BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden, z, z medana gelmektedir. Düzlem- birim şekildeğiştirme durumlarında, z, z ve z sıfırdır. Bu durumda, bir noktadaki düzlem birim şekildeğiştirme durumu, noktada belirli bir eğimi olan elemana etkien 3 birim şekildeğiştirme bileşeni ile (, and ) tanımlanır. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME Not: Düzlem-gerilme durumu Düzlem- birim şekildeğiştirme durumu Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM DENKLEMLERİ İşaret Kuralı: Normal birim şekildeğiştirmeler, ve, ve eksenleri bounca uzamaa neden oluorsa pozitiftir. Kesme birim şekildeğiştirmesi,, AOB iç açısı 90 den küçük oluorsa pozitiftir. - ve - eksen sistemi sağ el kuralına göre çalışmaktadır. Eğik bir düzlemin eğimi (üzerine etkien normal ve kesme birim şekildeğiştirme bileşenleri belirlenecek olan), θ açısı kullanılarak tanımlanacaktır. Bu açı pozitif ekseninden, pozitif eksenine doğru ölçülür. θ açısı, sağ el parmakları ile anı önde ise pozitiftir.
DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM DENKLEMLERİ Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM DENKLEMLERİ Yukarıdaki üç denklem ile düzlem gerilme dönüşüm denklemleri arasındaki benzerliğe dikkat edelim. σ, σ, σ, σ,,,, /, / ' cos sin ' cos sin ' cos sin ' cos sin ' ' sin cos ' ' sin cos Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ASAL ve MAXIMUM KESME BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRMESİ Asal Birim Şekildeğiştirmeler: Gerilme konusunda olduğu gibi, bir noktadaki elemanın eğimi, elemanın birim şekildeğiştirmesi normal birim şekildeğiştirmeler ile tanımlanacak ve kesme birim şekildeğiştirmeleri sıfır olacak şekilde belirlenebilir. Bu durumda, normal birim şekildeğiştirmeler asal birim şekildeğiştirmeler olarak adlandırılır. tan p 1, Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ASAL ve MAXIMUM KESME BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRMESİ Maimum Kesme Birim Şekildeğiştirmesi: Gerilme kavramına benzer şekilde, eksen doğrultusu, maimum kesme birim şekildeğiştirmesi ve ilgili ortlalama normal birim şekildeğiştirme aşağıdaki gibi belirlenir: tan S ma in-plane avg Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
MOHR DAİRESİ-DÜZLEM BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME Gerilme durumunda olduğu gibi, (3) ve (5) denklemlerinden elimine edilebilir ve aşağıdaki denklem azılabilir; avg R burada avg and R Bu denklem birim şekildeğiştirme için Mohr Dairesini göstermektedir. Merkezi ekseni üzerinde C( avg,0) noktasında olup, arıçapı R dir. İşaret Kuralı: sağa doğru pozitif, ve / aşağıa doğru pozitiftir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
MOHR DAİRESİNİN ÇİZİLMESİ sağa doğru pozitif ve / aşağıa doğru pozitif olacak şekilde koordinat eksenleri tanımlanır.,, birim şekildeğiştirme bileşenleri bilindiğinden, orijinden ort =( + )/ mesafesinde dairenin merkezi C( ort, 0) işaretlenir. Koordinatları A(, /) olan A referans noktası eksen takımında işaretlenir. Bu nokta ekseninin ekseni ile çakıştığı duruma karşılık gelir. Bu durumda =0. A noktası dairenin merkezi C ile birleştirilir ve CA uzunluğu trigonometri ile belirlenir. CA daire arıçapı olarak belirlendikten sonra daire çizilir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ASAL BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRMELER 1 ve asal birim şekildeğiştirmeleri ( 1 ), dairenin eksenini kestiği B ve D noktalarına karşılık gelmektedir. Bu noktalarda /=0. (Şekil a). Bu birim şekildeğiştirmeler, p1 ve p açıları ile tanımlanan düzlemlere etkimektedir. Daire üzerinde p1 ve p açıları ile gösterilen bu birim şekildeğiştirmeler, CA referans doğrusundan, sırasıla, CB ve CD doğrularına doğru saat ibresinin tersi önünde ölçülür. p dönmesinin önü (burada saat ibresinin tersi önde), referans (+) ekseninden asal düzleme doğru (+ ) anı p dönmesine karşılık gelmektedir, Şekil b.
ASAL BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRMELER 1 ve şekilde görüldüğü gibi pozitif ise, bu durumda Şekil b de gösterilen eleman ve doğrultularında kesikli çizgilerle gösterildiği gibi uzama apacaktır. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
MAKSİMUM KESME BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRMESİ Ortalama normal birim şekildeğiştirme ve maksimum kesme birim şekildeğiştirmesinin arısı, daire üzerinde E vea F noktalarından belirlenir, Şekil a. s1 ve s açıları bu birim şekildeğiştirme bileşenlerini içeren düzlemlerin eğimini verir, Şekil c. s1 açısı Şekil a da gösterilmiştir ve trigonometri ile belirlenebilir. Burada dönme saat ibresi önündedir, ve bu durumda s1 de elemanda saat ibresi önünde olmalıdır, Şekil c.
HERHANGİ bir DÜZLEMDEKİ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRMELER açısı ile tanımlanan düzleme etkien ve normal ve kesme birim şekildeğiştirme bileşenleri, Şekil a, Mohr dairesinde P noktasının koordinatları belirlenerek elde edilebilir. P noktasını belirlemek için, düzlemi tanımlaan açısı (burada saat ibresinin tersi önünde), Şekil d, daire üzerinde CA referans doğrusundan CP referans doğrusuna doğru anı önde (saat ibresinin tersi önü) ölçülmelidir, Şekil a.
GERİLME-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME BAĞINTILARI Malzemenin homojen, izotrop olduğu ve doğrusal elastik davranış gösterdiği kabul edilecektir. Genelleştirilmiş Hooke Kanunu Tek eksenli denelerde gözlenen doğrusal elastik malzeme davranışının, üç eksenli durum için genelleştirilmiş biçimine Genelleştirilmiş Hooke Kanunu denir. Bir malzemenin şekilde görüldüğü gibi üç eksenli gerilme altında (,, z ) olması durumunda, malzemede normal birim şekildeğiştirmeler (,, z ) ortaa çıkacaktır. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GERİLME-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME BAĞINTILARI Süperpozison ilkesi kullanılarak, Poisson oranı kullanılarak, Hooke Kanunu kullanılarak, at eks E gerilmeler ile birim şekildeğiştirmeler ilişkilendirilebilir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GERİLME-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME BAĞINTILARI Önce, her bir normal gerilmenin arı etkimesinden kanaklanacak doğrultusundaki eleman normal birim şekildeğiştirmesini ele alalım. ugulandığında, eleman doğrultusunda uzar ve bu doğrultudaki birim şekil değiştirme,, elemanın doğrultusunda birim şekil değiştirmesine bağlı olarak kısalmasına neden olur. z, elemanın doğrultusunda birim şekil değiştirmesine bağlı olarak kısalmasına neden olur.
GERİLME-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME BAĞINTILARI Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd Bu üç normal birim şekildeğiştirme süperpoze edildiğinde, Şekil a daki gerilme durumu için normal birim şekildeğiştirme elde edilir. Benzer denklemler ve z doğrultularındaki normal birim şekildeğiştirmeler için de elde edilebilir. Bu üç denklem üç eksenli bir gerilme durumu için Hooke kanununu genel olarak ifade etmektedir. z z z z v E v E v E 1 1 1
GERİLME-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME BAĞINTILARI Elemana bir kesme gerilmesi ugulandığında, denesel çalışmalardan elemanın sadece kesme birim şekildeğiştirmesinden dolaı şekil değiştireceği bilinmektedir. Yani, malzemede başka bir birim şekildeğiştirmee neden olmaacaktır. Benzer şekilde, z ve z sadece z ve z kesme birim şekildeğiştirmelerine neden olacaktır. 1 G z 1 G z z 1 G z Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GERİLME-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME BAĞINTILARI İzotropik malzemede bağımsız malzeme sabitlerinin saısı iki olduğundan, E, ve G arasında bir bağıntı olması gerekir. E G (1 v) Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd