T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERON ÜÇGENLERİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERON ÜÇGENLERİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Mehmet DARIYERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI Konya-006

2 T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERON ÜÇGENLERİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Mehmet DARIYERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI Bu tez tarihine aşağıaki juri taraınan oybirliği / oyçokluğu ile kabul eilmiştir. Yr. Doç. Dr. Pro. Dr. Yr. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR Hasan ŞENAY Saaet ARSLAN (DANIŞMAN) (JÜRİ) (JÜRİ)

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi HERON ÜÇGENLERİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Mehmet DARIYERİ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İlköğretim Anabilim Dalı Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı Danışman : Yr. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR 006 v + 45 Saya Jüri : Pro. Dr. Hasan ŞENAY Yr. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR Yr. Doç. Dr. Saaet ARSLAN Bu çalışmaa; ilk olarak Heron üçgenleri tanıtılarak bunların temel özelliklerine yer verilmiştir. Daha sonra; aynı alana sahip Heron üçgenlerinin ve hatta aynı alan ve yarı çevreye sahip Heron üçgenlerinin varlığının tespiti ve verilen bir Heron üçgeninin iç teğet çemberi ile çevrel çemberinin yarıçaplarının özel urumları ele alınmıştır. Son olarak ise Heron üçgenlerinin alanının asal çarpanlarına yer verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Heron Üçgeni Pisagor Üçgeni Aritmetik Üçgen Brahmagupta Üçgeni i

4 ABSTRACT M. Sc. Thesis A RESEARCH ON SOME PROPERTIES OF HERON TRIANGLES Mehmet DARIYERİ Selçuk Üniversity Grauate School o Natural an Applie Science Department o Primary Eucation Supervisor : Asist. Pro. Dr. Ahmet CİHANGİR 006 v + Page 45 Jury : Pro Dr. Hasan ŞENAY Asist. Pro. Dr. Ahmet CİHANGİR Asist. Pro. Dr. Saaet ARSLAN In this stuy heron triangles have been introuce at irst an the basic characteristics o these have been mentione. Later the existence o Heron triangles with the same area an semi area has been oun that an the inner tangent circle o Heron triangle an the special conitions o the raial o peripheral circle have been iscusse. At last prime multipliers o the areas o Heron triangles have been mentione. Key Wors: Heronian Triangles Pythagorean Triangles Arithmetic Triangles Brahmagupta Triangles. ii

5 ÖNSÖZ İnsanoğlu oğumunan itibaren öğrenmeye açıktır. Ve her geçen gün öğreniklerine yeni şeyler ilave eerek bir kar yumağı gibi öğreniklerini artırığı bilinen bir gerçekliktir. Bu gerçeklikten yola çıkarak Matematiğin ayınlanmamıza ve öğreniklerimizi anlamlanırmamıza ne erece önemli oluğu Galileo nun şu sözleriyle e ortaya konulmaktaır. evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun ilini ve bu ilin yazılığı harleri öğrenmeen ve kavramaan anlaşılamaz. Evren Matematik iliyle yazılmıştır; harleri üçgenler aireler ve iğer geometrik biçimlerir. Bunlar olmaan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte olanılır. Bu anlayış ve elseeen yola çıkılarak günümüze kaar matematik alanına sayısız çalışma yapılmış ve insanlığın yükselmesi için kurulan merivene birer basamak aha ilave eilmiştir. Matematiğin e eğişen ünya koşullarına eğişmeen gelişmeen urması üşünülemez. Bütün bilimlere oluğu gibi Matematik e asırlarır çok çeşitli alanlara gelişim göstermiştir. Ayrıca Matematiğin gelişiminin büyüleyici yönlerinen biri e sayılar teorisi ile geometri arasınaki ilişkilerir. Bu çalışma; A. V. Kramer ve F. Luca nın Some Remarks on Heron Triangles ve F. Luca nın Fermat Primes an Heron Triangles with Prime Power Sies başlıklı makaleleri üzerine kurulmuştur. Çalışmamıza bu kaynaklara ayanılarak Heron üçgenleri incelenmiş ve bazı özellikleri verilmiştir. Heron Üçgenlerinin Bazı Özellikleri Üzerine Bir Araştırma alı tez konusunun tespitine ve hazırlanması sırasına benen yarımlarını esirgemeyen anışman hocam Yr. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR e ayrıca yarımlarınan olayı abim ve aileme e teşekkürü bir borç bilirim. Mehmet DARIYERİ Aralık-005 iii

6 KULLANILAN SEMBOLLER T = (x y z) s A r R n F n = (a b) ebob (ab) ebob = T(u v) st = (s t) ebob Kenar uzunlukları xy ve z olan T üçgeni. Üçgenin çevre uzunluğunun yarısı. Üçgenin alanı. Üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı. Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı. n inci Fibonacci sayısı. n inci Fermat sayısı. a ve b poziti tam sayılarının en büyük ortak böleni. a ve b poziti tam sayıları aralarına asal. Kenar uzunlukları u v parametreleri ile tanımlanmış T üçgeni. s ve t poziti tamsayıları için s ve t nin en büyük ortak böleni. p a p a yı böler. α p a h a a yı bölen p nin en büyük kuvveti α ır.( p α a ve p α+ / a ) Üçgenin A köşesinin karşısınaki a kenarına ait yükseklik. iv

7 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT. ii ÖNSÖZ. iii SEMBOLLER... iv İÇİNDEKİLER v. GİRİŞ... Kaynak Araştırması.... Ön Bilgiler 5. HERON ÜÇGENLERİNİN BAZI TEMEL ÖZELLİKLERİ HERON ÜÇGENLERİNİN ALAN VE ÇEVRE ÖZELLİKLERİ İÇ TEĞET ÇEMBERİNİN YARIÇAPI VEYA ÇEVREL ÇEMBERİNİN YARIÇAPI TAMSAYI OLAN HERON ÜÇGENLERİ HERON ÜÇGENLERİNİN ALANLARININ ASAL ÇARPANLARI KAYNAKLAR. 44 v

8 . GİRİŞ Kenar uzunluklarının yanı sıra alanı a rasyonel sayılar olan üçgenler yüzyıllar önce ilk olarak Heron o Alexanria taraınan çalışılığınan bu tip üçgenlere Heron üçgenleri enilmekteir. Heron üçgenleri üzerineki çalışmaların kenar uzunluklarının ortak paya ile çarpılmasıyla tamsayı kenarlı ve tamsayı alanlı üçgenlerin çalışılmasına inirgenebileceğinen olayı günümüze artık Heron üçgeni enilince; kenar uzunlukları ve alanı tam sayılar olan üçgen anlaşılmaktaır. Zamanla insanoğlu merak uyuğu konular üzerine eğişik irelemeler yaparak arklı urumları ortaya çıkarma ihtiyacı uyar. Örneğin; ik kenar uzunlukları x ve y tam sayıları hipotenüsünün uzunluğu a z tam sayısı olan bir Pisagor üçgeni; x + y = z bağıntısını sağlar. 637 e Diophantus un Arithmetica alı kitabının yeni çıkan Fransızca çevirisini okumakta olan Pierre De Fermat; Pisagor üçgenlerinin anlatılığı sayanın yanınaki boşluğa; n > için x n + y n = z n enkleminin bir tam sayı çözümünün olmaığını ve bu önermenin harikulae bir kanıtını buluğunu ancak saya kenarına yeterince yer olmamasınan olayı bunu yazamayacağını belirtir. Fermat ın ölümünen sonra bu kitap Fermat ın kitaplığına bulunmuş akat önermenin ispatı bulunamamıştır. Bu önermenin ispatı ile ünyaca ünlü birçok Matematikçi uzun yıllar uğraşmıştır. Nihayet İngiliz matematikçi Wiles taraınan 995 yılına uzun bir makale ile bu konjektürün eliptik eğriler yarımıyla ispatı sunulmuştur. Bu örneğe benzer olarak Heron üçgenleri ile e birçok matematikçi ilgilenmiş ve ilgilenmekteirler. Örneğin; Brahmagupta Bhaskara Hoppe Aubry ve Rath gibi birçok matematikçi iophantine enklemlerinin çözümlerine bağlı olarak bu üçgenlerin üretilmesi üzerine bir çok araştırma yapmışlarır. Bu çalışmalar konuya yaklaşım tarzına göre çeşitlilik arz etmekteir. Konumuzla ilgili çalışmaların bazılarını tezimize vermeye ve irelemeye çalışacağız. Bu çalışma beş ana bölümen oluşmaktaır. Birinci bölüme; Pisagor üçgenleri Aritmetik üçgenler Fibonacci sayıları Fermat asalları gibi konumuzla ilgili tanım ve teoremler asıl kaynaklarınan alınarak verilmiş ancak teoremlerin

9 ispatlarına girilmemiştir. İkinci bölüme; Heron üçgenleri tanıtılarak bunların temel özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölüme; aynı alana sahip Heron üçgenleri ile aynı alan ve aynı yarı çevreye sahip Heron üçgenlerinin varlığının tespitine yer verilmiştir. Dörüncü bölüme; verilen bir Heron üçgeninin iç teğet çemberi ile çevrel çemberinin yarıçaplarının özel urumları ele alınmıştır. Son bölüme ise herhangi bir Heron üçgeninin alanı olan tamsayının çarpanları olan asalların bazı özellikleri verilmiştir... Kaynak Araştırması Heron Mısır ın İskeneriye şehrine oğan ünlü Yunan Matematikçisiir. Bazı kaynaklara göre M.S. 50 yıllarına İskeneriye e oğuğu bazılarına göre e M.Ö. 50 senelerine Mısır a bağlı Ptolemaic e oğuğu belirtilmekteir. Heron un; pek çok kaynak taraınan a temel kabul eilen kitapları mevcuttur. Bunlaran bazılarını şöyle özetleyebiliriz. Metrica I e; ve kenarlı üzlemsel şekillerin alanları ile 3 boyutlu cisimlerin yüzey alanları ele alınır. 000 yıl önce Babilliler taraınan a kullanılan bir sayının yaklaşık karekökü eğerinin bulunması ile ilgili bir metot verilir. Metrica II e; Heron taraınan piramitler prizmalar koniler silinirler küreler gibi birçok 3-Boyutlu şekillerin hacimleri ele alınır. Dioptra a; Ölçme (haritacılık) ve teoolitler ele alınır. Astronomi üzerine bir bölüm içerir. İskeneriye ve Roma arasınaki mesaeyi bulmak için bu şehirleren birine bir ay tutulması gözleniğine ikisinin arasınaki yerel saat arkının kullanılığı bir metot verilir. Catoptrica a; Aynalar ele alınır. Işığın en kısa yolan oğrusal olarak gittiğini ve ışığın yüzeye geliş ve yansıma açılarının eşit oluğu belirtilir.

10 3 Pneumatica a; bir itaiye tulumbası gibi çeşitli uzunluktaki borularan oluşan ve bu boruların içinen basınçlı hava geçirilmesiyle eğişik tonlara sesler çıkarabilen bir müzik aleti gibi bazı tasarımlar verilir. Ayrıca; Heron bir aracın alığı yolun uzunluğunu göstermesi için kullanılan Yunanlılar ve Romalılar zamanına ait bir taksimetrenin birbirini izleyen işlilerin kullanılığı önen bir kol vasıtasıyla a az bir çaba harcayarak büyük ağırlıkları kalırma imkanı sağlayan bir yük kalırıcısının itaiyee kullanılan basınçlı su pompasının buharla çalışan ilk motorların ve inşaatlara kullanılan su terazisinin e tasarımcısı ve yapıcısıır. alan ormülü; Kenar uzunlukları x y z ve yarı çevresi e s = ( x + y + z) olan üçgenin A = s( s x)( s y)( s z) ır. Bu iaeye Heron ormülü enir. Heron üçgeni tanımınan olayı Heron üçgenlerinin bulunması üretilmesi sayılması kenar alan çevre özelliklerinin tespiti gibi bir çok problem ortaya çıkmıştır. Dickson(97) e; eserinin basım yılına kaar olan sayılar teorisi ile ilgili gelişmeleri açık problemleri ve çalışmaları özetlemiştir. Konumuzla ilgili 9. y.y. a H. Rath R. Hoppe ve L. Aubry nin yaptığı çalışmalar mevcuttur. Bu çalışmalara; aritmetik üçgenler ile ilgili birçok özellik ortaya konulmuş ve bu üçgenleri parametrik olarak üreten ormüller ele eilmiştir. Guy(994) te; Sayılar Teorisinin geçmişten eserin yayınlanığı 994 yılına kaar çözülememiş problemler ile bu problemlerle ilgili yayınları ve özetlerini veren bir eser ortaya koymuştur. Unsolve Problems in Number Theory isimli bu eserin Diophantine Equations isimli bölümünün D8 inci kesimine Perect Cuboilerle ilgili ve D inci kesimine ise Heron üçgenleri ile ilgili çözülememiş problemleri vermiştir. Buchholz ve Rathbun(997) e; iki rasyonel kenarortaylı Heron üçgenlerinen oluşan kümenin sonsuz elemanlı oluğunu ortaya koymuşlarır.

11 4 Beauregar ve Suryanarayan(997) e; kenar uzunlukları elemanları tam sayılaran oluşan ve arışık herhangi iki elemanı arasınaki arkı olan bir aritmetik izien alınan -aritmetik üçgenlerini incelemişler ve Pisagor üçlülerinen -aritmetik üçgenlerin ve aritmetik üçgenleren e Pisagor üçgenlerinin nasıl ele eilebileceğini göstermişlerir. Fleenor (997) ise; en küçük Heron üçgeninin; alanı 6 birim kare olan (3 4 5) üçgeni oluğunu ve özellikle (3 4 5) üçgeninin kenarlarının uzunluklarının arışık tam sayılar olmasınan hareketle kenarları arışık tam sayılaran oluşan iğer Heron üçgenlerinin varlığını incelemiştir. Beauregar ve Suryanarayan (998) ise arışık tam sayı kenarlı Heron üçgenlerinin Pell enklemine bağlı olarak nasıl üretiliğini ortaya koymuşlarır. Rusen (998) e eşit alanlı rasyonel üçgenlerin sonsuz sayıa oluğunu ve bu üçgenlerin verilen bir rasyonel üçgene bağlı olarak üretilebileceğini göstermiştir. Beauregar ve Suryanarayan (000) e genel aritmetik üçgenlerin özel tip bir Pell enklemine bağlı olarak nasıl ele eilebileceğini belirlemişlerir. Luca (000) e; kenarları köşegenleri ve cisim köşegeni tamsayı olan bir ikörtgenler prizmasının(perect Cuboi) bulunması probleminin kenarları tamsayıların karelerinen ve açı ortayları a tamsayılaran oluşan bir üçgen bulunması problemine eşeğer oluğunu ortaya koymuştur. Cohen (000) e; kenarlarının uzunlukları arışık tam sayılaran oluşan Heron üçgenlerinin sonsuz sayıa oluğunu kanıtlamıştır. Aassila (00) e; aynı alanlı kongruent olmayan Heron üçgen çitlerinin varlığı ile aynı alan ve aynı yarı çevreli kongruent olmayan Heron üçgen çitlerinin varlığına ilişkin olarak bazı sonuçlar vermiştir. İç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçaplarının özel urumları için Heron üçgenlerinin varlığını kanıtlamıştır. Yani; iç teğet çemberinin yarıçapı poziti bir tam sayı olan bir Heron üçgeni ile çevrel çemberinin yarıçap uzunluğu 4k + biçimine bir asal olan bir Heron üçgeninin varlığını kanıtlamıştır. Kramer ve Luca (00) e aynı alanlı kongruent olmayan Heron üçgen çitlerinin varlığı ile aynı alan ve aynı yarı çevreli kongruent olmayan Heron üçgen

12 5 çitlerinin varlığıyla ilgili olarak bazı sonuçları sunmuştur. İç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçaplarının özel urumları için Heron üçgenlerinin varlığını kanıtlamıştır. Yani; iç teğet çemberinin yarıçapı poziti bir tam sayı olan bir Heron üçgeninin varlığını ve çevrel çemberinin yarıçapı nin bir kuvveti veya k + biçimine ki bir asalın kuvveti olan bir Heron üçgeninin var olmaığını ortaya koymuştur. Sastry(00) e bir Heron üçgenini üretmek için Gergonne Cevian ve Kenarortay perspektiini ele alarak Heron üçgenlerinin λ ailesini tanımlamıştır. Ayrıca bazı Heron problemlerinin elemanter çözümlerini vermiştir. Gurbanlıyev(003) e Pisagor üçgenleri Latisler Kongruent sayılar ve Sürekli Kesirler ile Heron üçgenleri arasınaki ilişkileri incelemiştir. Ayrıca kenar uzunlukları birbirinen arklı Fibonacci sayılarınan oluşan saece Heron üçgenlerinin eğil böyle hiçbir üçgenin mevcut olmaığını ve kenar uzunlukları tam sayı olan bir eşkenar üçgenin Heron üçgeni olamayacağını göstermiştir. Luca(003) e; herhangi negati olmayan m tamsayısı için = m + biçimine tanımlanan m inci Fermat sayısı Fm olmak üzere asal Fermat sayıları ile kenarları bir asalın kuvvetleri olan Heron üçgenleri arasınaki ilişkileri araştırmıştır. Gaál Járási ve Luca (003) te; asalların sonlu bir kümesi S e saece kümesineki asallar taraınan bölünebilen tam sayıların kümesi ve x y z S bir Heron üçgeninin kenar uzunlukları olmak üzere; ( y z) = Heron üçgenlerinin saece sonlu sayıa oluğunu kanıtlamışlarır. ebob F m x şartını sağlayan.. Ön Bilgiler Bu kesime aha sonraki bölümlere ayalanılacak olan temel tanımlar ile teoremleri ispatsız vereceğiz.

13 6 Tanım... a b Z + olsun. a = b.c olacak şekile bir c Z varsa b a yı böler enir ve b a biçimine belirtilir (Şenay 989). Tanım... a b Z + olsun. Eğer a ve b ise ye a ile b nin bir ortak böleni enir. Tanım..3. a b c Z + olsun. Eğer; i) a ve b ise ii) c a ve c b şartını sağlayan her c ortak böleni için c oluyorsa ortak bölenine a ile b nin en büyük ortak böleni (ebob) enir ve (a b) ebob = biçimine gösterilir (Şenay 989). Ayrıca a ve b gibi iki tamsayısının en büyük ortak bölenleri ise bu iki sayıya aralarına asalır enir ve bu (a b) ebob = biçimine belirtilir (Şenay 989). Lemma..(Aritmetiğin Esas Ön Teoremi). a b.c ve (a b) ebob = ise a c ir (Şenay 989). Tanım..4. Poziti bir p sayısına eğer i) p > ii) p kenisinen ve en başka poziti bölene sahip eğilse asalır enir. Ayrıca biren büyük herhangi bir tamsayı asal eğilse bileşik sayı aını alır (Şenay 989). Tanım..5. Sabit ve sııran arklı bir m tamsayısı a ve b gibi herhangi iki tamsayının a b arkını bölüyorsa (m a b ise) a b ye m moülüne göre kongrüenttir enir ve bu a b (mo m) biçimine belirtilir (Şenay 989). Tanım..6. x a (mo p) kongrüansı bir çözüme sahipse a ya p nin bir ikinci ereceen kalanı enir ve arp şekline gösterilir; eğer x a (mo p) kongrüansı hiç bir çözüme sahip eğilse a ya p nin bir ikinci ereceen olmayan kalanı enir ve anp şekline gösterilir (Şenay 989).

14 7 Tanım..7. a bir tamsayı p e en büyük bir asal sayı olsun. Ayrıca (a p) ebob = olarak verilsin. Bu uruma a p ile gösterilen Legenre sembolü; a p = 0 eger eger eger p / a ve arp p / a ve anp p a ise. ise ise biçimine tanımlanır(çallıalp 999). Sonuç... sayısı 4.k + biçimineki asallar için bir arp ve 4.k + 3 biçimineki asallar için bir anp ir (Şenay 989). Teorem... p asal ve p a.b ise p a veya p b ir (Şenay 989). Tanım..8. Kenar uzunlukları x y z tam sayıları ve alanı a tam sayı olan üçgene Heron üçgeni (x y z) üçlüsüne e Heron üçlüsü enir (Kramer & Luca 00). Tanım..9. Kenar uzunlukları x y z olan bir Heron üçgeni için (x y z) ebob = oluyorsa üçgene primiti Heron üçgeni enir (Kramer & Luca 00). Tanım..0. Bir Heron üçgeninin; kenar uzunlukları bir aritmetik izien alınmışsa ve alanı a tam sayı oluyorsa bu üçgene aritmetik üçgen enir ve eğer bu aritmetik izinin arışık herhangi iki elemanı arasınaki ark ise bu üçgene - aritmetik üçgen enir. (Beauregar & Suryanarayan 997). Tanım... x y ve z oğal sayıları x + y = z enklemini sağlıyorsa o zaman ik kenar uzunlukları x ile y hipotenüsünün uzunluğu a z olan bir ik üçgen varır. Bu ik üçgene Pisagor üçgeni; Pisagor üçgeninin kenar uzunluklarınan oluşan (x y z) üçlüsüne e Pisagor üçlüsü enir (Sierpinski 96). Tanım... Eğer x y ik kenarlı z hipotenüslü bir Pisagor üçgenin x y ik kenarları; x > y x + y (mo ) ve (x y) ebob = şartlarını sağlıyorsa o zaman bu Pisagor üçgenine primiti Pisagor üçgeni (x y z) üçlüsüne e primiti Pisagor üçlüsü enir (Sierpinski 96).

15 8 Tanım..3. İlk terimleri 0 = 0 = olan ve biren büyük her n poziti tamsayısı için genel terimi; = + n ormülü ile verilen iziye Fibonacci izisi enir ve ( n ) n 0 biçimine iae eilir. Ayrıca n sayısına a n inci Fibonacci Sayısı enir (Kramer & Luca 00). Tanım..4. x y Ζ m n Ν olmak üzere; x m y n = enklemine Catalan enklemi enir (Dickson 97). Tanım..5. Bir Pisagor üçgeninin alanına bir Pisagor sayısı ve bir primiti Pisagor üçgeninin alanına primiti Pisagor sayısı enir (S. Mohanty an S. P. Mohanty99). Teorem... 6 n k = k sayısı bir primiti Pisagor sayısıır ve bu sayılar Heron üçgenlerinin alanını temsil eer (S. Mohanty an S. P. Mohanty99). Teorem..3. p p (mo 4) biçimine bir asal ise iki karenin toplamı biçimine yazılabilir (Şenay 989). Teorem..4. Bir (x y z) üçgeni için x = y ve z nin e çit sayı olması urumuna üçgen bir ikizkenar üçgen h z e bir tam sayı olur ve (x h z z / ) bir Pisagor üçlüsü oluşturur (Luca 003). Teorem..5. Herhangi bir ABC üçgeninin; alanı A yarı çevresi s ve iç teğet çemberinin yarıçapı a r ile gösterilirse o zaman 99). A = r ir (Gustauson ve Frisk s Tanım..6. İki üçgenin karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler enir (Gustauson ve Frisk 99).

16 9 a b Sonuç... (a b) ebob = ise = ebob ir (Şenay 989). Teorem..6(Aritmetiğin Temel Teoremi). n > tam sayısının stanart biçimi tektir. Yani çarpanların sıra eğişikliği ışına n sayısı asalların çarpımı biçimine tek türlü yazılabilir (Şenay 989). Tanım..7. Herhangi m 0 sayısı için = + sayısına Fermat sayısı enir. Asal olan Fermat sayısına Fermat asalı enir (Luca 003). F m m Teorem..7. m bir poziti tamsayı olmak üzere m + sayısı asal ise m nin bir kuvvetiir. (Çallıalp999).

17 . HERON ÜÇGENLERİNİN BAZI TEMEL ÖZELLİKLERİ Fermat ın son teoremi olarak bilinen n 3 ve n bir tam sayı olmak üzere x n + y n = z n enklemini sağlayan hiçbir x y z tam sayı çözümü yoktur. Biçimineki iaenin n = için ele eilen x + y = z (.) iaesine Pisagor enklemi enir. Pisagor enklemi üzerineki çalışmalar ise aynı zamana x ve y ik kenarlı z hipotenüslü ik Pisagor üçgenlerinin e tespit eilmesine eşeğerir. Öncelikle x + y = z eşitliğini sağlayan tam sayı çözümlerinin e bir üçgen oluğu üşünülerek her Pisagor üçgeninin bir Heron üçgeni oluğunu belirtelim. Bu özel Heron üçgeninin bazı özeliklerini verelim. Bir primiti Pisagor üçgeni (x y z) olsun. O zaman primiti Pisagor üçgeni tanımınan x ile y aralarına asal olacağınan x ile y nin her ikisi e çit olamaz. Buna göre aklımıza Acaba x ile y nin her ikisi e tek olabilir mi? sorusu gelir. Bunun için her hangi bir k poziti tam sayısı için tek sayıyı k+ biçimine alacak olursak tek bir sayının karesi (k + ) = 4k + 4k + = 4k(k + ) + olur. Buraa k k + arışık tam sayılar oluğunan k veya k + en biri tek iken iğeri çit olur. Dolayısıyla k ile k + en birisi ile bölünebilir ki bu a 4k(k + ) in 8 ile bölünebilmesi emektir. O zaman (k + ) 8 ile bölünüğüne kalanını vereceğinen iki tek sayının karelerinin toplamı 8 ile bölünüğüne kalanını verir ki bu toplam çit olup 4 ile bölünemez. Ancak bir çit sayının karesi 4 ile bölünebilirir. O hale iki tek sayının kareleri toplamı bir çit oğal sayının karesine eşit olamaz. Yani x + y = z enklemi x ile y nin her ikisi e tek iken sağlanamaz. Bu uruma (x y z) Pisagor üçgeni primiti ise x ve y nin biri tek iken iğeri çit olmalıır. Bir Pisagor üçgeninin bütün kenarları bir oğal sayı ile çarpılırsa o zaman yine kenarları oğal sayılar olan benzer bir ik üçgen ele eilir ki bu ele eilen üçgen e bir Pisagor üçgeniir. Gerçekten ; (x y z) verilen bir Pisagor üçgeni için

18 k = 3 olmak üzere (kx ky kz) üçlüsü Pisagor üçgeni ise (kx) + (ky) = (kz) eşitliğini sağlar. Yani k x + k y = k (x + y ) = k z = (kz) olur ki bua (kx ky kz) üçlüsünün bir Pisagor üçgeni oluğunu belirtir. Dolayısıyla k = 3 olmak üzere verilen bir (x y z) Pisagor üçgeninen sonsuz çoklukta benzer (kx ky kz) Pisagor üçgeni ele eilir. Teorem.. Bir (x y z) Pisagor üçgeni verilsin. Bu (x y z) Pisagor üçgeninin kenisine benzer Pisagor üçgenlerinin en küçüğü olması için gerek ve yeter şart x ile y nin aralarına asal olmasıır (Mohanty S. Mohanty S.P. 99). İspat. Gerek Şart: Eğer x ile y aralarına asal eğilse o zaman (x y) ebob = > olacak şekile bir oğal sayısı varır. Dolayısıyla en büyük ortak bölen tanımınan x y aralarına asal oğal sayılar olmak üzere x = x y = y olarak yazılabilir. Buraan a z = x + y = (x ) + (y ) = (x + y ) ele eilir ki z yi böler böylece e z nin bir böleniir. Yani z = z olacak şekile bir z oğal sayısı varır. O hale x = x y = y ve z = z ise x + y = z oluğunan x + y = z ir. Böylece x < x y < y ve z < z olup (x y z ) Pisagor üçgeni (x y z) Pisagor üçgeninen aha küçüktür ve (x y z) Pisagor üçgenine benzerir. Bu a (x y z) nin en küçük olması kabulü ile çelişir. Dolayısıyla benzer Pisagor üçgenlerinen en küçüğünün kenarları aralarına asal olmalıır. Yeter Şart: (x y z) Pisagor üçgeninin x ve y kenarları aralarına asal iken aha küçük olan bir (a b c) Pisagor üçgeninin var oluğunu kabul eelim. Eğer x a (a b c) bir benzer Pisagor üçgeni ise üçgenlerin benzerliğinen = olur. Ancak y b x x ile y aralarına asal oluğunan kesri inirgenemez. Böylece x a y b ele y eilir. Dolayısıyla (a b c) üçgeni (x y z) Pisagor üçgenine benzer aha büyük bir Pisagor üçgeniir. Bu a kabulümüzle çelişir. Dolayısıyla (x y z) Pisagor üçgeni kenarları aralarına asal olan en küçük üçgenir. Eğer (x y z) Pisagor üçgenine x ile y aralarına asal ise (x y z) primiti Pisagor üçgeniir. Bu tespitleren olayı tüm Pisagor üçgenlerin tespiti yerine saece

19 primiti Pisagor üçgenlerin tespiti yeterliir. Çünkü iğer Pisagor üçgenleri primiti Pisagor üçgenlerin benzerleriir. Fakat iki primiti Pisagor üçgeni asla benzer olamaz. Primiti Pisagor üçgeninin tanımınan x ile y kenarları aralarına asal x > y ve x + y (mo ) şartlarını sağlaığını tekrar hatırlayalım. Bu uruma x ve y nin biri tek iken iğerinin çit olacağını tespit etmiştik. Farz eelim ki y çit olsun. O zaman x ve z tektir. x + y = z enklemini; y = z x = (z + x).(z x) (.) şekline yazabiliriz. Buraa z + x ve z x sayıları iki arklı tek sayının toplamı ve arkı olacağınan olayı z + x ve z x sayılarının her ikisi e çittir. Bu uruma a ve b oğal sayılar olmak üzere z + x ve z x iaeleri z + x = a z x = b (.3) biçimine temsil eilebilirler. O hale z = a + b x = a b olur. Buraa a ve b nin aralarına asal olması gerekir. Eğer a ile b aralarına asal eğilse yani; (a b) ebob = ve > ise z ile x in olayısıyla z + x ile z x in e ortak böleni olur ki bu a y = (z + x).(z x) eşitliğinen y nin e bir böleniir. Buraan y olacağınan x ve y nin e bir ortak böleni olur yani (x y) ebob = ele eilir. Bu urum x ve y nin aralarına asal olmasıyla çelişir. Dolayısıyla a ve b aralarına asal olmalıır. Yani = ir. Varsayımımıza göre y çit oluğunan c bir oğal sayı olmak üzere y = c olarak yazılabilir. Buraan y = (z + x).(z x) ve z + x = a z x = b oluğunan 4c = 4ab ve olayısıyla c = ab bulunur. (a b) ebob = oluğunan ve c =ab ise aralarına asal iki sayının çarpımı bir oğal sayının karesine eşitse o zaman onların her biri bir oğal sayının karesine eşit olacağınan c = ab iaesine a =m ve b = n alabiliriz. Buraa (a b) ebob = oluğunan (m n) ebob = ir. Ayrıca z = a+ b x = a b eşitliklerine eğerler yerine yazılırsa x = a b = m n y = 4c = 4 m n z = a + b = m + n ve buraan a; x = m n y = m.n z = m + n (.4)

20 3 olarak ele eilir. Böylece m ve n aralarına asal oluğunan her ikisi e kesinlikle çit olamaz. Eğer her ikisi e tek ise x = m n eşitliğinen iki tek sayının kareleri arkı 4 e bölünebileceği neeniyle x çittir. Buraan bir çelişki ele eilir. Yani m ile n nin her ikisi e tek olamaz. Bunan olayı m ve n nin biri tek iken iğeri çit olmalıır. Buna göre y = mn oluğunan y 4 e bölünebilir. Şimi e m ve n nin biri tek iken iğeri çit m > n ve aralarına asal m n sayıları için x = m n y = m.n ve z = m + n ile verilen x y ve z sayılarınan oluşan (x y z) üçgeninin primiti Pisagor üçgeni oluğunu gösterelim. (m n ) + (m.n) = (m + n ) oluğunan x = m n y = m.n ve z = m + n ile verilen (x y z) üçgeninin Pisagor üçgeni oluğu açıktır. Primiti Pisagor üçgeni oluğunu göstermek için x ve y nin aralarına asal oluğunu göstermemiz yeterliir. Bunun için (x y) = > oluğunu arzeelim. x + y = z oluğunan z nin bir böleniir. O hale; x ve z nin bir ortak böleni oluğunan m n ve m + n nin ortak böleniir. Aynı zamana m toplamı ve n arkının a bir ortak böleni olur. x in tek olması sebebiyle nin çit olamayacağı açıktır. Buna göre m ve n nin ortak böleniir. m ve n aralarına asal oluğunan m ve n nin en büyük ortak böleninin e en büyük olamayacağı ikkate alınırsa bu > kabulümüzle çelişir. Dolayısıyla ispatını yaptığımız şu teoremi verebiliriz. Teorem.. x y z tam sayıları y kenarı çit olan bir primiti Pisagor üçgeninin kenar uzunlukları olsun. O zaman x y z tam sayıları; m n poziti sayılar ve (m n) ebob = olmak üzere; x = m n y = mn z = m + n (.5) biçimine verilir (Sierpinski 96). Buraa ele eilen bilgiler ışığına şu sonuçları verelim. Sonuç.. Her primiti Pisagor üçgeninin ve olayısıyla her Pisagor üçgeninin kenar uzunluklarınan en az biri 4 ile bölünebilirir (Sierpinski 96). Bu sonucu aşağıa verilen tabloaki primiti Pisagor üçgenlerinin y kenar uzunluğu için oğrulanığını görmek mümkünür.

21 4 Tablo. x y z x y z Sonuç.. Kenarlarının hepsi asal olan hiçbir Pisagor üçgeni yoktur akat hipotenüsü ve bir ik kenarı asal olan sonsuz sayıa Pisagor üçgeni varır (Sierpinski 96). Örneğin ; (3 4 5) (9 80 8) ( ) ir. Ancak asal sayıların sayısı sonsuz oluğunan olayı bu tip üçgenlerin sonsuz çoklukta olacağı açıktır. (3 4 5) üçgeninin kenarları arışık oğal sayılarır. Bu özelliği sağlayan saece bir tek primiti Pisagor üçgeni varır. n > oğal sayısı için n n ve n + kenarlarına sahip olan bir Pisagor üçgeni (n ) + n = (n + ) eşitliğini sağlamalıır. Buna göre buraan n = 4n ele eilir ki bu a saece n = 4 için sağlanır. Böylece (3 4 5) üçgeni ele eilir. O hale hem primiti Pisagor üçgeni hem e aritmetik üçgen olan yegane üçgen (3 4 5) primiti Pisagor üçgeniir. Dolayısıyla bu üçgen kenar uzunlukları arışık tam sayı olan bir Heron üçgeniir. Ayrıca arışık tam sayı kenarlı Heron üçgenlerine Brahmagupta üçgenleri e eniliğinen (3 4 5) üçgeni ilk Brahmagupta üçgeniir. Bu üçgenlerin Brahmagupta üçgenleri olarak alanırılmasının sebebi ise Hintli-Astronom ve matematikçi Brahmagupta nın yaklaşık olarak onört asır önce bu tip üçgenler üzerine çalışması ve ilk sekiz tanesini bulmasıır (Beauregar Suryanarayan 998). Arışık tam sayı kenarlı Heron üçgenleri üzerine bazı çalışmalar yapılmış ve bu özelliğe sahip n inci Brahmagupta üçgeni (x n y n z n ) üçlüsü ile gösterilerek ilk on altı Heron üçgeni aşağıaki tabloa belirtilmiştir (Fleenor 996).

22 5 Tablo. n x x x + A Şimi ise verilen üç poziti tamsayının bir üçgen belirtip belirtmeiğini eğer bir üçgen belirtiyorsa Heron üçgeni olup olmaığını ele alacağız. Teorem.3. (x y z) üçlüsü herhangi bir Heron üçgeni olsun. O taktire k Ζ + için (kx ky kz) üçlüsü e bir Heron üçgeniir (Gurbanlıyev 003). İspat. (x y z) Heron üçgeni oluğunan; s = ( x + y + z) ve A = s( s x)( s y)( s z) aynı zamana tam sayılarır. Bu uruma (kx ky kz) üçgeni için ( s ) yarı çevre uzunluğunun ve ( A ) alanının a tam sayı oluğunun gösterilmesi gerekir. s = ( kx + ky + kz) = k( x + y + z) = k ( x + y + z) = ks (.6) olur teoremimizin hipotezi ve tanım gereği s bir tam sayı ve e bir tam sayıır. k Ζ + oluğunan k.s A = s( s kx)( s ky)( s kz) = ks( ks kx)( ks ky)( ks kz) = ksk( s x) k( s y) k( s z) = k 4 s( s x)( s y)( s z) olur ki A = k 4 s( s x)( s y)( s z) = k A (.7)

23 6 olur ki A alanı a teoremimizin hipotezi ve tanım gereği bir tam sayı olur. Bu a teoremi ispatlar. Teorem.4. Kenar uzunlukları tam sayı olan eşkenar üçgenler Heron üçgenleri eğilir (Gurbanlıyev 003). İspat. Üçgenimiz eşkenar üçgen oluğunan x = y = z alınır. Bu uruma; Heron üçgeninin yarı çevre ve alan ormüllerinen; 3 s = ( x + y + z) = ( x + x + x) = 3x = x (.8) ve A 3 = s( s x)( s y)( s z) = s( s x) (.9) ele eilir. O zaman s nin eğerini yerine yazarsak olur ki x 3x 3x x 3x x 3x x A = x = = = = 3 (.0) ün irrasyonel bir sayı olmasınan Heron üçgeninin tanımı gereği eşkenar üçgen bir Heron üçgeni olamaz. (x y z) primiti Pisagor üçgeni olmak üzere eş iki primiti Pisagor üçgeninin aynı ik kenarları çakışacak şekile birleştirilmesi ile ikizkenar bir üçgen ele eilir. Buraan ele eilen üçgen (z x z) ikizkenar üçgeniir. (x y z) primiti Pisagor üçgeni oluğunan Teorem.. en (z x z) = (m + n (m n ) m + n ) olup üçgenin yarı çevresi s = z + x = m ve alanı a Heron ormülünen; A = s.( s z).( s x).( s z) = mn.( m + n ) biçimine ele eilir. Buraan (z x z) üçgeninin hem yarı çevresinin hem e alanının bir tam sayı olacağı açıktır. O hale; m>n (mn) ebob = m / n (mo ) olmak üzere ( m + n (m n ) m + n ) ikizkenar Heron üçgenlerini verir (Sastry K. R. S. 00). Şekil.

24 7 Sonuç.3. m n Z + m > n (m n) ebob = ve m / n (mo ) olmak üzere (m + n 4mn m + n ) ve ( m + n (m n ) m + n ) ikizkenar Heron üçgenlerini verir (Sastry K. R. S. 00). Örnek.. Sonuç.3. için m ve n eğerlerini arışık sayıların; m>n (m n) ebob = ve m / n (mo ) biçimine seçilebileceğinen hareketle n parametresinin ilk on eğeri için ikizkenar Heron üçgenlerini bulalım. Tablo.3 Tablo.4 m n x =m + n y=(m n ) z=m + n m n x=m + n y=4mn z=m + n Teorem.5. Kenar uzunlukları bir birinen arklı Fibonacci sayıları olan hiçbir üçgen yoktur (Gurbanlıyev 003). İspat. İspata başlamaan üçgen olma şartlarını hatırlayalım. Verilen x y z uzunlukları için x y < z z < x + y (.) eşitsizliklerinin sağlanması urumuna x y z uzunluklarının bir üçgen oluşturuğu bilinmekteir. O hale ispatı üç ayrı urum için ele alalım. Durum. Kenarları arışık n Fibonacci sayıları olan üçlüyü göz önüne alalım. Bunların üçgen oluşturması için n + > olmalıır. Ancak Fibonacci sayılarının tanımı gereği n + = olur ki bunlar üçgen oluşturmaz. Durum. Kenarları arışık olmayan yani n k poziti tam sayıları ve n > k olmak üzere n k k şeklineki Fibonacci sayılarını göz önüne alalım. O zaman açık olarak k = k + k- ve k > k- > n olup buraan; k = k + k- > k + n (.)

25 8 bulunur ki bu a üçgen olma şartları ile çelişir. Durum 3. Şimi genel olarak kenarları n k s k olan bir üçgenin bulunup bulunmaığını araştıralım. k = k + k = k + k 3 = 3 k 3 + k 4 = 5 k k 5 = 8 k k k = s+ k s + s k s ; (.3) bulunur. Buraan = n < ve Fibonacci sayısı tanımı ve (.3) ten k = s+ k s + s k s > k s + n (.4) ele eilir ki bu a teoremi ispatlar. Sonuç.4. Kenar uzunluğu bir birinen arklı Fibonacci sayıları olan hiçbir Heron üçgeni yoktur.

26 3. HERON ÜÇGENLERİNİN ALAN VE ÇEVRE ÖZELLİKLERİ Bu bölüme aynı alanlı Heron üçgenleri ve aynı alan ve aynı yarı çevreli inkongruent Heron üçgenleri incelenecektir. ( 0 9) ve (35 37) kenarları arklı primiti Pisagor üçgenlerinin alanları eşit ve eğeri 0 ur. Bunlaran aha küçük arklı hipotenüslü ve aynı alanlı arklı primiti Pisagor üçgenleri yoktur. Gerçekten eğer hipotenüsü 37 en küçük olan Pisagor üçgenlerini incelemek istersek o zaman (3 4 5) (5 3) ve (5 8 7) primiti Pisagor üçgenlerine kongruent olan üçgenleri e göz önüne almamız gerekir. Tablo 3. x y z A Tabloa verilen üçgenleri incelersek; hipotenüsü 37 en ve alanı a 0 an küçük olup a alanları eşit olan arklı Pisagor üçgenleri mevcut eğilir. Bunan olayı; arklı hipotenüs ve eşit alanlı primiti Pisagor üçgenlerinin en küçük çiti ( 0 9) ve (35 37) üçgen çitleriir. R. Guy ın 994 yılına yayınlanan Unsolve Problems in Number Theory alı kitabının D bölümüne aynı alana sahip kaç tane primiti Pisagor üçgeninin mevcut oluğunun bilinmeiğine ikkat çekilmiştir. Çünkü her bir primiti Pisagor üçgeni; m > n ve sayıları için m / n (mo ) olacak şekile aralarına asal m ve n poziti tam m n mn m + n

27 0 biçimine temsil eilebilirir. Buraa bahseilen problem ise i j { 3 t} için (m i n i ) (m j n j ) üreteç çitleri olmak üzere aynı alana sahip olmaları neeniyle; ( m n ). m n ( m j n j ) i i i i =.m n veya (m i n i ).m i n i =(m j n j ).m j n j şartını a sağlayacak şekileki en büyük t eğerini bulmaya enktir. t = 3 için; j j m i n i x i y i z i A i eğerleri She taraınan m i n i x i y i z i A i eğerleri Rathbun taraınan ve m i n i x i y i z i A i eğerleri e Rathbun ve Hoey taraınan bulunuğu bilinen örneklerir. Ancak t = 3 için bu şekileki üçgenlerin sonsuz sayıa bulunup bulunmaığı ve ayrıca a t = 4 için bir örneğin bulunup bulunmaığı bilinmemekteir. Öte yanan eğer eşit alanlı Pisagor üçgenleri aynı hipotenüslü ik üçgenler ise bu üçgenler kongruent olmalıır. Gerçekten eğer x y x y olmak üzere (x y z ) ve (x y z ) böyle üçgenler ise hipotezimize göre alanların eşitliğinen

28 x. y = x. y ve aynı hipotenüslü oluğunan z = z olur. Buna göre x + y = x + y ir ve olayısıyla ; (x y ) = (x y ) ve (x + y ) = (x + y ) ele eilir. Bu a x = x ve y = y olması emektir. (5 3) primiti Pisagor üçgeninin alanı 840 olup 840 = 4.0 oluğunan bu ( 0 9) ve (35 37) üçgenlerinin alanlarının ört katıır. Böylece (5 3) üçgeninin alanı sırası ile ( 0 9) (35 37) üçgenlerinin kenar uzunluklarının ile çarpılması ile ele eilen (4 0 58) ve ( ) üçgenlerinin her birinin alanına eşit oluğunan arklı hipotenüslü ve eşit alanlı (5 3) (4 0 58) ( ) Pisagor üçgenleri ele eilir. Bu üçgenleren saece bir tanesi primititir. Ancak alanı 330 olan üç arklı primiti Pisagor üçgenlerinin ( ) ( ) ve ( ) biçimine oluğu 945 yılına She taraınan gösterilmiştir. Ayrıca bu alanan aha küçük alanlı ve üçü e primiti olan Pisagor üçgenlerinin bulunmaığı yine She taraınan gösterilmiştir. Şimi arklı hipotenüslü ve aynı alanlı keyi çoklukta Pisagor üçgeninin ele eilip eilemeyeceğini Fermat ın şu teoremi ile verebiliriz. Teorem 3.. Her bir n oğal sayısı için arklı hipotenüslü ve eşit alanlı n tane Pisagor üçgeni varır (Sierpinski W. 96). Bu teorem tümevarım metou ile aşağıakileren çıkarılabilir. Lemma 3.. Eğer n tane arklı hipotenüslü ve aynı alanlı Pisagor üçgeni verilir ve bu üçgenleren en az birinin hipotenüsü tek ise o zaman n + tane arklı hipotenüslü ve aynı alanlı Pisagor üçgeni bulunabilir ki bu üçgenleren e an az birinin hipotenüsü tektir. (Sierpinski W. 96). İspat. n bir oğal sayı k = n ve x k < y k < z k olmak üzere (x k y k z k ) n Pisagor üçgeni olsun. Bu Pisagor üçgenlerinin hipotenüsleri arklı alanları eşit ve z tek sayı olsun. Ayrıca k = n için x k` = (y x ).z.x k y k` = (y x ).z.y k z k` = (y x ).z.z k (3.) ve

29 x ` = (y x ) y ` = 4x y z z ` = 4x y + z 4 (3.) olarak alalım. k = n için (x k` y k` z k` ) üçgenleri Pisagor üçgenleriir. Gerçekten onların kenarları oğal sayılarır ve bu üçgenler (x k y k z k ) Pisagor üçgenlerine kongruenttir. (x ` y ` z ` ) üçgeni e (3.) ormülünen olayı bir Pisagor üçgeniir. Çünkü x + y = z olmak üzere ( y x ) 4 + 6x y ( x + y ) =[ 4x y + ( x + y ) ] veya [ (y x ) ] + [ 4xyz ] = [ 4x y + (z ) ] eşitliği gerçekleniğinen olayı (x ` y ` z ` ) Pisagor üçgeni olur. Dolayısıyla ( x ` ) + ( y ` ) = ( z ` ) ir. Şimi k = n n + için (x k` y k` z k` ) üçgenlerinin şartları sağlaığını göstermeliyiz. Bu uruma k = n için (x k y k z k ) üçgenlerinin her birinin alanını A ile gösterirsek x k.y k = A olur ve (3.) en k = n için (x k` y k` z k` ) üçgenlerinin alanı xk yk = 4( y x ) z x k y k = ( y x ) z x k y k = 4( y x ) z A olur. Öte yanan (3.) iaesiyle verilen ( x ` y ` z ` ) üçgeninin alanı a x y = ( y x ) 4x yz = 4( y x ) olarak bulunur. Böylece k = n n + için ( x k` y k` z k` ) üçgenlerinin aynı alanlara sahip oluğu görülür. k = n için (x k` y k` z k` z A ) üçgenlerinin hipotenüsleri arklıır. Gerçekten; (3.) e verilen ( x k` y k` z k` ) üçgenlerinin z k hipotenüslerinin hepsi arklı oluğunan olayı ( x k` y k` z k` ) üçgenlerinin hipotenüsleri arklıır. Bununla beraber hipotezimize göre z tek olarak veriliğinen (3.) en z ` e tektir. Böylece k = n n + için bütün z k` arklı olur ki bu a ispatı tamamlar. Örnek 3.. Yukarıaki lemmaa n = ve sayıları birbirinen x = 3 y = 4 z = 5 eğerleri için (x ` y ` z ` ) ve (x ` y ` z ` ) Pisagor üçgenlerini aşağıaki biçime ele eeriz. x k` = (y x ).z.x k y k` = (y x ).z.y k z k` = (y x ).z.z k ve (y x ).z =.(4 3 ).5 =.7.5 = 70 oluğunan ;

30 3 x ` = 70.x k = 70.3 =0 y ` = 70.y k = 70.4 =80 z ` = 70.z k = 70.5 =350 olarak ele eilir. Ayrıca x ` = (y x ) y ` = 4x y z z ` = 4x y 4 + z oluğunan; x ` = (4 3 ) = 7 = 49 y ` = = 48.5 =00 z ` = = =0 bulunur. Buraan ( ) ve ( ) üçgenleri arklı hipotenüslü ve alanları 9400 e eşit Pisagor üçgenleriir. Ayrıca ( ) primiti Pisagor üçgeniir. Şimi alanları bir Fibonacci izisinin aynı arışık terimlerinin çarpımına eşit olan ve kongruent olmayan bir Heron üçgen çitinin var olup olmaığını araştıracağız. Bu sorunun cevabı aşağıaki teorem ile verilir. Teorem 3.. n bir poziti tamsayı n n-inci Fibonacci sayısı olsun. O zaman alanları A = n biçimine olan bir inkongruent Heron üçgen çiti varır (Kramer & Luca 00). İspat. u ve v iki poziti tamsayı ve u olsun. Bu uruma kenarları x = u y = ( uv) z = ( uv) + v + + u v (3.3) biçimine olan bir T(u v) üçgeni seçilebilir. Gerçekten; x + z ve x z yi yukarıaki eşitleren yazarsak; x + z = u + v + (uv) + u v = (uv) + u olup u oluğunan (uv) + u > (uv) + ele eilir. Böylece z + x > y olur. Ayrıca (uv) + > (uv) v > (uv) v olup z x = (uv) v oluğunan y > z x ele eilir ki T(u v) nin kenar uzunluklarının bir üçgen belirttiği görülür. T(u v) üçgeninin alanı a ;

31 4 A = uv( u )( v + ) (3.4) olarak A = s( s x)( s y)( s z) (3.5) ormülünen hemen ele eilir. { ( 4 )( 3) } { ( 4 )( 3 )} n çit ise ( u v) (3.6) n tek ise seçimine karşılık gelen T ( u v) üçgenlerinin inkongruent oluğunu ayrıca A alanlarının n olacak şekile (u v) sıralı ikililerinin yukarıaki gibi iki arklı şekile seçilebileceğini göstermemiz ispatı tamamlar. Buraa ispatı saece n nin çit olması urumu için yapacağız. Çünkü; n nin tek olması urumuna a benzer urumlar geçerliir. Her poziti n tamsayısı için; çok iyi bilinen ve + ( ) = n (3.7) + ( ) = n 4 (3.8) ormülleri kullanılarak üçgeninin alanını A n çit olmak üzere u v) ( n ) parametreli ( = + 3 = 3 ( )( 3 + ) = 3 ( n 4 )( 5 ) = n... 5 T olarak; ( u v) = ( n + 4 ) parametreli T üçgeninin alanını a A = 4 ( )( 4 + ) = 4 ( n )( 3 5 ) = n... 5 olarak buluruz. Bu uruma ve T üçgenlerinin A alanları aynıır. T ile T T nin inkongruent oluğunu göstermek için (3.3) ormülü ile verilen x in üçgenin en kısa kenarı oluğuna işaret etmek yeterliir. Yani; (3.9) oluğunu ispatlamak yeterliir. Bunun için gösterelim. Bu + 4 > + 3 oluğunu 4 3 > iaesine veya ( 4 3)( 4 + 3) > ( )( + )

32 5 iaesine veya. 5 > n. 3 iaesine enktir. Bu son eşitsizlik aima geçerliir. Çünkü her n poziti tamsayısı için > n ir. Bu a ispatı tamamlar. Örnek 3.. n parametresinin ilk beş eğeri için teoremi uygulayarak alanları A = n biçimine olan inkongruent Heron üçgen çitlerini bulalım. Tablo 3. n (u v) u v x y z A (u v) = ( 5 ) (u v) = ( 4 3 ) (u v) = ( 3 6 ) (u v) = ( 4 5 ) (u v) = ( 7 4 ) (u v) = ( 6 5 ) (u v) = ( 5 8 ) (u v) = ( 6 7 ) (u v) = ( 9 6 ) (u v) = ( 8 7 ) Buraan akla şu soru gelebilir. Acaba hem alanı aynı hem e yarı çevresi aynı Heron üçgen çitleri var mıır? Bu sorunun cevabı; ( ) ve ( ) üçgen çitlerinin her ikisi e A = 336 alanına ve s = 56 yarı çevresine sahip oluklarınan olumluur. Bu örnekten hareketle; böyle üçgen çitlerinin sonsuz bir parametrik ailesini bulabiliriz. Bu aile aşağıaki teoremle açık bir şekile iae eilir. Teorem 3.3. t herhangi bir poziti tamsayı olmak üzere; T(t) üçgeninin kenarları; x = t y = t z = t t 6 + 5t + 6t 8 + 9t t + 5t + 7t t + 9t t + t biçimine ve T (t) e üçgeninin kenarları a; x = t y = t z = t t + 4t 4 + 6t t + 6t + 5t 6 + 6t t t + 9t + + (3.0) (3.)

33 6 olarak verilsin. O zaman T(t) ve T (t); aynı yarı çevreye yani s = t + 6t + 5t + 9t + t + 3 (3.) ve aynı alana yani 4 4 A = t( t + ).( t + ).( t + 3t + 3) (3.3) sahip inkongruent Heron üçgenleriir (Kramer & Luca 00). İspat. t Z + oluğunan x y z ve x y z kenarlarının poziti birer tam sayı olacağı açıktır. Bunun yanı sıra ; x + y + z s = ve A = s( s x)( s y)( s z) ormüllerinen yukarıaki t parametresine bağlı kenar uzunlukları yerine yazılırsa bu üçgenlerin s = t + 6t + 5t + 9t + t + 3 yarı çevreye ve 4 4 A = t( t + ).( t + ).( t + 3t + 3) görülür. t Z + oluğunan s A Z + ır. alanına sahip Heron üçgen çitleri olukları x y z kenarlı ve s yarı çevreli bir T üçgeni için a = s x b = s y c = s z oluğunu kabul eelim. Bu notasyonlarla x = b + c y = a + c z = a + b s = a + b + c ve A = abc( a + b + c) ele eeriz. Teorem 3.3 öncesine ( ) ve ( ) üçgen çitlerinen söz etmiştik. Yukarıaki kabulümüze göre; ve a = 3 b = c = 3 (3.4) a = 8 b = 4 c = 6 (3.5) eğerlerini ele eeriz. (3.4) ve (3.5) eğerleri ile verilen örneği genellemek için u v λ m n ve k tam sayı eğerli parametreler olmak üzere; ve n a = λ b = uv c = u (3.6) a m k k = λ b = λ uv c = λ u (3.7) eğerlerine sahip aynı alanlı ve aynı yarı çevreli Heron üçgen çitlerini ele eebiliriz. Buraan iki üçgen aynı yarı çevre ve aynı alana sahip oluğu için abc = a bc oluğunan sonucuna ulaşırız. Buna göre; m + k = n ir. Sonuçta; a + b + c = a + + b c

34 7 n m λ + uv + u = λ k k + λ uv + λ u eşitliğini veya m n m k λ ( λ ) = ( λ )( uv + u) (3.8) eşitliğini ele eeriz. n m = k oluğu için (3.8) enkleminen; m ( k k λ λ ) = ( λ )( uv + u) eşitliği veya λ m ( λ k + ) = u( v + ) (3.9) eşitliği ele eilir. Bu noktaa u = λ k + ve v = λ m eğerlerini seçebiliriz ve (3.9) enklemini sağlar. Son şart olarak; iki üçgenin alanının ortak eğerinin gerçekten bir tam sayı oluğunu garanti altına alma gereksinimiz varır. Dolayısıyla abc ( a + b + c) sayısının tam bir kare olması gerekir. Yukarıa verilenlerin yerine yazılmasıyla; n n n k m abc ( a + b + c) = λ u v( λ + u( v + )) = λ ( λ + ) ( λ n m k )( λ + λ ( λ + )) = λ k ( λ + ) m ( λ )( λ + λ + ) m+ n k k = λ k ( λ + ) m ( λ )( λ + λ + ) m+ k k k (3.0) iaesini ele eeriz. (3.0) ormülü ile verilen sayının tam bir kare olması için m k k ( λ )( λ + λ + ) (3.) iaesi tam bir kare olacak şekile uygun m = 3k seçersek (3.) ormülü ile verilen sayı 3k k k k k k ( λ )( λ + λ + ) = ( λ )( λ + λ + λ k ve m seçilmesi yeterliir. Eğer ) (3.) olur. Şimi (3.) ormülü ile verilen sayı; k = ve herhangi bir bazı poziti t tam sayısı için λ = t + iken tam bir kareir. Böylece; m = 3 n = 5 λ = (t + ) için u = λ + = t + ve v = λ = ( t + ) = t + 3t + 3t olur. a = s x b = s y c = s z oluğunu a ikkate alarak (3.6) ve (3.7) ormülleri ile verilen eşitliklere bu eğerleri yerine yazarsak tam olarak Teorem 3.3. ile verilen kenar uzunluklarını ele eeriz. Gerçekten; m = 3 n = 5 λ = (t + ) için n a = λ = (t + ) 5 b = uv = (t + ).(t 6 + 3t 4 + 3t ) c = u = t + ve a = λ m = (t + ) 3 b = λ k uv = (t + )(t + )(t 6 + 3t 4 + 3t ) c = λ k u = (t + )(t + ) ele eilir. Böylece; x = b + c = (t + ).(t 6 + 3t 4 + 3t ) + t + = t 8 + 5t 6 + 9t 4 + 7t +

35 8 ve y = a + c = (t + ) 5 + t + = t 0 + 5t 8 + 0t 6 + 0t 4 + 6t + 3 z = a + b = (t + ) 5 + (t + ).(t 6 + 3t 4 + 3t ) = t 0 + 6t 8 + 5t 6 + 9t 4 + t + x = b + c = (t + )(t + )(t 6 + 3t 4 + 3t ) + (t + )(t + ) = t 0 + 6t 8 + 4t 6 + 6t 4 + 9t + y = a + c = (t + ) 3 + (t + )(t + ) = t 6 + 4t 4 + 6t + 3 z = a + b = (t + ) 3 + (t + )(t + )(t 6 + 3t 4 + 3t ) oluğu görülür. = t 0 + 6t 8 + 5t 6 + 8t 4 + 9t + Teorem 3.. nin iaesi ( T ( t) T ( t)) çitleri arklı t eğerleri için benzer t olmaığı anlamına trivial olmayan bir çözümür. Gerçekten ( ) ve ( ) Heron üçgenleri aynı alanlı ve aynı yarı çevreye sahip oluğunan herhangi bir poziti t tam sayısı için e; aynı alanlı ve aynı yarı çevreye sahip (4t 35t 53t) ve (48t 4t 50t) Heron üçgenleri ele eilir. Elbette bu çok ilginç bir aile eğilir. (3.0) ormülü ile verilen iaee z nin aima tek oluğunan hareketle Teorem 3.3. eki iaenin niçin trivial olmaığını görürüz. Özel olarak; için ( x y z) = ( a b c) ebob ebob ispatınan ele eilenleren olayı ( a b c) = ( a u) = ( λ n λ k + ) = ebob ebob ebob iaeleri ele eilir. Özel olarak; T (t) üçgeni tir. Ancak; (3.6) ormülünen ve Teorem 3.3. ün T (t) Heron üçgeni aima primititir. Ancak T ( t ) üçgeninin primiti olamayacağı (3.7) ormülünen hemen görülür. Örnek 3.3. Teorem 3.3 te verilen ormülleren; t parametresinin ilk 5 eğeri için ele eilen aynı alan ve aynı yarı çevreye sahip inkongruent T(t) = (x y z) ve T (t) = (x y z ) Heron üçgen çitlerini şöyle verebiliriz. Tablo 3.3 t T(t) = (x y z) T (t) = (x y z ) A S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

36 9 Teorem 3. aynı alana ve aynı yarı çevreye sahip Heron üçgeni çitlerinin sonsuz bir ailesinin varlığını ispatlar. Fakat bu teorem yoluyla bu özellikteki Heron üçgenlerinin tamamını üretemeyiz. Örneğin; {(5 5 0) ( )} veya {(0 9) (7 5 8)}yaa {(7 8 39) ( 35 37)} Heron üçgeni çitleri aynı alanlara ve aynı yarı çevreye sahip olmalarına rağmen bunlar (3.0) ve (3.) ormülleri ile ele eilemezler.

37 4. İÇ TEĞET ÇEMBERİNİN YARIÇAPI VEYA ÇEVREL ÇEMBERİNİN YARIÇAPI TAMSAYI OLAN HERON ÜÇGENLERİ Bu bölüm e; iç teğet çemberinin veya çevrel çemberinin yarıçapı tam sayı olan Heron üçgenlerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir heron üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapını r ve çevrel çemberinin yarıçapını a R ile göstereceğiz. Teorem 4.. k poziti bir tamsayı olsun. O zaman r = k olacak şekile bir T Heron üçgeni varır (Kramer & Luca00). İspat. Önceki bölümlere oluğu gibi a = s x b = s y c = s z gösterimlerini kullanalım. Buna göre Teorem..5 en; r = A/s oluğunan; A s( s a)( s b)( s c) r = = s s abc a + b + c = k (4.) enkleminin bir a b c poziti çözümünün bulunuğunu göstermek yeterliir. c = seçersek (4.) enklemi ab = k (a + b + ) veya a(b k ) = k (b + ) yaa k ( b + ) a = (4.) b k biçimine önüşür. (4.) enklemine b = k + seçersek a = k 4 +k olacağı açıktır. Böylece kenarları x y z olan Heron üçgeninin kenarları x = b + c y = a + c z = a + b oluğu a ikkate alınarak r = k parametresine bağlı olarak x = k + y = k 4 +k + ve z = k 4 +3k + biçimine ele eilmiş olur ki o zaman bu Heron üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı tamsayı olur.

38 3 Örnek 4.. k parametresinin ilk 0 eğeri için iç teğet çemberinin yarıçapı r = k olan Heron üçgenlerini bulalım. Tablo 4. k x y z r Bir Heron üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı ile ilgili olan teoreme geçmeen önce; aşağıaki Lemmayı verelim. Lemma 4.. A alanlı ve s yarı çevreli herhangi bir T = (x y z) Heron üçgeni için a = s x b = s y c = s z olsun. Ayrıca D = ( a b c) (u v w) ebob ebob = olmak üzere; a = Du b = Dv ve c = Dw olarak verilsin. Bu uruma aşağıakiler geçerliir. a) u v w sayılarınan birisi tek ve onlaran birisi e çittir. Özel olarak D = ( x y z) ebob p ir. b) Eğer p (u + v u + w) ebob olacak şekile bir p asalı varsa o zaman (mo 4) olur (Kramer & Luca00). İspat. a) ( u v w) ebob = oluğunan u v w sayılarınan en az birisi tektir. Şimi onların tamamının tek olamayacağını gösterelim. Gerçekten x = b + c y = a + c ve z = a + b oluğu için D ( x y z) olur ki buraan a x = ebob x D y y = D kenarlı üçgen bir Heron üçgeniir. O hale (x y z ) üçgeni için; z = s s = D z D s x s x a Du s x = = = = = u ve benzer şekile s y = v s z = w ele D D D D D

39 3 eilir. Buraan a s = u + v + w oluğunan A = s s x )( s y )( s ) ormülünen A alanı ( z u.v.w.(u + v + w) = A (4.3) olarak ele eilir. Teorem... en olayı 6 A oluğunan u v w sayılarınan birisi çit olur. Dolayısıyla D = ( x y z) oluğu hemen görülür. ebob b) p (u + v u + w) ebob = (z y ) ebob olacak şekile p bir tek asal olsun. (x y z ) üçgeninin A alanı için bulunan (4.3) iaesi; x y z = A y z + x y + x z + biçimine yenien yazılır. (4.4) enklemi mo p ye göre inirgenirse; 4 x A (mo p) iaesine ulaşılır. p (z y ) ebob ve (x y z ) ebob = oluğunan p / x (4.4) (4.5) bulunur. Böylece (4.5) iaesinin bir çözüme sahip olabilmesi için Tanım..6 ve Sonuç.. en olayı p (mo 4) olması emektir. Teorem 4.. p p (mo 4) olacak şekile bir asal olsun. O zaman biçimine olan bir Heron üçgeni varır (Kramer & Luca00). R = p İspat. p mo 4 e göre e kongruent olan bir asal olsun. O hale p iki karenin bir toplamı oluğunan m > n için p = m + n biçimine yazılabilir. O zaman (x y z) üçlüsü; x = ( m + n ) y = ( m n ) z = 4mn (4.6) kenarlı üçgen Heron üçgeniir ve R = m + n = p olur. Yukarıaki üçgenin ik açılı bir üçgen ve hipotenüsünün yarısının a R oluğuna ikkat eelim. Buraan a p (mo 4) biçimine sonsuz sayıa asal bulunuğunan çevrel çemberinin yarıçapı R = p olan sonsuz sayıa Heron üçgeninin bulunuğu sonucuna ulaşırız. Eğer k bir p asalının katı biçimine keyî bir poziti tamsayı ise o zaman R = k yarıçaplı bir Heron üçgeni varır. Bunu görmek için R = k yarıçaplı Heron üçgenini (4.6) ile verilen üçgene benzer bir üçgen olarak üşünmek yeterliir. Ayrıca bu üçgenin kenarları k/p kez uzar. O hale çevrel çemberinin yarıçapı bir tam sayı olan sonsuz sayıa Heron üçgeni ele eilebilir.