HOMOJEN OLMAYAN POISSON SÜRECİ: BİR MADEN MAKİNESİNİN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ

Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. J. Fac. Eng. Arch. Gazi Univ. Cil 25, No 4, 827-837, 2 Vol 25, No 4, 827-837, 2 HOMOJEN OLMAYAN POISSON SÜRECİ: BİR MADEN MAKİNESİNİN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ Nevin UZGÖREN* ve Sermin ELEVLİ** * Dumlupınar Üniversiesi, İİBF, İşleme Bölümü, 4327, Küahya ** Ondokuz Mayıs Üniversiesi, Müh. Fak. Endüsri Müh. Böl., 5539, Samsun nuzgoren@dpu.edu.r, sermin.elevli@omu.edu.r (Geliş/Received: 9..2; Kabul/Acceped: 26.7.2) ÖZET Herhangi bir güvenilirlik analizi yapılmadan önce, verilerin bağımsız ve benzer dağılmış (bbd) olup olmadıklarını konrol emek amacıyla rend esleri yapılmalıdır. Veri seinde rendin varlığı espi edildiği akdirde, Arızalar Arası Süre(AAS) nin zamana bağlı olarak değişiğini kabul eden Homojen Olmayan Poisson Süreci (HOPS) rendi anımlamaka kullanılmalıdır. Bu çalışmada, rend esleri bir çekme kepçenin (dragline) mekanik sisemine ai birbirini akip eden arıza sürelerinin bağımsız ve benzer şekilde dağılmamış olduğunu gösermişir. Uyum iyiliği esleri, Homojen Olmayan Poisson Sürecinin özel bir durumu olan Kuvve Yasası Süreci (KYS) nin arıza verilerini değerlendirmede kullanılabileceğini gösermişir. Ayrıca, KYS nin paramereleri kullanılmak sureiyle beklenen arıza adedi, bir sonraki beklenen arıza zamanı ve farklı zaman periyodları için güvenilirlik değerleri hesaplanmışır. Anahar Kelimeler: Güvenilirlik, homojen olmayan poisson süreci, kuvve yasası süreci NONHOMOGENEOUS POISSON PROCESS: RELIABILITY ANALYSIS OF A MINING EQUIPMENT ABSTRACT Before any reliabiliy analysis, rend ess mus be carried ou o check wheher he assumpion of independen and idenically disribued (iid) observaions is saisfied or no. When rend is deeced, Nonhomogenous Poisson Process (NHPP), which assumes ha he Time Beween Failures (TBF s ) vary as a funcion of ime, mus be used o describe he rend. In his sudy, he ess for rend showed ha imes beween successive failures for he mechanical sysems of a dragline are no independen and idenically disribued. Goodness-of-fi ess showed ha he Power Law Process (PLP), a cerain form of NHPP, provides a good fi o he failure daa. Besides, expeced failure number, prediced ime o nex failure and reliabiliy for differen ime periods have been esimaed by using he parameers of PLP. Keywords: Reliabiliy, nonhomogeneous poisson process, power law process. GİRİŞ (INTRODUCTION) Özel bir görevi yapmak üzere aralarında belirli ilişkiler ve ekileşimler bulunan nesneler ve donanımların bir büün oluşuracak biçimde büünleşik kombinasyonuna sisem adı verilir. Bir sisemin kendinden isenen fonksiyonları yerine geirme yeeneğini anımlamada kullanılan erim sisem ekinliği dir. Sisem ekinliği, verilen bir süre içerisinde sisemin bir iş alebini başarı ile yerine geirmesi olasılığı olarak anımlanmakadır. Ekinlik; sisemin asarlanma, imal edilme, kullanılma ve bakımının yapılma şeklinden ekilenir. Bu nedenle sisem ekinliğinin değerlendirilmesi ve iyileşirilmesinde güvenilirlik analizleri önemli bir yer umakadır. Güvenilirlik analizi, bir sisem, bir siseme bağlı al sisem veya bir sisemin içinde yer alan kriik bir parça veya ürünün güvenilirliğinin ölçülmesi, hesaplanması ve değerlendirilmesi işlemidir []. Güvenilirlik analizlerinde sisemler amir edilebilir ve amir edilemez olmak üzere iki grup alında değerlendirilmekedir. Arıza oraya çıkması

N. Uzgören ve S. Elevli Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi durumunda yeniden çalışır hale geirilebilen sisemler amir edilebilir sisem (örn. kamyon) ve yeniden çalışır hale geirilemeyen sisemler (örn. ampül) ise amir edilemeyen sisemler olarak adlandırılmakadır. Yenilenme Süreci (YS-Renewal Process) ve Homojen Olmayan Poisson Süreci (HOPS-Nonmomogenous Poisson Process); amir edilebilir sisemlerin güvenilirlik analizi söz konusu olduğunda yaygın olarak kullanılan sokasik süreç modelleridir. Bu modeller arıza davranışını anımlayan değişken olarak, sisemin çalışır durumda olduğu süreleri esas alır. İki süreç arasındaki emel fark, YS nde arıza yoğunluğunun sabi, HOPS nde ise sabi olmamasıdır. Durağan (saionary) bir model olan YS de sisemin her arıza oluşumunun ardından yapılan düzelici işlemler ile yeni gibi iyi (good as new) durumuna döndüğü kabul edilmekedir [2]. Ancak amir edilen sisemin güvenilirliği bakım, amir, revizyon, bileşenler arasında bağımlılık, kullanım yoğunluğu ve çevresel koşullar gibi sokasik modellerde dikkae alınmayan bazı fakörlerin ekisiyle çoğunlukla yeni bir sisemle aynı durumda değildir. Dolayısıyla arıza yoğunluğunun zamanla azalması durumunda Arızalar Arası Süre (AAS) daha uzun, zamanla arması durumunda ise AAS daha kısa olur. Böyle durumlarda arıza yoğunluğu sisemin yaşıyla birlike değişiğinden durağan olmayan bir model olan HOPS kullanılmalıdır [3]. Sisem güvenilirliğinin amirden sonra değişmediği (eskisi kadar köü- as bad as old) esasına dayanan HOPS, arıza yoğunluğu fonksiyonunun bir sabi olmadığı poisson süreci olarak anımlanmakadır [4]. Bu açıklamalar doğrulusunda, güvenilirlik analizlerinde en önemli aşama arıza verilerini modellemek için kullanılacak uygun modelin belirlenmesidir. Bu amaçla ilk olarak yapılması gereken işlem arıza verileri üzerinde bağımsızlık (independen) ve benzer dağılım (idenically) varsayımlarının geçerliliğinin araşırılmasıdır. Sisemin arıza verileri bu iki varsayımı sağladığında, arıza süreci genellikle sandar olasılık modellerini (Weibull, normal, ) içeren YS ile modellenebilir. Ancak arıza verileri benzer dağılımlı olmadığında, yani rend içerdiğinde arıza süreci HOPS ile modellenebilir. Madencilik; kamyon, ekskavaör ve çekme kepçe gibi büyük iş hacmine sahip ve yüksek yaırım gerekiren iş makinelerinin yoğun bir şekilde kullanıldığı bir sekördür. Özellikle günümüz rekabe oramında üm çabaların üreim maliyelerini düşürmek üzerine odaklanması, söz konusu iş makinelerinden maksimum faydanın sağlanmasına dönük ihiyacı daha belirgin bir hale geirmişir. Bu kapsamda güvenilirlik analizleri bu ihiyacın karşılanmasında yararlanılacak emel araçlardan birisi durumuna gelmişir. Son yıllarda değişik iş makineleri için yapılan güvenilirlik analizi çalışmalarının sayısında gözlenen arış, bu konunun öneminin madencilik sekörü arafından anlaşıldığının bir gösergesidir. Lieraürde raslanan bazı çalışmalar kullanılan süreç modeline göre Tablo de liselenmişir. Bu çalışmanın emel amacı açık işleme madenciliğinde örü-kazı işleminde kullanılan büyük iş hacimli bir iş makinesi olan çekme kepçenin güvenilirlik analizinde Homojen Olmayan Poisson Tablo. Maden İş Makineleri Alanında Yenilenme Süreci (YS) ve Homojen Olmayan Poisson Süreci HPOS) ni Kullanan Bazı Çalışmalar (Some Works Using Nonhomegenous Poisson Process and Renewal Process in he Field of Mining Machines) Süreç Modelleri Yıl Yazar (lar) 989 [5] Kumar, U. 993 [6] Kumar, D. and Vagenas, N. 994 [7] Paraszczak, J. and Perreaul, J.F. 23 [8] Hall, R.A. and Daneshmend, L.K. Yenilenme Süreci 23 [9] Hall, R.A. and Daneshmend, L.K. 24 [] Lhorene B. e al 27 [] Barabady J. and Kumar U. 28 [2] Elevli S. e al 29 [3] Gupa S. e al 29 [4] Vayenas N. and Wu X. 992 [5] Kumar, U. and Klefsjö, B. 995 [6] Majumdar S.K. Homojen Olmayan Poisson Süreci 2 [7] Pulcini G. 2 [3] Rao K.R.M. and Prasad P.V.N. Yenilenme Süreci + Homojen Olmayan Poisson Süreci 29 [8] Loui D.M. e al 2 [9] Samana, B. e al 25 [2] Barabady J. and Kumar U. 997 [2] Vagenas, N. e al 28 [22] Barabady J. and Kumar U. 828 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2

Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi N. Uzgören ve S. Elevli Süreci ile arıza verilerinin nasıl modelleneceğini gösermekir. Bu amaçla bir kömür işlemesinde kullanılan bir çekme kepçenin mekanik arızalarına yönelik güvenilirlik analizleri, 28 yılına ai arıza verileri kullanılmak sureiyle yapılmışır. 2. GÜVENİLİRLİK (RELIABILITY) Bir sisemin (ya da bir ekipmanın) güvenilirliği, belirli bir zaman periyodunda ve verilen koşullar alında sisemin arıza olmaksızın çalışma olasılığıdır [2]. Dolayısıyla güvenilirlik, herhangi bir sisem için başarı performansının olasılığı ile ilgili bir kavramdır. Açıkır ki, herhangi bir sisemin başarı performansının ne olduğu ya da sisemin arıza oralamasının ne olduğunu bilmeden, bir sisemin amaçlanan fonksiyonuna yönelik performansının ne zaman düşeceğini ahmin emek mümkün değildir [23]. Bir sisemin güvenilirliği, birbirini akip eden AAS nin analizine dayanır. Bir sisemin AAS si ya da yaşam süresi deerminisik olarak anımlanamaz ve dolayısıyla bu süreler rassal bir değişkendir. Dolayısıyla güvenilirlik, AAS rassal değişkenine bir olasılık fonksiyonu aanarak ölçülebilir [23]. T, AAS rassal değişkeni olarak anımlansın. Bu durumda zamanında bir sisemin güvenilirliği R(), sisemin zamanına kadar arızalanmaması olasılığıdır ve aşağıdaki şekillerde anımlanabilir: R()=P(T>)=-F()=- f ()d () Burada f() ve F() sırasıyla, T rassal değişkeni için, olasılık yoğunluk fonksiyonu ve birikimli dağılım fonksiyonunu gösermekedir. Ayrıca arızalar arası oralama süre (AAOS) güvenilirliğe bağlı olarak aşağıdaki gibi anımlanır [23]. μ T =B(T)= f ()d = R ()d (2) Dolayısıyla ekin bir güvenilirlik analizi, T rassal değişkenine ilişkin uygun bir olasılık fonksiyonunun belirlenmesi ile mümkündür. 2.. Güvenilirlik analizinde model belirleme aşamaları (Model deerminaion sages in reliabiliy analysis) Daha önce belirildiği gibi güvenilirlik analizi bir sisem ya da bir ekipmanın çalışır durumda olduğu süreleri göseren AAS lerin analizine dayanır. Güvenilirlik analizinin en önemli aşaması da bir sisem veya ekipmana ilişkin bu AAS verilerini anımlayacak en uygun olasılıksal modeli belirlemekir. Eğer bir sisem herhangi bir amirden sonra yeni gibi iyi-ilk hali gibi olma koşulunu sağlıyorsa, bu durumda arıza süreci yenilenme süreci ile modellenebilir. YS de, arızalar arası süreler bağımsız ve benzer dağılım(bbd) lıdır [2]. Bağımsızlık varsayımı AAS verilerinin birbirleriyle ilişkisiz olduğu, benzer dağılım varsayımı ise AAS verilerinin kronolojik sırasının herhangi bir bilgi içermediği, diğer bir deyişle sisemin daha iyiye ya da daha köüye gimediğini gösermekedir. Bu varsayımların geçerliliği çeşili korelasyon ve rend analizleri ile isaisiksel olarak incelenebilir. Yapılan korelasyon ve rend analizleri sonucunda AAS verilerinin bağımsız ve benzer dağılıma sahip olduğu belirlenirse, AAS verilerinin modellenmesinde YS modelleri, yani Üsel, Weibull ve Lognormal gibi sandar durağan olasılık modelleri kullanılabilir [24]. Bu varsayımların geçerliliği alında kullanılabilecek diğer bir yaklaşım ise YS nin özel bir durumu olan Homojen Poisson Süreci (HPS) dir. Homojen Poisson Sürecinde, AAS verilerinin bağımsız ve üsel dağılıma sahip olduğu varsayılır [2]. Güvenilirlik analizinde bir sisemin güvenilirliğinin anlamlı bir şekilde gelişip gelişmediğini, yani rend içerip içermediğini belirlemek oldukça önemlidir. Eğer birbirini izleyen AAS anlamlı bir aran rende sahip ise, sisem aran bir güvenilirliğe sahip demekir. Eğer birbirini izleyen AAS anlamlı bir azalan rende sahip ise, sisem azalan bir güvenilirliğe sahip demekir. Böyle durumlarda AAS verilerinin modellenmesinde HOPS modeli ele alınır [2]. Eğer AAS verileri rend içermiyor, ancak bağımsızlık varsayımını sağlamıyorsa, bu durumda Ardışık Poisson Süreci modeli benimsenir. Güvenilirlik analizlerinde model belirlenirken genel olarak aşağıdaki beş aşamalı süreç izlenir [2] [5] [9] [24]: Birbirini izleyen Arızalar Arası Süre belirlenir. Verilere uygun olasılık dağılımının (modelinin) belirlenebilmesi için, bağımsızlık ve benzer dağılım (bbd) varsayımlarının geçerliliği es edilir. Varsayımlar geçerli ise, uygun bir durağan olasılıksal model (Weibull, Normal, Lognormal, Üsel, ) ile arıza verileri modellenir. Varsayımlar geçerli değil ise, uygun bir durağan olmayan olasılıksal model (Homojen Olmayan Poisson Süreci Modeli, Ayrışık Poisson Süreci Modeli gibi) ile arıza verileri modellenir. Belirlenen modelin verilere uygunluğu es edilir. Yukarıda anımlanan aşamalar Şekil de şemaik olarak göserilmişir: Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2 829

N. Uzgören ve S. Elevli Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi Sahadan Verilerin Toplanması Arıza Verilerinin Kronolojik Olarak Düzenlenmesi Trend esinin yapılması Trend? hayır AAS benzer dağılımlı eve Durağan Olmayan Model (HOPS) Ayrışık Poisson Süreci eve Bağımlılık? hayır Veriler bağımsız ve benzer dağılımlı (YS) Uygun isaisiksel dağılımın belirlenmesi Şekil. Güvenilirlik analizinde model belirleme akış şeması [9] (Flowchar for model deerminaion in reliabiliy analysis) 2.2. Homojen olmayan poisson süreci ve kuvve yasası süreç modeli (Nonhomogeneous Poisson Process and Power Law Process Model) Güvenilirlik analizinde arızalar arası süreler bağımsız ve benzer dağılımlı olduğunda ve aynı zamanda veri sei yeerli büyüklüğe sahip olduğunda, Üsel ya da Weibull dağılımı gibi uygun bir durağan olasılık modeli kullanılarak veriler modellenebilir. Ancak veriler zamana bağlı olduğunda, yani rend içerdiğinde, güvenilirlik analizi verilerde gözlemlenen rend ilişkisi dikkae alınarak yapılır [24]. Tamir edilebilir sisemlerin birçoğunda, özellikle uzun dönemli çalışmalarda kuvveli bir rendin varlığı görülebilir. Böyle sisemler, arızalar arası sürelerin zamanın bir fonksiyonu olarak değişiğini varsayan HOPS kullanılarak analiz edilebilir [3]. HPS ρ () = λ ile anımlanan sabi bir arıza oranına sahipken, HOPS sabi olmayan bir arıza oranına (yoğunluğuna) sahipir. Arıza oranı ρ () aynı zamanda yoğunluk fonksiyonu olarak da isimlendirilmekedir. N(): (,] aralığında gözlemlenen arıza sayısı iken, eğer göz önünde uulan bir süreç{ N(), } ; - N() = ve - Süreç bağımsız arımlara sahip (yani a<b c<d iken N(a,b] ve N(c,d] bağımsızdır) ise homojen olmayan bir Poisson sürecidir. HOPS nde herhangi bir (, 2 ] aralığındaki arızaların sayısı ρ( )d oralamalı bir Poisson dağılımına sahipir. Dolayısıyla bu aralıka k kadar arıza olması olasılığı aşağıdaki gibi anımlanabilir: 2 ( ρ()d) k 2 ( ρ [ = ] ()d) P N( = 2) N() k e (3) k! Tamir edilebilir sisemlerden veri elde emek için iki farklı örnekleme prosedürü vardır [4]: () Arıza sonlu durum ve (2) Zaman sonlu durum. Eğer deneme önceden belirlenen bir arıza sayısından (n) sonra durursa, bu durumda verilerin arıza sonlu olduğu söylenir. Bir amir edilebilir sisemin n arıza oraya çıkıncaya kadar gözlendiğinde (n sabi), < 2 < < n 2 83 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2

Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi N. Uzgören ve S. Elevli olmak üzere sıralı arıza süreleri elde edilir. Bu durumda arızaların sayısı sabi, denemenin biiği süre rassaldır. Eğer deneme önceden belirlenen bir sürede () durursa, bu durumda verilerin zaman sonlu olduğu söylenir ve < 2 < < n < şeklinde ifade edilecek arıza süreleri elde edilir. Bu durumda denemenin biiği süre sabi iken, arızaların sayısı n rassaldır. Bu iki farklı durum benzerlik fonksiyonlarında küçük değişikliklere neden olmakadır. HOPS nde λ >, β > ve olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonuna yönelik yaygın bir form aşağıdaki gibi anımlanır: β ρ () = λβ (4) Burada λ ve β sırasıyla ölçek ve şekil paramerelerini gösermekedir. Bu yoğunluk fonksiyonu birikimli arıza süresi () nin (β-). kuvveiyle oranılıdır. Bu nedenle HOPS nin belirli bir formu olan, bu özel HOPS genellikle Kuvve Yasası Süreci olarak isimlendirilir [4] [24]. KYS nin, zamanla aran ya da azalan sisemlerin analiz edilmesinde önemli bir model olduğu ispalanmışır. KYS, lieraürde Weibull Prosesi olarak da adlandırılmakadır [25]. Bu modelde yer alan paramereler verilerin elde edildiği örnekleme prosedürüne bağlı olarak, aşağıdaki maksimum benzerlik ahmincileri ile ahmin edilir [3] [5] [9] [24]. Arıza sonlu durum: β ˆ n = (5) n n ln i= i n ve λˆ = (6) βˆ n Zaman sonlu durum: β ˆ n = (7) n ln i= i n ve λˆ = (8) βˆ Burada n: arıza sayısını, i: i. arızada (i=,2,,n) oraya çıkan oplam aralıksız süreyi, n : oplam aralıksız süreyi, : önceden belirlenen süreyi göserir. zamanındaki birikimli arıza sayısı N() iken, bu mikarın oralama değeri B[N()] olarak ifade edilir ve aşağıdaki gibi anımlanır [4] [24]: B [N()] = m () = ρ()d = λβ 3. UYGULAMA (APPLICATION) β d = λ β (9) Bu çalışmada, bir kömür işlemesinde kullanılan bir çekme kepçenin mekanik arızalarına yönelik güvenilirlik analizi yapmak üzere 28 yılına ai 52 ade AAS verisi emin edilmişir (Tablo 2). İlgili analizlerin yapılmasında SPSS-3 ve Ewievs-5 isaisiksel pake programları kullanılmışır. Tablo 2. Analizde kullanılan veriler (Daa of analysis) BAS AAS BAAS BAS AAS BAAS 26,5 26,5 27 75,33 4385,72 2 74,5 435, 28 84,8 4469,8 3 59, 594, 29 23,5 4493,3 4 32, 896, 3 97,42 459,72 5 66,25 62,25 3 57,7 4647,89 6 32, 374,25 32 2,67 466,56 7 4,8 56,5 33 7, 4677,56 8 584,5 2,55 34 35,33 472,89 9 5,75 225,3 35 5, 477,89 9,7 237,47 36 29,67 4747,56 334,83 275,3 37 23,67 477,23 2 43,83 2849,3 38,33 478,56 3 264,33 33,46 39 72,33 4853,89 4 298,67 342,3 4 72,33 4926,22 5 72,5 3584,63 4 7,42 4997,64 6 27, 3854,63 42 63,25 56,89 7 8,7 3962,8 43 69,5 53,39 8 3,33 3976,3 44 9,33 539,72 9 72, 448,3 45 2,33 552,5 2 23,92 472,5 46 65, 527,5 2 42, 44,5 47 7,7 5234,22 22 85,67 499,72 48 3,67 5237,89 23 6,67 426,39 49 5,7 5253,6 24 23,83 424,22 5 33,67 5286,73 25 36,5 4276,72 5 24,33 53,6 26 33,67 43,39 52 22,25 5333,3 AAS: Arızalar Arası Süre (saa) BAS: Birikimli Arıza Sayısı BAAS: Birikimli Arızalar Arası Süre 3.. Trend analizi (Analysis of rend) Bölüm 2. de belirildiği gibi, güvenilirlik analizinde ilk ve en önemli aşama AAS verilerini uygun bir olasılık dağılımı ile modellemekir. Bu amaçla ilk olarak yapılması gereken AAS verilerinin rend içerip içermediğini belirlemekir. Trend esinin amacı, arıza verilerinin zamanla birlike anlamlı bir şekilde değişip değişmediğine karar vermekir [2]. AAS verilerinde rend olup olmadığını belirlemenin bir yolu birikimli arıza sayısına karşı Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2 83

N. Uzgören ve S. Elevli Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi birikimli AAS lerin grafiğini çizmekir [8]. Çizilen grafike nokalar bir doğru erafında oplanırsa rendin olmadığına, bir doğru değil de bir eğri erafında oplanırsa rendin varlığından söz edilir. Şöyle ki, eğer bir dışbükey eğri elde edilirse, arıza sürecinin gelişen bir sisem göserdiğine, yani AAS lerin zaman içinde arığına karar verilir. Eğer bir içbükey eğri elde edilirse, arıza sürecinin köüye giiğine, yani AAS lerin zaman içinde azaldığına karar verilir [26]. Trendin varlığı, AAS lerin benzer dağılımlı olmadığı ve dolayısıyla bu verilerin modellenmesinde yenilenme süreç modellerinin kullanılamayacağı anlamına gelir. Bu durumda uygun model HOPS nin özel bir durumu olan kuvve yasası modelidir. Şekil 2, birikimli arıza sayısına (BAS) karşılık birikimli AAS (BAAS) nin grafiğini gösermekedir. Nokalar bir iç bükey eğri şeklinde sıralandığından azalan bir rend söz konusudur. Dolayısıyla çizilen bu grafik çekme kepçenin zaman içinde köüye giiğini, yani arıza yoğunluğunun arığını gösermekedir. Trendin belirlenmesinde kullanılabilecek diğer bir grafik ise ilişki diyagramıdır. İlişki diyagramı, çeşili gecikme sayılarına karşılık ookorelasyon kasayılarının grafiğidir. Birinci ve ikinci gecikmeden sonra ookorelasyon kasayıları hızla sıfıra yaklaşma eğiliminde ise serinin durağan olduğunu, yani rend içermediği anlaşılır. Gecikme sayısı arıkça ookorelasyon kasayıları sıfıra yaklaşma eğiliminde değilse, bu durumda serinin durağan olmadığını anlaşılır [27]. 5 Ookorelasyon fonksiyonu,,5, -,5 -, 2 3 4 5 6 7 8 9 mek8 Gecikme sayısı 2 3 4 5 6 Kasayı Al güven sınırı Üs güven sınırı Şekil 3. 8 nolu çekme kepçe için ilişki diyagramı (Correlogram for dragline wih number 8) AAS verilerine yönelik rendin varlığı birim kök esi ile de incelenebilir. γ kasayısının es isaisiği τ isaisiği olarak ifade edilir. Eğer τ isaisiğinin mulak değeri MacKinnon kriik değerinin mulak değerinden büyükse verilerin rend içerdiğini ifade eden sıfır hipoezi (H : τ=) reddedilir, aksi durumda kabul edilir [28]. Tablo 3 e göre τ < MacKinnon Kriik Degeri olduğundan, sıfır hipoezi reddedilemez. Dolayısıyla AAS verilerinin rend içerdiğine karar verilir. 3.2. Uygun model seçimi ve ahmin (Selecion of fiing model and esimaion) AAS verilerinde rendin varlığı belirlendiğinden benzer dağılım varsayımı geçersizdir. Dolayısıyla AAS verilerinin modellenmesinde YS modellerinin kullanılması söz konusu değildir. Birikimli AS 4 3 2 2 3 4 Birikimli AAS 5 6 Daha önceden belirildiği gibi rendin varlığında HOPS gibi modellerin kullanılması gerekmekedir. HOPS modellerinin belirli bir formu olan kuvve yasası modeli de, zamanla köüye giden veya iyileşme göseren sisemlerin analiz edilmesinde kullanılmak amacıyla gelişirilen bir modeldir. Bu nedenle AAS verilerinin modellenmesinde kuvve yasası modelinin kullanılması uygundur. ρ () = λβ β arıza yoğunluğu fonksiyonun paramereleri aşağıdaki gibi hesaplanabilir: Şekil 2. Trend grafiği (Trend graph) Şekil 3 incelendiğinde, 8. gecikmeye kadar ookorelasyon kasayılarının isaisiksel açıdan anlamlı olduğu, diğer bir ifadeyle ookorelasyon kasayılarının güven sınırları dışında yer aldığı görülmekedir. Dolayısıyla bu grafiken AAS verilerinin rend içerdiği anlaşılmakadır. n β ˆ = n n ln i= i 52 = = 2,62 5333,3 5333,3 5333,3 ln + ln +... + ln 26,5 435, 53,6 n 52 λˆ = = =,455=4,55. -7 βˆ 2, 62 n 5333,3 832 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2

Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi N. Uzgören ve S. Elevli Tablo 3. Birim kök esi sonuçları (m=4 için) (Resuls of uni roo es) m ( ΔAAS = β + β + γaas + α i ΔAAS i + ε ) i= γ τ (Genişleilmiş Dickey-Fuller es isaisiği) MacKinnon kriik değerleri Karar, -4,65756 -,84534 -,78445,5-3,5858 (p=,6665), -3,8423 H kabul (Trend vardır) Buradan βˆ ve λˆ değerleri denklemde yerine konulduğunda aşağıdaki eşilik elde edilir: ρ () = (4,55. 7 )(2,62) 2,62 =(9,84. -7 ),62 KYS modelinin verilere uygun olduğu isaisiksel olarak kanılandığında, bu yoğunluk fonksiyonu yardımıyla çeşili güvenilirlik hesaplamaları yapılabilir. 3.3. Kuvve yasası süreci modelinin uyum iyiliği esi (Goodness-of-fi es for power law prosess model) Bilimsel çalışmalarda genellikle isaisiksel uyum esleri ile bir modelin verilere uygunluğunun es edilmesi arzu edilir. Bu amaçla gelişirilen çeşili esler mevcu olup bunlardan bazıları Ki-kare esi, Cramer-Von Mises esi, Kolmogorov-Smirnov esi, Anderson-Darling esi ve R 2 ye dayalı uyum iyiliği esidir [29]. Bunlardan R 2 ye dayalı uyum iyiliği esi dışındakiler paramerik olmayan eslerdir [3]. Paramerik esler ilgili paramereye, belirli bir dağılıma ve varyansa dayanarak işlem yapan, nonparamerik esler ise genellikle veriler yerine onların sıralama puanlarını kullanarak işlem yapan isaisiksel eslerdir. Paramerik esler, esnek olan nonparamerik eslere göre daha güçlü eslerdir. Ayrıca, paramerik olmayan eslerin paramerik es varsayımlarının yerine geirilemediği durumlarda ercih edilmesi söz konusudur. Ayrıca Gaudoin ve diğerleri [3] arafından gelişirilen ve Duane grafiğinde yer alan regresyon doğrusunun belirlilik kasayısına dayalı olan R 2 uyum iyiliği esi, KYS modeli için oldukça basi ve güçlü bir esir [29]. Geniş simülasyon çalışmaları da basiliğine rağmen birçok durumda R 2 esinin diğer eslerle kıyaslanabilir olduğunu gösermişir [32]. Bu nedenle bu çalışmada kuvve yasası modelinin uygunluğunun araşırılmasında R 2 ye dayalı uyum iyiliği esi kullanılmışır. R 2 ye dayalı uyum iyiliği esi ile kuvve yasası süreci modelinin uyum iyiliği sınaması, basi regresyon analizi kullanılmak sureiyle belirlilik kasayısının (R 2 değerinin) anlamlılığına dayalı olarak yapılmakadır. Ancak R 2 ye dayalı olarak verilecek bir karar, objekif bir değere dayalı olmasına rağmen oldukça subjekifir. Alınan kararın anlamlılığı üzerinde yapılan çalışmalar yokur. Modelin uygunluğu için bu değerin ne kadar büyük olması gerekiği bir sorundur. Bu sorunun cevabı kuvve yasası süreci modelinin geçerliliği alında R 2 nin dağılımının elde edilmesi ve bir isaisiksel hipoez ile elde edilen R 2 değerinin es edilmesi ile mümkündür. Bu amaca yönelik olarak es edilecek hipoezler aşağıdaki gibi anımlanır: H : AAS verilerine kuvve yasası süreci modeli uygundur. H : AAS verilerine kuvve yasası süreci modeli uygun değildir. Eğer ahmin edilen bir model için hesaplanan R 2 değeri, çeşili örneklem hacimlerine yönelik olarak Mone Carlo simülasyonlarından elde edilen kriik 2 R α değerinden küçükse α anlamlılık düzeyinde H hipoezi reddedilir [3]. Daha önceden anımlandığı gibi kuvve yasası modelinde beklenen arıza sayısı aşağıdaki gibi anımlanmakadır: m () = λ β λ >, β > ve iken () Bu model Duane model olarak da isimlendirilmekedir. Burada β < olması, sisemin güvenilirliğinin arığını; β > olması ise sisemin güvenilirliğinin köüye giiğini gösermekedir. Bu denklemin her iki arafının logariması alındığında log[m()]=log( λ )+β.log() denklemine ulaşılır ve bu denklem basi doğrusal regresyon analizi ile ahmin edilebilir. Bu denklemde yer alan log( λ ) ve β kasayıları regresyon doğrusunun sabi ve eğim kasayılarıdır. Bu amaçla çizilen Duane grafiği Şekil 4 de görülmekedir. 4, 3, 2,,, 6, 7, lnbaas 8, 9, Gözlemlenen Regresyon doğrusu Şekil 4. 8 nolu çekme kepçe için Duane grafiği (Duane plo for dragline wih number8) Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2 833

N. Uzgören ve S. Elevli Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi Model Tablo 4. Regresyon analizi sonuçları (Resuls of regression analysis) Sabi lnbaas a. Bağımlı değişken: lnbas Sandarlaşırılmamış Sandarlaşırılmış Kasayılar Kasayılar Anlamlılık B Sd. Haa Bea düzeyi -7,349,44-7,75,,276,5,963 25,97, Sekil 4, log-log skala üzerinde birikimli AS nın zamana (birikimli AAS) karşı grafiği olup, regresyon doğrusu üzerindeki ahmin değerleri zamanındaki oralama birikimli arıza sayısını göserir. Tablo 4, Tablo 2 de yer alan verilere dayalı olarak yapılan basi doğrusal regresyon analizi ahmin sonuçlarını gösermekedir. Tablo 4 e göre R 2 =,926 olmak üzere regresyon eşiliği log[ m(ˆ)] = 7,349 +,276log(i) olarak elde edilmişir. β =,276 > olması, çekme kepçenin güvenilirliliğinin köüye giiği anlamına gelmekedir. Belirlilik kasayısı (R 2 =,926) oldukça yüksek olmakla birlike verilere kuvve yasası modelinin gerçeken uygun olup olmadığına karar verebilmek için, bu değerin yeerince büyük olup olmadığının es edilmesi gerekmekedir. Bu amaçla hesaplanan R 2 değerinin kriik R 2 α değeri ile karşılaşırılması gerekir. n=52 (yaklaşık olarak 5 alınmışır) ve 2 α =,5 için, R α kriik değerleri ablosundan bulunan değer,899 dur [3]. R 2 =,926> R, 2 5 =, 899 olduğundan,5 anlam düzeyinde sıfır hipoezi reddedilemez ve verilere kuvve yasası süreç modelinin uygun olduğuna karar verilir. 3.4. Güvenilirlik hesaplamaları (Reliabiliy calculaions) Yapılan analizler sonucunda söz konusu çekme kepçeye ilişkin mekanik arızaların rend içerdiği, dolayısıyla arıza verilerinin modellenmesinde durağan isaisiksel modellerin kullanılmasının uygun olmayacağı sonucuna varılmışır. Bu doğruluda arıza verileri HOPS nin özel bir durumu olan kuvve yasası süreci kullanılarak modellenmiş ve kullanılan modelin verilere uygun olduğu isaisiksel olarak es edilmişir. Bu aşamada amaç ahmin edilen modele dayalı olarak çeşili güvenilirlik hesaplamalarının yapılmasıdır. 3.4.. Beklenen arıza sayısının hesaplanması (Calculaion of he expeced failure number) Belirli bir aralıka beklenen arıza sayısı, daha önceden belirildiği gibi aşağıdaki formül ile hesaplanır: β β BN [ ( )] = m ( ) = ρ( d ) = λβ d= λ βˆ m () = λˆ Bu kapsamda örneğin = saa için beklenen arıza sayısı m() = (4,55. 7 )() 2,62 =, ade olacakır. Tablo 5 e değişik zaman periyoları için beklenen arıza sayıları verilmişir. Tablo 5. Beklenen Arıza Sayıları (Expeced number of failure) Beklenen Arıza Süre (saa) Sayısı (ade), 2,4 3, 4,9 5,3 6,46,39 2 2,7 2 6,24 3.4.2. Gelecek arıza süresinin ahmin edilmesi (Esimaion of nex failure ime) Bir sonraki arıza süresinin ahmini değeri, bakım planlamasında kullanılan ana girdilerden biridir. Gelecek arızanın birikimli süresi aşağıdaki formülle hesaplanır [24]: βˆ βˆ n+ = n + () λ 2,62 = ( 5333,3) 2,62 + 7 4,55.,4625346 = 633784,34 = 5378,5saa 3.4.3. Güvenilirlik hesaplamaları (Reliabiliy calculaions) Bir sisemin (ya da bir ekipmanın) güvenilirliği, belirli bir zaman periyodunda ve verilen koşullar alında sisemin arıza olmaksızın çalışma olasılığıdır ve R() ile anımlanır. 834 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2

Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi N. Uzgören ve S. Elevli HPS nde den 2 ye kadar olan herhangi bir aralık için k ade arıza meydana gelmesi olasılığı aşağıdaki gibi anımlanır: λ( e 2 ) [ ] [ λ( )] k P N( ) N( ) = k = 2 2 (2) k! Burada N(), zamanındaki arızaların sayısını ve λ ise sabi arıza oranını göserir. (, 2 ] aralığında arıza meydana gelmemesi olasılığı ise k= olması koşuluyla sağlanır ve yukarıdaki formül aşağıdaki şekle dönüşür: P λ( ) [ N( ) N( ) ] e 2 = = 2 (3) Bu eşilik aynı zamanda (, 2 ] aralığındaki güvenilirliğe ya da yaşam olasılığını göserir (DOD, 25): λ(2 ) R(,2) = e = e λs (4) HPS sabi bir arıza oranına sahip olduğundan (AAS zamanın bir fonksiyonu olmadığından) eşi zaman aralıklarında oraya çıkacak üm güvenilirlik düzeyleri birbirine eşi, yani e λs ye eşi olacakır. Örneğin 2-5 saa arası güvenilirlik ile 8- saa arası güvenilirlik düzeyleri birbirine eşi olacakır. Oysa HOPS nde AAS ler zamanın bir fonksiyonu olarak anımladığından güvenilirlik düzeyi ele alınan zaman dilimine göre değişecekir. AAS azalan bir rend göserdiğinde güvenilirlik düzeyleri zaman içinde azalırken, aran bir rendin varlığında arış göserecekir. HOPS herhangi bir (, 2 ) aralığında arızaların 2 sayısının ρ( )d oralamayla bir Poisson dağılımına sahip olduğunu varsayar. Bu durumda güvenilirlik fonksiyonu aşağıdaki gibi anımlanır [4]: ρ()d e ( 2 ρ()d) R(,2) = P[N( 2) N( ) = ] = o! (5) 2 2 ρ()d = [ e = e o 2 ρ()d ρ()d] [m( 2) m()] [( λ2) ( λ) ] R(, 2 ) = e = e (6) Örneğin, (4,6) aralığında güvenilirlik aşağıdaki gibi hesaplanır: [m(4) m(2)] R(2,4) = e (,9,4) = e =,867 Tablo 6 dan görüldüğü gibi, HOPS nde zaman aralıkları eşi olmasına rağmen güvenilirlik düzeyleri sabi olmayıp zamanla birlike azalmakadır. Bunun nedeni AAS verilerinin azalan bir rend gösermesi, dolayısıyla sisemin zaman içinde köüye gimesidir. β β Tablo 6. Çeşili zaman aralıkları için güvenilirlik düzeyleri (Reliabiliy levels for differen ime inervals) Zaman aralığı (, 2 ) R (, 2 ) -2,967 2-4,867 4-6,7633-2,566 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER (CONCLUSIONS AND SUGGESTIONS) Günümüz rekabe koşullarında işlemelerin işlerliliğinin devamı büyük oranda kullanılan makineekipmanlardan maksimum faydanın sağlanmasına bağlı olduğundan, özellikle bakım faaliyelerine yön vermesi nedeniyle güvenilirlik analizlerinin yapılması oldukça önem kazanmışır. Bu çalışmanın emel amacı, güvenilirlik analizlerinde kullanılacak uygun model seçimine dikka çekmek ve güvenilirlik analizlerinde yaygın olarak kullanılan Yenilenme Süreci Modellerinin (Normal, Weibull, Üsel, ) uygun olmadığı durumlarda kullanılabilen Homojen Olmayan Poisson Süreci modelini örneklem verilerine dayalı olarak anımakır. Bu kapsamda açık işleme madenciliğinde kazı, nakil ve dökme işlevini aynı anda yapan sallama kepçeli bir iş makinesi olan çekme kepçeli ekskavaör uygulama konusu olarak seçilmişir. Açık işleme madenciliğinde önemli bir faaliye adımı olan örükazı faaliyelerinin çekme kepçe güvenilirliğine önemli oranda bağlı olması, bu makinenin seçilmesi ve verilerinin değerlendirilme kararında ekili olmuşur. Uygulama genel olarak dör aşamadan oluşmuşur. İlk olarak AAS verilerinin benzer dağılım varsayımını sağlayıp sağlamadığını belirlemek amacıyla, rend analizlerine yer verilmişir. Yapılan analizler sonucunda verilerin rend içerdiği, dolayısıyla bu verilerin modellenmesinde Yenilenme Süreci Modellerinin uygun olmayacağı sonucuna varılmışır. Çalışmanın ikinci aşamasında, verilerdeki rend ilişkisini dikkae alan Kuvve Yasası Süreci modeli kullanılarak veriler modellenmişir. Üçüncü aşamada KYS modelinin R 2 ye dayalı uyum analizi yapılmış ve bu modelin ele alınan veriler için uygun bir model olduğuna karar verilmişir. Çalışmanın son aşamasında ise güvenilirlik hesaplamalarına yer verilmişir. Yapılan hesaplamalar neicesinde Arızalar Arası Süre verilerinin azalan bir rend içerdiği, dolayısıyla çekme kepçenin güvenilirliğinin azaldığı espi edilmişir. Değişik zaman dilimleri için arıza sayıları, bir sonraki arıza zamanı ve farklı zaman aralıkları için güvenilirlik değerleri ahminlerine dayalı olarak önleyici bakım periyolarının ayarlanması ve buna bağlı olarak yedek parça ve bakım işçiliği hususunda Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2 835

N. Uzgören ve S. Elevli Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi gerekli planlamaların yapılması söz konusu makinenin güvenilirlik düzeyinin arışına kakısı olacakır. KAYNAKLAR (REFERENCES). Danacı M.A., Birgören B. ve Ersöz S., Weibull Paramereleri ve Yüzdelikleri İçin Güven Aralığı Tahmin Algorimaları, Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der., cil 24, no, 9-28, 29. 2. Wang P. and Coi D. W., Repairable Sysems Reliabiliy Trend Tess and Evaluaion, Annual Reliabiliy and Mainainabiliy Symposium, pp.46-42, 25. 3. Rao K.R.M. and Prasad P.V.N., Graphical Mehods for Reliabiliy of Repairable Equipmen and Mainenance Planning, Annual Reliabiliy and Mainainabiliy Symposium, pp.23-28, 2. 4. Chen, Z., Bayesian and Emprical Bayes Approaches o Power Law Process and Microarray, Ph. D. Thesis, hp://ed.fcla.edu/sf/sfe43/disser~.pd f, 24. 5. Kumar, U., Availabiliy Sudies of Load-Haul- Dump Machines, Proceedings of he 2h APCOM Symposium, Las Vegas, pp. 323-335, 989. 6. Kumar, D. and Vagenas, N., Performance Evaluaion of A Load-Haul-Dump Vehicle, CIM Bullein, 86(974), pp. 39-42, 993. 7. Paraszczak, J. and Perreaul, J.F., Reliabiliy of Diesel Powered Load-Haul-Dump Machines in an Underground Quebec Mine, CIM Bullein, 87(978), pp. 23-27, 994. 8. Hall, R.A. and Daneshmend, L.K., Reliabiliy and Mainainabiliy Models for Mobile Underground Haulage Equipmen, CIM Bullein, 96(72), pp.59-65, 23a. 9. Hall, R.A. and Daneshmend, L.K., Reliabiliy Modeling of Surface Mining Equipmen: Daa Gahering and Analysis Mehodologies, Inernaional Journal of Surface Mining, Reclamaion and Environmen, 7(3), pp.39-55, 23b.. Lhorene B., Lugigheid D., Knighs P.F. and Sanana A., A Model for Opimal Armaure Mainenance in Elecric Haul Truck Wheel Moors: A Case Sudy, Reliabiliy Engineering and Sysem Safey, vol.84, pp. 29-28, 24.. Barabady J. and Kumar U., Reliabiliy characerisics Based Mainenance Scheduling: A Case Sudy of a Crushing Plan, Inernaional Journal of Performabiliy Engineering, Vol. 3, No.3, pp. 39-328, 27. 2. Elevli S., Uzgören N. and Taksuk M., Mainainabiliy Analysis of Mechanical Sysems of Elecric Cable Shovels, Journal of Scienific & Indusrial Research, 67(4), pp. 267-27, 28. 3. Gupa S., Maii J., Kumar R. and Kumar U., A Conrol Char Guided Mainenance Policy Selecion, Inernaional Journal of Mining, Reclamaion and Environmen, 23(3), pp. 26-226, 29. 4. Vayenas N. and Wu X., Mainenance and Reliabiliy Analysis of A Flee of Load-Haul- Dump Vehicles in an Underground Hard Rock Mine, Inernaional Journal of Mining, Reclamaion and Environmen, 23(3), pp. 227-238, 29. 5. Kumar, U. and Klefsjö, B., Reliabiliy Analysis of Hydraulic Sysems of LHD Machines Using The Power Law Process Model, Reliabiliy Engineering and Sysem Safey, vol. 35, pp. 27-224, 992. 6. Majumdar S.K., Sudy on Reliabiliy Modeling of A Hydraulic Excavaor Sysem, Qualiy and Reliabiliy Engineering Inernaional, vol., pp. 49-63, 995. 7. Pulcini G., Modeling The Failure Daa of A Repairable Equipmen Wih Bahub Type Failure Inensiy, Reliabiliy Engineering and Sysem Safey, vol. 7, pp. 29-28, 2. 8. Loui D.M., Pascual R. and Jardine A.K.S., A Pracical Procedure for The Selecion of Time- To-Failure Models Based on The Assessmen of Trends in Mainenance Daa, Reliabiliy Engineering & Sysem Safey, 94(), pp. 68-628, 29. 9. Samana, B., Sarkar, B. and Mukherjee, S.K., Reliabiliy Analysis of Shovel Machines Used in An Open Cas Coal Mine, Mineral Resources Engineering, (2), pp. 29-23, 2. 2. Barabady J. and Kumar U., Reliabiliy and Mainainabiliy Analysis of Crushing Plans in Jajarm Bauxie Mine of Iran, Proceedings of he Annual Reliabiliy and Mainainabiliy Symposium, pp. 9-5, 25. 2. Vagenas, N., Runciman, N. and Clemen, S.R., A Mehodology for Mainenance Analysis of Mining Equipmen, Inernaional Journal of Surface Mining, Reclamaion and Environmen, vol., pp. 33-4, 997. 22. Barabady J. and Kumar U., Reliabiliy Analysis of Mining Equipmen: A Case Sudy of A Crushing Plan A The Jajarm Bauxie Mine of Iran, Journal of Reliabiliy Engineering and Sysem Safey, Vol. 93, No.4, pp. 647-653, 28. 23. Rohbar H A., "Reliabiliy", Mechanical Design& Sysems Handbook, McGraw-Hill Inc. p. 2.-2.2, 986. 24. Jones R B., Risk Based Managemen: A Reliabiliy Cenered Approach, Gulf Publishing Company. p. 26-68, 995. 25. Ryan K.J., Some Flexible Families of Inensiies for Non-Homogeneous Poisson Process Models and Their Bayes Inference, Qual. Reliab. Engng. In. 9, 7 8, 23. 836 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2

Homojen Olmayan Poısson Süreci: Bir Maden Makinesinin Güvenilirlik Analizi N. Uzgören ve S. Elevli 26. DOD, Deparmen of Defense Guide For Achieving Reliabiliy, Availabiliy, and Mainainabiliy, hp://www.acq.osd.mil/sse/docs/ram_guide_8 35.pdf, 25. 27. Özmen A., Zaman Serisi analizinde Box Jenkins Yönemi ve Banka Mevdua Tahmininde Uygulama Denemesi, T.C. Anadolu Üniversiesi Yayınları No:2, Eskişehir, 986. 28. Gujarai D. N., Temel Ekonomeri, Lieraür Yayıncılık, İsanbul, 999, 29. Cirrone G.A.P., Donadio S., Guaelli S., Manero A., Mascialino B., Parlai S., Pia M.G., Pfeiffer A., Ribon A. And Viarengo P., A Goodness-of- Fi Saisical Toolki, IEEE Transacions on Nuclear Science, Vol.5, No.5, pp. 256-263, 24. 3. Du J., Evaluaion of Equipmen Reliabiliy, Availabiliy, Mainainabiliy in an OilSands Processing Plan, M.Sc. Thesis, The Universiy of Briish Columbia, 28. 3. Gaudoin O., Yang B. and Xie M., A simple Goodness-of-Fi Tes for he Power-Law Process Based on he Duane Plo, IEEE Transacion on Reliabiliy, Vol.52, No., pp. 69-74, 23. 32. Xie M., Yang B. And Gaudoin O., éregression Goodness-Of-Fi Tes for Sofware Reliabiliy Model Validaion, hp://www.chillarege.com/fasabsracs/issre2 /27.pdf, 2. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cil 25, No 4, 2 837