İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5 Grafikte Teğet II... Fonksiona Üzerinde Olmaan Noktadan Teğet Atma.. 7 En Yakın Nokta / Teğetler Arası Açı... 8 Ugulama Zamanı... 9 Ugulama Zamanı... Tekrar Zamanı LÜ TEST... LÜ TEST... 5 Artan Azalan ve Sabit Fonksionlar... 9 Artan Azalanlığın Türevle İlişkisi... 0 Daima Artan ve Azalan Fonksion... Fonksion Üzerinden Artan Azalanlık... Grafik Yardımıla Artan Azalan... f() in Grafiğinden f'() i Yorumlama... f'() in Grafiğinden f() i Yorumlama... 5 Tahmini Grafik... Ugulama Zamanı... 7 Tekrar Zamanı LÜ TEST... 9 LÜ TEST... Yerel Ekstremum Kavramı...5 Yerel Ekstremumun Varlığı I... Yerel Ekstremumun Varlığı II... 7 f'() in Grafiğile Ekstremum... 8 Eğrilik Yönü:. Türevin Geometrik Anlamı... 9 Dönüm (Büküm) Noktası... 0 Dönüm Noktasının Varlığı / Simetri Merkezi... f() in Eğrilik Yönü ile f"() i Yorumlama... f''() Grafiği ile f() in Eğrilik Yönü... f'() in Grafiği ile f() in Eğrilik Yönünü Yorumlama... Grafikte Ardışık Türev...5 Türevin Türevleri.... Türev ile Ekstremum... 7 Ugulama Zamanı... 8 Ugulama Zamanı 5... 50 Tekrar Zamanı LÜ TEST... 5 LÜ TEST... 5 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ En Büük - En Küçük Değeri Bulma...58 Kenar - Çevre - Alan Geçişleri... 59 İç İçe Şekiller...0 Cisim İçinde Cisimler.... Derece Fonksion ve Denklem İfadeleri... Görüntü Kümesi... Fonksion Grafiği İçine Çizilen Şekiller... En Yakın Noktalar...5 Trigonometrik İfadeler... Ekonomik Ugulama...7 En Kısa Zaman / En İi Görüntü...8 Ugulama Zamanı... 9 Tekrar Zamanı LÜ TEST... 7 LÜ TEST... 7 GRAFİKLER Asimtot Kavramı...77 Düşe Asimptot...78 Yata Asimtot...79 Eğik vea Eğri Asimtot...80 Simetri Ekseni ve Merkezi...8 Grafik Çizimi...8 Polinom Fonksionların Grafiği...8 Polinom Fonksionunun Denklemini Yazma...8 Rasonel Fonksionların Grafiği...85 Köklerin Saısı...8 Ugulama Zamanı 7... 87 Tekrar Zamanı LÜ TEST... 89 LÜ TEST... 9 KONU TESTLERİ... 95 SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ...
Teğet ve Normal Doğruların Eğimi TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Bir fonksionun herhangi "bir noktasındaki türevi" fonksiona o noktadan çizilen teğetin eğimidir. Teğet değme noktasından teğet doğrusuna çizilen dik doğrua normal doğrusu denir. = f() Teğet (Teğetin Eğimi) f() = + fonksionunun üzerindeki A(, 0) noktasından çizilen teğetin eğimini bulunuz. f() in A(, 0) noktasından çizilen teğetinin eğimi m T olsun, f() = + f'() = tir. m T = f'() = = bulunur. f(a) P P, teğet değme noktası ise v v Teğetin eğimi: m T = f'(a) o a Normal v v Normalin eğimi: m T m N = Dik doğruların eğimleri çarpımı dir. Türev fonksionu teğet denklemi değildir, teğetin eğimini veren fonksiondur. (Normalin Eğimi) f() = e eğrisine üzerindeki = 0 apsisli noktasından çizilen normalin eğimini bulunuz. f() = e f'() = e dir. m T = f'(0) = e 0 = e 0 = = m T m N = m N = m N = - bulunur. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = 5 + parabolü üzerindeki (, ) noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?. = e fonksionunun = apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin eğimi kaçtır? 5. f() = sin π + 5 fonksionunun = noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?. f: R R, f() = + eğrisine = apsisli noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?. = sin t ve = cos t olmak üzere = f() eğrisine π t = noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?. f() = a fonksionunun = apsisli noktasındaki teğetin eğimi olduğuna göre a kaçtır? 7. = f() eğrisine (, 5) noktasından çizilen teğet (, ) noktasından geçtiğine göre f'() kaçtır? ) m T =, m N = ) m T = 8, m N = 8 ) ) m T = e, m N = - e 5) m T =, mn = - ) m T =, m N = 7)
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet Doğrusunun Eğim Açısı a eğim açısı ani doğrunun ekseni ile aptığı pozitif önlü açı olmak üzüre, f() in A( o, o ) noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi m T ise, m T = tan a = f'( o ) dır. f() in A( o, o ) noktasındaki teğeti eksenine paralel ( eksenine dik) ise m T = f'( o ) = 0 dır. ( Eksenine Paralel Teğet Noktaları) f() = m 5 + eğrisinin eksenine paralel teğetlerinin bu eğrie değdiği noktaların apsisleri toplamı olduğuna göre m i bulunuz. m T = 0 ise f'() = 0 olmalıdır, f'() = m 5 = 0 denkleminin kökleri ve dir. b ( ) + = - = - = & m = bulunur. a m (o Eksenine Paralel Teğet) f() = + parabolünün hangi noktasındaki teğeti eksenine paraleldir? f() in A( o, o ) noktasındaki teğeti eksenine paralel olsun, f() = + f'() = m T = 0 ise f'( o ) = o = 0 o = o = için f() = o = + = A(, ) bulunur. (Eğim Açısı) f: R R f() = 7 fonksionunun = apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısını bulunuz. f'() = 0 olmalıdır, f'() = 7 ise m T = f'() olduğundan, m T = f'() = 7 = dir. Teğetin eğim açısı a ise tan a = m T tan a = a = 5 bulunur. Aşağıda verilen ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = m + 5 parabolünün eksenine paralel teğetinin bu parabole değdiği noktanın apsisi ise m kaçtır?. f() = + + 5 + fonksionunun = apsisli noktasındaki teğetinin ekseni ile pozitif önde aptığı açı kaç derecedir?. f() = + + a eğrisinin eksenine paralel teğeti = 9 doğrusu olduğuna göre a kaçtır? 5. f() = + eğrisinin = apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısı a ise sin a cos a çarpımı kaça eşittir?. f ( ) = - - + 5 eğrisinin eksenine paralel teğetlerinin bu eğrie değdiği noktaların apsisleri nelerdir?. f() = + + m + n fonksionunun grafiği = apsisli noktasında eksenine teğet olduğuna göre m + n toplamı kaçtır? ) ) 5 ), 0, ) 5 5) 0 )
Teğet ve Normal Denklemleri TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU = f() fonksionuna P(a, f(a)) noktasından çizilen teğetin eğimi m T ve normalin eğimi m N olduğuna göre f() = + eğrisinin = apsisli noktasından çizilen, a) Teğet doğrusunun b) Normal doğrusunun denklemlerini bulalım. Teğet Denklemi: f(a) = m T ( a) dır. (m T = f'(a) dır.) Öncelikle noktanın ordinatını bulalım. = ise f() = + = dir. O halde teğet nokta P(, ) olur. Normalin Denklemi: f(a) = m N ( a) dır. (m T m N = dir.) Teğet ve normal doğruların denklemleri azılırken, bir noktası ve eğimi belli doğru denklemlerinden fadalanılır. A( o, o ) Eğim = m o = m( o ) olduğunu hatırlaınız. Eğimleri bulalım, f'() = + m T = f'() = + m T = tür. m N m T = m N = m N = = + Teğet, m T = - tür. P(, ) Normal, m N = a) Teğetin denklemi, = ( ) dir. b) Normalin denklemi, = - ( - ) dir. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = + eğrisine (, ) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi nedir?. = t + ve = t parametrik denklemi ile verilen = f() eğrisine t = den çizilen, a) Teğetin denklemi nedir? b) Normalin denklemi nedir?. = + 5 eğrisine = apsisli noktasından çizilen normalin denklemi nedir? 5. = + m + n parabolü = apsisli noktada = doğrusuna teğet olduğuna göre m + n kaçtır?. + = 0 eğrisinin (, ) noktasındaki, a) Teğetinin denklemi nedir? b) Normalinin denklemi nedir?. f() = sin + cos fonksionunun = 0 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu, normal doğrusu ve ekseni arasında kalan üçgenin alanı kaç br dir? ) = ) + + 7 = 0 ) a) = b) = ) a) = b) = + 5) )
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular = f() eğrisinden = m + n doğrusuna çizilen, Paralel teğetin eğrie değme noktası T(a, f(a)), eğimi ise m T olsun, Dik teğet m T = = P (b, b ) T(a, a ) Palelel Teğet, m T = = 5 m T = f'(a) = m (paralel doğruların eğimleri eşittir) Dik teğetin eğrie değme noktası P(b, f(b)), eğimi ise m T olsun, m T = f'(b) ise f'(b) m = (dik doğruların eğimleri çarpımı dir) f() = eğrisinin = 5 doğrusuna, a) Paralel olan teğetinin b) Dik olan teğetinin eğrie değme noktalarını bulunuz. a) m T = dir. f() = f'() = = a için, m T = a = a = dir. O halde, T(, ) bulunur. b) m T = m T = - dir. f() = f'() = = b için, m T = b = - b = - tür. O halde, P, c- m bulunur. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = + parabolünün hangi noktasındaki teğeti = 5 doğrusuna paraleldir?. f() = eğrisinin + = 0 doğrusuna paralel olan teğetlerinin değme noktaları nelerdir?. =- + parabolünün = + doğrusuna paralel teğetinin denklemi nedir? 5. f() = a + g() = + + b eğrilerinin = noktasındaki teğetleri birbirine paralel olduğuna göre a kaçtır?. f() = + eğrisinin hangi noktasındaki teğeti = 0 doğrusuna diktir?. f() = + fonksionunun + 5 = 0 doğrusuna dik olan teğetinin denklemi nedir? ) (, ) ) + = 0 ) (, ) ) (, ) ve (, ) 5) a = 0 ) = 7
Grafikte Teğet I TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU o α o = f() teğet A( o, o ) o Şekildeki d doğrusu f() fonksionuna = apsisli A noktasında teğettir. A f() Buna göre f'() i bulunuz. o d Sola atık eğimler negatiftir. = f() fonksionunun grafiğine apsisi o olan A noktasından çizilen teğetinin eğimi, bu fonksionun o apsisli noktasındaki türevi olduğunu hatırlaınız.yani, m T = tan a = f'( o ) dır. o A α f() β d f'() = m d m d = tan β = tan a m d = - =- O halde f'() = bulunur. Aşağıda verilen ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f(). f() T d d o eksenine paralel d doğrusu = apsisli noktada f() fonksionuna teğettir. Buna göre f'() kaçtır? o Şekildeki d doğrusu T(, ) noktasında = f() fonksionuna teğettir. Buna göre f'() kaçtır?. f() d. Ç - = + A T d o o B Şekildeki d doğrusu = apsisli noktada f() e teğettir. Buna göre f'() kaçtır? Şekildeki = + parabolü d doğrusuna apsisi olan T noktasında teğettir. Buna göre A ve B noktalarının ordinatları toplamı kaçtır? ) 0 ) ) ) 5
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Grafikte Teğet II Grafik üzerindeki noktanın denklemi sağlamasına göre ve türev - teğet eğimi ilişkilerile gerekli değerler tespit edilip istenilen bulunur. Örneklerle açıklaalım, 5 A o = g() 5 d c Şekildeki d doğrusu = g() fonksionunun grafiğine A noktasında teğet ve mabc ( ) = 5 % dir. f() = g() olduğuna göre f'() ün değerini bulunuz. Grafiği okuarak değer tespiti apalım, g() = 5 (Nokta denklemi sağlar) g'() = m d = tan 5 = (Teğetin eğimi o noktadaki türevdir) f() = g() f'() = g() + g'() = için f'() = g( ) + g'( ) = 5+ = 8 bulunur. : ; 5 Şekildeki t doğrusu = f() = f() A fonksionuna A noktasında teğettir. h() = f () fonksionu için verilenlere göre h() in noktasındaki o t teğetinin eğimini bulunuz. Grafiği okuarak değer tespiti apalım, f() = (Nokta denklemi sağlar) f'() = m T = 0 - h() = f () h'() = f()f'() = deki teğetin eğimi, h'() dir. = için h'() = f( ) f'( ) = ( - ) =- 9 : bulunur. - Aşağıdaki ifadelerden istenilenleri bulunuz.. f() d. A d f() 5 o o Şekildeki f() fonksionu A noktasında d doğrusuna teğettir. h ( ) = olduğuna göre h'() kaçtır? f ( ) Şekildeki d doğrusu f() fonksionuna ekseni üzerindeki ordinatı olan noktada teğettir. f() g() = olduğuna göre g'(0) kaçtır? +. = + f() o f() fonksionunun = apsisli noktasındaki teğeti = + doğrusudur. h() = + f () olduğuna göre h'() kaçtır?. A(, ) d f() o Şekildeki f() fonksionunun A(, ) noktasındaki teğeti eksenine paraleldir. h() = f() + olduğuna göre h() in = apsisli noktadaki teğetinin denklemi nedir? ) - ) 5 ) ) = 5
Fonksiona Üzerinde Olmaan Noktadan Teğet Atma TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU A( o, o ) noktasından = f() fonksionuna çizilen teğet P(a, b) noktasında eğrie değiorsa, m T b- o = = f'( a) eşitliğinden fadalanılır. a - o > : iki nokta ile eğim türev ile eğim (Dışardan Atılan Teğet) f() = e eğrisine orjinden çizilen teğetin denklemini bulunuz. o(0, 0) = e A(a, e a ) f() = e f'() = e ise m T = f'(a) = e a a e - 0 a e a m = e T = e & = & a - 0 a > iki nokta ile eğim türev ile eğim a a & e = e a a = dir. O halde, m T = f'() = e = e ve O(0, 0) noktasından geçen doğru, 0 = e( 0) = e doğrusu bulunur. a (Dışardan Atılan Teğet Çifti) f() = parabolüne A(, 0) noktasından çizilen teğetlerin eğimlerini bulunuz. = f() = f'() = m T = f'(a) = a C(a, a ) B A(, 0) m T a - 0 = = a & a = a - a & 0 = a - a > a - iki nokta ile eğim türev ile eğim 0 = a(a ) a = 0 vea a = dir. O halde, m T = m AB = f'(0) = 0 = 0 ve m T = m AC = f'() = = tür. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. = + parabolüne orjinden çizilen teğetlerin değme noktaları nedir?. f() = e eğrisinin hangi noktasından çizilen teğeti (, 0) noktasından geçer? Ç -. = + eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetlerin eğimleri nedir?. f() = ln fonksionuna orjinden çizilen teğetin denklemi nedir? ) (, ), (, ) ) 7 ve 0 ), e c m ) = e 7
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU En Yakın Nokta / Teğetler Arası Açı (Paralel Teğet Çizme) (Teğetler Arası Açı) teğet = f() P d = f() eğrisinin d doğrusuna en akın noktası d doğrusuna paralel olarak çizilen teğetin değme noktasıdır. Paralel doğruların eğimlerinin eşitliğinden fadalanılır. m T = m d = f() ve = g() kesişen iki eğri olmak üzere, m ve m kesişim noktasından çizilen teğetlerin eğimleri iken, m - m tan a = ifadesindeki α ise teğetler arasın- + m m daki açılardan birisidir. Kesişim noktası ortak çözüm (f() = g()) ile bulunur. (En Yakın Nokta) f() = + eğrisinin = doğrusuna en akın noktasını bulunuz. t d f() = + f() in d doğrusuna en akın noktası P P(a, a + ) noktasından çizilen "t" teğeti, "d" doğrusuna paraleldir. = f() = + f'() = ise m T = f'(a) = a = m d = dir. m t = m d O halde, a = a = ve P(, + ) P(, ) dir. f() = ve g() = eğrilerinin keşiştiği noktadan bu eğrilere çizilen teğetler arasındaki açının tanjantını bulunuz. Öncelikle ortak çözüm apılarak eğrilerin kesim noktası tespit edilir. I. adım: = = = O halde kesim noktası P(, ) dir. II. adım: f() = f'() = ise m = f'() = g() = g'() = - ise m = g'() = III. adım: Teğetler arası açı (eğriler arası açı) a olsun, m - m -( -) tan α = = =- bulunur. + m m + ( - ) Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = + + 7 parabolünün = + doğrusuna en akın noktasının koordinatlarını bulunuz.. f() = + fonksionunun = ve = apsisli noktalarındaki teğetleri arasındaki dar açının tanjantı nedir? Ç -. = + eğrisinin = doğrusuna en akın noktasının ordinatı kaçtır?. f() = + 8 fonksionuna eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler arasındaki dar açının kotanjantı kaçtır? 8 ) (, 0) ) ) )
Yerel Ekstremum Kavramı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU 5 f() fonksionunun artandan azalana geçtiği sürekli noktalar erel maksimum, azalandan artana geçtiği sürekli noktalar erel minimum noktalardır. Bilimsel tanım: f: A R, c (a, b) A olmak üzere (a, b) için f(c) f() ise f() in (c, f(c)) noktasında bir erel maksimumu vardır. (a, b) için f(c) f() ise f() in (c, f(c)) noktasında bir erel minimumu vardır. Mutlak ekstremumlar: f() fonksionunun erel maksimumlarından değeri en büük olanına mutlak maksimum, erel minimumlarından değeri en küçük olanına mutlak minimum denir. Fonksion sınır noktalarında tanımlı ise bu noktalar da erel ekstremum olarak değerlendirilir. = f() f: [, ) R de tanımlı f() fonksionunun grafiğine göre erel ekstremum noktalarını ve değerlerini tespit ederek mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. Noktalar Değerler Mutlak Yerel Minimum: (, 0), (, ) 0 ve Yerel Maksimum: (, ), (, 5) ve 5 5 Dikkat edilirse (, 0) noktasında azalanlıktan artanlığa geçilmemesine rağmen erel minimum olarak alındı. Çünkü bu nokta tanımlı olan sınır noktasıdır. Ancak (, ) noktası tanımlı olmadığı için erel minimum olarak ALINAMAZ!. = f() fonksionunun, = f() 5 a) Yerel minimum noktalarını bulunuz. b) Yerel minimum değerlerini bulunuz. c) Mutlak minimum değerini bulunuz.. = f() fonksionunun, Şekilde = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız.. f() in artanlığını azalanlığını ve f'() in işaretlerini aşağıdaki tablonun aralıklarında belirtiniz. f() f'() 0 5 a) Yerel maksimum noktalarını bulunuz. b) Yerel maksimum değerlerini bulunuz. c) Mutlak maksimum değerini bulunuz.. = f() artandan azalana, azalandan artana geçmediği halde erel ekstremum olan nokta hangisidir? 5. Yerel ekstremum olduğu halde türevi sıfır olmaan noktalar hangileridir?. Yerel ekstremum olmadığı halde türevi sıfır olan nokta hangisidir? 0 5 f() f'() + + + + + ) a) (, ), (, ), (, 0) b),, 0 c) ) a) (, ), (, ) b) (, ) c) ) (, 0) 5) (, ), (, ), (, 0) ) (,) 5
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Yerel Ekstremumun Varlığı I f() fonksionu = c de sürekli iken, (c, f(c)) noktası YEREL EKSTREMUM ise, (Yerel Ekstremum Bulma) f() = fonksionunun erel ekstremumlarını belirleiniz. f() = f'() = = 0 = ata teğet noktası kırık nokta 78 78 (i) f'(c) = 0 vea f'(c) oktur. (ii) f'(), = c de işaret değiştirir. Yata teğet noktası c c + f'() + f() f (c, f(c)) YEREL MİNİMUMDUR Kırık nokta c f c + f'() + f() (c, f(c)) YEREL MAKSİMUMDUR Sonuç: Sürekli olunan bir noktanın erel ekstremum olması için o noktada türev oktur a da sıfırdır şartı ile birlikte o noktada türev işaret değiştirmelidir. + = de f'() negatiften pozitife f'() + geçerken f() azalandan artana geçtiği için bu noktada f() erel f() minimuma sahiptir. Yerel minimum O halde, = için f() = = 9 ise (, 9) erel minimum noktasıdır. 9 ise erel minimum değeridir. (Yerel Ekstremum Belli İken) f() = - - + k fonksionunun erel minimum değeri olduğuna göre k ı bulunuz. f ( ) = - - + k ise f'() = f'() = 0 = 0 ( + )( ) = 0 = vea = tür. = de f'() negatiften pozitife + f'() + + geçerken f() azalandan artana geçtiği için bu noktada f() f() Yerel Yerel erel minimuma sahiptir. maks. min. O halde, = için f() = ise, f( ) = - - + k = k = 0 bulunur.. Aşağıdaki fonksionların erel ekstremum noktalarını bulunuz. a) f() = 9 +. f: R R tanımlı ve türevli bir f ( ) = - + + k fonksionunun erel minimum değeri olduğuna göre k kaçtır? b) f() = + 5 c) f() = -. f() = k + fonksionunun minumum noktasının ordinatı 5 olduğuna göre k nın pozitif değeri kaçtır? d) f ( ) = ln ) a) (, 9) erel ma, (, ) erel min b) (, ) erel ma, (, ) erel min c) (0, 0) erel maks., (, ) erel min. d) (e, e) erel min, ) )
Yerel Ekstremumun Varlığı II TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU = f() fonksionunun = a apsisli noktasındaki erel ekstremum değeri b ise f'(a) = 0 ve f(a) = b eşitliklerile elde edilen denklem sistemi çözülür. (Yerel Ekstremum Belli İken) f: R R, f() = + m + n + 0 fonksionunun = apsisli noktasındaki erel minimum değeri olduğuna göre m ve n değerlerini bulunuz. Daima artan a da daima azalan fonksionlarda erel ekstremum bulunmaz. Bir fonksionunun kırık noktalarında türevi oktur; ancak sürekli ise erel ekstremum olabilir. DİKKAT EDİNİZ! f() in = de erel minimumu olduğu için f'() = 0 ve f() in = de erel minimum değeri olduğu için f() = dir. f'() = + m + n f'() = 9 + m + n = 0...(i) f() = + m + n + 0 f() = 9 + 9m + n + 0 =.(ii) (Kırık Noktada) (i) ve (ii) ortak çözülürse m = ve n = bulunur. f() = fonksionunun varsa erel ekstremumunu belirleiniz. f() fonksionunun grafiğini çizerek değerlendirelim. = 0 de f() in türevi oktur. (kırık nokta) Ancak = 0 da f() sürekli ve artıştan azalışa geçtiği için (0, ) noktası erel maksimum noktadır. Fonksionun maksimum değeri tür. (. Derece Fonksion) f ( ) = + + k + fonksionunun erel ektremumlarının olmaması için k nın aralığı ne olur? f ( ) = + + k + ise f'() = + + k Yerel ekstremumların olmaması için f'() = 0 ın reel kökü olmamalıdır a da reel kök varsa çift katlı olmalıdır. + + k = 0 için 0 ise k 0 O halde k [, 0) dır. k dır. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = + a + b fonksionunun erel minimum noktası (, ) olduğuna göre a + b kaçtır?. f() = + a + b fonksionunun erel minimum noktası (, ) olduğuna göre b kaçtır?. f() = + + k + fonksionu verilior. Buna göre k nın hangi aralıktaki değerleri için fonksionun erel ekstremumu oktur? 5. f: R R, f() = + m n + fonksionunun = apsisli noktada erel maksimum değeri 9 olduğuna göre m n farkı kaçtır?. f() = + ( m) + + 5 fonksionunun ekstremum noktası olmadığına göre m kaç farklı tam saı değeri alır?. f: R R, f() = + m + n + fonksionu = apsisli noktadaki erel maksimum değeri 0 olduğuna göre m ve n değerleri kaça eşittir? ) ) k ) 7 ) 7 5) ) m =, n = 7
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f'() in Grafiğile Ekstremum Tanımlı olduğu aralıkta f() sürekli bir fonksion olmak üzere, f'() in grafiği ardımıla işaret tablosu apılarak f() in ekstremum noktaları tespit edilebilir. f'() tanımsız olduğu nokta, f() in kırık (sivri) noktası olduğu için ekstremum olabilir. f'() in eksenine teğet olduğu nokta f'() in çift katlı kökü olduğu için f() in ekstremumu olamaz. = f I () Şekilde, R R e tanımlı f fonksionunun türevinin grafiği verilmiştir. Buna göre = f() in ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulunuz. f'() = 0 ın kökleri, ve tür. = te çift katlı kök olduğuna dikkat ediniz. Arıca = de f'() tanımsız olduğu için işaret tablosunda değerlendirilmelidir. tanımsız nokta çift katlı kök f'() + + + f() erel erel erel min. maks. min. = ve = de f'() negatiften pozitife geçerken f() azalandan artana geçtiği için; (, f( )), (, f()) noktaları f() de erel minimum noktalardır. = de f'() pozitiften negatife geçerken f() artandan azalana geçtiği için, (, f()) noktası f() de erel maksimum noktadır. = de f'() işaret değiştirmediği için, f() de (, f()) ekstremum nokta olamaz. O halde, ekstremum noktaların apsisleri toplamı, + + = 0 bulunur.. f I () 5 o 7 Şekilde = f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. a) = apsisli noktada f in erel maksimum noktası vardır.. 7 5 5 o = f I () Şekilde = f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. a) = 7 apsisli noktada f() in erel minimumu vardır. b) = 5 apsisli noktada f() in erel maksimumu vardır. b) f in erel maksimum noktaların apsisleri toplamı 0 dır. c) = apsisli noktada f in erel maksimumu vardır. d) = apsisli noktada f in erel maksimumu vardır. e) f in erel minimum noktalarının apsisleri toplamı dir. f) = apsisli nokta f'() in erel minimum noktasıdır. g) = apsisli nokta f'() in erel maksimum noktasıdır. c) = apsisli noktada f() in erel minimumu vardır. d) (, 5) aralığında f() in erel minimumu vardır. e) f() in ekstremum noktalarının apsisleri toplamı dir. f) f() in erel maksimum noktalarının apsisleri toplamı dır. g) f() in erel minimum noktalarının apsisleri toplamı 7 dir. 8 ) a) D b) D c) Y d) D e) Y f) D g) D ) a) D b) Y c) D d) Y e) D f) Y g) Y
Eğrilik Yönü:. Türevin Geometrik Anlamı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f: [a, b] R fonksionu (a, b) aralığında I. ve II. türevli ve sürekli iken (a, b) için f() = + fonksionunun konveks ve konkav olduğu aralıkları bulunuz. f''() > 0 f in eğrilik önü ukarı doğrudur. f f dış bükedir, çukurdur, konveksdir. f eğrisi teğetlerinin üstündedir. f''() i bularak işaret tabolosunu apalım, f() = + f'() = f''() = f''() = = 0 = bulunur. f f''() < 0 f in eğrilik önü aşağı doğrudur. f iç bükedir, tümsektir, konkavdır f eğrisi teğetlerinin altındadır. f''() + f() + konkav konveks (tümsek) (çukur) (, ) aralığında f"() < 0 olduğu için f() konkavdır. (İç bükedir) (, + ) aralığında f"() > 0 olduğu için f() konveksdir. (Dış bükedir) Aşağıda verilen eğrilerin konveks (çukur) ve konkav (tümsek) oldukları aralıkları bulunuz.. f() = 8 + 8 + 5 +. f() =. f() = + + 5. f() = ( ) +. f() = 9. f ( ) = + e ) (, 0) konkav, (0, ) konveks ) (, ) konveks, (, ) konkav ) R için konkav ) (, ) ve (, ) konveks, (, ) konkav 5) (, ) konkav, (, ) konveks ) R için konvekstir 9
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Dönüm (Büküm) Noktası f Bir fonksionunun eğriliğinin ön değiştirdiği (. türevin işaret değiştirdiği) sürekli noktası dönüm (büküm) noktasıdır. o apsisli noktası f() fonksionunun dönüm noktası ise (i) f II > 0 o f II () = 0 f II < 0 f II < 0 f f II > 0 o a da (ii) f II ( o ) oktur f f II > 0 o f II < 0 (Dönüm Noktası) f() = + fonksionunun dönüm noktasını işaret tablosu aparak bulunuz. f() = + f'() = + f''() = + + = 0 = + f''() + f() Dönüm noktası = apsisli noktada f" işaret değiştirirken f in eğrilik önü değiştiği için dönüm noktasının apsisidir. (, ) noktası f() in dönüm (büküm) noktasıdır. (Dönüm Noktası Olmaan) f() = + fonksionunun dönüm noktasını bulunuz. f''() = 0 denkleminin o çift katlı kökü ise f'' fonksionu işaret değiştirmeeceği için o apsisli nokta f in dönüm noktası olamaz. + + f'' + + f'' f o o f Dönüm noktası OLAMAZLAR f() = + f'() = + f''() = = 0 = = 0 (çift katlı köktür) 0 + f''() + + f() Dönüm noktası olamaz = 0 apsisli noktada f''() = 0 ın çift katlı kökünde f'' işaret değiştirmediği için f in eğrilik önü değişmez ve dönüm noktası olamaz. Fonksionun dönüm noktası YOKTUR! Aşağıda verilen eğrilerin dönüm noktalarının koordinatlarını bulunuz.. f() = + Aşağıdaki soruları cevaplaınız. 5. f"() = ( ) ( ) ( ) olduğuna göre f() in dönüm noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?. f() = + 5. f() = e + eğrisinin dönüm noktasının koordinatları toplamı kaçtır?. f() = 5 +. f() = ( ) 7. = t t ve = t + iken = f() eğrisinin dönüm noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? (t > 0) 0 ) (, ) ) (, ) ) (0, ), (, 5) ) Yoktur - 5) ) - 7) 5 e
Dönüm Noktasının Varlığı / Simetri Merkezi TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU (Dönüm Noktasının Varlığı) (Simetri Merkezi) f(),. dereceden polinom fonksionun dönüm noktası (a, b) ise,. dereceden polinom fonksionların dönüm noktaları simetri merkezleridir. (ii) f(a) = b ve (ii) f''(a) = 0 dır. f() = + m + n + fonksionunun (, ) noktasında dönüm noktası var ise m ve n değerlerini bulunuz. f() = ve f''() = 0 dır. (i) f() = + m + n + f() = + m + n + = (ii) f'() = + m + n f''() = + m f''() = + m = 0 (i) ve (ii) ortak çözülürse m = ve n = bulunur. f() = + fonksionunun simetri merkezini bulunuz. f() = + f'() = + f''() = + + = 0 = + = apsisli nokta dönüm noktası f''() + olduğu için f() in simetri merkezidir. f() Dönüm noktası O halde, = için f( ) = ise (, ) simetri merkezidir. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = a + (a + ) + fonksionunun dönüm noktasının apsisi = olduğuna göre a kaçtır?. f() = + 5 + 7 fonksionunun simetri merkezininin koordinatları nedir?. f() = + m + ( m) fonksionunun dönüm noktasının apsisi olduğuna göre ordinatı kaçtır?. f() = + a fonksionunun simetri merkezinin koordinatları toplamı olduğuna göre a kaçtır?. f() = + m n fonksionunun = de erel ekstremumu, = de dönüm (büküm) noktası olduğuna göre m n farkı kaçtır? Ç -. f() = + a b + fonksionunun simetri merkezi (, 9) olduğuna göre a + b toplamı kaçtır? ) ) ) ) (, 0) ) )
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f() in Eğrilik Yönü ile f"() i Yorumlama Bir f fonksionunun grafiğinde, eğriliğin ön değiştirdiği dönüm noktaları f''() = 0 ın kökleridir. f in grafiğindeki sürekli olan kırık noktalar, türevsiz olmasına rağmen eğrilik ön değiştiriorsa dönüm noktasıdır. f in eğrilik önü ile f' in artan azalanlığı da orumlanabilir. f çukur ( ) f'' > 0 f' artan ( ) f tümsek ( ) f'' < 0 f' azalan ( ) f doğrusal ( ) f'' = 0 f' sabit ( ) = f() A o B C Şekildeki A, B ve C noktaları = f() fonksionunun dönüm noktalarıdır. Buna göre; a) f"() fonksionunun işaretini orumlaınız. b) f'() fonksionunun artan azalanlığını orumlaınız. a) (, ) aralığında f() çukur olduğundan f"() > 0 dır. (, ) aralığında f() tümsek olduğundan f"() < 0 dır. (, ) aralığında f() çukur olduğundan f"() > 0 dır. (, ) aralığında f() tümsek olduğundan f"() < 0 dır. = ve = apsisli noktalarda f() in eğriliğinin önü değiştiği için f"() = f"() = 0 dır ve bu noktalar f() in dönüm noktalarıdır. = apsisli noktada f() eğrisi ön değiştirmesine rağmen kırık nokta olduğu için f"() oktur; ancak bu nokta ine de f() in dönüm noktasıdır. b) f" fonksionu f' in türevi olduğu için, (, ) ve (, ) aralıklarında f"() > 0 olduğundan f'() artandır. (, ) ve (, ) aralıklarında f"() < 0 olduğundan f'() azalandır... D E C A 9 o 5 7 B = f() Şekilde f() fonksionunun grafiği verilmiştir. A, B, C, D ve E noktaları f() in dönüm noktaları olduğuna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. 7 A B o 5 f() Şekilde = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. A ve B noktaları dönüm (büküm) noktaları olduğuna göre aşağıdaki verileri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. a) f"( ) > 0 g) f'() = 0 a) f"( 5) = 0 f) f'() f''() < 0 b) f"( ) > 0 h) f"() < 0 c) f'( ) = 0 k) f'(5) = f"(7) = 0 d) f'() < 0 l) f" c m f"( ) < 0 e) f"(0) = 0 m) (, ) aralığında f'() artandır. f) f"() = 0 n) (, 0) aralığında f'() artandır. b) f"( ) < 0 g) f'(5) f"(5) > 0 c) f"( ) f"() > 0 h) f(7) f"() > 0 d) f"( ) > 0 k) (, 5) aralığında f'() artandır. e) f"(0) < 0 l) (, ) aralığında f'() azalandır. ) a) D b) Y c) Y d) D e) Y f) D g) D h) D k) D l) D m) D n) Y ) a) Y b) D c) D d) D e) Y f) D g) D h) D k) Y l) D
f''() Grafiği ile f() in Eğrilik Yönü TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f''() = 0 ın tek katlı kökleri ve, çift katlı kökü dir. Yani f"( ) = f"( ) = f"() = 0 dır. Bir f'' fonksionunun grafiğinde f''() = 0 ın tek katlı kökleri f() in dönüm noktalarıdır. f'' > 0 olduğu aralıkta f çukurdur. ( ) f'' < 0 olduğu aralıkta f tümsektir. ( ) f''() + + + f() + Çukur Tümsek Çukur Çukur f" = 0 olduğu aralıkta f doğrusaldır. ( ) f'' in grafiğinin eksenine teğet olduğu çift katlı köklerinde f'' işaret değiştirmeeceği için f in eğrilik önü değişmez, dönüm noktası OLAMAZ! (, ) aralığında f"() > 0 olduğundan f() çukurdur. (, ) aralığında f"() < 0 olduğundan f() tümsektir. (, ) aralığında f"() > 0 olduğundan f() çukurdur. f in eğrilik önünün değiştiği ve apsisli noktaları dönüm noktasıdır; ancak apsisli noktada f in eğrilik = f II () Şekildeki ikinci türevinin grafiği verilen = f() fonksionunun eğrilik önünü tespit ederek dönüm noktalarını bulunuz. önü değişmediği için, dönüm noktası olamaz. O halde, (, f( )) ve (, f( )) noktaları f() fonksionunun dönüm noktalarıdır... 7 5 9 o f II () Şekilde f"() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. 5 o 8 f II () Şekilde f: R R e sürekli f() fonksionunun ikinci türevinin grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. a) (, 9) aralığında f() çukurdur. a) R de f() tümsektir. b) ( 9, 5) aralığında f() dış bükedir. b) (0, ) aralığında f() iç bükedir. c) ( 5, ) aralığında f() konvekstir. c) f() in tane dönüm noktası vardır. d) = 7 apsisli nokta f() in dönüm noktasıdır. d) = 0 apsisli noktada f'() erel minimuma sahiptir. e) = apsisli noktada f() in eğrilik önü değişmediğinden dönüm noktası değildir. e) (, f()) noktası f() in kırık görünümdeki dönüm noktasıdır. f) f() in dönüm noktalarının apsisleri toplamı 9 dur. f) ( 5, 0) aralığında f"() tümsektir. g) = apsisli noktada f'() erel minimuma sahiptir. g) f() in çukur olduğu aralıktaki tam saılarının toplamı dır. ) a) D b) Y c) D d) Y e) D f) Y g) Y ) a) D b) Y c) Y d) D e) D f) Y g) D
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f'() in Grafiği ile f() in Eğrilik Yönünü Yorumlama Grafikle açıklaalım; f II (d) = 0 = f I () Şekilde türevinin grafiği verilen = f() fonksionunun eğrilik önünü ve dönüm noktalarını inceleiniz. a b c f II (b) = 0 o d e f I () = b ve = d apsisli noktalarda f''(b) = f"(d) = 0 dır. (, b) ve (d, ) aralığında f'() azalan olduğundan f"() < 0 dır. O halde, f() tümsektir. (b, d) aralığında f'() artan olduğundan f''() > 0 dır. O halde, f() çukurdur. Sonuç: f' fonksionunun. türevi f" fonksionu olduğu için, f' artan ( ) ise f'' > 0 f çukurdur. ( ) f' azalan ( ) ise f'' < 0 f tümsektir. ( ) (, ) aralığında; f'() azalan ise f''() < 0 f() tümsektir. ( ) (, ) aralığında; f'() artan ise f"() > 0 f() çukurdur. ( ) (, ) aralığında; f'() azalan ise f"() < 0 f() tümsektir. ( ) (, ) aralığında; f'() artan ise f"() > 0 f() çukurdur. ( ) =, = ve = apsisli noktalarda; f"( ) = f"() = f"() = 0 dır ve bu noktalarda f() in eğrilik önü değiştiği için ((, f( )), (, f()) ve (, f()) noktaları f() in dönüm (büküm) noktalarıdır... 5 8 7 o f I () Şekilde f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. a) f"( 5) = f"() = f"() = f"() = 0 b) (, 5) aralığında f() tümsektir. c) ( 5, ) aralığında f() konkavdır. d) (, ) aralığında f() iç bükedir. e) (, ) aralığında f() çukurdur. f) ( 5, ) aralığında f eğrisi teğetlerinin üstündedir. g) = apsisli noktada f() in erel maksimumu vardır. 8 8 0 0 o 5 f I () Şekilde f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız. a) 8,, 0, 5, 8 ve 0 apsisli noktalar f() in dönüm noktalarıdır. b) (, 8) aralığında f" > 0 olduğundan f çukurdur. c) ( 8, ) aralığında f" < 0 dır. d) (, ) aralığında f tümsektir. e) (, f( )) noktası f() in dönüm noktası olmasına rağmen f"( ) oktur. f) f''() = 0 in kökler toplamı dir. g) (0, ) aralığında f() in bütün teğetleri f() eğrisinin üstündedir. ) a) D b) D c) Y d) D e) D f) D g) Y ) a) D b) Y c) Y d) D e) D f) Y g) D
Grafikte Ardışık Türev TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f grafiğinden f' ve f" nasıl orumlanıorsa, f' grafiğinden f'' ve f"' f" grafiğinden f"' ve f (ıv) (n + ) anı şekilde orumlanır. f (n) grafiğinden f (n + ) ve f Bunların tersindeki orumlarda anı şekilde apılır. Yani, f f' f" f"'... Artan + Azalan Artan + Azalan... f f' f" f"'... + +... (i) f() in artan - azalan olduğu aralık hakkında orumu apabiliriz. + + + + + 5 + o f I () + + 5 + f'() + + f() azalan artan azalan = 5 ve = de f() in erel minimumu, = de f() in erel maksimumu vardır. (ii) f"() in işareti hakkında orum apabiliriz. (f() den f'() e geçişin anısı) (, ) aralığında f'() artan olduğundan f"() > 0 dır. (, ) aralığında f'() azalan olduğundan f"() < 0 dır. (, ) aralığında f'() artan olduğundan f''() > 0 dır. f"( ) = f"() = 0 dır. artan 5 o f I () Şekilde verilen f'() in grafiğine göre f(), f"() ve f"'() i orumlaınız. (iii) f"'() in işareti hakkında orum apabiliriz. = apsisli nokta tümsekte olduğu için f"'( ) < 0 dır. = apsisli nokta çukurda olduğu için f"'() > 0 dır.. 5 o f I () Şekilde f'() in grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" azarak cevaplaınız.. o f II () Şekilde f"() in grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış (Y) azarak cevaplaınız. a) f"(0) > 0 d) f'( ) f"() > 0 b) f'( ) f"( ) < 0 e) f"'( ) > 0 c) f"( ) = f"() = 0 f) f"'() f"'() > 0 g) (, 5) ve (, ) aralığında f() azalandır. h) (, 5) aralığında f() tümsektir. k) (, ) aralığında f() çukurdur. a) (, ) ve (, ) aralığında f'() azalandır. b) = apsisli noktada f'() in erel minimumu vardır. c) = 0 apsisli nokta f'() in erel maksimumudur. d) f IV () fonksionu R den R e tanımlıdır. e) f(0) = 0 dır. f) f"'() daima azalandır. ) a) D b) Y c) D d) Y e) D f) D g) Y h) D k) D ) a) D b) D c) Y d) D e) Y f) D 5
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Türevin Türevleri Türevin türevleri orumlanırken daha önce öğrendiğimiz. türev ve. türev geçişleri anen ugulanır. Bir fonksionun. türevinin o fonksionun teğetinin eğimini verdiğini hatırlaınız. (. Türevin Teğet Denklemi) f() = + + olmak üzere f'() fonksionunun = apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. Teğet f'() e çizileceği için; f'() = + + f'( ) = ise (, ) teğet noktası, f''() = + f'( ) = ise m T = teğetin eğimidir. Fonksion. Türev Artan + Azalan Fonksionun ekstremum noktalarının tespiti Fonksion. Türev + Fonksionun dönüm noktalarının tespiti O halde, = ( + ), f'() fonksionuna, = apsisli noktasından çizilen teğet denklemidir. (Dönüm Noktasından Çizilen Teğet) f() = + fonksionunun dönüm noktasından çizilen teğetinin eğimini bulunuz. f() = + f'() = + f''() = + f"() = 0 + = 0 = dönüm noktasının apsisidir. m T = f'( ) = ( ) + ( ) =, = apsisli noktasından f() e çizilen teğetin eğimidir. Aşağdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = + + + 5 fonksionu verilior. Buna göre f'() fonksionunun = apsisli noktadaki teğetinin eğimi kaçtır?. f() = + fonksionu verilior. Buna göre f'() fonksionunun azalan olduğu aralık nedir?. f() = + + fonksionu verilior. f"() fonksionunun = apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? 5. f ( ) = + + fonksionuna dönüm noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?. f ( ) = - - + fonksionu verilior. f'() fonksionuna üzerindeki hangi noktadan çizilen normalin eğimi - tür?. f ( ) = - + fonksionunun dönüm noktasından çizilen teğetinin o ve o ekseni ile oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir? ) ) ) (, 0) ) (0, ) 5) )
. Türev ile Ekstremum TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Yerel ekstremum için. türev testi: ( = 0 civarında f türevlenebiliorsa) f( 0 ) o f( 0 ) o 0 0 f'( 0 ) = 0 ise, f in = 0 da f'' ( f 0 ) < 0 erel maksimumu vardır. f f'( 0 ) = 0 ise, f in = 0 da f'' ( 0 ) > 0 erel minimumu vardır. f() = 8 + nin erel ekstremumlarını işaret tablosu apmadan eğrilik önü ile belirleiniz. f() = 8 + f'() = f''() = ı. Adım: f'() = 0 ın köklerini bulalım, = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0, =, = dir. II. Adım: f'() = 0 ın kökleri f''() de erine azalım, f''(0) = < 0 ise = 0 da erel maksimum vardır. (0, ) f f''( ) = > 0 ise = de erel minimum vardır. (, ) f''() = > 0 ise = de erel minimum vardır. (, ) (Trigonometrik Fonksiondaki Ekstremum) f() = 8 + nin erel ekstremumlarını işaret tablosu apmadan belirleiniz. f: (0, π) R, f() = sin + cos fonksionunun erel ekstremum değerlerini bulunuz. f() = 8 + f'() = f''() = I. (i) Adım: f'() = f'() 0 ın = köklerini 0 ın köklerini bulalım, bulalım, f() = sin = 0 + cos ( ) f'() ( = + cos ) sin = 0, =, = dir. f'() (ii) f'() = 0 = 0 sin ın kökleri cos f''() = de 0 erine azalım, (0, ) f''(0) = < 0 ise sin = 0 sin = cos da = erel & tan maksimum = vardır. f cos f''( ) = π > 0 ise 5π= de erel minimum vardır. (0, ) & =, = f''() = > 0 ise = de erel minimum vardır. (0, ) II. Adım: f'() = 0 ın köklerini f"() de erine azalım, f''() = sin cos olduğuna göre, π π π (i) f'' c m=-sin - cos =- < 0 π O halde, = de f() in erel maksimumuna sahip π π π değeri, fc m = sin + cos = 5π 5π 5π (ii) f'' c m= sin - cos = π c, m > 0 5π O halde, = de f() in erel minimuma sahip değeri, 5π 5π 5π fc m = sin + cos =- 5π f, - p f Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. f() = + 5 fonksionunun ekstremum noktalarındaki eğrilik önünü belirtiniz. Ç - 7. f() = + a + b + c fonksionunun = de erel minimumu olduğuna göre a ve b nin aralıkları nelerdir?. f() = + fonksionunun erel minimum ve erel maksimum noktaları nelerdir? 5. f: [0, π] R olmak üzere, f() = sin fonksionun erel minimum noktasının apsisi kaçtır?. f() = a + b + fonksionunun = de erel maksimumunun olması için a nın aralığı ne olmalıdır? ) (, ) de tümsek, erel maks. (, ) da çukur, erel min. ) (, 0) erel maks. (, 7) erel min. ) a > ) a > ve b > 5) π 7
Ekonomik Ugulama MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ (Ekonomik Ugulama) ürün adeti iken, İstenilen ifade tek değişkenli fonksion olarak azılıp. türev ile ekstremumları incelenerek en az en çok değeri tespit edilir. Örnekle açıklaalım. Maliet: M() = 0 Ciro: C() = ( 0) + 50 = 0 + 50 Kâr: K() = 0 + 50 0 = 0 + 50 Bir firma, bir dükkana tane ürünün her birini 0 den verip, mağazanın ürünlerin her birini ( 0) den satması koşulula 50 pirim ödeeceğini sölüor. Buna göre dükkan bu işten, a) Kaç ürün sattığında en az cirou elde eder? a) C() = 0 + 50 C'() = 0 = 0 = 0 adet üründe en az ciro elde edilir. b) K() = 0 + 50 K'() = 0 = 0 = 5 adet üründe en az kâr elde edilir. K(5) = 5 0 5 + 50 = 5 bulunur. b) En az kaç kâr elde edebilir?. Bir otomobil firması ılda adet otomobil üreterek bir otomobilden (0000 ) lira kâr elde edior. Bir ılda maksimum kâr elde etmesi için kaç otomobil üretmelidir?. Bir atölede ada tane aakkabı apılmaktadır. Her aakkabı c0 - m liraa malolmaktadır. Aakkabıların tanesi c50 + m liraa satıldığına göre maksimum 0 0 kârın elde edildiği ada kaç tane aakkabı satılmıştır?. 0 liraa alınan bir ürün (0 ) liraa satılmaktadır. a) Satıştan en çok hasılatın elde edilmesi için ürün kaç liraa alınmalıdır? b) Kârın en çok olması için ürün kaç liraa alınmalıdır? Ç -. Bir sinemada bir bilet 0 liradan satıldığında 00 kişi film izlemee gelmektedir. Sinema biletine apılan her liralık indirimde sinemaa gelen müşteri saısı 0 kişi artmaktadır. Sinemanın kasasına en fazla paranın girdiği gün bir bilet kaç liradır? ) 5000 ) a) 50 b) 00 ) 00 ) 5 7
MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ En Kısa Zaman / En İi Görüntü (En Kısa Zaman) (En İi Görüntü) İstenen zaman ifadesi tek değişkenli fonsion olarak azılıp. türev ile ekstremum ifadeleri incelenerek en az en çok değeri tespit edilir. Örnekle inceleelim. ol = hız zaman olduğunu hatırlaınız. İstenen ifade trigonometrik açılımla tek bilinmeenli fonksion olarak azılıp. türev ile ekstremum ifadeleri incelenerek en az en çok değeri tespit edilir. tana! tan b tan (a ± b) = olduğunu hatırlaınız. " tana tan b C Şirin Nehir Ferhat A B A C D 0 B 0 Pisagor teoreminden; Yüzülen Yol = AD AB = 0 m ve BC = 0 m dir. Ferhat'ın üzme hızı m/dk ve ürüme hızı 0 m/dk dır. A noktasından sua giren Ferhat en kısa sürede Şirin'e kavuşmak için B den kaç m uzaklıkta sudan çıkmalıdır? 0 A dan sua giren Ferhat en kısa sürede D noktasına kadar üzererek, C ve D arasını ürüerek Şirin'e kavuşur. = 0 + dir. 0 + Yol = Hız Zaman 0 + = t & t = üzülen için 0 - Yol = Hız Zaman 0 = 0 t t = 0 ürünen için Buna göre zamanlar toplamı; T() = t + t = 0 + T'() = 0 + 0 - + 0 + - = 0 & = 80 m dir. 0 D Perde C A noktasında bulunan bir projeksion cihazı [CD] de bulunan perdee ansıtılıor. CD = 8m, BC = m A B olduğuna göre projeksionun en büük açıla perdee ansıtılması için AB kaç m olmalıdır? D Projeksion cihazının en büük açı a θ 8 ile ansıtılması için C mbad ( t ) = α ve m( BAC t ) = i ise a θ mcad ( ) = α -i A B tan (a θ) en büük olmalıdır. tan tan α ve i = = dir. tanα - tan i T ( ) = tan( α - i) = + tanα tani - 8 & T ( ) = = + + 8 8( + 8) -8 7-8 T'( ) = = ( + 8) + 8 7-8 T'( ) = 0 & ( + 8) = 0 & = m dir.. km 7 A B Toprak zemin Asfalt C AB = 7km ve BC = 0km dir. Bir bisikletli toprak zeminde km/sa ve asfalt olda km/sa hızla ilerlemektedir. A dan toprak zemine giren bu bisikletli en kısa sürede C e gitmek için B den kaç km uzakta asfalt ola çıkmalıdır?. A D Perde C B CD = m BC = m dir. A noktasında bulunan bir kişinin perdei en büük açı ile görmesi için AB kaç m olmalıdır? (Kişinin bou önemsizdir) 8 ) ) 5
GRAFİKLER Köklerin Saısı Verilen fonksiondaki kök saısının belirlenmesi için I. Adım: ekstremum noktaları bulunur. II. Adım: Ekstremumlardan erel minimum ve erel maksimumum işaretlerine göre kök saısı belirlenir. Örnekle açıklaalım. (Fonksionun Kök Saısı) f() = + + fonksionunun kök saısını tespit ediniz. f() = + + f'() = + f'() = 0 + = 0 ( ) = 0 = 0 ve = 0 f'()= + + f() min. maks. f(0) = 0 + 0 + f(0) = f() = + + f() = 8 Fonksionun minimum ve maksimum değerlerine göre grafiği belirlendiğinde eksenini kestiği noktalar kökleridir. 8 o f() Fonksionunun eksenini kestiği bir noktası ani bir tane kökü vardır. (Fonsionun Kök Saısı) f() = + a fonksionunun üç tane kökünün olması için a nın aralığı ne olmalıdır? f() = + a f'() = f'() = 0 = 0 = ± f'()= + + f() o maks. min. Fonksionunun maksimum değeri pozitif, minimum değeri negatif olduğunda üç kökü bulunur. f( ) = ( ) ( ) + a = 8 + + a O halde f( ) = a + > 0 a > dır. f() = + a = 8 + a O halde f() = a < 0 a < dır. Buna göre a (, ) dır. (Fonsionun Tersinin Varlığı) f() = + a + + 7 fonksionunun tersinin var olmasını sağlaan a nın aralığını bulunuz. Fonksionunun tersinin olması için fonksion birebir ve örten olmalıdır.. dereceden bir fonksionun birebir ve örten olması için bir kökü olmalı ve daima artan vea daima azalan olmalıdır. f() o f() = + a + + 7 f'() = + a + Daima artan olması için f' 0 Δ 0 Δ = (a) 0 a 0 a a,. f() = 5 + fonksionunun kaç tane kökü vardır?. f() = + + a + fonksionunun tersinin olması için a nın aralağı ne olmalıdır? 8 ) ) c, E
Teğet ve Normal Doğruların Eğimi ve Denklemi KONU TESTİ. f() = + 5 + fonksionunun = 0 apsisli noktasındaki teğetin eğimi kaçtır?. f() = ln (cos ) eğrisinin apsisi π olan noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? A) B) C) D) E) 5 A) - B) - C) 0 D) E). f() = a + fonksionunun = noktasındaki teğetinin eğimi 8 olduğuna göre a kaçtır? A) B) C) D) E) 5 π 7. f() = sin (cos ) in = noktasındaki normalin eğimi kaçtır? A) B) C) 0 D) E). f() = + fonksionuna = apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi = m + n olduğuna göre m + n toplamı kaçtır? 8. = a + 5 fonksionunun = apsisli noktasındaki teğeti ekseni ile 5 lik açı apıorsa a kaçtır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 A) B) C) 5 D) E). + + 5 = 0 eğrisinin P(, ) noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? 9. f() = + 5 fonksionunun hangi noktasındaki teğeti ekseni ile 5 lik açı apar? A) B) C) - D) E) A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 5. f() = + fonksionu üzerindeki = apsisli noktadan çizilen normalin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) + = 0 B) + + 5 = 0 Ç - 0 0. R R tanımlı f ve g fonksionları f() = + ve g() = + kuralı ile tanımlanıor. h() = (fog)() ile tanımlı h fonksionunun hangi noktasındaki teğetinin eğimi dır? C) + + = 0 D) + = 0 A) (0, 5) B) (, ) C) (, ) E) + 0 = 0 D) (, 5) E) (, 5) 95
f'() ve f''() Grafikleri ile Yorum KONU TESTİ -.. O f'() Şekilde = f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi anlıştır? 5 O = f'() Şekilde f() fonksionunun türevinin grafiği verilmiştir. f() in = a için maksimum, = b için minimum ve A) f''() = 0 B) f''(0) = 0 C) f''( ) > 0 = c için dönüm noktası var ise a + b + c toplamı kaçtır? (a > 0, c < 0) D) f''() < 0 E) f'''( ) > 0 A) B) C) D) E) 5.. O f'() 7 O 8 = f'() Şekilde = f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre = f() in dönüm noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Şekilde = f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f() için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) < için artandır. B) = apsisli noktada erel maksimumu vardır. C) = dönüm noktasıdır. D) (, ) için f''() > 0 dır. E) = apsisli noktada erel maksimumu vardır... = f'() O O Şekilde f'() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) f''(0) < 0 B) f''() > 0 C) f'''() < 0 D) f''() > 0 E) f'''( 5) < 0 f() Şekilde = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre; I. (, ) aralığında f'() > 0 dır. II: = apsisli noktada türev olmadığı için f() in erel ekstremumu oktur. III. f'( ) = 0 dır. IV. (, ) aralığında f'() < 0 dır. Yukarıda verilenlerin hangileri doğrudur? A) I, II ve IV B) I ve III C) II ve IV D) I ve IV E) II, III ve IV 5
Sizin İçin Çözdüklerimiz Ç - A noktası = + parabolünün eksenini kestiği nokta olduğu için = + de = 0 için = 0 + = bulunur. Yani A(0, ) dir. T noktası = + parabolünün üzerinde olduğu için T noktasını = + de sağlatabiliriz. O halde T nin ordinatı = için = + = 5 dir. Yani T(, 5) dir. B(0, k) olsun, d doğrusunun (teğet) eğimi parabolün türevinin = apsisli noktadaki değeridir. = + ' = '() = m d = m d = = k - 5 (T ve B noktalarından eğim) k = tür. 0- O halde A nın ordinatı, B nin ordinatı ise ordinatlar toplamı + = bulunur. Ç - 5 f() = e f'() = e e f'() = e ( ) = 0 = + f'() + Artan Azalan Ç - f() in (, 9) simetri merkezi ise f''( ) = 0 ve f( ) = 9 dur. f'() = + a b f"() = + a f"( ) = + a = 0 a = f() = + b + f( ) = + + b + = 9 b = tür. Buradan a + b = bulunur. Ç - T(a, ln a) Teğet f() Teğetin eğimi: m T = f'(a) dır. f'( ) = & m = f'( a) = T a O ve T noktalarından geçen teğetin eğimi 0(0, 0) ise ln a 0 ln a mt = = a -- 0 a O halde bu eğimleri eşitlersek ln a = & a = e dir. T(e, ) olur. a a O halde eğimi e ve 0(0, 0) noktasından geçen doğru denkleminden ( ) e - 0 = - 0 & = bulunur. e Ç - = f() = + 8 parabolünün eksenini kestiği noktalar = 0 için + 8 = 0 ( ) ( ) = 0 = ve = ani (, 0) ve (, 0) dır. d (, 0) = f() (, 0) d f'() = m = f'() = = m = f'() = = İki doğru arasındaki açı a ise, m - m -- tan α = = = tür. cot α = + m m + ( - ) A(, ) Ç - = + Teğet ' = m T = '() = Eğimi olan A(, ) noktasından geçen doğrunun denklemi ( ) = = + = + ile = + ortak çözülürse + = + + = 0 = ve = dir. O halde B(, 5) bulunur. Ç - 7 f() in = de erel minimumu varsa f'( ) = 0 ve f"( ) > 0 olmalıdır. f'() = + a + b f'( ) = a + b = 0 f"() = + a f"( ) = + a > 0 a > tür. b a + b = 0 a = + eşitliğini a > eşitsizliğinde erine azılır- sa b + > b > bululur. Ç - 8 Bu sorua çok dikkat etmelisiniz. Soruda f'() in azalan olduğu aralık soruluor. Yani f"() < 0 olduğu aralığı bulmalıız. f'() = + 8 f''() = + 8 = 0 = + f''() + f'() Artan f'() Azalan D N A Ç - 9 Ç - 0 M f'() (, ) aralığında azalandır. C B - A() = ( ) A() = 7 A'() = 7 = 0 = dır O halde A() = ( 8) = m bulunur. K L (- ) A() = - & A'( ) = - + - = 0 & = dir O halde, A ( ) = - 8 = cm bulunur.