BANACH FONKSİYON UZAYLARI

Transkript

1 T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH FONKSİYON UZAYLAI Kasım Emre AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIŞEHİ 216

2 T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH FONKSİYON UZAYLAI Kasım Emre AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Prof. Dr. Vagif S. GULİYEV KIŞEHİ 216

3 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü ne Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan Prof. Dr. Ayhan ŞEBETÇİ Üye Prof. Dr. Vagif S. GULİYEV Üye Doç. Dr. Ali AKBULUT Onay Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım..../.../216 Prof. Dr. Levent KULA Enstitü Müdürü

4 TEZ BİLDİİMİ Yüksek Lisans tezi olarak sunduğum Banach Fonksiyon Uzayları başlıklı çalışmamın, akademik kurallara ve etik değerlere uygun olarak yazıldığını, yararlandığım eserlerin kaynaklarda eksiksiz olarak gösterildiğini ve çalışmamın içinde kullanıldıkları her yerde bunlara atıf yapıldığını bildiririm. Kasım Emre AKSOY i

5 ÖZET BANACH FONKSİYON UZAYLAI Yüksek Lisans Tezi Kasım Emre AKSOY Ahi Evran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Ekim 216 Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, bu çalışma ile ilgili fonksiyon uzayları ve operatörler hakkında bazı temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, Banach fonksiyon uzaylarının tanımı ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Dördüncü bölümde, maksimal operatörü ve Hilbert dönüşümünün Banach fonksiyon uzaylarındaki sınırlılıkları detaylı bir şekilde incelenmiştir. Anahtar Kelimeler : Banach fonksiyon uzayları, L p uzayları, Orlicz uzayları, Morrey uzayları, Hardy-Littlewood maksimal operatörü, Hilbert dönüşümü Tez Yöneticileri : Prof. Dr. Vagif S. GULİYEV Sayfa Adedi : 69 ii

6 ABSTACT BANACH FUNCTION SPACES Master of Science Thesis Kasim Emre AKSOY Ahi Evran University Institute of Science October 216 This thesis is consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, some basic concepts about function spaces and operators related to this study are given. In the third chapter, the definition and some basic properties of Banach function spaces are given. In the fourth chapter, the boundedness of maximal operator and Hilbert transform on Banach function spaces is investigated with all details. Keywords : Banach function spaces, L p spaces, Orlicz spaces, Morrey spaces, Hardy-Littlewood maximal operator, Hilbert transform Supervisors : Prof. Dr. Vagif S. GULİYEV Number of Pages : 69 iii

7 TEŞEKKÜ Bu yüksek lisans tezimi hazırlarken, her ihtiyaç duyduğumda derin ve değerli bilgileriyle bana ışık tutan, beni tüm içtenliğiyle destekleyen, yardımlarını esirgemeyen, bana emek veren saygı değer hocam Prof. Dr. Vagif S. GULİYEV e teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca, bugünlere ulaşmamda büyük emekleri olan sevgili aileme sonsuz şükranlarımı sunarım. Kasım Emre AKSOY iv

8 İÇİNDEKİLE DİZİNİ TEZ BİLDİİMİ i ÖZET ii ABSTACT iii TEŞEKKÜ iv SİMGELE VE KISALTMALA vi 1 GİİŞ TEMEL KAVAMLA Normlu Uzaylar Operatör Teorisi Ölçü Teorisi Lebesgue Uzayları Maksimal Operatörü Hilbert Dönüşümü BANACH FONKSİYON UZAYLAI Banach Fonksiyon Uzayları İlişik Uzay Dağılım Fonksiyonları ve Artmayan Yeniden Düzenlemeler Hardy-Littlewood Eşitsizliği Maksimal Artmayan Yeniden Düzenleme Yeniden Düzenleme Altında Değişmez Kalan Uzaylar Temel Fonksiyon BANACH FONKSİYON UZAYLAINDA MAKSİMAL OPEATÖÜ VE HİLBET DÖNÜŞÜMÜNÜN SINILILIKLAI Maksimal Operatörünün Banach Fonksiyon Uzaylarında Sınırlılığı Hilbert Dönüşümünün Banach Fonksiyon Uzaylarında Sınırlılığı KAYNAKLA ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELE VE KISALTMALA n : n boyutlu reel uzay (, µ) : Ölçü uzayı M(, µ) : üzerindeki tüm µ-ölçülebilir reel fonksiyonların kümesi M (, µ) : Hemen her yerde sonlu M(, µ) kümesindeki fonksiyonların sınıfı M + (, µ) : M (, µ) kümesindeki negatif olmayan fonksiyonların sınıfı f g : g ile f denk ölçülebilir B(x, r) : x merkezli r yarıçaplı yuvar L loc 1 (n ) n de lokal integrallenebilen fonksiyonların sınıfı L p (Ω) : Lebesgue uzayı L p (Ω, ϱ) : Ağırlıklı Lebesgue uzayı W L p ( n ) : Zayıf Lebesgue uzayı L Φ (Ω) : Orlicz uzayı L p,λ M (Ω) : Morrey uzayı L p,λ C (Ω) : Campanato uzayı M : Hardy-Littlewood maksimal operatörü H : Hilbert dönüşümü vi

10 1 GİİŞ Fonksiyon uzaylarının modern teorisi S. L. Sobolev, A. Zygmund, S. M. Nikolskii, A. P. Calderon, V. Mazya, L. D. Kudryavtsev, N. Aronszayn, E. M. Stein, O. V. Besov, P. I. Lizorkin, H. Triebel ve V. I. Burenkov gibi dünyaca ünlü matematikçiler tarafından incelenmiştir. Bu teori reel ve fonksiyonel analizin birçok konusuna ve diğer matematiksel disiplinler içinde kısmi diferensiyel denklemler ve matematiksel fizik gibi bir çok alanlara başarıyla uygulanmıştır. Ayrıca ortaya çıkan yeni problemlerin çözülebilmesi ve fonksiyon uzaylarındaki bazı boşlukların giderilebilmesi için yeni tip fonksiyon uzaylarının tanımlanması ve araştırılması gerekmektedir. Lebesgue (L p, 1 p ) uzayları matematik analizin birçok alanında önemli bir rol oynamaktadır. Lebesgue uzayları, çoğunlukla fonksiyon uzayları üzerindeki operatörlerin özelliklerinin araştırılması ile ilgili olarak Kolmogorov, Zygmund, Titchmarsh ve diğer matematikçiler tarafından 192 li yıllarda incelenmiştir. Böylece, yirminci yüzyılın ilk yarısında fonksiyon uzaylarında daha yeni ölçüler ortaya çıkmıştır. Young, Orlicz, Hardy, Littlewood, Zygmund, Halperin, Köthe, Marcinkiewicz, Lorentz, Lüksemburg, Morrey, Campanato ve diğer matematilçilerin çalışmaları ile fonksiyon uzaylarının daha geniş kapsamlı matematiksel bir disiplininin gelişimine olanak sağlanmıştır. Bununla beraber ölçülebilir fonksiyonların Banach uzaylarının çok kullanışlı başka sınıfları da vardır. Örneğin, Orlicz ve Lorentz uzaylarının daha geniş sınıfları esaslı öneme sahiptir (Bakınız [2], [12], [13] ve [16]). Banach fonksiyon uzayları, ölçülebilir fonksiyonların Banach uzaylarıdır. Bu uzayın normu bir özel tanımlanan ölçüye bağlıdır. Bu uzaylar fonksiyonel-analitik ve ölçü-teorik teknikler arasında faydalı bir etkileşime izin verir (Bakınız [2], [16] ve [18]). Ölçülebilir fonksiyonların çoğu somut uzayları (Orlicz, Lorentz ve Marcinkiewicz uzayları vb.) genel Banach fonksiyon uzaylarının bakış açısından elde edilmiştir. Banach fonksiyon uzayları teorisi Lebesgue, Orlicz ve Morrey uzayları ve onların çeşitli modifikasyonları dahil olmak üzere fonksiyon uzaylarının ölçüleri ile ilgili birçok önemli özelliği içeren bir yapıdır. Ayrıca, Lorentz uzayları ve Lorentz uzaylarının çok önemli bir sınıfını ve ayrıca yeniden düzenleme altında değişmez kalan uzayları da kapsamaktadır (Bakınız [8], [22] ve [27]). Banach fonksiyon uzayları fikri 195 li yıllarda ortaya konuldu ve bu güne kadar yoğun bir şekilde çalışıldı. A. C. Zaanen ve çalışma arkadaşları bu alana esaslı katkıda bulunmuşlardır (Bakınız [38] ve [39]). A. C. Zaanen in doktora öğrencilerinden W. A. J. Luxemburg 1955 yılında, M. A. Kaashoek 1964 te ve J. J. Grobler 197 yılında Banach fonksiyon uzayları üzerine birer tez yazmışlardır. 196 ların ortalarında W. A. J. Luxemburg ve A. C. Zaanen tarafından The Notes of Banach Function Spaces başlığıyla tarihsel bir dizi bildiri (Proc. Acad. Sci. Amsterdam, Ser. A, ) yayınlandı. Bu bildiriler, Banach fonksiyon uzayları teorisi ve vektör latislerin(bir sıralama bağıntısıyla tanımlı latis ile verilen bir kısmi sıralı reel vektör uzayı) teorisinin bir sentezini üretmede yeni araştır- 1

11 malara ufuk açmış bu da fonksiyonel analiz, cebir ve ölçü teorinin birlikte çalışılması için uygun bir ortam sağlamıştır. İntegral ve diferensiyel operatörlerin farklı norm eşitsizlikleri fonksiyon uzaylarının teorisinde ve onların uygulamalarında esaslı öneme sahiptir. Özellikle diferensiyellenebilir fonksiyonların klasik uzayları teorisi (Sobolev uzayları, Besov uzayları, ağırlıklı Besov tipi uzaylar, vb.) bu eşitsizlikler üzerine esaslı olarak inşa edilirler. Yakın zamanlarda integral ve diferensiyel operatörler için norm eşitsizlikleri ile ilgili birçok zor problemler çözülmüştür. Bu sonuçlar fonksiyonel analizin özellikle de geniş olarak lineer ve lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlere uygulamaları için temel araçlar olmuştur. Harmonik analizin klasik operatörleri olan maksimal fonksiyon, iesz potansiyeli ve singüler integral operatörleri de Fourier dönüşümü teorisinde, kısmi türevli denklemler teorisinde, olasılık teorisinde (Markov süreçleri için potansiyel fonksiyonlar ve durağan rasgele süreçlerin spektral yoğunluk fonksiyonları çalışmalarında), fonksiyonel analizde ve özel olarak operatörlerin interpolasyonu teorisinde geniş uygulamalara sahiptir. Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, çalışmamız ile ilgili fonksiyon uzayları ve operatörler hakkında bazı temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, Banach fonksiyon uzaylarının tanımı ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Dördüncü bölümde, maksimal operatör ve Hilbert dönüşümünün Banach fonksiyon uzaylarındaki sınırlılıkları detaylı bir şekilde incelenmiştir. 2

12 2 TEMEL KAVAMLA 2.1 Normlu Uzaylar Tanım X, K cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. Eğer : X, x x dönüşümü x, y X ve α K için (N 1 ) x ve x = x = θ (N 2 ) αx = α x (N 3 ) x + y x + y (Üçgen Eşitsizliği) özelliklerini sağlıyorsa bu dönüşüme X üzerinde norm adı verilir. (X, ) ikilisine bir normlu vektör uzayı denir. (X, ) normlu uzayı kısaca X ile gösterilir (Alp ve Musayev, 2). Teorem X, K cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. : X şeklinde tanımlı her norm dönüşümü X vektör uzayı üzerinde süreklidir (Alp ve Musayev, 2). Teorem Bir K cismi üzerinde tanımlı herhangi bir X normlu vektör uzayında vektörel toplama ve skalerle çarpma dönüşümleri süreklidir (Alp ve Musayev, 2). Tanım (Denk Norm) X, K cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. x X için c x 1 x 2 C x 1 olacak şekilde c, C pozitif sayıları varsa X üzerinde tanımlı 1 ve 2 normlarına denk normlar denir (udin, 1991). Tanım {x n } n=1, (X, ) normlu uzayında bir dizi ve x X olsun. Eğer lim x n x = n olursa x n dizisi x noktasına yakınsıyor denir ve x n x veya lim n x n = x şeklinde gösterilir. Normlu uzayda tanımlanan bu yakınsamaya norma göre yakınsama denir (udin, 1991). 3

13 Tanım (Cauchy Dizisi) (X, ) normlu uzayı içinde {x n } n=1 bir dizi olsun. ε > için m, n n ε olduğunda x n x m < ε olacak şekilde ε sayısına bağlı bir n ε doğal sayısı varsa {x n } n=1, bir Cauchy dizisidir denir (udin, 1991). Tanım (Banach Uzayı) Bir (X, ) normlu uzayı içindeki her Cauchy dizisi X içindeki bir noktaya yakınsıyor ise bu (X, ) normlu uzayına Banach Uzayı adı verilir (Alp ve Musayev, 2). Tanım (iesz-fischer özelliği) Eğer u n X < (2.1) n=1 özelliğine sahip her {u n } n=1 için u n = u olacak şekilde bir u X varsa, yani n=1 n lim u k u = X n k=1 oluyorsa (X, X ) uzayına iesz-fisher özelliğini sağlıyor denir (Pick vd., 212). Teorem Bir normlu lineer uzayın tam olması için gerek ve yeter şart iesz-fischer özelliğine sahip olmasıdır (Pick vd., 212). 2.2 Operatör Teorisi Tanım X ve Y iki lineer uzay ve T : D T X Y bir fonksiyon olsun. T fonksiyonuna operatör denir. Burada D T, T nin tanım kümesi ve T (D T ) Y de T nin görüntü kümesidir (Alp ve Musayev, 2). Tanım n üzerinde ölçülebilir fonksiyonlar kümesinin bir lineer alt uzayı G olmak üzere T : G G operatörü f, g G ve λ için T (f + g) = T (f) + T (g) ve T (λf) = λt (f) şartlarını sağlıyorsa lineer operatör, T (f + g) T (f) + T (g) ve T (λf) = λ T (f) şartlarını sağlıyorsa altlineer operatör, bir C > sabiti için T (f + g) C ( T (f) + T (g) ) ve T (λf) = λ T (f) şartlarını sağlıyorsa quasilineer operatör olarak adlandırılır (Alp ve Musayev, 2). Tanım T : X X operatörü verilsin. x X için T (x) = x ise T operatörüne birim(veya özdeşlik) operatörü denir. I X veya I ile gösterilir (Alp ve Musayev, 2). 4

14 Tanım X ve Y iki normlu uzay ve D (T ) X olmak üzere T : D (T ) Y lineer operatör olsun. Eğer x D (T ) için, T x C x olacak şekilde bir C reel sayısı varsa, T operatörüne sınırlıdır denir. Bir T operatörünün normu T = şeklinde tanımlanır (Alp ve Musayev, 2). T x sup x D(T ) x x Tanım X ve Y iki normlu uzay ve T : D(T ) Y operatörü verilsin. Aşağıdaki şartlar sağlandığında T operatörü x D(T ) noktasında süreklidir denir. (a) ε > için δ > x D(T ), x x < δ iken T x T x < ε. (b) x noktasına yakınsayan (x n ) D(T ) dizisi için (Alp ve Musayev, 2). lim T (x n) = T (x ). n Tanım Eğer T : X Y operatörü D(T ) nin her noktasında sürekli ise T operatörü D(T ) üzerinde süreklidir denir (Alp ve Musayev, 2). Tanım X ve Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere T : D (T ) Y lineer operatör olsun. Bu durumda T operatörünün sürekli olması için gerek ve yeter koşul T operatörünün sınırlı olmasıdır (Alp ve Musayev, 2). Tanım (Gömme) X ve Y iki normlu lineer uzay ve X Y olsun. D T (I) = (I) = X, yani x X için I(x) = x olacak şekilde Y de en az bir eleman olmak üzere I : X Y ile verilen operatöre birim operatörü denir. Bu operatör sürekli ise yani her x X için x Y c x X 5

15 olacak şekilde bir c > sabiti var ise X uzayı Y uzayına sürekli gömülür denir. I operatörüne X uzayından Y uzayına bir gömme operatörü denir. Alternatif olarak bazen X uzayının Y uzayına bir sürekli(veya sınırlı) gömmesi mevcuttur denir. f Y I X Y := sup f f X şeklinde gösterilen bu sayıya da I nın operatör normu denir. Eğer X ve Y iki normlu lineer uzay olmak üzere X uzayından Y uzayına bir sürekli gömme mevcut ise şeklinde gösterilir. Eğer aynı anda oluyorsa, X Y X Y ve Y X X Y şeklinde gösterilir ve eğer bu gömme operatörü kompakt ise de şeklinde gösterilir (Pick vd., 212). X Y Tanım (Konveks) Bir X vektör uzayının bir Y alt kümesi verilsin. Eğer y 1, y 2 Y olduğunda M = {y X : y = λy 1 + (1 λ)y 2, λ 1} Y oluyorsa, Y alt kümesi konvekstir(veya dışbükeydir) denir (Alp ve Musayev, 2). 2.3 Ölçü Teorisi X boştan farklı bir küme olmak üzere X kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan küme P (X) ile gösterilmiştir. Tanım (Cebir ve σ Cebir) X boştan farklı bir küme ve A P (X) olsun. (i), X A (ii) E A, E c = X\E A n (iii) k = 1, 2,..., n, {E k } k=1 A E k A k=1 şartları sağlanıyor ise bu durumda A sınıfına X üzerinde bir cebirdir denir. Eğer (iii) şartı yerine n N, {E n } n=1 A E n A (2.2) n=1 şartı alınırsa A cebirine bir σ-cebir denir (oyden, 1968). 6

16 Teorem K X olsun. K sınıfını kapsayan σ cebirlerinin bir en küçüğü vardır (oyden, 1968). Tanım (Borel Cebiri) Bir K sınıfını kapsayan σ-cebirlerinin en küçüğüne K nın ürettiği(veya doğurduğu) σ-cebiri denir ve D(K) ile gösterilir. n deki bütün açık (a, b) aralıklarının doğurduğu σ-cebirine Borel cebiri denir ve B( n ) ile gösterilir. n = 1 olması halinde B( 1 ) Borel cebiri B() ile gösterilir. B() nin herbir elemanına Borel kümesi denir (oyden, 1968). Tanım (Ölçü) (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. A üzerinde tanımlı genişletilmiş reel değerli bir µ fonksiyonu (i) µ( ) = (ii) A A, µ(a) (iii) Her ayrık {A n } n=1 için µ( A n ) = µ(a n ) n=1 n=1 özelliklerini sağlıyorsa bu fonksiyona ölçü fonksiyonu(veya ölçü) adı verilir. Eğer her A A için µ(a) < oluyorsa µ ye sonlu ölçü adı verilir. X kümesi herbiri sonlu ölçüye sahip sayılabilir adetteki kümelerin birleşimi olarak yazılabiliyorsa µ ölçüsüne σ-sonlu denir. Eğer µ(x) = 1 ise bu ölçüye olasılık ölçüsü adı verilir (oyden, 1968). Tanım (Ölçü Uzayı) X, boştan farklı bir küme, A P (X) de X in bir σ cebiri ve µ : A [, ) de A üzerinde bir ölçü olsun. (X, A) ikilisine bir ölçülebilir uzay ve (X, A, µ) üçlüsüne de bir ölçü uzayı denir. A daki herbir eleman da ölçülebilir küme olarak adlandırılır (oyden, 1968). Tanım (Atomik Ölçü) (X, A, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(a) > ve her B A kümesi için B A ise ya µ(b) = yada µ(a\b) = olacak şekildeki bir A A kümesine atom denir. Eğer µ(x\m) = olacak şekilde bir M X kümesi mevcutsa ve her x M için µ({x}) ise bu (X, A, µ) ölçü uzayı bütünüyle atomik(veya sadece atomik veya ayrık) diye adlandırılır. Şayet A da herhangi bir atom mevcut değil ise (X, A, µ) ölçü uzayı atomik olmayan diye adlandırılır (Pick vd., 212). Örnek X boştan farklı bir küme ve A := P (X) olsun. A A için { A nın elemanlarının sayısı, A sonlu µ(a) :=, A sonsuz şeklinde tanımlanan µ bir ölçüdür. Bu ölçüye X üzerinde sayma ölçüsü denir. Teorem (X, A, µ) bir ölçü uzayı olsun. 7

17 1. {A n } n=1, A daki elemanların artan bir dizisi ise ( ) µ A n = lim µ(a n). (2.3) n n=1 2. {B n } n=1, A daki elemanların bir azalan dizisi ve µ(b 1) < ise ( ) µ B n = lim µ(b n) (2.4) n (udin, 1987). n=1 Sonuç (X, A, µ) bir ölçü uzayı olsun. 1. {A n } n=1, A daki elemanların bir artan dizisi ise µ( lim n A n) = lim n µ(a n). (2.5) 2. {B n } n=1, A daki elemanların bir azalan dizisi ve µ(b 1) < ise (udin, 1987). Teorem (X, A, µ) bir ölçü uzayı olsun. {A n } n=1 olmak üzere (udin, 1987). µ( lim n B n) = lim n µ(b n) (2.6) ( ) µ A k k=1 A ya ait kümelerin herhangi bir dizisi µ(a k ) (2.7) Tanım (Dış Ölçü) X boştan farklı bir küme olsun. P(X) üzerinde tanımlı genişletilmiş reel değerli bir µ fonksiyonu için (i) µ ( ) = (ii) E P(X), µ (E) (iii) A B X, µ (A) µ (B) k=1 (iv) n N, A n P(X) µ ( ) µ (A n ) n=1 n=1 şartları sağlanırsa µ fonksiyonuna X üzerinde bir dış ölçü denir (oyden, 1968). Tanım (Lebesgue Dış Ölçüsü) {I k } k=1, nin sınırlı ve açık alt aralıklarının bir dizisi ve τ A = { (I k ) : A 8 } I k k=1

18 olsun. P () üzerinde { } λ (A) = inf l (I k ) : (I k ) τ A k=1 şeklinde tanımlanan λ bir dış ölçüdür. Bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü adı verilir. Lebesgue dış ölçüsü nin her bir alt aralığına onun uzunluğunu karşılık getirir. n boyutlu n uzayında Lebesgue dış ölçüsünü tanımlamak için I = {x : a i x i b i, i = 1,..., n} n boyutlu kapalı aralıklarını göz önüne alalım. Bu aralıkların hacimleri n v (I) = (b i a i ) biçimindedir. Keyfi bir E n kümesinin Lebesgue dış ölçüsü { } λ (E) = inf v (I k ) : E I k, I k bir aralık i=1 k=1 k=1 ile tanımlanır. A n için eğer λ (A) = λ (A E) + λ (A ( n E)) ( Caratheodary Ölçümü ) ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir (oyden, 1968). Teorem n üzerindeki Lebesgue dış ölçüsü her bir aralığa onun hacmini karşılık getirir (oyden, 1968). Sonuç A sayılabilir bir küme ise λ (A) =. Sonuç [, 1] kümesi sayılamayan bir kümedir. Tanım (Lebesgue Ölçüsü) M (, λ ), λ dış ölçüsüne göre ölçülebilen nin alt kümelerinin bir sınıfı olsun. λ Lebesgue dış ölçüsünün M (, λ ) sınıfına da B () sınıfına da olan kısıtlanmasına Lebesgue ölçüsü denir, λ ile gösterilir (oyden, 1968). Tanım (X, A, µ) bir σ sonlu ölçü uzayı ve A A olsun. Eğer, E := {x A : V (x) doğru değildir} ile gösterilen bir küme E A ve µ(e) = şartlarını sağlıyorsa V (x), A üzerinde (veya hemen her x A için) µ ile bağlantılı olarak hemen her yerde (veya h.h.y) doğrudur denir (Pick vd., 212). 9

19 Teorem (Levi Monoton Yakınsaklık Teoremi) {f n } n=1, ölçülebilir Ω N kümesi üzerinde integrallenebilir fonksiyonların bir dizisi olsun. Öyle ki n N ve hemen her x Ω için f n (x) f n+1 (x) olmak üzere Bu durumda hemen her x Ω için Ω f 1 (x)dx >. f(x) = lim n f n(x) limiti mevcut olup f fonksiyonu integrallenebilirdir ve lim f n(x)dx = f(x)dx = lim n Ω Ω n Ω f n (x)dx eşitliği gerçeklenir (Pick vd., 212). Teorem (adon-nikodým) v AC[µ] sonlu bir fonksiyon kümesi olsun. Bu durumda Ω üzerinde sonlu Lebesgue integraline sahip bir f fonksiyonu kesinlikle mevcuttur, öyle ki her E Ω Lebesgue ölçülebilir alt kümeleri için v(e) = f(x)dx E (Pick vd., 212). Tanım (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. f : X fonksiyonu ölçülebilir olması için gerek ve yeter koşul α için f 1 ((α, + )) = {x X : f(x) > α} A olmasıdır (oyden, 1968). Şimdi yukardaki tanımda geçen kümelerin şeklini değiştirmeye olanak veren bir lemmayı ifade edelim. Lemma (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. f : X fonksiyonu için (i) α, A α = {x X : f(x) > α} A (ii) α, B α = {x X : f(x) α} A (iii) α, C α = {x X : f(x) α} A (iv) α, D α = {x X : f(x) < α} A 1

20 önermeleri denktir (oyden, 1968). Teorem f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ve c olsun. cf, f 2, f+g, f.g, f fonksiyonları da ölçülebilirdir (oyden, 1968). Tanım (X, A) bir ölçülebilir uzay ve A A olsun. f : A ölçülebilirdir α, f 1 ((α, + ]) = {x A : f(x) > α} A olmalıdır. X kümesi üzerinde tanımlı, genişletilmiş reel değerli A ölçülebilir bütün fonksiyonların kümesi M(X, A) ile gösterilir. Eğer f M(X, A) ise A = {x X : f(x) = + } = {x X : f(x) > n} n=1 B = {x X : f(x) = } = {x X : f(x) n} n=1 ( = {x X : f(x) > n} n=1 olacağından A ve B ölçülebilirdir (oyden, 1968). Teorem f : A ölçülebilirdir A = {x X : f(x) = + }, B = {x X : f(x) = } kümeleri ve { f(x), x A B f 1 (x) = (2.8), x A B biçiminde tanımlanan reel değerli f 1 fonksiyonu ölçülebilirdir (Alp ve Musayev, 2). Tanım B( n ) Borel cebirine göre ölçülebilen bir fonksiyona Borel ölçülebilir fonksiyon(veya Borel fonksiyonu) adı verilir. M(, λ ) σ cebirine göre ölçülebilen bir fonksiyona Lebesgue ölçülebilir fonksiyon denir. nin Borel kümesi olmayan fakat Lebesgue ölçülebilir alt kümeleri mevcut olduğundan üzerinde herbir Borel ölçülebilir fonksiyon Lebesgue ölçülebilirdir (oyden, 1968). ) c 11

21 Tanım f : A olsun. f + (x) = max{f(x), } f (x) = max{ f(x), } biçiminde tanımlanan f + ve f fonksiyonları da X üzerinde tanımlı ve negatif olmayan fonksiyonlardır. f + fonksiyonuna f nin pozitif parçası, f fonksiyonuna da f nin negatif parçası denir. Bu durumda, tanımdan bağıntıları mevcuttur (oyden, 1968). f = f + f, f = f + + f, f + = 1 2 ( f + f), f = 1 ( f f) 2 Teorem f : A ölçülebilir olması için gerek ve yeter şart f + ve f fonksiyonlarının ölçülebilir olmasıdır (oyden, 1968). Teorem (X, A) bir ölçülebilir uzay ve A A olsun. f, g : A ölçülebilir ise bu durumda {x A : f(x) < g(x)}, {x A : f(x) g(x)}, {x A : f(x) = g(x)} kümeleri ölçülebilirdir (oyden, 1968). Teorem (X, A) bir ölçülebilir uzay ve A A olsun. f, g : A ölçülebilir ise (f g) ve (f g) fonksiyonları ölçülebilirdir (oyden, 1968). Teorem {f n } n=1, A A üzerinde tanımlı -değerli ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi ise sup f n ve inf f n fonksiyonları da ölçülebilirdir (oyden, 1968). n N n N Teorem (X, A) bir ölçü uzayı ve A A olsun. {f n } n=1, A üzerinde tanımlı -değerli ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi ise lim inf f n ve lim sup f n fonksiyonları ölçülebilirdir. n n Ayrıca tanım kümesi A = {x A : lim sup da ölçülebilirdir (oyden, 1968). n f n (x) = lim inf n f n(x)} olan lim n f n fonksiyonu Tanım (Karakteristik Fonksiyon) X boştan farklı bir küme ve E X olsun. χ E (x) := { 1, x E, x E şeklinde tanımlanan χ E (x) : X [, ) fonksiyonuna E kümesinin karakteristik fonksiyonu denir (Pick vd., 212). 12

22 Şimdi, negatif olmayan ölçülebilir basit fonksiyonların integrali, daha sonra da negatif olmayan, -reel değerli, ölçülebilir fonksiyonların integrali ile ilgili bilgiler verilecektir. Sonra da -değerli fonksiyonların integrali üzerinde durulacaktır. Önce basit fonksiyonun tanımını verelim. Tanım Görüntü kümesi sonlu elemandan oluşan ϕ fonksiyonuna basit fonksiyon adı verilir (oyden 1968). ϕ reel değerli bir basit fonksiyon ve χ Ek, E k kümesinin karakteristik fonksiyonu olmak üzere n ϕ = a k χ Ek, a k (2.9) k=1 biçiminde yazılabilir. Eğer ϕ fonksiyonu X üzerinde tanımlı ise n E k = X. k=1 Burada E k kümelerinin seçilişi tek olmadığından ϕ nin (2.9) tipindeki gösterimi tek değildir. Eğer a 1, a 2,..., a m sayıları ϕ nin X üzerinde aldığı farklı değerler ve E k = x X ve f(x) = a k seçilirse E k kümeleri ayrık olur. Bu durumda n ϕ := a k χ Ek k=1 gösterimine ϕ fonksiyonunun standart gösterimi adı verilir. X üzerinde tanımlı, reel değerli, A ölçülebilir basit fonksiyonların kümesi S = S(X, A), S deki negatif olmayan fonksiyonların kümesi S + ile gösterilir (oyden, 1968). Tanım (X, A, µ) bir ölçü uzayı olsun. a k sayıları negatif olmayan reel sayılar ve A 1, A 2,..., A n ler A ya ait olmak üzere n n A k = X ve ϕ = a k χ Ek (2.1) k=1 k=1 gösterimine sahip bir ϕ S + fonksiyonunun µ ölçüsüne göre integrali n ϕdµ = a k µ(a k ) (2.11) X k=1 (oyden, 1968). Bu tanıma göre ϕ nin µ ye göre integrali ya negatif olmayan bir reel sayı ya da µ ölçüsünün sonlu olmayan bir ölçü olması haline karşılık gelen + değeridir. Belirtelim ki, ϕ fonksiyonunun µ ye göre integrali ne a k sayılarına ne de A k kümelerine bağlıdır. Bununla ilgili olarak aşağıdaki teorem verilebilir. 13

23 Teorem (X, A, µ) bir ölçü uzayı ϕ S + (X, A) ve A k lar ayrık olmak üzere ϕ nin bir gösterimi ϕ = n k=1 a k χ Ak A k kümelerine bağlıdır (oyden, 1968). olsun. ϕ nin µ ölçüsüne göre integrali ne a k sayılarına ne de Şimdi negatif olmayan basit fonksiyonların integraline ait temel özellikleri verelim. Teorem (X, A, µ) bir ölçü uzayı, ϕ S +, Ψ S + ve c olsun. Bu durumda (i) c.ϕdµ = c X X ϕdµ (ii) (ϕ + Ψ)dµ = ϕdµ + Ψdµ X X X (iii) x X, ϕ(x) Ψ(x) ϕdµ Ψdµ X X şartları sağlanır (oyden, 1968). Tanım (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve f M + (X, A) olsun. f fonksiyonunun µ ölçüsüne göre integrali genişletilmiş reel sayısıdır. X fdµ = sup X ϕdµ : ϕ S + ve ϕ f (2.12) E A olsun. f nin µ ye göre E üzerindeki integrali fdµ = fχ E dµ (2.13) şeklinde verilir (oyden, 1968). Teorem f, g M + (X, A) ve E, F A olsun. (i) x X, f(x) g(x) fdµ gdµ. X X X X (ii) E F fdµ E F fdµ şartları sağlanır (oyden, 1968). Şimdi integral teorisinin temel teoremlerinden birini ifade edelim. Teorem (Monoton Yakınsaklık Teoremi) (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve {f n } n=1 de M + (X, A) daki fonksiyonların monoton artan bir dizisi olsun. f n dizisi f fonksiyonuna yakınsak ise (Pick vd., 212). lim n X f n dµ = X fdµ (2.14) 14

24 Teorem (Lebesgue Baskın Yakınsaklık Teoremi) (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve {f n } n=1 de M + (X, A) daki fonksiyonların bir dizisi olsun. Hemen her x X için f n (x) g(x) olacak şekilde g bir integrallenebilir fonksiyon olsun. f n f ise n N için f n ve f integrallenebilirdir ve (Pick vd., 212). lim n X f n dµ = Lemma (X, A) bir ölçülebilir uzay, A A ve f : A fonksiyonu ölçülebilir olsun. Bu taktirde A üzerinde tanımlı -değerli, ölçülebilir basit fonksiyonların öyle bir artan ϕ n dizisi vardır ki lim n ϕ n = f olur. Eğer f sınırlı ise bu yakınsama düzgündür (oyden 1968). X fdµ Teorem (i) f M + ve c cf M + ve cfdµ = c fdµ. X X (ii) f, g M + f + g M + ve (f + g)dµ = (oyden, 1968). X X fdµ + X gdµ Teorem (Fatou Lemma) (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve f n de M + (X, A) daki fonksiyonların bir dizisi ise (oyden, 1968). X lim inf f ndµ lim inf n n X f n dµ (2.15) Teorem (Beppo-Levi Teoremi) (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve f k da X üzerinde tanımlı [, + ] değerli ölçülebilir fonksiyonların bir serisi olsun. Bu durumda ( ) f k dµ = f k dµ (2.16) (oyden, 1968). X k=1 k=1 X 15

25 Tanım (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve f M(X, A) olsun. Eğer X f + dµ ve X f dµ integrallerinin her ikisi de sonlu ise f fonksiyonu X üzerinde integrallenebilirdir denir. Bu integral X fdµ = X f + dµ X f dµ reel sayısıdır. X üzerinde µ ölçüsüne göre integrallenebilen fonksiyonların sınıfı L = L(X, A, µ) ile gösterilir (oyden 1968). Teorem (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve f M(X, A) olsun. Bu durumda f L f L olur ve bunların biri gerçeklendiğinde olur (oyden, 1968). X fdµ X f dµ Teorem (Chebyshev Eşitsizliği) (X, A, µ) bir ölçü uzayı ve f : X [, + ] fonksiyonu ölçülebilir olsun. α > için A α := {x X : f(x) α} olmak üzere µ(a α ) 1 α A α fdµ 1 α X fdµ (oyden, 1968). Teorem (X, A, µ) bir ölçü uzayı, f ile g X üzerinde integrallenebilen reel değerli fonksiyonlar ve α herhangi bir reel sayı olsun. Bu durumda (i) αf L ve f + g L (ii) αfdµ = α fdµ X X (iii) (f + g)dµ = fdµ = X X X fdµ + X gdµ şartları sağlanır (oyden, 1968). 16

26 2.4 Lebesgue Uzayları Fonksiyonel analizde, Banach uzayı ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lebesgue uzayı L p ( n ) oluşturur. Harmonik analizin önemli konularından biri olan Lebesgue uzayı, harmonik analizin iç problemlerinin çözülmesinde olduğu gibi kısmi türevli denklemler teorisi ile fizik, istatistik, finans, mühendislik ve ayrıca diğer disiplinlerde de uygulamalara sahiptir. Tanım n ile n boyutlu Öklid uzayını gösterelim. x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) n ve x = x x2 n, x n, x olsun. Tüm n de veya n in bir alt kümesinde tanımlı bir fonksiyon g(x) = g (x 1,..., x n ) ve f, [, ) da hemen her yerde tanımlı tek değişkenli fonksiyon olsun. Eğer n-değişkenli bir g fonksiyonu herhangi bir tek değişkenli f fonksiyonunun yardımıyla g(x) := f ( x ) şeklinde gösterilebiliyorsa g fonksiyonuna radyal fonksiyon denir. Yani ( ) g (x 1,..., x n ) = f x x2 n (oyden, 1968). Tanım n üzerinde dx = dx 1... dx n ile Lebesgue ölçüsü ve n uzayı üzerinde f fonksiyonunun (Lebesgue) integrali f (x) dx = şeklinde gösterilir. f (x 1,..., x n ) dx 1... dx n Çok katlı integrali kutupsal koordinatlarda ifade etmek çoğu kez kullanışlı olmaktadır. r = x olsun ve S n 1 = {x : x = 1} ile birim küre gösterilsin. f ( x ) dx integralinin hesabı için x 1 = r cos θ 1 n r <, θ 1,..., θ n 2 π, θ n 1 2π olmak üzere x 2 = r sin θ 1 cos θ 2 x 3 = r sin θ 1 sin θ 2 cos θ 3... x n = r sin θ 1 sin θ 2... sin θ n 1 dönüşümü yapılır. Bu dönüşümün Jakobiyeni n 1 J (r, θ 1,..., θ n 1 ) = r n 1 17 j=1 (sin θ j ) n 1 j

27 olarak hesaplanır. n f ( x ) dx = = π π = ω n π r n 1 f (r) dr f (r) J (r, θ) drdθ 1... dθ n 1 π π f (r) r n 1 dr... 2π n 1 (sin θ j ) n 1 j dθ 1... dθ n 1 elde edilir. Burada ω n 1, birim kürenin yüzey alanıdır. Genel olarak n f(x)dx = = S n 1 S n 1 j=1 f (r sin θ 1,..., r sin θ 1... sin θ n 1 ) r n 1 drdθ 1...dθ n 1 f (r, θ) r n 1 drdσ biçiminde yazılır. dx hacim elemanı dx = r n 1 drdσ biçiminde yazılır. Burada dσ, S n 1 üzerinde dx tarafından belirlenen yüzey ölçüsüdür. Ayrıca, B(x, r) = dy = dy = dz = B(, r) ve B(x,r) B(x, r) = {x n ; x y <r} = B(x,r) S n 1 dz = dσ r r S n 1 t n 1 dt = S n 1 rn n = ω nr n {z n : z <r} t n 1 dtdσ (Sadosky, 1979). Tanım p < olmak üzere Ω X = n bölgesinde tanımlı ve f(x) p dx < Ω özelligine sahip ölçülebilir f : Ω fonksiyonlar sınıfına L p (Ω) uzayı veya Ω bölgesinde p. kuvvetten Lebesgue-integrallenebilir fonksiyonlar uzayı denir. L p (Ω) uzayı f L p (Ω) = f L p := Ω 18 1/p f(x) p dx <

28 seklindeki norm ile tanımlanır. Buradaki f L p gösterimine f fonksiyonunun L p (Ω)-normu denir. Ω bölgesinde hemen her x için f(x) M olacak şekilde bir M sabiti varsa f fonksiyonuna hemen heryerde sınırlıdır denir. Böyle M sabitlerinin en büyük alt sınırına da f nin Ω bölgesindeki esas supremumu(veya esaslı sınırı) denir ve ess sup f(x) := ess inf {K : f(x) K hemen her x Ω} x Ω seklinde gösterilir. Ω bölgesindeki hemen heryerde sınırlı f fonksiyonları ile tanımlanan uzay L (Ω) seklinde gösterilir. Buna göre bir f fonksiyonunun L normu şeklinde tanımlanır (Pick vd., 212). f L := ess inf x Ω f(x) Tanım (Zayıf Lebesgue Uzayı) 1 p <, f : n ölçülebilir bir fonksiyon ve f W L p := sup λ> olmak üzere zayıf Lebesgue uzayı λ {x n : f(x) >λ} dx W L p ( n ) := {f : n : f ölçülebilir ve f W L p < } şeklinde tanımlanır (Grafakos, 24; Sadosky, 1979). Uyarı p < için L p ( n ) W L p ( n ). Ayrıca 1 p f W L p f L p eşitsizliği sağlanır (Grafakos, 24; Sadosky, 1979). Sonuç (Lebesgue Diferansiyelleme Teoremi) Eğer f L 1 ( n ) ise bu durumda hemen her x için (Pick vd., 212). lim r 1 B(x, r) B(x,r) f(y)dy = f(x) Teorem (Hölder eşitsizliği) p (1, ) ve 1 p + 1 p g L p = 1 olmak üzere f L p ve olsun. Bu durumda fg L 1 olur ve f(x)g(x) dx f L p g L p (2.17) eşitsizliği sağlanır (Pick vd., 212). Ω 19

29 Teorem (Minkowski eşitsizliği) p [1, ) ve f, g L p olsun. (f + g) L p olmak üzere Bu durumda f + g L p f L p + g L p (2.18) eşitsizliği sağlanır (Pick vd., 212). Lebesgue integralinin özellikleri ve Hölder eşitsizliği gözönüne alındığında L p uzayının 1 p < için bir vektör uzayı olduğu görülür. Bununla beraber bir f L p olmak üzere f L p normu altında; (L1) f L p (L2) f L p = h.h.y f(x) = (L3) αf L p = α f L p, α (L4) f + g L p f L p + g L p şartları sağlandığından 1 p < için L p bir normlu uzaydır. Teorem (Young eşitsizliği) p (1, ) ve 1 p + 1 p = 1 olsun. a, b için a, b > ve p = p p 1 olmak üzere eşitsizliği sağlanır (Pick vd., 212). ab ap p + bp p (2.19) Tanım (L p uzayında yakınsaklık) f n, f L p olmak üzere {f n } n=1 nin f fonksiyonuna p. mertebeden yakınsak olması için gerek ve yeter şart ε > için en az bir n N mevcuttur öyle ki her n n için f n f L p < ε olmasıdır. Burada f n f L p := Ω f n f p dµ 1 p, 1 p <. Buna göre, {f n } n=1 nin f fonksiyonuna Lp de yakınsak olması için gerek ve yeter şart olmasıdır (Pick vd., 212). lim f n f L p = n Teorem Ω n olmak üzere L p (Ω), 1 p < uzayı 1/p f L p := f(x) p dx normu altında tam ve dolaysıyla Banach uzayıdır (oyden, 1968). Ω 2

30 Teorem (Fubini) f, m+n üzerinde ölçülebilir bir fonksiyon ve I 1 = f (x, y) dxdy I 2 = n+m m I 3 = n f (x, y) dx dy f (x, y) dy dx n m integrallerinden en az biri mevcut ve sonlu olsun. I 2 için bu n üzerinde integrallenebilen bir g fonksiyonu vardır öyle ki g (y) hemen her y için içteki integrale eşittir anlamındadır ve I 3 için de aynısı geçerlidir. Bu durumda (a) Hemen her y m, f (, y) L 1 ( n ) (b) Hemen her x n, f (x, ) L 1 ( m ) (c) f (, y) dy L 1 ( n ) m (d) f (x, ) dx L 1 ( m ) n (e) I 1 = I 2 = I 3 şartları elde edilir (Pick vd., 212). Tanım (Homojen Fonksiyon) λ ve α iki reel sayı olmak üzere f(λx) = λ α f(x) oluyorsa f fonksiyonuna α. dereceden homojen fonksiyon denir (Pick vd., 212). Tanım (Örtü) Birleşimleri A kümesini kapsayan kümeler ailesine A kümesinin i bir örtüsüdür denir. Bu kümelerinin her biri açıksa bu halde, A kümesinin açık i i örtüsüdür denir. Birleşimleri A kümesini kapsayan alt topluluklar ailesine verilen örtünün alt örtüsü ismi verilir. Eğer bu topluluklar ailesi sonlu sayıda kümelerden oluşuyorsa, bu örtüye sonlu alt örtü denir (Alp ve Musayev, 2). Tanım (Kompaktlık) X kümesinin her açık örtüsünün sonlu sayıda bir alt örtüsü varsa, X kümesine kompakttır denir. Kapalı ve sınırlı her kümenin açık örtüsünün sonlu sayıda bir alt örtüsü vardır. Yani, kapalı ve sınırlı her küme kompakttır (Alp ve Musayev, 2). 21

31 Tanım (Destek) (X, ϱ) bir metrik uzayı ve f : X [, ] olsun. f (x) şartını sağlayan x noktalarının kapanışına f fonksiyonunun desteği denir ve supp f = {x X : f(x) } ile gösterilir. Eğer f fonksiyonunun desteği kompakt bir küme ise bu durumda f kompakt destekli fonksiyon adını alır (Pick vd., 212). Tanım (X, A, µ) metrik ile verilen bir σ sonlu ölçü uzayı olsun. Bu durumda bir s : X fonksiyonunun basit olması için gerek ve yeter koşul s fonksiyonunun görüntüsü sonlu bir küme ve desteğinin sonlu ölçülü olmasıdır (Pick vd., 212). Teorem Eğer 1 p < ise L p deki basit fonksiyonların kümesi L p de yoğundur (oyden, 1968). Tanım (Lokal İntegrallenebilme) f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her K kompakt kümesi üzerinde K f dµ < ise f fonksiyonuna lokal(veya yerel) integrallenebilir adı verilir ve L 1 loc (n ) := f : f dµ <, K n, K kompakt K şeklinde ifade edilir. Ayrıca, L p loc (n ) := f : K f p dµ 1 p <, K n, K kompakt şeklinde tanımlanır (oyden, 1968). Teorem p L p ( n ) L p loc (n ) L 1 loc (n ) (oyden, 1968). Tanım (Ağırlıklı L p Uzayı) 1 p, ω bir ağırlık fonksiyonu olsun. Bu durumda, L p (ω) L p ( n, w) ağırlıklı Lebesgue uzayı ( f Lp,ω f Lp,ω( n ) = f(x) p ω(x)dx n ) 1 p < normuna sahip bütün bütün ölçülebilir f fonksiyonların uzayı olarak tanımlanır. p = durumunda ise L (ω) L ( n, ω) de norm ile tanımlanır (oyden, 1968). f L,ω f L,ω( n ) = ess sup f(x) ω(x) x n 22

32 Şimdi, L p (Ω), 1 < p < uzayının [L p (Ω)] dual uzayını ifade eden tanımı verelim. Tanım (Dual Uzayı) g L p olmak üzere f L p (Ω) için Φ g (f) := f(x)g(x)dx Ω gösterilsin. Bu durumda, Φ g [L p (Ω)] ve Φ g = g p (Pick vd., 212). Lemma Ω, n nin bir boş olmayan sınırlı açık alt kümesi ve g de Ω üzerinde bir ölçülebilir fonksiyon olsun. Kabul edelimki p > 1 ve M > mevcuttur öyle ki keyfi bir f L p (Ω) için f g L 1 (Ω) ve Ω f(x)g(x)dx M f p. Bu durumda g L p (Ω) ve g p M (Pick vd., 212). 2.5 Maksimal Operatörü Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu ilk olarak Hardy ve Littlewood tarafından bir boyutlu durumda, kompleks analizin uygulamalarına yönelik olarak tanımlanmıştır. Maksimal fonksiyon, analizde pek çok operatörün sınırlılığında çok önemli bir role sahiptir. Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonunun farklı tanımları aşağıdaki gibi verilebilir. Tanım f L 1 loc (n ) olsun. Bu durumda Mf Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu Mf(x) = sup B(, r) 1 r> B(,r) f(x y) dy şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyon + a eşit olabilir (Grafakos, 24). Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu yuvar yerine küp alınarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir. 23

33 Tanım f L 1 loc (n ) olsun. Eğer Q r, [ r, r] n kübü ise M f merkezli Hardy- Littlewood maksimal fonksiyonu M 1 f(x) = sup r> (2r) n Q r f(x y) dy şeklinde tanımlanır. n = 1 iken M ve M çakışır. Eğer n > 1 ise bu durumda c n M f(x) Mf(x) C n M f(x) olacak şekilde sadece n boyutuna bağlı c n ve C n sabitleri vardır. Bu eşitsizlikten dolayı M ve M operatörleri uygun koşullara göre değiştirilebilir (Hardy ve Littlewood, 193). Tanım f L 1 loc (n ) olsun. M f merkezli olmayan Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu şeklinde tanımlanır. M 1 f(x) = sup B x B B f(y) dy Burada supremum x i içeren bütün B n yuvarları üzerinden alınmaktadır. M ve M noktasal olarak eşdeğerdir. M maksimal operatörü altlineer ve homojendir. Yani, M(f + g) Mf + Mg ve M(λf) = λ(mf), λ sağlanır (Stein, 197; Duoandikoetxea, 21). Aşağıdaki teorem M Hardy-Littlewood maksimal operatörünün hemen her yerde sonlu, zayıf (1, 1) ve 1 < p için (p, p) tipinden bir operatör olduğunu ifade etmektedir. Teorem (1) f L p ( n ) ve 1 p olsun. Bu durumda hemen her x n için Mf(x) <. (2) p = 1 ise bu durumda λ > ve f L 1 ( n ) için {x n : Mf(x) > λ} C λ f L 1 ( n ) olacak şekilde bir C = C(n) > sabiti vardır. (3) 1 < p ise f L p için Mf L p C f L p olacak şekilde bir C = C(n, p) > sabiti vardır (Grafakos, 24; Hardy ve Littlewood, 193). 24

34 2.6 Hilbert Dönüşümü Hilbert dönüşümü, iemann tarafından ortaya atılan analitik fonksiyonlar açısından önemli bir problemin 195 yılında Hilbert tarafından çalışılmasıyla ilk olarak ortaya çıktı (Khvedelidze, 21; Hilbert, 1953) iemann-hilbert problemi olarak bilinir hale geldi. Hilbert in çalışması (Khvedelidze, 21; Hilbert, 1953) çemberin üzerinde tanımlı fonksiyonlar için Hilbert dönüşümü ile ilgiliydi. Ayrık Hilbert dönüşümü ile ilgili daha önceki çalışmaların bazılarını Göttingen e geri dönüşünde verdi. Bu sonuçlar daha sonra (Hardy vd., 1952), Hermann Weyl tarafından doktora tezinde yayınlanmıştır. Ayrık Hilbert dönüşümü ile ilgili olan Hilbert in bu sonuçları Schur tarafından geliştirdi ve (Hardy vd., 1952) integral durumu için bu sonuçlar genişletildi. Bu sonuçlar L 2 ve l 2 uzayları ile sınırlı kaldı yılında ise Marcel iesz tarafından Hilbert dönüşümünün aynı aralıktaki p için L p üzerinde bir sınırlı operatör olduğunu, 1 p için L p içinde u için tanımlanabilir ve benzer olabileceği ispatlandı. Hilbert çember dönüşümünün yanı sıra ayrık Hilbert (iesz, 1928) dönüşümü içinde sonuçlar aynıdır. Singüler integrallerin Hilbert dönüşümü (Calderón ve Zygmund, 1952) kendi çalışmaları sırasında Antoni Zygmund ve Alberto Calderón için etkileyici bir örnek oldu. Onların araştırmaları, modern harmonik analizde temel bir rol oynamıştır. Hilbert in bilineer ve trilineer gibi çeşitli genellemeleri bugün Hilbert dönüşümünün hala aktif araştırma alanlarıdır. f fonksiyonunun Hilbert dönüşümü, h(x) = 1/(πx) fonksiyonu ile f fonksiyonunun evrişimi olarak düşünülebilir. Çünkü h yakınsak olmayan evrişim tanımlayan integraller integrallenebilir değildir. Bunun yerine, Hilbert dönüşümü Cauchy esas değeri kullanılarak tanımlanır (burada p.v. ile gösterilir). Açıkça, bir fonksiyonun Hilbert dönüşümü f tarafından şöyle verilir: f L p ( n ), 1 p < olsun. Bu durumda f fonksiyonunun Hf Hilbert dönüşümü, Hf(x) = p.v. 1 f(y) 1 f(y) dy = lim π x y ε π x y dy x y ε şeklinde tanımlanır. Eğer f L p ( n ), 1 p < ise bu durumda f fonksiyonunun iesz dönüşümü şeklinde tanımlanır. j f(x) = p.v.c n n x j y j f(y)dy, 1 j n x y n+1 iesz dönüşümü, Hilbert dönüşümünün bir buyuttan n boyuta genelleştirmesidir. iesz dönüşümü, ikinci boyutta eliptik denklemlerin çözümlerinin düzgünlüğü çalışmalarında ortaya çıkmaktadır (Pandey, 1966; Schwartz, 195; Torchinsky, 1986; Zygmund, 1968). 25

35 3 BANACH FONKSİYON UZAYLAI Banach fonksiyon uzayları ölçülebilir fonksiyonların Banach uzaylarıdır. Öyle ki burada Banach fonksiyon normu, uygun bir şekilde tanımlanan ölçüye bağlıdır. Bu da fonksiyonel-analitik ve ölçü-teorik teknikler arasında faydalı bir ilişkiye imkan sağlar. Banach fonksiyon uzayları teorisi Lebesgue, Orlicz ve Morrey uzayları ve onların çeşitli modifikasyonları dahil olmak üzere fonksiyon uzaylarının ölçüleri ile ilgili birçok önemli özelliği içeren bir yapıdır. Lorentz uzayları ve Lorentz uzaylarının çok önemli bir sınıfını ve ayrıca yeniden düzenleme altında değişmez kalan uzayları da kapsamaktadır. Bu tez boyunca (, µ) ikilisi ile bir σ-sonlu ölçü uzayı gösterilmiştir. Yani, n N, µ( n ) < olmak üzere = n=1 n olacak şekilde bir { n } n=1 mevcuttur. Ayrıca tezde kullanılan bazı notasyonlar aşağıdaki gibidir; (, µ), σ-sonlu atomik olmayan bir ölçü uzayıdır. M(, µ), üzerindeki bütün ölçülebilir reel fonksiyonların kümesidir. M (, µ), hemen her yerde sonlu olan M(, µ) kümesindeki fonksiyonların sınıfıdır. M + (, µ), negatif olmayan fonksiyonların oluşturduğu M (, µ) sınıfının alt kümesidir. bir (a, b) aralığı, µ de bir boyutlu Lebesgue ölçüsü olduğunda M + (a, b) gösterimi tercih edilmiştir. χ E, nin bir ölçülebilir E kümesinin karakteristik fonksiyonudur. 3.1 Banach Fonksiyon Uzayları Bu kısımda Banach fonksiyon uzaylarının tanımı ve bazı özellikleri verilmiştir. Uyarı H.h.y µ için herhangi iki fonksiyon tanımlanmış olsun. Doğal vektör uzayı işlemleri M üzerinde (M nin bütünü üzerinde olmamasına rağmen) iyi tanımlıdır. M, sonlu ölçünün kümeleri üzerinde ölçüdeki yakınsamanın topolojisi olarak verildiğinde metriklenebilir topolojik vektör uzayı olur. n N ve S n = için µ(s n ) < n N 26

36 olacak şekildeki kümelerin parçalanışı S n olmak üzere bu uzaya karşılık gelen metriklerden biri aşağıdaki gibidir; d(f, g) := 2 n n=1 S n f(x)g(x) 1 + f(x) g(x) dµ(x). Ayrıca, (M, d) metrik uzayı tamdır (Pick vd., 212). Tanım (Banach Fonksiyon Normu) Eğer f, g M +, {f n } n=1 M +, λ ve ölçülebilir E kümesi için (P1) ϱ(f) = f = h.h.y µ; ϱ(λf) = λϱ(f); ϱ(f + g) ϱ(f) + ϱ(g) (P2) g f h.h.y µ ϱ(g) ϱ(f) (latis özelliği) (P3) f n f h.h.y µ ϱ(f n ) ϱ(f) (Fatou özelliği) (P4) µ(e) < ϱ(χ E ) < (P5) µ(e) < fdµ C E ϱ(f) E özellikleri bir C E (, ) sabiti ve tüm f fonksiyonları için sağlanıyorsa, ϱ : M + [, ] fonksiyoneline bir Banach fonksiyon normu denir (Pick vd., 212; Megan vd., 23). Tanım (Banach Fonksiyon Uzayı) ϱ, bir Banach fonksiyon normu olsun. kümesindeki ϱ( f ) < özelliğine sahip fonksiyonların X = X(ϱ) kümesine Banach fonksiyon uzayı denir ve f X için şeklinde tanımlanır (Pick vd., 212; Megan vd., 23). M f X := ϱ( f ) (3.1) Uyarı f X fonksiyoneli, f M için tanımlanmış olduğu halde sonsuz olabilir. (Pick vd., 212). f X, X = X(ϱ) f X < Tanım (Basit Fonksiyon) Eğer (, µ) ölçü uzayı üzerinde reel değerli bir s fonksiyonu sonlu ölçüye sahip ölçülebilir kümelerinin karakteristik fonksiyonlarının sonlu bir lineer kombinasyonuysa µ-basit fonksiyon olarak adlandırılır. Eğer bir m N mevcutsa, reel sayıların sonlu bir dizisi {a 1,..., a m } ve sonlu ölçünün µ-ölçülebilir alt kümelerin parçalanışının sonlu bir dizisi {E 1,..., E m } ise a j, x E j, j = 1,..., m s(x) =, x \ m E j. Bütün µ-basit fonksiyonların kümesini S ile gösterilecektir (Pick vd., 212). 27 j=1

37 Teorem X, ϱ Banach fonksiyon normu tarafından üretilen bir Banach fonksiyon uzayı olsun. O halde (X, X ) bir normlu lineer uzaydır. Ayrıca, (Bennett ve Sharpley, 1988; Pick, 199). S X M (3.2) İspat. µ bir σ-sonlu ölçü olduğunda lokal integrallenebilir fonksiyonlar h.h.y µ sonludur. Dolayısıyla, X M olur. X normunun Tanım deki (P5) özelliğinden, X uzayındaki bütün fonksiyonlar üzerinde lokal integrallenebilirdir. Bu şekilde, M bir vektör uzayı olduğunda X uzayı da vektör uzayıdır. Aynı zamanda (P1) özelliğinden de X, bir normlu uzaydır. (P4) özelliğinden, her E kümesi için µ(e) < olmak üzere χ E olur. Sonuç olarak, X uzayının lineerliğinden S X elde edilir. X Şimdi X M gömmesinin sürekli olduğunu gösterelim. Kabul edelimki X uzayında bir {f n } n=1 için f n f yakınsaması sağlanıyor olsun. O halde (3.1) denkleminden, lim ϱ( f n f ) =. n Verilen ε > için µ(e) < olacak şekilde en az bir E var olsun. (P5) özelliğinden, n boyutundan bağımsız olan C E sabiti için, n iken sıfıra yakınsayan µ{x E : f(x) f n (x) > ε} 1 f f n dµ C E ε ε ϱ( f f n ) eşitsizliği elde edilir. f n f, yani M üzerindeki f n f olur. E Bundan dolayı, sonlu ölçünün her bir kümesi üzerinde ölçüdeki Lemma (Banach fonksiyon uzayları için Fatou lemma) X, bir Banach fonksiyon uzayı olsun. Kabul edelimki, f n X, n N ve bazı f M olmak üzere h.h.y µ için f n f ve ayrıca lim inf n f n X < olsun. O halde f X ve olur (Pick vd., 212). f X lim inf n f n X İspat. Bir g n (x) := inf m n f m(x) ile gösterilsin. O halde h.h.y µ, g n f. 28

38 Bu nedenle (P2) ve (P3) özelliklerinden, f X = lim n g n X lim n inf m n f m X = lim inf n f n X < eşitsizliği elde edilir. Dolayısıyla ve f X f X lim inf n f n X. Teorem (iesz-fischer) Her Banach fonksiyon uzayı iesz-fischer özelliğine sahiptir (Pick vd., 212). İspat. X bir Banach fonksiyon uzayı olsun. Kabul edelimki, {f n } n=1 X ve f n X < (3.3) n=1 olsun. n N için ve şeklinde gösterelim. n g n := f k k=1 g := f n, g n g n=1 n g n X f k X f n X, k=1 n=1 n N olduğunda, (3.3) denklemi ve Lemma den g X olur. (3.2) deki X M gömmesi ve Uyarı den görüldüğü üzere h.h.y µ için f n (x) serisi noktasal yakınsar ve dolayısıyla bu seri, f n (x) olur. n=1 f := şeklinde gösterilmek üzere n=1 f n n=1 n h n = f k, k=1 n N 29

39 ise o halde h.h.y µ için h n f olur. Bu nedenle, m N için elde edilir. Ayrıca, n, h.h.y µ, (h n h m ) (f h m ) lim inf h n h m X lim inf n n n k=m+1 f k X = k=m+1 f k X eşitsizliği (3.3) denkleminden dolayı m olduğunda sıfıra yakınsar. Lemma den f h m X elde edilir. Ayrıca, Bu nedenle, f X, lim f h m X = m olur. Bu da m N için olmasını gerektirir. m alındığında ise f X eşitsizliği elde edilir. f X f h m X + h m X m f h m X + f k X k=1 f n X (3.4) Sonuç Her Banach fonksiyon uzayı tamdır (Pick vd., 212). İspat. Bu, Teorem ve Teorem un yakın bir sonucudur. n=1 Şimdi, Banach fonksiyon uzaylarının temel özelliklerini özetleyen bir uyarı verelim. Uyarı X, ϱ Banach fonksiyon normu tarafından üretilen bir Banach fonksiyon uzayı olsun. Kabul edelimki f X için f X = ϱ( f ) olsun. Bu durumda (X, X ), bir Banach uzayıdır. n N olmak üzere f, g, f n M için ve bütün E ölçülebilir alt kümeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır; (i) (Latis özelliği) h.h.y µ için ve ve g f f X g X g X f X. 3

40 (ii) Kabul edelimki f M olsun. f X f X ve f X = f X. (iii) (Fatou özelliği) Kabul edelimki f n X, f n, n N ve h.h.y µ için f n f olsun. O halde, f X f n X f X ve f X f n. (iv) (Fatou lemma) Kabul edelimki f n X, n N, f n h.h.y f ve lim inf n f n X < olsun. O halde, ve f X f X lim inf n f n X. (v) X uzayı bütün basit fonksiyonların S kümesini içerir. (vi) Sonlu ölçüye sahip her bir E kümesine karşılık gelen yalnızca E kümesine bağlı pozitif bir C E sabiti vardır öyle ki her f X için f dµ C E f X. (vii) X, f n f sonlu ölçüye sahip bütün kümeler üzerinde f n E µ f. Ayrıca, hemen her yerde f fonksiyonuna noktasal yakınsak olan bir {f n } n=1 alt dizisi vardır (Pick vd., 212). Teorem X ve Y aynı ölçü uzayı üzerinde iki Banach fonksiyon uzayı ve X Y olsun. O halde X Y olur (Pick 199; Pick vd., 212). İspat. Kabul edelimki X Y gömmesi sağlanıyor olmasın. O halde X üzerinde f n için fonksiyonların bir {f n } n=1 vardır öyle ki f n X 1, f n Y > n 3, n N. Teorem den, f n serisi X deki bir f X fonksiyonuna yakınsar. X Y hipotezinden dolayı f Y dir. Ayrıca, n 2 f n f ve n N için f Y n 2 f n Y > n2 n olduğundan, f Y ile bir çelişki elde edilerek ispat tamamlanmış olur. 31

41 Örnek (i) 1 p olsun. L p (Ω) Lebesgue uzayı bir Banach fonksiyon uzayıdır. (ii) 1 p ve ω da Ω üzerinde bir ağırlık olsun. Ağırlıklı Lebesgue uzayı L p (Ω, ω) bir Banach fonksiyon uzayıdır. (iii) Φ, Young fonksiyonu olsun. Orlicz uzayı L Φ (Ω) bir Banach fonksiyon uzayıdır. (iv) λ ve p (1, ) olsun. Morrey uzayı L p,λ M (Ω) bir Banach fonksiyon uzayıdır. (v) λ ve p (1, ) olsun. Campanato uzayı L p,λ (Ω) bir Banach fonksiyon uzayı değildir. (Pick vd., 212) C 3.2 İlişik Uzay Bu bölümde, 1 p olmak üzere L p ve L p Lebesgue uzayları arasındaki duallik model alınarak verilen bir Banach fonksiyon uzayının ilişik uzayı araştırılmıştır. Tanım ϱ, bir Banach fonksiyon normu olsun. M + üzerinde ϱ (g) := sup fgdµ : f M +, ϱ(f) 1, g M+ (3.5) ile tanımlanan ϱ fonksiyoneline ϱ normunun ilişik normu denir (Pick vd., 212). Teorem ϱ bir Banach fonksiyon normu olsun. ϱ da bir Banach fonksiyon normudur (Pick vd., 212). İspat. Kabul edelimki ϱ(f) 1 olsun. O halde (3.2) denkleminden h.h.y µ için f(x) < eşitsizliği sağlanır. Eğer h.h.y µ için g = ise fgdµ =. Dolayısıyla, (3.5) denkleminden, ϱ (g) = olur. Eğer ϱ (g) = ise ϱ(f) 1 olacak şekilde bütün f M + için fgdµ =. Eğer < µ(e) < aralığıyla verilen E bir µ-ölçülebilir küme ise bu durumda ϱ normunun (Pl) ve (P4) özelliklerinden < ϱ(χ E ) <. Bu da f := χ E /ϱ(χ E ) fonksiyonu için ϱ(f) = 1 eşitliğini sağlar. Dolayısıyla, ϱ(χ E ) 1 gdµ = fgdµ =. E 32