Kafes Yapıların Öğretme-Öğrenme Esaslı Optmzasyon Yöntemyle Boyutlandırılması S. Özgür Değertekn, M. Sedat Hayaloğlu Dcle Ünverstes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, 21280, Dyarbakır Tel: (412) 241 10 00 E-Posta: sozgur@dcle.edu.tr, hsedat@dcle.edu.tr Öz Dğer mühendslk alanlarında olduğu gb yapı sstemlernn optmum tasarım problemnde de sezgsel optmzasyon yöntemler son yıllarda yaygın br şeklde kullanılmaktadır. Bu yöntemlern ana felsefes; herhang br doğal süreç le optmzasyon problemler arasında benzerlk kurmaktır. Bu çalışma kapsamında öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntem kullanılarak kafes yapıların deplasman ve gerlme sınırlayıcıları altında mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılması amaçlanmaktadır. Öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntem; herhang br sınıftak öğretmen ve öğrenc lşks ve öğrenclern brbrleryle etkleşmler le optmzasyon problemler arasında benzerlk kurmaktadır. Yöntem; başlangıç popülasyonunun (başlangıç kafes yapılarının) rasgele üretlmes, öğretme aşaması, öğrenme aşaması ve optmzasyon şlemnn btrlmes olmak üzere dört kısımdan oluşmaktadır. Bu çalışmada öne sürülen öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntemnden elde edlen sonuçlar lteratürde daha önce armon arama, hbrd parçacık sürü optmzasyonu, hbrd parçacık sürü karınca kolon optmzasyonu, self-adaptf armon arama yöntemler kullanılarak optmze edlmş olan 25 elemanlı uzay kafes yapı örneğ üzernde test edlmş ve elde edlen sonuçlar kıyaslanmıştır. Bu kıyaslamaların sonucunda öğretmeöğrenme esaslı optmzasyon yöntemnn dğer yöntemlere göre daha haff kafes yapı tasarımı elde ettğ tespt edlmştr. Anahtar sözcükler: Kafes Yapılar, Sezgsel Optmzasyon Yöntemler, Öğretme- Öğrenme Esaslı Optmzasyon, Mnmum Ağırlıklı Boyutlandırma Grş Doğal br süreçle optmzasyon problemler arasındak benzerlğ esas alarak gelştrlen sezgsel optmzasyon yöntemler dğer brçok alanda olduğu gb yapı sstemlernn optmum tasarımında da yaygın olarak kullanılmaktadır. Armon arama, parçacık sürü optmzasyonu, karınca kolon optmzasyonu ve öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon bu yöntemler arasındadır. Armon arama (HS), müzsyenlern en y armony elde etmek çn zledkler yol le optmzasyon problemler arasında benzerlk kuran br arama yöntemdr (Geem, 2001). HS farklı optmzasyon problemlernn çözümü yanında kafes yapıların mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılmasına da uygulanmıştır (Lee ve Geem, 2004). Bunun yanında standart HS yöntemnde tespt edlen eksklkler gderlerek self-adaptf armon arama adıyla da kafes yapıların optmzasyonunda kullanılmıştır (Degertekn 2012). 409
Parçacık sürü optmzasyonu (PSO), sürü davranışının taklt edlmes esasına dayanır (Kennedy ve Eberhart, 1995). Yöntem kafes yapıların optmzasyonunda da kullanılmıştır (L ve dğ. (2007). Karınca kolon optmzasyonu (ACO), karıncaların yuvaları ve besn kaynakları arasındak en kısa yolu bulmak çn zledkler stratejler optmzasyon problemlernn çözümüne uyarlayan yöntemdr. Yöntem lk kez Dorgo ve dğ. (1992) tarafından gelştrlmş ve dğer brçok uygulama alanı yanında kafes yapıların optmzasyonuna da uygulanmıştır (Kaveh ve Talatahar, 2009a). Öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntem, herhang br sınıftak öğretmen ve öğrenc lşks ve öğrenclern brbrleryle etkleşmler le optmzasyon problemler arasında benzerlk kurarak karmaşık mühendslk problemlernn optmzasyonunu gerçekleştrmek çn gelştrlen br optmzasyon yöntemdr. Yöntem lk kez Rao ve dğ. (2011) tarafından mekank tasarım problemlernn optmzasyonunda kullanılmıştır. Sonrasında büyük ölçekl lneer olmayan optmzasyon problemlernn çözümünde (Rao ve dğ. 2012), çelk çerçevelern optmum tasarımında (Togan 2012) ve kafes yapıların optmzasyonunda kullanılmıştır (Degertekn ve Hayaloglu, 2013) Bu çalışma le öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntem kullanılarak; kafes yapıların deplasman ve gerlme sınırlayıcıları altında mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılması amaçlanmaktadır. Öne sürülen yöntemden elde edlen sonuçları kıyaslamak amacıyla daha önce armon arama, hbrd parçacık sürü optmzasyonu, hbrd parçacık sürü-karınca kolon optmzasyonu, self-adaptf armon arama yöntemleryle mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılmış olan 25 elemanlı uzay kafes yapı kullanılmış ve elde edlen sonuçlarla öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntemnn etknlğ test edlmştr. Optmzasyon Problemnn Formülasyonu Kafes yapıların optmzasyon problem şu şeklde formüle edleblr: ng mnw ( X ) = x ρ L (1) = 1 mk k= 1 k k l u X = [ x1, x2,..., xng ] x x x, =1,2,.,ng (2) burada X tasarım değşkenlern çeren br vektör, x ; nc tasarım değşkenne at enkest değer, ng tasarım değşkenlernn sayısı (kafes yapıdak grup sayısı), l x ve enkestlern alableceğ en küçük ve en büyük değerler, mk ; k ncı gruptak toplam eleman sayısı, W(X) kafes yapının ağırlığı, ρ k ve L k ; nc gruptak k ncı elemana at özgül ağırlık ve uzunluk değerlerdr. Normalze edlmş tasarım sınırlayıcıları şu şeklde fade edleblr: s σ nl g nl ( x) = 1 0, σ nu 1 n nm, 1 l nl (3) d d jl g jl ( x) = 1 0, 1 j ndof, 1 l nl (4) d ju bu bağıntılarda g s nl (x) ve g d jl (x) sırasıyla eleman gerlme ve düğüm deplasman sınırlayıcılarına at fonksyonlar, σ nl l nc yükleme durumunda n nc elemandak gerlme değer, σ herhang br elemandak gerlmenn alableceğ en büyük değer, nu u x 410
d jl l nc yükleme durumunda j nc serbestlk dereces çn düğüm noktasındak deplasman değer, d ju herhang br düğüm noktasındak deplasmanın alableceğ en büyük değer, nl yükleme durumu sayısı, ndof serbestlk dereces sayısıdır. Optmzasyon sürec sonunda (3) ve (4) bağıntılarıyla verlen sınırlayıcıları sağlayan farklı kafes yapılardan mnmum ağırlıklı olan nha optmum tasarım olarak tayn edlr. Bu süreçte, (3) ve (4) bağıntılarıyla verlen sınırlayıcıları sağlamayan tasarımlar elenr. Bu eleme şlem çn daha önce kafes yapıların optmzasyonuna başarıyla uygulanmış br seçm mekanzması kullanılmıştır (Kaveh ve Talatahar 2009b). Bu seçm mekanzması şu kuralları çerr: a. Sınırlayıcıları sağlayan kafes yapı tasarımları, sınırlayıcıları sağlamayanlara terch edlr, b. Sınırlayıcıları çok küçük br değerde (optmzasyon sürecnn başında 0.01 optmzasyon sürecnn sonunda 0.001 mertebesnde) sağlamayan tasarımlar sınırlayıcıları sağlıyor olarak kabul edlr, c. Sınırlayıcıları sağlayan k kafes yapı tasarımı arasında daha haff olan kafes yapı tasarımı terch edlr, d. Sınırlayıcıları sağlamayan k kafes yapı tasarımı arasında sınırlayıcıları daha az hlal eden tasarım terch edlr. Bu seçm mekanzmasında (a) ve (d) kuralları optmzasyon şlemnn sınırlayıcıları sağlayan tasarımlara yönelmesn sağlamakta, (c) kuralı sınırlayıcıları sağlayan tasarımlar çnde daha y (daha haff) olan tasarıma yönlendrme yapmakta, (b) kuralı se global optmumun sınırlayıcılara at sınır değerlere yakın olması olasılığını araştırmaktadır. Burada (b) kuralı uygulanmakla brlkte optmzasyon sürec sonunda tayn edlen optmum tasarımın her zaman çn sınırlayıcıları sağlayan tasarım olacağı açıktır. Dolayısıyla daha haff ble olsa sınırlayıcıları sağlamayan tasarımın optmum tasarım olarak atanması kabul edlmeyecektr. Öğretme-Öğrenme Esaslı Optmzasyon (TLBO) Öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntem (TLBO); herhang br sınıftak öğretmen ve öğrenc lşks ve öğrenclern brbrleryle etkleşmler le optmzasyon problemler arasında benzerlk kurarak karmaşık problemlernn optmzasyonunu gerçekleştrmek çn gelştrlen br optmzasyon yöntemdr. Herhang br sınıf, öğretmen ve öğrenclerden oluşan topluluk olarak düşünüleblr. Her öğretmen, kend blg ve tecrübesn öğrenclerne aktararak sınıfının başarı sevyesn olabldğnce arttırmayı amaçlamaktadır. Dolayısıyla br sınıftak ortalama başarı durumunun öğretmenn blg ve tecrübesyle bağlantılı olduğu söyleneblr. Bununla brlkte öğretmen ne kadar blgl ve tecrübel olursa olsun sınıftak öğrenclern de öğretmen tarafından kendlerne aktarılan blgler özümseyeblecek kapastede olmaları gerekldr. Sonuç olarak, öğretmenn kaltes ve öğrenclern kapastes arasında sürekl br etkleşm bulunmaktadır. A ve B gb k farklı sınıfta aynı ders anlatan k öğretmen T A ve T B olarak adlandıralım ve doğru br kıyaslama çn k sınıftak öğrenclern yaklaşık olarak aynı sevyede olduklarını kabul edelm. Bu sınıflarda öğrencler tarafından alınan notların dağılımı Şekl 1 de gösterlmektedr. 411
Ola sılı k yo ğu nlu ğu M A M B Sınıf-B Sınıf-A T A T B 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Ders notları Şekl 1 İk Farklı Sınıfta Öğrenclern Aldığı Notların Dağılımı. Şekl 1 e göre; M B le gösterlen B sınıfındak öğrenclern not ortalaması, M A le gösterlen A sınıfındak öğrenclern not ortalamasından daha büyüktür (M B >M A ). Bu durum, B sınıfının öğretmen olarak fade edlen T B nn A sınıfı öğretmen olarak fade edlen T A dan daha başarılı olduğunu göstermektedr. Başka br fadeyle daha yüksek not ortalaması olan öğrenclern olduğu sınıfın öğretmen daha başarılı olarak kabul edleblr. Buna laveten daha yüksek ders notu alan öğrenclern brbrleryle etkleşmlernn de daha kuvvetl olduğu söyleneblr. Öğretmen kend mesleğnde en donanımlı kş olarak kabul edldğnden A ve B sınıflarında en y notlara sahp olan T A ve T B le gösterlen öğrencler o sınıfların öğretmen olarak kabul edlrler. Öğretmen blgsn öğrencleryle paylaşarak ders en y şeklde öğretmeye çalışmaktadır. Dolayısıyla sınıfın başarı durumu drek olarak öğretmenn blg ve becersne bağlıdır. Her öğretmen sınıfının başarısını arttırmayı amaçlamakla brlkte bu durum öğretmen tarafından öğrenclere aktarılan blgnn kaltesnn yanında sınıftak öğrenclern kaltesne de bağlıdır (Rao ve dğ 2011). Şekl 1 de görüleceğ üzere, A sınıfının öğretmen T A, sınıfının not ortalamasını B sınıfının not ortalamasına yaklaştırmaya amaçlamaktadır ve başarılı olması halnde öğrenc kaltes ve buna bağlı olarak en y öğrenc olarak kabul edlen öğretmen kaltes de artmış olacaktır. Bu durum öğretmen kaltes ve öğrenc başarısı arasında sürekl br etkleşm olduğunu göstermektedr ve bu şeklde öğretmenn (aynı zamanda sınıfın) başarısının sürekl olarak arttırılması sağlanır. TLBO yöntem le kafes yapıların optmzasyonu arasında şu şeklde br benzerlk kurulablr: TLBO yöntemndek sınıf; optmzasyon problemnde kafes yapıları çeren tasarım popülasyonunu, öğrenclere öğretlen br konu; kafes yapıdak br eleman grubunu, sınıftak br öğrenc; tasarım popülasyonundak br kafes yapıyı, herhang br öğrencnn başarı notu; o öğrency temsl eden kafes yapının ağırlığını ve sınıftak en başarılı öğrenc olarak düşünülen öğretmen; en haff kafes yapıyı temsl etmektedr. 412
Kafes Yapıların TLBO Yöntemyle Boyutlandırılması Kafes yapıların TLBO yöntemyle mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılması aşağıdak adımlardan oluşmaktadır: Adım 1: TLBO da Başlangıç Popülasyonunun Oluşturulması Bu adımda; popülasyon büyüklüğü (ps) kadar öğrencden (kafes yapı tasarımı) oluşan sınıf rasgele olarak üretlr. Bu kafes yapıları çeren popülasyon aşağıdak matrs formunda gösterleblr. 1 1 1 1 x... 1 1 x2 xng 1 x ng W ( X ) 2 2 2 2 2 x1 x2... xng 1 xng W ( X ) : : :::: : : : ps = (5) : : :::: : : : ps 1 ps 1 ps 1 ps 1 ps 1 x1 x2... xng 1 x ng W ( X ) ps ps ps ps ps x1 x2... xng 1 xng W ( X ) Bu matrste her br sıra br kafes yapı tasarımını fade etmektedr. X 1, X 2,, X ps 1, X ps ve W(X 1 ), W(X 2 ),., W(X ps 1 ), W(X ps ) sırasıyla kafes yapı tasarımlarını ve bu tasarımlara at ağırlıkları göstermektedr. (1)-(4) denklemlerne göre hesaplanan kafes yapı ağırlıkları W(X 1 )<W(X 2 ),., W(X ps 1 )< W(X ps ) şeklnde sıralanmıştır. Adım 2: Öğretme Aşaması Bu aşamada mnmum ağırlıklı olarak hesaplanan W(X 1 ) ağırlıklı olan X 1 tasarımı öğretmen olarak atanır (X öğretmen =X 1 ). Öğretmenn amacı, sınıfın ortalamasını (X ortalama ) olabldğnce arttırmaktır. Bu amaçla popülasyondak herhang br nc tasarım ( 1) aşağıdak şeklde modfye edlr: X yen, 1 ortalama F = X + r( X T X ) (6) bu bağıntıda r :[0,1] aralığında rasgele üretlen br reel sayı, T F : 0 veya 1 olarak alınacak olan öğretme faktörüdür. Popülasyondak tasarımların ortalamalarını fade eden X ortalama tasarımı se şu şeklde hesaplanmaktadır: ps X ortalama = m sınıf =1 x 1, m sınıf =1 x 2,., m sınıf =1 x ng (7) bu bağıntıda m(.) tasarım değşkennn ortalama değerdr. Eğer yen tasarım ( X ), yen, mevcut tasarımdan ( X ) daha haffse ( W ( X ) < W ( X ) ), yen tasarım mevcut new, tasarımın yern alır, X = X. Adım 3: Öğrenme Aşaması ps ps yen, Öğretmenn sınıfın ortalamasını daha y br sevyeye getrme çabasının yanında, öğrenclerde kend aralarındak etkleşmle başarılarını arttırmaya çalışırlar. Bu amaçla 413
br tasarım kendn gelştrmek amacıyla popülasyondak başka br tasarımla etkleşme grer. Öğrenme aşamasında ve j ( j) gb farklı tasarım arasında blg paylaşımı şu şeklde yapılmaktadır: yen, X j = X + r( X X ) eğer j W ( X ) < W ( X ) (8a) yen, X j = X + r( X X ) eğer j W ( X ) < W ( X ) (8b) j X rasgele olarak seçlen ve yen, X den farklı olan tasarımdır. Eğer yen tasarım ( X ), yen, mevcut tasarımdan ( X ) daha haffse ( W ( X ) < W ( X ) ), yen tasarım mevcut yen, tasarımın yern alır, X = X. Adım 4: Arama İşlemnn Btrlmes 2. ve 3. adımların önceden belrlenmş yapı analz sayısı kadar tekrarlanması durumunda popülasyonda sınırlayıcıları sağlayan en haff kafes yapıdan daha haff br kafes yapı tasarımı elde edlemyorsa arama sürec btrlr. Tasarım Örneğ TLBO yöntemnden elde edlen sonuçları test etmek çn lteratürde armon arama (HS) (Lee ve dğ., 2004), hbrd parçacık sürü optmzasyonu (HPSO) (L ve dğ., 2007), hbrd parçacık küme karınca kolon optmzasyonu (HPSACO) (Kaveh ve Talatahar, 2009a) ve self-adaptf armon arama (SAHS) (Degertekn, 2012) yöntemleryle mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılmış 25 elemanlı uzay kafes yapı kullanılmıştır. TLBO nun standart uygulamasında br öğretme safhasında, dğer öğrenme safhasında olmak üzere k tasarım üretlmektedr. Bu çalışmada optmum tasarıma ulaşmayı hızlandırmak çn öğrenme safhasında br tasarımdan daha fazla sayıda yen tasarım üretlmştr. Sonuç olarak TLBO yöntemnde popülasyon büyüklüğü (ps) ve öğrenme safhasında üretlen tasarım sayısı (ndlp) olmak üzere k parametre mevcuttur. Bu parametrelere atanablecek en uygun değerler farklı ps ve ndlp değerler çn TLBO yöntem cra edlerek bulunmuştur. Buna göre ps=30 ve ndlp=4 değerler çn en haff kafes yapı tasarımlarının elde edldğ tespt edlmştr (Degertekn ve Hayaloglu, 2013). TLBO yöntem aynı başlangıç tasarımları çn 20 kez cra edlmş ve 20 farklı nha tasarım elde edlmştr. Bu 20 tasarımdan en haff ve en ağır olanlar ayrıca 20 tasarıma at ortalama ağırlık, standart sapma değerler ve sınırlayıcı hlal yüzdeler tabloda verlmştr. 25 Elemanlı Uzay Kafes Yapı 25 elemanlı uzay kafes yapının boyutları ve eleman numaralandırılması Şekl 2 dek gbdr. Kafes yapıda malzeme çn elastste modülü ve özgül ağırlık sırasıyla 68950 MPa ve 2767.991 kg/m 3 olarak alınmıştır. Tablo 1 de kafes yapıya uygulanan k farklı yükleme durumu, Tablo 2 de se kafes yapıya at tasarım değşkenler (eleman grupları) ve müsaade edlen gerlme değerler verlmştr. Her eleman grubuna atanablecek mnmum enkest alanı 0.064516 cm 2 dr. TLBO ve lteratürden elde edlen sonuçlar (Lee ve dğ., 2004; L ve dğ., 2007; Kaveh ve Talatahar, 2009a; Degertekn, 2012) Tablo 3 de sunulmuştur. 414
Şekl 2 25 Elemanlı Uzay Kafes Yapı. Tablo 1 25 Elemanlı Uzay Kafes Yapı İçn Yükleme Şartları. Düğüm no. Yükleme durumu 1 Yükleme durumu 2 F x (kn) F y (kn) F z (kn) F x (kn) F y (kn) F z (kn) 1 0.0 88.96-22.24 4.448 44.48-22.24 2 0.0-88.96-22.24 0. 44.48-22.24 3 0.0 0.0 0.0 2.224 0. 0. 6 0.0 0.0 0.0 2.224 0. 0. Tablo 2 25 Elemanlı Uzay Kafes Yapı İçn Müsaade Edlen Gerlme Değerler. Tasarım değşkenler A (cm 2 ) Müsaade edlen basınç gerlmes (MPa) A 1 241.95934 275.80 A 2 -A 5 79.91305 275.80 A 6 -A 9 119.31797 275.80 A 10 -A 11 241.95934 275.80 A 12 -A 13 241.95934 275.80 A 14 -A 17 46.60330 275.80 A 18 -A 21 47.98230 275.80 A 22 -A 25 76.41039 275.80 Müsaade edlen çekme gerlmes (MPa) 415
Tablo 3 25 Elemanlı Uzay Kafes Yapı İçn Optmum Boyutlandırma Sonuçları. Tasarım değşkenler A (cm 2 ) Lee ve dğ. (2004) L ve dğ. (2007) Kaveh ve Talatahar (2009) Degertekn (2012) HS HPSO HPSACO SAHS TLBO (en ağır) Bu çalışma TLBO (en haff) A 1 0.3032 0.0645 0.0645 0.0645 0.1277 0.0645 A 2 -A 5 13.0451 12.7096 13.2515 13.3806 11.6012 13.3625 A 6 -A 9 19.0322 19.4580 19.4064 19.1031 21.0502 19.0773 A 10 -A 11 0.0645 0.0645 0.0645 0.0645 0.0645 0.0645 A 12 -A 13 0.0903 0.0645 0.0645 0.0645 0.0645 0.0645 A 14 -A 17 4.4387 4.4774 4.3806 4.4580 4.4038 4.4457 A 18 -A 21 10.6903 10.8451 10.3935 10.4322 11.1812 10.4573 A 22 -A 25 17.1806 17.0515 17.2773 17.2515 16.6283 17.2696 Ağırlık (kg) 246.9307 247.2981 247.2074 247.2664 247.8152 247.2528 Ortalama ağırlık (kg) - - 247.4478 247.6383 247.3979 Standart sapma (kg) - - 0.1428 0.4127 0.1905 Sınırlayıcı hlal yüzdes (%) 0.206 Yok 3.52 Yok Yok Yok Analz sayısı 15000 125000 9875 9051 14801 15318 Tablo 3 den görüleceğ üzere TLBO le 15318 kafes yapı analz sonunda 247.2528 kg ağırlığında br tasarım elde edlmştr. HS (Lee ve dğ., 2004) ve HPSACO (Kaveh ve Talatahar, 2009) le TLBO ya kıyasla daha haff tasarımlar elde edlmesne karşın bu tasarımların tasarım sınırlayıcılarını hlal ettğ tespt edlmştr. Bu durum; TLBO le dğer optmzasyon yöntemlerne göre daha y br tasarımın elde edldğn göstermektedr. Bununla brlkte optmum boyutlandırma çn TLBO le talep edlen yapı analz sayısının HPSACO (Kaveh ve Talatahar, 2009) ve SAHS (Degertekn, 2012) yöntemlernden daha fazla olduğu görülmektedr. Sonuçlar Bu çalışmada önerlen öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntemyle kafes yapıların mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılması gerçekleştrlmştr. Yöntemden elde edlen sonuçları kıyaslamak çn lteratürde farklı optmzasyon yöntemleryle mnmum ağırlıklı olarak boyutlandırılan 25 elemanlı uzay kafes sstem yapı kullanılmıştır. Bu tasarım örneğnden elde edlen sonuçlar le öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntemnn; armon arama, hbrd parçacık sürü optmzasyonu, hbrd parçacık sürü karınca kolon optmzasyonu, self-adaptf armon arama yöntemler kadar güçlü br yöntem olduğu belrlenmştr. Önerlen algortmanın yrm farklı crası sonucunda elde edlen ağırlıkların standart sapmasının ortalama ağırlık değernn % 0.1 nden daha küçük olması öğretme-öğrenme esaslı optmzasyon yöntemnn global optmuma yakın değerlere yakınsayabldğn göstermektedr. 416
Kaynaklar Degertekn, S.O. (2012) An mproved harmony search algorthms for szng optmzaton of truss structures, Computers & Structures, 92-93, pp. 229-241. Degertekn, S.O. and Hayaloglu, M.S. (2013) Szng truss structures usng teachnglearnng-based optmzaton, Computers & Structures, 119, pp. 177-188. Dorgo, M., Manezzo, V. and Colorn, A. (1992) An nvestgaton of some propertes of an ant algorthm. Proc. 1992 Parallel Problem Solvng from Nature Conf., Elsever, Amsterdam, pp. 509-520. Geem, Z. W., Km, J. H. and Loganathan, G. V. (2001) A new heurstc optmzaton algorthm: harmony search. Smulaton, 76, pp. 60-68. Kaveh, A. and Talatahar, S. (2009a) Partcle swarm optmzer, ant colony strategy and harmony search scheme hybrdzed for optmzaton of truss structures, Computers & Structures, 87, pp. 267-283. Kaveh, A. and Talathar, S. (2009b) A partcle swarm ant colony optmzaton for truss structures wth dscrete varables, Journal of Constructonal Steel Research, 65, pp. 1558-1568. Kennedy J. and Eberhart, R. (1995) Partcle swarm optmzaton. In: IEEE Internatonal conference on neural networks, pp. 1942 1948. Lee, K.S. and Geem, Z.W. (2004) A new structural optmzaton method based on the harmony search algorthm. Computers & Structures, 82, pp. 781 798. L, L.J., Huang, Z.B., Lu, F. and Wu, Q.H. (2007) A heurstc partcle swarm optmzer for optmzaton of pn connected structures, Computers & Structures, 85, pp. 340-349. Rao, R.V., Savsan, V.J. and Vakhara, D.P. (2011) Teachng-learnng-based optmzaton: A novel method for constraned mechancal desgn optmzaton problems, Computer Aded Desgn, 43, pp. 303-315. Rao, R.V., Savsan, V.J. and Vakhara, D.P. (2012) Teachng-learnng-based optmzaton: An optmzaton method for contnuous non-lnear large scale problems, Informaton Scence, 183, pp. 1-15. Togan, V. Desgn of steel frames usng Teachng-Learnng Based Optmzaton, Engneerg Structures, 34, pp. 225-232. 417