FONKSĠYON DĠZĠLERĠNĠN ĠDEAL Eġ YAKINSAKLIĞI. Samet BEKAR

Transkript

1 T.C. ORDU ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ FONKSĠYON DĠZĠLERĠNĠN ĠDEAL Eġ YAKNSAKLĞ Samet BEKAR YÜKSEK LĠSANS ORDU 2018

2

3

4 ÖZET FONKSİYON DİZİLERİNİN İDEAL EŞ YAKNSAKLĞ Samet BEKAR Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2018 Yüksek Lisans Tezi, 72s. Danışman: Doç. Dr. Cemal BELEN Bu tez, fonksiyon dizilerinin ideal eş yakınsaklığı kavramına ilişkin son yıllarda elde edilmiş sonuçları içeren bir derleme çalışmasıdır. Tezin ilk bölümü giriş bölümü olup bu bölüm tez konusunun bir literatür özeti ile tezin amacını içermektedir. İkinci bölümde ideal, ideal yakınsaklık ve kardinal sayılar kavramları ile küme teorisi modelleri hakkında temel gösterimler, tanımlar ve sonuçlar sunulmuştur. Üçüncü bölümde ise fonksiyon dizilerinin ideal eş yakınsaklığı, süzgeç eş yakınsaklığı, ideal noktasal yakınsaklığı, ideal düzgün yakınsaklığı gibi kavramlar ele alınmış ve bunlar arasındaki çeşitli ilişkiler incelenmiştir. Tezin son bölümünde ise tüm çalışmaya ait sonuçlar ve öneriler yer almaktadır. Anahtar Kelimeler: İdeal, İdeal yakınsaklık, İdeal eş yakınsaklık, Süzgeç eş yakınsaklık, Kardinal sayılar, Sınırlama sayısı.

5 ABSTRACT DEAL EQUAL CONVERGENCE OF SEQUENCES OF FUNCTONS Samet BEKAR Ordu University nstitute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Biology, 2018 MSc. Thesis, 72p. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Cemal BELEN This work is a compilation thesis including the recent results related to the concept of ideal equal convergence of sequences of functions. The first chapter of the thesis is introduction chapter and it contains a brief overwiew of the study and the main purpose of the thesis. n the second chapter we present basic notations, definitions and results related to the concepts of ideal, ideal convergence and cardinal numbers and also some models of set theory. n the third chapter we consider some concepts such as ideal equal convergence, filter equal convergence, ideal pointwise convergence and ideal uniform convergence of sequences of functions. We also examine some relations between these concepts. n the final chapter we present some conclusions and recommendations of the whole work. Key Words: deal, deal convergence, deal equal convergence, Filter equal convergence, Cardinal numbers, Bounding number.

6 TEŞEKKÜR Bu tez çalışmasının belirlenmesi ve hazırlanması esnasında ilgisini hiç eksik etmeyen, bilgi ve tecrübesiyle her konuda destek olan ve bir dost gibi davranan değerli hocam Doç. Dr. Cemal BELEN e teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca her zaman başarılı olacağıma inanan ve daima yanımda olan aileme teşekkürlerimi sunarım. V

7 İÇİNDEKİLER TEZ BİLDİRİMİ ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR V SİMGELER VE KSALTMALAR V 1. GİRİŞ 1 2. GENEL BİLGİLER İdeal ve İdeal Yakınsaklık Küme Teorisi, Ordinal ve Kardinal Sayılar İDEAL EŞ YAKNSAKLK Fonksiyon dizilerinin -eş yakınsaklığı Fonksiyon dizilerinin (,J )-eş yakınsaklığı noktasal ve (,J )-eş yakınsaklığın karşılaştırılması SONUÇ VE ÖNERİLER 68 KAYNAKLAR 69 V

8 SİMGELER VE KSALTMALAR N R P (X) F () Fin (X) χ A AP -ideal ZF C Doğal sayılar kümesi Reel sayılar kümesi X kümesinin kuvvet kümesi idealinin ürettiği süzgeç X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin kümesi A kümesinin karekteristik fonksiyonu Toplamsallık özelliğine sahip bir ideal Zermelo-Fraenkel ve Seçme aksiyomlarını kabul eden kümeler kuramı p p önermesinin değili c b ℵ 0 Reel sayılar kümesinin kardinalitesi Sınırlama sayısı olarak adlandırılan kardinal Sayılabilir kümenin kardinalitesi f n -e f f n -e f (f n ) dizisinin f fonksiyonuna ideal eş yakınsak olması (f n ) dizisinin f fonksiyonuna süzgeç eş yakınsak olması V

9 1. GİRİŞ Klasik anlamda yakınsaklıkta yakınsak olan bir dizinin limitinin herhangi bir komşuluğu dışında kalan terimlerinin sayısı sonludur. Dolayısıyla bu indislerden oluşan kümenin sonlu olması sebebiyle dikkate değer bir özelliği bulunmaz. Ancak bir çok kez matematiğin kapsamındaki bazı araştırmalarda öyle yakınsak olmayan dizilerle karşılaşırız ki bu dizilerin hemen hemen bütün terimleri (belirli bir anlamda) yakınsak bir dizinin özelliklerine sahiptir. Buna göre yakınsaklık kavramı üzerine çalışıldığında, amacımıza uygun olarak daha fazla diziyi ele almak gerekebilir ve bunun da bir yolu doğal sayılar kümesinin belirli bir anlamda daha büyük bir alt kümesine kısıtlandığında yakınsak olan dizileri seçmektir. Örneğin, büyük kümeden kasıt doğal sayılar kümesinin sonlu olmayan bir alt kümesi ise bilinen yakınsaklık kavramı ortaya çıkar. Eğer büyük kümeden kasıt doğal sayılar kümesinin asimptotik yoğunluğu sıfır olmayan bir alt kümesi ise o zaman istatistiksel yakınsaklık fikri ortaya çıkar. Alışılmış yakınsaklığın bir genelleşmesi özelliğine sahip olup matematiğin birçok alanında önemli uygulamaları barındıran dizilerin istatistiksel yakınsaklığı fikri genellikle Steinhaus a (1951) ve Fast a (1951) atfedilse de bu kavram ilk olarak birinci baskısı 1935 yılında Zygmund tarafından yazılan Trigonometric Series isimli kitapta hemem hemen yakınsaklık adı altında çalışılmıştır. Diğer taraftan, Furstenberg (1981) tarafından ele alınan monografide bu kavramın ilk kez 1932 yılında Koopman ve von Neumann tarafından yoğunluğa göre yakınsaklık ismiyle çalışıldığı belirtilmektedir. Bir kümenin tüm alt kümelerinin bir alt ailesi olup kalıtsallık özelliğine ve kümelerde birleşim işlemine göre kapalılık özelliğine sahip olan bir aileye ideal denir., N doğal sayılar kümesi üzerinde tüm tek nokta kümelerini bulunduran bir ideal (uygun ideal) ve (x n ) bir reel sayı dizisi olmak üzere (x n ) dizisinin bir x reel sayısının her ε-komşuluğu dışında bulunan tüm terimlerine ait indislerin kümesi idealine ait ise (x n ) dizisi x sayısına ideal yakınsaktır veya kısaca -yakınsaktır denir. Hem klasik anlamda yakınsaklığın hem de istatistiksel yakınsaklığın genel bir hali olan ideal yakınsaklık kavramı, Cartan (1937) tarafından tanımlanan süzgeç yakınsaklık kavramına denktir. Buna rağmen, son yıllarda bir çok yazar Kostyrko ve ark. (2000) tarafından ilk kez kapsamlı olarak incelenen ideal yakınsaklık kavramını kullanmayı tercih etmiştir. Bu konuda matematikçiler daha çok klasik anlamda yakınsaklık kullanılarak elde edilen sonuçları ideal yakınsaklık kullanarak genelleştirmeyi hedeflemişlerdir. Császár ve Laczkovich (1975) fonksiyon dizilerinin eş yakınsaklığı kavramını tanımlamıştır. 1

10 Bukovská (1991) bu kavramı quasi-normal yakınsaklık adı altında çalışmıştır. Császár ve Laczkovich (1975) reel değerli her fonksiyon dizisi için eş yakınsaklığın düzgün yakınsaklıktan daha zayıf olduğunu ve noktasal yakınsaklıktan daha kuvvetli olduğunu göstermiştir. Das ve Dutta (2013) ve Das ve ark. (2014), N üzerindeki bir uygun idealini kullanarak fonksiyon dizilerinin ideal eş yakınsaklığını (kısaca -eş yakınsaklığını) ve süzgeç eş yakınsaklığını (kısaca -eş yakınsaklığını) tanımlamışlardır ve bu yakınsaklık tiplerinin bazı özelliklerini incelemişlerdir. X boş olmayan bir küme, f n (n N) ve f, X kümesi üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olsun. Eğer her x X için {n N : f n (x) f (x) ε n } olacak şekilde sıfıra -yakınsak olan pozitif reel sayıların bir (ε n ) dizisi varsa (f n ) dizisi f fonksiyonuna X kümesi üzerinde -eş yakınsaktır denir. İdeal eş yakınsaklık tanımındaki (ε n ) dizisini bir sıfır dizisi alarak, Filipów ve Szuca (2012) -eş yakınsaklığı farklı bir biçimde tanımlamışlardır. Filipów ve Staniszewski (2014), N üzerindeki iki farklı ve J ideallerini kullanarak hem Das ve ark. (2014) tarafından hem de Filipów ve Szuca (2012) tarafından verilen ideal eş yakınsaklık kavramını kapsayacak şekilde daha genel bir tanım elde etmişlerdir ve bunu (,J )-eş yakınsaklık olarak ifade etmişlerdir. Üstelik aynı çalışmada hem ve J idealleri hem de X kümesinin üzerine çeşitli koşullar konularak yakınsaklık tipleri arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Filipów ve Staniszewski (2015) diğer bir çalışmasında ise ideal noktasal yakınsaklığın ideal eş yakınsaklığı gerektirmediği zaman bir karekterizasyon ispatlamışlardır ve bu karekterizasyon sınırlama sayısı olarak bilinen b sayısı ile ilişkili olan bir kardinal katsayısı aracılığıyla verilmiştir. Bu yüksek lisans tezi fonksiyon dizilerinin ideal eş yakınsaklığına ilişkin yukarıda belirtilen çalışmaları detaylı bir şekilde ele alan bir derleme çalışmasıdır. 2

11 2. GENEL BİLGİLER Bu bölümde ilk olarak ideal tanımına, örneklerine ve ideal yakınsaklık kavramına değinilecektir. Sonrasında ise tezde kullanılan çeşitli küme teorisi sistemlerinden, aksiyomlarından ve ayrıca ordinal ve kardinal sayı kavramlarından bahsedilecektir. 2.1 İdeal ve İdeal Yakınsaklık Tanım X bir küme ve P (X), X in tüm alt kümelerinin kümesi olsun. Bir P (X) sınıfı için (i) (ii) A, B iken A B (iii) A ve B A iken B koşulları sağlanırsa bu durumda ya X de bir ideal denir. Eğer X / ise veya denk olarak P (X) ise ya aşikar olmayan (veya öz) ideal denir (Kuratowski, 1958, syf. 34). Tanım X bir küme olsun. Eğer X in alt kümelerinin boş kümeden farklı bir F P (X) sınıfı aşağıdaki koşulları sağlıyor ise F ye X de bir süzgeç denir: (i) / F (ii) A, B F iken A B F (iii) A F ve A B ise B F (Cartan, 1937). Lemma X bir küme ve, X üzerinde aşikar olmayan bir ideal olsun. Bu durumda F () = {M X : A için M = X \ A} kümesi X üzerinde bir süzgeçtir. F () ya ile üretilen süzgeç denir (Kostyrko ve ark., 2000). Tanım 2.1.3, X üzerinde aşikar olmayan bir ideal olsun. Eğer her x X için {x} oluyorsa ya bir uygun (admissible) ideal denir (Kostyrko ve ark., 2000). Tanım P (N) aşikar olmayan bir ideal ve (x n ) bir reel sayı dizisi olsun. Eğer her ε > 0 için {n N : x n L ε} ise bu durumda (x n ) dizisi L sayısına ideal yakınsaktır (veya -yakınsaktır) denir ve -lim x n = L veya x n L şeklinde yazılır. L sayısına (x n ) dizisinin -limiti denir (Kostyrko ve ark., 2000). 3

12 Uyarı uygun bir ideal ve lim x n = L olsun. Bu durumda {n N : x n L ε} n kümesi sonlu yani en az bir n 0 N için en fazla {1, 2,..., n 0 } biçiminde bir küme olduğundan idealine aittir. Böylece - lim x n = L dir. O halde yakınsak bir dizi n ideal yakınsaktır. Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Örneğin, A sonsuz bir küme olmak üzere { 1, n A x n = 0, n / A şeklinde tanımlı (x n ) dizisini ele alalım. Bu durumda eğer ε 1 ise {n N : x n ε} = A ve ε > 1 ise {n N : x n ε} = olacağından - lim n x n = 0 dır. Ancak (x n ) dizisi yakınsak değildir. Örnek f, N nin tüm sonlu alt kümelerinin ailesi olsun. Bu durumda f bir uygun idealdir ve f -yakınsaklık bilinen anlamdaki yakınsaklıktır. (Kostyrko ve ark., 2000). Örnek A N, χ A (k), A nın karekteristik fonksiyonu ve d n (A) = 1 n n k=1 χ A (k) olsun. d (A) = lim inf d n (A) ve d (A) = lim sup d n (A) n sayılarına sırasıyla A kümesinin alt ve üst asimptotik yoğunluğu denir. Eğer d(a) = d (A) ise A kümesi yoğunluğa sahiptir denir ve d (A) =d(a) sayısına A kümesinin asimptotik veya doğal yoğunluğu denir. d yoğunluğu d ( ) = 0, A B ise d (A) d (B), d (A B) n d (A) + d (B) ve d (N \ A) = 1 d (A) özelliklerine sahiptir. Buna göre d = {A N : d(a) = 0} ailesi N de uygun bir ideal olup d -yakınsaklık istatistiksel yakınsaklık olur (Kostyrko ve ark., 2000). Örnek { j N : j N} ailesi N nin bir ayrışımı yani N = j=1 j ve i j için i j = olsun (örneğin, j = {2 j 1 (2s 1) : s N} alınabilir). Buna göre = {A N : sonlu sayıda j için A j } ailesi N de bir uygun idealdir (Kostyrko ve ark., 2000). Tanım Eğer her ε > 0 sayısı için {n N : x n ε} veya {n N : x n ε} ise (x n ) reel sayı dizisi sırasıyla sonsuza veya eksi sonsuza -ıraksaktır denir ve bu durum sırasıyla -lim x n = + ve -lim x n = ile gösterilir (Lahiri ve Das, 2003). 4

13 Örnek f bir uygun ideal ve A sonsuz bir küme olmak üzere { 1, n A x n = n, n / A şeklinde tanımlı (x n ) dizisi için -lim x n = + dur. Tanım uygun bir ideal olsun. Eğer lim k x mk = ξ olacak şekilde bir M = {m 1 < m 2 <... < m k <...} F() kümesi mevcut ise x = (x n ) dizisi ξ ye -yakınsaktır denir. Bu durumu ifade etmek için kısaca -lim x n = ξ yazılır (Kostyrko ve ark., 2000). Teorem uygun bir ideal olsun. -lim x n = ξ ise -lim x n = ξ dir (Kostyrko ve ark., 2000). Aşağıdaki örnek bu teoremin tersinin doğru olmadığını gösterir. Örnek ideali Örnek deki ideal olsun. x = (x n) dizisini, n j için x n = 1 j (j = 1, 2,...) şeklinde tanımlayalım. Bu durumda -lim x n = 0 dır. Ancak -lim x n 0 dır. Gerçekten, eğer -lim x n = 0 olduğunu kabul edersek lim x m = 0 (2.1.1) m,m M olacak şekilde bir M F() vardır. H olmak üzere M kümesini M = N\H biçiminde yazabiliriz. idealinin tanımına göre H 1 2 p olacak biçimde p N vardır. Bu durumda p+1 M olup sonsuz çoklukta m M için x m = 1 p+1 olur ki bu (2.1.1) ile çelişir (Kostyrko ve ark., 2000). Tanım Terimleri aralarında ayrık ve idealine ait her (A i ) dizisi için A i B i = (A i \ B i ) (B i \ A i ) simetrik farkı sonlu bir küme ve i=1 B i olacak biçimde B i N kümeleri varsa P (N) uygun ideali (AP ) koşulunu sağlar denir (Kostyrko ve ark., 2000). Teorem ideali (AP ) özelliğine sahip olduğunda -yakınsaklık ve -yakınsaklık kavramları denktir (Kostyrko ve ark., 2000). Tanım (AP ) özelliğinde A i kümelerinin ayrık olma şartını kaldırınca elde edilen özelliğe (AP ) adı verilir (Kostyrko ve ark., 2000). 5

14 Tanım N de bir ideal olsun. Eğer ya ait kümelerin her (A n ) dizisi ve her n N için A n \ A sonlu olacak şekilde bir A varsa idealine bir P -idealdir denir (Balcerzak ve ark., 2007). Teorem P (N) uygun bir ideal olsun. Aşağıdakiler denktir: (i) bir P -idealdir. (ii) ideali (AP ) özelliğini sağlar. (iii) ideali (AP ) özelliğini sağlar (Balcerzak ve ark., 2007). Tanım , X üzerinde bir aşikar olmayan ideal, yani P (X) olsun. Eğer idealini kapsayan X üzerinde tanımlı aşikar olmayan bir ideal yoksa idealine maksimal ideal denir. N üzerinde tanımlı uygun bir idealin maksimal olması için gerek ve yeter şart her A N için A veya N\A olmasıdır. Bu sonuç herhangi bir X kümesi üzerinde tanımlı bir uygun ideali için de geçerlidir. (Kostyrko ve ark., 2005). 2.2 Küme Teorisi, Ordinal ve Kardinal Sayılar Bu kısımda ilk olarak kümeler teorisi hakkında bir kısa literatür özeti verilecek daha sonra ise tezde kullanılan sıralama bağıntıları, ordinal ve kardinal sayı kavramları hakkındaki temel bilgilere yer verilecektir. Geometrinin temel sonuçlarının Euclid tarafından verilen aksiyomlara dayanması gibi Küme Teorisi nin de aksiyomatik olarak kurulması gereği anlaşıldıktan sonra, ilk aksiyomatik küme kuramı modeli 1908 yılında Alman matematikçi Ernst Zermelo tarafından verilmiştir (Ergun, 2006). Adolf Fraenkel ise bu kuramı daha tutarlı hale getirmek için iki yeni aksiyom keşfetmiştir ve günümüzde Zermelo-Fraenkel ya da kısaca ZF modeli denilen kümeler kuramı modeli ortaya çıkmıştır. Bu model dokuz temel aksiyoma dayanır. Diğer taraftan Boş olmayan kümelerden oluşan boş olmayan bir ailenin kartezyen çarpımı boş değildir şeklinde ifade edilen ve Seçme Aksiyomu (kısaca C) olarak bilinen özellik Zermelo tarafından 1904 yılında ifade edildi. Zermelo bu aksiyomdan yararlanarak ifadesi Her küme iyi sıralanabilirdir şeklinde olan İyi Sıralama Teoremi ni ispatladı. ZF kümeler kuramına seçme aksiyomunun da eklenmesiyle elde edilen kurama ya da sisteme ZFC kümeler kuramı denir yılında Kurt Gödel, eğer ZF çelişkisiz bir sistem ise ZFC nin de çelişkisiz bir sistem olduğunu, 1963 te Paul Cohen ise, seçme aksiyomunun kümeler kuramının diğer aksiyomlarından bağımsız olduğunu yani eğer ZF çelişkisiz bir sistem ise hem ZFC nin hem de ZF+( C) nin çelişkisiz sistemler olduğunu ispatlamıştır. Bu yüzden 6

15 bugün birçok matematikçi tarafından kabul edilen ve kullanılan kümeler kuramı sistemi ZFC sistemidir. Tanım X bir küme ve <, X üzerinde bir bağıntı olsun. Eğer (P 1 ) Hiçbir x X için x < x olamaz (P 2 ) x < y ve y < z ise x < z dir koşulları sağlanırsa < bağıntısına X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı, (X, <) ikilsine de bir kısmi sıralı küme denir. Eğer ek olarak (P 3 ) Her x, y X için ya x < y ya x = y ya da y < x oluyorsa (X, <) ikilisine bir tam sıralı veya lineer sıralı küme denir (Jech, 2003). Uyarı i) < bağıntısı bir kısmi (tam) sıralama bağıntısı ise bu durumda x y x < y veya x = y ile tanımlı bağıntısı da bir kısmi (tam) sıralama bağıntısı olur. Bu nedenle < bağıntısına kesin kısmi sıralama bağıntısı da denir. Her x X için x = x olduğundan o zaman (P 1 ) koşulu (P 1) : her x X için x x şeklinde değişir (yansıma özelliği). ii) X kümesi üzerinde (P 1) ve (P 2 ) özelliklerine sahip bir bağıntısına bir pre-sıralama veya quasi-sıralama bağıntısı denir (Jech, 2003). Tanım (X, <) bir tam sıralı küme olsun. Eğer X kümesinin boş olmayan her alt kümesinin < bağıntısına göre en küçük elemanı (minimumu) varsa, yani, a A, x A, a x ise < bağıntısına X üzerinde bir iyi sıralama bağıntısı, (X, <) ikilisine de bir iyi sıralı küme denir (Jech, 2003). Tanım α bir küme olsun. Eğer α nın her elemanı α nın bir alt kümesi ise ve α kümesi (elemanı olma) bağıntısı ile bir iyi sıralı küme ise α kümesine bir ordinal veya bir ordinal sayı denir (Jech, 2003). Tanıma göre β, γ α olmak üzere β < γ β γ 7

16 şeklinde tanımlı < bağıntısı α kümesi üzerinde bir iyi sıralama bağıntısıdır. Örneğin, 0 =, 1 = { } = {0}, 2 = {, { }} = {0, 1},... kümeleri birer ordinaldir. Genel olarak ω = N olmak üzere her n ω doğal sayısı bir ordinaldir. Bu ordinallere sonlu ordinaller denir. İlk sonsuz ordinal ise ω doğal sayılar kümesidir. Ordinallerin bazı özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir: 1) Bir ordinalin her elemanı da bir ordinaldir. 2) Tüm ordinallerin sınıfı (veya <) bağıntısı ile iyi sıralıdır. 3) α bir ordinal ise α + = α {α} = α + 1 kümesi de bir ordinaldir. Bu ordinale α ordinalinden sonra gelen ordinal denir. Ayrıca bir β ordinali için α = β + 1 ise α ya ardıl ordinal denir. Eğer α 0 ve α bir ardıl ordinal değil ise α = sup {β : β < α} şeklindedir ve bu durumda α ordinaline limit ordinal denir. Tanım X ve Y iki küme olsun. Eğer X kümesinden Y kümesine tanımlı birebir ve örten bir fonksiyon varsa o zaman X ve Y kümeleri arasında bir eşleme vardır denir ve bu durum X Y veya X = Y biçiminde gösterilir. bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. X kümesinin bağıntısına göre denklik sınıflarının kümesine ise X kümesinin kardinal sayısı, kardinalitesi veya kardinali denir ve X ile gösterilir. Buna göre X = Y X Y olur (Jech, 2003). Kardinal sayılar üzerinde X Y X den Y ye birebir bir fonksiyon vardır ve X < Y X Y ve X Y dir şeklinde sıralama bağıntıları tanımlanır. Not (i) En az bir n ω için X n ise X kümesine sonlu küme denir. X ω ise X kümesine sayılabilir sonsuz küme denir. Sonlu veya sayılabilir sonsuz olan bir X kümesine de sayılabilir küme denir. (ii) [0, 1] kapalı aralığı ile arasında bir eşleme bulunan kümelere sayılamayan küme denir. Örneğin; R sayılamayan sonsuz bir kümedir. 8

17 (iii) X Y ve Y X ise X = Y dir (Schröder-Bernstein Teoremi). (iv) X bir küme ve P (X) onun kuvvet kümesi ise X < P (X) dir (Cantor Teoremi). ZFC kümeler kuramında kardinal sayı tanımı ordinaller kullanılarak aşağıdaki gibi verilir. Tanım α bir ordinal olsun. Eğer her β < α için β α ise o zaman α ordinaline bir kardinal veya kardinal sayı denir (Jech, 2003). Her doğal sayı bir kardinaldir ve ω doğal sayılar kümesi bir kardinaldir. Fakat ω + = ω + 1 ordinali bir kardinal değildir. Çünkü, ω = {0, 1, 2,...} ve ω + 1 = {0, 1, 2,..., ω} ordinalleri için ω < ω +1 olup, f (0) = ω ve diğer n ω sayıları için f (n) = n 1 şeklinde tanımlı f : ω ω + 1 dönüşümü birebir ve örtendir. Yani ω ω + 1 dir. Uyarı Her X kümesi için X X olan tek kardinal X dir. Seçme aksiyomuna göre her küme iyi sıralanabilirdir ve bir α ordinaline eşleniktir. Eğer X α ise bu durumda X = min {β α : X β} mevcut ve tektir. O halde, X kümesinin kardinalitesi, X kümesi ile arasında eşleme bulunan ordinallerin en küçüğü olarak tanımlanır (Jech, 2003). Not (i) Her α kardinali için α kardinalinden büyük olan bir kardinal vardır. (ii) α kardinalinin ardılı α kardinalinden büyük olan en küçük kardinaldir ve α + ile gösterilir. (iii) ℵ 0 = ω 0 := ω dir. Kardinaller için ℵ α ve ordinaller için ω α gösterimi kullanılır. ℵ α+1 = ω α+1 = ℵ + α dır. Eğer α bir limit ordinal ise ℵ α = ω α = sup {ω β : β < α} dır. (iv) R nin kardinalitesi c (continuum) ile gösterilir. Tüm terimleri 0 veya 1 olan diziler kümesi {0, 1} N veya 2 N ile gösterilir ve buna Cantor uzayı denir. P (N) = 2 N = 2 ℵ 0 = c dir. N den N ye tüm fonksiyonların kümesi N N olmak üzere N N = c dir. (v) 2 ℵ 0 = c olduğundan Cantor teoremine göre ℵ 0 < c dir. Acaba, ℵ 0 < X < c olacak şekilde bir X küme var mıdır? Cantor böyle bir kümenin olmadığını yani ℵ 1 = c olduğunu tahmin etmiştir ancak bu iddiasını ispatlayamamıştır. Cantor un bu kestirimi Süreklilik Hipotezi (continuum hipotezi veya kısaca CH) olarak bilinir. Tıpkı, seçme aksiyomunda olduğu gibi Gödel, kümeler kuramının aksiyomları ile süreklilik hipotezinin çürütülemeyeceğini, Cohen ise süreklilik hipotezininin varlığını kabul eden ve etmeyen kümeler kuramlarının birbirlerinden farklı çelişkisiz sistemler olduğunu ispatlamıştır. 9

18 (vi) Eğer α bir X kümesine eşlenik (izomorfik) olan bir ordinal ise X kümesinin elemanları α ordinalinden küçük olan ordinaller ile (α nın elemanları ile) indekslenebilir. Yani X = {x β : β < α} şeklinde yazılır. Örneğin X sayılabilir bir küme ise X ω olduğundan X = {x n : n < ω} = {x n : n ω} şeklinde yazılır (Jech, 2003). 10

19 3. İDEAL EŞ YAKNSAKLK 3.1 Fonksiyon dizilerinin -eş yakınsaklığı Bu kısımda Das ve Chandra (2013), Das ve Dutta (2013) ve Das ve ark. (2014) tarafından yapılan çalışmalarda yer alan, boş olmayan bir küme üzerinde tanımlı fonksiyon dizilerinin -noktasal, -düzgün, -eş, -eş, -noktasal, -düzgün, -düzgün eş, -düzgün ayrık ve -kuvvetli düzgün eş yakınsaklığı kavramları verilecek ve bu kavramlar arasındaki ilişkiler ele alınacaktır. Ayrıca -hemen hemen düzgün eş yakınsaklık kavramını içeren bir Egorov tipi teorem ispatlanacaktır. Tanım 3.1.1, N de uygun bir ideal, X bir küme, f ve f n (n N) X üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olsun. (i) Eğer her x X için f n (x) f(x) oluyorsa, yani her x X ve her ε > 0 için en az bir A var öyleki her n / A için f n (x) f(x) < ε oluyorsa veya denk olarak her x X ve her ε > 0 için {n N : f n (x) f (x) ε} ise (f n ) dizisi f fonksiyonuna -noktasal yakınsaktır denir ve bu durum f n f ile gösterilir. (ii) Eğer her ε > 0 için en az bir A var öyleki her n / A ve her x X için f n (x) f(x) < ε oluyorsa (f n ) dizisi f fonksiyonuna X kümesi üzerinde -düzgün yakınsaktır denir ve bu durum f n -u f ile gösterilir. (Gezer ve Karakuş, 2005; Balcerzak ve ark., 2007). Tanıma göre f n -u f = f n f ve olduğu açıktır. f sup f n (x) f(x) 0 (3.1.1) f n -u x X Ayrıca alışılmış anlamdaki düzgün yakınsaklık -düzgün yakınsaklığı gerektirir (Balcerzak ve ark., 2007). Uyarı Sürekli fonksiyonlar dizisinin -düzgün limiti süreklidir (Balcerzak ve ark., 2007). Tanım X bir küme, f ve f n (n N) X üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olsun. Eğer lim n ε n = 0 olacak şekilde pozitif reel sayıların bir (ε n ) dizisi ve her x X e karşılık n > n 0 iken f n (x) f (x) < ε n olacak biçimde bir n 0 = n 0 (x) sayısı varsa, veya denk olarak her x X için {n N : f n (x) f (x) ε n } kümesi sonlu ise 11

20 (f n ) dizisi f fonksiyonuna eş (equal) yakınsaktır denir ve bu durum kısaca f n e f ile gösterilir (Császár ve Laczkovich, 1975). Bu tanım Das ve Chandra (2013) tarafından ideal kullanılarak şu şekilde genelleştirilmiştir: Tanım P (N) uygun bir ideal, f n ve f bir X R kümesi üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olsun. Eğer her x X için {n N : f n (x) f (x) ε n } olacak şekilde sıfıra -yakınsak olan pozitif reel sayıların bir (ε n ) dizisi varsa (f n ) dizisi f fonksiyonuna X kümesi üzerinde ideal eş yakınsaktır veya kısaca -eş yakınsaktır denir ve bu durum f n -e f ile gösterilir (Das ve Chandra, 2013; Das ve ark. 2014). Bu tanım şu şekilde de yazılabilir: f n -e f (X üzerinde) -lim n ε n = 0 olacak şekilde pozitif reel sayıların öyle bir (ε n ) dizisi mevcuttur ki her x X ve her n N \ M için f n (x) f (x) < ε n olacak biçimde bir M = M x vardır. Uyarı Yukarıda tanımlanan ideal eş yakınsaklık kavramı Filipów ve Szuca (2012) tarafından da ele alınmıştır. Ancak onların verdiği tanımın Tanım den farkı (ε n ) dizisinin sıfıra ideal yakınsak olması yerine sıfıra bilinen anlamda yakınsak olmasıdır. Yakınsak her dizi -yakınsak olduğundan Tanım de kullanılan ideal eş yakınsaklık Filipów ve Szuca (2012) tarafından verilen ideal eş yakınsaklıktan daha geneldir. İleride (Sonuç 3.2.2) P -idealler için bu iki tanımın denk olduğu gösterilecektir. Not f n -e f ise f -e n f dir. Gerçekten, f n f olsun. Bu durumda sıfıra -yakınsak olan öyle bir (ε n ) dizisi mevcuttur ki her x X ve her n N \ M için f n (x) f (x) < ε n olacak biçimde bir M = M x vardır. Ayrıca ε n 0 olduğundan her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir A vardır ki her n N \ A için ε n < ε olur. Böylece M A olup her ε > 0 ve her x X için n N \ (M A) iken f n (x) f (x) < ε bulunur. Bu ise f n Teorem f olmasıdır. f n ve f bir X R kümesi üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olsun. f n -u f ise f n -e f dir (Das ve ark. 2014). İspat. f n u f olsun ve herhangi ε > 0 sayısı verilsin. (3.1.1) den { } A = n N : sup f n (x) f(x) ε x X 12

21 olur. ε n = 1, n n A sup f n (x) f(x) + 1, n / A n x X 1 tanımlayalım. 0 (n ) olduğundan öyle bir n n 0 vardır ki her n > n 0 için 1 < ε n dur. Böylece, eğer n / A ve n > n 0 ise ε n = sup x X f n (x) f(x) + 1 < 2ε olacağından n -e 0 dır. Ayrıca her n / A için f n (x) f(x) < ε n olduğundan f n f elde edilir. ε n Aşağıdaki örnekte f n -e f fakat f n -u f olacak şekilde f fonksiyonunun ve (f n ) dizisinin mevcut olduğu gösterilmektedir. Örnek f herhangi bir uygun ideal ve C bir sonsuz küme olsun. x [0, 1] olmak üzere ile tanımlı (f n ) dizisini ve { n, n C f n (x) = x n, n / C f (x) = { 0, x [0, 1) 1, x = 1 ile tanımlı f fonksiyonunu ele alalım. (ε n ) ise sıfıra -yakınsak bir pozitif reel sayı dizisi olsun (örneğin, ε n = 1 alınabilir). x [0, 1) için lim n n x n = 0 olduğundan öyle bir n 0 N sayısı vardır ki her n > n 0 için x n < ε n dir. Böylece her x [0, 1] ve her n (N \ C) (n 0, ) için f n (x) f (x) = { 0 < εn, x = 1 x n < ε n, 0 x < 1 olur. Yani f n -e f dir. Diğer taraftan f n ler sürekli, f n Uyarı e göre f n -u f dir (Das ve Chandra, 2013). f fakat f sürekli olmadığından Tanım (i) Her A için A C k olacak şekilde elemanları ya ait ve C 1 C 2 C 3 özelliğine sahip bir (C k ) dizisi varsa ideali zincir koşulunu sağlıyor denir (Farah, 1998). (ii) idealinin bir B alt ailesi verilsin. Eğer her A için A B olacak şekilde en az bir B B varsa veya denk olarak = B B B ise B ailesine idealinin bir bazı denir (Farah, 1998). (iii) G, N nin alt kümelerinin bir ailesi olsun. G yi içeren en küçük ideale G tarafından üretilen ideal denir. Eğer bir ideal sayılabilir bir G ailesi tarafından üretilirse bu ideale sayılabilir üretilmiş ideal denir. Bir idealinin sayılabilir üretilmiş olması için gerek ve 13

22 yeter şart idealinin sayılabilir bir baza sahip olmasıdır. Yani A 1, A 2,... olmak üzere her A için A A n olacak şekilde bir n N sayısının mevcut olmasıdır (Filipów ve Staniszewski, 2014). Uyarı Tanımlara göre, idealinin zincir koşulunu sağlaması için gerek ve yeter şart idealinin sayılabilir bir baza sahip olmasıdır. Gerçekten, ideali zincir koşulunu sağlarsa her A için A C k olacak şekilde elemanları ya ait ve C 1 C 2 C 3 özelliğine sahip bir (C k ) dizisi vardır. Eğer B = {C k : her k N için C k ve C k C k+1 } denirse = k N C k olduğu yani B ailesinin idealinin sayılabilir bir bazı olduğu görülür. Tersine B = {C k : k N}, idealinin sayılabilir bir bazı olsun. Eğer k N için D k = k n=1 C n olarak alınırsa her k için D k D k+1 ve = k N D k olacağından ideali zincir koşulunu sağlar. O halde bir idealinin zincir koşulunu sağlaması, sayılabilir bir baza sahip olması ve sayılabilir üretilmiş olması birbirine denk olan kavramlardır. Örnek deki ideal zincir koşulunu sağlayan aşikar olmayan bir ideale örnektir. Teorem zincir koşulunu sağlayan bir ideal ve f n ve f, X R kümesi üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyonlar olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar denktir: (i) f n -e f dir. (ii) Öyle X k X kümeleri vardır ki X = k N X k ve her k = 1, 2,... için X k üzerinde f n u f dir. (iii) Öyle X k X kümeleri vardır ki X = k N X k, X 1 X 2 ve her k = 1, 2,... için X k üzerinde f n u f dir. Eğer X bir topolojik uzay ve f n (n N) fonksiyonları sürekli ise bu durumda (i), (ii) ve (iii) koşulları aşağıdaki koşula denktir: (iv) Öyle X k X kapalı kümeleri vardır ki X = k N X k, X 1 X 2 ve her k = 1, 2,... için X k üzerinde f n u f dir (Das ve Chandra, 2013; Das ve ark. 2014). İspat. (i) (iii) : f n -e f olsun. Bu durumda tanım gereğince -lim n ε n = 0 olacak şekilde pozitif reel sayıların bir (ε n ) dizisi ve her x X için öyle bir A x vardır ki her n N \ A x için f n (x) f (x) < ε n dir. zincir koşulunu sağladığından terimleri idealine ait olan ve C 1 C 2 özelliğine sahip bir (C k ) dizisi vardır öyleki her A için A C k olacak biçimde bir k N mevcuttur. X k = {x X : n N \ C k için f n (x) f (x) < ε n } 14

23 kümelerini tanımlayalım. Her k için C k C k+1 olduğundan N\C k+1 N\C k dır. Böylece her k için X k X k+1 olur. Diğer taraftan x X için A x yukarıda -eş yakınsaklık tanımındaki küme olmak üzere zincir koşulundan dolayı A x C k olacak biçimde bir C k vardır. N\C k N\A x olduğundan ve x X, n N\A x için f n (x) f (x) < ε n olduğundan n N \ C x iken f n (x) f (x) < ε n elde ederiz. Bu ise x X k olmasıdır. O halde X = k N X k olur. Şimdi de X k üzerinde f n u f olduğunu gösterelim. ε > 0 olmak üzere B = {n N : ε n ε} olsun. -lim n ε n = 0 olduğundan B dır. Eğer x X k ve n (N \ C k ) (N \ B) ise f n (x) f (x) < ε n dir. ε n < ε olacağından f n (x) f (x) < ε olur. Yani n N \ (C k B) ve x X k için f n (x) f (x) < ε olur. Bu ise C k B olmasından dolayı X k üzerinde f n u f olmasıdır. (ii) (i) : X = k N X k ve X k üzerinde f n u f olacak şekilde X k kümeleri mevcut olsun. X üzerinde f n -e f olduğunu göstereceğiz. Sabit bir i için sup x Xi f n (x) f(x) = ε in 0 dır. Yani her x X i için öyle bir M(i) vardır ki her n / M(i) için f n (x) f(x) = ε in ve -lim ε in = 0 dır. Her k N için -lim ε kn = 0 olduğundan n / M k iken ε kn < 1 k olacak şekilde M k M k+1 özelliğine sahip M k kümeleri seçebiliriz. (ε n ) dizisini ε n = 1, n M 2 1, k 1, n n M k+1 \ M k n / M k k N şeklinde tanımlayalım. n / k N M k iken ε n = 1 n 0 (n ) olduğundan -lim ε n = 0 dır. Eğer n / M(i) M i ise her x X i için f n (x) f (x) < ε in < 1 i = ε n olacağından f n -e f dir. Şimdi X bir topolojik uzay ve f n, n = 1, 2,... sürekli olsun. (iv) nin (iii) yi gerektirdiği açıktır. (i) nin sağlandığını kabul edelim. k N için X k = {x X : m, n N \ C k için f n (x) f m (x) ε m + ε n } kümelerini tanımlayalım ve daha önceki gibi (C k ), nın bir ait dizisi olmak üzere nın zincir koşulunu sağladığını kabul edelim. X 1 X 2 X 3 olduğu açıktır. Ayrıca f n ler sürekli olduğundan X k (k = 1, 2,...) kapalıdır. Gerçekten, X k, X k kümesinin yığılma noktaları kümesi olmak üzere, eğer x X k ise x j x (j ) olacak şekilde terimleri X k ya ait olan bir (x j ) dizisi vardır. f n sürekli olduğundan her n N için f n (x j ) f n (x) (j ) olur. Diğer taraftan x j X k olduğundan her n, m N \ C k için f n (x j ) f m (x j ) ε (1) m + ε (2) n dir. Böylece her n, m N \ C k ve yeterince büyük j ler 15

24 için f n (x) f m (x) = f n (x) f n (x j ) + f n (x j ) f m (x j ) + f m (x j ) f m (x) f n (x j ) f n (x) + f n (x j ) f m (x j ) + f m (x j ) f m (x) < ε + ε (1) n + ε (1) m + ε = ε n + ε m olur. O halde x X k yani X k kapalıdır. Buna göre x X ise (i) (iii) ispatında olduğu gibi en az bir k N için x X k yani X = k N X k ve her bir X k kümesi üzerinde f n u f elde ederiz. Böylece (iv) ispatlanır. Sonuç olarak (i), (ii) ve (iii), (iv) ye denktir. Örnek Bu örnekte f n fonksiyonlarının varlığını göstereceğiz. f f fakat f n -e f olacak şekilde f ve f n (n = 1, 2,...) zincir koşuluna sahip uygun bir ideal ve C sonsuz bir küme olsun. Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilir olduğundan Q = {r k : k N {0}} biçiminde yazabiliriz. { 0, x R \ Q f(x) = 2 k x = r k, k = 1, 2,... fonksiyonunu alalım. f fonksiyonu R üzerinde süreksiz bir fonksiyondur. Gerçekten, aksine f nin sürekli olduğunu kabul edelim. ε = 1 2 k +1 > 0 ve x 0 Q ise her δ > 0 için x (x 0 δ, x 0 + δ) (R \ Q) iken f (x) f (x 0 ) = 0 2 k = 2 k > 1 2 k +1 olur. Eğer x 0 R\Q ise her δ > 0 için x (x 0 δ, x 0 +δ) Q iken f (x) f (x 0 ) = 2 k 0 = 1 > 1 = ε olur. Böylece f her x 2 k 2 k +1 0 R noktasında süreksizdir. Bu nedenle kabulümüz yanlıştır. Her n N \ C için δ n < 2 n olacak şekilde pozitif bir δ n sayısı seçelim öyleki i, j = 0, 1, 2,..., n ve i j iken δ n 1 2 r i r j olsun. Bir (f n ) dizisini n N \ C iken 0, x R \ n (r i δ i, r i + δ i ) i=0 f n (x) = 2 i, ( x = r i, i = 0, 1,..., n 2 i 1 x r ) i, x (r i δ i, r i + δ i ), i = 0, 1,..., n δ i ile ve n C iken f n (x) = n ile tanımlayalım. R üzerinde f n, f ye noktasal yakınsak olmamasına rağmen f n ve n N \ C F() için f n (x) f (x) dir. Ancak f n -e f dir. f dir. Çünkü x R Gerçekten eğer f n -e f olduğunu kabul edersek Teorem ye göre E k lar kapalı küme olmak üzere R = k N E k ve her k = 1, 2,... için E k üzerinde f n u f olmalıdır. Bu durumda Baire Kategori Teoremi ne göre Ek olacak şekilde en az bir k mevcut olmalıdır. Yani 16

25 [a, b] E k olacak şekilde a ve b a < b sayıları vardır. Diğer taraftan [a, b] üzerinde f n u f ve her bir f n sürekli olduğundan f fonksiyonuda [a, b] R de sürekli olmalıdır. Fakat bu f nin süreksiz bir fonksiyon olması ile çelişir. O halde kabulümüz yanlıştır (Das ve Chandra, 2013). Sonuç Kesin olarak f n u f = f n e f = f n f gerektirmeleri gerçeklenir (Das ve ark., 2014). Tanım (i) Eğer f fonksiyonu (f mk (x)) k N alt dizisinin noktasal limiti olacak şekilde bir M = {m 1 < m 2 <... < m k <...} F() varsa f ye (f n ) dizisinin -noktasal limiti denir. Bu durum f n f ile gösterilir (Gezer ve Karakuş, 2005; Das ve ark. 2014). (ii) Eğer f fonksiyonu (f mk (x)) k N alt dizisinin düzgün limiti olacak şekilde bir M = {m 1 < m 2 <... < m k <...} F() varsa f ye (f n ) dizisinin -düzgün limiti denir ve bu durum f n -u f biçiminde gösterilir (Gezer ve Karakuş, 2005; Das ve ark. 2014). (iii) Eğer f fonksiyonu (f mk (x)) k N alt dizisinin eş limiti olacak şekilde bir M = {m 1 < m 2 <... < m k <...} F() varsa (f n ) dizisi f fonksiyonuna -eş yakınsaktır veya süzgeç eş yakınsaktır denir ve bu durum f n -e f biçiminde gösterilir (Das ve ark. 2014). Uyarı Sürekli fonksiyonlar dizisinin -düzgün limiti de süreklidir (Gezer ve Karakuş, 2005). Teorem bir P -ideal, f, f n (n = 1, 2...) X üzerinde reel değerli fonksiyonlar olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar denktir. (i) X üzerinde f n -e f dir. (ii) X = k N X k ve her k = 1, 2,... için X k üzerinde f n u f olacak şekilde X k kümeleri vardır. (iii) X = k N X k, X k X kümeleri vardır. X 1 X 2 ve her k için X k üzerinde f n u f olacak şekilde Eğer X topolajik uzay ve f n ler sürekli ise bu durumda (i), (ii) ve (iii) koşulları (iv) e denktir. (iv) X = k N X k X 1 X 2 ve her k için X k üzerinde f n -u f olacak şekilde X k X kapalı kümeleri vardır (Das ve ark. 2014). 17

26 İspat. (i) (iii) : X üzerinde f n -e f olsun. Bu durumda her x X için f (x) fonksiyonu (f pn ) dizisinin eş-limiti olacak şekilde bir M = {p 1 < p 2 < p 3 < } F () kümesi vardır. Buna göre (ε pn ) pozitif reel sayıların bir sıfır dizisi olmak üzere her x X ve her n k için f pn (x) f (x) ε pn olacak şekilde k N vardır. X k = {x X : n k için f pn (x) f (x) ε pn } kümelerini tanımlayalım. X 1 X 2 olduğu açıktır. Ayrıca x X için x X k olacak biçimde en az bir k N vardır. Yani X = k N X k olur. Ayrıca Teorem nin ispatına benzer şekilde f n -u f olduğu gösterilebilir. (iii) (ii) : Açıktır (ii) (i) : X k X, X = X k ve her k için X k üzerinde f n u f olsun. Buna göre, sabit bir i için öyle bir (p i n) = M i F () ve lim p ε i p n vardır ki her x X i için n k(i) iken fp i n (x) f (x) ε i pn = 0 olacak şekilde ( ε i p n ) dizisi dir., P -ideal olduğundan her i için (N \ M ) \ (N \ M 0 ) = M 0 \ M sonlu olacak şekilde M 0 F () vardır. Bu nedenle eğer M 0 = {p 1 < p 2 < p 3 < } dersek M 0 ın sonlu sayıda elemanı hariç diğer p n elemanları ve her x X için, lim n ε pn = 0 olmak üzere, f pn (x) f (x) ε pn eşitsizliği sağlanır. Böylece X üzerinde f n -e f olur. O halde (i) ispatlanır. Dolayısıyla (i), (ii) ve (iii) denktir. (i) (iv) : k N için X k = {x X : m, n k için f pn (x) f pm (x) ε pn + ε pm } kümelerini tanımlarsak ve Teorem nin bu kısmındaki ispat yönteminden yararlanırsak k N için X k kümelerinin kapalı, X = k N X k f n -u f olduğu gösterilebilir. X 1 X 2 ve her k için X k üzerinde Örnek f uygun bir ideal, C sonsuz bir küme, Q = {r k : k N {0}} ve f fonksiyonu Örnek deki gibi olsun. (f n) dizisini ise n N \ C iken 0, x R \ n (r i δ i, r i + δ i ) i=0 f n (x) = 2 i, ( x = r i, i = 0, 1,..., n 2 i 1 x r ) i, x (r i δ i, r i + δ i ), i = 0, 1,..., n δ i ile ve n C iken f n = 0 ile tanımlayalım. Her x R için olduğundan f n lim f n(x) = f (x) n N\C,n f dir. Ancak f n -e f dir. Gerçekten eğer f n -e f olduğunu kabul edersek Teorem e göre E k lar kapalı küme olmak üzere R = k N E k ve her k = 18

27 1, 2,... için E k üzerinde f u n f olmalıdır. Buna göre E k üzerinde her bir f n sürekli olduğundan Uyarı e göre f fonksiyonu da E k üzerinde sürekli olmalıdır. Fakat bu f nin süreksiz bir fonksiyon olması ile çelişir. O halde kabulümüz yanlıştır (Das ve Chandra, 2013). Teorem uygun bir ideal olsun. Eğer f n -e f ise f n -e f dir (Das ve ark. 2014). İspat. f n -e f olsun. Bu durumda f fonksiyonu bir (f mk ) alt dizisinin eş limiti olacak şekilde M = {m 1, m 2,...} F() vardır. olduğundan lim k ε mk için k > k 0 iken f mk (x) f(x) < ε mk f fonksiyonu (f mk ) alt dizilerinin eş limiti = 0 olacak şekilde bir (ε mk ) pozitif reel sayı dizisi ve her x X {n N : f n (x) f(x) ε mk } (N \ M }{{} ) ve -lim ε mk = 0 olduğundan f n -e f bulunur. olacak şekilde bir k 0 sayısı vardır. Bu durumda {m k1, m k2,..., m k0 } }{{} Teorem g n -e f fakat g n e f olacak şekilde bir P (N) uygun ideali ve bir (g n ) dizisi vardır (Das ve ark. 2014). İspat. X üzerinde f n u f ve herhangi n N için f n f olacak şekilde bir (f n ) fonksiyonlar dizisini ve bir f fonksiyonunu ele alalım. ε > 0 verilsin. Bu durumda öyle bir m N vardır ki her x X ve her n > m için f n (x) f(x) < ε dur. { j N : j N} ailesi N nin bir ayrışımı yani N = i=1 j ve i j için i j = olsun. ideali olarak Örnek deki ideali alalım. {g n } dizisini n j iken g n = f i olarak tanımlayalım. Bu durumda her x X için {n N : g n (x) f(x) ε} 1 2 m olduğundan {n N : g n (x) f(x) ε} olur. O halde g n u f ve böylece Teorem den g n -e f olur. Şimdi, g n -e f olduğunu kabul edelim. Bu durumda g mk olacak şekilde M = N \ H = {m 1, m 2 } F() vardır. e f nın tanımından dolayı H 1 2 p olacak şekilde p N vardır. Fakat o zaman p+1 N \ H = M olur. p+1 sonsuz küme olduğundan sonsuz çoklukta k ve her x X için g mk (x) f(x) = f p+1 (x) f(x) = ε p+1 > 0 olur ki bu g n -e f olması ile çelişir. Dolayısıyla ispat biter. Teorem X sayılabilir bir küme ve bir P -ideal olsun. Bu durumda f n -e f iken f n -e f dir (Das ve ark. 2014). 19

28 İspat. f n -e f olduğundan (ε n ) n N pozitif reel sayıların ε n 0 koşulunu sağlayan bir dizisi olmak üzere her x X için öyle bir M(x) F() vardırki her n M(x) için f n (x) f(x) < ε n olur., P -ideal olduğundan ε n 0 iken ε n 0 dır. Bundan dolayı (ε n ) n A 0 olacak şekilde A F() kümesi vardır. X sayılabilir bir küme olduğundan X kümesinin elemanlarını X = {x 1, x 2,...} biçiminde yazabiliriz. Hipoteze göre her x i X için öyle bir M i = M(x i ) F() kümesi vardır ki n M i iken f n (x i ) f(x i ) < ε dur., P -ideal olduğundan her i için M 0 \ Mi sonlu olacak şekilde M 0 F() vardır. M 0 \Mi sonlu olduğundan, sonlu sayıda elemanlar hariç diğer tüm elemanlar için M 0 = M i olur. Böylece M 0 A kümesine ait sonlu sayıda indis hariç diğer tüm n indisleri için f n (x) f(x) < ε n olur. Dolayısıyla f n -e f dir. Teorem Eğer -eş ve -eş yakınsaklık çakışıyorsa o zaman bir P -idealdir (Das ve ark., 2014). İspat. X üzerinde f n u f ve herhangi n N için f n f olacak şekilde bir (f n ) fonksiyonlar dizisini ve bir f fonksiyonunu ele alalım. ε > 0 verilsin. Bu durumda öyle bir m N vardır ki her x X ve her n > m için f n (x) f(x) < ε dur. (A n ) n N elemanları boş kümeden farklı, aralarında ayrık ve idealine ait kümeler ailesi olsun. Bir (g n ) dizisini { fj, n A g n = j f, n / A j biçiminde tanımlayalım. Bu durumda A = A 1 A 2 A m dır ve ayrıca verilen her ε > 0 sayısı için n N \ A iken g n (x) f(x) < ε dur. O halde g n u f olması g n -e f olmasını gerektirir. Böylece varsayımdan g n -e f elde edilir. Dolayısıyla öyle bir B vardır ki M = N \ B = {m 1 < m 2 < < m k < } F() ve g mk e f dir. j N için B j = A j B olsun. Bu durumda her j için B j olur. Ayrıca B j=1 A j B dir. Dolayısıyla j=1 B j olur. g mk e f olduğundan sabit j için A j (A j B) {m 1, m 2,..., m k0 } olacak şekilde k 0 N vardır. Böylece A j B j = A j \ B j {m 1, m 2,..., m k0 } yani A j B j sonludur. Dolayısıyla bir P -idealdir. Tanım Her x X için {n N : f n (x) f(x) ε n } kümesinin kardinalitesi en fazla k olacak şekilde bir k N sayısı ve pozitif reel sayıların sıfıra yakınsak bir (ε n ) dizisi varsa (f n ) dizisi f fonksiyonuna düzgün eş yakınsaktır denir ve bu durum kısaca f n u.e f ile gösterilir (Papanastassiou, 2002). 20

29 Tanım Eğer her x X için {n M : f n (x) f(x) ε n } k olacak şekilde pozitif reel sayıların sıfıra yakınsak bir (ε n ) dizisi, bir M = M(ε n ) F() kümesi ve bir k = k(ε n ) sayısı varsa (f n ) dizisi f fonksiyonuna -düzgün eş yakınsaktır denir ve bu durum kısaca f n -ue f ile gösterilir (Das ve ark., 2014). Tanımlar dikkate alındığında, -eş yakınsaklığın, -düzgün eş yakınsaklıktan ve - düzgün eş yakınsaklığın ise -düzgün yakınsaklıktan daha zayıf olduğu anlaşılır. Bu ise sembolik olarak f n -u f = f n -ue f = f n -e f şeklinde gösterilebilir. Aşağıdaki örnekler yukarıdaki gerektirmelerin terslerinin her zaman doğru olmadığını göstermektedir. Örnek f, N de bir uygun ideal ve A sonsuz bir küme olsun. (A n ) n N\A ailesi R nin boş olmayan ve aralarında ayrık alt kümelerinin bir ailesi olsun (Örneğin, A n = [ n, n + 1 n] alınabilir). R üzerinde tanımlı bir (fn ) fonksiyon dizisi ise ile tanımlansın. f n = { χan, her n N \ A için 1, her n A için Her n için sup x R f n (x) = 1 olduğundan (f n ) dizisi f 0 sabit fonksiyonuna -düzgün yakınsak olamaz. Diğer taraftan (ε n ), pozitif reel sayıların sıfıra yakınsak bir dizisi olmak üzere her x R için {n N \ A : f n (x) ε n } kümesinin kardinalitesi en fazla 1 dir. Dolayısıyla (f n ) dizisi f 0 fonksiyonuna -düzgün eş yakınsaktır. Bunun yanı sıra, A sonsuz bir küme olduğundan (f n ) dizisi, f 0 fonksiyonuna düzgün eş yakınsak değildir ve böylece eş yakınsak da değildir (Das ve Dutta, 2013). Örnek Her m N için [ m, m + j m] (j = 1, 2,..., m 1) biçimindeki aralıkları göz önüne alalım ve (f i ) ile bu aralıkların karakteristik fonksiyonlarının dizisini gösterelim. uygun bir ideal ve A olsun. O halde M = N \ A F() dır ve uygun bir ideal olduğundan M sonsuz bir kümedir. M = {n 1 < n 2 <...} olsun. Şimdi R üzerinde k A için g k = 1, i N için g ni = f i biçiminde tanımlı (g k ) dizisini ele alalım. Bu durumda (g k ) dizisi sıfır fonksiyonuna -eş yakınsaktır. Gerçekten, (ε i ) pozitif reel sayıların herhangi bir sıfır dizisi ve k M, yani 21

30 g k = g ni = f i olsun. x R için i 0 > x olacak şekilde bir i 0 N seçelim. Bu durumda her i > i 0 için g ni (x) = f i (x) = 0 < ε i olur. Bu ise g k -e 0 olmasıdır. Diğer taraftan, (ε n ) bir sıfır dizisi olmak üzere her x N için {n M : g n (x) ε n } = x 1 olur ki bu x değişkenine göre artandır. Ayrıca x, N de değiştiğinde n lerin tümü M kümesini verir. O halde (g k ) dizisi f = 0 fonksiyonuna -düzgün eş yakınsak olamaz (Das ve Dutta, 2013). Teorem f n, f : X R (n N) olsun. f -ue n f olması için gerek ve yeter şart ρ n f n f -ue 0 olacak şekilde sonsuza -ıraksak bir (ρ n ) pozitif tamsayı dizisinin mevcut olmasıdır (Das ve Dutta, 2013). İspat. her x X için f n -ue f olsun. Bu durumda (ε n ) pozitif reel sayıların bir sıfır dizisi olmak üzere {n M : f n (x) f(x) ε n } k (3.1.2) olacak biçimde bir M = M(ε n ) F() kümesi ve bir k = k(ε n ) N sayısı vardır. Şimdi (ρ n ) dizisini [ ] 1 εn, n M ρ n = 1, n / M olarak tanımlayalım. (ρ n ) sonsuza -ıraksaktır. Bundan dolayı (3.1.2) den, her x X için {n M : ρ n f n (x) f(x) ε n } k olur ki bu da ρ n f n f -ue 0 olmasını gerektirir. Tersine, (ρ n ) sonsuza -ıraksak bir pozitif tamsayı dizisi olmak üzere ρ n f n f -ue 0 olsun. Bu durumda (λ n ) pozitif reel sayıların bir sıfır dizisi olmak üzere her x X için {n M : ρ n f n (x) f(x) λ n } k olacak biçimde bir M = M (λ n ) F() kümesi ve bir k = k(λ n ) N sayısı vardır. Bir (Θ n ) n N dizisini λ n, n M ρ n Θ n = 1 n, n / M ile tanımlayalım. lim n Θ n = 0 olup her x X için {n M : f n (x) f(x) Θ n } k dır. O halde ispat tamamlanmış olur. 22

31 Lemma f n : X R (n N) olsun. f n -ue 0 ise o halde f 2 n Dutta, 2013). -ue 0 dır (Das ve İspat. Tanımdan (ε n ) pozitif reel sayıların bir sıfır dizisi olmak üzere her x X için {n M : f n (x) ε n } k olacak biçimde bir M = M(ε n ) F() kümesi ve bir k = k(ε n ) N sayısı vardır. O halde her x X için ve buradan her x X için { n M : f n (x) 2 ε 2 n} k { n M : f 2 n(x) ε 2 n} k olur. Bu ise f 2 n ue 0 olmasıdır. Lemma f n, f : X R (n N) olsun. Eğer f sınırlı ve f n -ue f ise f n f -ue f 2 dir (Das ve Dutta, 2013). İspat. Her x X için f(x) B olacak şekilde bir B pozitif reel sayısı mevcut olsun. f n -ue f olduğundan, (ε n ) pozitif reel sayıların bir sıfır dizisi olmak üzere her x X için {n M : f n (x) f(x) ε n } k olacak biçimde bir M = M(ε n ) F() kümesi ve bir k = k(ε n ) N sayısı vardır. olduğundan her x X için f(x) f n (x) f(x) (fn.f)(x) f 2 (x) { n M : (fn.f)(x) f 2 (x) } {n M : f(x) f n (x) f(x) ε n B} {n M : f n (x) f(x) ε n } dir. Böylece her x X için {n M : (f.f n )(x) f 2 (x) ε n.b} k olur. Bu ise f n.f -ue f 2 olmasıdır. Lemma ve Lemma kullanılıp f n g n = (f n + g n ) 2 (f n g n ) 2 4 eşitliği dikkate alındığında aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem f n -ue f ve g n -ue g ise f n g n -ue fg dir (Das ve Dutta, 2013). 23

32 X boş kümeden farklı bir küme olmak üzere X üzerinde tanımlı fonksiyonların herhangi bir sınıfını Φ ile gösterelim. Φ sınıfına ait olan fonksiyonların dizilerinin -eş ve - düzgün eş limiti olan X üzerinde tanımlı fonksiyonların sınıfını da sırasıyla Φ -e ve Φ -ue ile gösterelim. Tanım (i) Eğer Φ tüm sabitleri içerir ve f, g Φ için max (f, g) Φ ve min (f, g) Φ ise Φ ye bir latis denir. (ii) Eğer Φ bir latis ve f Φ, c R için f + c Φ ise Φ ye bir öteleme latisi denir. (iii) Eğer Φ bir öteleme latisi ve f Φ için f Φ ise Φ ye bir eş latis denir. (iv) Eğer Φ bir eş latis ve C (0, ) sınırlı olmayan bir küme olmak üzere f Φ, c C için cf Φ ise Φ ye bir zayıf afin latis denir. (v) Eğer Φ bir eş latis ve f Φ, c C için cf Φ ise Φ ye bir afin latis denir. (vi) Eğer Φ bir latis ve f, g Φ için f g Φ ise Φ ye subtractive latis denir. (vii) Eğer Φ bir subtractive latis ve f, g Φ için f.g Φ ve ayrıca her x X için f(x) 0 olan bir f Φ için 1/f Φ oluyorsa Φ ye bir adi (ordinary) sınıf denir. (Császár ve Laczkovich, 1979). Teorem Eğer Φ bir adi sınıf ise Φ -e de bir adi sınıftır (Das ve ark., 2014). İspat. İdeal eş yakınsaklık tanımından Φ -e sınıfının bir subtractive latis olduğu kolayca görülebilir. Varsayalım ki f, g Φ -e olsun. Bu durumda Φ sınıfına ait öyle (f n ) ve (g n ) dizileri ve bir A x vardır ki her x X ve her n A c x = N \ A x için f n (x) f(x) < 1 n 2 ve g n (x) g(x) < 1 dir. Eğer n n 2 0 = max {2 [ g(x) + 1], 2 [ f(x) ]} (Burada [ f ], f nin tam değeridir) dersek, n / A x {1, 2, 3,..., n 0 } için f n (x)g n (x) f(x)g(x) f n (x) f(x) g n (x) + f(x) g n (x) g(x) 1 n 2 ( g(x) + 1) + 1 n 2 ( f(x) ) < 1 n 2 n n 2 n 2 = 1 n bulunur. Bu nedenle f.g fonksiyonu (f n.g n ) dizisinin -eş limitidir. Bundan dolayı f.g Φ -e dir. Şimdi de f Φ -e ve her x X için f(x) 0 olsun. Bu durumda f 2 Φ -e olur. Buna göre öyle bir (f n ) Φ dizisi ve bir A x vardır ki her n A c x için f n (x) f 2 (x) < 1 n 3 olur. Eğer g n = max { f n, 1 n} olarak alırsak gn Φ ve g n 1 n dir. Ayrıca n 0 = 2 [ f (x) 2] +1 olmak üzere her n / A x {1, 2, 3,..., n 0 } için g n (x) f 2 (x) < 24

33 1 n 3 tür. Böylece h n = gn 1 için h n Φ dir ve her n / A x {1, 2, 3,..., n 0 } için hn (x) f (x) 2 = gn (x) f(x) 2 gn (x) 1 f(x) 2 1 < n.n.n = 1 3 n elde ederiz. Böylece f 2 Φ -e dir. Bundan dolayı f 1 = f.f 2 Φ -e bulunur. Sonuç olarak, Φ -e bir adi sınıftır. Teorem Φ, X üzerindeki fonksiyonların bir sınıfı olsun. Eğer Φ bir latis, bir öteleme latisi, bir eş latis, bir zayıf afin latis, bir afin latis veya bir subtractive latis ise bu durumda Φ -ue sınıfıda aynı özelliklere sahiptir. Ayrıca f Φ -ue sınırlı ise f 2 Φ -ue dir (Das ve Dutta, 2013). İspat. Φ bir latis olsun. Φ tüm sabit fonksiyonları içerdiğinden Φ -ue sabit fonksiyonları içerir. Şimdi f, g Φ -ue için max (f, g) Φ -ue ve min (f, g) Φ -ue olduğunu gösterelim. f -ue n dizisi olmak üzere her x X için f olsun. (ε n ) pozitif reel sayıların lim n ε n = 0 özelliğine sahip bir {n M : f n (x) f(x) ε n } k olacak şekilde bir M = M(ε n ) F() kümesi ve bir k = k(ε n ) N sayısı vardır. f n (x) f(x) f n (x) f(x) olduğundan her x X için {n M : f n (x) f (x) ε n } k yani f n -ue f dir. Şimdi f n -ue f, g n -ue g ve α, β R ise αf n + βg n -ue αf + βg olduğunu gösterelim. Tanımdan (ε n ) ve (λ n ) pozitif reel sayıların iki sıfır dizisi olmak üzere her x X için ve {n M f : f n (x) f(x) ε n } n f {n M g : g n (x) g(x) ε n } n g olacak şekilde M f, M g F() kümeleri ve n f = n f ({ε n }), n g = n g ({λ n }) N sayıları vardır. Q n = max {2 α ε n, 2 β λ n } ve k = n f + n g olduğunu varsayalım. Dolayısıyla {n M f M g : α (f n f) (x) + β(g n g)(x) Q n } k olur ve burada M f M g F() ve lim n Q n = 0 dır. Bundan dolayı αf n +βg n -ue αf +βg dir. Buna göre f, g Φ -ue, f n -ue f ve g n -ue g ise f n + g n 2 + f n g n 2 -ue f + g f g = max(f, g) elde edilir. Bu ise max(f, g) Φ -ue olmasıdır. Benzer şekilde min(f, g) Φ -ue olduğu gösterilebilir. Böylece Φ -ue bir latistir. Diğer iddiaların ispatları ise açıktır. Ayrıca son iddianın doğruluğu Lemma den çıkar. 25