Düzlemsel İki Serbestlik Dereceli Mekanizmaların En Küçük Kareler Toplamı Yöntemi ile İşlev Sentezi

Transkript

1 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 Düzlemsel İki Serbestlik Dereceli Mekanizmaların En Küçük Kareler Toplamı Yöntemi ile İşlev Sentezi G. Kiper* B. Bağdadioğlu R. I. Alizade İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü Azerbaycan Havacılık Akademisi İzmir Bakü Özet Bu çalışmada düzlemsel iki serbestlik dereceli beş ve yedi uzuvlu düzlemsel mekanizmalar ile en küçük kareler toplamı yöntemi kullanılarak işlev sentezi uygulanmaktadır. Beş uzuvlu mekanizmalar tek devreli iken yedi mafsallı mekanizmalar iki devre birleştirilerek oluşmaktadır. R döner mafsal, P ise kayar mafsal olmak üzere RPRRR, RRRRR, RPR-RRR, RPR-RRR-RRR, RRR-RRR, PRRRR, PPRRR, PRR-RRR-RRR, PRR-PRR- RRR mekanizmaları için sentez formülasyonu türetilmiş ve bilgisayar ortamında sayısal model oluşturulmuştur. Sayısal çalışmalardan bir tanesi çalışmada örnek olarak sunulmuştur. Anahtar kelimeler: İki girdili işlev sentezi, iki serbestlik dereceli düzlemsel mekanizmalar, en küçük kareler toplamı yöntemi Abstract Function synthesis problem with planar two degrees-of-freedom five-link and seven-link linkages by using least squares approximation method is addressed in this study. While five-link linkages have single loop, seven link mechanisms have two independent loops. RPRRR, RRRRR, RPR-RRR, RPR-RRR-RRR, RRR-RRR, PRRRR, PPRRR, PRR-RRR-RRR, PRR-PRR- RRR mechanisms are examined, where R stands for a revolute joint and P stands for a prismatic joint. The formulations are implemented in computer and many computational examples are worked out. One of the computational studies is presented as an example. Keywords: Function synthesis with two inputs, two degrees-oreedom planar linkages, least squares approximation method I. Giriş Tek serbestlik dereceli (s) mekanizmaların kinematik sentezi için analitik yöntemlerin kullanılması bugüne kadar çok yaygın olarak incelenmiştir. Öte yandan, -s düzlemsel yedi uzuvlu mekanizmaları tasarlamak için çoğunlukla sayısal en iyileme teknikleri kullanılmıştır. Svoboda ya [] göre düzlemsel 7-çubuk mekanizmalarının sentezi iki aşamada yapılmaktadır. Her aşamada 7-çubuk mekanizmasının iki uzvu birbirine sabitlenir, yani bir mafsal açısı sabitlenir. Ortaya çıkan - s 6-çubuk mekanizması irdelenir. Svoboda [] basit iki girdili toplama, çarpma ve bölme gibi işlevleri yapmak üzere düzlemsel mekanizmalar tasarlamak için geometrik * gokhankiper@iyte.edu.tr barisbagdadioglu@gmail.com alizada_rasim@hotmail.com araçlar geliştirmiştir. Balli ve Chand [] 7-çubuk mekanizması ile iki ölü konum arasında hareket sentezi yapmışlardır. Daivagna ve Balli [3] işlev sentezi için -s düzlemsel 7RP (R: döner mafsal, P: prizmatik mafsal) mekanizması üzerine çalışmıştır. Balli ve diğ. [] bir başka çalışmalarında diad tekniği ile -s düzlemsel 7- çubuk mekanizmalarını sentezini ele almışlardır. Lakshminarayana ve diğ. [5-], konum ve hız sıfır-hata noktaları ile iki girdili işlev sentezi için 7-çubuk ve 9- çubuk düzlemsel mekanizmaları ile yüksek mertebeli sentez üzerinde çalışmışlardır. Mruthyyunjaya [-3] döner girdi/çıktı ve kayar girdi/çıktı kullanılarak altı sıfırhata noktası ile noktasal konum indirgeme ismini verdikleri bir grafik yöntem geliştirmiştir. Kohli ve Soni [], -s 7-çubuk mekanizmaların işlev, yörünge ve hareket sentezi üzerine çalışmışlardır. Bu çalışmada, devre kapalılık denklemleri çıkarılarak elde edilen denklem takımı sayısal yöntemlerle çözülmüştür. Yazarlar işlev sentezi problemi için 3 sıfır-hata noktası ile bir RRR-RR düzlemsel paralel mekanizması kullanmışlardır. Yukarıda bahsi geçen sentez yöntemlerin çoğu elde edilmek istenilen işlevin tanım kümesinden seçilen sıfırhata noktalarında işlevin sıfır hata ile gerçekleştirilmesi için gerekli denklemler üzerine kurulmuştur. Bu yöntemlere interpolasyon yöntemleri denmektedir. Öte yandan, en küçük kareler toplamı yönteminin amacı, işlev tanım kümesinde seçilen tasarım noktalarındaki hataların karelerinin toplamını en aza indirmektir. [5-6] çalışmalarında en küçük kareler toplamı yöntemi, - s mekanizmalar ile iki girdili işlev sentezi için kullanılmıştır. Levitskii, düzlemsel -kol mekanizmasının işlev sentezi problemi için interpolasyon, en küçük kareler ve Çebişev yaklaşımı yöntemlerini çalışmıştır [7]. Bu çalışmanın amacı iki girdili işlevi yaklaşık olarak gerçekleştirmek üzere 5 ve 7 uzuvlu -s düzlemsel mekanizmaların sentezlenmesi için araçlar oluşturmaktır. Sentezlenen mekanizmaların en genel formu Şekil a da gösterilmektedir. Şekil a daki mekanizmada yalnızca döner mafsallar görünse de girdi ya da çıktı uzuvları kaideye kayar mafsallarla da bağlı olabilirler. RPRRR, RRRRR, RPR-RRR, RPR-RRR-RRR, RRR-RRR, PRRRR, PPRRR, PRR-RRR-RRR, PRR-PRR-RRR ve PRR-RPR-RRR mekanizmaları üzerinde çalışılmıştır. Bu mekanizmaların matematiksel modelleri çıkarılarak

2 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 sentez problemi analitik olarak oluşturulmakta ve çözülmektedir. Tüm mekanizmalarda sondaki RRR mafsal yapısına sahip PFC diadı bulunmaktadır ve bu diad tasarlanmaktadır. Şekil b de gösterildiği gibi bu diadın sabit ucu (C x, C y ) ve a, a uzuv boyutları tasarım parametreleridir. Diğer uzuv boyutları serbest olarak seçilmektedir. Mekanizmanın geri kalanında kutupsal koordinatlarda Se i ile ifade edilen P noktasının hareketi mekanizma girdilerine (q, q ) bağlı olarak belirlenmektedir: Se i = f(q, q ). Böylelikle seçilen (q i, q i, i ) (i =,...,n) tasarım noktaları için (S i, i, i ) noktaları belirlenerek en küçük kareler toplamı yöntemi ile PFC diadı tasarlanabilmektedir. Son olarak yöntemin uygulanışını göstermek için sayısal örnekler verilmektedir. II. Problem Tanımı ve Genel Formülasyon RRR diadı, -s düzlemsel 7-çubuk mekanizması kullanılarak z = f(x, y) işlevini oluşturulmak için gereklidir. RRR bölümü Şekil b de gösterilmektedir. Mekanizmanın geri kalanı P dönel mafsal noktasından bağlı uzuvlar ile oluşturulmaktadır. PFC diadına RR, PR, RP ya da PP diadı ya da diadları eklenerek alternatif -s mekanizmalar elde edilmektedir. Bu çalışmada RPRRR, RRRRR, RPR-RRR, RPR-RRR-RRR, RRR-RRR, PRRRR, PPRRR, PRR-RRR-RRR, PRR-PRR-RRR ve PRR-RPR-RRR mekanizmaları incelenmiştir. _ işareti o mafsalla ilişkili mafsal değişkeninin girdi olduğunu belirtmektedir. Tüm bu mekanizmalarda prizmatik ya da dönel mafsal olarak iki girdi bulunmaktadır. Ancak bizim tüm problemlerimizde, bu iki girdili bölümlerden bulanacak P noktasının kutupsal koordinat ifadesi olan Se i PFC diadı ile birleştirilerek çıktı değeri olan bulunmaktadır. Problemi biraz daha da basitleştirmek için, alt bölümdeki uzuv boyutları serbest seçilmiş olarak varsaydığımızda, sadece geri kalan Şekil b de görülen a, a uzuv boyutları ve PFC diadının sabit ucu olan C x ve C y koordinat değerlerini tasarlamamız gerekmektedir. P noktasının kutupsal koordinat ifadesi olan Se i değeri verildiğinde, aşağıda gösterilen vektör denklemleri yazılabilmektedir: PA AC CF AC FC AP PF i i FC AC AP C ic a e Se a x y Cx ac Sc Cy as Ss a x y x x a a C C S a C cc Sc a C sa Sc C Ss0 y y () Burada c ve s kosinüs ve sinüsün kısaltmalarıdır. Denklem () in polinom olarak gösterimi 6 Pf j j x F x 0 () j şeklindedir. Denklem () de x, girdi ve çıktı değişkenler olan (S,, ) değerlerini ifade eder ve P a a C C, P C, P C, P a, x y y 3 x P a C, P a C, f x, f xss, 5 x 6 y f x Sc, f x Sc, 3 f xc, f xs, FxS 5 6 (3) Şekil. -s 7-mafsallı mekanizmaların genel görünümü, RRR diadı dir. Denklem () de adet tasarım parametresi bulunmaktadır (a, a, C x ve C y ), ama 6 adet P j

3 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 bulunmaktadır. P 5 ve P 6 diğer P j ler cinsinden yazıldığında aşağıdaki bağıntılar görülmektedir: P5P 3P ve P6 PP () P 5 = ve P 6 = (Lagrange parametreleri) ve j =,.., için P j = j + m j + n j olarak tanımlandığında Denklem (): jmjnj fj x f5 x f6 x F x 0 (5) j haline dönüşür. Denklem (5) de ve bağımsız değişkenlerdir. Bu yüzden ve nin katsayıları ile geri kalan kısım sıfıra eşit olmalıdır: jfj x F x 0 (6) j mf j j x f5 x 0 (7) j nf j j x f6 x 0 (8) j i =,.., ( >) için x i tasarım noktaları ile en küçük karelerin toplamı yöntemi uygulandığında öncelikle j ji i (9) i j S f F Sm mjfji f5i (0) i j Sn njfji f6i () i j tanımlanır. (9)-() Denklemlerinde f ji =f j ( x i ), f 5i =f 5 ( x i ), f 6i =f 6 ( x i ), ve F i =( x i )'dir. Karelerinin toplamının minimum değerini bulabilmek için (9)-() Denklemlerinin j, m j ve n j değerlerine göre kısmi türevi alınıp sıfıra eşitlenir: ds dm ds d m k k f f f f F f 0 () i i i 3i 3 i i ki fim fim f3im3 fim f5ifki 0(3) i 3 ds dn n k fin fin f3in3 fin f6ifki 0 () i k=,,3, için ()-() Denklemlerinde görüldüğü üzere her bir denklem bilinmeyen cinsinden (sırası ile,, 3, ; m, m, m 3, m ve n, n, n 3, n ) doğrusal denklem takımı şeklindedir. Denklem ()-() matris biçiminde yazıldığında fif ki + fif ki + f3if ki 3+ fif ki = Ff i ki i= i= i= i= i= A = b k,,3, kj j k Akj m j= ck k,,3, i ki m+ i ki m+ 3i ki m+ 3 i ki m=- 5i ki i= i= i= i= i= (5) (6) A kj n j= dk k,,3, i ki n+ i ki n+ 3i ki n+ 3 i ki n=- 6i ki i= i= i= i= i= (7) elde edilir. (5)-(7) Denklemlerinde A kj = fkifji, i= A kj katsayı matrisi; j, k =,.., için b k= Ff i ki, i= c k=- f5ifki, d k=- f5ifki l T j = l l l l 3, i= i= m T j = m m m3 m, n T j = n n n3 n ve de b k, c k x sütun matrisleridir. Burada j, m j ve n j Denklem (5)-(7) denklemlerinden doğrusal olarak çözülebilmektedir. j, m j ve n j değerlerine göre ve çözüzlür: PP 3 3 m3n3 mn mm 3 nn 3 mn 3 nm 3 m m l n n l λ PP +mλ +n λ +mλ +n λ mmλ +nnλ + mn +nmλλ + m+m λ + n +n λ + =0 (8) (9) (8)-(9) Denklemlerinden elendiğinde cinsinden bir 3. derece polinom denklem elde edilir. Bu eleme işlemlerinin ayrıntıları Alizade ve Kilit in [8] çalışmasında yer almaktadır. 3. derece polinom denklem çözüldüğü zaman bir ya da üç gerçel kök çıkabilir. Bu

4 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 gerçel değerlerden seçilebilecek bir değer ile uygun uzuv boyutları ve/veya daha küçük hata değerleri elde edilebilir. seçildikten sonra (8)-(9) Denklemlerinde tek çözüm olarak elde edilir. ve değerleri bulunduktan sonra, j =,.., için P j = j + m j + n j bulunur ve son olarak da (3) Denkleminden tasarım parametreleri değerleri şu şekilde elde edilir: C x=p, 3 C y=p, a =P, a= P+a +C x +C y (0) Denklem (0) de gerçel uzuv boyutları elde edebilmek için P + a + C x + C y değerinin sıfırdan büyük olması gerekmektedir. Sonraki bölümlerde farklı mekanizmalar için S ve değerlerini elde etmek üzere matematiksel modelleri çıkarılmaktadır. A. RPRRR ve RRRRR mekanizmaları Şekil a da görülen RPRRR mekanizmasının girdi değerleri olan ve S, P noktasının kutupsal koordinat noktasını vermektedir. Bu nedenle yukarıdaki formulasyon doğrudan kullanılabilmektedir. Bu mekanizmalar için herhangi bir uzuv boyutu değeri varsayma ihtiyacı bulunmaktadır. Girdi ve çıktı değerleri ve olan RRRRR mekanizması Şekil b de görülmektedir. Bu mekanizmanın en küçük kareler toplamı ile işlev sentezi çözümü (Kiper, Bağdadioğlu, Bilgincan, 0) çalışmasında gösterilmektedir. Tüm uzuv boyutları aynı ölçekle çarpılsa da girdi/çıktı ilişkisi değişmeyeceğinden AC = olarak varsayılabilir. a, a, a 3, a değerleri analitik olarak çözülebilmektedir. Dikkat edilirse AC = seçildiğinde C x ve C y değerleri birbirlerinden bağımsız seçilememektedir. Alternatif olarak, a 3 ve a varsayılarak C x ve C y için çözüm yapılması da mümkündür. Burada a 3 ve a değerlerinden biri ölçeklendirme amaçlı olarak seçilebilmektedir. Bu durumda girdiler ve ya göre P noktasının polar koordinat değerleri olan S ve hesaplanabilmektedir ABBP APa e a e Se i i i S a ca c a sa s a a a a c atan a ca c,a sa s 3 3 () Şekil. RPRRR ve RRRRR mekanizmaları B. RPR-RRR mekanizması RPR-RRR mekanizmasının girdi değerleri Şekil 3 te görülen S ve S prizmatik değişkenleridir. a 3 değeri serbest seçilmektedir. Prizmatik girdi S doğrudan verilmektedir, fakat değeri S ve S girdileri cinsinden hesaplanmalıdır. PAB üçgeninde kosinüs teoremi uygulandığında a S S S a S a Sc cos () a3s elde edilir.

5 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 Şekil 3. RPR-RRR mekanizması C. RPR-RRR-RRR mekanizması RPR-RRR-RRR mekanizmasında (Şek. prizmatik girdi S ve dönel girdi bulunmaktadır. a 3, a ve a 5 uzuv boyutları serbest olarak seçilebilmektedir. Prizmatik girdi olan S değeri verilmektedir, lakin değeri S ve cinsinden hesaplanmalıdır: BDABAP DP (3) i i APBDAB Se a3ae a5 Sca3a c Ssa s a a a c Sca Sss a a a S a a c Denklem (3) Ac + Bs = C biçemindedir ve iki farklı değeri için yarım açının tanjantı dönüşümü kullanılarak analitik olarak çözülebilmektedir. Mekanizma bu değerlerden en uygun olanı seçilerek tasarlanabilmektedir. Şekil. RPR-RRR-RRR ve RRR-RRR mekanizmaları D. RRR-RRR mekanizması Şekil b de görülen RRR-RRR mekanizmasında girdiler ve açılarıdır. Mekanizma ölçeği girdi/çıktı ilişkisini etkilemeyeceğinden AB = alınabilir. AEPDB devresinde a, a 5, a 6 ve a 7 uzuv boyutları serbest olarak seçilebilmektedir. ve girdileri verildiğinde E ve D noktalarının koordinatları sırası ile a 6 e i ve + a e i ifadeleri ile bulunabilir. a 5 ve a 7 uzuv boyutları için 5

6 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 PE P ip a e a P a c P a s a i x y 6 7 x 6 y 6 7 P P a a a cp a sp 0 x y x 6 y () PD P ip a e a P a c P a s a i x y 5 x y 5 P P a a ca a c P a sp 0 x y 5 x y (5) yazılabilir. P x ve P y değerlerini bulmak için Denklem () Denklem(5) ten çıkarıldığında a a a a ca a ca c P x asas P0PmPn 6 y y x (6) aca6c elde edilmektedir. Denklem (6) da m asas ve a a a a ca n (asa6s ) () ten olmak üzere Denklem x x x 6 x P mp n a a a cp a smp n 0 m P mna cma sp n a a na s0 (7) x 6 6 x mna 6cma6s m n a a nas mna 6cma6s Px m bulunur. Denklem (7) deki ± işareti, EPD diadındaki alternatif montaj modlarını belirtmektedir. + ya da seçilmesi tasarımcının tercihine bırakılmıştır. Öncelikle P x değeri hesaplanmaktadır, bundan sonra da Denklem (6) kullanılarak P y değeri bulunmaktadır. S ve değerlerinin P x ve P y kutupsal koordinatları cinsinden gösterimi şu şekildedir: S P P ve atan P,P (8) x y x y E. PRRRR ve PPRRR mekanizmaları PRRRR mekanizması Şekil 5a da gösterilmektedir. Bu mekanizmanın girdi değerleri S ve değişkenleridir ve a 3 uzunluğu serbest olarak seçilebilmektedir. S ve değerlerinin, S ve cinsinden çözümü: S a e S a cosia sinse i S S a cos a sin, atan S a cos, a sin i (9) 6 Şekil 5. PRRRR ve PPRRR mekanizmaları Şekil 5b de görülen PPRRR mekanizmasında S ve S iki kayar mafsal girdisidir. S ve şu şekilde bulunur: i S is Se S S S ve atan S,S (30) F. PRR-RRR-RRR mekanizması Kayar mafsal girdisi S ve dönel mafsal girdisi ile PRR-RRR-RRR mekanizması Şekil 6 da gösterilmektedir. Bu mekanizmada a 3, a, a 5 ve a 6 serbest seçilebilen uzuv boyutlarıdır. S ve değerleri verildiğinde, A ve D noktalarının koordinatları bulunabilmektedir.

7 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 olur. Denklem (3) den P y değeri çözülür. S ve nin P x ve P y cinsinden bulunuşu Denklem (8) ile olmaktadır. G. PRR-RRR ve PRR-RPR-RRR mekanizmaları Şekil 7a da görülen PRR-PRR-RRR mekanizması için prizmatik girdiler S ve S değerleridir. a 3 ve a serbest olarak seçilebilen parametrelerdir. Şekil 6. PRR-RRR-RRR mekanizması AP P ip S a P S P a x y 6 x y 6 P P SP S a 0 x y x 6 (3) i DP PxiP ya 3a e a5p xa 3a c P ya s a5 (3) P P a a cp aspa a a aa c0 x y 3 x y P x ve P y değerlerini bulabilmek için Denklem (3), Denklem (3) den çıkarıldığında a a a a S a a c a acs PasP0 3 x y (33) bulunur. Denklem (33) te P y, P x cinsinden yazıldığında P=mP+n (3) y x a3acs dir. (3) Denkleminde m as a3 a a5 a6 S a3ac n dır. Denklem (3), as Denklem (3) de kullanıldığında ve P x x x 6 P mp n SP S a 0 S mn S mn m S a n 6 x m (35) Şekil 7. PRR-RRR ve PRR-RPR-RRR mekanizmaları 7

8 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 PAB üçgeninde kosinüs teoremi kullanıldığında: a SS a3 a S S a3 a SS a SS c cos elde edilir. S ve şu şekilde bulunabilir: i i S a e S a cosia sinse S S a cos a sin, atan S a cos, a sin (36) (37) Şekil 7b de gösterilmiş olan PRR-RPR-RRR mekanizmasında kayar mafsal girdileri S ve S dir. a 3 ve a değerleri serbest seçilebilen değerleridir. PAB üçgeninde kosinüs teoremi uygulandığında a a3s S a a S S a a S a a S c 3 3 cos 3 (38) III İşlev Sentezi Problemi Kısım II deki mekanizmaların herhangi biri için z = f(x, y) işlevinin sentezi problemi aşağıdaki gibi oluşturulur:. i =,.., > için verilen x i, y i ve z i tasarım noktaları girdi olan q, r ve çıktı olan ile doğrusal olarak aşağıda gösterildiği gibi bağlantılıdır: x i x qi q yi y ri r zi z i,, x x q q y y r r z z (0) q ve r mekanizma girdileri örneğin RPRRR mekanizmasında S ve ; RRRRR mekanizmasında ve dır. Mekanizmalarda girdilerin hangisinin q ya da r seçilmesinin bir önemi yoktur. q, q, r, r, ve sınır değerleri tasarımcının isteğine göre seçilebilmektedir ve bu değerler ile oynanarak hatalar azaltılabilir ve/veya mekanizmadaki uzuv boyutları istenildiği gibi değiştirilebilir.. S i ve i girdi değerleri Kısım II de anlatıldığı gibi hesaplanır. Tablo de bu değerler özetlenmektedir. elde edilir. S ve şu şekilde bulunabilir: i i S a e S a cosia sinse S S a cos a sin, atan S a cos, a sin (39) 3. Kısım II de açıklanan en küçük kareler toplamı yöntemi uygulanarak a, a, C x, C y tespit edilir. Tasarlanan ve hesaplanan z değerleri arasındaki yüzde hata grafik olarak çizilir ve hata varsayılan uzuv uzunlukları kabulleri ve/veya girdi/çıktı sınırları değiştirerek azaltılır. Mekanizma Girdi S RPRRR S ve S a a a a c atan a ca c,a sa s RRRRR ve RPR-RRR S ve S S cos a S S a S RPR-RRR-RRR S ve S Denklem (3) RRR-RRR ve Denklem (6) - (8) PRRRR 3 3 S ve S a cos a sin atans a cos, a sin PPRRR S ve S S S atans,s PRR-RRR-RRR S ve Denklem (35) ve Denklem (8) PRR-RRR S ve S S a cos a sin atans a cos, a sin PRR-RPR-RRR S ve S S a cos a sin atans a cos, a sin TABLO. Mekanizmalarda S ve değerleri 8

9 Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Haziran 05 IV. Sayısal Örnek Tüm mekanizmaların sentez formülasyonları Microsoft Excel ortamına girilmiş ve pek çok sayısal örnek çalışılmıştır. Burada örnek olarak 3 x 6 ve y 5 aralıkları için z = x. y 0. işlevinin PRR-RRR- RRR mekanizması ile sentezi sunulmaktadır. Bu işlevin seçimi bir uygulama ifade etmemektedir ve tamamen akademik amaçlarla çalışılmıştır. x ve y tanım aralıkları 30 eşit aralığa bölünmüş, yani toplam 900 nokta ile sentez yapılmıştır. PRR-RRR-RRR mekanizmasında serbest seçilebilen dört uzuv boyutu ile girdi/çıktı parametrelerinin sınırları değiştirilerek maksimum hata değeri düşük bir mekanizma tasarımı yapılmıştır. Tasarım ölçütü olarak kullanılan multak yüzde hata zistenen zhesaplanan %Hata 00 z istenen şeklinde tanımlıdır. Uzuv boyutları a 3 = 6, a =.5, a 5 = 5 ve a 6 = birim seçilmiştir. S, girdi ve çıktı değer aralıkları S 5, 75 0 ve 0 65 olarak seçilmiştir. Maksimum mutlak hata 0.9, maksimum mutlak yüzde hata ise %.36 bulunmuştur. İşlev tanım kümesi üzerinde yüzde hata değişimi Şekil 8 de gösterilmektedir. Tasarlanan uzuv boyutları a = 3.87, a = 6.69, C x = 6.0 ve C y =.083 birimdir. %Hata x Şekil 8. İşlev tanım kümesi üzerinde yüzde hata değişimi V. Sonuçlar Bu çalışmada yalnızca döner ve kayar mafsallar içeren pek çok farklı düzlemsel -s mekanizma kullanılarak çift girdili işlevlerin sentezi için ortak bir tasarım yöntemi sunulmuştur. Sentez formülasyonunun vakit alan sayısal en iyileme yöntemleri yerine analitik hesaba dayalı olması için bazı uzuv boyutlarının tasarımcı tarafından serbest seçilerek geri kalan uzuv boyutlarının tasarımı çalışılmıştır. Sentez yöntemi olarak, tanım kümesi üzerinde istenilen kadar tasarım noktası seçilmesine olanak veren en küçük karaler toplamı yöntemi.7.3 y seçilmiştir. Uygulamada, belirli bir mekanizma için bu çalışmadaki yöntemler uygulanabileceği gibi, belirli bir işlevi yerine getirmek için tasarımcının mekanizmayı seçme özgürlüğü varsa tüm mekanizmalar çalışılarak en iyi neticeyi veren mekanizmanın seçilmesi de mümkündür. Kaynakça [] Svoboda. A. Computing Mechanisms and Linkages, Dover,. Baskı, 8-0, 965. [] Balli S. S. ve Chand S. Synthesis of a planar seven-link mechanism with variable topology for motion between two deadcenter positions. Mechanism and Machine Theory, 38():7-87, 003. [3] Daivagna U M. ve Balli S. S. Synthesis of a seven-bar slider mechanism with variable topology for motion between two deadcenter positions. World Congress on Engineering, Londra, Cilt II, 00. [] Gadad G. M., Ramakrishan H.V., Srinath M. S. ve Balli S. S. Dyad synthesis of planar seven-link variable topology mechanism for motion between two dead-centre positions. Journal of Mechanical and Civil Engineering, 3(3): -9, 0. [5] Lakshminarayana K. ve arayanamurthi R. G. Derivative synthesis of plane mechanisms to generate functions of two variables. Journal of Mechanisms, 5():9-7, 970. [6] Lakshminarayana K. A simplified approach to two-freedom linkages. Journal of Engineering for Industry, 95:58-588, 973. [7] Ramaiyan G. ve Lakshminarayana K. Contribution to synthesis of two-freedom linkages - I: Synthesis with second order precision points. ASME Bildiri o. 7-DET-3. [8] Lakshminarayana K. Contributions to the synthesis of twofreedom linkages - : Derivative synthesis. ASME Bildiri o. 7-DET-35. [9] Ramaiyan G. ve Lakshminarayana K. Synthesis of seven-link two-freedom linkages with sliding inputs and output using identical link positions. Mechanism and Machine Theory, (3):8-85, 976. [0] Ramaiyan G. ve Lakshminarayana K. ine-link plane mechanisms for two-variable function generation - I. Systematics. Mechanism and Machine Theory (3):87-9, 976. [] Ramaiyan G. ve Lakshminarayana K., ine-link plane mechanisms for two-variable function generation - II. Synthesis. Mechanism and Machine Theory, (3):93-99, 976. [] Mruthyunjaya T. S. Synthesis of plane linkages to generate functions of two variables using point position reduction part. rotary inputs and output. Mechanism and Machine Theory, 7(3): , 97. [3] Mruthyunjaya T. S. Synthesis of plane linkages to generate functions of two variables using point position reduction -II. Sliding inputs and output. Mechanism and Machine Theory, 7():399-05, 97. [] Kohli D. ve Soni A.H. Synthesis of seven-link mechanisms. Journal of Engineering for Industry, 95:533-50,973. [5] Kiper G., Bağdadioğlu B. ve Bilgincan T. Function synthesis of the planar 5R mechanism using least squares approximation. Advances in Robot Kinematics, Springer, 69-76, 0. [6] Kiper G. ve Bağdadioğlu B. Function generation synthesis with a -dof overconstrained double-spherical 7R mechanism using the method of decomposition and least squares approximation. ew Trends in Mechanism and Machine Science: From Fundamentals to Industrial Applications, Springer, 67-7, 05. [7] Levitskii. I. Synthesis of Mechanisms by Chebyshev. USCB Bilim Akademisi, 96. [8] Alizade R. I. ve Kilit Ö. Analytical synthesis of function generating spherical four-bar mechanism for the five precision points. Mechanism and Machine Theory, 0(7): ,