KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 1 PROBLEMLERİ. Prof.Dr.Burhan Celil Işık (YTÜ) Doç.Dr. Erol Yavuz (Okan Üniversitesi)
|
|
|
- Esen Derici
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ Prof.Dr.Burhn Celil Işık (YTÜ) Doç.Dr. Erol Yvuz (Okn Üniversitesi)
2 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi. BÖLÜM AÇI VE YAY BİRİMLERİ Açı ve yy irimleri şğıd olduğu ii 4 rupt ineleneilir. Bunlr; ) Deree ) Grd ) Rdyn d) Milyem.. Deree Çemerin 360 d iri ir dereelik yydır. Bu yyın iki uunu merkezle irleştiren iki doğru prçsı rsındki çıklık (çı) d ir dereelik ( ) çıdır. Altmışlık sistem olrk dlndırıln u sistemde, deree 60 ölünerek deree dkiksı ( ), dkik d 60 ölünerek deree sniyesi ( ) elde edilir. lik ir yyın uzunluğu: r y = r y r (.).. Grd Çemerin 400 de iri ir rtlık yydır. Bu yyın iki uunu merkezle irleştiren iki doğru prçsı rsındki çıklık (çı) d ir rd lık vey ir on luk ( ) çıdır. Yüzlük sistem olrk dlndırıln u sistemde, rd 00 e ölünerek rd dkiksı ( ), dkik d 00 e ölünerek rd sniyesi ( ) elde edilir. on = 000mon lık ir yyın uzunluğu: r y = r y r (.)
3 .3. Rdyn KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Bir çemerde uzunluğu yrıçp eşit oln yy ir rdynlık ( R ) yydır. R lık ir yyın uzunluğu: y = r (.3) Bun öre rdynlık ir yyın uzunluğu : y r olur..4. Milyem Çemerin 6400 de iri ir milyemlik yydır. Bu yyın iki uunu merkezle irleştiren iki doğru rsındki çıklık (çı) d ir milyemlik ( ) çıdır. milyem km uzklıkt yklşık m lik enine kymy krşı eldiğinden ve rkmlr doğru orntılı değiştiğinden prtikte özellikte skeriyede (topçulukt) hlen kullnılmktdır lik ir yyın uzunluğu: r y = r y r (.4).5. Açı ve yy irimleri rsındki dönüşümler Bir yyın içinde ulunduğu tüm çemere ornı her irim için ynı olğındn, çı ve yy irimleri rsınd şğıdki orn yzılilir. D G R M R y d yukrıdki eşitlik ikişer ikişer lınrk irimler rsı dönüşüm ypılilir.
4 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi. BÖLÜM BİR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI, OA ve OB doğrulrı rsındki çı, s de OB doğrusunun uzunluğu olsun. Bu durumd çısının trionometrik fonksiyonlrı Şekil. den II III s B O x A I y IV Şekil. sin tn os y s y x s y x os s x ot y se s x (. ).. Trionometrik Fonksiyonlrın İşretleri Trionometrik direde öleler değiştikçe trionometrik fonksiyonlrınd işretleri değişir. Tlo. : Bölelere öre trionometrik fonksiyonlrın işretleri Böle I II III IV Tri.Fonk. sin os tn ot
5 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi.. Trionometrik Fonksiyonlrın Değişimleri Tlo. : Bölelere öre trionometrik fonksiyonlrın değişimleri Böle sin os tn ot I 0 II III 0 IV Bzı Açılrın Trionometrik Fonksiyonlrı Tlo.3 : Bzı çılrın trionometrik fonksiyonlrının değerleri Açı Tri.Fonk sin os tn ot Açılrın Trionometrik Fonksiyonlrının Bir Dr Açının Trionometrik Fonksiyonu Olrk Yzılmsı Tlo.4 : Herhni ir çının trionometrik fonksiyonlrının ir dr çının trionometrik fonksiyonlrı şeklinde ifde edilmesi Tri.Fonk (90 0 -) (90 0 +) (80 0 -) (80 0 +) (70 0 -) (70 0 +) ( ) sin os os sin -sin -os -os -sin os sin -sin -os -os -sin sin os tn ot -ot -tn tn ot -ot -tn ot tn -tn -ot ot tn -tn -ot
6 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi.5. Trionometrik Fonksiyonlrın, Bu Fonksiyonlrdn Biri Cinsinden İfdeleri Tlo.5 : Trionometrik fonksiyonlrın, u fonksiyonlrdn iri insinden ifde edilmesi İstenen sin os tn ot Bilinen sin sin os os tn tn tn tn ot ot ot ot sin sin os os ot sin sin os os tn sin os s s s tn s s ot s se (.) s + tn s + ot sin - os tn se se (.3) sin se se os tn se ot se se (.4) se + ot s + tn (.5) - sin os Cot s
7 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 3. BÖLÜM DAİRE KESMESİ VE DAİRE PARÇASI Bir direde yyın iki uun it yrıçplr ile yy rsınd kısım dire kesmesi, kiriş ile yy rsınd kln kısımd dire prçsı olrk tnımlnır. Direnin lnı F D, dire kesmesinin lnı F K, dire prçsının lnı d F DP ile österilirse; F D = r (3.) F = r K (3.) F = DP r sin (3.3) Şekil 3. : Dire kesmesi ve dire prçsı
8 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 8 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 4. BÖLÜM TEMEL TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER tn ot sin os ot tn os sin (4.) sin os tn ot (4.) 4.. İki Açının Toplm ve Frkının Trionometrik Fonksiyonlrı : sin sin os os sin os os os sin sin sin sin os os sin os os os sin sin (4.3) tn tn tn tn tn ot ot ot ot ot tn tn tn tn tn ot ot ot ot ot (4.4) 4.. İki ve Dh Çok Kt Açılrın Fonksiyonlrı : sin sin sin os sin os sin os os os os os sin sin os sin os sin tn tn, ot - tn ot ot (4.5) 3 sin 3 sin sin, os 3 os os (4.6) 3 sin n sin ( n-) os sin ( n- ) os n os ( n-) os os ( n- ) (4.7) sin os os os
9 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 9 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi tn os os ot os os (4.8) 4.3. Yrım Açı Formülleri : sin os os os tn os os ot os os (4.9) sin sin sin os sin os sin os os os os os sin sin os sin tn - tn tn ot tn tn tn tn tn tn (4.0) 4.4. Dönüşüm Formülleri : sin sin sin + os - os os os + os - sin sin sin os + os os sin + sin (4.) sin sin [ os os os os [ os os
10 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 0 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin os [ sin sin os sin [ sin sin (4.) 5. BÖLÜM ÜÇGENLERİN ELEMANLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR Şekil 5. Kenrlrı,, çılrı,, oln ir ABC rsınd şğıdki ğıntılr vrdır. üçeninde (Şekil 5.) kenr ve çılr Sinüs teoremi sin sin sin R (5.) (5.) ifdesindeki R üçenin dışın çizilen çemerin yrıçpıdır. Kosinüs teoremi os os 5 os İzdüşüm (projeksiyon) teoremi os os os os 53 os os
11 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Mollweide (Guss) Formülleri os y d sin sin os (5.4) Mollweide (Guss) Formülleri frklı kenr ruplrı için (5.4) e enzer içimde yzılilir. Neper Formülleri tn tn (5.5) Neper Formülleri frklı kenr ruplrı için (5.5) e enzer içimde yzılilir. + + = u sin u(u )(u )(u ) + os (5.6) tn sin os 4 u(u )(u )(u ) + sin (u )(u ) os u(u ) tn (u )(u ) u(u - ) (5.7) Trionometrik fonksiyonlr (5.6) ve (5.7) de olduğu ii kenrlr insinden de ifde edileilir.
12 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5.. Üçenlerde Diğer Elemnlr Bir üçende yükseklikler : * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi h sin sin h sin sin h sin sin (5.8) h h h ot ot ot ot ot ot Bir üçenin lnı : (5.9) F = h h h sin sin sin ABC (5.0) sin sin sin sin sin sin F ABC = (5.) sin sin sin F = (5.) ( ot ot ( ot ot ( ot ot ABC u F ABC u(u )(u )(u ) Bir üçenin kenrortylrı : V os V os V os (5.3) V V ( ) V ( ( ) ) (5.4) Bir üçenin iç çıortylrı: n = sin ( sin sin ) n sin ( sin sin )
13 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi n sin sin sin (5.5) n os = + os os n = n = (5.6) + + Bir üçenin dış çıortylrı : n = os ( sin sin ) n os ( sin sin ) n os sin sin sin sin sin n = n n - = = - - (5.7) (5.8) Bir üçenin dış çemer yrıçpı : R sin sin sin R 4F R F sinsin sin (5.9) Bir üçenin iç çemer yrıçpı : r (u )(u )(u ) u sin sin os sin sin os sin sin os (5.0) r ot ot ot ot ot ot (5.)
14 Prlelkenr : KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 6. BÖLÜM DÖRT KENARLI ŞEKİLLERE İLİŞKİN BAĞINTILAR ), kenrlrı ve çısı ilinen ir prlelkenrın e, f köşeenleri ile çısının hesı : A B e f D C BD f B 400 D - os (6.) Şekil sin B sind sin ( ) sin (6.) AC e os - os Β (6.3) sin tn e f - os ( ) (6.4) ef 4 ) e, f köşeenleri ve F ABCD lnı ilinen ir prelelkenrd, kenrlrı ile ve çılrının hesı : tn 4F ABCD e - f F ABCD sin (6.5) ef sin F ABCD tn tn e f (6.6) (6.6) eşitliklerinden ve hesplnır. ) F ABCD lnı, u çevresi ve çısı ilinen ir prlelkenrd, kenrlrının, e, f köşeenlerinin ve çısının hesı : u u sin F 4sin ABCD (6.7) (6.7) eşitliklerinden ve hesplndıktn sonr e, f köşeenleri ile çısı (6.), (6.3) ve (6.4) eşitlikleri kullnılrk hesplnır.
15 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Ymuk : ) Prlel kenrlrı (, ) ile, çılrı ilinen ir ymukt, prlel olmyn kenrlrın, köşeenlerin ve lnın hesı : A B h f e h d D E F C Şekil 6. ADC BEC ECB DC ( ) tn tn ( ) h tn tn ot ot ( ) sinsin h (6.8) sin( h sin h sin ( - ) d ( - ) (6.9) sin sin( sin sin( e d - dos f - os (6.0) ( )h F ( ) sinsin ( ) ( ot ot sin( (6.) ) Kenrlrı ilinen ir ymukt ve çılrının hesı : os ( ) d ( ) os ( ) d d( ) (6.)
16 Kirişler dörteni : KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Kenrlrı (,,, d) ilinen ir kirişler dörteninde çılrın (,,, ), köşeenlerin (e, f ), lnın ( F ABCD ) ve içinde ulunduğu direnin yrıçpının hesı : D Kirişler dörteninde d =00-, =00-, =00-, =00- A B C olur. AC = f BD = e Şekil 6.3 ) ( d ) os ( d) os d ) ( ) ( d) d ) ( ) os ( d ) ) ( d ) os ( d ) (6.3) ( d) ( d ) BD e d dos d (6.4) AC f ( d ) ( d ) d os (6.5) F ABCD = F +F d sin sin (u - )(u- )(u- )(u - d) (6.6) d u R e sin 4 d d d u u u u d) (6.7)
17 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 7. BÖLÜM KONUM KOORDİNATLARINDAN AÇI, KENAR VE ALAN HESABI +X IV I -Y 300 III II 00 +Y 00 X B X C X A A B C -X Y A Y B Y C Şekil 7.: Jeodezik dire Şekil 7. Köşe noktlrının Jeodezik dik koordintlrı ( Y, X ) ilinen ir ABC üçeninin kenrlrının (,, ), çılrının (,, ) ve lnının ( F ) ABC hesplnmsı. Üçenin kenrlrı, Y BC BC ( Y C Y B ) ( X C X B ) sin (BC) Y AC AC ( Y C Y A ) ( X C X A ) sin (AC) Y AB AB ( Y B Y A ) ( X B X A ) sin (AB) ğıntılrındn hesplnır. Üçenin lnı, Guss ln ğıntısındn X BC os (BC) X AC os (AC) X AB os (AB) (7.) F = Xn(Y n+ - Y n ) = XA(YB - YC ) + XB(YC - YA ) + XC(YA - YB ) (7.) hesplnır.
18 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 8 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Üçenin iç çılrı çıklık çılrı (doğrunun ir uundki noktd X eksenine prlel doğrultudn itiren st iresi yönünde doğruy kdr yptığı çı) frklrındn hesplnır. Açıklık çılrı hesplnırken öle sorulmsı ypılmlıdır. Aşğıdki eşitliklerden çıklık çılrı hesplnırken çının hni ölede olduğunun sorulnmsı son deree önemlidir. tn (AB) Y X B B Y X A A Y AB sin (AB) X os (AB) AB sin (AB) os (AB) (7.3) (BA) (AB) 00 (AB) > 00 (BA) (AB) 00 (AB) 00 (BA) (AB) 00 tn (AC) Y X C C Y X A A Y AC sin (AC) X os (AC) AC sin (AC) os (AC) (7.4) (CA) (AC) 00 tn (BC) Y X C C Y X B B Y BC sin (BC) X os (BC) BC sin (BC) os (BC) (7.5) (CB) (BC) 00 Sinüs trionometrik fonksiyonu Y nin, kosinüs trionometrik fonksiyonu d X in fonksiyonu olduğundn, öle sorulmsı Y ve X in işretlerine kılrk ypılır. Böle sorulmsı sonuund çıklık çılrının elde edilişi şğıdki tlod österilmiştir. Tlo 7. : Jeodezik direde öle sorulmsı Böle Y X Açıklık (AB) + + (AB)=(AB) + - (AB)=(AB) (AB)=(AB) (AB)=(AB)+400 Bu ön ililerden sonr, ir üçende iç çılr şğıdki ii hesplnır (Şekil 7.). (AB) (AC) (BC) (BA) (CA) (CB) (7.6) Üçen elemnlrının elde edilişi şekilden şekile frklılık österir. Bu nedenle önelikle, verilen koordintlr öre üçen yklşık olrk çizilmelidir.
19 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 9 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 8. BÖLÜM ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER SORU : değerinin rd ve rdyn krşılıklrını ulunuz değeri ltmışlık irimde olduğundn, u değer ile doğrudn hes irilemez. Bu nedenle değeri deree, dkik, sniye olrk değil sdee deree olrk hes sokulmlıdır değerinin dereeye çevrilmesi şğıdki ii ypılır elde edilen u değer, rd ve rdyn dönüştürme 60 işleminde kullnılk oln değerdir. Bundn sonrki işlemler şğıdki eşitliğin ikişer, ikişer kullnılmsındn irettir. D 80 G 00 R M 300 D 80 G G G D 80 R R R rd 80 SORU : Aşğıdki dönüşüm işlemlerini ypınız. ) ?Grd, Rdyn ) ? Deree, Rdyn ).506 Rdyn =?Deree, Grd ) Açı irimleri rsındki dönüşüm için D G R M 300
20 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 0 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi eşitliği kullnılır. Eşitlik şğıd olduğu ii ikişer, ikişer ele lınır. Bunun için önelikle deree, dkik ve sniye olrk verilen değer, sdee deree olrk ifde edilmelidir. D 80 G G G D 80 R R rd ) D 80 G 00 D D Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir X X X X Sonuç olrk: D şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. G 00 R R R rd D R D ) D
21 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi G 00 R G G SORU 3 : Aşğıdki dönüşüm işlemlerini ypınız. ) ?Grd, Rdyn ) 9.495? Deree, Rdyn ).84 Rdyn =?Deree, Grd ) D 80 G 00 R M 300 D 80 G G G D 80 R R rd ) D 80 G 00 D D Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir X X X X Sonuç olrk:
22 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi D şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. G 00 R R R rd D R D ) D G 00 R G G SORU 4 : rd?grd D 80 G 00 R M 300 D 80 G G G G 3 00 R G π G π π Sonuç olrk, G = G- G+ G = = elde edilir. SORU 5 : milyem -.364rd?Deree Çözüm için, D 80 G 00 R M 300 eşitliği kullnılır. Eşitlik şğıd olduğu ii ikişer, ikişer ele lınır.
23 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi D 80 G 00 D Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir X X X X Sonuç olrk: D şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. D 80 M 300 D Elde edilen değeri yukrıd olduğu ii deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D olrk elde edilir. D 3 80 R D Elde edilen değer ynı şekilde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D olrk elde edilir. Sonuç olrk, D D D D elde edilir.
24 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 6 : milyem?Deree D 80 G 00 R M D 80 G 00 D Elde edilen değer deree, dkik sniye olrk ifde edileilir X X X X Sonuç olrk: D şeklinde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilmiş olur. D 80 G 00 D Elde edilen değer yukrıd olduğu ii deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D olrk elde edilir. D 3 80 M 300 D Elde edilen değer ynı şekilde deree, dkik ve sniye olrk ifde edilirse, D
25 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 olrk elde edilir. Sonuç olrk, * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi D D D D elde edilir. SORU 7 : ?Rdyn Verilen işlemi rdyn olrk hesplmk için, önelikle deree, dkik ve sniye olrk verilen değerlerin tm dereeye ve dh sonr rdyn, rd değerinin de rdyn çevrilmesi erekir. Rdyn (75 Rdyn ) Rdyn SORU 8 : 780 nin trionometrik fonksiyonlrını hesplyınız. Çözüm için 780 den yeteri kdr 360 yi tmk erekir sin60 os60 tn60 3 ot SORU 9 : s (300 tn 00 - ) sin(300 ) sin(400 ) y se (00 tn 400 ) os (00 ) sin(00 ) dr çı olmk üzere y ifdesini hesplyınız. s (300 sin(300 os tn 00 - ) -tn sin (300 ) os sin(400 ) sin se (00 os (00 sin tn 400 ) tn os(00 ) -os sin(00 ) os
26 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi ( ) (-tn ) (-os ) (-sin) y - os tn ( ) tn os ) os - sin SORU 0 : dr çı olmk üzere y ifdesini hesplyınız. sin (80 ) os (70 - ) tn (90 ) sin (360 ) os (70 + ) ot (80 ) sin (80 ) sin, os (70 ) = sin, tn (90 ) = ot sin (360 ) sin, os (70 ) = sin, ot (80 ) = ot ( sin ) ( sin ) ( ot ) y ( sin ) sin ( ot ) SORU : dr çı olmk üzere y hesplyınız. sin ( ) os ( ) tn (9 ) sin ( ) os ( + ) tn ( ) 4 ifdesini sin ( ) sin, os ( ) = os, tn (9 ) = tn 4 4 ) sin ( 4 ) = sin (3 + ) = os, os ( ) = os, tn ( ) = tn sin os tn y tn ( os ) ( os ) ( tn ) sin(00 ) os (00 ) tn (00 ) SORU : y? ot (300 ) os (400 ) os (300 ) sin(00 ) sin ot (300 ) tn, os (00 ) os, tn (00 ) ot, os (400 ) os, os (300 ) sin sinα ( os ( ot ) y tn os α sin os sin sin os os sin ot
27 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin(00 ) os (00 ) tn (00 ) SORU 3 : y? sin(300 ) os (300 ) ot (00 ) sin(00 ) os sin(300 ) os, os (00 ) sin, tn (00 ) tn, os (300 ) sin, ot (00 ) ot os ( sintn y ( os ( sinot sin os os sin sin tn os SORU 4 : sin 40 os 30 sin 80 olduğunu österiniz. se 70 s 80 sin 40 sin (80 40 ) sin 40 os 30 os (90 40 ) sin 40 se 70 se (90 80 ) s 80 sin 40 ( sin 40 ) sin 80 se 70 s 80 s 80 s 80 SORU 5 : ot 95 ot 05 ot 55 ot ot 5 ot 5 olduğunu österiniz. ot 95 ot (80 +5 ) ot 5 ot 05 ot (90 +5 ) tn 5 ot 55 ot (70 5 ) tn 5 ot 345 ot (360 5 ) ot 5 ot 5 tn 5 tn 5 ot 5 ot 5 + ot 5 ot 5 ot 5 + ot 5 ot 5 ot 5 ot 5 + ot 5 ot 5
28 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 8 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 3 SORU 6 : sin olduğun öre y 5 hesplyınız. s (90 ot (70? os (360 se (70 ifdesini s (90 se ot (70 tn os (360 os se (70 s y s (90 ot (70 os (360 se (70 se tn os s 5 3 x = 5 3 x = 4 x se y os , tn 3, os , s 5 sin SORU 7 : sin x os x 3sin x os x olduğunu österiniz. sin sin 6 6 x (- sin x - 3sin sonuç olrk, = olur. x) 3 3sin 4 x 3sin x (- sin x) x - sin 6 x 3sin x - 3sin 4 x 5 3 SORU 8 :,, ir üçenin üç çısı ise, yni ot ot ot ot ot ot olduğunu österiniz. 00 ise ot ( ot (00 ot İki çının toplmı formüllerinden hreketle, ot ot ot ot ot ot
29 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 9 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi yukrıdki eşitlikte içler, dışlr çrpımı ypılırs, ot ot ot ot ot ot elde edilir. Bu eşitlik düzenlenirse, ot ot ot ot ot ot elde edilir. SORU 9 : sin (se s ) se s sin sinos s sin olduğunu österiniz. se os Bunlr verilen eşitlikde yerine konurs, sin os ( os sin SORU 0 : ) sin sin sin (se s ) s se sin sinos se Bunlr verilen eşitlikde yerine konurs, sin os ( os os olur. ) sin os sin sin os os ( ) sin os os os olduğunu österiniz. se s sin sin os ( ) s sin os sin
30 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 30 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU : s (sin os os olduğunu österiniz. s sin s s os (sin os ve sin denirse s s ( ) ( sin ) s s s s os (sin os sin os sin os sin os sin sin sin os sin os ve, yukrıdki eşitlikte yerine konurs, os os olur. SORU : se 7 4, s 34 olduğun öre yı hesplyınız. 3 7 x y x = 7 4 x = y = 34 3 y = 5 4 os os sin sin sin sin os os sin
31 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 sin * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 5 SORU 3 : ot 4 ve ot olduğun öre yı hesplyınız. 3 ot ot ot ot ot SORU 4 : os ( os( ot tn olduğunu österiniz. sin os (os os sin sin (os os sin sin ot tn sin os os os os os sin sin os os sin sin sin sin sin os ot tn os os sin sin sin os os sin os sin sin = ot tn os sin os ot tn = ot tn SORU 5 : os + os os os sin olduğunu österiniz. os Eşitliğin sol trfı için yrım çı formüllerinden şğıdki eşitlikler yzılilir. + os os os sin os os os sin Bunlr yukrıd yerine konurs, os sin os sin os os sin sin os sin os os
32 os KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 3 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os sin sin os sin os os sin elde edilir. Eşitliğin sğ trfındki os os os ( ) os os sin sin os sin os os şeklinde yzılıp yerine konurs, os sin os sin sin os elde edilmiş olur. SORU 6 : tn 0.8 olduğun öre, hesp mkinesi ile yı ulmksızın os yı 4 hesplyınız. Kontrol için hesp mkinesi ile çısını ulrk os yı kontrol ediniz. Çözüm için yrım çı formüllerinden yrrlnılır. (0.8) os os os os tn tn os 4 os os os os os os os os Hesp mkinesi ile kontrol : tn os (0.9595) os os
33 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 33 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 7 : s ( ).0 s ( ) sin( ) sin( ) os.0 olduğun öre sin( ).0 os ( ).0 os yı hesplyınız. os os os os os ( os SORU 8 : se ( ).0 se ( ) os ( ).0 olduğun öre os ( ).0 os yı hesplyınız. os ( ) os (.0 ) os os os os os os ( os SORU 9 : os 7 o = olduğun öre os 36 o ve sin 36 o nin trionometrik değerlerini hesplyınız. Çözüme yrım çı formüllerinden idilir. os sin os os os 36 sin36 os 7 os SORU 30 : os 84 o = olduğun öre os 4 o ve sin 4 o nin trionometrik değerlerini hesplyınız. Çözüme yrım çı formüllerinden idilir. os os os 4 os
34 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 34 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin os sin4 os SORU 3 : ot ( ).0768 olduğun öre os yı çısını ulmdn 8 hesplyınız. Yrım çı formüllerinden çözüme idilir. ot ( ) 8 os ( ) 4 os ( ) 4 (.0768) os ( ) 4 os ( ) os ( ) 4 os ( ) 4 os( ) ( ) os ( ) os ( ) os os os ( ) ( ) os SORU 3 : s ( ).565 olduğun öre tn yı çısını ulmdn 8 hesplyınız. Yrım çı formüllerinden yrrlnılrk çözüme idilir. s sin sin ( ) = = 8 s ( ) 8 os ( ) 4 = os ( ) os ( ) 4 (.565 ) = os ( ) os ( ) 4 4 os ( ) os ( ) os ( ) (0.808) os ( ) os ( ) os os os os ( ) os os ( ) os
35 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 35 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi tn os os T SORU 33 : sin olduğun öre 33 ın sinüs ve kosinüsünü hesp mkinesi ile ulmksızın hesplyınız. 66 lınrk yrım çı formüllerinden sonu idilir. sin os os ( ) os os os ( ) os os sin sin os os os SORU 34 : os 6x - os x ifdesini çrpım hline etiriniz. 6x x os 6x os x sin sin 6x x sin 4x sin x SORU 35 : sin 9x - sin 3x ifdesini çrpım hline etiriniz. 9x 3x sin 9x sin 3x os sin 9x 3x os 6x sin 3x SORU 36 : y os 5x os 8x - os 3x ifdesini çrpım hline etiriniz. çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 5x + 3x 5x 3x os 5x os 3x = sin sin sin4x sinx os 8x yrım çı insinden yzılırs, os 8x sin4x unlr yukrıd yerine konurs, os 8x (sin4x) os 8x sin 4x y sin4x sinx sin 4x sin4x (sin4x sinx)
36 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 36 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin4x sinx çrpım hline etirilir ve yukrıd yerine konurs, sin4x 4x + x 4x x sinx = os sin 5x 3x os sin y 4 sin4x elde edilir. 5x 3x os sin ( os x) os 5x os 7x SORU 37 : y 4 os 3x Yrım çı formüllerinden, ifdesini çrpım hline etiriniz. os x os x = os x os x u, verilen denklemde yerine konurs, os x os 5x os 7x os x os 5x os 7x y 4 os 3x 4 os 3x os 7x os 5x çrpım hline etirilirse 7x+ 5x 7x - 5x os 7x os 5x = os os os 6x os x unlr yukrıd yerine konurs, y os x os 6x os x os x (+ os 6x) 4 os 3x 4 os 3x os x (+ os 6x) os 3x + os 6x yrım çı insinden yzılıp yerine konurs, os 3x = os 6x os 6x os 3x os x os 3x y os x os 3x os 3x elde edilir.
37 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 37 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi ( os x) sin 7x sin 5x SORU 38 : y 4 os 3x Yrım çı formüllerinden, ifdesini çrpım hline etiriniz. sin x = os x os x sin x u, verilen denklemde yerine konurs, y sin x sin 7x sin 5x sin x sin 7x sin 5x 4 os 3x 4 os 3x sin 7x sin 5x çrpım hline etirilirse 7x+ 5x 7x - 5x Sin7x Sin5x = Cos Sin Cos6xSinx u, yerine konurs, sin x os 6x sin x y 4 os 3x sin x (+ os 6x) os 3x + os 6x yrım çı insinden yzılıp yerine konurs, os 3x = os 6x os 6x os 3x sin x os 3x y sin x os 3x os 3x elde edilir. SORU 39 : y os 5x os 3x os 8x ifdesini çrpım hline etiriniz. çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. os 5x 5x + 3x 5x 3x os 3x = os os os 4x os x os 8x yrım çı insinden yzılırs, os 4x os 8x unlr verilen eşitlikte yerine konurs, y os 4x os x os os 8x (os 4x) os 8x os 4x 4x os 4x (os 4x os x) os 4x os x çrpım hline etirilir ve yukrıd yerine konurs,
38 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 38 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os 4x os x y 4 os 4x elde edilir. 4x + x = os 3x 5x os os 4x x os 5x 3x os os SORU 40 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin x+sin 7x+sin 8x çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 7x + x sin7x + sinx = sin 7x x os sin4x os 3x Dh sonr u eşitlikteki terimlere enzetmek suretiyle tek kln sin 8x in çılımı ypılır. sin 8x = sin (4x+4x) = sin 4x os 4x + sin 4x os4x = sin 4x os4x unlr verilen denklemde yerine konurs y= sin 4x os 3x + sin 4x os 4x = sin 4x (os 4x + os 3x) 4x + 3x os 4x + os 3x = os u yerine konurs, 4x 3x os 7x x y 4 sin4x os os elde edilir. 7x x os os SORU 4 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin x+sin 5x+sin 6x Çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 5x + x 5x x sin5x + sinx = sin os sin3x os x Dh sonr yukrıdki eşitlikte yer ln terimlere enzetmek suretiyle tek kln sin 6x in çılımı ypılır. sin 6x = sin (3x+3x) = sin 3x os 3x + sin 3x os 3x = sin 3x os 3x u iki eşitlik irleştirilirse y= sin 3x os x + sin 3x os 3x = sin 3x (os x + os 3x) 3x + x os 3x + os x = os 3x x os 5x x os os
39 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 39 u eşitlik yukrıd yerine konurs, * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi 5x x y 4 sin3x os os elde edilir. SORU 4 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin 4x+sin 8x+sin x Çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. x+8x x 8x sinx+ sin8x = sin os sin0x os x sin 4x = sin (x+x) = sin x os x + os x sin x = sin x os x u iki eşitlik irleştirilirse, sin0x os x sinx os x os x (sin0x sinx) 0x+ x 0x x sin0x+ sinx = sin os sin6x os 4x sonuç olrk, os x ( sin 6x os 4x)= 4 os x os 4x sin 6x olur. SORU 43 : Aşğıdki ifdeyi çrpım hline etiriniz. sin sin (os os ) sin = os, sin = os sin (os sin os = os os = (os os ) = (os os)(os os) sin sin (os os )(os os ) (os os ) (os os ) (os os ) os os sonuç olrk, )
40 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 40 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin sin (os os ) tn tn SORU 44 : Aşğıdki trionometrik denklemi çrpım hline etiriniz. y=sin x+sin 8x+sin 9x Çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 9x + x 9x x sin9x + sinx = sin os sin5x os 4x sin 8x = sin (4x+4x) = sin 4x os 4x + os 4x sin 4x = sin 4x os 4x sin5x os 4x sin4x os 4x os 4x (sin5x sin4x) 5x + 4x sin5x + sin4x = sin sonuç olrk, sinx olur. sin8x sin9x os 4x 5x 4x os 9x sin 9x sin x os x os 4 os 4x 9x sin x os SORU 45 : y = os x + os 3x + os 4x ifdesini çrpım hline etiriniz. çözüm için önelikle toplmlrı ve frklrı çift syı oln x ler seçilir. 4x + x 4x x os 4x + os x = os os os 3x os x os 3x os x yukrıdki ifdede yerine konurs, y = os 3x os x + os 3x = os 3x ( +os x ) ( +os x ) yrım çı insinden yzılıp y yukrıdki eşitlikte yerine konurs, x os os x x (os ) os x os x os x y os 3x os x 4 os 3x os x olur. SORU 46 : Aşğıdki özdeşliğin doğruluğunu isptlyınız. sin sin (os os ) ot ot sin = os, sin = os
41 sin os sin os KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 = os * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os = os = (os os )(os os) os (os os) = (os os)(os os) (os os )(os os ) os os (os os )(os os ) os os os os sin sin os os sin sin ot ot SORU 47 : Aşğıdki özdeşliğin doğruluğunu isptlyınız. os os (sin sin) os os tn ot = sin sin = sin sin = (sin - sin)(sin + sin) (sin sin) (sin sin)(sin sin) (sin sin)(sin sin) (sin sin)(sin sin) os sin sin os = tn ot os 80 os 0 SORU 48 : y değerini hesplyınız. sin 80 sin os 80 os 0 sin sin 80 0 sin 50 sin 30 sin 80 sin 0 sin 80 0 os 80 0 sin 50 os30 sin 50 sin 30 y tn 30 sin 50 os 30 3 SORU 49 : y = sin 45 sin5 os 45 os 75 ifdesini toplm şekline etirerek hesplyınız.
42 os 75 sin 5 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 4 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi [sin (75 5 ) sin (75 5 )] ( 3 ) sin 45 os 45 [sin (45 45 ) sin (45 45 )] ( 0) 90 0 y = SORU 50 : tn 0 tn 30 tn 70 tn 90 4 olduğunu österiniz. sin 0 sin 90 tn 0 tn 90 os 0 os 90 sin 0 os 90 os 0 sin 90 os 0 os 90 tn 0 tn 90 sin (90 0 ) os 0 os 90 os 0 os 90 tn 0 tn 90 [ os (90 +0 )]+ os (90-0 ) os 80 0 [ ] sin 70 sin 30 os 30 sin 70 os 70 sin 30 ( tn 70 tn 30 ) os 70 os 30 os 70 os 30 sin (70 30 ) (tn 70 tn 30 ) os 70 os 30 os 70 os 30 (tn 70 tn 30 ) [ os ( )] + os (70 30 ) os 40 0 unlr verilen denklemde yerine konurs, os 80 os 80 os 40 os 80 [ ] [ ] os 40 os 80 os 40 os 80 os 40 os 40 os 80 os 40 [ ] os 80 os 40
43 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 43 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os 80 os 40 sin sin sin 60 sin 0 os 80 os 40 sin 60 sin 0 sin 60 sin0 [ ] 4[ ] 4 os 80 os 40 sin 0 sin 60 sin 0 sin 60 SORU 5 : Bir direde 0 rd dkiklık (0 ) çıy krşılık elen yyın uzunluğu 0.50mm olduğun öre direnin yrıçpı kç metredir? R yy y y α r ifdesinden yrıçpın hesplnilmesi için = 0 lık yrıçp r R α çının rdyn dönüştürülmesi erekir. ( 00 ) 0 ( 0 00 ) 0. mm m mm 0.5 m m G 00 R α π R α rd y r R α m y d şğıdki ii y r α R m olrk doğrudn hesplnilir. SORU 5 : Alnı F DP 000m oln dire prçsının oluşturduğu yyı ören çı = 8 olduğun öre, direnin yrıçpını hesplyınız. A r 8 O B
44 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 44 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi F AOB r r sin F Kesme r F DP = F Kesme F AOB r r sin r ( sin ) r = F DP 0.47m ( sin ) SORU 53 : Yrıçpı r =75m oln ir çemerde y = 4m uzunluğun krşı elen çının () kç rd olduğunu hesplyınız. y r SORU 54 : Yrıçpı r =8m oln ir çemerde çısın krşı elen yyın uzunluğunu (y) hesplyınız. Önelikle rd olrk verilen çısının rdyn çevrilmesi erekir. Bunun için, G 00 R enel eşitliğinden yrrlnılır. Verilen çı yerine konrk rd çının rdyn değeri, urdn d y y = r m r yyın uzunluğu elde edilir. SORU 55 : Yy uzunluğu y=0m oln ir çemerde yyı ören çı olduğun öre çemerini yrıçpını hesplyınız. Önelikle rd olrk verilen çısının rdyn çevrilmesi erekir. Bunun için, G 00 R enel eşitliğinden yrrlnılır. Verilen çı yerine konrk
45 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 45 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi rd çının rdyn değeri, urdn d = y r r = y = = 4.07m çemerin yrıçpı elde edilir. SORU 56 : Alnı F K =500m oln dire kesmesine krşı elen AB yyının uzunluğu 70m olduğun öre, kesmenin içinde ulunduğu direnin yrıçpını hesplyınız. A B O 400 r r F Kesme 400 F Kesme R 00 r R 00 R F π Kesme r π m R yy yrıçp y r 70 r F Kesme 70 r r F r 70 Kesme m SORU 57 : O merkezli direde BC yyının uzunluğu 08m olduğun ve şğıdki ölçüler verildiğine öre CD kirişi ile CD yyı rsınd kln dire prçsının lnını hesplyınız. Not : Açılr stin dönüş yönünde lınktır. B AOB = = AOC = = A O C AOD = dış = BC yyı = y =08.000m D
46 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 46 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Çözüm : BOC = - =.0000 R y = r R y = r π 08 r 8.9m 00 r COD = - = F r sin(cod) m COD 400 COD r F Kesme F Kesme 0 r m F Prç F Kesme F COD 573.m SORU 58 : Yrıçpı r m oln A merkezli ir direde A 64, 3A4 9 ve A olrk ilindiğine öre 3A dire kesmesinin lnını, 3 yyının uzunluğunu ve 3 yyını ören 3A çısını rd, deree ve rdyn iriminde hesplyınız. 3 A 4 3A A ( A4 3A4) 64 (39 9) F Kesme 3A 3A r m 400
47 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 47 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi R 3A y 3A 4 4 y r r r 3A m olrk elde edilir. SORU 59 : Aşğıdki şekilde merkezi O oln direnin lnı F m, çısın krşı elen yyın uzunluğu 97.90m, merkezi O oln direnin lnı F m, çısın krşı elen yyın uzunluğu 08.3m olduğun öre trlı ölenin lnını hesplyınız. O. B A. O F F r r r =0.000m F F r r r =5.000m y r y r F T F DP F DP r ( sin r ( sin m SORU 60 : Bir ABC üçeninde =6.94m, =68.04m, olrk verildiğine öre kenrını,, çılrını, üçenin lnını (F), dış çemer yrıçpını (R) ve h yüksekliğini hesplyınız. çısını ulmk için sinüs teoremi uyulnilir. Verilen çı üyük kenr krşısınd olduğundn çözüm tekdir. sin sin
48 izdüşüm teoreminden, KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 48 os os m sinüs teoreminden, * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi sin sin kontrol : olmlı F = sin F = 995.9m R = = = R = 87.83m sin sin sin h h F = sin 0639m y d F = den h = = 0.639m SORU 6 : Bir ABC üçeninde =4.50m, ve F= m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını, dış çemer yrıçpını ( R ) ve n iç çıortyını hesplyınız. F sin F 4.408m sin kosinüs teoreminden, + - os m os os kontrol : olmlı
49 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 49 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi R sin 7.759m n sin os sin( ) m SORU 6 : Bir ABC üçeninde 79.5, =66.054m ve =56.40m olrk verildiğine öre,, çılrını, kenrını, üçenin lnını ( F ) ve dış çemer yrıçpını ( R ) hesplyınız. çısını ulmk için sinüs teoremi uyulnilir. Verilen çı üyük kenr krşısınd olduğundn çözüm tekdir. sin sin izdüşüm teoreminden, os os m kosinüs teoreminden, os kontrol : olmlı F sin F 5348m R = = 34.84m sin
50 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 50 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 63 : Bir ABC üçeninde.673, =78.05m ve =99.40m olrk verildiğine öre,,, çılrını, kenrını, üçenin lnını ( F ) ve dış çemer yrıçpını ( R ) hesplyınız. çısını ulmk için sinüs teoremi uyulnilir. Verilen çı üyük kenr krşısınd olduğundn çözüm tekdir. Sinüs teoreminden, sin sin izdüşüm teoreminden, os os 40.78m sin sin 5.78 kontrol : olmlı F sin F 5000m R = = 5.73m sin SORU 64 : Bir ABC üçeninde , =4.408m ve R=7.760m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden) ve üçenin lnını ( F ) hesplyınız. A R = R sin 450m sin H h sin h sin m B h C AH - h AH 8.39m
51 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi HC - h HC 36.60m AH HC 45.00m urdn - os os kontrol : olmlı u F u(u )(u )(u- ) 939.8m F sin SORU 65 : Bir F 939.8m ABC üçeninde , =8.50m ve R=66.0m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden), üçenin lnını ( F ), h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. C B h H A R = h BH R sin 87430m sin sin h sin 84980m h BH m AH h AH 0.55m AH BH 6.940m - os
52 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 5 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi - os kontrol : olmlı F sin m h F h F m y d h sin h m V ( ) os 4 os V 80.87m n os 78.66m SORU 66 : Bir ABC üçeninde , =0.50m ve R=64.445m olrk verildiğine öre,, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden), üçenin lnını ( F ), h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. B R = sin R sin 94450m H h sin h 75.m A C BH - h BH 57.64m HC - h HC m BH HC 7.0m urdn - os 89.4
53 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 53 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi - os kontrol : olmlı u 6.98 F u(u )(u )(u- ) m n sinγ os sin( ) 75.99m V 4 os γ ( ) m SORU 67 : Bir ABC üçeninde =4.4m, =3.3m ve =40.40m olrk verildiğine öre, üçenin, ve çılrını (deree ve rd insinden), üçenin lnını ( F ), h yüksekliğini ve dış çemer yrıçpını ( R ) hesplyınız. os os os h sin 33m F sin 397m R R = 0.0m sin kontrol : olmlı
54 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 54 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 68 : Bir ABC üçeninde =60.48m, R=84.068m ve F=473.95m olrk verildiğine öre, üçenin,, çılrını (deree ve rd insinden),, kenrlrını ve, h yüksekliğini hesplyınız. R sin = r sin( R ) F sin F sin - os ( - ) + şeklindey d ( +) - şeklinde yzılilir. ( - ) + - os ( - ) = (os ( +) - - os ( +) = (os Yukrıdki eşitliklerden (-) ve (+) hesplndıktn sonr elde edilen iki ilinmeyenli denklemden ve ulunur. F sin F sin ( - ) = (os m ( +) = (os 6.937m m m os
55 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 55 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os kontrol : 00 olmlı h sin 56376m SORU 69 : Bir ABC üçeninde =50.5m, =0.85m ve h =60.45m olrk verildiğine öre, üçenin,, kenrlrını,,, çılrını (deree ve rd insinden), ve lnını hesplyınız. B = + = = 7.00m H h h m m h A C os os os kontrol : 00 olmlı F sin F 45.98m
56 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 56 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 70 : Bir ABC üçeninde =9.98m, +=459. ve olrk verildiğine öre, üçenin, kenrlrını,, çılrını (deree ve rd insinden), lnını, V kenr ortyını ve n çı ortyını hesplyınız. Çözüm : os (- ) + şeklinde y d (+ ) - şeklinde yzılilir ( ) - - Cos ( ) - ( os ( ) os m ( ) - os ( ) ( os ( - ) ( os 50.76m m 04.79m os os kontrol : 00 olmlı F sin 044.4m
57 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 57 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi V os 3.03m n os sinsin (sin sinsin 0.4m Çözüm : os sin os sin kontrol : 00 olmlı sin sin sin sin 54.94m sin sin sin sin 04.79m F sin m V os 3.03m n os sinsin (sin sinsin 0.4m
58 SORU 7 : Bir KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 58 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi ABC üçeninde R=8.76m, , olrk verildiğine öre, üçenin,, kenrlrını, lnını, h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. Açılrın denelenmesi : ve kontrol : 00 olmlı R sin 4695m R sin 58.04m R sin 93.40m F h sin m sin 8060m V os m n os sinsin (sin sinsin 57.65m SORU 7 : Bir ACB üçeninde =4.700m, =5.800m ve olrk verildiğine öre, üçenin kenrını,, çılrını, lnını, dış çemer yrıçpını, h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n çı ortyını hesplyınız. A - os 7.758m C B os
59 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 59 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Cos kontrol : 00 olmlı F sin m sin R R 6.489m n 3463m sin ( ) sin( ) V ( ) ( ) os os m h sin 7.46m SORU 73 : Bir ABC üçeninde =50.740m, =80.90m ve olrk verildiğine öre, üçenin kenrını,, çılrını, lnını, dış çemer yrıçpını, h yüksekliğini, V kenr ortyını ve n iç çı ortyını hesplyınız. - os 50.78m os os kontrol : 00 olmlı
60 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 60 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi F sin m R R 4.m sin n ( sin ) sin( ) sin ( sin 59.4m ) sin V ( ) ( ) os os 6.704m h sin 48.63m SORU 74 : Bir ACB üçeninde =85.000m, V =80.960m ve olrk verildiğine öre, üçenin, kenrlrını,, çılrını, lnını, dış çemer yrıçpını, h yüksekliğini ve n çı ortyını hesplyınız. A A V C ADC üçenine öre verilen çı küçük kenrın krşısınd olduğu için iki çözüm vrdır B C / D / B V ( ) - os os
61 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi yukrıdki eşitliğin her iki trfını 4 ile çrprsk, , m m kenrı ile çözüm : - os 43.46m os os kontrol : 00 olmlı F sin m sin R R m n 7985m sin ( ) sin( ) h sin m kenrı ile çözüm : - os 77.50m
62 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 6 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os os kontrol : 00 olmlı F sin m R sin R m n 80787m sin ( ) sin( ) h sin m Görüldüğü ii h yüksekliği ve değerleri için ynı klmkt, değişmemektedir. SORU 75 : Üçen şeklindeki ir prselin BC kenrı üzerinde O merkezli diresel ir çökeltme hvuzu ypılktır. Prselin ir ölümü çökeltme hvuzu shsınd kldığındn devredileektir. Bu prç devredildikten sonr ABC prselinden eriye kln kısmın lnını ve DEyy uzunluğunu hesplyınız. B r D D E. O O AB m, AC m, EC 9.000m, BD 7.000m ABC , BCA rd, 5444 DBO
63 OB m KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 63 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi Not : = (+) dn ulunmyk Çözüm : BC os os m rd u m F Δ ABC u(u )(u )(u ) 375.8m r BD OB BDOB Cos r 67.04m DE yyını ören DOE çısının hesı : DE (BD EC) 8.7m r DE DE r r r r os DOE osdoe DOE r Dire kesmesinin hesı : 400 DOE r F K F K Dire prçsının hesı : DOE r m F r sindoe m F P F K F m DOE DOE ABC prselinden kln ölümün lnı : F Kln F ABC F P m SORU 76 : Alnı 536m oln üçen şeklindeki ACB prseli şekilde örüldüğü ii lnın eşte üçü ADB prselini oluşturk şekilde ölüneektir. ADB ve ADC prsellerini elde etmek için ABC prseli BC doğrusu üzerindeki D noktsı ile prselin ir köşesi oln A noktsını irleştiren AD m oln doğruyl ölünmüştür. BDA olrk ölçülmüştür. Bun öre, iki prselin elde
64 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 64 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi edilmesi ve her ir prselin çizileilmesi için erekli oln AB, BD, DC ve AC uzunluklrı ile ADC, B, C ve A çısını (iki üçenden kontrollu olrk) hesplyınız. Not : ADC 00BDA ifdesinden ulunmyk. A 85m 3 F Δ F ADB 5 Δ ABC 6F Δ ABC AD BD sinbda B D C BD m 5 AD sinbda AB AD BD AD BD os ΒDA AB 34.55m osb AB BD AD AB BD Β F Δ ABC AB BC sinb BC F Δ ABC m AB sinb DC BC BD m F Δ ADC F Δ ABC F Δ ADB 44.80m F Δ ADC F Δ AD DC sin ADC sin ADC ADC AD DC ADC AC AD DC AD DCos ADC AC m AB AD BD os BAD BAD A AB AD AC AD DC os DAC DAC A AC AD A A A
65 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 65 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi AB AC BC os A A AB AC BC AC AB os C C 80. BC AC Kontrol A B C 00 olmlı AB C SORU 77 : Bir ABC üçeninde n (iç çıorty)=78.80m, F 69.48m olduğun öre, çılrı ile,, kenrlrını hesplyınız. ABC ve F sin ABC Δ n os os ( ) ( ) n (+) = m Cos u ifdedeki ( ) şeklinde yzılrk kenrı hesplnilir. ( ) os ( ) ( os 96.54m hesplnn (+) nin ynınd ir de (-) hesplnırs, ve kenrlrı hesplnilir. Bu mçl, ( ) şeklinde yzılır ve yerine konurs, (-) değeri elde edilir. ( ) os ( ) ( os ( ) ( os 35.85m
66 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 66 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi m m os Cos Kontrol 00 olmlı SORU 78 : Şekildeki üçende ve çısı ile kenrı ölçülmüştür. Bun öre üçenin çısını,, kenrlrını, dış çemer yrıçpını, V kenrortyını, n iç çıortyını ve lnını hesplyınız = 0.48m γ B h ot ot 7.85m A h C sin h h m sin h h sin m R R 5.6m sin sin os kontrol : 00 olmlı
67 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 67 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi F ABC Sin m V os 4.390m n os ( ) ( sin ) sin( ) 5m SORU 79 : Şekildeki üçende ve çısı ile kenrı ölçülmüştür. Bun öre üçenin çısını,, kenrlrını, dış çemer yrıçpını, V kenrortyını, n iç çıortyını ve lnını hesplyınız = 8.49m B h ot ot 56.73m C h A sin h h 0.460m sin h h sin m R R 07.39m sin sin os kontrol : 00 olmlı F ABC sin m V os m
68 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 68 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi n os ( ) ( sin ) sin( ) 5968m 0 0 SORU 80 : Şekildeki üçende 4 04, , =39.466m ve =8.85m olrk verildiğine öre çısını ve kenrını hesplyınız = os + os = 47.37m os kontrol : olmlı SORU 8 : Şekildeki üçende , , =74.68m ve =50.978m olrk verildiğine öre çısını ve kenrını hesplyınız = os + os = m os kontrol : 00 olmlı
69 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 69 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 8 : Bir üçende , 4.397, R=54.08m olduğun öre üçenin çısı ile,, kenrlrını ve lnını ( F ) hesplyınız. Not : çısı =00 - ( + ) ifdesinden ulunmyk R R sin 3389m sin R sin R sin 833.7m = os + os = m os kontrol : 00 olmlı F sin m SORU 83 : Bir ABC üçeninde V (kenrorty )=70m, =5m ve 74 olduğun öre, çılrı ile, kenrlrını, h yüksekliğini ve F lnını hesplyınız. V ( ) os
70 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 70 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi os F sin 48m os eşitliğindeki ( - ) + şeklinde y d ( + ) - şeklinde yzılilir. ( ) ( ) - - os ( ) - os ( ) - ( os ( os ( - ) ( os.86m ( ) ( os m m 9.05m os os kontrol : 00 olmlı h sin sin 837m
71 KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 7 * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi SORU 84 : Bir üçende ,. 6854, R=.866m olduğun öre üçenin çısı ile,, kenrlrını ve lnını ( F ) hesplyınız. Not : çısı =00 - ( + ) ifdesinden ulunmyk R R sin m sin R sin R sin 78.7m = os + os = m os kontrol : olmlı F sin m SORU 85 : Bir ABC üçeninde V (kenrorty )=8m, =03m ve 69 olduğun öre, çılrı ile, kenrlrını, h yüksekliğini ve F lnını hesplyınız. V ( ) os os m F sin m os
(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC
![(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC](/thumbs/67/57138703.jpg "(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC")
ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde
Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.
Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:
İntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)
ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin
Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)
BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni
G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90
G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK
G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.
HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
KÜRESEL TRİGONOMETRİ. q z
KÜRESEL TRİGONOMETRİ Düzlemden küreye geçtiğimize göre küre üzerindeki ir noktnın yerini elirten geometrik kon düzeneklerini tnımlmk gerekir. Genelde iki tür kon düzeneği kullnılır : - Dik kon düzeneği
1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce
1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd
RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.
Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ
ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,
DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.
Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.
LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden
2009 Soruları. c
Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı
Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi
TYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf
Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk
1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI
ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,
ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI
ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı
TİK TESTİ TEMA - 5 ÇÖZÜMLER
TYT / Temel Mtemtik TML MTMTİ TSTİ eneme - ÇÖZÜMLR.. < < 9 9 < b < 6 < c < 6 c = 6 = verilen rlıkt değildir. oylı olmyn üçgen syısı = = Tüm üçgenlerin syısı 6. - = - - - = - - = - = 0 sonuç yyınlrı 6..
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3
.Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI:
ĞRU ÇILR GMTRİ 01 TML VRMLR NT: ĞRU: ÇI ÖLÇÜ İRMLRİ: R: RYN: R = 360 2π PLI ĞRU PRÇSI: MŞU ÇI: YRI ÇI ĞRU PRÇSI: TÜMLR ÇI: ÇI ĞRU PRÇSI: ÜTÜNLR ÇI: PLI YRI ĞRU (IŞIN): R ÇI: ÇI YRI ĞRU: İ ÇI: ÇI: GNİŞ
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR
Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu
OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı
G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br
![G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br](/thumbs/60/44844201.jpg "G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br")
G O M T R İ www.kemivizyon.om.tr 3. ÖLÜM Üçgene çı Kenr ğıntılrı 1. < < + < < + < < + ir üçgene ir kenr uzunluğu, iğer iki kenr uzunluklrının toplmınn küçük; mutlk frkınn üyüktür. ÖRNK m() m() m() = r
Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.
FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle
η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA)
ölüm Đzosttik-Hipersttik-Elstik Şekil Değiştirme TESİR ÇİZGİSİ ÖRNEKLERİ Ypı sistemlerinin mruz kldığı temel yükler sit ve hreketli yüklerdir. Sit yükler için çözümler önceki konulrd ypılmıştır. Hreketli
1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı
ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki
7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI
7.SINIF: PRLLKNRIN ve ÜÇGNİN LNI ikdörtgen şeklindeki ir krtonu şekildeki gii işretlenen yerden kesip diğer trf eklediğimizde krtonun eksilmediğini,sdece görüntüsünün değiştiğini görürüz. Prlelkenrd Yükseklik
1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...
TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
a 4 b a Cevap : A Cevap : E Cevap : C
TYT / TETİK Deneme - 8., 8 - - - - 8-8 - & - - $ c- m + 5 5 0 0 -. 5 5 $ 75. 5 75 89 5 75 5-9 ^5-9h$ ^5 + 9h 5 ^5-9h$ ^5+ 9h $ 7 evp : 5.. 00 + 0 + 00 + 0 + + 00 + 0 + ( + + ) 55 - - 0 & - 0 & olmlıdır.
1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.
IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri
Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın
T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI HARİTA TAPU KADASTRO TEMEL ÖDEVLER 581MSP085
T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI HARİTA TAPU KADASTRO TEMEL ÖDEVLER 581MSP085 Ankr, 2011 Bu modül, mesleki ve teknik eğitim okul/kurumlrınd uyulnn Çerçeve Öğretim Prormlrınd yer ln yeterlikleri kzndırmy yönelik
Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:
08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...
İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE
MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
Harita Dik Koordinat Sistemi
Hrit Dik Koordint Sistemi Noktlrın ir düzlem içinde irirlerine göre konumlrını elirlemek için, iririni dik çı ltınd kesen iki doğru kullnılır. Bun dik koordint sistemi denir. + X (sis) Açı üyütme Yönü
ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR
ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi
A C İ L Y A Y I N L A R I
ünite ÇM = 1 Çemberde çılr Çemberde Uzunluk Çemberin Çevresi irenin lnı 1 0 1 ÇM ÇM Ç 1.. 70 8 60 ukrıd merkezli çember verilmiştir. m( ) =, m( ) = 8 olduğun göre, m( ) = kç derecedir? Şekilde merkezli
(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin
4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki
II. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U
İkinci Dereceden Denklemler
İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen
7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının
YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1
YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri
DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ
A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç
9. log1656 x, log2 y ve log3 z
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Logritm Alm Kurllrı Dersin Konusu. log4 loge ln4 işleminin sonucu kçtır? D) ln E) ln 6. olduğun göre, 8 9 log 9 4 ifdesi nee eşittir? D) E). log
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.
TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın
2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?
Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Nisn 99 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri (0,0 0,8) işleminin sonucu kçtır? 0,00 A) 00 B) 0 C) D), E) 0, Çözüm (0,0 0,00 0,8) 0, 0,00 0, 0,00 0 işleminin sonucu kçtır? A) B) C)
5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
Örnek...1 : İNTEGRAL İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI 2 UYARI 3 ALAN HESABI UYARI 1 A 2 A 1. f (x )dx. = a. w w w. m a t b a z.
İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI =f() =f() =f() [,] rlığınd f() işret değiştiriors, f onksi on prçlr rılır =f() Şekilde =f() eğrisile ekseni ltınd kln lnı ulmk için eğrinin ltınd kln ölgei dikdörtgenlere
BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS)
BOYU ANAİZİ- (IMENSIONA ANAYSIS Boyut nlizi deneysel ölçümlerde ğımlı ve ğımsız deney değişkenleri rsındki krmşık ifdeleri elirlemekte kullnıln ir yöntemdir. eneylerde ölçülen tüm fiziksel üyüklükler temel
MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..
Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...
![Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...](/thumbs/84/89541332.jpg "Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...")
YU ( YU TNII ORT TN YU NI İİZNR YU İ YU ) YU TNII Ylnız iki kenrı birbirine prlel oln dörtgene YU denir. [] // [] ise ymuktur. rlel oln kenrlr ymuğun tbnlrıdır. [] ve [] tbn. iğer iki kenr yn kenrlrdır.
KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI
2011 Şut KIVIRMA İŞEMİNİN ŞEKİ ve BOYUTARI Hzırlyn: Adnn YIMAZ AÇINIM DEĞERERİ 50-21 DİKKAT: İyi niyet, ütün dikkt ve çm krşın ynlışlr olilir. Bu nedenle onucu orumluluk verecek ynlışlıklr için, hiçir
MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?
MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1
İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit
www.mustfgci.cm.tr, 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, gcimustf@h.cm eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz
1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln
İntegralin Uygulamaları
Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini
4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;
![4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;](/thumbs/24/3918052.jpg "4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;")
4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;
TYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müendisliği Bölümü E-Post: ogu.met.topu@gmil.om We: ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu Bilgisyr Destekli Nümerik nliz Ders notlrı met OPÇU n>m 8 8..
Matematik Olimpiyatları İçin
ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı
4. BÖLÜM: ÖZEL ÜÇGENLER VE TRİGONOMETRİ KONU ÖZETİ
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ. ÖZL ÜÇGNLR c. Kenrlrın Göre Özel ik Üçgenler. ik Üçgen. Pisgor ğıntısı k k k k k k c b b b k k k k c c c c b b k k k 7k k 7k k k ir çısı 90 oln üçgene dik üçgen
DENEY 2 Wheatstone Köprüsü
0-05 Güz ULUDĞ ÜNİESİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EEM0 Elektrik Devreleri Lorturı I 0-05 DENEY Whetstone Köprüsü Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Deney Sonuçlrı (0/00)
I. b çift ise a b tek (doğru) II. b tek ise a + b çift (doğru) x, y ve z çift sayı olmamalıdır. III. a 6 + a b (yanlış)
TYT / MATEMATİK Deneme -. olsun. 0 0 0,, 0 09 9 + + + + 0,, 0 0$ ulunur. 0 0 4. ^5 5h 5 5 $ $ 6 ulunur. ^5 5 h ^ 5 5 h Cevp : D Cevp : D. + + 0 + + + + 8 8 Toplm 8 8 ^4h ulunur. 5. Asl syılr {,, 5,,,,,