklinde toplama yaparak buluruz. Örneğin; bir sınıfta 2 kız, 5 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 2 +5 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine toplama yoluyla sayma denir. Çarpma Yoluyla Sayma İkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir. Örneğin; bir okulda 0 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 0.30 = 300 öğrenci vardır. Saymanın Temel İlkesi Bir olaylar dizisinde birinci olay n değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n 2 değişik biçimde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r. olay n r farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n.n 2.... n r çarpımı kadar değişik biçimde oluşur. Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir. Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki yöntemle de bulabilirdik. Gömlekler: g, g 2, g 3, Kravatlar: k, k 2, k 3 g g 2 g 3 olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır. k k 2 k k 2 k k 2 Burada, G = {g, g 2, g 3 }, K = {k, k 2 } olmak üzere, gömlek ve kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise G x K = {(g, k ), (g, k 2 ), (g 2, k ), (g 2, k 2 ), (g 3, k ), (g 3, k 2 )} dir. G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz. ÖRNEK 4 erkek ve 2 kadın arasından erkek ve kadın kaç değişik şekilde seçilebilir? ÖRNEK 2 3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir? 54
ÖRNEK 3 Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir? ÖRNEK 4 Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı arasından matematik, fizik ve kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? ÖRNEK 5 5 kişilik bir komisyondan bir başkan, başkan yardımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir? ÖRNEK 6 {, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak; a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir? 55
ÖRNEK 7 { 0,, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak; a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? e. 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? 56
ÖRNEK 8 { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? ÖRNEK 0 İ, S, T, A, N, B, U, L harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır? ÖRNEK 9 { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? ÖRNEK 5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir? ÖRNEK 2 3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir? 57
ÖRNEK 3 3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde dağıtılabilir? ÖRNEK 6 { 0,, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. ÖRNEK 4 {, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki rakamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Buna göre, 324 sayısı kaçıncı sırada yer alır? ÖRNEK 7 ÖRNEK 5 {, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır? A B C Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? 58
ÖRNEK 9 5! = 4!.5 = 3!.4.5 = 2!.3.4.5 olur. ÖRNEK 20 Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. ÖRNEK 8 a. 0! 8! b. 8! + 9! 0! Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam 45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi vardır? ( n + )! c. ( n )! d. 5! + 6! 5! 4! e. ( 3!)! 7! FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL) n N + olmak üzere, den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre, n! =.2.3.... (n ).n olur.! = 2! =.2 = 2 3! =.2.3 = 6 4! =.2.3.4 = 24 5! =.2.3.4.5 = 20................... n! =.2.3...n ÖRNEK 2 0! +! + 2! + 3! + 4! + 5! + +9! sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır? n! = (n )!.n n! = (n 2)!.(n ).n 0! = dir. 59
ÖRNEK 22 20! sayısı 9! sayısından kaç fazladır? ÖRNEK 25 78! sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? ÖRNEK 23 85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır? ÖRNEK 26 A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6 n.a eşitliğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir? ÖRNEK 24 23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır? ÖRNEK 27 x ve y birer doğal sayıdır. x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir? 60
ALIŞTIRMALAR. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? 6. 2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir? 2. Bir kutuya en çok mektup atmak koşuluyla 2 mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde atılabilir? 7. Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir toplulukta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre bu toplulukta kaç kişi vardır? 3. 20 kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir? 8. A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluyla A dan C ye a. Kaç türlü gidilebilir? b. Kaç türlü gidilip gelinebilir? 4. 0 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur? c. Giderken kullanılan yolu dönerken kullanmamak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir? 5. Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5 seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevap anahtarı hesaplanabilir? 9. Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve x Türkçe kitabı arasından, Geometri, Matematik ve Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğine göre x kaçtır? 6
0. A = {, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesinin elemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Üç basamaklı 26 sayı yazılabilir. Rakamları farklı üç basamaklı 20 sayı yazılabilir. Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı yazılabilir. Rakamları farklı ve 400 den büyük 60 sayı yazılabilir. En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazılabilir. 2. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak 4 harfli, 20 tane sözcük yazılabilir? A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kullanarak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir? Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tanesinde E harfi vardır? 3. Aşağıdaki işlemlerin her birinin sonucunu bulunuz. Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir. a. 2! 0!. A = {0,, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b. 6! + 7! 8! b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? c. Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? ( n + 3)! c. ( n + )! d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyük kaç sayı yazılabilir? e. Rakamları farklı 500 den küçük 200 den büyük kaç sayı yazılabilir? d. 4! + 5! 5! + 6! 62
4. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. 8. 23! + 24! + 25! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 0! = 0 dır.! = dir. 0! sayısı 8! sayısının 90 katıdır. (n + 2)! = (n 2)!.(n )n(n + ) dir. 9. 60! sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? 6!.7! = 0! dir. ( 2n)! = 2 dir. n! 5. 2! + 4! + 6! +... + 80! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? 20. Aşağıdaki eşitliklerin herbirinde x ve y doğal sayılardır. Buna göre bu eşitlikleri sağlayan en büyük x değerlerini bulunuz. a. 32! = 3 x.y b. 40! = 6 x.y 6. 2! + 3! + 4! +... + 40! sayısının 40 ile bölümünden kalan kaçtır? c. 28! = 4 x.y d. 46! = 2 x.y 7. 72! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 2. 0! sayısı 8! sayısından kaç fazladır? 63
PERMÜTASYON (SIRALAMA) A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütasyon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir. A = {, 2, 3 } olsun. Permütasyonların Sayısı n, r N + ve r n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sıralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, A f A n! Pnr (, ) = olur. ( n r)! 2 3 2 3 r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının sayısı, P(n, n) = n! olacaktır. Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur. f fonksiyonunu, f = { (, 2), (2, ), (3, 3) } veya f = c 2 3 2 3 m biçiminde gösterebiliriz. ÖRNEK 29 A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sayısını bulunuz. ÖRNEK 28 A = {, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütasyon fonksiyonlarını gösteriniz. ÖRNEK 30 Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60 ise s(a) kaçtır? ÖRNEK 3 P(n, ) = P(8, 2) ise n kaçtır? 64
ÖRNEK 32 A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur? ÖRNEK 35 Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve kimya kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir? ÖRNEK 36 Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü sıralanabilir? ÖRNEK 33 5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir? ÖRNEK 37 5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanabilir? ÖRNEK 34 5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir? 65
ÖRNEK 38 Ayşe ve Fatma nın da aralarında bulunduğu 6 kişi, Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuyrukta kaç farklı şekilde dizilebilirler? ÖRNEK 40 4 erkek ve 3 bayan, bir erkek bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler? TEKRARLI PERMÜTASYON n elemanlı bir kümenin; n tanesi aynı tür, n 2 tanesi aynı tür,..., n r tanesi aynı tür ve n + n 2 +... + n r = n ise bu n tane elemanın permütasyonlarının sayısı P(n; n, n 2,..., n r ) = n! n!. n! n! 2 r kadardır. ÖRNEK 39 6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler? ÖRNEK 4 Özdeş 2 sarı ve 3 kırmızı bilye bir sırada kaç farklı şekilde dizilebilir? ÖRNEK 42 33322 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? 66
ÖRNEK 43 ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük yazılabilir? ÖRNEK 46 KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder? ÖRNEK 44 MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başlayıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir? ÖRNEK 47 A B ÖRNEK 45 4442200 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? 67
ÖRNEK 48 33300 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek ile başlayan 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON Sonlu bir kümenin elemanlarının bir daire üzerinde birbirlerine göre farklı dizilişlerinin her birine bu elemanların bir dönel (dairesel) permütasyonu denir. Sonlu n elemanın farklı dairesel permütasyonlarının sayısı (n )! tanedir. ÖRNEK 50 Ahmet, Barış ve Ceylan ın yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabileceklerini bulunuz. ÖRNEK 49 03334 sayısının rakamları ile 7 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir? ÖRNEK 5 2 kız ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler? 68
ÖRNEK 52 3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir? ÖRNEK 55 ÖRNEK 53 3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar yanyana olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir? 4 kız ve 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafına 2 erkek arasında kız olmak koşulu ile kaç değişik şekilde oturabilirler? ÖRNEK 56 ÖRNEK 54 4 öğretmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Aynı meslekten olanlar birbirinden ayrılmamak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? Renkleri farklı 5 boncuk bir halkaya kaç değişik şekilde dizilebilir? 69
ALIŞTIRMALAR 2. A = {, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonlarının herbirini yazınız. 5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz. P( 5, n) 2 a. = P( 6, n) 3 2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur? b. P(n +, 2) = 2.P(n, 2) c. P(n, 5) = 5.P(n, 3) 3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan küme 4 elemanlıdır. d. P(n, 0) + P(n, ) + P(n, 2) = 0 İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır. P(n, 0) = 20 ise n = 4 tür. 6. 4 kişilik bir banka 20 farklı şekilde oturabilen bir grupta kaç kişi vardır? P(4, 2) + P(3, 2) = 8 dir. 4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. P(n, 0) n 2 n 7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? P(n, ) P(n, 2) P(n, n) n n! 70
8. Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe kitabı bir kütüphanenin rafına,. ECEM sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı sözcük yazılabilir? a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir? b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü sıralanabilir? 2. OLASILIK sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek anlamlı ya da anlamsız 8 harfli, O ile başlayan kaç farklı sözcük yazılabilir? c. Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmak üzere kaç türlü sıralanabilir? 3. 223200 sayısının rakamlarını yer değiştirerek 8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? 9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? 4. FİRİKİK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesinde İ harfini K harfi takip eder? 0. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30 farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler? 5. Aybars ile Ecem in de aralarında bulunduğu 7 kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşuluyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilirler? 7
6. 23075 sayısının rakamları ile 8 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? 20. 5 erkek, 3 kız arkadaş yuvarlak masa etrafında a. Kaç türlü oturabilirler? 7. A b. Kızlar bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler? B C Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan harekete başlayıp B ve C ye uğrayarak D kentine en kısa yoldan gitmek isteyen biri kaç değişik yol izleyebilir? D c. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler? 8. 5 kız, 5 erkek arkadaş yuvarlak masa etrafında 2 erkek arasında kız olmak koşuluyla kaç türlü oturabilirler? 2. 2 kız ve bir grup erkekten oluşan topluluk yuvarlak masa etrafında, kızlar bir arada olmak koşuluyla 48 farklı şekilde oturabiliyorsa bu toplulukta kaç erkek vardır? 9. 4 evli çift yuvarlak masa etrafında, eşler birbirinden ayrılmamak koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilirler? 22. x kişi yuvarlak masa etrafına a farklı şekilde, bir bankın üzerine b farklı şekilde oturabiliyorsa b kaçtır? a 72
KOMBİNASYON (SEÇME) r, n N ve r n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı n n! Cnr (, ) = c m = biçiminde ifade edilir. r ( n r)!. r! n n c m= c m r n r n n c m= c m = n 0 n n c m= c m = n n n n n + c m+ c m= d n r r r P(n, r) = C(n, r).r! n n n n c m+ c m+ c m+ + c m = 2n 0 2 n n n c m = d n x = y veya x + y = n dir. x y Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır. ÖRNEK 57 A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları ile 2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız. ÖRNEK 58 n n c m= 2. c m olduğuna göre, n kaçtır? n 2 ÖRNEK 59 n n c m= c m ise n kaçtır? 5 7 : l. Yol 73
ÖRNEK 60 6 6 d n= d n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı 2 n + kaçtır? ÖRNEK 63 A = {, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ÖRNEK 6 6 6 7 8 9 d n+ d n+ d n+ d n+ d n toplamının sonucu kaçtır? 2 3 4 5 6 ÖRNEK 64 9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 62 n n n+ 9 c m+ c m+ d n= d n ise n + r kaç olabilir? 5 6 7 r ÖRNEK 65 7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 74
ÖRNEK 66 8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir? ÖRNEK 69 Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevaplaması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevaplanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir? ÖRNEK 67 7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevaplamaları istenmiştir. Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir? ÖRNEK 70 A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor. Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? ÖRNEK 68 Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği vardır? ÖRNEK 7 5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir? 75
ÖRNEK 72 5 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi bellidir. Buna göre, bu gruptan kişilik futbol takımı kaç değişik biçimde seçilebilir? ÖRNEK 75 4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir? ÖRNEK 73 6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir? ÖRNEK 76 0 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğrenci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir? ÖRNEK 74 Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur. 9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir? 76
ÖRNEK 77 0 kişiden 6 sı Urfa ya ve 4 kişi Çorum a gidecektir. Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir? ÖRNEK 80 Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3 kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete 3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler? ÖRNEK 78 A = {, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? ÖRNEK 8 5 farklı oyuncağın 3 ü Özge ye, 2 si Özlem e kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÖRNEK 79 a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı sayısı yazılabilir? ÖRNEK 82 Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden geçen en fazla kaç doğru çizilebilir? 77
ÖRNEK 83 ÖRNEK 86 Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan, köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A B C d D E F G Yukarıdaki şekilde d // d 2 olmak üzere, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir? d 2 ÖRNEK 84 Aynı düzlemde bulunan 0 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir? ÖRNEK 85 A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup herhangi üçü doğrusal değildir. Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktasıdır? ÖRNEK 87 D B C d A E F G d 2 Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir? 78
ÖRNEK 90 6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesişim noktası oluşur? ÖRNEK 88 Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir? ÖRNEK 9 A B E F G d ÖRNEK 89 C D Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralelkenar vardır? Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G noktalarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir? 79
ÖRNEK 92 Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir? ÖRNEK 94 A D B E F G H C Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır? ÖRNEK 93 A E F H B D G C Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? ÖRNEK 95 5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya kenarlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur? 80
ÖRNEK 97 A D F L M N B E K C Şekilde kaç tane dörtgen vardır? ÖRNEK 96 4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur? ÖRNEK 98 Yandaki şekilde, bir hareketli A noktasından sağ veya B C yukarı yönde ilerleyerek B noktasından geçmemek koşulu ile çizgiler üzerinden A C noktasına kaç farklı şekilde gider? 8
ALIŞTIRMALAR 3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. C(n, 0) = 4. Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz. 8 8 8 8 8 8 a. d n+ d n+ d n+ d n+ d n+ d n 2 3 4 5 6 7 C(n, n) = n C(n, ) = n b. 9 9 9 d n+ d n+ + d n 2 9 C(n, n ) = C(n, r) + C(n, r+) = C(n+, r+) P(n, r) = r!.c(n, r) c. 4 4 5 6 7 d n+ d n+ d n+ d n+ d n 2 3 4 5 2. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz. a. C(2n, ) = 2.C(n, 2) 5. A = {, 2, 3, 4, 5} kümesinin a. 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır? b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? b. P(n, 2) = 2.C(n, 3) c. En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30 3. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz. n n a. c m= c m 2 5 6. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın; a. İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir? b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir? b. 2n + 2n + d n= d n n 4 c. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgen çizilebilir? 82
7. 0 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basketbol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2 kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir? 0. Bir sınavda sorulan 0 sorunun ilk dördünden en az üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaç değişik biçimde seçilebilir? 8. 6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan a. 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?. A = {, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, a. 3 bulunur? b. 3 kız, erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip b. 2 bulunmaz? oluşturulabilir? c. 2 ve 3 bulunur? c. En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir? d. 2 veya 3 bulunmaz? d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir? 2. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 9. A B K C F D E Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebilecek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır? 3. A = {, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile, a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? 83
4. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaç noktada kesişebilirler? 7. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tane kesim noktası oluşur? 5. A B F K 8. A C D L K E M Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çember üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir? B D E F C Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır? 6. A E B K C L D M 9. Yukarıdaki şekilde B noktasında kesişen iki doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir. Bu noktaların, a. En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir? Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizilmiştir. a. Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır? b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir? b. Kaç tane kare vardır? c. Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir? c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu den büyüktür? 84
BİNOM AÇILIMI n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) n ifadesinin açılımına binom açılımı denir. (x + y) n = n n n n c mxn+ c m x n y + c m x n 2 y 2+ + c m 0 2 n y n açılımı; x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır. y nin yerine y yazılırsa (x y) n ifadesinin açılımı elde edilir. Her terimdeki dereceler toplamı n dir. n + tane terim vardır. Kat sayılar toplamı x = y = alınarak bulunur. Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir. (x + y) 2n 2n açılımında, ortadaki terim d n. n x n y n dir. n c m xn r. yr terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +). terim, sondan (n r + ). terimdir. r Pascal Üçgeni (x + y) 0 (x + y) 0 0 d n (x + y) 0 (x + y) 2 2 (x + y) d n d n 0 (x + y) 3 3 3 (x + y) 2 2 2 2 d n d n d n (x + y) 4 0 2 4 6 4 (x + y) 3 3 3 3 3 (x + y) 5 d n d n d n d n 5 0 0 5 0 2 3 (x + y) 4 4 4 4 4 4 d n d n d n d n d n 0 2 3 4............ n n n + Kombinasyon konusu işlenirken verilen, c m+ c m= d n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon r r r biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz. 2 2 2 3 Örneğin, d n+ d n= d n, d n+ d n= d n gibi 0 2 2 ÖRNEK 99 Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.. (x + y) = d nx + d n 2 2 2. (x + y) 2 = d nx + d nxy+ d n y = x 2 + 2xy + y 2 3 2 2 3 3. (x + y) 3 = d nx + d nx y+ d nxy + d n y = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 4 3 2 2 3 4 4. (x + y) 4 = d nx + d nx y+ d nx y + d nxy + d n y = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 85
ÖRNEK 00 (2x 5y) 3 ifadesinin açılımını yapınız. ÖRNEK 04 (3x 4y) n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır? ÖRNEK 0 2 c2a + b m ifadesinin açılımını yapınız. 3 ÖRNEK 05 (x 3 5x + 2) 6 açılımında sabit terim kaçtır? ÖRNEK 02 (2a + 3) 4 ifadesinin açılımını yapınız. ÖRNEK 06 (x + 2y) 6 açılımında ortadaki terim nedir? ÖRNEK 07 ÖRNEK 03 (2a b 2 + c) 5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır? (2x + y) 0 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 4. terim ne olur? 86
ÖRNEK 08 (x 2y) n = x n +... + Ax 6 y 4 +... biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldığına göre A kaçtır? cx ÖRNEK 0 2 6 + m ifadesinin açılımındaki x 6 lı terimin kat sa- x yısı kaçtır? ÖRNEK ca 3 5 a2 m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? ÖRNEK 09 (x 2 y) 2 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa sondan 4. terim ne olur? 87
c ÖRNEK 2 3 x + x 8 sayısı kaçtır? m ifadesinin açılımındaki x li terimin kat ÖRNEK 3 ^ 5 + 5h açılımında rasyonel terim kaça eşittir? 3 5 (ax + by + cz) n ifadesinin açılımında x p.y q.z t li terimin kat sayısı a p.b q.c t n!. dir. p!. q!. t! ÖRNEK 5 (x 3y + 2z) 6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri A.x 3.y 2.z olduğuna göre, A kaçtır? ÖRNEK 6 ÖRNEK 4 (x + y + z) n açılımındaki terimlerden birisi A.x 2.y 3.z 5 olduğuna göre, A kaçtır? (x 2 + 2y 3 z 4 ) 0 açılımı yapıldığında, içinde x 6 çarpanı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır? 88
ALIŞTIRMALAR 4. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. (a + b) n açılımında; n Baştan r. terim c m an rbr dir. r n Sondan (r + ). terim c m ab r n r dir. r 4. Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar toplamını bulunuz. a. (2x ) 20 Kat sayılar toplamı 2 n dir. n çift olmak üzere ortadaki terim için b. (3x + ) 4 n r = dir. 2 Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir. c. (2x 3y) 7 2. (2x y) 6 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa baştan 3. terim ne olur? d. (2x 3y + z) 40 3. Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleri bulunuz. a. (x ) 3 e. (x 2y + 3z) 7 b. (3x 2) 4 c. (x 2 x + 2) 5 5. (2x 2 y) 8 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa sondan 4. terim ne olur? 89
6. c3x m x 2 6 açılımında ortadaki terim nedir? 0. (x 2 3y 2 ) n açılımında terimlerden biri Ax 4 y 8 ise A kaçtır? 7. (x 3y) n = x n +... + Ax 4 y 2 +... eşitliğine göre A kaçtır?. cx 2 5 2 x3 m açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir? 8. cx 3 7 m x ifadesinin açılımında x 5 kaçtır? li terimin kat sayısı 2. (x y + 3z) 6 açılımında terimlerden biri Ax 2 yz 3 ise A kaçtır? 9. 6 c x x2 m ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? 3. (v2 ) 6 açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olanları bulunuz. 90
OLASILIK Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma gibi pek çok uygulama alanında kullanılmaktadır. Deney ve Çıktı Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir. gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Örnek (Örneklem) Uzayı Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına ise örnek nokta denir. Olay Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar denir. ÖRNEK 7 Bir madeni paranın atılması deneyinin; çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır. Örnek uzayı: E = {Y, T} dir. Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır. ÖRNEK 9 İki madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. ÖRNEK 8 Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay E = {, 2, 3, 4, 5, 6} dir. Üste gelen sayının tek gelmesi olayı, T = {, 3, 5} ve çift gelmesi olayı Ç = {2, 4, 6} dır. Bu iki olayın kesişimleri boş küme olduğundan, bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar denir. Gelen sayının asal sayı olması olayı, A = {2, 3, 5} olup A T Ø ve Ç A Ø dır. Yani, A olayı ile T ve Ç olayları ayrık olaylar değildir. 9
ÖRNEK 20 Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(e) = 2 n olur. ÖRNEK 22 ÖRNEK 2 İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız. İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının eleman sayısı kaçtır? 92
OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme (kuvvet kümesi) K olsun. P : K [0, ] fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. ÖRNEK 24 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A )= 3 P(B) = ve P(A B) ise P(A B) kaçtır? 4 6 A E 0 P(A) P(E) = A, B E ve A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) ÖRNEK 23 Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyini inceleyelim. E = {Y, T} örnek uzay ve K = {, {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir. A olayının olma olasılığı da P(A) dır. P( ) = 0 [0, ] P(Y) = [0, ] 2 ÖRNEK 25 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 3 3 P(B) = 5 ve P(A B) = 4 olduğuna göre aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a. P(A B) b. P(B ) c. P(A B ) P(T) = 2 [0, ] P(Y, T) = P(E) = [0, ] P(Y T) = P(Y) + P(T) = 2 + = 2 olduğundan olasılık fonksiyonunun tanımındaki 3 aksiyom da sağlanır. Yani, P : K [0, ] fonksiyonu bir olasılık fonksiyonudur. Teorem: A, B E ve P bir olasılık fonksiyonu ise a. P( ) = 0 b. A B ise P(A) P(B) c. A = E A ise P(E) = P(A) + P(A ) = d. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. 93
Eş Olumlu Örnek Uzay E = {a, a 2,..., a n } bir sonlu örnek uzay olsun. P(a ) = P(a 2 ) =... = P(a n ) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay adı verilir. Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık fonksiyonu ÖRNEK 29 Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonucu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır? sa ( ) stenen durumlar n say s PA ( ) = = dır. sb ( ) Tü m durumlar n say sı ÖRNEK 26 E = {, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise P(2) + P(5) toplamı kaçtır? ÖRNEK 30 Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonucu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 27 Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyinde, yazı (Y) ve tura (T) olmak üzere, E = {Y, T} olup s(e) = 2 dir. Buna göre, sy ( ) st ( ) P(Y) = = ve P(T) = = olur. se ( ) 2 se ( ) 2 P(Y) = P(T) = 2 olduğundan bu deneydeki örnek uzay, eş olumlu örnek uzaydır. ÖRNEK 28 İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonucu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 3 Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 94
ÖRNEK 32 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 35 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 33 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 36 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 34 Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir? ÖRNEK 37 Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır? 95
ÖRNEK 38 7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin, a. İkisinin de kız olma olasılığı, ÖRNEK 39 5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır? b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı, c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı, d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı, e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma olasılığını hesaplayınız. ÖRNEK 40 A = {0,, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? 96
ÖRNEK 4 Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır. Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci sandıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır? KOŞULLU OLASILIK E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir. PA ( + B) P(A / B) = dir. PB ( ) E eş olumlu örnek uzay ise, sa ( + B) P(A / B) = dir. sb ( ) A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B kümesi örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir. ÖRNEK 43 E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 3 ÖRNEK 42 P(B) = 2 ve P(A B) = 4 3 ise P(A / B) kaçtır? İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinciden bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 44 Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması deneyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır? 97
ÖRNEK 45 İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır? BAĞIMSIZ OLAYLAR İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. P(A B) = P(A).P(B) Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir. A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. ÖRNEK 47 A ve B bağımsız olaylardır. P(A) = 2 ve P(B) = ise 3 6 P(A B) ve P(A B) kaçtır? ÖRNEK 46 I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir? ÖRNEK 48 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? 98
ÖRNEK 49 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 5 Bir sınava giren Ali nin sınavı geçme olasılığı 5 3 ve Barış ın aynı sınavı geçme olasılığı 3 tür. Buna göre, a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır? b. Sadece Ali nin sınavı geçme olasılığı kaçtır? c. En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır? d. İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır? ÖRNEK 50 Bir topluluktaki 2 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? : I. Yol 99
SONSUZ ÖRNEK UZAYI E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan (uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü,...) oluşuyorsa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı, A nın ölçüsü P(A) = olur. E nin ölçüsü ÖRNEK 54 E = { x : x 3, x R} örnek uzayında seçilen bir noktanın [0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 52 Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir noktanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 55 D C 4 N M ÖRNEK 53 2 K L Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın, kağıdın ağırlık merkezine en çok 0 cm uzaklıkta olma olasılığı kaçtır? A B 5 3 Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgensel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar uzunlukları şekildeki gibidir. Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rastgele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma olasılığı kaçtır? 200
ALIŞTIRMALAR 5. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek uzayı 6 elemanlı olur. 5. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların a. Aynı olma olasılığını Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 26 elemanlı olur. 5 para atıldığında örnek uzayı 25 elemanlı olur. b. Farklı olma olasılığını Bir A olayının olasılığı P(A) ise P(A) dir. A kesin olay ise P(A) = dir. c. Toplamlarının 9 olma olasılığını 2. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelmesi olasılığı kaçtır? d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını e. Toplamlarının 3 olma olasılığını 3. Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kez yazı kez tura gelme olasılığı kaçtır? f. Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulunuz. 4. Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kez yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur? 6. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çektireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı kaçtır? 20
7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin, 0. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden herhangi 2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 elemanlı olma olasılığı kaç olur? a. Üçünün de beyaz olma olasılığını b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını c. Üçünün de aynı renk olma olasılığını. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak 7 üzere, P(A) =, P(B ) = ve 4 8 P(A B) = 6 ise P(A B) kaçtır? d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını e. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz. 8. 43232 sayısının rakamları yer değiştirilerek oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir sayı olma olasılığı kaçtır? 2. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 2 si erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü olduğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur? 9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz olma olasılığı kaç olur? 3. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift sayı gelme olasılığı kaç olur? 202
4. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta tura geldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılığı kaç olur? 8. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikincisinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardan biri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaç olur? 5. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayıların toplamının 0 olduğu biliniyorsa ikisinin de tek sayı olma olasılığı kaç olur? 9. s(a) = 3 ve s(b) = 4 olmak üzere, A dan B ye tanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bunun A dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur? 20. Şekildeki O merkezli puan 6. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikincisinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardan biri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bu hedef tahtasında CB = BA = AO olmak üzere, alınabilecek puanlar C B A 3 puan 5 puan O bilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur? verilenler gibidir. Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiğine göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır? 7. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikincisinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konuyor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor. 2. Yandaki şekilde A, B, C, D fabrikalarının ürettiği malların dairesel grafiği verilmiştir. Bu fabrikaların ürettiği mallardan seçilen bir malın C D 50 A C 80 20 B Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir? veya D fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır? 203
İSTATİSTİK İstatistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle yığın) hakkında yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzyıldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alanı bulmuştur. Trafik kazaları, evlenme, boşanma, doğum, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatistiğin ilgilendiği konulardır. İstatistikte incelenen olayın özellik ya da özelliklerinin aldığı değerler rakamlarla ifade edilebilmelidir. Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatistiğin ilgi alanına girmez. (Suyun 00 C de kaynaması gibi, aynı yerde aynı koşullarda yapılan her deneyin sonucu aynı olur.) Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm canlı ve cansız varlıklar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, doğum, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir. Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar sayılamadıkları ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar. Birimlerin sahip olduğu özelliklere değişken, değişkenlerin aldığı değerlere de şık denir. Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle değerlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yapılması istatistiğin amacıdır. İstatistik; Yeni bilgilere ulaşmak ve bunları geliştirmek için yapılan araştırmalardan elde edilen verileri düzenlemek, Problem çözümleri için çalışma teknikleri oluşturmak, Değişkenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nasıl etkileyeceğini tahmin etmek, Yapılan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçları, doğru yorumlamak ve anlaşılır bir biçimde sunmak, Sonuçların güvenilirliğini test etmek gibi birçok amaç için çoğu bilim dalına yardımcı olmaktadır. İstatistiksel çalışmalar yapılırken, Grafikler Merkezi Eğilim Ölçüleri Frekans Tabloları Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri (Değişkenlik Ölçüleri) gibi yöntemlerden yararlanılır. İstatistiksel verileri sözel ifadelerle açıklayarak, frekans tabloları yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlamlı ve kolay anlaşılabilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup altında toplayabiliriz. Veri Kesikli Kardefl sayısı, araç sat fl adedi, yafl, v.b. gibi Sayısal Sürekli Boy, a rl k, s cakl k v.b. gibi Kategorik ( simsel) Marka, kanal adı, ders adı, ülke, flehir v.b. gibi 204
GRAFİKLER Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar; Çizgi grafiği Sütun grafiği (Çubuk - Histogram) Daire grafiği Serpilme grafiği Kutu grafiği başlıkları altında ifade edilebilir. ÇİZGİ GRAFİĞİ Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir. ÖRNEK 56 Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hareketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir. Zaman (dk) 2 3 4 5 Yol (m) 00 50 75 75 200 200 75 50 25 00 75 50 25 Yol (m) Hareketin toplam süresi 5 dakikadır. Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.. dakikanın sonunda alınan yol 00 metredir. 2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol 75 50 = 25 metredir. 3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur. 0 2 3 4 5 6 7 Zaman (dk) yol Hız = zaman olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0- dakika aralığıdır. Bu aralıktaki hızı V = 00 0 = 00 m/dk dır. 0 En çok yol aldığı aralık 0- dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 00 metre yol almıştır. 2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m). Aynı süre içinde ( dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir. 205
ÖRNEK 57 ÖRNEK 58 S nav No 2 3 4 5 Ö renci Say s Netlerin Say s 25 30 20 30 40 0 Yukarıdaki tabloda Serasu nun 40 ar sorudan oluşan 5 farklı matematik sınavındaki netlerinin sayısı gösterilmiştir. Tablodaki verileri çizgi grafiği ile gösterelim. 8 6 4 2 0 2 3 4 5 Notlar Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin matematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? I. 3 alan 9 kişi vardır. II. En düşük geçme notu 2 ise matematik dersinden kalan öğrenci yoktur. III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir. IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir. V. ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın yarısından azdır. VI. Sınıfın ünün notu 3 tür. 3 Uyarı En düşük netin 3. sınavda çıkarılmış olmasına bakarak, bu sınavlar içinde en zor olanın 3. sınav olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin düşüklüğü başka sebeplere de bağlı olabilir; rahatlık, çok işlem hatası, konsantre bozukluğu vs. gibi. Aynı şekilde, en kolay sınavın 5. deneme sınavı olduğu söylenemez. Serasu nun sınıfının içindeki ve okul genelindeki sıralaması ile ilgili bir yorum yapılamaz. 206